Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel

2013-07-19T13:16:55Z

Andreas: /* Herleitung Volumen der Pyramide durch Cavalieri */

== Volumen von Pyramiden mit gleicher Grundfläche und Höhe ==
<ggb_applet width="683" height="433" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />
== Volumen Kegel und Pyramide im Vergleich ==
<ggb_applet width="897" height="499" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

== Zerlegung eines Prismas in 3 Pyramiden ==
<ggb_applet width="547" height="474" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

== Herleitung Volumen Kugel durch Cavalieri ==
<ggb_applet width="777" height="632" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel

2013-07-17T17:32:35Z

Andreas:

== Volumen von Pyramiden mit gleicher Grundfläche und Höhe ==
<ggb_applet width="683" height="433" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />
== Volumen Kegel und Pyramide im Vergleich ==
<ggb_applet width="897" height="499" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

== Zerlegung eines Prismas in 3 Pyramiden ==
<ggb_applet width="547" height="474" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

== Herleitung Volumen der Pyramide durch Cavalieri ==
<ggb_applet width="777" height="632" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAMyb8UIAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICADMm/FCAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbO1c3XLbNha+Tp8Co4u92UoCSIA/WTkdJ6kbt46T1k7Syc0ORUISY4qkScqWM32cvsm+2B4AJCWR+jFty5a1O60DkgABnO9858MBJbH303QcoCuepH4UHrRIB7cQD93I88PhQWuSDdpW66dXP/SGPBryfuKgQZSMneygRUVL3ztoacT2HGzQtqFbVpuSvtPueyZrO7pmug6lnsGcFkLT1H8ZRqfOmKex4/Izd8THzknkOpkceJRl8ctu9/r6ulMM1YmSYXc47HemqddCMM0wPWjlBy+hu4WbrnXZXMOYdP98f6K6b/thmjmhy1tImDDxX/3wonfth150ja59LxsdtExbb6ER94cjsMk07BbqikYxABJzN/OveAq3zp1Km7Nx3JLNnFDUv1BHKCjNaSHPv/I9nhy0cIdZAA22dE2zNGoSo4WixOdhlrcl+Zjdorfelc+vVbfiSI5IWyiLoqDviB7RX38hDWsY/SgKogoNCsNQVVhdw7oqNFVQVTDVhqrbqWpKVRuq2lAA5cpP/X7AD1oDJ0gBQT8cJOC98jzNbgIu55NfmFlPfgSbUv87NNYx0ERBDtcx/lH8GfBHRUV30UgyN2qWTBoOWgxpmubth9TuZahejEkNVh9TYyvMNNYMquy+jZ2EzUELQ8n/5V9tRH2dmdUR1fn9BjToo5jY6xah0sujA6Uj0TZnT8bHqYgX3UbMFrQniEFsGCawnCFiQ2FqCKIBEYYog1NiIUOUJtJNqKBIRxYS7YiOZHAwC/6hpuzMQAw6E1dNiElEYCCKmI6IjCmKIJKQjEuIUU2HFowhBjeJ4YkmutANRA040y1EYY4iJE0CDXW4Ec5heA3pBOniZmIizUCG6I9QEeqGJaYOXWrIwMggokOIaohoFc3Q3kK6sMbI4fLDeJItQOSOveIwi+LSF9Aa9GimekqfFkTxRS9w+jyAdeJMeBKhKycQESEHGkRhhgonauraMHHike+mZzzL4K4UfXOunBMn49MjaJ0WY8u2bhSmH5MoexMFk3GYIuRGAS7nHAVk7lgrZw0n+lwFna9gcxXG3LG5dNwIatAk5TB+lKRFc8fzjkWLmTQAkh/C4OZ1wp2LOPIXzeh15ZLT4xM38D3fCT8DWcUoAhdUrkBCrooVyMC0mEiUeGc3KTAYTb/yJAJoqd7RbYp1TAymWWLhulE1xBSLDMOazphuEptAj6nriNhjpKMbBjVNTf6nC+25WVFnqqH5VekhZ8pnxg4Tv+SKOD5OX0eBV1ZL8984cTZJZO4A00uEUYfhMOCSIlJtYWF2L/rR9ExxQ1d9nd/EcIbVBPpDCTsCadAY6OowL/uqlG3EzMpWWLbBsgUuyOZ7ZT2xNdlCln1VylbAXjW13FJSWElwMYyfSkHDrTxsCrES3Bfr/CT0s5PiJPPdi9xUom44nYz7vGTQYp/kofrsdSsU613wJORBzmjw5SSapCpA58jucdcfw6mqyCFxhLs+wQTUVY8PE15MPJB5mQJM1uJ5stYuy66Okmh8HF6dAxcqE+h1i1n2UjfxY0E51IdV4ILPWOX5qQOLiDd/nwhBMN0ViwXAkwloIDgn2ShKZOoFmgKliLyAjyHRQpmkl2RoCfOhzOAEnijqfwNZq/ph5jGoX8o1yUoniEeOSPNyqwPnhicLOMj+3kdeFR0AX5oAQR4r58acK16oCcNBDN3JcFoQKYA7RVOYgEjCb9Tg6LtK31X+KkwVIbagyupqxU9AHoXSBrxe7wFexgPj5UbjsRN6KJR5zRkfiuut2UrrYMEz5BABn4JmkhUVjuot76OGfpr3VsDr1PHPMzVVP2fwKvzx3dGfYYhzDGmO4ayrUkwzWOYvYC+TSsXPcm2XB+98z+MyxVNrzWWobkmVwvnjOPBdPyvBCoQ3j8MM9I7LgK/L2AXnsVg/PoTniROmYoOq2szJ40qPjWG0xA34bZ3mrncaSJPvxk4yc5v7pG67k0/8IQ+vYKaQ+cC+HedPBW5wETfFlSkg1FZ0IPml72QuqCBcE3+KDov2h0WrQ01khfJIzzs9hGStLSl1yPJed4EgH6UELnLDrZHizXpSLOrom7vpKNFUJiTLXdBSmuuAthUtXQa8UwP+bRPg3+4Z8I+5iL1Revi25oF+s0WsvyOLWDVxalvPahVbR/Of9yBPaz80x9cBdrQHgOEn0ISflSYc1TTBa6YJ3o5oQjWxbT+vzHYdxX/ZI4pvJ99YTvEjRfFfahTnzSjOd4Ti7eq6tz8Uf7cHFG9vN6deK+PvahwfNOP4YFc5/sxyu9v47N0qXRo289lwR3xWW3qfs8uWbV29mqeOm2xdj/dk61qLzccQuDxYjmsuGDULltGOBItWWSToM46V5R47XiVvfjOP+TvisXbVZe3n5bN10vTrPuRdLPdP+6ESr3WI/bYHiJkPDdiiLJxAVFQ04VelCb/VNOHbek0QAVYi+20T9I+d8JACP21rinBbWp5sEMtnwMpT51SiKsvvqtwqKU8UKb/VSHnRgJQXO7JKrURvm4zcnDpf1MD91CR1/rQDqfPAn3JvcXldB/zDa+lrP5Wf5972CW7agL7pjtC39pnB9jaRq8Euk64aiSXSaQ3pr024/PVOEi2+iztURV8VW9SKbVO2vpHOGnA1+z9Xb4Vy/tz7sAa282/SAG7RekcArz540NbiPUs52JZXtxzQBZC/NNGEL3fShJ17MkSKhPix9hNfVqVu/UYU7+8MxWtbijZZT/JSVMgjqcrKL9UFDQAPdgTu+lcUjMeX8GWKktXgfd9ET97vh56Ugt/WH+37aUEN+dMmyJ/uB/J0u8CvyrCFEEt5GdW88KGJFz7sTI7dNsvHxsXnYrOnRI+D5aCG5ccmWH7cHSxt46mx9GtY/t4Ey993B0uNPjWWvIblH02w/GNnsMRPhKSrcOwv2X2cqarzJoCe7QygWkczTJvaxNaoToim0QfdVqwD4XxnQGAdU9cwwxY2mWFZprXFrdXGWK1nRZ+bUOvzzqAKlCq+pmIVH71bj4tl/fnh4abdauVHjxu3q0+xJm8LzxU/yCvQ/FBDc7wey+r3C8Z324tqmG5r89+uBfnSzSjdsS8YLLrtzbJf5L1XPhvXfBav95n8RV7pkfiOHst/hl71mEQbtkxD8XvjRq57Vj/MU1cYhGHRQ5Uh4r0Q/sB37xWPH2u+DZvFY3j/Z0P32j4vicfy8/1n9YWf28djWPPZZZN4vLyPx6SO9sV7LBZchkZO5o7kaydA6Vh+/tZXr4Kavdvh+Yeq/ciR+ln5/Kzm86RZnCZb8Pr9F87FnNk08nW0dnmvwvhUuTSpudTdlFguBrJ7v89B/udDWVv3c/h7BvNhwp2K2y9r/h4E//nbHfEN6h1OxjyZc3t5l+gNkJ7keEMSwQxDN7FBqM5sYmrrl935JJg0tiZeZc2G3HCFNXHVGr1DKGG2ZjCdWbZ4ZeDdjeHTOAHaiWfs+ahRC8HF2eiojUpY5Yu41k86qs62bXeoRk3TtA1sGrZubRN6d8kTpHz27gYBWYG+S6oGVe15WPjP+TSDMZUP/nE5ibJ/HamZoAOkztE/UTk5OFYX1b/LPJRBj61K90+84Mn3saUA92D27jL1Ai6jVYhJ3hS0Ncnkx1so/ziHWgQbJiO2bjNsq+XS7DCqaVhEhKabEBTzu87NgF/eEu/Lu8B9r6Ty3pvyu0MNOYhNdWzb1DIAWGoThTWrYE2bYR3fEuv4Llg/8Ib6kdFmusEMSm2MbRNyPAW30WGAs0aYYWLLZgSz2+P91h8MeMLD74uafjnT9Pg2mj7rZoMUPpi0nzjn/M+Kts8Z45QvXHS0hWeEc+9iKVpvShwXODR/110eTD6cRPqpxKD6Nd17hrPFLNg6aJZBMcWk0E5MKRVvBWZEJxZZqZ3d+TfdifPi1civ/gtQSwcIrt6TDHcLAAC3WQAAUEsBAhQAFAAICAgAzJvxQkXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICADMm/FCrt6TDHcLAAC3WQAADAAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAA8MAAAAAA==" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel

2013-07-17T17:28:17Z

Andreas:

<ggb_applet width="683" height="433" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br />

<ggb_applet width="897" height="499" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />

== Zerlegung eines Prismas in 3 Pyramiden ==
<ggb_applet width="547" height="474" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel

2013-07-17T17:26:19Z

Andreas:

Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel

2013-07-17T17:20:24Z

Andreas: Die Seite wurde neu angelegt: „<ggb_applet width="683" height="433" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAIaa8UIAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKi…“

Benutzer:Andreas

2013-07-17T17:19:19Z

Andreas:

