Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Benutzer:AndyWeber

2020-04-19T18:31:32Z

AndyWeber: Die Seite wurde geleert.

Ortskurve einer Person auf einer rutschenden Leiter WS 19 20

2020-02-04T16:10:12Z

AndyWeber: /* Die rutschende Leiter */

Ortskurve einer Person auf einer rutschenden Leiter WS 19 20

2020-01-21T10:21:50Z

AndyWeber:

= Die rutschende Leiter =
{|
|-
| <iframe scrolling="no" title="Die Person auf der rutschenden Leiter" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/jnudsry3/width/900/height/800/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="900px" height="800px" style="border:0px;"> </iframe> || Malermeister Martin Malberg steht auf der mittleren Sprosse seiner Malermeisterleiter als diese ins Rutschen gerät.
Seine Ortkurve, also sein Weg den Martin auf seinem Weg zum Boden nimmt, kann uns durch Geogebra gezeigt werden. Klicke hierzu auf Play links unten.
Die Ortskurve entspricht einem Viertelkreis.
|}

== Beweis ==
Beweise dass es sich bei dieser Ortskurve um eine Kreisbahn handelt.
Wenn du einen Tipp brachst, lass dir einen Schritt des Beweises anzeigen:

{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
| <strong>1</strong>
|-
| Die Leiter bildet an jeder Position gemeinsam mit den Achsen ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Ursprung.
|}

{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
| <strong>2</strong>
|-
| Rechtwinkelige Dreiecke werden mithilfe des Thaleskreises gezeichnet.
|}

{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
| <strong>3</strong>
|-
|
|}

Ortskurve einer Person auf einer rutschenden Leiter WS 19 20

2020-01-21T10:11:14Z

AndyWeber:

{|
|-
| <iframe scrolling="no" title="Die Person auf der rutschenden Leiter" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/jnudsry3/width/900/height/800/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="900px" height="800px" style="border:0px;"> </iframe> || Malermeister Martin Malberg steht auf der mittleren Sprosse seiner Malermeisterleiter als diese ins Rutschen gerät.
Seine Ortkurve, also sein Weg den Martin auf seinem Weg zum Boden nimmt, kann uns durch Geogebra gezeigt werden. Klicke hierzu auf Play links unten.
Die Ortskurve entspricht einem Viertelkreis.
|}

{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
| <strong>Lorem ipsum</strong>
|-
| Lorem ipsum dolor sit amet
|}

Ortskurve einer Person auf einer rutschenden Leiter WS 19 20

2020-01-21T09:48:56Z

AndyWeber:

Ortskurve einer Person auf einer rutschenden Leiter WS 19 20

2020-01-21T09:40:45Z

AndyWeber:

Ortskurve einer Person auf einer rutschenden Leiter WS 19 20

2020-01-21T09:33:39Z

AndyWeber: Geogebra eingebunden

Gruppendefinition (kurz)

2019-05-27T11:32:26Z

AndyWeber: /* Beweis von Satz 1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Linksinvers gleich Rechtsinvers=
==Satz 1==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe.<br />
<math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math>
==Beweis von Satz 1==
Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. Also <math>b\odot a = e</math> ist unsere Voraussetzung.<br />
Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>:
{|
|-
| (I)|| <math>a \odot b = e \odot a \odot b </math>|| (Wir haben <math>a</math> mit <math>b</math> von rechts multipliziert
|-
| (II) || <math>a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b </math> ||(Auch <math>b</math> hat ein Linksinverses <math>b^{-1}</math>
|-
|(III) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b </math> || (Assoziativität)
|-
|(IV) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b </math> || (<math>b</math> ist das Linksinverse von <math>a</math>)
|-
| (V) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot b </math> || (Eigenschaften des Einselements)
|-
| (VI) || <math>a \odot b = e </math> || (<math>b^{-1}</math> ist das Linksinverse von <math>b</math>
|}
Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.

=Linkseins gleich Rechtseins=
==Satz 2==
Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. Wenn <math>e \in G</math> von links multipliziert Einselement von <math>[G, \otimes]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch von rechts multipliziert Einselement von <math>G</math>.
==Beweis von Satz 2==
Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.<br />
Wir gehen von <math>(I) e \otimes g = g</math>.<br />
In Gleichung <math>(I)</math> multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit <math>g^{-1}\otimes g</math> und erhalten <math>(II)</math>.<br />
<math>(II) e \otimes g \otimes (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)</math>.<br />
Aus <math>(II)</math> folgt:<br />
<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.
=Verkürzte Gruppendefinition=
Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:
==Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)==
Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a</math>
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>.

|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Gebrochene Zahlen mit der Addition

2018-07-14T19:33:09Z

AndyWeber: Die Seite wurde neu angelegt: „Wir überprüfen ob <math>[\Q^{+},+]</math> eine Gruppe ist: === Abgeschlossenheit === <math>\frac{a}{b} ,\frac{c}{d} \isin \Q^{+} ; a,b,c,d \isin \Z^{+} ; b…“

Wir überprüfen ob <math>[\Q^{+},+]</math> eine Gruppe ist:

=== Abgeschlossenheit ===

<math>\frac{a}{b} ,\frac{c}{d} \isin \Q^{+} ; a,b,c,d \isin \Z^{+} ; b,d \neq 0</math><br><br>
<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \sdot d}{b \sdot d} + \frac{c \sdot b}{d \sdot b} = \frac{ad+cb}{bd} \isin \Q^{+}</math><br><span style="color:green;">Passt.</span>

=== Assoziativität ===

<math>\frac{a}{b} ,\frac{c}{d} ,\frac{e}{f} \isin \Q^{+};a,b,c,d,e,f \isin \Z^{+};b,d,f \neq 0</math><br><br>
<math>\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{f})=(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})+\frac{e}{f}</math><br><br>
<math>\frac{a}{b}+(\frac{cf}{df}+\frac{ed}{fd})=(\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db})+\frac{e}{f}</math><br><br>
<math>\frac{a}{b}+\frac{cf+ed}{df}=\frac{ad+cb}{bd}+\frac{e}{f}</math><br><br>
<math>\frac{adf}{bdf}+\frac{bcf+bde}{bdf}=\frac{adf+bcf}{bdf}+\frac{bde}{bdf}</math><br><br>
<math>\frac{adf+bcf+bde}{bdf}=\frac{adf+bcf+bde}{bdf}</math><br><span style="color:green;">Passt.</span>

=== neutrales Element ===

<math>\frac{a}{b} \isin \Q^{+} ; a,b \isin \Z^{+} ; b \neq 0</math><br><br>
<math>\frac{a}{b} + n = \frac{a}{b}</math><br><br>
<math>n=0\isin\Z^{+}\isin\Q^{+}</math><br><span style="color:green;">Passt.</span>

=== inverses Element ===

<math>q:=\frac{a}{b}; q \isin \Q^{+}; a,b \isin \Z^{+}; b \neq 0</math><br><br>
<math>q+q^{-1}=n=0</math><br><br>
<math>q^{-1}=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\notin \Q^{+};-a,-b \notin \Z^{+}</math><br><span style="color:red;">Passt nicht!</span>

=== Resultat ===

Somit handelt es sich bei <math>[\Q^{+},+]</math> nicht um eine Gruppe.

