Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Aufgabe 1.4 (SoSe 17)

2017-05-31T15:37:29Z

AlanTu:

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen.<br /><br />
<math>S_1:</math> Menge aller Vierecke mit vier kongruenten Winkeln<br /><br />
<math>S_2:</math> Menge aller Vierecke mit gleich langen, einander halbierenden Diagonalen<br /><br />
<math>S_3: </math> Menge aller Vierecke mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten und einem rechten Winkel<br /><br />

Ich würde sagen: S1= S2 und S1 c S 3 und S 2 c S 3

--[[Benutzer:Kissa052|Kissa052]] ([[Benutzer Diskussion:Kissa052|Diskussion]]) 12:18, 31. Mai 2017 (CEST)

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
→ → →
<div class="mw-collapsible-content">
Ich glaube, dass <math>S_1 = S_2 = S_3</math> gilt. Alles sind Definitionen für Rechtecke.

Bei <math>S_1</math> ergibt sich das ziemlich direkt, denn nach dem Innenwinkelsatz können vier kongruente Winkel in einem Viereck nur <math>\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ</math> haben.

Bei <math>S_2</math> bilden die Diagonalen mit den Seiten des Vierecks vier gleichschenklige Dreiecke, wobei jeweils zwei gegenüberliegende Dreiecke kongruent und somit alle Basiswinkel von je zwei gegenüberliegenden Dreiecken identisch sind. Nennen wir die Basiswinkel des einen gegenüberliegenden Dreieckspaars <math>\alpha</math>, die des anderen Paars <math>\beta</math>, so ergibt sich die Innenwinkelsumme <math>360^\circ=4\cdot(\alpha + \beta) \iff \alpha + \beta = 90^\circ</math>, somit sind alle Innenwikel rechtwinklig.

Bei <math>S_3</math> kann man über Stufen- und Wechselwinkelsatz zeigen, dass bei einem Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten jeweils gegenüberliegende Innenwinkel kongruent sind. Somit muss in solch einem Viereck gegenüber des gegebenen rechten Winkels noch ein rechter Winkel liegen. Da die beiden übrigen Winkel aber auch gegenüberliegend und somit gleich groß sind, teilen sich die beiden die restlichen <math>180^\circ</math> bis zur Innenwinkelsumme vo <math>360^\circ</math> auf, die die beiden rechten Winkel noch „übrig lassen“. Somit sind '''alle''' Winkel in diesem Viereck rechtwinklig.
--[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 17:37, 31. Mai 2017 (CEST)
</div>
</div>

[[Kategorie:Geo_P]]

Elementare Funktionen

2017-04-10T21:51:32Z

AlanTu: /* Funktionen als spezielle Relationen */

=Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten=
==Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf==
===Eingangsgrößen===
{|
|-
|Abwurfhöhe || <math>~~~h_0</math>
|-
| Abwurfgeschwindigkeit (Betrag) || <math>~~~v_0</math>
|-
| Abwurfwinkel|| <math>~~~\alpha</math>
|}
===Herleitung der Vektorgleichung===
====x-Komponente====
Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:<br />
<math>v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t</math>
====y-Komponente====
Es addieren sich:
# y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: <math>v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t</math>
# Fallbewegung nach unten: <math>y_f=\frac{g}{2}t^2</math>
# Damit <math>y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2</math>
# Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: <math>P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}</math>
====Experimentierumgebung====
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/freXgjQ7/width/1022/height/513/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1022px" height="513px" style="border:0px;"> </iframe>
====Experimentieraufgaben====
Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe <math>h_0</math> bei <math>x=18m</math> auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?
====Umstrukturierung====
Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) <math>P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}</math> eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) <math>y=ax^2+bx+c</math>. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

=Der Funktionsbegriff=
==Elemente der Mengenlehre==
==Kreuzprodukt zweier Mengen==
Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.<br />
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.<br />

<math>M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}</math><br />
<math>y=x^2</math>

==Relationen==
===Ordnungsrelationen===
==Äquivalenzrelationen==

==Funktionen als spezielle Relationen==
[[Datei:Links-rechts eindeutig-total.svg|800px]]
===Linkstotal===
<math>\forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R</math>
===Rechtseindeutig===
<math>\forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2</math>
===Eineindeutige Funktionen===
===Umkehrfunktion===

=Lineare Funktionen=
==proportionale Funktionen==
==nichtproportionale lineare Funktionen==

==== Steigung ====
<iframe scrolling="no" title="Steigung 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xgwNhxDq/width/1246/height/621/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1246px" height="621px" style="border:0px;"> </iframe>

* Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
* Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.

'''Satz:''' Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte <math>(x_1, f(x_1))</math> und <math>(x_2, f(x_2))</math> wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.

'''''mehr folgt in Kürze, ich muss erst herausfinden, wie ich die ganzen Herleitungen darstellen kann mit Wiki. Frage: Wie schreibt man Brüche?! Bei mir wird mit "\frac" immer eine Fehlermeldung angezeigt.'''''

Nach <code>\frac</code> braucht man zwei paar geschweifter Klammern (je eins für Zähler und Nenner), dann müsste es funktionieren:
<math>\frac{1}{2 + \sqrt{x+\log_2{y}}} + \sum_{i=1}^{n}{i}</math>

==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen==
==ax+by+c=0==
=quadratische Funktionen=
==Parabeln==
===Parabel als Ortskurve===
===Parabel als Funktion===
===Scheitelpunktslage===
===auf x-Achse verschoben===
===mit beliebigem Vektor verschoben===
----
=Winkelfunktionen=
==Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck==
==Sinus und Kosinus am Einheitskreis==
<iframe scrolling="no" title="Sinus und Kosinus am Einheitskreis " src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/D7XvfBPZ/width/1203/height/495/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1203px" height="495px" style="border:0px;"> </iframe>

==Graphen der Funktionen sin und cos==
==Spezielle Funktionswerte==
===30°===
===45°===
===60°===

[[Kategorie:PV]]

Datei:Links-rechts eindeutig-total.svg

2017-04-10T21:47:07Z

AlanTu: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1={links, rechts} × {eindeutig, total}
Übersicht über die Begriffe linkstotal, linkseindeutig, rechtstotal und rechtseindeutig.}}
|date=2012-10-25
|source={{own}}
|author=[[User:AlanTu|AlanTu]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Elementare Funktionen

2017-04-10T20:20:18Z

AlanTu: /* Steigung */

=Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten=
==Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf==
===Eingangsgrößen===
{|
|-
|Abwurfhöhe || <math>~~~h_0</math>
|-
| Abwurfgeschwindigkeit (Betrag) || <math>~~~v_0</math>
|-
| Abwurfwinkel|| <math>~~~\alpha</math>
|}
===Herleitung der Vektorgleichung===
====x-Komponente====
Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:<br />
<math>v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t</math>
====y-Komponente====
Es addieren sich:
# y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: <math>v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t</math>
# Fallbewegung nach unten: <math>y_f=\frac{g}{2}t^2</math>
# Damit <math>y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2</math>
# Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: <math>P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}</math>
====Experimentierumgebung====
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/freXgjQ7/width/1022/height/513/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1022px" height="513px" style="border:0px;"> </iframe>
====Experimentieraufgaben====
Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe <math>h_0</math> bei <math>x=18m</math> auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?
====Umstrukturierung====
Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) <math>P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}</math> eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) <math>y=ax^2+bx+c</math>. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

=Der Funktionsbegriff=
==Elemente der Mengenlehre==
==Kreuzprodukt zweier Mengen==
Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.<br />
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.<br />

<math>M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}</math><br />
<math>y=x^2</math>

==Relationen==
===Ordnungsrelationen===
==Äquivalenzrelationen==

==Funktionen als spezielle Relationen==
===Linkstotal===
===Rechtseindeutig===
===Eineindeutige Funktionen===
===Umkehrfunktion===
=Lineare Funktionen=
==proportionale Funktionen==
==nichtproportionale lineare Funktionen==

==== Steigung ====
<iframe scrolling="no" title="Steigung 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xgwNhxDq/width/1246/height/621/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1246px" height="621px" style="border:0px;"> </iframe>

* Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
* Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.

'''Satz:''' Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte <math>(x_1, f(x_1))</math> und <math>(x_2, f(x_2))</math> wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.

'''''mehr folgt in Kürze, ich muss erst herausfinden, wie ich die ganzen Herleitungen darstellen kann mit Wiki. Frage: Wie schreibt man Brüche?! Bei mir wird mit "\frac" immer eine Fehlermeldung angezeigt.'''''

Nach <code>\frac</code> braucht man zwei paar geschweifter Klammern (je eins für Zähler und Nenner), dann müsste es funktionieren:
<math>\frac{1}{2 + \sqrt{x+\log_2{y}}} + \sum_{i=1}^{n}{i}</math>

==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen==
==ax+by+c=0==
=quadratische Funktionen=
==Parabeln==
===Parabel als Ortskurve===
===Parabel als Funktion===
===Scheitelpunktslage===
===auf x-Achse verschoben===
===mit beliebigem Vektor verschoben===
----
=Winkelfunktionen=
==Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck==
==Sinus und Kosinus am Einheitskreis==
<iframe scrolling="no" title="Sinus und Kosinus am Einheitskreis " src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/D7XvfBPZ/width/1203/height/495/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1203px" height="495px" style="border:0px;"> </iframe>

==Graphen der Funktionen sin und cos==
==Spezielle Funktionswerte==
===30°===
===45°===
===60°===

[[Kategorie:PV]]

Stell deine Frage

2017-02-09T21:04:58Z

AlanTu: Signaturen, Anmerkung und Kategorie

Hier dürft Ihr gerne, noch offene mathematische Fragen stellen, die ich (Tutor: Alex) versuche zu beantworten.
Irrelevante Fragen, Fragen zur Klausur, o.Ä. wird gelöscht.<br/>
Um eine Frage zu stellen:<br/>

1) Log dich ein <br/>
2) Gehe auf der Seite hier, oben rechts, auf Bearbeiten<br/>
3) Stelle deine Frage am Ende des Beitrags

__TOC__

= Notation von Geraden =
Haben wir eine spezielle Notation für Geraden festgelegt? Für Strecken verwenden wir ja <math>AB</math>, für Halbgeraden <math>AB^+</math> bzw. <math>AB^-</math>. Oder sollen wir Strecken und Gerade auf die selbe Weise notieren, nur mit dem Zusatz „Gerade“ bzw. „Strecke“ vorne dran, also „Gerade <math>AB</math>“? --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 17:44, 5. Feb. 2017 (CET)

Anmerkung: In der Schule haben meine Lehrer immer <math>\overline{AB}</math> für Strecken und <math>AB</math> für Geraden verwendet, was ich immer ziemlich sinnvoll fand. Das wäre auch recht kompatibel mit der Schreibweise von Dreiecken als <math>\overline{ABC}</math> (im Sinne eines [geschlossenen] Streckenzugs, der die Punkte verbindet). --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 22:04, 9. Feb. 2017 (CET)

= Halbgeraden inklusive oder exklusive Ursprung? =
Auf der Seite [[Diskussion:Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 16 17]] hatte ich auch mal die Frage gestellt, ob der Startpunkt zur Halbgeraden gehört oder nicht. Insbesondere wichtig, wenn man z.B. einen Winkel als Vereinigung schreiben möchte (reicht <math>BA^+ \cup BC^+</math> oder muss man schreiben <math>BA^+ \cup BC^+ \cup B</math>, weil <math>B</math> nicht zu den Schenkeln gehört). Für die genaue Fragestellung siehe die Diskussionsseite, wo ich die Frage ursprünglich gestellt hatte. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 17:12, 6. Feb. 2017 (CET)

'''Off-topic:''' Die ganzen Bilder aus den Classroompresenter-Übungen, die unter [https://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/ https://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/] zu finden waren, wurden vom Server gelöscht oder zumindest verschoben und sind deshalb auch hier im Wiki nicht mehr sichtbar.