<gallery>

Bild:Weinberge_und_ihre_Parallelität.JPG
Bild:Geometrie Kugel Andreas.JPG
</gallery><br />
[[Spiegelung_Test]]<br />
[[Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel]]<br />
<br />
== Satz: Jede Drehung <math>D_{Z,\beta}</math> ist eine Bewegung. ==
<ggb_applet width="547" height="470" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />

==Beweis==
Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel <math>\beta</math><br />
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {ZP} \tilde = \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 2) <math>\overline {ZQ} \tilde = \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 3) <math>\angle {PZP'} \tilde = \angle {QZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 4) <math>|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|</math><br />
<math>|\alpha'|= |\alpha|</math><br />
| rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da <math>\beta = \angle {PZP'} </math> und <math> \beta' = \angle {QZQ'}</math>
|-
| 5) <math>\triangle {ZPQ} \tilde = \triangle {ZP'Q'}</math>
| folgt aus den Schritten 1-4, sws
|-
| 6) <math>\overline {PQ} \tilde = \overline {P'Q'}</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7) <math>|PQ|=|P'Q'|</math>
| folgt aus Schritt 6, q.e.d
|-

|}
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==

<ggb_applet width="529" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Beweis==
Voraussetzung: <math>\phi </math> ist eine Bewegung, <math>\phi </math> hat genau eine Fixpunkt Z<br />
Behauptung: <math>\beta \cong \beta'</math>
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1. <math>P \ne P', Q \ne Q'</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
|-
| 2. <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 3. <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 4. <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 5. <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| sss, folgt aus den Schritten 2-4
|-
| 6. <math>\alpha \cong \alpha'</math><br /> <math>|\alpha|= |\alpha'|</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7.<math>|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|</math><br /> <math>|\beta'|=|\beta|</math><br /> <math> \beta' \cong \beta</math>
| rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
|}<br />--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)

Benutzer:Andreas

2013-07-17T17:18:44Z

Andreas:

<gallery>
[[Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel]]
Bild:Weinberge_und_ihre_Parallelität.JPG
Bild:Geometrie Kugel Andreas.JPG
</gallery><br />
[[Spiegelung_Test]]<br />
<br />
== Satz: Jede Drehung <math>D_{Z,\beta}</math> ist eine Bewegung. ==
<ggb_applet width="547" height="470" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />

==Beweis==
Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel <math>\beta</math><br />
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {ZP} \tilde = \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 2) <math>\overline {ZQ} \tilde = \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 3) <math>\angle {PZP'} \tilde = \angle {QZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 4) <math>|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|</math><br />
<math>|\alpha'|= |\alpha|</math><br />
| rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da <math>\beta = \angle {PZP'} </math> und <math> \beta' = \angle {QZQ'}</math>
|-
| 5) <math>\triangle {ZPQ} \tilde = \triangle {ZP'Q'}</math>
| folgt aus den Schritten 1-4, sws
|-
| 6) <math>\overline {PQ} \tilde = \overline {P'Q'}</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7) <math>|PQ|=|P'Q'|</math>
| folgt aus Schritt 6, q.e.d
|-

|}
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==

<ggb_applet width="529" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Beweis==
Voraussetzung: <math>\phi </math> ist eine Bewegung, <math>\phi </math> hat genau eine Fixpunkt Z<br />
Behauptung: <math>\beta \cong \beta'</math>
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1. <math>P \ne P', Q \ne Q'</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
|-
| 2. <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 3. <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 4. <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 5. <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| sss, folgt aus den Schritten 2-4
|-
| 6. <math>\alpha \cong \alpha'</math><br /> <math>|\alpha|= |\alpha'|</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7.<math>|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|</math><br /> <math>|\beta'|=|\beta|</math><br /> <math> \beta' \cong \beta</math>
| rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
|}<br />--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)

Hauptseite

2013-07-11T10:12:58Z

Andreas: /* Hinweise, Kommentare */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
-----
{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2013 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
-----
<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Semesterabschlussgrillen=
*20.07. im Anschluss an die Klausuren, die Würste und Bier sind bereits bestellt.
[[Datei:Grillen 2013 Kopie.jpg|300px]]<br />
[[Semesterabschlussgrillen SoSe_2013]]

=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Am nächsten Montag (15.07.) treffen wir uns zur Abschlussveranstaltung in der "Goldenen Rose" in der Hegenichstraße in HD Kirchheim.

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Unser Projekt im Sommersemester 2013: Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]<br />
Die erste Flash App zum Winkelkreuz ist fertig. Bitte testen: [[Winkelkreuz Flash Testversion]]
{| class="wikitable"
!reales Modell!! digitale Flash App !! Android
|-
| [[Datei:Winkelkreuz 00 kl Kopie.png|300px]] || <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Flashz/DAS_HEIDELBERGER_WINKELKREUZ/main.swf" width="300" height="150" frameborder="2"></iframe> || Die Android App ist erstellt (Peterpummel).<br /> Sie wird Ihnen demnächst zum Download zur Verfügung stehen.
|}

<br />

=MatheMOOC=
* Dank: Vielen Dank allen, die für uns gestimmt haben. Die Jury hatte das letzte Wort und hat sich neben weiteren 9 Bewerbern (aus 255) für uns entschieden.

* Zur Kursauswahl auf Iversity: https://www.iversity.org/
* unser Kurs: https://www.iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken
* Blog des MatheMOOC: http://mathemooc.de/
* Hashtag auf Twitter: #mathemooc
* Twitteraccount: @MatheMOOC
* Facebook: https://www.facebook.com/mathemooc

* Am 06.07. begannen wir mit der Produktion:
{{#ev:youtube|MIMtPstLhjU}}

=Das Thema für die Klausuren bei m.g. im SoSe 2013: Heidelberger Falttechniken=
[[Alles klar für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken]]
=Den Berg bezwingen SoSe 2013=
[[Wir fahren auf den Königsstuhl SoSe 2013]]<br />
[[Datei:Königsstuhl_00.jpg|300px]]
|}
-----

{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />
{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

==Hinweise==

* Zusätzliche Übung für Fragen zur Klausur am kommenden Mittwoch, 14.30-16.00 Uhr. Es werden nicht die Übungsaufgaben 12 besprochen. Ich werde hier noch den Raum nennen, so bald dieser feststeht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:55, 10. Jul. 2013 (CEST)

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_P
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=10
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 10-12 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-

| Mo.|| 12-14 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Di.|| 16-18 Uhr || A108 ||A. Zähringer

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A106 ||A. Zähringer

|-

| Do.|| 08-10 Uhr || A206 ||T. Wanielik

|-

| Fr.|| 14-16 Uhr || H009 ||J. Spannagel
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2013!

|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
* @IIIu13: Ihr Beweis (Aufgabe 11.09) passt nicht. Wir gehen davon aus, das <math>P</math> zu den Schenkeln von <math>\alpha= \angle ASB</math> ein und denselben Abstand hat. Das bedeutet nicht, dass <math>\overline{PA} \tilde= \overline{PB}</math> gilt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 11. Jul. 2013 (CEST)
* noch mal zum Üben: [[Haus der Vierecke]]
* Den Berg bezwingen SoSe 2013: [[Wir fahren auf den Königsstuhl SoSe 2013]]. Schön, drei Interessierende haben sich angemeldet, wir werden also fahren. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:31, 4. Jul. 2013 (CEST)
* Ein Thema für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken!<br /> [[Alles klar für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken]]
* Serie 10, die letzten beiden Aufgaben: Schlagen Sie zwei Fliegen mit einer Klappe und testen Sie die Winkelkreuz App in der Flashversion: [[Winkelkreuz Flash Testversion]]

==Newsticker==

<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_S
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=12
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 10-12 Uhr ||H001 || Gieding
|}

====Übungen====

{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 14:00 - 16:00 || H002 ||Gieding
|-
| Donnerstag || 10:00 - 12:00 || H009 ||Jäckle
|}

====Tutorium/Übung====

{| class="wikitable"
|-
| Donnerstag || 12:00 - 14:00 || A106 || Gieding/<br /> Montenegro Cruz
|-
| Freitag || 08:00 - 10:00 || A106 || Schneider

|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Klausuren (alte und neue Prüfungsordnung) werden am 20.0.7 um 10 Uhr geschrieben. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:33, 30. Jun. 2013 (CEST)<br />
Am 17.07.13 findet in H002 ab 16 Uhr ein "Geometrie-Intesiv"-Treffen statt. Bringt eure Fragen mit (schreibt diese also vorher auf und macht euch klar, wo es noch Unklarheiten gibt) und wir besprechen diese entweder im Plenum oder in Kleingruppen.--[[Benutzer:Andreas| Andreas]] 12:11, 11. Jul. 2013 (CEST)
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
*Robben23 hat sich Gedanken zum Thalessatz gemacht. Diskutieren Sie mit: [[Satzfindung vom Satz des Thales]]
*[[Findung des Satzes von Pythagoras]]

==Neu==
<dpl>
namespace=Issue
category=Didaktik_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 12-14 Uhr ||H002 || Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2013--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:57, 8. Apr. 2013 (CEST)<br />
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Elementargeometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>
</div>
|}

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Linalg
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>
</div>
|}

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

2013-07-11T10:11:45Z

Andreas: /* Hinweise, Kommentare */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
-----
{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2013 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
-----
<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Semesterabschlussgrillen=
*20.07. im Anschluss an die Klausuren, die Würste und Bier sind bereits bestellt.
[[Datei:Grillen 2013 Kopie.jpg|300px]]<br />
[[Semesterabschlussgrillen SoSe_2013]]

=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Am nächsten Montag (15.07.) treffen wir uns zur Abschlussveranstaltung in der "Goldenen Rose" in der Hegenichstraße in HD Kirchheim.

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Unser Projekt im Sommersemester 2013: Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]<br />
Die erste Flash App zum Winkelkreuz ist fertig. Bitte testen: [[Winkelkreuz Flash Testversion]]
{| class="wikitable"
!reales Modell!! digitale Flash App !! Android
|-
| [[Datei:Winkelkreuz 00 kl Kopie.png|300px]] || <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Flashz/DAS_HEIDELBERGER_WINKELKREUZ/main.swf" width="300" height="150" frameborder="2"></iframe> || Die Android App ist erstellt (Peterpummel).<br /> Sie wird Ihnen demnächst zum Download zur Verfügung stehen.
|}

<br />

=MatheMOOC=
* Dank: Vielen Dank allen, die für uns gestimmt haben. Die Jury hatte das letzte Wort und hat sich neben weiteren 9 Bewerbern (aus 255) für uns entschieden.