Untergruppen, Untergruppenkriterien

2018-07-14T12:30:00Z

AndyWeber: /* Zeigen, dass e \in U */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Beispiele, Gegenbeispiele=
==Beispiel 1==
Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus <math>[\mathbb{Z}_6, \oplus]</math>.<br />
Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: <math>\mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}</math><br />
Die Gruppentafel sieht wie folgt aus:
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="20"
|-
| <math>\oplus</math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{1} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{3} </math> || <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{5} </math>
|-
| <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{1} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{3} </math> || <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{5} </math>
|-
| <math> \overline{1} </math> || <math> \overline{1} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{3} </math> || <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{5} </math> || <math> \overline{0} </math>
|-
| <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{3} </math> || <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{5} </math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{1} </math>
|-
| <math> \overline{3} </math> || <math> \overline{3} </math> || <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{5} </math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{1} </math> || <math> \overline{2} </math>
|-
| <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{5} </math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{1} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{3} </math>
|-
| <math> \overline{5} </math> || <math> \overline{5} </math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{1} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{3} </math> || <math> \overline{4} </math>
|}

Wir wählen aus <math>\mathbb{Z}_6</math> die folgende Teilmenge <math>2\mathbb{Z}_6</math>aus: <br /><br />

<math>2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}</math><br />
<br />
<math>[2\mathbb{Z}_6, \oplus]</math> ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von <math>[\mathbb{Z}_6, \oplus]</math>
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="20"
|-
| <math> \oplus </math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{4} </math>
|-
| <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{4} </math>
|-
| <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{2} </math> || <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{0} </math>
|-
| <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{4} </math> || <math> \overline{0} </math> || <math> \overline{2} </math>
|}

==Beispiel 2==
===Die Gruppe der Bewegungen===
====Die Gruppenmitglieder====
Unter einer Bewegung <math>\beta</math> versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich:<br />
Es sei <math>\varepsilon</math> unsere Ebene.<br />

=====<math>\beta</math> ist Relation=====
:<math>\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)</math><br />
=====<math>\beta</math> ist eindeutig und damit Abbildung=====
:<math>\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*</math><br />
=====<math>\beta</math> ist abstandserhaltend =====
:<math>\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert </math><br />
Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit <math>\Beta</math> bezeichnen.

====Die Verknüpfung====
wir wählen als Verknüpfung auf <math>\Beta</math> die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit <math>\circ</math>.

===<math>[\Beta, \circ]</math> ist Gruppe===
====Abgeschlossenheit====
Es seien <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zwei Bewegungen.<br />
Wir haben zu zeigen, dass <math>\alpha \circ \beta</math> eine Bewegung ist.<br />
Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass <math>\alpha \circ \beta</math> abstandserhaltend ist:<br />
<math>
\begin{matrix}
(1) & \vert PQ \vert = \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert & \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\
(2) & \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert = \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\
(3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & (1), (2)
\end{matrix}
</math>
====Assoziativität====
Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ.
====Einselement====
Wir betrachten die Abbildung <math>\operatorname{id}</math>, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet:<br />
<math>\forall P \in \varepsilon: \operatorname{id}(P)=P</math><math></math><br />
Damit ist <math>\operatorname{id}</math> eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen <math>\operatorname{id}(A)=A \land \operatorname{id}(B)= B, \forall A,B
\in \varepsilon</math> gilt natürlich auch <math>\vert AB\vert = \vert \operatorname{id}(A) \operatorname{id}(B)\vert</math>.<br />
<math>\operatorname{id}</math> erfüllt die Eigenschaften eines Einselementes:<br />
<math>\forall P \in \varepsilon : \beta \circ \operatorname{id}(P)= \operatorname{id}(\beta(P))=\beta(P)</math> und somit <math>\operatorname{id} \circ \beta = \beta</math>.

====inverse Elemente====
Es genügt zu zeigen, dass jede Bewegung <math>\beta</math> eineindeutig ist, d.h. dass jeder Punkt <math>\R \in \varepsilon</math> bei <math>\beta</math> ein und nur ein Urbild <math>Q \in \varepsilon </math> hat.<br />
=====Injektivität von <math>\beta</math>=====
Sei <math>P'</math> das Bild von <math>P</math> bei der Bewegung <math>\beta</math>. Wir haben zu zeigen, dass es keinen Punkt <math>Q \in \varepsilon, Q \not \equiv P</math> gibt, der durch <math>\beta</math> auch auf <math>P'</math> abgebildet wird. Wir nahemen, an, dass es einen solchen Punkt <math>Q</math> gibt. Dann gilt:<br />
<math>0=\vert P'P' \vert = \vert PQ \vert </math> und damit <math>P \equiv Q</math>, was ein Widerspruch zur Annahme <math>P \not \equiv Q</math> ist.
=====Surjektivität von <math>\beta</math>=====
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt <math>Q \in \varepsilon </math> bei der Bewegung <math>\beta</math> ein Urbild hat. <br />
Annahme: <math>Q</math> hat kein Urbild bei <math>\beta</math>. Da jeder Punkt der Ebene <math>\varepsilon</math> durch <math>\beta</math> auf genau einen Punkt der Ebene <math>\varepsilon </math> abgebildet wird und der Punkt <math>Q</math> kein Urbild hat, müssen wenigstens zwei verschiedene Punkte <math>A</math> und <math>B</math> aus <math>\varepsilon</math> durch <math>\beta </math> auf ein und denselben Punkt <math>C</math> abgebildet werden:<br />
# <math>A \overset{\beta}{\rightarrow} C</math>
# <math>B \overset{\beta}{\rightarrow} C</math>
Wegen <math>\vert CC \vert = 0 = \vert \beta(A) \beta(B) \vert</math> müssen <math>A</math> und <math>B</math> ein und derselbe Punkt, also identisch sein. Das ist ein Widerspruch zu <math>A\not\equiv B</math>. Unsere Annahme <math>Q</math> hat kein Urbild ist also zu verwerfen.

===Die Untergruppe der Drehungen um ein und denselben Punkt===
====Drehungen====
:Eine Bewegung die entweder die Identität ist oder genau einen Fixpunkt <math>Z</math> besitzt, heißt Drehung. Falls die Bewegung genau den Fixpunkt <math>Z</math> hat, sprechen wir von einer Drehung um <math>Z</math>.