[[Kategorie:Geo P]]

Stell deine Frage

2017-02-06T16:12:53Z

AlanTu: Frage Halbgeraden

Hier dürft Ihr gerne, noch offene mathematische Fragen stellen, die ich (Tutor: Alex) versuche zu beantworten.
Irrelevante Fragen, Fragen zur Klausur, o.Ä. wird gelöscht.<br/>
Um eine Frage zu stellen:<br/>

1) Log dich ein <br/>
2) Gehe auf der Seite hier, oben rechts, auf Bearbeiten<br/>
3) Stelle deine Frage am Ende des Beitrags

__TOC__

= Notation von Geraden =
Haben wir eine spezielle Notation für Geraden festgelegt? Für Strecken verwenden wir ja <math>AB</math>, für Halbgeraden <math>AB^+</math> bzw. <math>AB^-</math>. Oder sollen wir Strecken und Gerade auf die selbe Weise notieren, nur mit dem Zusatz „Gerade“ bzw. „Strecke“ vorne dran, also „Gerade <math>AB</math>“?

= Halbgeraden inklusive oder exklusive Ursprung? =
Auf der Seite [[Diskussion:Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 16 17]] hatte ich auch mal die Frage gestellt, ob der Startpunkt zur Halbgeraden gehört oder nicht. Insbesondere wichtig, wenn man z.B. einen Winkel als Vereinigung schreiben möchte (reicht <math>BA^+ \cup BC^+</math> oder muss man schreiben <math>BA^+ \cup BC^+ \cup B</math>, weil <math>B</math> nicht zu den Schenkeln gehört). Für die genaue Fragestellung siehe die Diskussionsseite, wo ich die Frage ursprünglich gestellt hatte.

'''Off-topic:''' Die ganzen Bilder aus den Classroompresenter-Übungen, die unter [https://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/ https://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/] zu finden waren, wurden vom Server gelöscht oder zumindest verschoben und sind deshalb auch hier im Wiki nicht mehr sichtbar.

Stell deine Frage

2017-02-05T16:44:04Z

AlanTu: Notation von Geraden

Lösung von Aufgabe 13.3P (WS 16/17)

2017-02-05T16:20:08Z

AlanTu: Präzisierung

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie!<br />
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br /><ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

===Lösung von AlanTu===
Hier schonmal das Geogebra-Applet:
<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAJSeREoAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICACUnkRKAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1b227bRhq+Tp9ioIu9CCxqjjxk5RSxs8EGcJugyRaLDYrFiBzLrClSy4MtF32o7iv0AfaZ9p8ZkiJlWZFsy1ESxOFh/jl9338cM+PvF7MEXam8iLP0eEAcPEAqDbMoTqfHg6o8H/qD719+N56qbKomuUTnWT6T5fGAa8k4Oh4EIQsnvoqGwcTFQ46ZGk4Y3LlYROeBh70AewOEFkX8Is1+lDNVzGWoPoQXaibPslCWZuKLspy/GI2ur6+dZiony6ej6XTiLIpogGCZaXE8qG9ewHC9TtfMiFOMyeifP5zZ4YdxWpQyDdUA6S1U8cvvno2v4zTKrtF1HJUXsGHC+ABdqHh6AZsKMGxqpKXmgMhchWV8pQro23k0my5n84ERk6luf2bvUNLuZ4Ci+CqOVH48wA7lnhcITjh3KfYJIQOU5bFKy1qY1JOOmuHGV7G6tuPqOzMlLLPMsmQi9ZDo998RxRSjI30h9kLh4rq2Cdt3mNkLtRduL8LKcNudW1FuZbiV4WyAruIiniTqeHAukwIwjNPzHPhrn4vyJlFmPfWL5fbJEeypiH8DYaYxtaDDe4yP9I8LP7wBu7NJ0pm1zKsdJ22mtKRuOyd90E5ZMyn1yXJO1yVHFAdHwnOPgoDe3qe7YVK78a02KjrYCnxk/pqfWzOyTdtcndE+P2xClz/JFsejxlbGtXmg4kLL1upTqlmhDYYFSARa7wkSYByuB2ouEAng4lEE5oCIQFzAI/GRq68eYh40cMSQj7QcYchYh/DhH+6ZwVwkYDD91gOjRAQm4kgwRIxRcQSmhIxhgpFSBhJCIAGd9PSE6iGYi7gLT8xHHNaobdIjIMigIzzD9BQxgpjuTDxEXeTq8QjXtu76eukwJEUuRi7RA4JZg0lbcwZ5HzG9G7eGK07nVdmDKJxFzW2ZzVsuQBoc0tLvWQfVc4vPxomcqARCxQfNJEJXMtEWYSY6z9ISNSRS+26ay/lFHBYfVFlCrwL9Kq/kmSzV4g1IF83cRjbM0uJ9npWnWVLN0gKhMEtwu+YsIZ172q4aHlingXcbRKfB7dx7a+fNoAVVhYL5s7xoxGUUvdUSS9cASL5Lk5uTXMnLeRb3tzEemagzVlWYxFEs059BWfUsGhe0Pgh5rmhWkuXRh5sCVBgt/qXyDLD1sMN5wN0AC+YGbjBAN7bF48yBWBv4jHq+6+uYW4QysRbkeAG84cIngmIPPMHN+jbCfDu1umopkgvV7n6ax1H3/m1xkiVRi4XZ/qmcl1Vu0gfwjbne06t0miijIsbbQmwOLyfZ4oPVDWbH+ngzhyds559MDewIXAMVAgTq68RejYxeWCuFjQw2ErhRtjhq24l2wtP6OrFXIwXaa5dWb5Q0uyS4mSYujEPDg57ZGNXXgb5K4/KseSjj8LLeKbHyP1aziWoVqD8keaQhx6MVBRtfqjxVSa3PQGSVVYU1z46qRyqMZ/BoG2pApCbrH7AA+zZS01w1605MYmbhMq24q6m3Xpuh3uTZ7G169RE0YWUB41GzynER5vFc6xuaQAy4VEudiuJCQgiJuv20AcLWQx0qAJ5SQ/OqOp8CYuCkHfYe7LQqLzLg/VUi048VDANOBsDUppioGaReqDT6ZlS2Rf6VSeo0xCib/Ap+boWZJYXQ3OqWIFZBMa/VD8lkfiF15lcDkcgblfegMQP+kEWrgAEfZldg9HPL91wpqyl2wXAzh+GMffW8FjBQoMXxYEh1Zn5TZ+i/2Zze5rR6r9roen7avl3hDhTKwvQZwE7uBVjXWI1Zb4nXu/PzQpV6k8TskHj7BhM77pNhefpFsRR710vsQHQxtDn8UcAMs9lMphFKTUr5Pktuplk6WCY5EmuLRpJoPUWSaogtflXZtIO7TCAaESsW/ptYQWluIJOYwI2Ztp5sDYd22oaldsB+cCkh7bmE4q4wEbCsY525+XscRcqkvKPNCtCBtasBRDCjA9oNrbgfsov7uVtPCzXVT+1CNEyPvdQdPWXXRK27o9pUQauGBFKk1di+PfzqP6ntUtiQG8/mSRzGZas5idbxt2kJAViZCHQ7rl4qNdfpzLv0Yy7TQh+ZWJlOvN4SanlIUNPaG4IpB74BmzrM/WawnhwS1sMWbOK4tPaXFBL8zh//q4W+H/lef6HIJ2w42n9Khh1qpmKO5+8h9P2UlZDero98AX7+5x82qL2+Ff1e/UXOs+Kvn4twvRS57vKUjG0yE3D2FHf/sDrHCFZt5YlwP9kC95PdcT85dNyJqDNl8WRQn24B9enuUJ8eFtTUIX1V9mpfInpvA/fpkuoaIJtatw+0h/baNLvbMex2lO2DTrq342x94t0h70nS7x7j+ghg79n3Vuq539WuZio9T4DruOq4rmCM64NK5nmM+38bkiZHd3DQdR/kG8rYD4wenav32OF1ubTWfQwJVOeB++3QMTkwOsAqSB94m+U35atwfOp/vfCvjaSHEE8fI48n7VHD45wG9mPtz4BJlq+mON2I2YdzNcZWm+PllR2+gbt6uEU8Tp1L1qc38H6tg1pOdQ/j6PyeojaPUOalKmKZ1tG/hOf3mjekFvOV7PEu4oyRJGsqsC531V3F171LsEOwqh6P9rxCH/P2C4M92MpdkJ9shvzkvpCfHCjkKyYS1O7pdsR/MgZONzPQc2GfP1u/M5jc96huDzTsNypsrMDW1GFrqrEu2BuqsjW12ZoKbU2d9vBq7alrtuabgttxbL8120Ny0Uda8zaVG3Wo/hDQxTygAjPCloUbd8i3c+AvD5KVHQs21yFf7+8B7qjWDoyRz9VsTJ95fj0U9APMu7y8yMA1y+QMFr8SZ17fFccnm929xmFJ6hf+qqZL5Npa445SYwi1OOkS74ttWNYH4TvSfDc75tO5FVLsWfgnU6Z8mhwh7NBfjhAj4vmffxyh179Yzl7bsN2TukXj//67mUfzBVdLFEjr/oBt1SDseL5ggU9cxgKPc9/9XETelB0TfH+jJfc3QJmHnSytOS9Ikuz6J3WeqIXhYFtzWmNE2/K1So7cwcbkwdgYVB+gBkxQzxPcCzCtq0LO4dGjHiXcE5QTvjwJ5sTzMGMU+9jF3n486e6VzMTyYo9lPmFHoOeoum1C4Q4shQ9iqf4A9kt4Qub4THQ77OmE8m6W2vi3wpKsC5ZbvLyJF/MqvSx3KTHbPodCE3TlJKBEMOrSgFPmebz+aMHB0MDhrc8Z9ZjhCbLzjrBojvFXClGxvhAlqwSMut/Zmm/Z6/+Z9fL/UEsHCKBCujyJCQAANjYAAFBLAQIUABQACAgIAJSeREpFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgAlJ5ESqBCujyJCQAANjYAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAAhCgAAAAA=" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Beschreibung liefere ich nach, nur schonmal so viel: <math>S_a \circ S_b</math> beschreibt die erste Abbildung (die Drehung), <math>S_b \circ S_c</math> beschreibt die zweite Abbildung (die Translation).

====Konstruktion der Lösung====

* Fälle das Lot vom Drehpunkt <math>D</math> auf die Gerade <math>C'C''</math>, nenne das Lot <math>b</math>
* Trage von einem beliebigen Punkt auf <math>b</math> aus <math>\frac{1}{2}u</math> ab, konstruiere durch den neu erhaltenen Punkt eine Parallele <math>c</math> zu <math>b</math>
* Drehe <math>b</math> um 45° gegen den mathematischen Drehsinn um den Drehpunkt <math>D</math> (da das Dreieck um 90°, also das doppelte Winkelmaß, in die Gegenrichtung gedreht wurde)

Nun gilt: Die erste Abbildung <math>\varphi_1 = S_a\circ S_b</math> und die zweite Abbildung <math>\varphi_2 = S_b\circ S_c</math> ergeben verkettet <math>\varphi_1 \circ \varphi_2 = (S_a \circ S_b) \circ(S_b \circ S_c) = S_a \circ \underbrace{S_b\circ S_b}_{\text{Identität}} \circ S_c = S_a \circ S_c</math>.
Die Verkettung der beiden Abbildung ist also nichts anderes als eine Spiegelung an <math>a</math> und <math>c</math>, oder anders ausgedrückt: Es ist eine Drehung um 90° im mathematischen Drehsinn um den Schnittpunkt von <math>a</math> und <math>c</math>, der somit Fixpunkt dieser Abbildung ist. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:54, 4. Feb. 2017 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 13.3P (WS 16/17)

2017-02-04T18:54:09Z

AlanTu: Konstruktion

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie!<br />
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br /><ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

===Lösung von AlanTu===
Hier schonmal das Geogebra-Applet:
<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Beschreibung liefere ich nach, nur schonmal so viel: <math>S_a \circ S_b</math> beschreibt die erste Abbildung (die Drehung), <math>S_b \circ S_c</math> beschreibt die zweite Abbildung (die Translation).