* Zur Kursauswahl auf Iversity: https://www.iversity.org/
* unser Kurs: https://www.iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken
* Blog des MatheMOOC: http://mathemooc.de/
* Hashtag auf Twitter: #mathemooc
* Twitteraccount: @MatheMOOC
* Facebook: https://www.facebook.com/mathemooc

* Am 06.07. begannen wir mit der Produktion:
{{#ev:youtube|MIMtPstLhjU}}

=Das Thema für die Klausuren bei m.g. im SoSe 2013: Heidelberger Falttechniken=
[[Alles klar für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken]]
=Den Berg bezwingen SoSe 2013=
[[Wir fahren auf den Königsstuhl SoSe 2013]]<br />
[[Datei:Königsstuhl_00.jpg|300px]]
|}
-----

{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />
{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

==Hinweise==

* Zusätzliche Übung für Fragen zur Klausur am kommenden Mittwoch, 14.30-16.00 Uhr. Es werden nicht die Übungsaufgaben 12 besprochen. Ich werde hier noch den Raum nennen, so bald dieser feststeht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:55, 10. Jul. 2013 (CEST)

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_P
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=10
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 10-12 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-

| Mo.|| 12-14 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Di.|| 16-18 Uhr || A108 ||A. Zähringer

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A106 ||A. Zähringer

|-

| Do.|| 08-10 Uhr || A206 ||T. Wanielik

|-

| Fr.|| 14-16 Uhr || H009 ||J. Spannagel
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2013!

|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
* @IIIu13: Ihr Beweis (Aufgabe 11.09) passt nicht. Wir gehen davon aus, das <math>P</math> zu den Schenkeln von <math>\alpha= \angle ASB</math> ein und denselben Abstand hat. Das bedeutet nicht, dass <math>\overline{PA} \tilde= \overline{PB}</math> gilt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 11. Jul. 2013 (CEST)
* noch mal zum Üben: [[Haus der Vierecke]]
* Den Berg bezwingen SoSe 2013: [[Wir fahren auf den Königsstuhl SoSe 2013]]. Schön, drei Interessierende haben sich angemeldet, wir werden also fahren. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:31, 4. Jul. 2013 (CEST)
* Ein Thema für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken!<br /> [[Alles klar für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken]]
* Serie 10, die letzten beiden Aufgaben: Schlagen Sie zwei Fliegen mit einer Klappe und testen Sie die Winkelkreuz App in der Flashversion: [[Winkelkreuz Flash Testversion]]

==Newsticker==

<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_S
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=12
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 10-12 Uhr ||H001 || Gieding
|}

====Übungen====

{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 14:00 - 16:00 || H002 ||Gieding
|-
| Donnerstag || 10:00 - 12:00 || H009 ||Jäckle
|}

====Tutorium/Übung====

{| class="wikitable"
|-
| Donnerstag || 12:00 - 14:00 || A106 || Gieding/<br /> Montenegro Cruz
|-
| Freitag || 08:00 - 10:00 || A106 || Schneider

|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Klausuren (alte und neue Prüfungsordnung) werden am 20.0.7 um 10 Uhr geschrieben. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:33, 30. Jun. 2013 (CEST)<br />
Am 17.07.13 findet in H002 ab 16 Uhr ein "Geometrie-Intesiv"-Treffen statt. Bringt eure Fragen mit (schreibt diese also vorher auf und macht euch klar, wo es noch Unklarheiten gibt) und wir besprechen diese entweder im Plenum oder in Kleingruppen.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:11, 11. Jul. 2013 (CEST)
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
*Robben23 hat sich Gedanken zum Thalessatz gemacht. Diskutieren Sie mit: [[Satzfindung vom Satz des Thales]]
*[[Findung des Satzes von Pythagoras]]

==Neu==
<dpl>
namespace=Issue
category=Didaktik_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 12-14 Uhr ||H002 || Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2013--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:57, 8. Apr. 2013 (CEST)<br />
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Elementargeometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>
</div>
|}

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Linalg
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>
</div>
|}

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

2013-07-11T10:10:17Z

Andreas:

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
-----
{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2013 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
-----
<br />
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
<br />
=Semesterabschlussgrillen=
*20.07. im Anschluss an die Klausuren, die Würste und Bier sind bereits bestellt.
[[Datei:Grillen 2013 Kopie.jpg|300px]]<br />
[[Semesterabschlussgrillen SoSe_2013]]

=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Am nächsten Montag (15.07.) treffen wir uns zur Abschlussveranstaltung in der "Goldenen Rose" in der Hegenichstraße in HD Kirchheim.

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Unser Projekt im Sommersemester 2013: Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]<br />
Die erste Flash App zum Winkelkreuz ist fertig. Bitte testen: [[Winkelkreuz Flash Testversion]]
{| class="wikitable"
!reales Modell!! digitale Flash App !! Android
|-
| [[Datei:Winkelkreuz 00 kl Kopie.png|300px]] || <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Flashz/DAS_HEIDELBERGER_WINKELKREUZ/main.swf" width="300" height="150" frameborder="2"></iframe> || Die Android App ist erstellt (Peterpummel).<br /> Sie wird Ihnen demnächst zum Download zur Verfügung stehen.
|}

<br />

=MatheMOOC=
* Dank: Vielen Dank allen, die für uns gestimmt haben. Die Jury hatte das letzte Wort und hat sich neben weiteren 9 Bewerbern (aus 255) für uns entschieden.

* Zur Kursauswahl auf Iversity: https://www.iversity.org/
* unser Kurs: https://www.iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken
* Blog des MatheMOOC: http://mathemooc.de/
* Hashtag auf Twitter: #mathemooc
* Twitteraccount: @MatheMOOC
* Facebook: https://www.facebook.com/mathemooc

* Am 06.07. begannen wir mit der Produktion:
{{#ev:youtube|MIMtPstLhjU}}

=Das Thema für die Klausuren bei m.g. im SoSe 2013: Heidelberger Falttechniken=
[[Alles klar für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken]]
=Den Berg bezwingen SoSe 2013=
[[Wir fahren auf den Königsstuhl SoSe 2013]]<br />
[[Datei:Königsstuhl_00.jpg|300px]]
|}
-----

{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]
<br /><br />
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}}<br />
{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

==Hinweise==

* Zusätzliche Übung für Fragen zur Klausur am kommenden Mittwoch, 14.30-16.00 Uhr. Es werden nicht die Übungsaufgaben 12 besprochen. Ich werde hier noch den Raum nennen, so bald dieser feststeht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:55, 10. Jul. 2013 (CEST)

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_P
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=10
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 10-12 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-

| Mo.|| 12-14 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Di.|| 16-18 Uhr || A108 ||A. Zähringer

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A106 ||A. Zähringer

|-

| Do.|| 08-10 Uhr || A206 ||T. Wanielik

|-

| Fr.|| 14-16 Uhr || H009 ||J. Spannagel
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2013!

|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
* @IIIu13: Ihr Beweis (Aufgabe 11.09) passt nicht. Wir gehen davon aus, das <math>P</math> zu den Schenkeln von <math>\alpha= \angle ASB</math> ein und denselben Abstand hat. Das bedeutet nicht, dass <math>\overline{PA} \tilde= \overline{PB}</math> gilt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 11. Jul. 2013 (CEST)
* noch mal zum Üben: [[Haus der Vierecke]]
* Den Berg bezwingen SoSe 2013: [[Wir fahren auf den Königsstuhl SoSe 2013]]. Schön, drei Interessierende haben sich angemeldet, wir werden also fahren. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:31, 4. Jul. 2013 (CEST)
* Ein Thema für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken!<br /> [[Alles klar für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken]]
* Serie 10, die letzten beiden Aufgaben: Schlagen Sie zwei Fliegen mit einer Klappe und testen Sie die Winkelkreuz App in der Flashversion: [[Winkelkreuz Flash Testversion]]

==Newsticker==

<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_S
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=12
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 10-12 Uhr ||H001 || Gieding
|}

====Übungen====

{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 14:00 - 16:00 || H002 ||Gieding
|-
| Donnerstag || 10:00 - 12:00 || H009 ||Jäckle
|}

====Tutorium/Übung====

{| class="wikitable"
|-
| Donnerstag || 12:00 - 14:00 || A106 || Gieding/<br /> Montenegro Cruz
|-
| Freitag || 08:00 - 10:00 || A106 || Schneider

|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Klausuren (alte und neue Prüfungsordnung) werden am 20.0.7 um 10 Uhr geschrieben. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:33, 30. Jun. 2013 (CEST)<br />
Am 17.07.13 findet in H002 ab 16 Uhr ein "Geometrie-Intesiv"-Treffen statt. Bringt eure Fragen mit (schreibt diese also vorher auf und macht euch klar, wo es noch Unklarheiten gibt) und wir besprechen diese entweder im Plenum oder in Kleingruppen.
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
*Robben23 hat sich Gedanken zum Thalessatz gemacht. Diskutieren Sie mit: [[Satzfindung vom Satz des Thales]]
*[[Findung des Satzes von Pythagoras]]

==Neu==
<dpl>
namespace=Issue
category=Didaktik_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 12-14 Uhr ||H002 || Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2013--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:57, 8. Apr. 2013 (CEST)<br />
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Elementargeometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>
</div>
|}

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Linalg
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=5
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>
</div>
|}

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Vektorräume 2012 13

2012-12-03T12:39:46Z

Andreas:

=Definition des Begriff des Vektorraums=

Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung

<math>+: V \times V \to V</math>, <math>(v,v)\mapsto v+v</math>

und der äußeren Verknüpfung

<math> {\cdot}: \mathbb{R} \times V \to V</math>, <math>(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v</math>

heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

A1: Für beliebige <math>u,v \in V</math> gilt <math>u+v=v+u</math> (Kommuntativität der Addition).

A2: Für beliebige <math>u,v.w \in V</math> gilt <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>. (Assoziativität der Addition)

A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u\cdot e = e\cdot u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)

A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e</math>

S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>.

S2: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u)</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

S3: Für beliebige math>u,v \in V</math> und beliebige <math>\lambda \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v </math> (1.Distributivgesetz)

S4: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u</math> (2.Distributivgesetz)

=Bemerkung:=

Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass <math>(V, +)</math> eine Abelsche Gruppe bildet.

(Quelle: Filler: Elementare ''Lineare Algebra''. Spektrum Akademischer Verlag)


[[Kategorie:Linalg]]

Datei:Übung 12 Lösungen.pdf

2012-07-22T07:47:03Z

Andreas: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Übung Aufgaben 12 Lösungen (SoSe 12)

2012-07-22T07:45:17Z

Andreas: Die Seite wurde neu angelegt: „Media:Übung_12_Lösungen.pdf“

[[Media:Übung_12_Lösungen.pdf]]

Auftrag der Woche SoSe 12, Quiz der Woche SoSe 12, Übungsaufgaben SoSe 12 etc. Sek

2012-07-22T07:44:39Z

Andreas: /* Woche 12 */

'''Bitte bereiten Sie die Aufgaben alleine und in Kleingruppenarbeit vor. Die Besprechung findet in den Übungsgruppen statt.'''<br />
Im {{pdf|Offener Matheraum.pdf|Offenen Matheraum}} können Sie die Übungen gemeinsam vorbereiten.