====Die Gruppe der Drehungen um ein und denselben Fixpunkt====
Es sei <math>Z</math> ein beliebiger aber fester Punkt der Ebene. Wir betrachten <math>\mathbb{D}_Z</math> die Menge aller Drehungen um <math>Z</math>. Als Verknüpfung auf <math>\mathbb{D}_Z</math> wählen wir die <math>\circ</math>, die NAF von Abbildungen.<math></math>
<math>[\mathbb{D}_Z, \circ ]</math> ist eine Gruppe:
=====Abgeschlossenheit=====
Es seien <math>D_1</math> und <math>D_2</math> zwei Drehungen um <math>Z</math>. Wir haben bererits geszeigt, dass die NAF zweier Bewegungen eine Bewegung ist. Da <math>D_1</math> und <math>D_2</math> zwei Bewegungen sind, ist <math>D_3:= D_1 \circ D_2</math> ebenfalls eine Bewegung. Weil <math>Z</math> ein Fixpunkt sowohl von <math>D_1</math> als auch von <math>D_2</math> ist, muss <math>Z</math> auch ein Fixpunkt von <math>D_3</math> sein. Es können jetzt genau zwei Fälle auftreten:
======Fall 1======
<math>Z</math> ist der einzige Fixpunkt von <math>D_3</math>. In diesem Fall ist <math>D_3</math> eine Drehung mit dem Fixpunkt <math>Z</math>.
======Fall 2======
<math>D_3</math> hat neben <math>Z</math> einen weiteren Fixpunkt <math>F</math>.<br />
Das bedeutet: <br />
<math>
\begin{matrix}
\text{(I)} & Z &\overset{D_3}{\rightarrow} &Z \\
\text{(II)} &F &\overset{D_3}{\rightarrow} &F
\end{matrix}
</math><br />
Wegen der Abstandserhaltung von <math>D_3</math> ist jeder Punkt <math>G</math> der Geraden <math>ZF</math> ist ein Fixpunkt bei <math>D_3</math>. (Der Leser überzeuge sich davon.) Die Gerade <math>ZF</math> ist damit eine Fixpunktgerade bei <math>D_3</math>.<br />
Sei <math>P \not \in ZF</math>. Für das Bild <math>P'</math> mit <math>P \overset{D_3}{\rightarrow} P'</math> <br />
gibt es jetzt genau zwei Möglichkeiten:<br />

<math>
\begin{matrix}
\text{a)} & P' \in ZF,P^+ \\
\text{b)} & P' \in ZF,P^-
\end{matrix}
</math><br />
Im Fall a) ist wegen der Abstandserhaltung von <math>D_3 ~ P' \equiv P</math>, woras folgt, dass jeder Punkt der Ebene bei <math>D_3</math> ein Fixpunkt ist. <math>D_3</math> wäre damit die Identität und somit eine Drehung.<br />
Fall b) kann nicht eintreten. (Der Leser überzeuge sich davon.)
=====Assoziativität=====
Die NAF von Abbildungen (Funktionen) ist generell assoziativ.
=====Einselement=====
Die Identität leistet das Verlangte.
=====Inverse Elemente=====
Wir wissen bereist, dass jede Bewegung genau ein inverses Element besitzt. Es bleibt zu zeigen, dass die inverse Bewegung <math>D_Z^{-1}</math> zu einer Bewegung <math>D_Z</math> mit genau dem Fixpunkt <math>Z</math> eine Bewegung mit genau dem Fixpunkt <math>Z</math> ist. Zunächst ist <math> Z </math> ein Fixpunkt von <math>D_Z^{-1}</math>: <math>D_Z^{-1}</math> bildet jeden Punkt der Ebene auf sein Urbild bei <math> D_Z </math> ab. Weil <math> Z </math> das Bild von <math> Z </math> bei <math> D_Z</math> ist, ist <math> Z </math> also auch ein Fixpunkt bei <math> D_Z^{-1}</math> . Sollte <math> D_Z^{-1} </math> enen weiteren von <math> Z</math> verschiedenen Fixpunkt <math> F </math> haben, wäre jener Punkt <math> F </math> nach analogen Überlegungen auch ein Fixpunkt bei <math> D_Z</math>. <math> D_Z</math> hat jedoch nur den einen Fixpunkt <math> Z</math>.
====Fazit====
Die Drehungen um ein und denselben Punkt <math> Z </math> bilden bzgl. der NAF von Abbildungen eine Gruppe und sind damit eine Untergruppe der Gruppe aller Bewegungen.
===Weitere Beispiele und Gegenbeispiele bzgl. der Gruppe der Bewegungen===
====Spiegelungen====
Eine Geradenspiegelung ist eine Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden.
====gleichsinnige Bewegungen====
Alle Bewegungen, die sich als NAF zweier Geradenspiegelungen schreiben lassen bilden bzgl. der NAF eine Untergruppe aller Bewegungen.
====Gegenbeispiel====
Die Menge aller Spiegelungen bildet bzgl. der NAF keine Untergruppe der Gruppe der Bewegungen.
==Gegenbeispiel 1==
Wir betrachten <math>[\mathbb{Z}_7, \oplus ]</math> und <math>[\mathbb{Z}_7, \otimes ]</math>. Da wir bei multiplikativen Restgruppen das neutrale Element bezüglich der Restklassenaddition nicht berücksichtigen ist die Menge der multiplikativen Restklassengruppe modulo <math>7</math> eine echte Teilmenge der additiven Restklassengruppe modulo <math>7</math>. In beiden Fällen handelt es sich um Gruppen, <math>[\mathbb{Z}_7, \otimes ]</math> ist jedoch keine Untergruppe von <math>[\mathbb{Z}_7, \oplus ]</math>.
==Gegenbeispiel 2==
<math>[\mathbb{Z}_4, \oplus ]</math> ist bekannterweise eine Gruppe. <math>[T, \oplus]</math> mit <math>T:=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{0}\}</math> ist keine Untergruppe von <math>[\mathbb{Z}_4, \oplus ]</math>, weil <math>[T, \oplus]</math> keine Gruppe ist.
=Definition des Begriffs Untergruppe=
==Definition: (Untergruppe)==
::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U</math> eine Teilmenge von <math>G</math>. <math>[U, \circ ]</math> ist Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn <math>[U, \circ]</math> selbst Gruppe ist.
==Satz: (triviale Untergruppen)==
::Jede Gruppe hat wenigstens zwei Untergruppen: Sich selbst und die Untergruppe die nur aus dem Einselement der Gruppe besteht.
=Untergruppenkriterium 1=
==Satz: (Untergruppenkriterium 1)==
::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math>. <math>[U, \circ]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn:
:::<math>
\begin{matrix}
\text{(I)} & \forall a,b \in &U & : & a \circ b &\in U \\
\text{(II)} & \forall a \in &U & : & a^{-1} &\in U
\end{matrix}
</math>
=Untergruppenkriterium 2=
==Satz (Untergruppenkriterium 2)==
::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G. ~</math> <math>~[U, \circ]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn:
:::<math>
\forall a,b \in U : a \circ b^{-1}\in U </math>
==Beweis von UGK 2==
Wenn UGK1 bewiesen wurde (was keine Schwierigkeit darstellt) reicht es zu zeigen, dass <math>\text{UGK1} \Leftrightarrow \text{UGK2}</math> gilt.<br />
===<math>\rightarrow</math>===
trivial

===<math>\leftarrow</math>===
Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe mit Einselement <math>e</math>. <math>U \subseteq G</math>.
====Voraussetzung====
<math>\text{(*)}~\forall a, b \in U: a\circ b^{-1}\in U</math>.
====Behauptungen====
<math>
\begin{matrix}
\text{(I)} & \forall a, b \in U: & a \circ b \in U \\
\text{(II)} & \forall b \in U: & b^{-1} \in U
\end{matrix}
</math>
====Beweis====
=====Zeigen, dass <math>e \in U</math>=====
<math>\text{(*)}</math> sagt aus, dass mit <math>a</math> und <math>b</math> aus der Teilmenge <math>U</math> auch das Produkt <math>a \circ b^{-1}</math> ein Element von <math>U</math> ist.<br />
Setzen <math>b=a</math>, womit nach <math>\text{(*)}~ a\circ a^{-1} \in U</math> gilt. Wegen <math>a \circ a^{-1} =e</math> ist das Einselement <math>e</math> ein Element der Teilmenge <math>U</math>.