====Konstruktion der Lösung====

* Fälle das Lot vom Drehpunkt <math>D</math> auf die Gerade <math>C'C''</math>, nenne das Lot <math>b</math>
* Trage von einem beliebigen Punkt auf <math>b</math> aus <math>\frac{1}{2}u</math> ab, konstruiere durch den neu erhaltenen Punkt eine Parallele <math>c</math> zu <math>b</math>
* Drehe <math>b</math> um 45° gegen den mathematischen Drehsinn (da das Dreieck um 90°, also das doppelte Winkelmaß, in die Gegenrichtung gedreht wurde)

Nun gilt: Die erste Abbildung <math>\varphi_1 = S_a\circ S_b</math> und die zweite Abbildung <math>\varphi_2 = S_b\circ S_c</math> ergeben verkettet <math>\varphi_1 \circ \varphi_2 = (S_a \circ S_b) \circ(S_b \circ S_c) = S_a \circ \underbrace{S_b\circ S_b}_{\text{Identität}} \circ S_c = S_a \circ S_c</math>.
Die Verkettung der beiden Abbildung ist also nichts anderes als eine Spiegelung an <math>a</math> und <math>c</math>, oder anders ausgedrückt: Es ist eine Drehung um 90° im mathematischen Drehsinn um den Schnittpunkt von <math>a</math> und <math>c</math>, der somit Fixpunkt dieser Abbildung ist. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:54, 4. Feb. 2017 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 10 (WS 16 17)

2017-02-04T18:35:41Z

AlanTu: Bestimmter Artikel

==Aufgabe 10.1==
Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.1P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 10.2==
Beweisen Sie die Geradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung.
<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.2P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 10.3==
Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.
<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.3P (WS_16_17)]]

Warum brauche ich hier die Winkelmaßerhaltung? In Schritt eins und zwei spiegele ich die beiden Halbgeraden des Ausgangswinkels, erhalte wiederum Halbgeraden aufgrund der Halbgeradentreue. Mit der Definition Winkel (Ein Winkel ist die Vereinigungsmenge zweier Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt) habe ich doch eigentlich schon alles, was ich brauche?
: Dir fehlt aber dann bei deiner Begründung, dass der entstehende Winkel wieder genauso groß ist, wie der Ausgangswinkel. Es hätte ja auch sein können, dass <math>A'</math>, <math>B'</math> und <math>C'</math> zwar wieder einen Winkel ergeben, dieser aber kleiner oder größer ist, als der ursprüngliche Winkel vor der Spiegelung. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 03:08, 4. Feb. 2017 (CET)

Hier noch kurz meine Überlegungen, wie Winkeltreue und Winkelmaßerhaltung differenziert werden können, das hat mir anfänglich nämlich auch Probleme bereitet:
* '''Winkeltreue''' bedeutet, dass ein Winkel (sprich zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Ursprung) wieder auf einen Winkel mit selbem Winkelmaß abgebildet werden.
* '''Winkelmaßerhaltung''' bedeutet, dass zwei Strecken/Halbgeraden/Geraden <math>BA</math> bzw. <math>BA^+</math> und <math>DC</math> bzw. <math>DC^+</math> sowohl vorher als auch nachher im gleichen Winkel zueinander stehen (Erklärung, was das mathematisch heißt in den Unterpunkten)
:* Den Schnittpunkt der Geraden durch <math>A</math> und <math>B</math> mit der Geraden durch <math>C</math> und <math>D</math> nenne ich <math>S</math>, den Schnittpunkt der Spiegelgeraden nenne ich <math>S'</math>
:* Dann bedeutet Winkelmaßerhaltung, dass gilt <math>\angle ASC = \angle A'S'C'</math>
Winkeltreue ist also ein Spezialfall von Winkelmaßerhaltung, bei dem gilt <math>B=S=D</math>.

Die Abbildung ist winkeltreu <math>\Rightarrow</math> Die Abbildung ist winkelmaßerhaltend<br>
Die Abbildung ist winkeltreu <math>\nLeftarrow</math> Die Abbildung ist winkelmaßerhaltend --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 03:08, 4. Feb. 2017 (CET)

==Aufgabe 10.4==
#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung.<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.4P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 10.5==
''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math>
<br />Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung. <br />Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen.<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.5P (WS_16_17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 10 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Aufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Übung Aufgaben 10 (WS 16 17)

2017-02-04T02:08:05Z

AlanTu: /* Aufgabe 10.3 */ Antwort

==Aufgabe 10.1==
Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.1P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 10.2==
Beweisen Sie die Geradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung.
<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.2P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 10.3==
Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.
<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.3P (WS_16_17)]]

Warum brauche ich hier die Winkelmaßerhaltung? In Schritt eins und zwei spiegele ich die beiden Halbgeraden des Ausgangswinkels, erhalte wiederum Halbgeraden aufgrund der Halbgeradentreue. Mit der Definition Winkel (Ein Winkel ist die Vereinigungsmenge zweier Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt) habe ich doch eigentlich schon alles, was ich brauche?
: Dir fehlt aber dann bei deiner Begründung, dass der entstehende Winkel wieder genauso groß ist, wie der Ausgangswinkel. Es hätte ja auch sein können, dass <math>A'</math>, <math>B'</math> und <math>C'</math> zwar wieder einen Winkel ergeben, dieser aber kleiner oder größer ist, als der ursprüngliche Winkel vor der Spiegelung. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 03:08, 4. Feb. 2017 (CET)

Hier noch kurz meine Überlegungen, wie Winkeltreue und Winkelmaßerhaltung differenziert werden können, das hat mir anfänglich nämlich auch Probleme bereitet:
* '''Winkeltreue''' bedeutet, dass ein Winkel (sprich zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Ursprung) wieder auf einen Winkel mit selbem Winkelmaß abgebildet werden.
* '''Winkelmaßerhaltung''' bedeutet, dass zwei Strecken/Halbgeraden/Geraden <math>BA</math> bzw. <math>BA^+</math> und <math>DC</math> bzw. <math>DC^+</math> sowohl vorher als auch nachher im gleichen Winkel zueinander stehen (Erklärung, was das mathematisch heißt in den Unterpunkten)
:* Den Schnittpunkt der Geraden durch <math>A</math> und <math>B</math> mit der Geraden durch <math>C</math> und <math>D</math> nenne ich <math>S</math>, den Schnittpunkt der Spiegelgeraden nenne ich <math>S'</math>
:* Dann bedeutet Winkelmaßerhaltung, dass gilt <math>\angle ASC = \angle A'S'C'</math>
Winkeltreue ist also ein Spezialfall von Winkelmaßerhaltung, bei dem gilt <math>B=S=D</math>.

Eine Abbildung ist winkeltreu <math>\Rightarrow</math> Eine Abbildung ist winkelmaßerhaltend<br>
Eine Abbildung ist winkeltreu <math>\nLeftarrow</math> Eine Abbildung ist winkelmaßerhaltend --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 03:08, 4. Feb. 2017 (CET)

==Aufgabe 10.4==
#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung.<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.4P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 10.5==
''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math>
<br />Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung. <br />Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen.<br />
[[Lösung von Aufgabe 10.5P (WS_16_17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 10 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Aufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Anregungen

2017-02-03T23:59:03Z

AlanTu: /* Inversion am Kreis */

=== Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel ===
[http://geometrie.zum.de/index.php?title=Anregungen&action=purge GeoGebra Applet wird nicht angezeigt?]<br/>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kxEhvRvA/width/800/height/650/border/888888" width="800px" height="650px" style="border:0px;"> </iframe><br/>
Copyright by Ryan Hirst (unverändert von [https://www.geogebra.org/material/show/id/71230 GeoGebra Material])

Sei C der äußere Punkt des Hebels, sowie Punkt A und Punkt B Schieber innerhalb der Konstruktion, wobei sich A entlang der y-Achse und B entlang der x-Achse bewegt.<br/>
Weiterhin sei <math> \alpha </math> der Winkel, der zwischen der x-Achse und der Halbgeraden <math>BC^{+}</math> entsteht (wobei B der Scheitel ist). Dann gilt für die Koordinaten von C folgende Parameterform: <br/>
<math>x=(p+q)\cdot cos(\alpha)</math><br/>
<math>y=q \cdot sin(\alpha)</math><br/><br/>
Hierbei ist p die Strecke <math>\overline{AB}</math> und q die Strecke <math>\overline{BC}.</math> Nun was kann man mit diesem Gerät machen? <br/>
Es handelt sich hier um einen <u>Ellipsograph</u>. Neben der ''Gärtnerkonstruktion'', kann man mit diesem Gerät eine Ellipse konstruieren. <br/><br/>
Durch Umformen (mittels ''Satz des Pythagoras'', <math>(sin \ \alpha)^{2}+(cos \ \alpha)^{2}=1</math>) erhalten wir:<br/>
<math>\frac{x^{2}}{(p+q)^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 </math><br/>
Dies ist eine Ellipsengleichung.<br/><br/>
Es lassen sich noch andere, geometrische Objekte aus dem ''Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel'' definieren, bspw. eine Hypozykloide (betätige den Button ''rolling circle'').
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:59, 23. Dez. 2016 (CET)
<br><hr><br>
=== Zykloide ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Xxqe3G3x/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Eine Zykloide ist die Ortslinie/Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve beschreibt. <br/>
Schon wie oben erwähnt und gezeigt kann man diesen Kreis nicht nur auf Geraden, sondern auch auf Kreisen selbst, innerhalb oder außerhalb abrollen lassen.<br/>
Lässt man den Kreis außen auf einem anderen Kreis abrollen, so entsteht eine ''Epizykloide''. Rollt man den Kreis jedoch im Inneren eines Kreises ab, so entsteht eine ''Hypozykloide''. <br/>
Verschiedene Ortskurven lassen sich bilden, wenn man in der GeoGebra Applet den Radius des abrollenden Kreises und den Radius des großen Kreises ändert.
Dabei gelten spezielle Verhältnisse um Schleifen zu bilden.
Bspw. beträgt der Radius des großen Kreises R=6 und der Radius des abrollenden Kreises r=1.5, so entstehen 4 Schleifen. Bei dem ''Trammel of Archimedes'' ist R=6 und r=3.
In meiner selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr experimentieren.<br/><br/>
Sei P der Punkt, der die Hypozykloide bildet, so gilt folgende Parameterform für dessen Koordinaten:<br/>
<math>x=r\cdot (t - sin(t))</math><br/>
<math>y=r\cdot (1 - cos(t))</math><br/><br/>
Hierbei ist r der Radius des Kreises und t der Parameter (''Wälzwinkel'').<br/>
Möchte man eine gewissen Anzahl an n ''Schleifen'', gilt folgendes Verhältnis:<br/>
<math>n=\frac{max(R,r)}{ggT(R,r)}</math><br/>
Dabei ist R der Radius des großen Kreises und r der, des abrollenden Kreises. So ist <math>max</math> das Maximum der zwei Radien und der <math>ggT</math>, größte gemeinsame Teiler beider Radien.<br/><br/>
Für was sind Zykloiden gut? Heutzutage nutzt man Zykloiden als Modelle in der Getriebetechnik. Dabei sollen Verzahnungen von mehreren Zahnrädern und Zahnstangen simuliert werden.<br/>
Aber auch schon im 16. Jahrhundert nutzte man sie für erste Flächen- und Längenberechnungen oder zur Konstruktion von Ellipsen. Weiterhin konnte man Planetenbahnen in unserem Sonnensystem vereinfacht darstellen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:28, 1. Jan. 2017 (CET)