=== Woche 0===
16.04.12 bis 20.04.12

*[[Übung_Aufgaben_0 (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_0 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgabe_0_Lösungen (SoSe_12)]]

=== Woche 1===
23.04.12 bis 27.04.12

*[[Auftrag der Woche 1 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_1 (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_1_Lösungen (SoSe_12)]]

=== Woche 2===
30.04.12 bis 04.05.12

*[[Übung_Aufgaben_2_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_2_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_2_S (SoSe_12)]]
*[[Quiz_der_Woche_2 (SoSe_12)]]

=== Woche 3===
07.05.12 bis 11.05.12

*[[Übung_Aufgaben_3_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_3_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_3_S (SoSe_12)]]

=== Woche 4===
14.05.12 bis 18.05.12

*[[Übung_Aufgaben_4_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_4_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_4_S (SoSe_12)]]

=== Woche 5===
21.05.12 bis 25.05.12

* [[Übung_Aufgaben_5_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_5_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_5_S (SoSe_12)]]

===Exkursionswoche===
Nutzen Sie die Zeit, um zu wiederholen und eventuelle Lücken z.B. mithilfe des Geowikis zu schließen. Sie finden hier jede Menge Übungsmöglichkeiten!

=== Woche 6===
04.06.12 bis 08.06.12

* [[Übung_Aufgaben_6_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_6_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_6_S (SoSe_12)]]

=== Woche 7===
11.06.12 bis 15.06.12

* [[Übung_Aufgaben_7_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_7_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_7_S (SoSe_12)]]

=== Woche 8===
18.06.12 bis 22.06.12

* [[Infos zur Übung_8_S (SoSe_12)]]
*{{pdf|Probeklausurfinal.pdf| Probeklausur_SoSe12}}
*[[Probeklausur_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_8_S (SoSe_12)]]

=== Woche 9===
25.06.12 bis 29.06.12

* [[Übung_Aufgaben_9_S (SoSe_12)]]
* [[Übung_Aufgaben_9_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_9_S (SoSe_12)]]

=== Woche 10===
02.07.12 bis 06.07.12

* [[Übung_Aufgaben_10_S (SoSe_12)]]
* [[Übung_Aufgaben_10_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_10_S (SoSe_12)]]

=== Woche 11===
09.07.12 bis 13.07.12

* [[Übung_Aufgaben_11_S (SoSe_12)]]
* [[Übung_Aufgaben_11_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Bierkasten-/Proseccobeweis (SoSe_12)]]

=== Woche 12===
15.07.12 bis 19.07.12

* [[Übung_Aufgaben_12_S (SoSe_12)]]
* [[Übung_Aufgaben_12_Lösungen (SoSe_12)]]

Datei:Lösung 11.pdf

2012-07-19T14:04:24Z

Andreas: hat eine neue Version von „Datei:Lösung 11.pdf“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Datei:Lösung 11.pdf

2012-07-19T14:01:05Z

Andreas: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Übung Aufgaben 11 Lösungen (SoSe 12)

2012-07-19T14:00:49Z

Andreas: Die Seite wurde neu angelegt: „Media:Lösung_11.pdf“

[[Media:Lösung_11.pdf]]

Übung Aufgaben 9 Lösungen (SoSe 12)

2012-07-19T11:01:35Z

Andreas:

[[Media:Übung_9_Lösungen.pdf]]

Datei:Übung 9 Lösungen.pdf

2012-07-19T11:00:50Z

Andreas: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Übung Aufgaben 9 Lösungen (SoSe 12)

2012-07-19T11:00:21Z

Andreas: Die Seite wurde neu angelegt: „Media:Übung_9_Lösungen“

[[Media:Übung_9_Lösungen]]

Auftrag der Woche SoSe 12, Quiz der Woche SoSe 12, Übungsaufgaben SoSe 12 etc. Sek

2012-07-19T10:59:46Z

Andreas: /* Woche 9 */

Hauptseite

2012-07-19T08:05:25Z

Andreas: /* Übungen */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
-----
{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2012 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''

*Spezialveranstaltung: [[Selbstverteidigung und mentales Training]]
*Die Spezialveranstaltung ''Selbstverteidigung und mentales Training'' ist für dieses Semester abgeschlossen. An den letzten beiden Montagen des Semesters finden spezielle Übungen zur Klausurvorbereitung statt: [[Übungen_zur_Klausurvorbereitung_SS_12]]
*Die kleine Kolumne: [[Marx, Engels und Bildzeitungsbeweise]]
*[[Körpermodelle]] (Flash-Seminar, Sommersemester 2012)
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Flashz/Koerper/IkosaederCS3.swf" width="125" height="75" frameborder="0"></iframe>
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
==Klausurvorbereitung==
[[Datei:Wk 00 0002 Kopie.png|300px]]<br />
Diskutieren Sie hier:

*[[Winkelkreuz]]<br /> und hier:
*[[Haus der Vierecke aus der Sicht des Heidelberger Winkelkreuzes]]<br /><br />
|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

==Semesterabschlussgrillen==

[[Datei:Grillen_01.jpg|200px]]<br />
*Nach der Klausur: [[Semesterabschlussgrillen Sommersemester 2012 mit Sceptor]]

|}
</div>
|}
|}
-----
[[Kategorie:Einführung_P]]

{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
*Hier ein sehr schönes [[Übungsblatt Halbgeraden|Übungsblatt]] zum Thema Halbgeraden aus der Sekundarstufe!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:20, 29. Mai 2012 (CEST)<br />

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_P
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-
| Mo.|| 08-10 Uhr || A206 ||Henrich
|-
| Mo.|| 16-18 Uhr || A108 ||Hucke
|-
| Di.||12-14 Uhr || A106||Zähringer
|-
| Do.|| 10-12 Uhr || A206 ||Strauß
|-
| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||Schulte

|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe]]

==Hinweise==
*Der Ausfall der Übung (19.07.) von Herrn Sharma wird hiermit zurückgenommen:<br />
::Liebe Studierende, da wir in der absolut heißen Phase der Klausurvorbereitung sind, werde ich die Übung von Herrn Sharma übernehmen. Also Kommando zurück, die Übung findet statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:03, 16. Jul. 2012 (CEST)
*Wichtig zur Klausurvorbereitung: [[Winkelkreuz]]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:57, 12. Jul. 2012 (CEST)
*bzw. [[Haus der Vierecke aus der Sicht des Heidelberger Winkelkreuzes]]
*Test 3 in obiger Datei
*Test 2: [[Bin ich für die Klausur fit_Teil_2? SS12]]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:56, 14. Jul. 2012 (CEST)
*Test 1: [[Bin ich für die Klausur fit? SS12]]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:25, 8. Jul. 2012 (CEST)
*ein offizieller [[Spickzettel]] für die Klausur--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:21, 8. Jul. 2012 (CEST)

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_S
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=12
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Donnerstag || 08-10 Uhr ||H001 || Buchner/Gieding
|}

====Übungen====
{{Schrift_orange|ACHTUNG:}} <s>am Donnerstag den 19. Juli fällt meine Übung (Ricky Sharma) krankheitsbedingt leider aus. Bitte verteilen sie sich auf die anderen Übungsgruppen.</s> --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:30, 14. Jul. 2012 (CEST)<br /><br />
Liebe Studierende, da wir in der absolut heißen Phase der Klausurvorbereitung sind, werde ich die Übung von Herrn Sharma übernehmen. Also Kommando zurück, die Übung findet statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:03, 16. Jul. 2012 (CEST)<br />
Ich werde anbieten, dass man heute schon ab 15 Uhr mit Fragen zu mir kommen kann. Ich werde vor oder in A106 sein, wo dann auch die Übung ganz normal ab 16 Uhr stattfinden wird. Außerdem können wir bestimmt auch noch ein bischen überziehen, falls es noch weiter Fragen gibt. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:05, 19. Jul. 2012 (CEST)

{| class="wikitable"
|-
| Dienstag || 16:00 - 18:00 || A106 ||Gaß
|-
| Mittwoch ||16:00 - 18:00 || {{Schrift_orange|H002}}||Heckl || [[WIKI-Übung-Heckl]]
|-
| Donnerstag|| 10:00 - 12:00 || A106 ||Sharma
|-
| Donnerstag|| 16:00 - 18:00 || A106 ||Jäckle
|-
| Freitag|| 14:00 - 16:00 || A206 ||Bode
|}

====Zusatzübung====
(Übung mit Convertibles)
{| class="wikitable"
|-

| Freitag|| 12:00 - 14:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Bitte bereiten Sie wöchentlich die Übungsaufgaben vor und besuchen Sie eine der Übungsgruppen.<br />
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!<br />

|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Neu==
<dpl>
namespace=Issue
category=Didaktik_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

|}
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag|| 10:00 - 12:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

* Wann findet eigentlich die Klausur statt?
am 20.07. 2012. 10-12UHR
|}
</div>
|}
-----
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
*[[Materialien/Ideen/Fragen/Diskussionen aus der Prüfungsvorbereitung SoSe2012]]
|}
==Hinweise==

neuer Termin:<br />
{{Schrift_grün|'''Mittwochs, 12:00 - 14:00 Uhr - Raum: A236 ---[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:31, 21. Jun. 2012 (CEST)'''}}

*[[Übungsveranstaltung Elementargeometrie 2012]]
*[[Diskussion Termin SoSe2012]]
*[http://www.yourfirm.de/s/?o=score&switch=S&name=&plz=&dist=50&x=67&y=17&Dein_Studium=18 Stellenangebote für Mathematiker]

==Newsticker==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Elementargeometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>
</div>

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |
====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten. Bei Bedarf finden nach Absprache mit mir Ende des Sommersemesters vier Übungen zur Vorbereitung auf die Geometrieaufgaben der Staatsexamensklausur statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:22, 10. Apr. 2012 (CEST)

|}
</div>
|}



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Lösung von Aufg. 11.3 S

2012-07-16T16:14:44Z

Andreas:

== Aufgabe 11.3 ==
Beweisen Sie:<br />
<u>Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz</u><br />
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
<br />

[[Kategorie:Einführung_S]]
'''<u>Lösung RitterSport:</u>'''<br/>
<document>RitterSport_IMG_0002.pdf</document><br/>
Die Betragsstriche im roten Kästchen habe ich vergessen.<br/>
Mit Begründungen bin ich sehr vorsichtig umgegangen :).
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 13:15, 10. Jul. 2012 (CEST)<br />
*Also die Begründungen sollten schon dazu. Die Beweisidee sieht gut aus. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:46, 16. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 11.3 S

2012-07-16T09:46:29Z

Andreas:

== Aufgabe 11.3 ==
Beweisen Sie:<br />
<u>Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz</u><br />
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
<br />

[[Kategorie:Einführung_S]]
'''<u>Lösung RitterSport:</u>'''<br/>
<document>RitterSport_IMG_0002.pdf</document><br/>
Die Betragsstriche im roten Kästchen habe ich vergessen.<br/>
Mit Begründungen bin ich sehr vorsichtig umgegangen :).
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 13:15, 10. Jul. 2012 (CEST)<br />
*Also die Begründungen sollten schon dazu. Die Beweisidee finde sieht gut aus. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:46, 16. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 11.2 S

2012-07-16T09:42:45Z

Andreas:

== Aufgabe 11.2 ==
Beweisen Sie:<br />
<u>Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz</u><br />
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.<br />

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:<br />
[[Datei:Übung 11.2.png]]<br />
Voraussetzung: Dreieck (<math>\overline{ABC}</math> )<br />
Behauptung: mindestens 2 Innenwinkel sind spitze Winkel (Größe: kleiner 90)<br />
Annahme: genau 1 Innenwinkel ist ein spitzer Winkel<br />
oBdA.: <math>\left| \angle ABC \right| = \left| \angle BAC \right| = 90</math>