=====Zeigen, dass mit <math>b</math> auch <math>b^{-1}</math> zu <math>U</math> gehört=====
Wegen <math>e \in U</math> (gerade gezeigt) und <math>b \in U</math> (Voraussetzung) gilt nach <math>\text{(*)}</math> <math>e \circ b^{-1} = b^{-1} \in U</math>. <br />
<math>\text{(II)}</math> ist damit bewiesen.

=====Zeigen, dass die Verknüpfung <math>\circ</math> abgeschlossen auf <math>U</math> ist=====
Wir haben gerade gezeigt, dass mit <math>b \in U</math> auch <math>b^{-1} \in U</math> gilt.<br />
Mit <math>a \in U</math> und <math>b^{-1} \in U</math> gilt nach <math>\text{(*)}</math> <math>a \circ \left ( b^{-1} \right ) ^{-1} \in U</math>.<br />
Nach einem Hilfssatz aus der Vorlesung gilt: <math>\left ( b^{-1} \right ) ^{-1} = b</math> und damit <math>a \circ b \in U</math>, womit <math>\text{(I)}</math> bewiesen wurde.

|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements

2018-07-13T17:11:42Z

AndyWeber: Ordnung eines Gruppenelements hinzugefügt

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Die Ordnung einer Gruppe=
==Definition (Gruppenordnung)==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Unter der Ordnung <math>|G|</math> von <math>[G, \odot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente der Menge <math>G</math>.
==Beispiele==
* <math>[\mathbb{Z}_5,\oplus]: |\mathbb{Z}_5|=5</math>
* <math>[\mathbb{Z}_5,\odot]: |\mathbb{Z}_5|=4</math>
* <math>[\mathbb{Q}, +] : |\mathbb{Q}|= \infty</math>
=Potenzschreibweisen in Gruppen=
== Aus der Schule bekannt==
Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt:
*<math>3 ^5 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243</math><br />

*<math>5^{-3}:=5^{-1} \cdot 5^{-1} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}= \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0,008</math><br />

*<math>a^n := \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}, , a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} </math><br />

*<math>a^{-n}:=\underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n-mal}= \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math><br />
==Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen==
===Beispiele===
====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====
*<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br />
*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus \overline{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math>

==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>==
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:
# <math>g^z:=n ~falls~ z=0</math>
# <math>g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z > 0</math>

==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z < 0</math>==
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe und <math>z \in \mathbb{Z}, z <0</math>. Ferner sei <math>g</math> eine beliebiges Gruppenelement und <math>g^{-1}</math> sein Inverses in <math>[G, \oplus]</math>.
#<math>g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1</math>
#<math>g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1</math>

=Die Ordnung eines Gruppenelements=
==Definition (Ordnung eines Gruppenelements)==
Es sei <math>[G,\odot ]</math> eine Gruppe.

Die Ordnung eines Elements <math>g\isin G</math> ist die kleinste natürliche Zahl <math>n</math> für die gilt:

<math>g^{n}=e</math>


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</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements

2018-07-13T14:24:22Z

AndyWeber: /* Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Die Ordnung einer Gruppe=
==Definition (Gruppenordnung==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Unter der Ordnung <math>|G|</math> von <math>[G, \odot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente der Menge <math>G</math>.
==Beispiele==
* <math>[\mathbb{Z}_5,\oplus]: |\mathbb{Z}_5|=5</math>
* <math>[\mathbb{Z}_5,\odot]: |\mathbb{Z}_5|=4</math>
* <math>[\mathbb{Q}, +] : |\mathbb{Q}|= \infty</math>
=Potenzschreibweisen in Gruppen=
== Aus der Schule bekannt==
Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt:
*<math>3 ^5 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243</math><br />

*<math>5^{-3}:=5^{-1} \cdot 5^{-1} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}= \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0,008</math><br />

*<math>a^n := \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}, , a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} </math><br />

*<math>a^{-n}:=\underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n-mal}= \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math><br />
==Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen==
===Beispiele===
====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====
*<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br />
*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus \overline{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math>

==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>==
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:
# <math>g^z:=n ~falls~ z=0</math>
# <math>g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z > 0</math>

==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z < 0</math>==
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe und <math>z \in \mathbb{Z}, z <0</math>. Ferner sei <math>g</math> eine beliebiges Gruppenelement und <math>g^{-1}</math> sein Inverses in <math>[G, \oplus]</math>.
#<math>g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1</math>
#<math>g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1</math>

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[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (Gleichung)

2018-07-13T13:56:54Z

AndyWeber: /* Beweis von Satz 7 */ kleine Ergänzung bzgl. x=y=a^{-1}

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Eindeutigkeit des Einslementes=
==Satz 3==
Jede Gruppe hat genau ein Einslement.
==Beweis von Satz 3==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>[G, \odot]</math> eine Einslement <math>e_1</math>. Es bleibt zu zeigen, dass <math>[G, \odot]</math> kein weiteres Einslement <math>e_2</math> hat. Wir nehmen an es gibt <math>e_2</math> mit <math>e_2 \neq e_1</math>. Nach Satz 2 sind <math>e_1</math> und <math>e_2</math> von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung <math>e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2</math>. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente <math>e_1</math> und <math>e_2</math> (und das sowohl von rechts, wie auch von links) <math>e_1=e_2</math>.
=Eindeutigkeit der inversen Elemente=
==Satz 4==
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.
==Beweis von Satz 4==
Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />

Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1}</math> auf. <br />

<math>(II)</math> multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2^{-1}</math>.<br />

<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.

=Kürzbarkeit=
==Satz 5==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Für alle Elemente <math>a, b, c \in G</math> gilt: <br />
# <math>a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c</math>
# <math>b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c</math>
==Beweis von Satz 5==
Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit <math>a^{-1}</math> multiplizieren.
=Lösbarkeit der Gleichungen=
==Satz 6==
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> sind die Gleichungen
# <math>a \odot x= b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
jeweils eindeutig lösbar.
==Beweis von Satz 6==
Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
===Existenzbeweis===
Zuerst formen wir <math>a\odot x=b</math> um:

<math>a\odot x=b</math> <math>|\odot a^{-1}</math>

<math>a^{-1}\odot a \odot x = a^{-1} \odot b</math>

<math>e\odot x = a^{-1} \odot b</math>

<math>x = a^{-1} \odot b</math>

<math>x=a^{-1}\odot b</math> setzen wir nun in <math>a\odot x=b</math> ein und formen um: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.