Was ein Zufall, am Samstag erst ist ein Video zu einer Anwendung von Zykloiden erschienen, als Zusammenarbeit des Youtube-Channels vSauce und Adam Savage (bekannt aus „MythBusters“):<br/>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/skvnj67YGmw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe><br/>
Darin zeigen Sie, dass man mithilfe von Zykloiden eine Lösung zum Brachistochrone-Problem finden kann. Ein Brachistochrone ist der schnellste Weg für eine Kugel um von A nach B zu rollen,
wobei B natürlich niedriger als A liegt.
Sie lösen das Problem, indem Sie einen Kreis auf einer Geraden abrollen. Auf diese Weise erhält man ein Brachistochrone,
das zudem noch ein Tautochrone ist, ein Objekt benötigt also immer die selbe Menge an Zeit, um zum Tiefpunkt der Kurve zu gelangen.
Ganz nebenbei werden auch noch Unterarten von Zykloiden erklärt (Trochoide, Epi- und Hypozykloide).
Hier übrigens noch ein Geogebra-Applet von mir, als Demonstration wie man mit Zykloiden Ellipsen (oder verschiedene andere Figuren) konstruieren kann. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:15, 23. Jan. 2017 (CET)
<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Hallo AlanTu,<br/>
dein Beitrag zu Zykloiden, sowie deine GeoGebra-Applikation sind klasse ;) <br/>
Ich freue mich sehr, dass diese Seite dich (euch Studenten) anregt, eine andere Sichtweise auf die Geometrie zu erhalten, nebst dem, was in den Vorlesungen, Seminaren, ... geboten wird.
Jeden Monat (bis zur vorlesungsfreien Zeit) möchte ich Euch eine andere Besonderheit der Geometrie nahebringen, die Ihr so, nur in Teilen oder vllt. nicht im Studium analysiert. <br/>
Um jeden Beitrag und jede Erweiterung bin ich und auch die anderen Studenten dankbar.<br/>
Weiter so! <br/>
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 02:18, 24. Jan. 2017 (CET)
<br><hr><br>
=== Inversion am Kreis ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mtUpW9Mu/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Punkte kann man nicht nur an Geraden spiegeln. In meinem selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr einen Punkt am Kreis spiegeln.<br/>
In der ebenen Geometrie ist die Spiegelung am Kreis eine Abbildung die nur ''winkeltreu'' ist.
Da diese Abbildung nicht einmal geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Geradenspiegelung keine Kongruenzabbildung.<br/>
Bei einer Spiegelung am Kreis, mit Radius <math>r</math> , Punkt <math>P</math> und Bildpunkt <math>P'</math> , gilt stets folgende Bedingung:
<math>(\overline{OP})\cdot(\overline{OP'})=\ r^2 </math><br/>
Befindet sich <math>P</math> im Inneren des Kreises, so erhält man <math>P'_1</math> wie folgt:
* Konstruiere die Halbgerade <math>OP^{+}</math>
* Konstruiere die Senkrechte auf <math>OP^{+}</math>, die durch <math>P</math> geht
* Der Inversionskreis bildet mit der Senkrechten zwei Schnittpunkte, konstruiere jeweils die Tangenten am Inversionskreis durch die Schnittpunkte
* Der Schnittpunkt der beiden Tangenten mit der Halbgeraden <math>OP^{+}</math> ist <math>P'_1</math><br/>
Liegt Punkt <math>P</math> jedoch im Äußeren des Kreises, so erhält man <math>P'_2</math> wie folgt:
* Bestimme den Mittelpunkt <math>M</math> der Strecke <math>\overline{OP}</math> und konstruiere einen Kreis <math>k</math> um <math>M</math> mit <math>r=\overline{MP}</math>
* <math>k</math> schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten, bilde deren Gerade
* Diese Gerade schneitet die Strecke <math>\overline{OP}</math>, dies ist der Spiegelpunkt <math>P'_2</math><br/>
Bewegt man <math>P</math> nahe an den Mittelpunkt <math>O</math> des Inversionskreises, so gelangt dessen Bildpunkt ins unendlich Ferne.
Bewegt man <math>P</math> jedoch nahe an den Rand des Inversionskreises, so liegt dessen Bildpunkt auch nahe an dem Rand des Inversionskreises. Liegt <math>P</math> auf dem Rand, so ist er ein Fixpunkt. <br/>
Natürlich kann man nicht nur Punkte, sondern auch geometrische Objekte der ebenen Geometrie am Kreis spiegeln, so wird aber bspw. aus einer Strecke, die gespiegelt wird, eine Kurve.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 00:00, 01. Feb. 2017 (CET)

: Eine Anwendung der Spiegelung am Kreis findet sich zum Beispiel bei (katoptischen Zylinder-)[[:w:Anamorphose|Anamorphosen]], bei denen Bilder verzerrt gezeichnet werden und nur aus einem bestimmten Blickwinkel, oder im Spezialfall von katoptischen Anamorphosen nur mit Spiegel(n) oder Prisma/-en das gewünschte Bild ergeben.
: Hier ein paar Beispiele für Zylinderanamorphosen, am Beispiel des Stuhls kann man besonders gut die Verzerrung gerader Linien nachvollziehen, wenn man im aufgezeichneten Bild die Kanten betrachtet, die in der Spiegelung gerade erscheinen:
: <gallery>
: File:Salon du livre ancien et de l'estampe 2013 041.jpg
: File:Anamorphosis_chair.jpg
: File:Historisches_Museum_Basel_Anamorphosis_25102013.jpg
: </gallery>
: Diese Zylinderanamorphose ist im Gegensatz zur „normalen“ Anamorphose weniger bekannt, welche oft bei Straßenkünstlern zum Einsatz kommt, die räumliche Bilder auf den Boden malen. Aber auch ganz alltägliche „Straßenmalereien“ wie Pfeile und Symbole auf den Straßen werden in der Regel anamorph aufgebracht:
: <gallery>
: File:HK_TST_East_Hong_Kong_Museum_of_History_square_floor_picture_view_Aug-2012.JPG
: File:HK TST East Hong Kong Museum of History square view Terracotta Army Aug-2012.JPG
: File:Manfred Stader Stocznia Szczecinska 1 (Piotr Kuczynski).jpg
: File:Busandbike.jpg
: </gallery>
: Relativ bekannt sind auch die Videos von „brusspup“ zu anamorphen Bildern:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/tBNHPk-Lnkk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GIvD-_ITco8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: Auch die [https://www.youtube.com/user/brusspup anderen Videos in dem Kanal] sind teils recht interessant, beispielsweise ist da auch eins dabei, das wieder einen Zusammenhang zu Zykloiden hat:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/pNe6fsaCVtI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: (die weißen Punkte beschreiben jeweils Hypozykloide, wobei der Radius des inneren „rollenden“ Kreises genau halb so groß ist, wie der Radius des äußeren Kreises)
: --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 00:54, 4. Feb. 2017 (CET)

[[Kategorie:Geo P]]

Anregungen

2017-02-03T23:54:02Z

AlanTu: /* Inversion am Kreis */ Antwort

=== Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel ===
[http://geometrie.zum.de/index.php?title=Anregungen&action=purge GeoGebra Applet wird nicht angezeigt?]<br/>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kxEhvRvA/width/800/height/650/border/888888" width="800px" height="650px" style="border:0px;"> </iframe><br/>
Copyright by Ryan Hirst (unverändert von [https://www.geogebra.org/material/show/id/71230 GeoGebra Material])

Sei C der äußere Punkt des Hebels, sowie Punkt A und Punkt B Schieber innerhalb der Konstruktion, wobei sich A entlang der y-Achse und B entlang der x-Achse bewegt.<br/>
Weiterhin sei <math> \alpha </math> der Winkel, der zwischen der x-Achse und der Halbgeraden <math>BC^{+}</math> entsteht (wobei B der Scheitel ist). Dann gilt für die Koordinaten von C folgende Parameterform: <br/>
<math>x=(p+q)\cdot cos(\alpha)</math><br/>
<math>y=q \cdot sin(\alpha)</math><br/><br/>
Hierbei ist p die Strecke <math>\overline{AB}</math> und q die Strecke <math>\overline{BC}.</math> Nun was kann man mit diesem Gerät machen? <br/>
Es handelt sich hier um einen <u>Ellipsograph</u>. Neben der ''Gärtnerkonstruktion'', kann man mit diesem Gerät eine Ellipse konstruieren. <br/><br/>
Durch Umformen (mittels ''Satz des Pythagoras'', <math>(sin \ \alpha)^{2}+(cos \ \alpha)^{2}=1</math>) erhalten wir:<br/>
<math>\frac{x^{2}}{(p+q)^{2}}+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1 </math><br/>
Dies ist eine Ellipsengleichung.<br/><br/>
Es lassen sich noch andere, geometrische Objekte aus dem ''Trammel of Archimedes / Ellipsenzirkel'' definieren, bspw. eine Hypozykloide (betätige den Button ''rolling circle'').
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 17:59, 23. Dez. 2016 (CET)
<br><hr><br>
=== Zykloide ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Xxqe3G3x/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Eine Zykloide ist die Ortslinie/Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve beschreibt. <br/>
Schon wie oben erwähnt und gezeigt kann man diesen Kreis nicht nur auf Geraden, sondern auch auf Kreisen selbst, innerhalb oder außerhalb abrollen lassen.<br/>
Lässt man den Kreis außen auf einem anderen Kreis abrollen, so entsteht eine ''Epizykloide''. Rollt man den Kreis jedoch im Inneren eines Kreises ab, so entsteht eine ''Hypozykloide''. <br/>
Verschiedene Ortskurven lassen sich bilden, wenn man in der GeoGebra Applet den Radius des abrollenden Kreises und den Radius des großen Kreises ändert.
Dabei gelten spezielle Verhältnisse um Schleifen zu bilden.
Bspw. beträgt der Radius des großen Kreises R=6 und der Radius des abrollenden Kreises r=1.5, so entstehen 4 Schleifen. Bei dem ''Trammel of Archimedes'' ist R=6 und r=3.
In meiner selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr experimentieren.<br/><br/>
Sei P der Punkt, der die Hypozykloide bildet, so gilt folgende Parameterform für dessen Koordinaten:<br/>
<math>x=r\cdot (t - sin(t))</math><br/>
<math>y=r\cdot (1 - cos(t))</math><br/><br/>
Hierbei ist r der Radius des Kreises und t der Parameter (''Wälzwinkel'').<br/>
Möchte man eine gewissen Anzahl an n ''Schleifen'', gilt folgendes Verhältnis:<br/>
<math>n=\frac{max(R,r)}{ggT(R,r)}</math><br/>
Dabei ist R der Radius des großen Kreises und r der, des abrollenden Kreises. So ist <math>max</math> das Maximum der zwei Radien und der <math>ggT</math>, größte gemeinsame Teiler beider Radien.<br/><br/>
Für was sind Zykloiden gut? Heutzutage nutzt man Zykloiden als Modelle in der Getriebetechnik. Dabei sollen Verzahnungen von mehreren Zahnrädern und Zahnstangen simuliert werden.<br/>
Aber auch schon im 16. Jahrhundert nutzte man sie für erste Flächen- und Längenberechnungen oder zur Konstruktion von Ellipsen. Weiterhin konnte man Planetenbahnen in unserem Sonnensystem vereinfacht darstellen.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 22:28, 1. Jan. 2017 (CET)