Nach dem "Schwachen Außenwinkelsatz" gilt:
<math>\left| \beta' \right| > \left| \angle BAC \right| und \left| \beta' \right| > \left| \angle ACB \right|</math>.
<br />
Da <math>\beta'</math> der NW von <math>\angle ABC</math> ist und nach dem Supplementaxiom und Def supplementär gilt:<br />
NW_1+NW_2= 180 ,und daraus nach Rechnen in R folgt, dass <math>\left| \beta' \right|</math>= <math>\left| \angle ABC \right|</math> = 90 ist,<br />
kann <math>\left| \beta' \right|</math> nicht größer als <math>\left| \angle BAC \right|</math> sein (,da <math>\left| \angle ABC \right| = \left| \angle BAC \right| = 90</math>) ..<br />Widerspruch zur Annahme. Behauptung stimmt. qed<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:04, 5. Jul. 2012 (CEST)<br />
*Also die Behauptung stimmt so nicht. Ich glaube, dass hier Annahme und Behauptung vertauscht/verwechselt wurde. Der Beweis sollte noch einmal überarbeitet werden, da du eigentlich zu keinem Widerspruch zur Annahme, sondern zu einem Widerspruch zum schwachen Außenwinkelsatz kommst.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:11, 10. Jul. 2012 (CEST)<br />Ja stimmt, Behauptung und Annahme wurden vertauscht. Habe es jetzt geändert. Müsste doch jetzt passen, wenn ich annehme, dass 2 Innenwinkel rechte Winkel sind und dies zum Widerspruch führe, oder? --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:15, 10. Jul. 2012 (CEST)<br />
*Ich würde sagen, dass es fast passt. Was wäre denn, wenn die Winkel aus deiner Annahme größer 90 sind? Deine Annahme ist noch ein bisschen zu speziell. Besser wäre, wenn man annimmt, dass zwei Winkel <math>\ge</math> 90 sind. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:42, 16. Jul. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]<br/>
<br/>
Weitere Lösung:<br/>
<document>RitterSport_IMG_0001.pdf</document><br/>
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 13:13, 10. Jul. 2012 (CEST)

Auftrag der Woche SoSe 12, Quiz der Woche SoSe 12, Übungsaufgaben SoSe 12 etc. Sek

2012-07-16T09:26:19Z

Andreas: /* Woche 11 */

'''Bitte bereiten Sie die Aufgaben alleine und in Kleingruppenarbeit vor. Die Besprechung findet in den Übungsgruppen statt.'''<br />
Im {{pdf|Offener Matheraum.pdf|Offenen Matheraum}} können Sie die Übungen gemeinsam vorbereiten.

=== Woche 0===
16.04.12 bis 20.04.12

*[[Übung_Aufgaben_0 (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_0 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgabe_0_Lösungen (SoSe_12)]]

=== Woche 1===
23.04.12 bis 27.04.12

*[[Auftrag der Woche 1 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_1 (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_1_Lösungen (SoSe_12)]]

=== Woche 2===
30.04.12 bis 04.05.12

*[[Übung_Aufgaben_2_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_2_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_2_S (SoSe_12)]]
*[[Quiz_der_Woche_2 (SoSe_12)]]

=== Woche 3===
07.05.12 bis 11.05.12

*[[Übung_Aufgaben_3_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_3_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_3_S (SoSe_12)]]

=== Woche 4===
14.05.12 bis 18.05.12

*[[Übung_Aufgaben_4_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_4_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_4_S (SoSe_12)]]

=== Woche 5===
21.05.12 bis 25.05.12

* [[Übung_Aufgaben_5_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_5_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_5_S (SoSe_12)]]

===Exkursionswoche===
Nutzen Sie die Zeit, um zu wiederholen und eventuelle Lücken z.B. mithilfe des Geowikis zu schließen. Sie finden hier jede Menge Übungsmöglichkeiten!

=== Woche 6===
04.06.12 bis 08.06.12

* [[Übung_Aufgaben_6_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_6_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_6_S (SoSe_12)]]

=== Woche 7===
11.06.12 bis 15.06.12

* [[Übung_Aufgaben_7_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_7_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_7_S (SoSe_12)]]

=== Woche 8===
18.06.12 bis 22.06.12

* [[Infos zur Übung_8_S (SoSe_12)]]
*{{pdf|Probeklausurfinal.pdf| Probeklausur_SoSe12}}
*[[Probeklausur_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_8_S (SoSe_12)]]

=== Woche 9===
25.06.12 bis 29.06.12

* [[Übung_Aufgaben_9_S (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_9_S (SoSe_12)]]

=== Woche 10===
02.07.12 bis 06.07.12

* [[Übung_Aufgaben_10_S (SoSe_12)]]
* [[Übung_Aufgaben_10_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_10_S (SoSe_12)]]

=== Woche 11===
09.07.12 bis 13.07.12

* [[Übung_Aufgaben_11_S (SoSe_12)]]
* [[Übung_Aufgaben_11_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Bierkasten-/Proseccobeweis (SoSe_12)]]

=== Woche 12===
15.07.12 bis 19.07.12

* [[Übung_Aufgaben_12_S (SoSe_12)]]

Datei:Übung 10 Lösungen.pdf

2012-07-16T09:23:26Z

Andreas: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Übung Aufgaben 10 Lösungen (SoSe 12)

2012-07-16T09:23:04Z

Andreas: Die Seite wurde neu angelegt: „Media:Übung_10_Lösungen.pdf“

[[Media:Übung_10_Lösungen.pdf]]

Auftrag der Woche SoSe 12, Quiz der Woche SoSe 12, Übungsaufgaben SoSe 12 etc. Sek

2012-07-16T09:22:02Z

Andreas: /* Woche 10 */

'''Bitte bereiten Sie die Aufgaben alleine und in Kleingruppenarbeit vor. Die Besprechung findet in den Übungsgruppen statt.'''<br />
Im {{pdf|Offener Matheraum.pdf|Offenen Matheraum}} können Sie die Übungen gemeinsam vorbereiten.

=== Woche 0===
16.04.12 bis 20.04.12

*[[Übung_Aufgaben_0 (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_0 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgabe_0_Lösungen (SoSe_12)]]

=== Woche 1===
23.04.12 bis 27.04.12

*[[Auftrag der Woche 1 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_1 (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_1_Lösungen (SoSe_12)]]

=== Woche 2===
30.04.12 bis 04.05.12

*[[Übung_Aufgaben_2_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_2_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_2_S (SoSe_12)]]
*[[Quiz_der_Woche_2 (SoSe_12)]]

=== Woche 3===
07.05.12 bis 11.05.12

*[[Übung_Aufgaben_3_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_3_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_3_S (SoSe_12)]]

=== Woche 4===
14.05.12 bis 18.05.12

*[[Übung_Aufgaben_4_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_4_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_4_S (SoSe_12)]]

=== Woche 5===
21.05.12 bis 25.05.12

* [[Übung_Aufgaben_5_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_5_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_5_S (SoSe_12)]]

===Exkursionswoche===
Nutzen Sie die Zeit, um zu wiederholen und eventuelle Lücken z.B. mithilfe des Geowikis zu schließen. Sie finden hier jede Menge Übungsmöglichkeiten!

=== Woche 6===
04.06.12 bis 08.06.12

* [[Übung_Aufgaben_6_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_6_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_6_S (SoSe_12)]]

=== Woche 7===
11.06.12 bis 15.06.12

* [[Übung_Aufgaben_7_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_7_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_7_S (SoSe_12)]]

=== Woche 8===
18.06.12 bis 22.06.12

* [[Infos zur Übung_8_S (SoSe_12)]]
*{{pdf|Probeklausurfinal.pdf| Probeklausur_SoSe12}}
*[[Probeklausur_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_8_S (SoSe_12)]]

=== Woche 9===
25.06.12 bis 29.06.12

* [[Übung_Aufgaben_9_S (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_9_S (SoSe_12)]]

=== Woche 10===
02.07.12 bis 06.07.12

* [[Übung_Aufgaben_10_S (SoSe_12)]]
* [[Übung_Aufgaben_10_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_10_S (SoSe_12)]]

=== Woche 11===
09.07.12 bis 13.07.12

* [[Übung_Aufgaben_11_S (SoSe_12)]]
* [[Bierkasten-/Proseccobeweis (SoSe_12)]]

=== Woche 12===
15.07.12 bis 19.07.12

* [[Übung_Aufgaben_12_S (SoSe_12)]]

Auftrag der Woche SoSe 12, Quiz der Woche SoSe 12, Übungsaufgaben SoSe 12 etc. Sek

2012-07-16T09:21:48Z

Andreas: /* Woche 10 */

'''Bitte bereiten Sie die Aufgaben alleine und in Kleingruppenarbeit vor. Die Besprechung findet in den Übungsgruppen statt.'''<br />
Im {{pdf|Offener Matheraum.pdf|Offenen Matheraum}} können Sie die Übungen gemeinsam vorbereiten.

=== Woche 0===
16.04.12 bis 20.04.12

*[[Übung_Aufgaben_0 (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_0 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgabe_0_Lösungen (SoSe_12)]]

=== Woche 1===
23.04.12 bis 27.04.12

*[[Auftrag der Woche 1 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1 (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_1 (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_1_Lösungen (SoSe_12)]]

=== Woche 2===
30.04.12 bis 04.05.12

*[[Übung_Aufgaben_2_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_2_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_2_S (SoSe_12)]]
*[[Quiz_der_Woche_2 (SoSe_12)]]

=== Woche 3===
07.05.12 bis 11.05.12

*[[Übung_Aufgaben_3_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_3_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_3_S (SoSe_12)]]

=== Woche 4===
14.05.12 bis 18.05.12

*[[Übung_Aufgaben_4_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_4_Lösungen (SoSe_12)]]
*[[Zusatzaufgaben_4_S (SoSe_12)]]

=== Woche 5===
21.05.12 bis 25.05.12

* [[Übung_Aufgaben_5_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_5_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_5_S (SoSe_12)]]

===Exkursionswoche===
Nutzen Sie die Zeit, um zu wiederholen und eventuelle Lücken z.B. mithilfe des Geowikis zu schließen. Sie finden hier jede Menge Übungsmöglichkeiten!