===Eindeutigkeitsbeweis===
Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>
=Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe=
==Satz 7==
Es sei <math>[M, \odot]</math> ein Monoid. <math>e</math> sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen
# <math>a \odot x = b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
in <math>[M, \odot ]</math>lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.
==Beweis von Satz 7==
Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element <math>a \in M</math> ein Inverses in <math>M</math> existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen <br />
* <math>a \odot x = e</math> und
* <math>y \odot a = e</math>
lösbar.

Daraus folgt, dass <math>x,y</math> Inverse von <math>a</math> sind, also <math>x=y=a^{-1}</math> (nach Satz 4).

=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition=
Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen
# <math>a \odot x = b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
lösbar sind.

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</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (Gleichung)

2018-07-13T13:47:30Z

AndyWeber: /* Existenzbeweis */ Umformung nach x eingefügt

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Eindeutigkeit des Einslementes=
==Satz 3==
Jede Gruppe hat genau ein Einslement.
==Beweis von Satz 3==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>[G, \odot]</math> eine Einslement <math>e_1</math>. Es bleibt zu zeigen, dass <math>[G, \odot]</math> kein weiteres Einslement <math>e_2</math> hat. Wir nehmen an es gibt <math>e_2</math> mit <math>e_2 \neq e_1</math>. Nach Satz 2 sind <math>e_1</math> und <math>e_2</math> von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung <math>e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2</math>. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente <math>e_1</math> und <math>e_2</math> (und das sowohl von rechts, wie auch von links) <math>e_1=e_2</math>.
=Eindeutigkeit der inversen Elemente=
==Satz 4==
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.
==Beweis von Satz 4==
Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />

Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1}</math> auf. <br />

<math>(II)</math> multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2^{-1}</math>.<br />

<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.

=Kürzbarkeit=
==Satz 5==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Für alle Elemente <math>a, b, c \in G</math> gilt: <br />
# <math>a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c</math>
# <math>b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c</math>
==Beweis von Satz 5==
Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit <math>a^{-1}</math> multiplizieren.
=Lösbarkeit der Gleichungen=
==Satz 6==
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> sind die Gleichungen
# <math>a \odot x= b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
jeweils eindeutig lösbar.
==Beweis von Satz 6==
Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
===Existenzbeweis===
Zuerst formen wir <math>a\odot x=b</math> um:

<math>a\odot x=b</math> <math>|\odot a^{-1}</math>

<math>a^{-1}\odot a \odot x = a^{-1} \odot b</math>

<math>e\odot x = a^{-1} \odot b</math>

<math>x = a^{-1} \odot b</math>

<math>x=a^{-1}\odot b</math> setzen wir nun in <math>a\odot x=b</math> ein und formen um: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.

===Eindeutigkeitsbeweis===
Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>
=Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe=
==Satz 7==
Es sei <math>[M, \odot]</math> ein Monoid. <math>e</math> sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen
# <math>a \odot x = b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
in <math>[M, \odot ]</math>lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.
==Beweis von Satz 7==
Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element <math>a \in M</math> ein Inverses in <math>M</math> existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen <br />
* <math>a \odot x = e</math> und
* <math>y \odot a = e</math>
lösbar.
=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition=
Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen
# <math>a \odot x = b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
lösbar sind.

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[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (Gleichung)

2018-07-13T13:00:37Z

AndyWeber: /* Beweis von Satz 4 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Eindeutigkeit des Einslementes=
==Satz 3==
Jede Gruppe hat genau ein Einslement.
==Beweis von Satz 3==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>[G, \odot]</math> eine Einslement <math>e_1</math>. Es bleibt zu zeigen, dass <math>[G, \odot]</math> kein weiteres Einslement <math>e_2</math> hat. Wir nehmen an es gibt <math>e_2</math> mit <math>e_2 \neq e_1</math>. Nach Satz 2 sind <math>e_1</math> und <math>e_2</math> von links und von rechts Einselemente. Wir gehen aus von der Gleichung <math>e_1 \odot e_2=e_1 \odot e_2</math>. Aus dieser Gleichung folgt wegen der Einslement eigenschaft beider Elemente <math>e_1</math> und <math>e_2</math> (und das sowohl von rechts, wie auch von links) <math>e_1=e_2</math>.
=Eindeutigkeit der inversen Elemente=
==Satz 4==
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.
==Beweis von Satz 4==
Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />

Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1}</math> auf. <br />

<math>(II)</math> multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2^{-1}</math>.<br />

<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.

=Kürzbarkeit=
==Satz 5==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Für alle Elemente <math>a, b, c \in G</math> gilt: <br />
# <math>a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c</math>
# <math>b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c</math>
==Beweis von Satz 5==
Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit <math>a^{-1}</math> multiplizieren.
=Lösbarkeit der Gleichungen=
==Satz 6==
In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> sind die Gleichungen
# <math>a \odot x= b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
jeweils eindeutig lösbar.
==Beweis von Satz 6==
Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
===Existenzbeweis===
Wir setzen <math>x=a^{-1}\odot b</math>: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.
===Eindeutigkeitsbeweis===
Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>
=Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe=
==Satz 7==
Es sei <math>[M, \odot]</math> ein Monoid. <math>e</math> sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen
# <math>a \odot x = b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
in <math>[M, \odot ]</math>lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe.
==Beweis von Satz 7==
Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element <math>a \in M</math> ein Inverses in <math>M</math> existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen <br />
* <math>a \odot x = e</math> und
* <math>y \odot a = e</math>
lösbar.
=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition=
Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen
# <math>a \odot x = b</math> und
# <math>y \odot a = b</math>
lösbar sind.

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[[Kategorie:Algebra]]

Restklassen modulo 4 mit der Restklassenmultiplikation

2018-07-11T14:44:53Z

AndyWeber:

Wir überprüfen ob <math>[R</math><sub>4</sub><math>,\odot ]</math> eine Gruppe ist. Hierfür betrachten wir die Verknüpfungstafel:

<table>
<tr> <th><math>\odot</math></th> <th><math>\overline{0}</math></th><th><math>\overline{1}</math></th><th><math>\overline{2}</math></th><th><math>\overline{3}</math></th> </tr>
<tr> <th><math>\overline{0}</math></th><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{0}</math></td> </tr>
<tr> <th><math>\overline{1}</math></th><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{1}</math></td><td><math>\overline{2}</math></td><td><math>\overline{3}</math></td> </tr>
<tr> <th><math>\overline{2}</math></th><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{2}</math></td><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{2}</math></td> </tr>
<tr> <th><math>\overline{3}</math></th><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{3}</math></td><td><math>\overline{2}</math></td><td><math>\overline{1}</math></td> </tr>
</table>

<h2>Abgeschlossenheit</h2>

<span style="color:green;">Passt</span>, weil wir sehen können, dass jeder Eintrag, also jedes Ergebnis einer Restklassenmultiplikation, ebenfalls in derselben Restklasse ist.