Was ein Zufall, am Samstag erst ist ein Video zu einer Anwendung von Zykloiden erschienen, als Zusammenarbeit des Youtube-Channels vSauce und Adam Savage (bekannt aus „MythBusters“):<br/>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/skvnj67YGmw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe><br/>
Darin zeigen Sie, dass man mithilfe von Zykloiden eine Lösung zum Brachistochrone-Problem finden kann. Ein Brachistochrone ist der schnellste Weg für eine Kugel um von A nach B zu rollen,
wobei B natürlich niedriger als A liegt.
Sie lösen das Problem, indem Sie einen Kreis auf einer Geraden abrollen. Auf diese Weise erhält man ein Brachistochrone,
das zudem noch ein Tautochrone ist, ein Objekt benötigt also immer die selbe Menge an Zeit, um zum Tiefpunkt der Kurve zu gelangen.
Ganz nebenbei werden auch noch Unterarten von Zykloiden erklärt (Trochoide, Epi- und Hypozykloide).
Hier übrigens noch ein Geogebra-Applet von mir, als Demonstration wie man mit Zykloiden Ellipsen (oder verschiedene andere Figuren) konstruieren kann. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 19:15, 23. Jan. 2017 (CET)
<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Hallo AlanTu,<br/>
dein Beitrag zu Zykloiden, sowie deine GeoGebra-Applikation sind klasse ;) <br/>
Ich freue mich sehr, dass diese Seite dich (euch Studenten) anregt, eine andere Sichtweise auf die Geometrie zu erhalten, nebst dem, was in den Vorlesungen, Seminaren, ... geboten wird.
Jeden Monat (bis zur vorlesungsfreien Zeit) möchte ich Euch eine andere Besonderheit der Geometrie nahebringen, die Ihr so, nur in Teilen oder vllt. nicht im Studium analysiert. <br/>
Um jeden Beitrag und jede Erweiterung bin ich und auch die anderen Studenten dankbar.<br/>
Weiter so! <br/>
Gruß --[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 02:18, 24. Jan. 2017 (CET)
<br><hr><br>
=== Inversion am Kreis ===
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mtUpW9Mu/width/1500/height/880/border/888888/sri/true/sdz/true" width="1500px" height="880px" style="border:0px;"> </iframe>

Punkte kann man nicht nur an Geraden spiegeln. In meinem selbst erstellten GeoGebra Applet könnt Ihr einen Punkt am Kreis spiegeln.<br/>
In der ebenen Geometrie ist die Spiegelung am Kreis eine Abbildung die nur ''winkeltreu'' ist.
Da diese Abbildung nicht einmal geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Geradenspiegelung keine Kongruenzabbildung.<br/>
Bei einer Spiegelung am Kreis, mit Radius <math>r</math> , Punkt <math>P</math> und Bildpunkt <math>P'</math> , gilt stets folgende Bedingung:
<math>(\overline{OP})\cdot(\overline{OP'})=\ r^2 </math><br/>
Befindet sich <math>P</math> im Inneren des Kreises, so erhält man <math>P'_1</math> wie folgt:
* Konstruiere die Halbgerade <math>OP^{+}</math>
* Konstruiere die Senkrechte auf <math>OP^{+}</math>, die durch <math>P</math> geht
* Der Inversionskreis bildet mit der Senkrechten zwei Schnittpunkte, konstruiere jeweils die Tangenten am Inversionskreis durch die Schnittpunkte
* Der Schnittpunkt der beiden Tangenten mit der Halbgeraden <math>OP^{+}</math> ist <math>P'_1</math><br/>
Liegt Punkt <math>P</math> jedoch im Äußeren des Kreises, so erhält man <math>P'_2</math> wie folgt:
* Bestimme den Mittelpunkt <math>M</math> der Strecke <math>\overline{OP}</math> und konstruiere einen Kreis <math>k</math> um <math>M</math> mit <math>r=\overline{MP}</math>
* <math>k</math> schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten, bilde deren Gerade
* Diese Gerade schneitet die Strecke <math>\overline{OP}</math>, dies ist der Spiegelpunkt <math>P'_2</math><br/>
Bewegt man <math>P</math> nahe an den Mittelpunkt <math>O</math> des Inversionskreises, so gelangt dessen Bildpunkt ins unendlich Ferne.
Bewegt man <math>P</math> jedoch nahe an den Rand des Inversionskreises, so liegt dessen Bildpunkt auch nahe an dem Rand des Inversionskreises. Liegt <math>P</math> auf dem Rand, so ist er ein Fixpunkt. <br/>
Natürlich kann man nicht nur Punkte, sondern auch geometrische Objekte der ebenen Geometrie am Kreis spiegeln, so wird aber bspw. aus einer Strecke, die gespiegelt wird, eine Kurve.
--[[Benutzer:Tutor: Alex|Tutor: Alex]] ([[Benutzer Diskussion:Tutor: Alex|Diskussion]]) 00:00, 01. Feb. 2017 (CET)

: Eine Anwendung der Spiegelung am Kreis findet sich zum Beispiel bei (katoptischen Zylinder-)[[:w:Anamorphose|Anamorphosen]], bei denen Bilder verzerrt gezeichnet werden und nur aus einem bestimmten Blickwinkel, oder im Spezialfall von katoptischen Anamorphosen nur mit Spiegel(n) oder Prisma/-en das gewünschte Bild ergeben.
: Hier ein paar Beispiele für Zylinderanamorphosen, am Beispiel des Stuhls kann man besonders gut die Verzerrung gerader Linien nachvollziehen, wenn man im aufgezeichneten Bild die geraden Kanten betrachtet:
: <gallery>
: File:Salon du livre ancien et de l'estampe 2013 041.jpg
: File:Anamorphosis_chair.jpg
: File:Historisches_Museum_Basel_Anamorphosis_25102013.jpg
: </gallery>
: Diese Zylinderanamorphose ist im Gegensatz zur „normalen“ Anamorphose weniger bekannt, welche oft bei Straßenkünstlern zum Einsatz kommt, die räumliche Bilder auf den Boden malen. Aber auch ganz alltägliche „Straßenmalereien“ wie Pfeile und Symbole auf den Straßen werden in der Regel anamorph aufgebracht:
: <gallery>
: File:HK_TST_East_Hong_Kong_Museum_of_History_square_floor_picture_view_Aug-2012.JPG
: File:HK TST East Hong Kong Museum of History square view Terracotta Army Aug-2012.JPG
: File:Manfred Stader Stocznia Szczecinska 1 (Piotr Kuczynski).jpg
: File:Busandbike.jpg
: </gallery>
: Relativ bekannt sind auch die Videos von „brusspup“ zu anamorphen Bildern:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/tBNHPk-Lnkk" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GIvD-_ITco8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: Auch die [https://www.youtube.com/user/brusspup anderen Videos in dem Kanal] sind teils recht interessant, beispielsweise ist da auch eins dabei, das wieder einen Zusammenhang zu Zykloiden hat:
: <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/pNe6fsaCVtI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
: (die weißen Punkte beschreiben jeweils Hypozykloide, wobei der Radius des inneren „rollenden“ Kreises genau halb so groß ist, wie der Radius des äußeren Kreises)
: --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 00:54, 4. Feb. 2017 (CET)

[[Kategorie:Geo P]]

Lösung von Aufgabe 13.3P (WS 16/17)

2017-01-25T00:30:13Z

AlanTu: Meine Lösung hinzugefügt.

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie!<br />
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br /><ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

===Lösung von AlanTu===
Hier schonmal das Geogebra-Applet:
<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Beschreibung liefere ich nach, nur schonmal so viel: <math>S_{s_1} \circ S_{s_2}</math> beschreibt die erste Abbildung (die Drehung), <math>S_{s_2} \circ S_{s_3}</math> beschreibt die zweite Abbildung (die Translation).

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 13.2P (WS 16/17)

2017-01-24T23:31:30Z

AlanTu: Kleine Korrektur

Dargestellt ist hier die Nacheinanderausführung zweier Abbildungen <math>\varphi_1</math> und <math>\varphi_2</math>, mit <math>\varphi_1\left( \overline{ABC} \right) = \overline{A'B'C'}</math> und <math>\varphi_2\left( \overline{A'B'C'} \right) = \overline{A''B''C''}</math>. <br />
'''Hinweis:''' Der Punkt E hat eine besondere Bedeutung für <math>\varphi_2</math>.
<br />
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="844" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
<br />
#Um welche Arten von Abbildungen handelt es sich bei <math>\varphi_1</math> und <math>\varphi_2</math>?
#Zeichnen Sie jeweils für <math>\varphi_1</math> und <math>\varphi_2</math> die passende Anzahl von Spiegelachsen in die Skizze ein.
#Wir betrachten nun die Verkettung <math>\varphi_1\circ \varphi_2 </math>. Durch welche Ersatzabbildung kann diese Verkettung <math>\varphi_1\circ \varphi_2 </math> ersetzt werden? (Begründen Sie Ihre Entscheidung).
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
<br />

===Lösung von AlanTu===
'''Hinweis:''' Diese Lösung enthält zwei Geogebra-Applets, falls diese nicht angezeigt werden, muss [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} der Servercache geleert werden].

1. <math>\varphi_1</math> ist eine Translation, <math>\varphi_2</math> eine Drehung

2. Die roten Geraden <math>s_1: x=3</math> und <math>s_2: x=5</math> bilden <math>\varphi_1</math>, die grünen Geraden <math>s_3: y=x</math> und <math>s_4: y=3</math> bilden <math>\varphi_2</math> (Die Spiegelachsen sind zur besseren Anschauung mit der Maus verschiebbar)<ggb_applet style="display:inline-block" width="844" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
3. Da <math>\varphi_1</math> eine Translation ist, kann man die beiden Spiegelachsen <math>s_1</math> und <math>s_2</math> um 2 nach links verschieben, ohne die Abbildung zu verändern. Und da <math>\varphi_2</math> eine Drehung ist, können die beiden Spiegelachsen <math>s_3</math> und <math>s_4</math> um 45° gegen den Uhrzeigersinn (im „mathematischen Uhrzeigersinn“) gedreht werden ohne die Abbildung zu verändern. Da dann <math>s_2</math> und <math>s_3</math> deckungsgleich sind und die Spiegelungen an den beiden Achsen direkt nacheinander ausgeführt werden, heben sich die beiden Spiegelungen auf.