=== Woche 6===
04.06.12 bis 08.06.12

* [[Übung_Aufgaben_6_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_6_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_6_S (SoSe_12)]]

=== Woche 7===
11.06.12 bis 15.06.12

* [[Übung_Aufgaben_7_S (SoSe_12)]]
*[[Übung_Aufgaben_7_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_7_S (SoSe_12)]]

=== Woche 8===
18.06.12 bis 22.06.12

* [[Infos zur Übung_8_S (SoSe_12)]]
*{{pdf|Probeklausurfinal.pdf| Probeklausur_SoSe12}}
*[[Probeklausur_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_8_S (SoSe_12)]]

=== Woche 9===
25.06.12 bis 29.06.12

* [[Übung_Aufgaben_9_S (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_9_S (SoSe_12)]]

=== Woche 10===
02.07.12 bis 06.07.12

* [[Übung_Aufgaben_10_S (SoSe_12)]]
* [[Übung_Aufgaben_7_Lösungen (SoSe_12)]]
* [[Zusatzaufgaben_10_S (SoSe_12)]]

=== Woche 11===
09.07.12 bis 13.07.12

* [[Übung_Aufgaben_11_S (SoSe_12)]]
* [[Bierkasten-/Proseccobeweis (SoSe_12)]]

=== Woche 12===
15.07.12 bis 19.07.12

* [[Übung_Aufgaben_12_S (SoSe_12)]]

Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe

2012-07-12T10:22:44Z

Andreas: /* Wöchentlich */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

Hier finden Sie die Lehrmaterialien für die Lehrveranstaltung Einführung in die Geometrie
=Wöchentlich=
* [[Auftrag der Woche_SoSe_12, Quiz der Woche_SoSe_12, Übungsaufgaben_SoSe_12 etc. Sek‎]]

--> Könnten die Tutoren bitte die Lösungen zu den Übungsaufgaben (evtl. auch zu den Zusatzaufgaben) einstellen?!

--> Gibt es noch eine Zusammenfassung der schon bewiesenen Sätze, die wir zum Beweisen verweden können? Das ganze ist bisher ein bisschen durcheinander, außerdem steht im Script des öfteren "probieren sie es selbst..."

--> Die Lösungen für die Zusatzaufgaben werden ja von den Studenten selbst gemacht und dann, wenn sie von den Tutoren korrigiert sind, ins Wiki gestellt. Die meisten Zusatzaufgaben sind aber schon im Wiki bearbeitet worden. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:22, 12. Jul. 2012 (CEST)

=Materialien für das Studium=
===Allgemeines===
* [[Allgemeine Aspekte S|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung) ]]
* [[Informationen für Studierende "neues Lehramt" mit Hauptfach Matehmatik]]

===Mengenlehre===
* [[Skript_Mengenlehre]] [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]

===Definieren===
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_12_S]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* Arbeitsblätter und mehr: [[Definieren_S_SS12]]
===Elementare Grundlagen des Beweisens===
* [[Beweisen_SoSe_12_S]]

===Axiomatische Geometrie===
*[[Alle Axiome im Überblick_SoSe12]]

====Inzidenz oder was sind Punkte und Geraden====
* [[Grundbegriffe und Axiome der Inzidenz in der Ebene_SoSe12]]
* [[Inzidenz im Raum SoSe_12)]]
* [[Inzidenz und Axiomatik]]<br />Zum besseren Verständnis alles ein wenig zusammenhängender als PDF. Man merkt, dass ich auch mal Deutschlehrer werden wollte. Ich hoffe es hilft

====Abstandsaxiome oder was sind Strecken und Halbgeraden?====
* [[Abstand, Anordnung, Strecke_SoSe12]]
=====Anordnung Teil 1=====
* [[Mittelpunkt einer Strecke und Axiom vom Lineal_SoSe_12]]

=====Anordnung Teil 2=====
*[[Halbebenen und das Axiom von Pasch SS_2012]]

====Winkel und Winkelmessung====
=====Begriff des Winkels=====
*[[Winkel SS_2012]]
=====Axiome der Winkelmessung=====
*[[Winkelmessung SS_2012]]
=====Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende=====
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe_12)]]

====Dreieckskongruenz====
*[[Dreieckskongruenz (SoSe_12)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_12)]]

====Der schwache Außenwinkelsatz und letzte Sätze in der absoluten Geometrie====
*[[Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe_12)]]
*[[Der Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck (SoSe_12)]]
*[[Das Lot (SoSe_12)]]
*[[Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe_12)]]
*[[Existenz von Parallelen (SoSe_12)]]

====Das Euklidische Parallelenaxiom und Sätze der euklidischen Geometrie====
*[[Das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe_12)]]
*[[Sätze über Dreiecke (SoSe_12)]]
==== Sätze am Kreis====
=====wichtige Begriffe=====
[[Peripheriewinkel_SS_12]]
<br />

=Üben... Üben... Üben...=
===Vorbereitung auf die Klausur SS12===
[[Winkelkreuz]]
===Alte Übungen===
*[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]und Wintersemester 2011/12
*[[Die Teilprüfungsklausuren der letzten Semester]]

===Aktuelle Materialien Sommersemester 2012===
====Definieren und Beweisen====
====Definieren====
*[[Definieren des Begriffs Nebenwinkel]] (Classroompresenterübung vom 20. April 2012)
*[[Kontrollfragen zum Definieren (I)]]
*[[Spezielle Definitionen]] (Definitionen und ihre Interpretation nicht nur aus der Mathematik)
*[[tägliche Übung 10. Mai 2012]]
*[[Definieren der Relation "Parallel" auf der Menge aller Geraden]] (Classroompresenterübung vom 11. Mai 1012)
*[[tägliche Übung 15. Mai 2012: Parallelität von Geraden]]
*[[Übungsblatt Halbgeraden]] aus der Vorlesung vom 24.05.12

===Sätze und Beweise===
====Implikationen====
*[[Einstieg Implikationen]] (Arbeitsblätter aus der Vorlesung vom 26.04.)
*[[Wiederholung und Ergänzung Implikationen]] (aus der Vorlesung vom 03.05.)

====notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend====
*[[notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend an ausgewählten Fragen zum Haus der Vierecke]] (Classroompresenterübung vom 27. April 2012)
====Implikation, Umkehrung, Kontraposition====
*[[Basiswinkelsatz]] (Classroompresenterübung vom 04. Mai 2012)
====wichtige Sätze====
Wichtig heißt auch wichtig bezüglich der ATP.
*[[Ein Klassiker für die ATP: Von drei paarweise verschiedenen kollinearen Punkten liegt genau einer zwischen den beiden anderen.]] (Classroompresenterübung vom 18. Mai 2012)
====Halbgeraden und Axiom vom Lineal====
[[Halbgeraden, Streckenabtragen, Übungsaufgabe 5.4]] (Classroompresenterübung vom 08. Juni 2012)

=Videos=
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 8.3 S

2012-07-12T10:17:14Z

Andreas:

z.z. offene HE sind konvexe Punktmengen

Vor: offene HE gP<sup>+</sup>

Beh: gP<sup>+</sup> ist konvex

direkter Beweis:

(1) Q sei ein beliebiger weiterer Pkt, der mit P in der offenen Halbebene gP<sup>+</sup> liegt

(2) Es gilt dann: Strecke QP geschnitten mit g = {}; Begründung: Def. Halbebene

(3) dann muss folglich für die Punktmenge R Element der Strecke QP gelten, dass diese mit g geschnitten auch = {}; Begründung: (2)

(4) Alle Punkte auf der Strecke QP gehören zur offenen Halbebene gP<sup>+</sup>; Begründung: (3)

(5) gP<sup>+</sup> ist konvex; Begrüundung: (4)

q.e.d.

Es müssten jedoch noch weitere 2 Fälle betrachtet werden:

1. Dass die 2 Punkte A und B der Punktmenge auf der Trägergerade g liegen
-> Strecke AB liegt vollständig in g und gehört somit auch zur HE gP<sup>+</sup>.

2. Dass ein Punkt A auf der Trägergeraden g liegt und ein Punkt B jedoch in der offenen HE gP<sup>+</sup> liegt.
-> Hierzu teilen wir die Strecke AB in die Strecke AB ohne A und dem Punkt A auf.
Die Strecke AB ohne A hat keinen Schnittpunkt mit g und A gehört zu g und somit auch zur HE gP<sup>+</sup>--[[Benutzer:Sissy66|Sissy66]] 00:09, 18. Jun. 2012 (CEST)
<br /><br />
*Die Beweisidee ist gut. Ein paar Ungenauigkeiten wie z.B. in Schritt 3: Ist R nun eine Punktmenge? Dann muss man sagen, dass R Teilmenge von <math>\overline {QP}</math> ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:17, 12. Jul. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 8.3 S

2012-07-12T10:17:02Z

Andreas:

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2 S

2012-07-12T10:11:21Z

Andreas:

'''Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:'''<br />
Def. (Inneres eines Kreises):<br />
Es sei K ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r in einer Ebene E.<br />
Die Menge aller Punkte <math>P \in E</math>, für die gilt: <math>\left| PM \right| \le \left| r \right|</math>
nennt man Inneres eines Kreises.<br />
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 09:56, 16. Jun. 2012 (CEST)
<br />
Passt! --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:11, 12. Jul. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 8.1 S

2012-07-12T10:10:22Z

Andreas:

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:<br />
<br />
''' <math>\epsilon Q^{+}</math>''': Die Menge aller Punkte P, die zu einem Punkt <math>Q</math> bezüglich einer Ebene <math>\epsilon</math> auf derselben Seite liegen oder Element der Ebene <math>\epsilon</math> sind, heißt geschlossener Halbraum <math>\epsilon Q^{+}</math>.
<br />
''' <math>\epsilon Q^{-}</math>''': Die Menge aller Punkte P, die zu einem Punkt <math>Q</math> bezüglich einer Ebene <math>\epsilon</math> auf der anderen Seite liegen oder Element der Ebene <math>\epsilon</math> sind, heißt geschlossener Halbraum <math>\epsilon Q^{-}</math>.
<br />
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:56, 15. Jun. 2012 (CEST)<br />
*"Auf der selben Seite liegen" ist für jeden verständlich, aber nicht wirklich definiert. Ich empfehle, dass man sich noch einmal die Def. Halbebene anschaut und dann den Halbraum analog definiert (nur statt der Trägergeraden g dann eben die Trägerebene <math>\epsilon</math>) --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:10, 12. Jul. 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 7.3 S

2012-07-12T10:07:07Z

Andreas:

[[Datei:7.3.PNG]]<br />
Beweis folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 20:18, 12. Jun. 2012 (CEST)

Vorraussetzung: <math>\exists g; \exists A:A\in g;\exists O:O\in g; A\neq O</math> <br />
Behauptung: <math>\ OA^{+} \cap \ OA^{-} = \left\{ {O} \right\}</math><br />

Ich möchte zunächst zeigen welche Punkte zur Halbgeraden <math>\ OA^{+} bzw. OA^-</math> gehören:<br />
Schritt 1:<math>\ OA^{+}:= \left\{ {P|\operatorname(Zw) (O, P, A) \vee \operatorname(Zw) (O, A, P) } \right\} \cup \left\{ {O,A} \right\}</math> <br />
Schritt 2:<math>\ OA^{-} := \left\{ {P|\operatorname(Zw) (P, O, A) } \right\} \cup\left\{ {O} \right\}</math> <br />
Schritt 1 und 2 jeweils aufgrund der Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) <br />

Schritt 3: <math>OA^+ \cap OA^-=\left\{ {0} \right\}</math> aufgrund von (1) und (2)<br />