<h2>Assoziativität</h2>

<span style="color:green;">Passt</span>, denn die Restklassenmultiplikation ist definiert durch <math>\overline{a},\overline{b}\isin R</math><sub>4</sub><math>, \overline{a} \odot \overline{b} := \overline{a \sdot b}</math> mit <math>a,b \isin \Z </math>

Somit lässt sich <math>(\overline{a} \odot \overline{b} )\odot \overline{c} = \overline{a} \odot (\overline{b} \odot \overline{c} )</math>

auch so schreiben: <math>(\overline{a \sdot b )\sdot c} = \overline{a \sdot (b \sdot c} )</math> mit <math>a,b,c \isin \Z </math>

und die Assoziativität in <math>\Z</math> gilt als bewiesen.

<h2>neutrales Element</h2>

<span style="color:green;">Passt</span>, denn anhand der Verknüpfungstafel ist zu sehen, dass die <math>\overline{1}</math> das neutrale Element von <math>[R</math><sub>4</sub><math>,\odot ]</math> ist.

<h2>inverses Element</h2>

<span style="color:red;">Passt nicht!</span> In der Verknüpfungstafel sehen wir, das die <math>\overline{1}</math> und die <math>\overline{3}</math> zwar ein inverses Element haben, die <math>\overline{2}</math> allerdings nicht.

<h2>Resultat</h2>

Somit ist <math>[R</math><sub>4</sub><math>,\odot ]</math> keine Gruppe.

Restklassen modulo 4 mit der Restklassenmultiplikation

2018-07-11T14:42:50Z

AndyWeber: Die Seite wurde neu angelegt: „Wir überprüfen ob <math>[R</math><sub>4</sub><math>,\odot ]</math> eine Gruppe ist. Hierfür betrachten wir die Verknüpfungstafel: <table> <tr> <th><math>…“

Wir überprüfen ob <math>[R</math><sub>4</sub><math>,\odot ]</math> eine Gruppe ist. Hierfür betrachten wir die Verknüpfungstafel:

<table>
<tr> <th><math>\odot</math></th> <th><math>\overline{0}</math></th><th><math>\overline{1}</math></th><th><math>\overline{2}</math></th><th><math>\overline{3}</math></th> </tr>
<tr> <th><math>\overline{0}</math></th><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{0}</math></td> </tr>
<tr> <th><math>\overline{1}</math></th><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{1}</math></td><td><math>\overline{2}</math></td><td><math>\overline{3}</math></td> </tr>
<tr> <th><math>\overline{2}</math></th><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{2}</math></td><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{2}</math></td> </tr>
<tr> <th><math>\overline{3}</math></th><td><math>\overline{0}</math></td><td><math>\overline{3}</math></td><td><math>\overline{2}</math></td><td><math>\overline{1}</math></td> </tr>
</table>

<h2>Abgeschlossenheit</h2>

<span style="color:green;">Passt</span>, weil wir sehen können, dass jeder Eintrag, also jedes Ergebnis einer Restklassenmultiplikation, ebenfalls in derselben Restklasse ist.

<h2>Assoziativität</h2>

<span style="color:green;">Passt</span>, denn die Restklassenmultiplikation ist definiert durch <math>\overline{a},\overline{b}\isin R</math><sub>4</sub><math>, \overline{a} \odot \overline{b} := \overline{a \sdot b}</math>

Somit lässt sich <math>(\overline{a} \odot \overline{b} )\odot \overline{c} = \overline{a} \odot (\overline{b} \odot \overline{c} )</math>

auch so schreiben: <math>(\overline{a \sdot b )\sdot c} = \overline{a \sdot (b \sdot c} )</math> mit <math>a,b,c \isin \Z </math>

und die Assoziativität in <math>\Z</math> ist bewiesen.

<h2>neutrales Element</h2>

<span style="color:green;">Passt</span>, denn anhand der Verknüpfungstafel ist zu sehen, dass die <math>\overline{1}</math> das neutrale Element von <math>[R</math><sub>4</sub><math>,\odot ]</math> ist.

<h2>inverses Element</h2>

<span style="color:red;">Passt nicht!</span> In der Verknüpfungstafel sehen wir, das die <math>\overline{1}</math> und die <math>\overline{3}</math> zwar ein inverses Element haben, die <math>\overline{2}</math> allerdings nicht.

<h2>Resultat</h2>

Somit ist <math>[R</math><sub>4</sub><math>,\odot ]</math> keine Gruppe.

Ganze Zahlen mit der Multiplikation

2018-07-09T17:44:28Z

AndyWeber: Die Seite wurde neu angelegt: „Im Grunde ist die Überprüfung, ob es sich bei <math>[\Z,\sdot]</math> um eine Gruppe handelt, mit dem Verweis auf die Natürliche Zahlen mit Multiplikatio…“

Im Grunde ist die Überprüfung, ob es sich bei <math>[\Z,\sdot]</math> um eine Gruppe handelt, mit dem Verweis auf die [[ Natürliche Zahlen mit Multiplikation]] schon beinahe trivial.

Dennoch hier ein analog geführtes (Gegen)Beispiel:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: <math> a=4, b=5, a \sdot b=4 \sdot 5=20 \in \Z </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(2) Assoziativität

Beispiel: <math> a=3, b=2, c=4, (a \sdot b)\sdot c=(3 \sdot 2) \sdot 4=6 \sdot 4=24=3 \sdot 8=3 \sdot (2 \sdot 4)=a \sdot (b \sdot c) </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(3) neutrales Element

Beispiel: <math> a=4, e=1, a \sdot e=4 \sdot 1=4, e \in \Z </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(4) inverses Element

Beispiel: <math> a=4, a</math><sup>-1</sup><math>=(1/4), a \sdot a</math><sup>-1</sup><math>=4 \sdot (1/4)=1=e, a</math><sup>-1</sup><math> \notin \Z </math> <span style="color:red;">passt nicht!</span>

Somit handelt es sich bei <math>[\Z,\sdot]</math> nicht um eine Gruppe.

Natürliche Zahlen mit Addition

2018-07-09T17:38:02Z

AndyWeber:

Wir überprüfen ob es sich bei <math>[\N,+]</math> um eine Gruppe handelt:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: <math> a=4, b=5, a+b=4+5=9 \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(2) Assoziativität

Beispiel: <math> a=3, b=2, c=4, (a+b)+c=(3+2)+4=5+4=9=3+6=3+(2+4)=a+(b+c) </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(3) neutrales Element

Beispiel: <math> a=4, n=0, a+n=4+0=4, n \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(4) inverses Element

Beispiel: <math> a=4, -a=-4, a+-a=4+(-4)=0=n, -a \notin \N </math> <span style="color:red;">passt nicht!</span>

Somit handelt es sich bei <math>[\N,+]</math> nicht um eine Gruppe.