4. Somit kann man die Geraden <math>s_1': x=1</math> und <math>s_4': y=x</math> als Spiegelachsen für die Ersatzabbildung heranziehen. Das entspricht einer Drehung um 90° entgegen dem mathematischen Drehsinn um den Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen <math>F(1,1)</math><ggb_applet width="844" height="538" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIALYAOUoAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICAC2ADlKAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbOVb627byBX+nX2KAxbIj8KSZniTlMhZ2MYumiLeBLVbFA2CxZAcSbOmSC2HtKVgX6Dv0QfYZ9hH6ZP0zAxJkZJsK4qdKK6wDi9zZs6c7zs3UtrR94tZDNc8kyJNji3aJRbwJEwjkUyOrSIfdwbW96++G014OuFBxmCcZjOWH1uukhTRsRUEnLGo3+9E7njccR1OOkM/CDre0A3GNCDueGBbAAspXiTpT2zG5ZyF/CKc8hl7k4Ys14qneT5/0evd3Nx0K1XdNJv0JpOgu5CRBbjNRB5b5ckLXK416cbR4jYhtPfP8zdm+Y5IZM6SkFugTCjEq++ejW5EEqU3cCOifIoGU+pbMOViMkWjBrRvQU9JzRGROQ9zcc0lzm1caqPz2dzSYixR48/MGcS1PRZE4lpEPDu2SJf2hzalrj/0HJd4hA4sSDPBk7wUpqXSXrXc6FrwG7OuOtMqXQvyNI0DppaE334Dm9gEjtSBmoONB983Q8TcI4452ObgmoNnZFwz3TWirpFxjYzrWHAtpAhifmyNWSwRQ5GMM+Svvpb5MuZ6P+WNlfn0CG2S4iMKOwQdxYCO9wk5Un8+/rlqoNc2kja05llxp1Iz3tBZaTSc7qrS/ixDnUqpvc1M27vFTP8Opcauu8CtDfUaOlGV/k//bWh07jJzXePtyO6u0He/iImjXhUqozI6QE6VbOk9OZ9JFS/OELyhcnsKGIDg99HLPaBDPPRtwGgA6oHr4SUdgK+OfXD6OOCCAwNQctQBHRzeAP9x+3oxHzxcTN3tY0wCRUUueA5QHVMuYCSBjkuMUdtBCc8DDycp9dRWSzg+uD5eOQNwcY8qJPsUBR2ciNeo3gaHgqMm0z7YPvhqPeqqUPcHauu4pA0+AZ+qBTGqMaJNNKP8ABxljV/CJZJ5kbcgCmdRdZqn85oLlMZ8tEp7Jj+1suKzUcwCHmOluFBMAlyzWEWEVjROkxwqEm1zb5Kx+VSE8oLnOc6S8Au7Zm9Yzhc/orSsdGvZME3kuyzNz9K4mCUSIExjUu85jWnj3K53jRdOY8BtDniNAb9x3t+qN8URKCRH/WkmK3EWRa+VxCo1IJJvk3h5mnF2NU9F24xRTxedES/CWESCJf9AZ1VaFC6wvQb5A7vaSZpFF0uJLgyLf/EsxSRDh91h44OFZGlGHJ90SfODK8qQqeBz23OGHk66ZWjgG9X8uqaILXht/SQTUfP8tTxN46jGQpt/xuZ5kenuAXNjpmw6SSYx1y6isy2W5vAqSBcXxjccs9blco5XxOgPJhp2wNRge7jfSXkMzFHLqI3VUkTLEC1BKmcTUT1Oh7aW0MfAHLUUeq/ZWmkoraykpFIjpE5oxGqFjXZ9VeeLRORvqotchFelpdTI/1TMAl47UHtJ+kBLjnprDja64lnC49KfkcgiLaQJz4arRzwUM7w0AyUgTJH1d9yAuRvxScarfce6LzNw6VHS9NSN23qpH7N09jq5vkRP2NgANmcZegduQmV9M7yyqbJhJMNMzJU3QoAV4oqvPC4SkmGBiZohp8ITFwn1krnIFXAnxXiCeGIK79rvMIqLfJqiV5zELLkscBlMQQiAC39lSYEVxCbYB6qwjfkMuzTItW9q965Z+kH3f4oOSINfMCeusbiiG4e3+qn2aBbPp0z1iCVmMVvyrIWiXu88jdaxrVDD/DA3rjHn3DiV2S+ezHE5HYqtBIdkSVhgfKoWflkeP5rm3zS/ylIVnq2Mbu6usYyuZ0DagCspZjwTYQ1IpAHDmUU5v0O6Vb5pwVg1A7viSBoo0h1RLOVkrFp0mAlsOTqI14wtdKPNAollJ8enFHT+ZPWUYhiu0jZRrCkgfWdYQjnUD1BjseB1okRPEx8xCFnLmFXeybEiXmHbL3VyzMs0qE/+IqKIJ/Vu1zlH9SvaSbfvNabXzDdyRE1UmM5mLIkg0c3Y31J8DuHWqjtgWGeXcAyYmRmWWdvuen/8Dn+Gc7Z4fy6S9xF2Fh+OgHzAcVtFgqGnyKvJ8mfXqCwVbfiGsr5mWEnvH0tVXSD7x9IqIkhJIy0jouPUa+3BF/81MVOkSd98MY9FKPKNuFnMM1xPEVtDgsTi7WNroXiAzjbsm1D27oOY7gVxVXw3A21viGkJMXkUiMXsFojvyOQnh5XJVRL79FzesUtcvYdK5luc0m44pfcATmnvjDwW9UgYkFTDXQpH8N9//wfsr+O33pfw2x0z9WL/TO18UqZ2HouxR0jmHbqWzcmXSOZtxs5FlqXZGmPm5vuTI8C8/MFQp4JhnZyT52yeypd3E7SWy8opXzWjrSiw28+khLhVjmp96CO0n21cTp9CjqcPneLvAOzsKQBWF0X6QIi1g/tdGi8nabIW3ScmoE9Nyj3biGp8Qo95eEWNWGjEGB6cYyu4L9aNwoqEeql9k9rt/DbwbBJMPUdT7NG9H73ucUPJJ+qq3kh4jyN++kY/++mgel7u0EfrAbTHxMq1Xyc5zyTXrzM2X+FccT5Xb87eJpcZS6T6cm79NcquQLPDAdotge7UbyboEwI6OBygO+56Vzv4poDevdk6u6/ZOvv0ZuvsKzRbb8djyXPFnaeJ6+/ciFWFsP2xH6Eu3sXD6X08nH46D6eH1fR6D9ym7dR0lBCY1qO+sFt+vbUNaU4MmxNZfaEak91Y2d6eNOh5qk3KTh74yNtt+uCgOxjQ/sClwz4+Xtme/UNHfce4VJlg2P74q15mLTN8O3Xgns7m0NjZ6G+wDq+x8mTADw4NfNXzrL99WCpOXJcMhjYZDjxCfNs3EfNRxdLTbInKMqEKslMXZPe2grx3WT7M4vw4bwTu7EB3g/tsX7jPDhHujX7TLYPtS6N/shv6J/uif3KI6G95z/po4N/Zl27pTrf0qDt1qlv61S1d65be9fM72P+bPvbQSnb1Q5XOLW3t03sXd5g8dJxV47r1KYIOnxAJwWGSUL2FrtI4RsC3BfrGDwsu+SKvfu/y/NcizV/Kn20osLRgsYYpD3gCUoRTYMX4CCL2/E+UvIwwLxfJRE5iroaUNA5zkWBe59k4jSc8ibpmOb2FNtk56rTaG9iZ4du+2n4+yV/e/t32Z/8WQf9a8p2qyqD8oN8dtmq7U3qF47ae4r1mrW/y0Gv+UFL/VLn8/25e/Q9QSwcIA4IfQjcJAAAUNAAAUEsBAhQAFAAICAgAtgA5SkXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICAC2ADlKA4IfQjcJAAAUNAAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAM8JAAAAAA==" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 00:29, 25. Jan. 2017 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 13.2P (WS 16/17)

2017-01-24T23:29:02Z

AlanTu: Meine Lösung hinzugefügt.

Dargestellt ist hier die Nacheinanderausführung zweier Abbildungen <math>\varphi_1</math> und <math>\varphi_2</math>, mit <math>\varphi_1\left( \overline{ABC} \right) = \overline{A'B'C'}</math> und <math>\varphi_2\left( \overline{A'B'C'} \right) = \overline{A''B''C''}</math>. <br />
'''Hinweis:''' Der Punkt E hat eine besondere Bedeutung für <math>\varphi_2</math>.
<br />
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="844" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
<br />
#Um welche Arten von Abbildungen handelt es sich bei <math>\varphi_1</math> und <math>\varphi_2</math>?
#Zeichnen Sie jeweils für <math>\varphi_1</math> und <math>\varphi_2</math> die passende Anzahl von Spiegelachsen in die Skizze ein.
#Wir betrachten nun die Verkettung <math>\varphi_1\circ \varphi_2 </math>. Durch welche Ersatzabbildung kann diese Verkettung <math>\varphi_1\circ \varphi_2 </math> ersetzt werden? (Begründen Sie Ihre Entscheidung).
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
<br />

===Lösung von AlanTu===

1. <math>\varphi_1</math> ist eine Translation, <math>\varphi_2</math> eine Drehung

2. Die roten Geraden <math>s_1: x=3</math> und <math>s_2: x=5</math> bilden <math>\varphi_1</math>, die grünen Geraden (Die Spiegelachsen sind zur besseren Anschauung mit der Maus verschiebbar)<math>s_3: y=x</math> und <math>s_4: y=3</math> bilden <math>\varphi_2</math><ggb_applet style="display:inline-block" width="844" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
3. Da <math>\varphi_1</math> eine Translation ist, kann man die beiden Spiegelachsen <math>s_1</math> und <math>s_2</math> um 2 nach links verschieben, ohne die Abbildung zu verändern. Und da <math>\varphi_2</math> eine Drehung ist, können die beiden Spiegelachsen <math>s_3</math> und <math>s_4</math> um 45° gegen den Uhrzeigersinn (im „mathematischen Uhrzeigersinn“) gedreht werden ohne die Abbildung zu verändern. Da dann <math>s_2</math> und <math>s_3</math> deckungsgleich sind und die Spiegelungen an den beiden Achsen direkt nacheinander ausgeführt werden, heben sich die beiden Spiegelungen auf.

4. Somit kann man die Geraden <math>s_1': x=1</math> und <math>s_4': y=x</math> als Spiegelachsen für die Ersatzabbildung heranziehen. Das entspricht einer Drehung um 90° entgegen dem mathematischen Drehsinn um den Schnittpunkt der beiden Spiegelachsen <math>F(1,1)</math><ggb_applet width="844" height="538" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIALYAOUoAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICAC2ADlKAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbOVb627byBX+nX2KAxbIj8KSZniTlMhZ2MYumiLeBLVbFA2CxZAcSbOmSC2HtKVgX6Dv0QfYZ9hH6ZP0zAxJkZJsK4qdKK6wDi9zZs6c7zs3UtrR94tZDNc8kyJNji3aJRbwJEwjkUyOrSIfdwbW96++G014OuFBxmCcZjOWH1uukhTRsRUEnLGo3+9E7njccR1OOkM/CDre0A3GNCDueGBbAAspXiTpT2zG5ZyF/CKc8hl7k4Ys14qneT5/0evd3Nx0K1XdNJv0JpOgu5CRBbjNRB5b5ckLXK416cbR4jYhtPfP8zdm+Y5IZM6SkFugTCjEq++ejW5EEqU3cCOifIoGU+pbMOViMkWjBrRvQU9JzRGROQ9zcc0lzm1caqPz2dzSYixR48/MGcS1PRZE4lpEPDu2SJf2hzalrj/0HJd4hA4sSDPBk7wUpqXSXrXc6FrwG7OuOtMqXQvyNI0DppaE334Dm9gEjtSBmoONB983Q8TcI4452ObgmoNnZFwz3TWirpFxjYzrWHAtpAhifmyNWSwRQ5GMM+Svvpb5MuZ6P+WNlfn0CG2S4iMKOwQdxYCO9wk5Un8+/rlqoNc2kja05llxp1Iz3tBZaTSc7qrS/ixDnUqpvc1M27vFTP8Opcauu8CtDfUaOlGV/k//bWh07jJzXePtyO6u0He/iImjXhUqozI6QE6VbOk9OZ9JFS/OELyhcnsKGIDg99HLPaBDPPRtwGgA6oHr4SUdgK+OfXD6OOCCAwNQctQBHRzeAP9x+3oxHzxcTN3tY0wCRUUueA5QHVMuYCSBjkuMUdtBCc8DDycp9dRWSzg+uD5eOQNwcY8qJPsUBR2ciNeo3gaHgqMm0z7YPvhqPeqqUPcHauu4pA0+AZ+qBTGqMaJNNKP8ABxljV/CJZJ5kbcgCmdRdZqn85oLlMZ8tEp7Jj+1suKzUcwCHmOluFBMAlyzWEWEVjROkxwqEm1zb5Kx+VSE8oLnOc6S8Au7Zm9Yzhc/orSsdGvZME3kuyzNz9K4mCUSIExjUu85jWnj3K53jRdOY8BtDniNAb9x3t+qN8URKCRH/WkmK3EWRa+VxCo1IJJvk3h5mnF2NU9F24xRTxedES/CWESCJf9AZ1VaFC6wvQb5A7vaSZpFF0uJLgyLf/EsxSRDh91h44OFZGlGHJ90SfODK8qQqeBz23OGHk66ZWjgG9X8uqaILXht/SQTUfP8tTxN46jGQpt/xuZ5kenuAXNjpmw6SSYx1y6isy2W5vAqSBcXxjccs9blco5XxOgPJhp2wNRge7jfSXkMzFHLqI3VUkTLEC1BKmcTUT1Oh7aW0MfAHLUUeq/ZWmkoraykpFIjpE5oxGqFjXZ9VeeLRORvqotchFelpdTI/1TMAl47UHtJ+kBLjnprDja64lnC49KfkcgiLaQJz4arRzwUM7w0AyUgTJH1d9yAuRvxScarfce6LzNw6VHS9NSN23qpH7N09jq5vkRP2NgANmcZegduQmV9M7yyqbJhJMNMzJU3QoAV4oqvPC4SkmGBiZohp8ITFwn1krnIFXAnxXiCeGIK79rvMIqLfJqiV5zELLkscBlMQQiAC39lSYEVxCbYB6qwjfkMuzTItW9q965Z+kH3f4oOSINfMCeusbiiG4e3+qn2aBbPp0z1iCVmMVvyrIWiXu88jdaxrVDD/DA3rjHn3DiV2S+ezHE5HYqtBIdkSVhgfKoWflkeP5rm3zS/ylIVnq2Mbu6usYyuZ0DagCspZjwTYQ1IpAHDmUU5v0O6Vb5pwVg1A7viSBoo0h1RLOVkrFp0mAlsOTqI14wtdKPNAollJ8enFHT+ZPWUYhiu0jZRrCkgfWdYQjnUD1BjseB1okRPEx8xCFnLmFXeybEiXmHbL3VyzMs0qE/+IqKIJ/Vu1zlH9SvaSbfvNabXzDdyRE1UmM5mLIkg0c3Y31J8DuHWqjtgWGeXcAyYmRmWWdvuen/8Dn+Gc7Z4fy6S9xF2Fh+OgHzAcVtFgqGnyKvJ8mfXqCwVbfiGsr5mWEnvH0tVXSD7x9IqIkhJIy0jouPUa+3BF/81MVOkSd98MY9FKPKNuFnMM1xPEVtDgsTi7WNroXiAzjbsm1D27oOY7gVxVXw3A21viGkJMXkUiMXsFojvyOQnh5XJVRL79FzesUtcvYdK5luc0m44pfcATmnvjDwW9UgYkFTDXQpH8N9//wfsr+O33pfw2x0z9WL/TO18UqZ2HouxR0jmHbqWzcmXSOZtxs5FlqXZGmPm5vuTI8C8/MFQp4JhnZyT52yeypd3E7SWy8opXzWjrSiw28+khLhVjmp96CO0n21cTp9CjqcPneLvAOzsKQBWF0X6QIi1g/tdGi8nabIW3ScmoE9Nyj3biGp8Qo95eEWNWGjEGB6cYyu4L9aNwoqEeql9k9rt/DbwbBJMPUdT7NG9H73ucUPJJ+qq3kh4jyN++kY/++mgel7u0EfrAbTHxMq1Xyc5zyTXrzM2X+FccT5Xb87eJpcZS6T6cm79NcquQLPDAdotge7UbyboEwI6OBygO+56Vzv4poDevdk6u6/ZOvv0ZuvsKzRbb8djyXPFnaeJ6+/ciFWFsP2xH6Eu3sXD6X08nH46D6eH1fR6D9ym7dR0lBCY1qO+sFt+vbUNaU4MmxNZfaEak91Y2d6eNOh5qk3KTh74yNtt+uCgOxjQ/sClwz4+Xtme/UNHfce4VJlg2P74q15mLTN8O3Xgns7m0NjZ6G+wDq+x8mTADw4NfNXzrL99WCpOXJcMhjYZDjxCfNs3EfNRxdLTbInKMqEKslMXZPe2grx3WT7M4vw4bwTu7EB3g/tsX7jPDhHujX7TLYPtS6N/shv6J/uif3KI6G95z/po4N/Zl27pTrf0qDt1qlv61S1d65be9fM72P+bPvbQSnb1Q5XOLW3t03sXd5g8dJxV47r1KYIOnxAJwWGSUL2FrtI4RsC3BfrGDwsu+SKvfu/y/NcizV/Kn20osLRgsYYpD3gCUoRTYMX4CCL2/E+UvIwwLxfJRE5iroaUNA5zkWBe59k4jSc8ibpmOb2FNtk56rTaG9iZ4du+2n4+yV/e/t32Z/8WQf9a8p2qyqD8oN8dtmq7U3qF47ae4r1mrW/y0Gv+UFL/VLn8/25e/Q9QSwcIA4IfQjcJAAAUNAAAUEsBAhQAFAAICAgAtgA5SkXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICAC2ADlKA4IfQjcJAAAUNAAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAM8JAAAAAA==" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 00:29, 25. Jan. 2017 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Anregungen

2017-01-23T18:15:13Z

AlanTu: Brachistochrone/Zykloid

Zusatzaufgaben 12 (WS 16 17)

2017-01-17T16:24:10Z

AlanTu: Kategorien

==Aufgabe 12.1==
#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.
#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.
[[Lösung von Zusatzaufgabe 12.1P (WS_16/17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 12 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Zusatzaufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Zusatzaufgaben 11 (WS 16 17)

2017-01-17T16:23:40Z

AlanTu: Kategorien

==Aufgabe 11.1==
Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit einem gemeinsamen Schnittpunkt vertauscht?<br />
[[Lösung von Zusatzaufgabe 11.1P (WS_16/17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 11 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Zusatzaufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Zusatzaufgaben 10 (WS 16 17)

2017-01-17T16:23:11Z

AlanTu: Kategorien

==Zusatzaufgabe 10.1==
ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema:
#Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Raute unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.<br />

[[Lösung von Zusatzaufgabe 10.1 (WS_16_17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 10 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Zusatzaufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Zusatzaufgaben 9 (WS 16 17)

2017-01-17T16:22:33Z

AlanTu: Kategorien

==Aufgabe 9.1 ==
Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt (Pfeile). Das Laserlicht im LWL wird jeweils an den Grenzflächen (Glas, Luft) total reflektiert. Die beiden Grenzgeraden ''AB'' und ''CD'' können als ideale Spiegel betrachtet werden. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal den weiteren Weg des Lichts vom Punkt ''P'' aus bis zur Begrenzungslinie <math>\overline{BC}</math>.<br /><br /><br /><br /><br />

[[Datei:lwl.jpg|500px]]

[[Lösung von Zusatzaufgabe 9.1P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 9.2 (Sternchenaufgabe)==
Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun über '''drei''' Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion.<br />
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

[[Lösung von Zusatzaufgabe 9.2P (WS_16_17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 9 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Zusatzaufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Quiz/Spiel der Woche 12 (WS 16 17)

2017-01-17T16:21:53Z

AlanTu: Kategorien

Quiz/Spiel der Woche 11 (WS 16 17)

2017-01-17T16:21:24Z

AlanTu: Kategorien

Quiz/Spiel der Woche 10 (WS 16 17)

2017-01-17T16:20:43Z

AlanTu: Kategorien

Quiz/Spiel der Woche 9 (WS 16 17)

2017-01-17T16:19:35Z

AlanTu: Kategorien

Übung Aufgaben 11 (WS 16 17)

2017-01-17T16:12:52Z

AlanTu: Korrektur Kategorien

==Aufgabe 11.1==
Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wurde durch die Nacheinanderausführung zweier verschiedener Geradenspiegelungen auf das Dreieck <math>\overline{A''B''C''}</math> abgebildet. Konstruieren Sie die beiden Spiegelgeraden.<br /><br />
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />

<ggb_applet width="649" height="515" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIABV6KEQAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAgIABV6KEQAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vzdctu2Er5OnwLDi3MVSQT/ROVI6URqfpw4beY4p9M5NxmIhChEFMmSlH8yfZy+SV/sLACSIiVKlmRZodxqbIMgFljg28XuR9B2/8fbuY+uaZywMBgouK0qiAZO6LLAGyiLdNKylR9f/tD3aOjRcUzQJIznJB0oRltTlv2g1rZU3pm5A0WdTDSHqnbLwdhtGbo+aY1N3W1NyMRwbU3Hlu0oCN0m7EUQ/kzmNImIQ6+cKZ2Ty9AhqRhzmqbRi07n5uamnWtvh7HX8bxx+zZxFQQzD5KBkl28gOEqnW50Ia6pKu789vFSDt9iQZKSwKEK4qtasJc/POvfsMANb9ANc9PpQLHMroKmlHlTWKalwpo6XCiCtUbUSdk1TaBrqSrWnM4jRYiRgLc/k1fIL5ajIJddM5fGgE9bVw0DG6oqSwWFMaNBmkniTGMnH6t/zeiNHJRfCX3QKQ1Df0z4eOiPP5Cmaip6zgssCw0Ky5JNqryn6rLQZGHIwpQyhuxuSFFDyhhSxtDB2CxhY58OlAnxE8CPBZMYbFfUk/TOp2I+2Y3l2vFzWFPCvoGwzgGVgMN9VX3OvwHl50aOdGmRuKQ1jRdblcr2ks5co2X0dteoPWideq5Tq1ulZtbrtB+Gba4TmyWdoEp8ie91XK0tKiWQR9aobwN2VeNGU+6h0DJOvURD7XWPvsguBr/pahuVdtVT4Nrv5BGonwUdlEy5bLYpUzpPeBjSe8js8WiCkQkhx+pC8DAR7kHR1RAEGYRNZJhQxTayeNlFehcaDKQjG3E5rCMRc0wbfhhdMZiFTBiM3+1CqEMYFBnI1BEWocpAEKCQCHcQ+jQdJEwTmdCJq8caH0K3kGFBTbeRAXPkka6LQVCHjlAH9RrSMdJ5Z9xFmoUsPh42eAS1bD51GFJDlooszAeEYAmBUgZJkLeRzlcD2yoKE1agO6V+lIMkcGRBtEgr2DlzN79Mw6iwoZB2Q2c2LLDOWihJ0rIYpIllKpJpo5KpnvV9MqY+5PMr7ggIXROfRyqhYRIGKcqdQJP3vJhEU+YkVzRNoVeCvpJrcklSevsGpJNct1AtEmifLhyfuYwEv4KX8CH4gKjIpzz+5vnU0LtSixOGsXt1l4DroNv/0TiEoKkBgyh/IJzeySbdxtUmQDpxCHd6c6UTBJq7DU2WVE2vi6WRW1osCHkxK2zBry+SYei7RXMUsiAdkShdxIIcwexivqhXgedTga1IH0AznNk4vL2SoOpyrM93EdRUOYGxNwr9MEawJTXTBIGsHMtSyPCZFVKqkFGFhJpbiblFO+5pQkKUY1kKKTC7nFq2UpyvEqu5GpZIzqZU3Uw4DWcti4Cll3klZc4sWyqWHX5ezMfgbxlu1THxscbsd1ZcrD+jcUB96UgB2HIRLhLp2YV3PusvEvqJpNNXgfsf6sGe/ER4XExhaCm6nLJLHTaHjvJ+Bh7hhv0vTFXedakX03yJvuCjElrRqpbdeu22GOpNHM4vguvP4DUrU+138vX0EydmEXdONIZAPaNL/3NZQiDMu+V+sPgEVuHwiANAphxEBZFFOg1jQTlh2wLBQO//+jMIaAyBEtgm37E+nQPhRKlwS+HZhXleCR7L7YDC8VeII0XikO1L1KC51kWFMxM/mhLOdTMIfHIHEyiDIsb7GLqrUIElxHogNkTSJyJKpTvJ+cJFBMOJXVgyt8A+QbcDpaXxR5E7/lwC5Tf5XCNZPF8q35qVMCjvrlgNnE6idA9ew/PHC58QrtH5w6VmcGlHgssJ53MSuCgQrO1T6N95YaAs+QJR+a5EBHNnQ0TjIEqEFmneDnHRh8SDpZgjxQgU+kAZS4WZmhr7SIW5BYqhqhkkBVIwgwfSRKS5NEto4uIdc10qKE9nu3FLcJati01d2NfEWYpbmhfvY97NPphQj9eKiTj3eOH+E93TD9e9Sc+8qYW1YrADwAef8LnvXgQ80VGRGtZT44zSiHOSX4LPMQkSfqpTzYm7Q0maA2Ue9ls4w/K8kBw3B8kig7byIGc0GspqjvlpHcgqBT2DJKOfMCe/Pi1ev0wmCU0F8bBkItVOhSY+AZpvnoD3mStJ6RQU5yfJXV5L7vJmE8XRpNhEirmS4tCDKI52HIpTtW5jOM7kPj88YT7J95+ak5xeo9PJKpRug6AsUvN5ZOZVKGmToMSrLAfjRoNZTTRvn0CiyZ3ZPEFifveE8FLb9iMk5ktw+pWs/Fam23dr6djbnnL5/imA9Q7c9NWD7yPsePFrC+U8ZLeNw/c7/T2QXRJ5fs3mkc8clu7jlBdPwCnzMGo9ClusccoL6ZRv15xyuodTTpvilDl8+cNJq/uQJLSrU1ZB/sjiOIzrDx29NZhf/YtEYfLv+0h35bVC1uX7evsSdGv5fF354Efw4Fpwh5vAHe4P7rBh4GrtXvVjHfUsYwd0R5vQHe2P7qhh6BrLB4Dqxzjd64gMEvlSoqhoFXxrX1CUOzrljqSo8FcWu1mp/sVFyVxP9dne2c0lH3m+Zae027aNu7aBe10IopqpvW5lp3stfYOfntfpPGkc5Lg+yuJ6uFtYPSu8x43Du1UXcBt8ELMLwyuH4+kmnncw29tkwkd84798uWDL3WA+iLIc64XBLoRwuy2Gh9pi+N1sscOB8Ckp4XZ8R4fiO2oivqUXON+ZI9YwxRq+uBNrrOGONQyyhkc+nE3+fThl89LuMlYYhmr3NLVnm6pqaZakmN84+azGbrtReXgnXtk42NX6hJiTHU4nzxf0cUNB38Awa5knN8I5Us57DhW/4AOI5hfcmNOZxh8s7gfwsHEAN/9wcT+ER41DuDkHjF9whTiKqraC8xbCmHd3qt1JqbokifdbbRtB/HKk35duNjm830n/OXI8OjVsFOh/i0PHRiH+dI8d8/C8fhjzfp8E+r4xibMxh4ibkf2wD7IfGoPs9zsv3Azl5T5QXjYGygYcDb6XkH6QdOxyE4vTpZgvxb5KtjY7iKXpT/mv2fyj/+HQP4d19Uh/bQ7ST/p8btYcnM/9SK5T/icBvJ7/N62X/wdQSwcIz7rzQucIAAD9SwAAUEsBAhQAFAAICAgAFXooRNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICAAVeihEz7rzQucIAAD9SwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAH4JAAAAAA==" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br />

[[Lösung von Aufgabe 11.1P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 11.2==
Beweisen Sie Satz IX.2:<br />
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>.<br />
[[Lösung von Aufgabe 11.2P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 11.3==
Das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> soll durch eine Drehung auf das blaue Rechteck abgebildet werden. Konstruieren Sie den Drehpunkt. Wo müssen die beiden Achsen liegen, wenn die Drehung durch eine Verkettung zweier Achsenspiegelungen erzeugt werden soll?<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />
<br>
<br>

[[Lösung von Aufgabe 11.3P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 11.4==
Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math> (siehe GeoGebra-Applet).<br /> Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="536" height="428" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />
[[Lösung von Aufgabe 11.4P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 11.5==
Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>.<br />
[[Lösung von Aufgabe 11.5P (WS_16/17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 11 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Aufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Übung Aufgaben 12 (WS 16 17)

2017-01-17T16:12:13Z

AlanTu: Korrektur Kategorien

==Aufgabe 12.1==
Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.<br />
[[Lösung von Aufgabe 12.1P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 12.2==
Beweisen Sie Satz IX.9:<br />
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden.<br />
[[Lösung von Aufgabe 12.2P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 12.3==
Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? <br />
[[Lösung von Aufgabe 12.3P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 12.4==
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze.<br />

[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
<br /><br />
#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung.<br />
[[Lösung von Aufgabe 12.4P (WS_16/17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 12 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Aufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Auftrag der Woche 12 (WS 16 17)

2017-01-17T16:11:28Z

AlanTu: Kategorien

Gegeben seien zwei parallele Geraden ''a'' und ''b''. Erstellen Sie eine GeoGebra-Applikation die anschaulich zeigt, dass das Ergebnis der Abbildung <math>S_{a}\circ S_{b} </math> nur vom Abstand der beiden parallelen Geraden ''a'' und ''b'' abhängt, solange die Geraden nur parallel zu den ursprünglichen Geraden verschoben werden.<br /><br />

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 12 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Auftrag der Woche (Wintersemester 2016/2017)]]

Auftrag der Woche 11 (WS 16 17)

2017-01-17T16:11:00Z

AlanTu: Kategorien

Gegeben seien zwei sich schneidende Geraden ''a'' und ''b''. Erstellen Sie eine GeoGebra-Applikation die anschaulich zeigt, dass das Ergebnis der Abbildung <math>S_{a}\circ S_{b} </math> nur vom Schnittpunkt ''S'' und dem Winkel zwischen ''a'' und ''b'', nicht aber von der absoluten Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' abhängt.

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 11 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Auftrag der Woche (Wintersemester 2016/2017)]]

Auftrag der Woche 10 (WS 16 17)

2017-01-17T16:10:22Z

AlanTu: Kategorien

=== Mandala ganz einfach selbst gemacht!===
'''Erstellen Sie andere Geogebra-Applikationen, mit denen sich Mandalas oder andere interessante Bilder zeichnen lassen.<br />'''<br />
(Tipp: Wenn Sie mit rechts auf einen Punkt klicken und auf "Spur an" klicken, ergeben sich die dicken blauen Ortslinien.)<br /><br />

<span style="color: blue">Idee und nachfolgendes Mandala stammt von Anne Zähringer - vielen Dank!</span><br /><br />
<ggb_applet width="581" height="494" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
Der Punkt A und seine Bilder entstanden durch eine mehrfache Geradenspiegelung. Wo müssen diese Geraden liegen und wie viele Spiegelgeraden sind nöitg?

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 10 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Auftrag der Woche (Wintersemester 2016/2017)]]

Auftrag der Woche 9 (WS 16 17)

2017-01-17T16:07:34Z

AlanTu: Kategorien

siehe [[Auftrag_der_Woche_7_(WS_16_17)| Auftrag der Woche 7]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 9 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Auftrag der Woche (Wintersemester 2016/2017)]]

Übung Aufgaben 12 (WS 16 17)

2017-01-17T16:06:48Z

AlanTu: Kategorien

==Aufgabe 12.1==
Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.<br />
[[Lösung von Aufgabe 12.1P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 12.2==
Beweisen Sie Satz IX.9:<br />
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden.<br />
[[Lösung von Aufgabe 12.2P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 12.3==
Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? <br />
[[Lösung von Aufgabe 12.3P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 12.4==
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze.<br />

[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
<br /><br />
#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung.<br />
[[Lösung von Aufgabe 12.4P (WS_16/17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 9 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Aufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Übung Aufgaben 11 (WS 16 17)

2017-01-17T16:06:19Z

AlanTu: Kategorien

==Aufgabe 11.1==
Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wurde durch die Nacheinanderausführung zweier verschiedener Geradenspiegelungen auf das Dreieck <math>\overline{A''B''C''}</math> abgebildet. Konstruieren Sie die beiden Spiegelgeraden.<br /><br />
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />

<ggb_applet width="649" height="515" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br />

[[Lösung von Aufgabe 11.1P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 11.2==
Beweisen Sie Satz IX.2:<br />
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>.<br />
[[Lösung von Aufgabe 11.2P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 11.3==
Das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> soll durch eine Drehung auf das blaue Rechteck abgebildet werden. Konstruieren Sie den Drehpunkt. Wo müssen die beiden Achsen liegen, wenn die Drehung durch eine Verkettung zweier Achsenspiegelungen erzeugt werden soll?<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />
<br>
<br>

[[Lösung von Aufgabe 11.3P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 11.4==
Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math> (siehe GeoGebra-Applet).<br /> Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="536" height="428" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />
[[Lösung von Aufgabe 11.4P (WS_16/17)]]

==Aufgabe 11.5==
Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>.<br />
[[Lösung von Aufgabe 11.5P (WS_16/17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 9 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Aufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Übung Aufgaben 10 (WS 16 17)

2017-01-17T16:05:51Z

AlanTu: Kategorien

Übung Aufgaben 9 (WS 16 17)

2017-01-17T16:04:38Z

AlanTu: Kategorien

===Anwendungsorientierte Aufgaben im Kontext "Spiegelungen"===
==Aufgabe 9.1==
Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion.<br /> Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

<br /><br />
[[Lösung von Aufgabe 9.1P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 9.2==
Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden. Tipp: [[Spiegel|Hier]] finden Sie eine hilfreiche GeoGebra-Applikation.

[[Lösung von Aufgabe 9.2P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 9.3==
Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion.<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].<br /><br />
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />
[[Lösung von Aufgabe 9.3P (WS_16_17)]]

==Aufgabe 9.4==
Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Datei:Baum.png|300px]]

[[Lösung von Aufgabe 9.4P (WS_16_17)]]

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 9 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Aufgaben (Wintersemester 2016/2017)]]

Auftrag der Woche 7 (WS 16 17)

2017-01-17T15:55:07Z

AlanTu: Meine Lösung hinzugefügt.

Zeigen Sie mit Hilfe einer GeoGebra-Applikation, dass beim Experiment mit der [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie WS_16_17| brennenden Kerze im Wasserglas]] die Position der gespiegelten Flamme unabhängig von der Position des Beobachters ist.<br />

=== Lösung von AlanTu ===
Hier die Sicht von oben auf den Aufbau. <math>K_1</math> ist die nicht brennende Kerze im Becherglas, <math>B</math> ist der Beobachter, <math>K_2</math> ist die Position, an der man die brennende Kerze aufstellt.

Nun kann man <math>B</math> beliebig verschieben, wenn man genau auf <math>K_1</math> blickt, landet die teilgespiegelte Sichtlinie immer genau auf <math>K_2</math>. Das passiert, da <math>K_2</math> genau der Punkt ist, den man erhält, wenn man <math>K_1</math> an der Glasscheibe spiegelt. --[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 16:55, 17. Jan. 2017 (CET)

<ggb_applet width="900" height="900" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Navigationsleiste Aufgaben}}
[[Kategorie:Übung 7 (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Auftrag der Woche (Wintersemester 2016/2017)]]

Kategorie:Übung 13 (Wintersemester 2016/2017)

2017-01-17T14:41:53Z

AlanTu: Die Seite wurde neu angelegt: „Kategorie:Wintersemester 2016/2017“