Ist dies schon ausreichend? Muss noch genau gezeigt werden, dass kein weiterer Punkt P in der Schnittmenge auftritt oder ist dies durch die Zwischenrelationen schon drin?<br />--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 16:53, 14. Jun. 2012 (CEST)<br />
*Ich würde das ganze indirekt machen und annehmen, dass <math>OA^+ \cap OA^- = \lbrace O,X \rbrace</math> gilt und das dann zum Widerspruch führen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:05, 12. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 7.3 S

2012-07-12T10:06:20Z

Andreas:

[[Datei:7.3.PNG]]<br />
Beweis folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 20:18, 12. Jun. 2012 (CEST)

Vorraussetzung: <math>\exists g; \exists A:A\in g;\exists O:O\in g; A\neq O</math> <br />
Behauptung: <math>\ OA^{+} \cap \ OA^{-} = \left\{ {O} \right\}</math><br />

Ich möchte zunächst zeigen welche Punkte zur Halbgeraden <math>\ OA^{+} bzw. OA^-</math> gehören:<br />
Schritt 1:<math>\ OA^{+}:= \left\{ {P|\operatorname(Zw) (O, P, A) \vee \operatorname(Zw) (O, A, P) } \right\} \cup \left\{ {O,A} \right\}</math> <br />
Schritt 2:<math>\ OA^{-} := \left\{ {P|\operatorname(Zw) (P, O, A) } \right\} \cup\left\{ {O} \right\}</math> <br />
Schritt 1 und 2 jeweils aufgrund der Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) <br />

Schritt 3: <math>OA^+ \cap OA^-=\left\{ {0} \right\}</math> aufgrund von (1) und (2)<br />

Ist dies schon ausreichend? Muss noch genau gezeigt werden, dass kein weiterer Punkt P in der Schnittmenge auftritt oder ist dies durch die Zwischenrelationen schon drin?<br />--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 16:53, 14. Jun. 2012 (CEST)<br />
*Ich würde das ganze indirekt machen und annehmen, dass <math>OA^+ \cap OA^- = \lbraceO,X\rbrace</math> gilt und das dann zum Widerspruch führen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:05, 12. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 7.3 S

2012-07-12T10:05:17Z

Andreas:

[[Datei:7.3.PNG]]<br />
Beweis folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 20:18, 12. Jun. 2012 (CEST)

Vorraussetzung: <math>\exists g; \exists A:A\in g;\exists O:O\in g; A\neq O</math> <br />
Behauptung: <math>\ OA^{+} \cap \ OA^{-} = \left\{ {O} \right\}</math><br />

Ich möchte zunächst zeigen welche Punkte zur Halbgeraden <math>\ OA^{+} bzw. OA^-</math> gehören:<br />
Schritt 1:<math>\ OA^{+}:= \left\{ {P|\operatorname(Zw) (O, P, A) \vee \operatorname(Zw) (O, A, P) } \right\} \cup \left\{ {O,A} \right\}</math> <br />
Schritt 2:<math>\ OA^{-} := \left\{ {P|\operatorname(Zw) (P, O, A) } \right\} \cup\left\{ {O} \right\}</math> <br />
Schritt 1 und 2 jeweils aufgrund der Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) <br />

Schritt 3: <math>OA^+ \cap OA^-=\left\{ {0} \right\}</math> aufgrund von (1) und (2)<br />

Ist dies schon ausreichend? Muss noch genau gezeigt werden, dass kein weiterer Punkt P in der Schnittmenge auftritt oder ist dies durch die Zwischenrelationen schon drin?<br />--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 16:53, 14. Jun. 2012 (CEST)<br />
*Ich würde das ganze indirekt machen und annehmen, dass <math>OA^+ \cap OA^- = {O,X}</math> gilt und das dann zum Widerspruch führen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:05, 12. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 6.3 S (SoSe 12)

2012-07-12T09:53:25Z

Andreas:

=== Zusatzaufgabe 6.3 ===

a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />
b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?<br />
::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />

[[Category:Einführung_S]]

'''Lösungsversuch 1''' <br />
a)<br />
1) Wenn zwei verschiedene Geraden g und h weder parallel sind, noch einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, dann sind sie windschief.<br />
2) Wenn eine Gerade g in einer Ebene E liegt und eine Gerade h diese Ebene E an einem Punkt schneidet, der nicht zu g gehört, dann sind g und h windschief zueinander.<br />
<br />
b) Ebenen sind entweder parallel zueinander oder sie schneiden sich.<br />
--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 20:50, 14. Jun. 2012 (CEST)<br />I

Ich würde bei 2) noch hinzufügen, dass die Gerade h (wie bei 1) ) auch nicht parallel oder identisch zur Geraden g sein darf..<br />
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:06, 14. Jun. 2012 (CEST)

Nach Kommentar von Tchu Tcha Tcha:<br />
2) Wenn eine Gerade g in einer Ebene E liegt und eine Gerade h mit dieser Ebene E "genau" einen Punkt gemeinsam hat, der nicht zu g gehört, dann sind g und h windschief zueinander.<br />

Habe ich die die Möglichkeit von <math>g || h</math> nicht dadurch ausgeschlossen, dass g in E liegt, h aber nicht in E liegt bzw. h die Ebene E in genau einem Punkt schneiden muss? Aber deine Anmerkung hat trotzdem zu einer kleinen Abänderung geführt. Dankeschön! <br />
--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 16:12, 15. Jun. 2012 (CEST)
<br />
Hmmm, ich habe mir überlegt, dass bei dieser Definition (windschief auf der Menge aller Geraden) 3 Eigenschaften ausgeschlossen sein müssen:<br />
# Identität (g<math>\equiv</math> h)
# Parallelität (<math>g || h</math>)
# Schnittpunkt ( <math>g \cap h</math>)<br />
In deiner 2ten Definition hast Du jetzt durch das "genau einen Punkt gemeinsam" die Identität g=h ausgeschlossen.<br />
Außerdem glaube ich auch, dass die Gerade h die Ebene E in einem Punkt schneiden muss, wenn sie nicht parallel zur Ebene ist.<br />
Schnittpunkt mit g ist auch ausgeschlossen ("..der nicht zu g gehört..")..<br />
Hoffe Du hast recht und die Lösung/Definition passt so ;-)<br />
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:20, 15. Jun. 2012 (CEST)<br />
*Die Def. (1) ist wohl die einfachste und die Def. (2) finde ich vom Gedanken her ganz gut. Mich stört nur, dass es heißt, dass g in E liegt und h mit E genau einen Schnittpunkt hat. Jetzt könnte doch sein, dass das für E gilt, es aber eine Ebene E<sub>0815</sub> gibt in der g liegt und die mehr als einen Schnittpunkt mit h hat. Ich würde das ganze daher "negativ" formulieren:<br />
Eine Gerade h ist windschief zu einer Geraden g, wenn es keine Ebene E gibt, für die gilt:<br />
*<math>g \subset E \ \wedge \ | \ h \cap E \ | \ \ge \ 2</math><br />
Das wäre mir jetzt dazu noch eingefallen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:52, 12. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 6.3 S (SoSe 12)

2012-07-12T09:52:44Z

Andreas:

=== Zusatzaufgabe 6.3 ===

a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />
b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?<br />
::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />

[[Category:Einführung_S]]

'''Lösungsversuch 1''' <br />
a)<br />
1) Wenn zwei verschiedene Geraden g und h weder parallel sind, noch einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, dann sind sie windschief.<br />
2) Wenn eine Gerade g in einer Ebene E liegt und eine Gerade h diese Ebene E an einem Punkt schneidet, der nicht zu g gehört, dann sind g und h windschief zueinander.<br />
<br />
b) Ebenen sind entweder parallel zueinander oder sie schneiden sich.<br />
--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 20:50, 14. Jun. 2012 (CEST)<br />I

Ich würde bei 2) noch hinzufügen, dass die Gerade h (wie bei 1) ) auch nicht parallel oder identisch zur Geraden g sein darf..<br />
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:06, 14. Jun. 2012 (CEST)

Nach Kommentar von Tchu Tcha Tcha:<br />
2) Wenn eine Gerade g in einer Ebene E liegt und eine Gerade h mit dieser Ebene E "genau" einen Punkt gemeinsam hat, der nicht zu g gehört, dann sind g und h windschief zueinander.<br />

Habe ich die die Möglichkeit von <math>g || h</math> nicht dadurch ausgeschlossen, dass g in E liegt, h aber nicht in E liegt bzw. h die Ebene E in genau einem Punkt schneiden muss? Aber deine Anmerkung hat trotzdem zu einer kleinen Abänderung geführt. Dankeschön! <br />
--[[Benutzer:Thommy|Thommy]] 16:12, 15. Jun. 2012 (CEST)
<br />
Hmmm, ich habe mir überlegt, dass bei dieser Definition (windschief auf der Menge aller Geraden) 3 Eigenschaften ausgeschlossen sein müssen:<br />
# Identität (g<math>\equiv</math> h)
# Parallelität (<math>g || h</math>)
# Schnittpunkt ( <math>g \cap h</math>)<br />
In deiner 2ten Definition hast Du jetzt durch das "genau einen Punkt gemeinsam" die Identität g=h ausgeschlossen.<br />
Außerdem glaube ich auch, dass die Gerade h die Ebene E in einem Punkt schneiden muss, wenn sie nicht parallel zur Ebene ist.<br />
Schnittpunkt mit g ist auch ausgeschlossen ("..der nicht zu g gehört..")..<br />
Hoffe Du hast recht und die Lösung/Definition passt so ;-)<br />
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:20, 15. Jun. 2012 (CEST)<br />
*Die Def. (1) ist wohl die einfachste und die Def. (2) finde ich vom Gedanken her ganz gut. Mich stört nur, dass es heißt, dass g in E liegt und h mit g genau einen Schnittpunkt hat. Jetzt könnte doch sein, dass das für E gilt, es aber eine Ebene E<sub>0815</sub> gibt in der g liegt und die mehr als einen Schnittpunkt mit h hat. Ich würde das ganze daher "negativ" formulieren:<br />
Eine Gerade h ist windschief zu einer Geraden g, wenn es keine Ebene E gibt, für die gilt:<br />
*<math>g \subset E \ \wedge \ | \ h \cap E \ | \ \ge \ 2</math><br />
Das wäre mir jetzt dazu noch eingefallen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:52, 12. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12)

2012-07-12T09:32:22Z

Andreas: /* Bemerkungen M.G. */

=== Zusatzaufgabe 6.1 ===

Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />

===Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut===

Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g<br/>
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.
{| class="wikitable"
!Schritt!!Warum darf ich den Schritt machen?
|-
| (1)Es existiert X,Y.X,Y Element g || I.2
|-
| (2)nkoll(X,Y,P) || (1), Vor.
|-
| (3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene || (2), I.4
|}
Durch Axiom I.4 wären Existenz ('''Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es''' genau '''eine Ebene'''...) und Eindeutigkeit (... '''genau eine Ebene'''...) bewiesen. <br/>
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)
===Bemerkungen M.G.===
Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte <math>X,Y,P</math> in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegen.

Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.(Meine Begründungen fallen etwas ausführlicher aus, weil viele Leser sicherlich die Axiome nicht im Kopf haben.)