Natürliche Zahlen mit Multiplikation

2018-07-09T17:37:25Z

AndyWeber:

Wir überprüfen ob es sich bei <math>[\N,\sdot]</math> um eine Gruppe handelt:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: <math> a=4, b=5, a \sdot b=4 \sdot 5=20 \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(2) Assoziativität

Beispiel: <math> a=3, b=2, c=4, (a \sdot b)\sdot c=(3 \sdot 2) \sdot 4=6 \sdot 4=24=3 \sdot 8=3 \sdot (2 \sdot 4)=a \sdot (b \sdot c) </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(3) neutrales Element

Beispiel: <math> a=4, e=1, a \sdot e=4 \sdot 1=4, e \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(4) inverses Element

Beispiel: <math> a=4, a</math><sup>-1</sup><math>=(1/4), a \sdot a</math><sup>-1</sup><math>=4 \sdot (1/4)=1=e, a</math><sup>-1</sup><math> \notin \N </math> <span style="color:red;">passt nicht!</span>

Somit handelt es sich bei <math>[\N,\sdot]</math> nicht um eine Gruppe.

Natürliche Zahlen mit Multiplikation

2018-07-09T17:36:44Z

AndyWeber:

Wir überprüfen ob es sich bei <math>[\N,\sdot]</math> um eine Gruppe handelt:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: <math> a=4, b=5, a \sdot b=4 \sdot 5=20 \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(2) Assoziativität

Beispiel: <math> a=3, b=2, c=4, (a \sdot b)\sdot c=(3 \sdot 2) \sdot 4=6 \sdot 4=24=3 \sdot 8=3 \sdot (2 \sdot 4)=a \sdot (b \sdot c) </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(3) neutrales Element

Beispiel: <math> a=4, e=1, a \sdot e=4 \sdot 1=4, e \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(4) inverses Element

Beispiel: <math> a=4, a</math><sup>-1</sup><math>=(1/4), a \sdot a</math><sup>-1</sup><math>=4 \sdot (1/4)=0, a</math><sup>-1</sup><math> \notin \N </math> <span style="color:red;">passt nicht!</span>

Somit handelt es sich bei <math>[\N,\sdot]</math> nicht um eine Gruppe.

Natürliche Zahlen mit Multiplikation

2018-07-09T17:35:42Z

AndyWeber: Die Seite wurde neu angelegt: „Wir überprüfen ob es sich bei <math>[\N,\sdot]</math> um eine Gruppe handelt: (1) Abgeschlossenheit Beispiel: <math> a=4, b=5, a \sdot b=4 \sdot 5=20 \in …“

Wir überprüfen ob es sich bei <math>[\N,\sdot]</math> um eine Gruppe handelt:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: <math> a=4, b=5, a \sdot b=4 \sdot 5=20 \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(2) Assoziativität

Beispiel: <math> a=3, b=2, c=4, (a \sdot b)\sdot c=(3 \sdot 2) \sdot 4=6 \sdot 4=24=3 \sdot 8=3 \sdot (2 \sdot 4)=a \sdot (b \sdot c) </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(3) neutrales Element

Beispiel: <math> a=4, n=1, a \sdot n=4 \sdot 1=4, n \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(4) inverses Element

Beispiel: <math> a=4, a</math><sup>-1</sup><math>=(1/4), a \sdot a</math><sup>-1</sup><math>=4 \sdot (1/4)=0, a</math><sup>-1</sup><math> \notin \N </math> <span style="color:red;">passt nicht!</span>

Somit handelt es sich bei <math>[\N,\sdot]</math> nicht um eine Gruppe.

Natürliche Zahlen mit Addition

2018-07-09T12:30:18Z

AndyWeber: Die Seite wurde neu angelegt: „Wir überprüfen ob es sich bei <math>[\N,+]</math> um eine Gruppe handelt: (1) Abgeschlossenheit Beispiel: <math> a=4, b=5, a+b=4+5=9 \in \N </math> <span …“

Wir überprüfen ob es sich bei <math>[\N,+]</math> um eine Gruppe handelt:

(1) Abgeschlossenheit

Beispiel: <math> a=4, b=5, a+b=4+5=9 \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(2) Assoziativität

Beispiel: <math> a=3, b=2, c=4, (a+b)+c=(3+2)+4=5+4=9=3+6=3+(2+4)=a+(b+c) </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(3) neutrales Element

Beispiel: <math> a=4, n=0, a+n=4+0=4, n \in \N </math> <span style="color:green;">passt.</span>

(4) inverses Element

Beispiel: <math> a=4, -a=-4, a+-a=4+(-4)=0, -a \notin \N </math> <span style="color:red;">passt nicht!</span>

Somit handelt es sich bei <math>[\N,+]</math> nicht um eine Gruppe.

Gruppendefinition (kurz)

2018-07-09T11:58:43Z

AndyWeber: /* Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Linksinvers gleich Rechtsinvers=
==Satz 1==
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe.<br />
<math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math>
==Beweis von Satz 1==
Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. <br />
Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>:
{|
|-
| (I)|| <math>a \odot b = e \odot a \odot b </math>|| (Wir haben <math>a</math> mit <math>b</math> von rechts multipliziert
|-
| (II) || <math>a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b </math> ||(Auch <math>b</math> hat ein Linksinverses <math>b^{-1}</math>
|-
|(III) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b </math> || (Assoziativität)
|-
|(IV) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b </math> || (<math>b</math> ist das Linksinverse von <math>a</math>)
|-
| (V) || <math>a \odot b = b^{-1} \odot b </math> || (Eigenschaften des Einselements)
|-
| (VI) || <math>a \odot b = e </math> || (<math>b^{-1}</math> ist das Linksinverse von <math>b</math>
|}
Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.

=Linkseins gleich Rechtseins=
==Satz 2==
Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. Wenn <math>e \in G</math> von links multipliziert Einselement von <math>[G, \otimes]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch von rechts multipliziert Einselement von <math>G</math>.
==Beweis von Satz 2==
Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.<br />
Wir gehen von <math>(I) e \otimes g = g</math>.<br />
In Gleichung <math>(I)</math> multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit <math>g^{-1}\otimes g</math> und erhalten <math>(II)</math>.<br />
<math>(II) e \otimes g \otimes (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)</math>.<br />
Aus <math>(II)</math> folgt:<br />
<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.
=Verkürzte Gruppendefinition=
Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:
==Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)==
Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a</math>
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>.

|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (lang)

2018-07-09T11:27:07Z

AndyWeber: /* Definition 4*: (Gruppe, Langfassung) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Definitionen=
==Definition 1: (Algebraische Struktur)==
Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br />

Schreibweise:<br />
<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math>

==Definition 2: (Halbgruppe)==
Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn
<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br />
D.h. es gilt:
#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c \in H: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>.

==Definition 3: (Monoid)==
Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />
*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>
==Definition 4: (Gruppe)==
Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:
*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>
==Definition 5: (Abelsche Gruppe)==
Wenn in einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> für alle Gruppenelemente <math>a</math> und <math>b</math> <math>a \odot b=b\odot a</math> gilt, dann heißt <math>[G,\odot]</math> kommutative oder abelsche Gruppe.
=Bemerkungen=
==Additiv geschriebene Gruppen==
Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element <math>n</math> und schreibt die Inversen als <math>-a</math>.<br />
Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt.

==Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)==
Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math>
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>.

|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (lang)

2018-07-09T11:20:07Z

AndyWeber: /* Additiv geschriebene Gruppen */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Definitionen=
==Definition 1: (Algebraische Struktur)==
Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br />

Schreibweise:<br />
<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math>

==Definition 2: (Halbgruppe)==
Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn
<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br />
D.h. es gilt:
#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c \in H: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>.

==Definition 3: (Monoid)==
Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />
*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>
==Definition 4: (Gruppe)==
Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:
*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>
==Definition 5: (Abelsche Gruppe)==
Wenn in einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> für alle Gruppenelemente <math>a</math> und <math>b</math> <math>a \odot b=b\odot a</math> gilt, dann heißt <math>[G,\odot]</math> kommutative oder abelsche Gruppe.
=Bemerkungen=
==Additiv geschriebene Gruppen==
Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element <math>n</math> und schreibt die Inversen als <math>-a</math>.<br />
Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt.

==Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)==
Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math>
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>.

|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (lang)

2018-07-09T10:51:10Z

AndyWeber: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Definitionen=
==Definition 1: (Algebraische Struktur)==
Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br />

Schreibweise:<br />
<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math>

==Definition 2: (Halbgruppe)==
Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn
<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br />
D.h. es gilt:
#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c \in H: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>.

==Definition 3: (Monoid)==
Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />
*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>
==Definition 4: (Gruppe)==
Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:
*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>
==Definition 5: (Abelsche Gruppe)==
Wenn in einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> für alle Gruppenelemente <math>a</math> und <math>b</math> <math>a \odot b=b\odot a</math> gilt, dann heißt <math>[G,\odot]</math> kommutative oder abelsche Gruppe.
=Bemerkungen=
==Additiv geschriebene Gruppen==
Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element <math>n</math> und schreibt die die Inversen als <math>-a</math>.<br />
Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt.
==Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)==
Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>
# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math>
# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>.

|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Teilnehmer Lineare Algebra SoSe 23018

2018-04-19T21:03:36Z

AndyWeber: /* Montag 12 bis 14 Uhr */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |

Bitte tragen Sie sich hier ein, damit ich sehen kann, ob es klappt minder Aufteilung der Teilnehmerzahlen auf zwei Termine:

=Montag 12 bis 14 Uhr=
# Max Mustermann
# Kim
# Mitmachen
# lena
# Luisa
# Maria Umann
# Saskia
# Kat
# Johannes
# Nadine
# Laura
# Tobias
# Christian
# Sabine
# Andreas Weber
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...

=Donnerstag 10 bis 12 Uhr=
# Erika Mustermann
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...
# ...


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 16 17)

2016-10-21T15:59:29Z

AndyWeber:

Geben Sie eine andere Schreibweise der folgenden Mengen an und prüfen Sie, welche Mengen identisch sind.<br /><br />
<math>M_1 = \{x\vert x\in \mathbb{N}\wedge x+2 = 0\}</math><br /><br />
<math>M_2 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}+2 = 0\}</math><br /><br />
<math>M_3 = \{x\vert x\in \mathbb{Z}\wedge x+2 = 0\}</math><br /><br />
<math>M_4 = \{x\vert x\in \mathbb{Q}\wedge x^{2}-2 = 0\}</math><br /><br />
<math>M_5 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}-2 = 0\}</math><br /><br />
<math>M_6 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge (x+2)^{2} = 0\}</math><br /><br />

<popup>
<math>M_1 = \emptyset</math>

<math>M_2 = \emptyset</math>

<math>M_3 = \{-2\}</math>

<math>M_4 = \emptyset</math>

<math>M_5 = \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}</math>

<math>M_6 = \{-2\}</math>

<math>\Rightarrow M_1 = M_2 = M_4 \text{ und } M_3 = M_6</math>
</popup>--[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 23:53, 20. Okt. 2016 (CEST)

<popup>
[[Datei:Loesung 1 2 ajweber.JPG|500px]]
</popup>--[[Benutzer:AndyWeber|AJWeber]] ([[Benutzer Diskussion:AndyWeber|Diskussion]]) 17:59, 21. Okt. 2016 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]
[[Kategorie:Lösung zu Übung 1 (Wintersemester 2016/2017)]]

Datei:Loesung 1 2 ajweber.JPG

2016-10-21T15:56:47Z

AndyWeber: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Auftrag der Woche 1 (WS 16 17)

2016-10-21T12:21:42Z

AndyWeber: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */

== Geometrie im Alltag - Kennenlernen des Wikis ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie den Umgang mit diesem Wiki im Sinne von "Learning by doing" besser kennenlernen. Hierzu haben Sie zwei Aufgaben:

# Spüren Sie Geometrie im Alltag auf und stellen Sie diese als Bild auf ihre eigene Benutzerseite (Diese Benutzerseite können Sie später nutzen um sich z. B. nach und nach ein eigenes individuelles Skript aufzubauen). '''Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!'''
# Schreiben Sie mit Hilfe eines Formeleditors, z. B. dem [http://atomurl.net/math/ TeX equation editor] eine passende Formel zu ihrem Bild und fügen Sie diese dann ein.

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Schreiben Sie jetzt noch eine passende Formel mit Hilfe des [http://atomurl.net/math/ TeX equation editor] unter Ihr Bild.
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===

* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko
* [[Benutzer:Lipileem]] - Zylinderförmige Kaffeetasse
* [[Benutzer:AndyWeber]] - Der Zauberwürfel
[[Kategorie:Geo_P]]
[[Kategorie:Auftrag der Woche (Wintersemester 2016/2017)]]
[[Kategorie:Übung 1 (Wintersemester 2016/2017)]]

Benutzer:AndyWeber

2016-10-21T12:20:28Z

AndyWeber: Die Seite wurde neu angelegt: „Andreas J. Weber, Student B.A. Sekundarstufe I mit den Fächern Mathematik und Physik Datei:Zauberwuerfel.JPG|thumb|Unser prominentes Beispiel für einen Wü…“

Andreas J. Weber, Student B.A. Sekundarstufe I mit den Fächern Mathematik und Physik
[[Datei:Zauberwuerfel.JPG|thumb|Unser prominentes Beispiel für einen Würfel, der Zauberwürfel, ein Puzzlespiel welches sich seit 1980 großer Beliebtheit erfreut.]]

Ein Würfel besteht aus 6 gleichgroßen Quadraten und gehört daher zu den platonischen Körpern.

[[Datei:Wuerfelvolumen.png]]

[[Datei:Wuerfelflaeche.png]]

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2016-10-21T12:16:35Z

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Datei:Wuerfelvolumen.png

2016-10-21T12:16:35Z

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Datei:Zauberwuerfel.JPG

2016-10-21T12:02:47Z

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