{| class="wikitable"
!Nr. !!Schritt !! Warum darf ich den Schritt machen?
|-
| (1) || <math>\exist X, Y : X \in g \wedge Y \in g</math> || Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte.
|-
| (2) ||<math>\operatorname{nkoll} (X,Y,P)</math>||Nach Voraussetzung gehört <math>P</math> nicht zu <math>g</math>, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte <math>X</math> und <math>Y</math> jedoch zutrifft.
|-
| (3)|| <math>\exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon</math> || Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.
|-
| (4)|| <math>g \subset \varepsilon</math> || Axiom ...
|}
<br />
Bei Schritt (4) würde ich als Begründung das Axiom I.5 anwenden, welches besagt, dass "wenn 2 Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E". <br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:47, 9. Jul. 2012 (CEST)<br />
*Ja, dann passt der Beweis auch so. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:32, 12. Jul. 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12)

2012-07-12T09:32:01Z

Andreas: /* Bemerkungen M.G. */

=== Zusatzaufgabe 6.1 ===

Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />

===Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut===

Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g<br/>
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.
{| class="wikitable"
!Schritt!!Warum darf ich den Schritt machen?
|-
| (1)Es existiert X,Y.X,Y Element g || I.2
|-
| (2)nkoll(X,Y,P) || (1), Vor.
|-
| (3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene || (2), I.4
|}
Durch Axiom I.4 wären Existenz ('''Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es''' genau '''eine Ebene'''...) und Eindeutigkeit (... '''genau eine Ebene'''...) bewiesen. <br/>
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)
===Bemerkungen M.G.===
Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte <math>X,Y,P</math> in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegen.

Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.(Meine Begründungen fallen etwas ausführlicher aus, weil viele Leser sicherlich die Axiome nicht im Kopf haben.)

{| class="wikitable"
!Nr. !!Schritt !! Warum darf ich den Schritt machen?
|-
| (1) || <math>\exist X, Y : X \in g \wedge Y \in g</math> || Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte.
|-
| (2) ||<math>\operatorname{nkoll} (X,Y,P)</math>||Nach Voraussetzung gehört <math>P</math> nicht zu <math>g</math>, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte <math>X</math> und <math>Y</math> jedoch zutrifft.
|-
| (3)|| <math>\exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon</math> || Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.
|-
| (4)|| <math>g \subset \varepsilon</math> || Axiom ...
|}
<br />
Bei Schritt (4) würde ich als Begründung das Axiom I.5 anwenden, welches besagt, dass "wenn 2 Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E". <br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:47, 9. Jul. 2012 (CEST)<br />
*Ja, dann passt der Beseis auch so. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:32, 12. Jul. 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-07-12T09:27:10Z

Andreas:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)<br />
*Diesen Beweis halte ich für nicht richtig. In Schritt 2 wird ja direkt gesagt, dass A,B,C nicht auf einer Geraden liegen... aber was ist mit dem Punkt D. Gibt es dann eine Gerade die z.B. A,B,D enthält? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:23, 12. Jul. 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists </math> g: A,B,C,D <math>\in </math> g; (2)

(4) <math>\exists</math>P: nkoll(A,B,P); Ax I/3

(5) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D,P <math>\in</math> Ebene E; Ax. I/4, Ax. I/5, (4), (3)

(6) komp(A,B,C,D)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
*Von der Idee her passt es. Ich konnte es auch nachvollziehen, aber ich finde es immer gut, wenn man lieber ein paar Schritte mehr macht, dann kann man es besser nachvollziehen. In den einzelnen Schritten bzw. Begründungen steckt teilweise sehr viel drin.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:27, 12. Jul. 2012 (CEST)
<u>Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:</u><br />
1.) Wenn vier Punkte nicht in ein und derselben Ebene liegen, dann liegen auch jeweils drei Punkte von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden.<br />
2.) Von vier Punkten die nicht in ein und derselben Ebene liegen, liegen auch jeweils drei Punkte von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden.<br />
3.) folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 10:48, 8. Jun. 2012 (CEST)
<br />
[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-07-12T09:24:26Z

Andreas:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)<br />
*Diesen Beweis halte ich für nicht richtig. In Schritt 2 wird ja direkt gesagt, dass A,B,C nicht auf einer Geraden liegen... aber was ist mit dem Punkt D. Gibt es dann eine Gerade die z.B. A,B,D enthält? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:23, 12. Jul. 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists </math> g: A,B,C,D <math>\in </math> g; (2)

(4) <math>\exists</math>P: nkoll(A,B,P); Ax I/3

(5) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D,P <math>\in</math> Ebene E; Ax. I/4, Ax. I/5, (4), (3)

(6) komp(A,B,C,D)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
<u>Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:</u><br />
1.) Wenn vier Punkte nicht in ein und derselben Ebene liegen, dann liegen auch jeweils drei Punkte von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden.<br />
2.) Von vier Punkten die nicht in ein und derselben Ebene liegen, liegen auch jeweils drei Punkte von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden.<br />
3.) folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 10:48, 8. Jun. 2012 (CEST)
<br />
[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-07-12T09:23:47Z

Andreas:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)<br />
*Diesen Beweis halte ich für nicht richtig. In Schritt 2 wird ja direkt gesagt, dass A,B,C nicht auf einer Geraden liegen... aber was ist mit dem Punkt D. Gibt es dann eine Gerade die z.B. A,B,D enthält? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:23, 12. Jul. 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists </math> g: A,B,C,D <math>\in </math> g; (2)

(4) <math>\exists</math>P: nkoll(A,B,P); Ax I/3

(5) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D,P <math>\in</math> Ebene E; Ax. I/4, Ax. I/5, (4), (3)

(6) komp(A,B,C,D)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
<u>Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:</u><br />
1.) Wenn vier Punkte nicht in ein und derselben Ebene liegen, dann liegen auch jeweils drei Punkte von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden.<br />
2.) Von vier Punkten die nicht in ein und derselben Ebene liegen, liegen auch jeweils drei Punkte von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden.<br />
3.) folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 10:48, 8. Jun. 2012 (CEST)
<br />
[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-07-12T09:23:35Z

Andreas:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)<br />
Diesen Beweis halte ich für nicht richtig. In Schritt 2 wird ja direkt gesagt, dass A,B,C nicht auf einer Geraden liegen... aber was ist mit dem Punkt D. Gibt es dann eine Gerade die z.B. A,B,D enthält? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:23, 12. Jul. 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists </math> g: A,B,C,D <math>\in </math> g; (2)

(4) <math>\exists</math>P: nkoll(A,B,P); Ax I/3

(5) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D,P <math>\in</math> Ebene E; Ax. I/4, Ax. I/5, (4), (3)

(6) komp(A,B,C,D)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
<u>Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:</u><br />
1.) Wenn vier Punkte nicht in ein und derselben Ebene liegen, dann liegen auch jeweils drei Punkte von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden.<br />
2.) Von vier Punkten die nicht in ein und derselben Ebene liegen, liegen auch jeweils drei Punkte von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden.<br />
3.) folgt..<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 10:48, 8. Jun. 2012 (CEST)
<br />
[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 2.4 neu (SoSe 12)

2012-07-12T09:07:17Z

Andreas:

== Aufgabe 4 ==
Definieren Sie den Begriff ''Kugel''.<br />

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte X eines Raumes, die von einem Punkt M den gleichen Abstand r haben.--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 14:26, 29. Apr. 2012 (CEST)
*Korrekt. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:07, 12. Jul. 2012 (CEST)

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Zusatzaufgabe 2.3 neu (SoSe 12)

2012-07-12T09:06:27Z

Andreas:

== Aufgabe 3 ==
Definieren Sie den Begriff ''Dreieck''.<br />

Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte A,B,C in ein und derselben Ebene. Unter einem Dreieck ABC versteht man die Schnittmenge der drei Strecken AB,BC und AC.
*Diese Definition ist nicht korrekt bzgl. dem Begriff '''Schnittmenge''' und auch informell, denn zu drei Punkte gibt es genau eine Ebene.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:31, 3. Mai 2012 (CEST)

Ein n- Eck mit genau drei Ecken ist ein Dreieck. Geht das auch? --[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 09:57, 28. Apr. 2012 (CEST)

Ein n-Eck mit n=3 und einer Innenwinkelsumme von 180° ist ein Dreieck.--[[Benutzer:Goliath|Goliath]] 14:14, 29. Apr. 2012 (CEST)<br />
*Diese Definition enthält auch überflüssige Informationen, die man weglassen sollte.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:33, 3. Mai 2012 (CEST)

ABC ist ein Dreieck, wenn seine Innenwinkelsumme 180° beträgt.
Ein Dreick besteht aus drei nicht kollinearen Punkten und den drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Punkten. =>wäre das korrekt?--[[Benutzer:Gauglera|Gauglera]] 15:10, 14. Mai 2012 (CEST)

@ Gauglera Von der Idee her richtig. Brauchen Sie dabei eigentlich die Innenwinkelsumme?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:13, 14. Mai 2012 (CEST)

Es seien A, B, C drei paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind. Die Vereinigungsmenge der Strecken AB, BC und AC heißt Dreieck ABC.

Ein n-Eck mit n=3 heißt Dreieck.

--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 19:54, 10. Jun. 2012 (CEST)
*Ja, diese Def. halte ich für richtig. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:06, 12. Jul. 2012 (CEST)

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufg. 11.4 S

2012-07-10T09:20:40Z

Andreas:

== Aufgabe 11.4 ==
Beweisen Sie: Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Es gilt:<br />
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right| \Rightarrow \left| a \right| > \left| b \right|</math>
<br /><br />
Hinweis: Indirekt (durch Widerspruchsbeweis) in wenigen Schritten machbar!<br />
<br />
Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:<br />
Vor.: <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right| </math><br />
Beh.: <math>\left| a \right| > \left| b \right|</math><br />
Annahme 1: <math>\left| a \right|</math> = <math> \left| b \right|</math><br />
Annahme 2: <math>\left| a \right| < \left| b \right|</math><br />

(1) Wenn <math>\left| a \right| = \left| b \right|</math> (Ann.1), dann gilt nach dem BWS: <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right| </math><br />
(2) Widerspruch zur Voraussetzung, Annahme 1 ist zu verwerfen // (1), Vor.<br />

Hat jemand eine Idee, wie ich Annahme 2 begründen kann?!?
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:30, 6. Jul. 2012 (CEST)

Mit dem Satz IX.2, der bewiesen ist.--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 20:26, 6. Jul. 2012 (CEST)<br />

Danke.

(3) <math>\left| a \right| < \left| b \right|</math> (Ann. 2), dann gilt nach dem Satz IX.2 (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber):<br />
<math>\left| \beta \right| > \left| \alpha \right| </math><br />
(4) Widerspruch zur Voraussetzung, Annahme 2 ist zu verwerfen // (3), Vor.<br />
(5) Behauptung stimmt. // (2),(4)<br />
qed.<br />--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:37, 9. Jul. 2012 (CEST)<br />
*Sieht gut aus und ist kurz und knapp :) --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:20, 10. Jul. 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufg. 11.2 S

2012-07-10T09:16:56Z

Andreas: