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GeometrieUndUnterrichtSS2019 13

2019-07-25T07:42:21Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Vorbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt Ergebnisse aus Andelfinger (1988) „Geometrie: Didaktischer Informationsdienst Mathematik“ vor. Dabei wurden sowohl Schüler*innen als auch Lehrpersonen befragt, was Sie sich unter dem Geometrieunterricht vorstellen. Schauen Sie sich [https://youtu.be/9qqb3z8odTg den Vorlesungsmitschnitt der ersten Sitzung] aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00) an.

# Suchen Sie sich für eine Schulform und zwei Jahrgangsstufen aus und sammeln Sie aus den Bildungsplänen für das Land Baden-Württemberg die Bestandteile des Geometrieunterrichts zusammen.
# Sortieren Sie diese Bestandteile einerseits in das Kategoriensystem der Schüler*innen-Perspektive und andererseits in das Kategoriensystem der Lehrpersonen-Perspektive ein.

[https://www.bildungsplaene-bw.de Bildungspläne des Landes Baden-Württemberg (2016)]:
* [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M Gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I]
* [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/GYM/M Bildungsplan für das Gymnasium]
* [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/GMSO/M Bildungsplan der Oberstufe an Gemeinschaftsschulen]

===Ergebnisse der Vorbereitung===

{| class="wikitable"
|-

! Schulart !! Jahrgangsstufe !! Zeichen-Bastel-Mal-Geo (SuS) !! Pingelige Puzzle-Geo (SuS) !! Beweis-Geo (SuS) !! Exoten-Geo (SuS) !! Formel-Geo (SuS) !! Vor-Geometrie (LL) !! Haupt-Geometrie (LL) !! Zusatz-Geometrie (LL)

|-
|
GYMN
||
07/08
||
||
* Winkelweiten und Streckenlängen durch Anwenden des Winkelsummensatzes oder des Basiswinkelsatzes beziehungsweise dessen Kehrsatz erschließen (-> Beweis-Geo, Formel-Geo?)
* die Konstruierbarkeit von Dreiecken unter Verwendung der Dreiecksungleichung und des Winkelsummensatzes beurteilen sowie die Lösungsvielfalt bei Dreieckskonstruktionen untersuchen
* Streckenlängen und Winkelweiten in ebenen Figuren und Körpern durch maßstäbliches Zeichnen erschließen (Mal-Bastel-Geo?)
* die Mittelsenkrechte einer Strecke, die Winkelhalbierende eines Winkels mit Zirkel und Lineal konstruieren
* geometrische Probleme unter Verwendung von Ortslinien (Kreislinie, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Mittelparallele, Thaleskreis) zeichnerisch lösen, auch mit dynamischer Geometriesoftware, und die Lösung beschreiben
* den Umkreismittelpunkt und den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks mit Zirkel und Lineal konstruieren und die Konstruktion begründen
* Tangenten an Kreise in Punkten auf dem Kreis und von Punkten außerhalb konstruieren
*durch zentrische Streckung (auch negativer Streckfaktor) Figuren maßstäblich vergrößern und verkleinern (-> Mal-Bastel-Geo ?)
||
* den Winkelsummensatz für Dreiecke begründen
* den Satz des Thales begründen und anwenden, insbesondere auf Orthogonalität schließen
||

||
* Winkelweiten unter Verwendung von Scheitel- und Nebenwinkeln sowie Stufen- und Wechselwinkeln erschließen
* Streckenlängen unter Nutzung der Strahlensätze bestimmen
* die Nichtumkehrbarkeit des zweiten Strahlensatzes durch Angabe eines Gegenbeispiels begründen
||
* Streckenlängen und Winkelweiten in ebenen Figuren und Körpern durch maßstäbliches Zeichnen erschließen
* durch zentrische Streckung (auch negativer Streckfaktor) Figuren maßstäblich vergrößern und verkleinern
||
* alles andere
||


|}

== Sitzungsmaterialien ==

== Dokumentation der Sitzung ==

== Literaturhinweise ==

GeometrieUndUnterrichtSS2019 11

2019-07-25T07:08:04Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 22 (Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Nachteile oder Kritik Sie an dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===
==== Vorbereitungsauftrag Ilona Rein ====
* mangelnde Anschaulichkeit: "statisch", tlw. wenig einsichtig; Konzept der Abbildungsvorschrift für SuS möglicherweise zu abstrakt?
* grafische oder haptische Realisierungen möglicherweise nicht immer möglich
* kein direkter Realitätsbezug
* Gefahr von Fehlvorstellungen
* viele verschiedene Begriffe und Formulierungen, die möglicherweise zu Verwirrung bei den SuS führen können
* zu starker Fokus auf die Bewegung im Kontext der Abbildungsgeometrie erschwert Verständnis des Abbildungsbegriffs

==== Vorbereitungsauftrag Wibke + ''Anna-Lena'' ====
* A: Geometrische Abbildungen sind komplizierte Sonderfälle, da Definitions- und Wertebereich übereinstimmen ''und der zugehörige Graph nicht isometrisch ist; Bewegungen ungeeignet für Funktionsbegriffbildung''
* B: Kongruenzabbildungen sind lineare Abbildungen und somit weniger interessant
* C: Keine Anschaulichkeit, Dynamik oder Selbsttätigkeit für Abbildungsgeometrie ''im Vergleich zur Bewegungsgeometrie'', da statisch
* E: Schwer zugängliches Konstrukt der Projektilen Geometrie; ''Gleichwertigkeit des Axiomensystem von Hilbert und der Abbildungsgeometrie ist für SuS schwer einsehbar'' 
* E: Abbildungsgeometrie geht den Problemen die sich aus der Realität ergeben aus dem Weg; ''Widersprüchlichkeit beim Symmetriebegriff in 3D und der Realität (Kotflügelproblem)''
* F: Beweise sind teilweise lückenhaft, da die Existenz solcher Abbildungen oft ausgelassen wird
* ''G: Geometrie kann ganz ohne Realitätsbezug betrieben werden, da es ein in sich logisches System ist; Geringe Bedeutung von Bewegungen in der Praxis ''

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1IAwEFKZfWzo5TbiyEX48SHOptB6jyyl5Dss4XSCvog0/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 19.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==

'''Einstieg:'''

Zu Beginn der Stunde haben wir die Symmetrie und Kongruenz in einen Alltagsbezug gebracht und dabei folgende Bereiche festgehalten in denen die Symmetrie sowie die Kongruenz eine Rolle spielt:

* Ästhetik
* Kulturelle Phänomene
* Ökonomie/Technik
* Natur
* Kunst
* Architektur
* Mathematik (Ordnungsprinzip, Hilfsmittel beim Problemlösen, Algebra, Arithmetik, siehe Folie 2)

Rückblickend auf die vorherige Sitzung haben wir die drei Zugänge zu Symmetrie und Kongruenz besprochen (Zugang über die Symmetrie, Zugang über Kongruenz und Zugang über Kongruenzabbildungen).

Anschließend nahmen wir Bezug auf den Nachbearbeitungsauftrag der vorherigen Sitzung und es wurden folgende Kritikpunkte an dem abbildungsgeometrischen Ansatz beigefügt:

1. Das Falten von Folien kann schnell zu kompliziert werden für die Schülerinnen und Schüler.

::Hinweis des Dozenten: Die Anforderungen sollten zu Anfang nicht zu schwer gewählt werden.

2. Der Funktionsbegriff ist in der Schule oft sehr weit entfernt vom Abbildungsbegriff.

::Hinweis vom Dozenten: In der Schule ergeben sich leider wenige Chancen diese Begriffe in Einklang zu bringen.

Nachfolgend besprachen wir, wie sich Symmetrie und Kongruenz in den Bildungsstandards zwischen der Primarstufe und der Sekundarstufe unterscheiden:

Primarstufe:

:1. Leitidee „Raum und Form“

:::Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen, beschreiben und nutzen

:2. Symmetrische Muster fortsetzen und selbst entwickeln

:::Leitidee „Muster und Strukturen“

:::(Arithmetische und) geometrische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben

Sekundarstufe:

:1. Leitidee Raum und Form
:::Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) beschreiben, begründen und beim Problemlösen (im Sachzusammenhang) nutzen

'''Methodische Arbeitsphase:'''

In der methodischen Arbeitsphase haben wir vom Dozenten verschiede Arbeitsmaterialien bekommen, mit denen wir Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen etc. im Unterricht einführen können. Wir haben folgende Ergebnisse sichern können:

1. Den Schmetterling als symmetrisch wahrnehmen (siehe Bild) [[Datei:Schmetterling.jpeg|thumb|Schmetterling]]

2. Drehungen über eine Schablone mit Fixpunkt (Einstechnadel)

::Handlungstheoretischer Zugang (es gilt vom Einfachen zum Komplexen)

3. Reduktionssatz über Kohlepapier einführen (DIN A4 als Ebene sehen und dann Falten, Kohlepapier unter das gefaltete Papier legen)

::Es entsteht beim auseinanderfalten des Papiers eine Achsenspiegelung an der Faltgeraden

4. Ein weiteres handlungsorientiertes Vorgehen ist das Spiel mit der Zielscheibe und dem Kohlepapier (siehe Bidl). [[Datei:Zielscheibe.jpeg|thumb|Zielscheibe]]

Es galt eine Zielscheide zu malen und dann durch die Achsenspiegelung mit einem Kreuz möglichst in die Mitte der Zielscheibe zu treffen. Dabei entwickelten wir in der Gruppe folgende mögliche Regeln und Modifikationen des Spiels für eine Klasse:

::a. Man darf dreimal Schießen und immer zwischendrin nachschauen ob man getroffen hat

::b. Verschiedene Spiegelachsen überlegen (Faltlinie im Vorhinein festlegen)

::c. Man könnte einen Wettbewerb gestalten

::d. Vorgeben wie groß die Zielscheibe sein soll

::e. Verschiedene Formen z.B. Dreiecke anstatt des Kreuzes

::f. Dürfen Hilfsmittel benutzt werden?

::::. Wenn man bei dem Spiel messen erlaubt, könnte man dadurch die Längentreue erfahrbar machen und dass die zusammengehörigen Spiegelpunkte immer denselben Abstand zur Spiegelachse haben

Man kann auch Drehungen und Verschiebungen mit dem Kohlepapier simulieren, indem man die NAF von zwei Spiegelungen durchführt, wobei man das Kohle Papier zwischen das Papier einfaltet. (siehe Bild) [[Datei:Drehung.jpeg|thumb|Drehung]] [[Datei:Verschiebung.jpeg|thumb|Verschiebung]]

::ii. Drehungen um 180grad = Falten senkrecht zur ersten Faltgerade
::iii. Verschiebung = Falten parallel zur ersten Faltgerade

Um eine Schubspiegelung zu simulieren, müsste man dreimal Spiegeln, was allerdings für die Schüler sehr kompliziert werden könnte. Darüber hinaus müsste man den Zeichendruck merklich erhöhen, was dazu führen könnte, dass das Kohlepapier beschädigt wird.

'''Insgesamt haben wir folgende Vor- und Nachteile herausgearbeitet:'''

1. Vorteile: einfach durchführbar; macht Spaß; Abbildungen können erkennbar gemacht werden; haptische Vorgänge (motivationspsychologisch)

::wichtig ist, dass man von der Benutzung des Kohlepapiers nach einiger Zeit wegkommt und zu Spiegelungen bzw. Verschiebungen mit Zirkel und Geodreieck hinführt.

2. Nachteile: nicht ganz unkompliziert; haptisch sehr herausfordernd; nicht geeignet um Drehungen erstmalig einzuführen.

::Schablonen wären hier passender

'''Abschluss:'''
Wie man den Kongruenzbegriff im Unterricht einführen kann und wie sich Kongruenzsätze im Unterricht behandeln lassen ist auf Folie 6 und 7 nachzulesen.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Abbildungsgeometrie'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
In [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]; S. 198; Bsp. 8.13. werden die Kongruenz- und Abbildungsbeweisideen zu folgender Aufgabe gegenübergestellt: 
''Von den Ecken eines Quadrates ABCD werden im gleichen Umlaufsinn gleiche Streckenlängen x abgetragen. Man erhält das Viereck A'B'C'D'. Warum ist dieses Viereck wiederrum ein Quadrat?'' 

Kongruenzbeweis: SWS-Kriterium für Dreiecke A'BB'.. -> A'B'C'D' Raute; Winkelsumme im Dreieck -> rechte Winkel in A'B'C'D' 

Abbildungsbeweis: 4-zählige Drehachse in Mittelpunkt der Figur (Drehung um 90° führt zur Deckung) -> Viereck
* Nennen Sie Vor- und Nachteile beider Beweismethoden
||
Vorteile von Kongruenzbeweisen/Nachteile von Abbildungsbeweisen:
* Überschaubare Voraussetzungen
* Finden von passenden Abbildung, die z.T. viele verschiedene Eigenschaften haben
* 'Statischer' Vergleich von Winkelmaße und Längen einfacher als das 'dynamische" Abbilden.
* Leichter zu verbalisieren
* ...
Nachteile von Kongruenzbeweisen/ Vorteile von Abbildungsbeweisen:
* Viele, verschiedene Darstellungsebenen (enaktiv mit Transparentpapier oder ikonisch mit digitaler Geometrie-Software)
* Leichterer Ansatz: Betrachten und Explizitmachen der Abbildungen der vorhanden Symmetrie geometrischer Figuren
* Deutlichere Hervorhebung von Zusammenhängen zw. Figur und Eigenschaft
* Aufgreifen der zentralen Grundvorstellung "Überdecken" im Kongruenzbegriff (allgemeines Argument)
* ...
||
Hier werden typische Vor- und Nachteile abbildungsgeometrischer Beweise an einem konkreten Beispiel erfragt. Die fachwissenschaftliche Ausführung der Beweise steht dabei im Hintergrund.


|}

GeometrieUndUnterrichtSS2019 11

2019-07-25T07:06:19Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 22 (Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Nachteile oder Kritik Sie an dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===
==== Vorbereitungsauftrag Ilona Rein ====
* mangelnde Anschaulichkeit: "statisch", tlw. wenig einsichtig; Konzept der Abbildungsvorschrift für SuS möglicherweise zu abstrakt?
* grafische oder haptische Realisierungen möglicherweise nicht immer möglich
* kein direkter Realitätsbezug
* Gefahr von Fehlvorstellungen
* viele verschiedene Begriffe und Formulierungen, die möglicherweise zu Verwirrung bei den SuS führen können
* zu starker Fokus auf die Bewegung im Kontext der Abbildungsgeometrie erschwert Verständnis des Abbildungsbegriffs

==== Vorbereitungsauftrag Wibke + ''Anna-Lena'' ====
* A: Geometrische Abbildungen sind komplizierte Sonderfälle, da Definitions- und Wertebereich übereinstimmen ''und der zugehörige Graph nicht isometrisch ist; Bewegungen ungeeignet für Funktionsbegriffbildung''
* B: Kongruenzabbildungen sind lineare Abbildungen und somit weniger interessant
* C: Keine Anschaulichkeit, Dynamik oder Selbsttätigkeit für Abbildungsgeometrie ''im Vergleich zur Bewegungsgeometrie'', da statisch
* E: Schwer zugängliches Konstrukt der Projektilen Geometrie; ''Gleichwertigkeit des Axiomensystem von Hilbert und der Abbildungsgeometrie ist für SuS schwer einsehbar'' 
* E: Abbildungsgeometrie geht den Problemen die sich aus der Realität ergeben aus dem Weg; ''Widersprüchlichkeit beim Symmetriebegriff in 3D und der Realität (Kotflügelproblem)''
* F: Beweise sind teilweise lückenhaft, da die Existenz solcher Abbildungen oft ausgelassen wird
* ''G: Geometrie kann ganz ohne Realitätsbezug betrieben werden, da es ein in sich logisches System ist; Geringe Bedeutung von Bewegungen in der Praxis ''

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1IAwEFKZfWzo5TbiyEX48SHOptB6jyyl5Dss4XSCvog0/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 19.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==

'''Einstieg:'''

Zu Beginn der Stunde haben wir die Symmetrie und Kongruenz in einen Alltagsbezug gebracht und dabei folgende Bereiche festgehalten in denen die Symmetrie sowie die Kongruenz eine Rolle spielt:

* Ästhetik
* Kulturelle Phänomene
* Ökonomie/Technik
* Natur
* Kunst
* Architektur
* Mathematik (Ordnungsprinzip, Hilfsmittel beim Problemlösen, Algebra, Arithmetik, siehe Folie 2)

Rückblickend auf die vorherige Sitzung haben wir die drei Zugänge zu Symmetrie und Kongruenz besprochen (Zugang über die Symmetrie, Zugang über Kongruenz und Zugang über Kongruenzabbildungen).

Anschließend nahmen wir Bezug auf den Nachbearbeitungsauftrag der vorherigen Sitzung und es wurden folgende Kritikpunkte an dem abbildungsgeometrischen Ansatz beigefügt:

1. Das Falten von Folien kann schnell zu kompliziert werden für die Schülerinnen und Schüler.

::Hinweis des Dozenten: Die Anforderungen sollten zu Anfang nicht zu schwer gewählt werden.

2. Der Funktionsbegriff ist in der Schule oft sehr weit entfernt vom Abbildungsbegriff.

::Hinweis vom Dozenten: In der Schule ergeben sich leider wenige Chancen diese Begriffe in Einklang zu bringen.

Nachfolgend besprachen wir, wie sich Symmetrie und Kongruenz in den Bildungsstandards zwischen der Primarstufe und der Sekundarstufe unterscheiden:

Primarstufe:

:1. Leitidee „Raum und Form“

:::Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen, beschreiben und nutzen

:2. Symmetrische Muster fortsetzen und selbst entwickeln

:::Leitidee „Muster und Strukturen“

:::(Arithmetische und) geometrische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben

Sekundarstufe:

:1. Leitidee Raum und Form
:::Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) beschreiben, begründen und beim Problemlösen (im Sachzusammenhang) nutzen

'''Methodische Arbeitsphase:'''

In der methodischen Arbeitsphase haben wir vom Dozenten verschiede Arbeitsmaterialien bekommen, mit denen wir Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen etc. im Unterricht einführen können. Wir haben folgende Ergebnisse sichern können:

1. Den Schmetterling als symmetrisch wahrnehmen (siehe Bild) [[Datei:Schmetterling.jpeg|thumb|Schmetterling]]

2. Drehungen über eine Schablone mit Fixpunkt (Einstechnadel)

::Handlungstheoretischer Zugang (es gilt vom Einfachen zum Komplexen)

3. Reduktionssatz über Kohlepapier einführen (DIN A4 als Ebene sehen und dann Falten, Kohlepapier unter das gefaltete Papier legen)

::Es entsteht beim auseinanderfalten des Papiers eine Achsenspiegelung an der Faltgeraden

4. Ein weiteres handlungsorientiertes Vorgehen ist das Spiel mit der Zielscheibe und dem Kohlepapier (siehe Bidl). [[Datei:Zielscheibe.jpeg|thumb|Zielscheibe]]

Es galt eine Zielscheide zu malen und dann durch die Achsenspiegelung mit einem Kreuz möglichst in die Mitte der Zielscheibe zu treffen. Dabei entwickelten wir in der Gruppe folgende mögliche Regeln und Modifikationen des Spiels für eine Klasse:

::a. Man darf dreimal Schießen und immer zwischendrin nachschauen ob man getroffen hat

::b. Verschiedene Spiegelachsen überlegen (Faltlinie im Vorhinein festlegen)

::c. Man könnte einen Wettbewerb gestalten

::d. Vorgeben wie groß die Zielscheibe sein soll

::e. Verschiedene Formen z.B. Dreiecke anstatt des Kreuzes

::f. Dürfen Hilfsmittel benutzt werden?

::::. Wenn man bei dem Spiel messen erlaubt, könnte man dadurch die Längentreue erfahrbar machen und dass die zusammengehörigen Spiegelpunkte immer denselben Abstand zur Spiegelachse haben

Man kann auch Drehungen und Verschiebungen mit dem Kohlepapier simulieren, indem man die NAF von zwei Spiegelungen durchführt, wobei man das Kohle Papier zwischen das Papier einfaltet. (siehe Bild) [[Datei:Drehung.jpeg|thumb|Drehung]] [[Datei:Verschiebung.jpeg|thumb|Verschiebung]]

::ii. Drehungen um 180grad = Falten senkrecht zur ersten Faltgerade
::iii. Verschiebung = Falten parallel zur ersten Faltgerade

Um eine Schubspiegelung zu simulieren, müsste man dreimal Spiegeln, was allerdings für die Schüler sehr kompliziert werden könnte. Darüber hinaus müsste man den Zeichendruck merklich erhöhen, was dazu führen könnte, dass das Kohlepapier beschädigt wird.

'''Insgesamt haben wir folgende Vor- und Nachteile herausgearbeitet:'''

1. Vorteile: einfach durchführbar; macht Spaß; Abbildungen können erkennbar gemacht werden; haptische Vorgänge (motivationspsychologisch)

::wichtig ist, dass man von der Benutzung des Kohlepapiers nach einiger Zeit wegkommt und zu Spiegelungen bzw. Verschiebungen mit Zirkel und Geodreieck hinführt.

2. Nachteile: nicht ganz unkompliziert; haptisch sehr herausfordernd; nicht geeignet um Drehungen erstmalig einzuführen.

::Schablonen wären hier passender

'''Abschluss:'''
Wie man den Kongruenzbegriff im Unterricht einführen kann und wie sich Kongruenzsätze im Unterricht behandeln lassen ist auf Folie 6 und 7 nachzulesen.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Abbildungsgeometrie'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
In Weignand et al. S. 198. Bsp. 8.13. werden die Kongruenz- und Abbildungsbeweisideen zu folgender Aufgabe gegenübergestellt: 
''Von den Ecken eines Quadrates ABCD werden im gleichen Umlaufsinn gleiche Streckenlängen x abgetragen. Man erhält das Viereck A'B'C'D'. Warum ist dieses Viereck wiederrum ein Quadrat?'' 

Kongruenzbeweis: SWS-Kriterium für Dreiecke A'BB'.. -> A'B'C'D' Raute; Winkelsumme im Dreieck -> rechte Winkel in A'B'C'D' 

Abbildungsbeweis: 4-zählige Drehachse in Mittelpunkt der Figur (Drehung um 90° führt zur Deckung) -> Viereck
* Nennen Sie Vor- und Nachteile beider Beweismethoden
||
Vorteile von Kongruenzbeweisen/Nachteile von Abbildungsbeweisen:
* Überschaubare Voraussetzungen
* Finden von passenden Abbildung, die z.T. viele verschiedene Eigenschaften haben
* 'Statischer' Vergleich von Winkelmaße und Längen einfacher als das 'dynamische" Abbilden.
* Leichter zu verbalisieren
* ...
Nachteile von Kongruenzbeweisen/ Vorteile von Abbildungsbeweisen:
* Viele, verschiedene Darstellungsebenen (enaktiv mit Transparentpapier oder ikonisch mit digitaler Geometrie-Software)
* Leichterer Ansatz: Betrachten und Explizitmachen der Abbildungen der vorhanden Symmetrie geometrischer Figuren
* Deutlichere Hervorhebung von Zusammenhängen zw. Figur und Eigenschaft
* Aufgreifen der zentralen Grundvorstellung "Überdecken" im Kongruenzbegriff (allgemeines Argument)
* ...
||
Hier werden typische Vor- und Nachteile abbildungsgeometrischer Beweise an einem konkreten Beispiel erfragt. Die fachwissenschaftliche Ausführung der Beweise steht dabei im Hintergrund.


|}

GeometrieUndUnterrichtSS2019 11

2019-07-19T06:42:17Z

Anna-Lena Fertig: /* Vorbereitungsauftrag Wibke */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-19T06:21:37Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden.JPG|thumb|Beispiel]]

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ''Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===
[[Datei:Zentrische Streckung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und zentrischen Streckungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)==
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Kongruenzabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)==
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)==
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Affinitätsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)==
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

==== Nachbereitungsauftrag Ilona Rein ====
===== Vorteile des abbildungsgeometrischen Ansatzes =====
* Einführung von Begriffen wie Abbildung und Gruppe (maßgebliche Begriffe - zumindest in der Universitätsmathematik)
* globale Ordnung: Abbildungen als Prinzip, das im Mathematikunterricht immer wieder vorkommt / vorkommen kann ("durchgängiges Prinzip der Geometrie")
* Erarbeitung von Axiomensysstemen
* ggf. erscheinen abbildungsgeometrische Beweise den SuS mächtiger / sind ihnen einsichtiger als andere Arten des Beweises eines bestimmten Resultats (Anschaulichkeit / Nachvollziehbarkeit)

===== Beispiel =====
Eine Möglichkeit wäre es, die Gleichseitigkeit eines Dreiecks mit der Achsensymmetrie an den Mittelsenkrechten in Verbindung zu bringen. Hierbei könnte auf bereits existierendes Vorwissen zur Eigenschaft gleichseitiger Dreiecke aufgebaut werden, um den Begriff der Achsensymmetrie als Abbildung einzuführen, bei der jedem Punkt des Dreiecks der Spiegelpunkt bezüglich einer Mittelsenkrechten zugewiesen wird. Die SuS müssten sich über die "Abbildungsvorschrift" Gedanken machen und könnten diese ggf. formulieren anhand ihres (hoffentlich vorhandenen) Wissens über Achsensymmetrie. Zugleich wäre mit dieser Herangehensweise die Erkenntnis verbunden, dass die Achsensymmetrie bezüglich aller drei Mittelsenkrechten gilt. Interessant wäre ausgehend von dieser Erkenntnis auch die Möglichkeit, nach den Symmetrien in gleichschenkligen, rechtwinkligen usw. Dreiecken zu fragen und den SuS die Möglichkeit zu geben, den Abbildungsbegriff im Kontext von Symmetrien weiter zu vertiefen.

==== Nachbereitungsauftrag Wibke ====
===== Vorteile des abbildungsgeometrischen Ansatzes (nach Bender (1982)) =====
* Universelle mathematische Idee wird vermittelt
* Funktionales Denken wird geschult
* Anschaulichkeit, Dynamik, Selbsttätigkeit
* Strukturverwandtschaft zwischen Abbildungsgruppen und (Denk-)Gruppierungen
* Globale Ordnung
* Lokale Ordnung
* Realitätsbezug

===== Beispiel =====
Die folgende SuS-Aktivität ist eine projektorientierte Aufgabe, die sich auch gut als Hausaufgabe stellen lässt. Die SuS sollen Beispiele für Abbildungsgeometrien aus ihrem Alltag sammeln. Dabei sollen die SuS Objekte aus der Umwelt finden, die Achsen- und/oder Punktsymmetrisch sind. Die SuS sollen diese Objekte mitbringen, Bilder davon machen/zeichnen oder eine Beschreibung anfertigen. 
Beispiele können Gebäude, Fenster, Brücken, Baupläne, etc. sein.

==== Nachbereitungsauftrag Katharina ====
===== Vorteile des abbildungsgeometrischen Ansatzes =====
*Abbildungen spielen eine elementare Rolle in der Mathematik
*Verbindung zum Funktionsbegriff
*Dynamischerer Zugang
*Schöne Anwendungsmöglichkeiten bei dynamischer Geometriesoftware

===== Beispiel =====

Zur Vertiefung des Themas „Achsenspiegelung“ fertigen SuS Scherenschnitte an und konstruieren somit selbst achsensymmetrische Figuren. In den Scherenschnitten können Winkel- und Längeneigenschaften sowie die Lagebeziehung von Punkten genauer untersucht werden. Anschließend könnte die Lehrperson nur einen Ausschnitt eines Scherenschnittes austeilen, den die SuS in ihr Heft einkleben sollen. Aufgabe soll sein, den Rest der achsensymmetrischen Figur einzuzeichnen.

==== Nachbereitungsauftrag Anna-Lena ====
===== Vorteile des abbildungsgeometrischen Ansatzes =====
* Verknüpfung des Abbildungsbegriffs mit dem Gruppenbegriff
* Darbietung von handlungsbezogenen Zugängen aufgrund dynamischer Eigenschaft des abbildungsgeometrischen Ansatzes (-> Bewegungsgeometrie + freie Beweglichkeit des starren Körpers)
* Möglichkeit von globalen und lokalen Ordnungsstrukturen (Projektive Geometrie -> Euklidische Geometrie -> Darstellende Geometrie; Invarianzbetrachtungen; beliebige Elementarisierung in Beweisen möglich)

===== Beispiel =====
Die SuS sollen regelmäßige geometrische Objekte (gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Pentagon, Hexagon, Tetraeder, evtl. Oktaeder, Kegel, Zylinder) auf Spiegelebenen, Dreh- und Drehspiegelachsen enaktiv mit Modellen untersuchen. Durch begleitende Fragestellungen wie
* Welche Operationen/Handlungen können die Figur in eine nicht unterscheidbare Figur überführen, d.h. Eckpunkte auf andere Exkpunkte und Kanten auf Kanten?
* Wie oft muss ich die Operation durchführen, um bei der Usprungsfigur zu landen?
* Ist es möglich Operationen zu einer Operation zusammenzufassen? Wenn ja, welche?
* Was passiert mit den Punkten der einer verkleinerten oder vergrößerten Figur unter der Operation?
* Was passiert mit einem Punkt im Raum der nicht auf der Figur liegt?
* Welche Punkte im Raum/Ebene werden durch die ausgeführte Operation/Handlungen festgehalten?
sollen die SuS enaktiv
* Gruppeneigenschaften von einfachen, meist endlichen Symmetriegruppen erfahren
* den linearen, funktionalen Charakter von geometrischen Abbildungen erfahren
* Invarianten von Drehungen, Spiegelungen und Drehspiegelungen kennenlernen

Es wäre sinnvoll, dass der Lehrer ein Beispiel im Plenum vorführt und die Sus in Gruppen je eine Figur bzw. Körper untersuchen.

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 12

2019-07-05T13:53:26Z

Anna-Lena Fertig: /* Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales */

= Der Satz des Thales und formaler Beweis =

Mögliche Formulierung: „Alle Winkel an einem Halbkreis sind rechte Winkel“.

[[Datei:Thales_geo.PNG|thumb|Skizze zur Veranschalichung des Beweises (Thales)]]

== Formaler Beweis ==
Es ist <math>|MA| = |MC| = |MB| = r</math>,
wobei ''r'' den Radius des Kreises bezeichnet. Demnach sind ''ΔAMC'' und ''ΔMBC'' gleichschenklig.

Insbesonders gilt aufgrund des Basiswinkelsatzes für gleichschenklige Dreiecke: <math> \alpha = \gamma_1</math> und <math> \beta = \gamma_2</math>.

Wegen des Satzes der Winkelsumme im Dreieck ''ΔABC'' gilt:

<math> \alpha + \beta + (\gamma_1 + \gamma_2) = 180^\circ </math>,
 

und mit <math> \alpha = \gamma_1 , \beta = \gamma_2</math> ergibt sich 

<math>2( \gamma_1 + \gamma_2 ) = 180^\circ -> \gamma = \gamma_1 + \gamma_2 = 90^\circ</math>.

= Vorüberlegungen =

== Bereitstellung und/oder Aktivierung von Vorwissen der Schülerinnen und Schüler ==

Zunächst stellte sich die Frage, welches Vorwissen bei den SuS vorhanden sein und aktiviert werden muss. Dies wurde an der Tafel zusammengetragen:

* Alle Punkte auf einer Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
* Satz über Winkelsumme im Dreieck, Rechnen mit Winkeln (Addierbarkeit, Ergänzung von Winkeln)
* Lösungsverfahren von Gleichungen, speziell Einsetzungsverfahren
* Definition & Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken

Anschließend wurde diskutiert, wie man dieses Vorwissen aktivieren könne, im Hinblick auf den möglichen Zeitaufwand zu Beginn einer Unterrichtsstunde. Genannt wurden Besprechung von Hausaufgaben, Kurzteste oder -abfragen sowie ein Quizz zu beginn. Für letzteres sollten Fragen entworfen werden, die im Idealfall aus Zeitgründen kompakt, aber dennoch alles abdecken sollten. Beispiele waren:

* Was ist ein Kreis?
* Was ist ein (gleichschenkliges) Dreieck?
* Wieviele rechte Winkel kann ein Dreieck haben?

Allerdings wurden auf den Einwand hin, dass eventuell Schwierigkeiten dabei auftreten könnten, den Bezug dieses Wissen zum Beweis zu sehen, noch bildliche Beispiele genannt, die in Richtung der obigen Skizze des Beweises gingen. Hierbei könnte man fragen: "Wie lang ist |AB|?" usw.

== Finden und Formulieren der Vermutung (zum Satz des Thales) ==

== Explorieren oder Operatives Durcharbeiten der Problemsituation ==

== Beweisfindung und inhaltlich-anschauliche Argumente ==

== Formalisierung der Beweisargumentation ==

== Rückschau, operatives Durcharbeiten des Beweises ==

= Kollaborative Unterrichtsskizze zur Beweisaufgabe: „Satz des Thales“ =

== Aktivierung von Vorwissen ==

[[Datei:Arbeitsergebnis Vorwissen.pdf|thumb|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Aktivieren von Vorwissen für den Satz des Thales“]]

== Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales ==
Die Klasse wird in drei Gruppen geteilt. Gruppe 2 beschäftigt sich mit der Aussage vom Satz des Thales, wohingegen Gruppe 1 und 3 die Umkehrung erforschen. 
SchülerInnen der ersten Gruppe erhalten neben dem Aufgabenblatt Overheadprojektor-Folien mit der schon vorgezeichneten Seite c des Dreiecks ABC, s.d. möglichst zügig gearbeitet werden kann. Die SuS sollen sich in der Gruppe austauschen und organisieren, wer welche Winkelgröße \beta in seinem/ihren Dreieck realisiert. Damit es nicht zu viel Folien sind, soll jeder Schüler/ jede Schülern der Gruppe mindestens zwei rechtwinklige Dreiecke mit unterschiedlichen Winkelgrößen für \beta mit Hilfe des Geodreiecks konstruieren. Danach sollen die Folien aufeinander gelegt werden, d.h. die SuS müssen zusammenarbeiten und überlegen, welche Bedingung (Seite c auf Seite c oder Rechte Winkel auf rechte Winkel) sie invariant halten möchten. Durch das Sammeln mehrerer unterschiedlicher, rechtwinkliger Dreieck mit gleicher Hypotenuse sollte die Vermutung der Umkehrung des Satz des Thales wecken, nämlich das der Eckpunkt C auf einer Kreislinie liegen muss (Seite c wird auf Seite c gelegt) oder das die Seiten c Durchmesser eines Kreises sind (Rechte Winkel werden aufeinander gelegt). Am Schluss soll ihre Vermutung auch kurz schriftlich festgehalten werden, damit im weiteren Verlauf der Unterrichtssequenz bei Behandlung der Umkehrung darauf verwiesen und die Vermutung mit dem Umkehrung des Satz des Thales verglichen werden kann.
[[Datei:Arbeitsergebnis SatzEntdecken.pdf|thumb|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Entdecken und Erarbeiten der Aussage vom Satz des Thales“]]

== Exploration der Phänomensituation (Thalesfiguren) ==

[[Datei:Arbeitsergebnis Exploration.pdf|thumb|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Exploration von Thalesfiguren“]]

== Beweisfindung und Argumentation ==

[[Datei:Arbeitsergebnis Beweisfindung.pdf|thumb|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Beweisfindung und Argumentieren zum Satz des Thales“]]

= Diskussion =

GeometrieUndUnterrichtSS2019 09

2019-07-04T18:50:07Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2). Beantworten Sie für sich die folgenden Fragen/Aufgaben.

===Fragen zu den Abschnitten 1 und 2===

# Welche Schwierigkeiten oder Anforderungen bestehen beim ''Beweisen und Argumentieren'' für Schülerinnen und Schüler?
# Was halten Sie für die größte Anforderungen? Was war für Sie die überraschendste Schwierigkeit?

===Fragen zu den Abschnitten 3, 4 und 5===

# Welcher Ausschnitt aus den empirischen Daten (Aussage in einem SuS-Dialog, Auszug aus einem SuS-Text, …) war für Sie überraschend oder besonders interessant?
# Wählen Sie einen beliebigen Beweis aus der Geometrie aus und bereiten Sie ihn in der im Artikel vorgestellten Strukur (Figure 8) auf.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1O7KJG8vkl96hMeeLDUVe0kClboEOehkA5t2HKPuRwIc/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 28.06.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrages wurden besprochen und das im zu lesenden Paper erörterte "scaffolding" erörtert. Anschließend wurde dieses am konkreten Beispiel des Beweises des Satz des Thales aufzubereitet.

=== Besprechung des Vorbereitungsauftrages ===

Zur Vorbereitung der Sitzung war das Paper „Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre“ (Prediger & Hein, 2017) zu lesen. Zu Beginn der Sitzung wurde dieser besprochen und die einzelnen Kapitel bzw. Textblöcke analysiert.
Ziel des Papers war es, sich mit Schwierigkeiten von SuS auseinanderzusetzen, die bei(m Aufbau von) Argumentationen bzw. Beweisen in der Mathematik auftreten können und wie diese behoben werden könnten. Diese wurden an der Tafel festgehalten:
[[Datei:Toulmin's argumentation structure german.png|thumb|Argumentstruktur nach Toulmin]]
==== Probleme bei Beweisaufgaben im Unterricht ====

* Unterscheidung von Prämissen, Argument, Argument in Anwendung, Schlussfolgerung
* Einsichtigkeit der (Allgemein)Gültigkeit von Aussagen, sowie die Möglichkeiten der Anwendung zu begreifen und diese „parat zu haben“
* Konkrete Beispiele (Experimentelles Beweisen) als nicht-ausreichend akzeptieren
* Fehlendes Beweisbedürfnis
* Wenn-dann („if-then“) einsehen („Understanding their structure is crucial for avoiding circularity”)
* Prämissen zur Anwendung explizit prüfen (Im Alltag würden diese nur formuliert, falls die entsprechende Prämisse zutrifft)
* Mangelnde „sprachliche Bausteine“, um logische Strukturen/Abfolgen auszudrücken
* Inhaltlose Verwendung von „Worthülsen“, wie „Ohne Beschränkung der Allgemeinheit“, „Es sei…“, „Es gilt/ Es gelte“, da diese u.U. nicht begriffen wurden

Während in der Sitzung mehrere Forschungskonzepte genannt wurden, konzentrierte sich die Sitzung auf den Ansatz der Studie, welche im obigen Paper durchgeführt wurde. Dieser basierte auf „structural scaffolding“.
Dies hat den Ansatz kognitive Ansprüche zu entlasten und anschließend Vorgaben und Hilfen bezüglich der Struktur/Strukturfindung abzubauen, um den SuS den Aufbau, Inhalt und Struktur sowie Sprache eines (mathematischen) Beweises näherzubringen. Als Beispiel wurden Lückentexte genannt, bei denen zuerst nur noch wichtige Argumente einzusetzen sind, allerdings im weiteren Verlauf die Lücken stetig vergrößert werden.
Zur Abfolge der Argumentation in Abb.1 wurde diskutiert, ob diese bei komplexeren Beweisen durch ihre zwangsläufig rekursive Struktur (Für die eigentliche Aussage müssen ggf. innerhalb des Beweises zunächst andere Aussagen gezeigt werden) nicht zu uneinsichtig für SuS sein dürften. Das Ergebnis war, dass man sich stets überlegen müsse, welche Beweise sich überhaupt für die Methode eignen und an welcher Stelle der Schullaufbahn das scaffolding idealerweise eingesetzt werden sollte. Letztlich sei es eher ein Werkzeug für Beweise mit wenigen Schritten.

==== Diskussion der Durchführung/Ergebnisse der Studie ====

[[Datei:Bsp argumentation angleTheorem german.png|thumb|Argumentation des Beispiels des Winkeltheorems]]
Die Grundidee des scaffolding wurde positiv wahrgenommen, ebenfalls das konkrete Beispiel, welches in der Studie verwendet wurde („vertically opposite angle theorem“), allerdings wurde hinterfragt, ob in der Realität die Anwendung tatsächlich gewinnbringend sein dürfte, da zumal auch von den Autoren aufgeführt wurde, dass die alleinige Behandlung dieses Beweises keine weitläufigen Aussagen zulasse (chapter 5 : „This study has methodological limitations that will still have to be overcome in later design experiment
cycles or future research. […] The teaching-learning
arrangement focused only on angle theorems; future research should extend to other topics”).
Ebenfalls wurde angemerkt, dass hier eventuell das Augenmerk zu stark auf der Struktur liege, sodass der eigentliche Beweis in den Hintergrund gerate. Allerdings sei aber auch das Lernziel die Fähigkeit Differenzierbarkeit von Prämisse, Argument usw., sowie die sprachliche Struktur und Beweisstruktur zu unterstützen.

Des Weiteren wurde bemerkt, dass die Verwechslung der SuS im Text zum Teil ihren Ursprung daran haben könnte, da innerhalb des Unterrichtes bei Abfragen bzw. Rückfragen an die SuS die Lehrkräfte häufig mit knappen Antworten zufrieden seien, sodass eine strukturierte Begründung seitens der SuS selten vorkomme (Bsp.: L: „Woran liegt das?“ S: „Pythagoras.“ L: „Richtig.“)
Auch wurde der Unterschied zwischen mündlicher und schriftlicher Beweisstruktur wahrgenommen, wobei dieser ggf. bei mündlicher Abfrage an der Unsicherheit, wie die Antworten aussehen sollen liegen könne, sowie der Tatsache, dass bei der schriftlichen Verfassung erst nach der mündlichen erfolgte, sodass eine Reflexion seitens der Sus erfolgen konnte.

=== Inputphase ===

In dieser Phase wurde an die vorherige Stunde angeknüpft, indem zunächst der Text zentral zusammengefasst und ggf. ergänzt wurde. Es wurden verschiedene Motivationen von Beweisen erörtert, wie Einsichtigkeit der Allgemeingültigkeit der Aussage oder diese zu veranschaulichen.
[[Datei:BsP Sehne Winkel.PNG|thumb|Beispiel einer unanschaulichen Aussage: Die Winkel α und β sind für einen beliebigen Punkt P und einer beliebigen Sehne g auf dem Kreis identisch. Diese Aussage wird eher anhand eines Beweises anstatt der bildlichen Veranschaulichung einsichtig.]]

Auch wurde Beweisen an sich differenziert betrachtet unter der Beweisfindung (Problem lösen) und der Beweisdarstellung (Bsp.: scaffolding), die beschreibend oder symbolisch erfolgen kann. Hierbei erfolgt die Beweisfindung eher als kreativer Prozess, der sprunghaft sein kann und auch Rückschläge in sich birgen kann, während die Darstellung lediglich die Präsentation des Ergebnisses ist, welche an das jeweilige Publikum angepasst wird und formalen Kriterien genügt.
Anschließend wurde der Idealtypischer Beweis-Prozess (nach Boero) vorgestellt, sowie wie dies bei SuS angewendet werden kann und welche Probleme auftreten können [ für Details: s. Sitzungsmaterialien]. Hier wurde betont, dass es wichtig sei, bei SuS ein Beweisbedürfnis zu wecken und diese zu motivieren.

=== Arbeitsphase ===
Abschließend zur Sitzung wurde das Gelernte genutzt, um den Beweis für den Satz des Thales für SuS aufzubereiten. Die erste Formulierung: „Alle Winkel an einem Halbkreis sind rechte Winkel“ wurde zunächst formal bewiesen:

[[Datei:Thales_geo.PNG|thumb|Skizze zur Veranschalichung des Beweises (Thales)]]

==== Formaler Beweis ====
Es ist 

<math>|MA| = |MC| = |MB| = r</math>, 

wobei r den Radius des Kreises bezeichnet.
Also sind ΔAMC und ΔMBC gleichschenklig.
Insbesonders gilt aufgrund des Basiswinkelsatzes für gleichschenklige Dreiecke:

<math> \alpha = \gamma_1</math> und <math> \beta = \gamma_2</math>. 

Wegen des Satzes der Winkelsumme im <math> \Delta </math> gilt:

<math> \alpha + \beta + (\gamma_1 + \gamma_2) = 180^\circ </math>
 
und mit 
<math> \alpha = \gamma_1 , \beta = \gamma_2</math>

 
ergibt sich 
<math>2( \gamma_1 + \gamma_2 ) = 180^\circ -> \gamma = \gamma_1 + \gamma_2 = 90^\circ</math>.

==== Aufbereitung des Beweises ====

Zunächst stellte sich die Frage, welches Vorwissen bei den SuS vorhanden sein und aktiviert werden muss. Dies wurde an der Tafel zusammengetragen:

* Alle Punkte auf einer Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
* Satz über Winkelsumme im Dreieck, Rechnen mit Winkeln (Addierbarkeit, Ergänzung von Winkeln)
* Lösungsverfahren von Gleichungen, speziell Einsetzungsverfahren
* Definition & Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken

Anschließend wurde diskutiert, wie man dieses Vorwissen aktivieren könne, im Hinblick auf den möglichen Zeitaufwand zu Beginn einer Unterrichtsstunde. Genannt wurden Besprechung von Hausaufgaben, Kurzteste oder -abfragen sowie ein Quizz zu beginn. Für letzteres sollten Fragen entworfen werden, die im Idealfall aus Zeitgründen kompakt, aber dennoch alles abdecken sollten. Beispiele waren:

* Was ist ein Kreis?
* Was ist ein (gleichschenkliges) Dreieck?
* Wieviele rechte Winkel kann ein Dreieck haben?

Allerdings wurden auf den Einwand hin, dass eventuell Schwierigkeiten dabei auftreten könnten, den Bezug dieses Wissen zum Beweis zu sehen, noch bildliche Beispiele genannt, die in Richtung der obigen Skizze des Beweises gingen. Hierbei könnte man fragen: "Wie lang ist |AB|?" usw.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Beweisen & Argumentieren'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Blum & Kirsch (1991). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF00555722 Preformal Proving: Examples and reflections]. In ''Educational Studies in Mathematics''.
* Meyer & Prediger (2009). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/09-Meyer_Prediger_PM-H30-Argumentieren-Webversion.pdf Warum? Argumentieren, Begründen, Beweisen] (Preprint). In ''Praxis der Mathematik in der Schule'' 51(30).
* Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2).
* Kapitel 2 „Beweisen und Argumentieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
:* Abschnitte: „Was ist ein Beweis?“, „Funktionendes Beweisens“, „Beweis und Beweisfindung“
:* Abschnitte: „Kompetenzen vonSchülerinnen und Schülern“, „Inhaltlich-anschauliche Beweise“
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_4_argumentieren_beweisen.pdf Kapitel 4 „Beweisen und Argumentieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
* Erklären und erläutern Sie den Begriff des Scaffoldings.
* Warum ist das Prinzip des Scaffoldings für den Mathematikunterricht relevant?
* Sie sollen eine Unterrichtseinheit zum Thema Strahlensätze vorbereiten. Wie gehen Sie in Ihrer Unterrichtsplanung vor?
* Überlegen Sie sich Beispiele für Scaffolding-Maßnahmen im Kontext der Strahlensätze.
||
* Scaffolding meint das Bereitstellen sprachlicher "Gerüste", welche die SuS nutzen können, um fachspezifische Aussagen präzise und treffend formulieren zu können. Im Idealfall sind die SuS dazu in der Lage, die Fähigkeiten, welche sie mithilfe des sprachlichen Gerüsts erlernen, später eigenständig und ohne Hilfestellung anzuwenden.
*Das Prinzip des Scaffoldings lässt sich insbesondere auch auf den Mathematikunterricht anwenden. SuS haben häufig Probleme damit, mathematische Formulierungen zu übernehmen und entsprechende Begrifflichkeiten einzusetzen. Insbesondere im Kontext von Beweisen und Argumentationsstrukturen fällt es vielen SuS schwer, präzise zu formulieren, die richtige Beweisstruktur zu finden und entsprechende Begriffe zu verwenden. Gibt man ihnen beispielsweise das Gerüst eines mathematischen Beweises an die Hand, so können die SuS sich an diesem entlanghangeln und die tieferliegenden Strukturen des Beweises besser verstehen. Ziel des Verfahrens ist es natürlich, dass die SuS das Prinzip so sehr verinnerlichen, dass sie das Gerüst später nicht mehr benötigen, um einen Beweis führen zu können.
*Zunächst einmal würde ich mir überlegen, welche mathematischen Begriffe die SuS für die Erarbeitung des Themas und das Verstehen des Beweises benötigen und welche Schwierigkeiten bestehen. Die SuS benötigen beispielsweise das Verständnis der Begriffe "Strecke", "Gerade", "Punkt" und "Schnittpunkt zweier Geraden". Auch das Konzept vom Betrag, also der Länge einer Strecke sollte bekannt sein und ebenso die Tatsache, dass man mit der Länge von Strecken rechnen kann. Zentral ist außerdem der Begriff der Parallelität zweier Geraden. Für Schwierigkeiten könnte außerdem die Vorgehensweise der Strahlensätze sorgen, Strecken bzw. ihre Länge in Verhältnis zueinander zu setzen. Im Idealfall kann an diesem Punkt auf intuitives Verständnis der SuS zurückgegriffen werden. Im nächsten Schritt müsste die Lehrperson die festgestellten Anforderungen mit dem Kenntnis- und Fähigkeitsstand der SuS abgleichen und eventuelle Probleme ausfindig machen. Diese lassen sich dann mithilfe von Scaffolding-Maßnahmen verdeutlichen oder unterstützen.
*Beispiel 1: Unterschiedliche Formulierungen der Aufgabenstellung ermöglichen es SuS mit unterschiedlichem sprachlichem Kenntnisstand, eine Aufgabe besser zu verstehen. Geht es um die Formulierung eines Beweises, so gestaltet sich dies etwas schwieriger, da gewisse sprachliche und formale Anforderungen existieren, die man nicht außer Acht lassen darf. Dennoch lassen sich möglicherweise alternative Formulierungen und grafische Unterstützungen für die Strahlensätze finden.
* Beispiel 2: Ein Glossar über wichtige Redewendungen und Konjunktionen, welche in mathematischen Beweisen verwendet werden, könnte den SuS helfen, diese selbst einzusetzen. Ist den SuS bewusst, welche Bedeutung beispielsweise Formulierungen wie "wenn..., dann..." oder "folglich" oder "unter der Voraussetzung, dass..." haben, so verwenden sie diese möglicherweise selbst und sind sich der Tragweite bewusst.
* Beispiel 3: In der Auseinandersetzung mit dem Beweis der Strahlensätze stufenweise vorgehen: Zunächst eigene Auseinandersetzung mit Aussage und Tragweite in Einzelarbeit, dann Austausch in Gruppen, ggf. Visualisierung und Beantwortung von Fragen im Schüler-Lehrer-Gespräch oder im Klassengespräch, dann Ergebnisse verschriftlichen und der Klasse präsentieren (--> Feedback), ggf. Diskutieren unterschiedlicher Lösungswege / Vorgehensweisen der SuS.
||
Bei der Beantwortung dieser Fragen beschäftigen sich die Studierenden mit dem Begriff des Scaffoldings, welcher fächerübergreifend von zentraler Bedeutung ist. Darüber hinaus werden die grundlegenden Vorgehensweisen der Unterrichtsplanung wiederholt und die Studierenden dazu aufgefordert, das Prinzip des Scaffoldings explizit in die Überlegungen mit einzubeziehen.


|-
|
Betrachten Sie die folgenden beiden Beweismöglichkeiten. 
Benennen Sie die beiden Beweisdarstellungen und diskutieren Sie die jeweiligen Vor-und Nachteile.
[[Datei:Beweisdarstellung 1.PNG|thumb|Beweisdarstellung 1]]

[[Datei:Beweisdarstellung 2.PNG|thumb|Beweisdarstellung 2]]
||
* Beweisdarstellung 1 wurde beschreibend gelöst. Vorteile sind ein einfacher Zugang und die daraus resultierende Verständlichkeit für SuS. Jedoch erfordert eine solche beschreibende Beweisdarstellung die Fähigkeit, sich geschickt auszudrücken und riskiert eine unübersichtliche Darstellung.
* Beweisdarstellung 2 wurde symbolisch gelöst. Im Gegensatz zur beschreibenden Beweisdarstellung ist dieser Zugang (falls ordentlich notiert) übersichtlicher und dadurch eingängiger. Jedoch kann eine symbolische Darstellung für SuS unverständlich wirken und der Umgang mit verschiedenen Operatoren und Zeichen muss zuvor erlernt werden.
||
Durch diese Aufgabe werden verschiedene Beweisdarstellungen wiederholt und an einem konkreten Beispiel aufgezeigt. Vor-und Nachteile werden diskutiert, um die Beweisdarstellungen gegenüberzustellen.


|-
|
Eine SchülerIn formuliert folgenden Beweis zum Satz über die Winkelhalbierenden im Dreieck:
"Ich konstruiere die Winkelhalbierende w_α von α. Jeder Punkt auf w_α ist gleich weit von b und c entfernt. Das Heißt, ich kann einen Kreis mit Mittelpunkt auf w_α konstruieren, der b und c jeweils in einem Punkt schneidet. Wenn ich den Mittelpunkt des Kreises auf w_α verschiebe, dann berührt der Kreis irgendwann die Seite a. Also hat jedes Dreieck einen Innenkreis."

Beurteilen Sie den vorliegenden Beweis. Wie könnte eine Rückmeldung an die SchülerIn aussehen?
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* Der Beweis ist (mit eventuell vorliegender Skizze) nachvollziehbar und zeigt die Existenz des Innenkreises. Es zeigt sich ein dynamischer, explorativer Zugang zur Beweisfindung (verschieben des Kreises auf Winkelhalbierenden).
* Allerdings ist der Beweis unvollständig, da der Zusammenhang zwischen Innenkreismittelpunkt und allen Winkelhalbierenden nicht herausgearbeitet wurde (Innenkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden).
* Die Formulierung des Beweises in Ich-Form zeigt, dass sich die SchülerIn (noch) nicht an die formalen Kriterien der Beweisführung hält. Es zeigt sich eher wie ihnaltlich-anschaulich eine Teilaussage des Satzes gedanklich gefunden wurde.
* Der Beweis eignet sich nicht als Konstruktionsbeschreibung für Innenkreise von Dreiecken.

Eine Rückmeldung muss auf die Unvollständigkeit des vorliegenden Beweises hinweisen. Dies kann durch Fragen geschehen, die auf die Nutzung aller gegebenen Voraussetzungen (alle Winkelhalbierenden) abzielen ("Was passiert wenn du deine Überlegungen auf die anderen Winkel/Winkelhalbierenden anwendest?"). Das sich der Beweis nicht als Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion eines Innenkreises eignet, kann auch Anlaß bieten um der SchülerIn die mangelnde Qualität ihres Beweises aufzuzeigen.
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Durch diese Aufgabe werden Problematiken die SchülerInnen mit Beweisen und Argumentieren haben können angesprochen.


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In einem Interview mit Schülerinnen und Schülern der Jahrgangsstufe 8 wird den Befragten die Aufgabe gestellt, den Winkelsummensatz („Die Winkelsumme der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°) zu beweisen. Als Hilfestellung erhalten sie die Skizze eines Dreiecks, in welche bereits die Innenwinkel α, γ und β, eine zur Seite AB parallele Gerade g mit C ∈ g und die Wechselwinkel α* von α und β* von β eingezeichnet sind.

Betrachten Sie die Vorgehensweisen von Oliver. Welche Schwierigkeiten beim Argumentieren und Beweisen zeigen sich? Wie könnten Sie als Lehrperson diesem Problem entgegenwirken?

Olivers Vorgehensweise:
Oliver geht bereits von der Winkelsumme im Dreieck aus und argumentiert, dass aus α + γ + β = 180° und α* + γ + β* = 180° die zu beweisende Behauptung α* = α und β* = β folgt. Schlussendlich argumentiert er: „Weil, wenn es weniger als 180° wäre, dann würde das Dreieck überhaupt nicht zusammenpassen. Es gibt kein Dreieck, was nicht 180° hat.“

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Der gröbste Fehler in Olivers Argumentationsweise ist, dass er mehrmals die zu beweisende Aussage benutzt. Die Unterscheidung zwischen Prämissen und Schlussfolgerungen gelingt ihm offensichtlich nicht.
Für die Schlussfolgerung, dass aus den Gleichungen α + γ + β = 180° und α* + γ + β* = 180° die Gleichheiten α* = α und β* = β folgen, liefert er kein Argument. Wesentliche Vorkenntnisse und Fertigkeiten beim Umgang mit Gleichung scheinen ihm zu fehlen.
Aus der „Erfahrung“, dass er kein Dreieck kennt, dessen Innenwinkelsumme nicht 180° beträgt, folgert er, dass dies für alle, d.h. für allgemeine Dreiecke gilt. Er sieht also nicht ein, dass empirische Argumente für mathematische Beweise keine ausreichende Gültigkeit besitzen.

Um dem gröbsten Argumentationsfehler von Oliver, dem Verwenden des zu beweisenden Satzes, entgegenzuwirken und die Unterscheidung von Prämisse, Argument und Schlussfolgerung zu fördern, könnte das Argumentationsmodell von Toulmin im Unterricht eingesetzt und den Schülerinnen und Schülern bei Beweisaufgaben als Hilfestellung zur Hand gegeben werden. Wesentliches Merkmal dieses Modells ist die spezifische Unterscheidung von Prämisse, Argument und Schlussfolgerung.

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Mithilfe dieser Aufgabe können die Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern beim mathematischen Argumentieren und Beweisen beispielhaft deutlich gemacht und mögliche Maßnahmen für Lehrpersonen diskutiert werden.


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Klasse 7, Behauptung:
''In einem Trapez ergeben zwei auf der derselben Seite eines Schenkels liegenden Winkel zusammen 180°.''
#Wende Toulmin’s Argumentation Struktur auf den Beweis an
#Welche Vorkenntnisse müssen bei den SuS vorhanden sein und wie können diese aufgefrischt werden?
#Welche Strategien sind für die Beweisfindung hilfreich?
#Welche Funktion deckt der Beweis ab und wie kann das Beweisbedürfnis bei SuS geweckt werden?
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# siehe Abb. i): [[Datei:Beispiel für Toulmin-Schema.png|thumb|Abb. i): Toulmin-Schema für Beweis "In einem Trapez ergeben zwei auf der derselben Seite eines Schenkels liegenden Winkel zusammen 180°."]]
#Voraussetzungen: Definition und Eigenschaften eines Trapezes, (starker) Stufenwinkelsatz, Nebenwinkel, Rechnen mit Nebenwinkel Auffrischung z. B. durch “Wahr oder Falsch?” oder durch GeoGebra-Spielereien: Jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez. Jedes ist ein Trapez. Jedes Trapez ist ein Viereck. In der folgenden Abb. ii) sind die Winkel α und β gleich groß. [[Datei:Wahr oder Falsch?.png|thumb|Abb. ii): Beispiel für Wahr-oder-Falsch-Aufgabe zu starkem Wechselwinkelsatz]]
# In diesem Beispiel sind Heuristische Hilfmittel wie Skizzen und Hilfslinien bzw. die Erweiterung von Strecken auf Geraden hilfreich zur Beweisfindung. Dies kann als Tipp oder zur Differenzierung im Unterricht benutzt werden. Außerdem können Vorraussetzungen und Die Behauptung erschlossen werden (siehe unten: Überzeugungsaspekt und Kommunikation)
#'''Überzeugungsaspekt:''' Ergebnis ist nicht sofort einsehbar; kann z. B. explorativ mit GeoGebra an verschieden Rechtecken untersucht werden (Experimentelles Beweisen) 
::'''Erklärungsaspekt:''' Lokales Ordnen, das Prozessziel, Anwenden von bekannten Sätzen steht im Vordergrund (inhaltlich-anschauliches Beweisen durch Skizze und Toulmin Modell) 
::'''Kommunikation:''' SchülerIn misst: “In meinem Trapez ergeben die Winkel aber nur 175°”. Die MitschülerInnen müssen durch einen Beweis und/ oder durch Finden fehlender Vorraussetzungen im Beispiel den Fehler finden. Letzteres macht die indirekte ‘Wenn-dann-Logik’ der Aussage klar. 
::'''Entdecken:''' Durch Reflektion des Beweises kann der Gültigkeitsbereich der Aussage untersucht werden: In welchen anderen Vierecken ist das der Fall? Was ist die entscheidende Voraussetzung? 
::'''Zusammenhänge herstellen:''' Durch den Beweis werden Eigenschaften von Vierecken mit Sätzen, die eher im Kontext Dreieck oder bei allgemeinen Transversalen benutzt wurden, hergeleitet. Dadurch werden Winkelbetrachtungen auf Vierecke ausgeweitet und die Bereiche miteinander verknüpft.
||
In der Aufgabe muss das Toulmin-Schema angewandt werden und über Schülervoraussetzungen und Hilfestellung bei der Beweisfindung reflektiert werden. Zuletzt werden auch die Funktionen von Beweisen auf ein konkretes Beispiel übertragen und Umsetzungsmöglichkeiten zum Wecken des Beweisbedürfnis genannt.



|}

== Literaturhinweise ==

* Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2).
* Kapitel 2 „Beweisen und Argumentieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]. Insbesondere Abschnitt „Kompetenzen vonSchülerinnen und Schülern“.

Datei:Wahr oder Falsch?.png

2019-07-04T18:45:31Z

Anna-Lena Fertig: User created page with UploadWizard

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2019-07-04T18:45:30Z

Anna-Lena Fertig: User created page with UploadWizard

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GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-07T17:32:34Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-07T12:07:13Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
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Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch es lässt sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem können heuristischen Strategien wie konkret-experimentelles Probieren ....
Fortsetzung folgt nach der ÜG ;).
||
color


|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-06T20:38:25Z

Anna-Lena Fertig: /* Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

==== Reaktion von Jana ====
Ich würde ebenfalls zuerst den Schüler für die richtige Antwort loben und anschließend interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Zudem würde ich ihm nahebringen, dass er trotz richtiger Antwort, seine Lösung durch die Zirkelvariante kontrolliert und damit Übung auch auf diesem Weg bekommt. Ich würde hinzufügen, dass es in der Zukunft nicht immer nur um die Ergebnisse der S Schüler, sondern auch um den Weg zur Lösung gehen würde und deshalb wichtig ist auch die herkömmliche Methode zu beherrschen, da er sonst bei komplexeren Aufgaben eventuell vor Schwierigkeiten steht.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1ECCmt8mvRzauGxv6b-bhiRVqB5zOOxL0PnGAb5YbBZE/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 31.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/11j4V-Q89aktZs9NuU7ItMiMIpGE1gGkW/view?usp=sharing Arbeitsblatt zu Grund- und Standardkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

=== Zusammenfassung ===

Im Ersten Teil dieser Sitzung wurde die Bedeutung des Konstruierens im Geometrieunterricht beleuchtet. Später wurde die Abhängigkeit der Konstruktion von den verwendeten Werkzeugen, sowie die Hierarchie der Konstruktionsschritte betrachtet.

=== Einstieg ===

Zunächst wurde in einem Zumpad Dokument gesammelt wozu Konstruktionen im Geometrieunterricht dienen können.

Vergleiche: https://zumpad.zum.de/p/GuU_Konstruktion

Konstruktionen dienen…
# … zur Förderung von Problemlösekompetenzen
# … zur Vertiefung von Begriffsverständnissen
# … als Möglichkeit im Mathematikunterricht Beweise zu führen, was in anderen Gebieten der Schulmathematik schwierig zu bewerkstelligen ist. Dabei dienen Konstruktionen als Existenzbeweise (Vergleiche Vorbereitungsauftrag: Ist der gefundene Punkt der Einzige der die Bedingung erfüllt?) oder Verifikationsbeweise (Erfüllt die gefundene Lösung die Bedingungen).
# ... Zur Förderung motorischer Fähigkeiten (Umgang mit Werkzeugen)
# ... Zur Veranschaulichung abstrakter Zusammenhänge

=== Bedeutung des Konstruierens ===
Im nächsten Teil wurde die Bedeutung des Konstruierens im Unterricht aufgearbeitet (Vergleiche Folien 3-5).
=== Funktionen ===

Konstruieren im Geometrieunterricht kann folgende Funktionen erfüllen:

# Entdecken geometrischer Zusammenhänge
# Entdeckung von Beweisideen: durch Durchführung von Konstruktionen
# Kulturhistorische Bedeutung: „Werkzeuge der alten Griechen“
# Entwicklung und Förderung von Problemlösefähigkeiten: Für Konstruktion zulässige Werkzeuge und Operationen sind leicht zu verstehen und zu handhaben; einzelne Lösungsschritte lassen sich gut nachvollziehen, verbalisieren und verschriftlichen.
# Entwicklung und Förderung von Argumentationsfähigkeiten: Konstruktionsaufgaben bieten klare Argumentationsbasis; Lösungen lassen sich schrittweise entwickeln und Begründen
# Handlungsbezogene Begriffsbildung: Begriffseinführung über Konstruktionen (z.B.: Drache, Parallelogramm, Mittelsenkrechte)
# Training von Zeichenfähigkeit und Feinmotorik: Erziehung im sorgfältigen Umgang mit Zirkel und Lineal; Möglichkeit zur Differenzierung z.B. Zugang zu unterschiedlichen Werkzeugen (Geodreieck als Abkürzung)

=== Standards ===

Es wurde sich mit den Bildungsstandards auseinandergesetzt (vgl. Folie 4). Dabei wurde gerade das gedankliche operieren mit geometrischen Begriffen und der unterschied zwischen zeichnen und konstruieren von geometrischen Figuren hervorgehoben. Beim Konstruieren geht es nicht vorrangig um das tatschliche Herstellen realer Objekte, sondern um das gedankliche Erzeugen ideeller Objekte ( Punkte ohne Ausdehnung, Strecken ohne Breite) mithilfe idealisierter Operationen (Kreise ziehen, Punkte mit Lineal verbinden) (vgl. Wiegand et al. 2018, S. 51). Statt nur zum Zeichnen werden Konstruktionen zur Beurteilung und Untersuchung von Problemstellungen angewendet.
Zur Leitidee „Raum und Form“ kam im Seminar die Frage auf, ob perspektivisches Zeichnen Konstruieren ist.

=== Mathematisch ===

Es wurde sich nochmals mit dem Unterschied zwischen dem Herstellen von realen Objekten und dem Konstruieren von ideellen Objekten beschäftigt. Konstruieren führt in der Vorstellung zu theoretisch exakten Ergebnissen, die praktisch, auch durch größtmögliche Sorgfalt der Konstruktion, nur innerhalb einer Zeichentoleranz genau sein können. Tatsächliche Realisierungen der (idealen) Konstruktion sind stets nur Näherungen.

Konstruieren bedeutet eine vorgegebene Ausgangskonfiguration durch Einsatz ausgewählter Werkzeuge, die nur nach festgelegten Regeln genutzt werden dürfen, eine Zielkonfiguration zu erzeugen. Zu gegebener Ausgangskonfiguration kann es keine, genau eine oder mehrere Zielkonfigurationen geben

# Ausgangskonﬁguration: Eine Menge geometrischer Objekte (z.B. Punkte, Kreise, Geraden) und ein System von Beziehungen (z.B. der Punkt A liegt auf Gerade g).

# Konstruktionsschritte: Eine endliche Anzahl von Operationen mit festgelegten Werkzeugen (z.B. Zirkel und Lineal), die nur nach festen Regeln verwendet werden. So dürfen z.B. mit dem Lineal nur zwei gegebene Punkte verbunden werden, und ein Kreis kann nur bei gegebenem Mittelpunkt und einem Kreispunkt bzw. gegebenem Radius gezeichnet werden.

# Zielkonﬁguration: Diese ist – falls sie existiert – wieder eine Menge geometrischer Objekte und Beziehungen, die die Ausgangskonﬁguration einschließt und erweitert.

=== Besprechung des Vorbereitungsauftrags ===

Anschließend wurde der Vorbereitungsauftrag besprochen (vgl. oben). Hier einige Gesprächsbeiträge:

Als Erste Reaktion hat sich ein Lob für die Lösung herauskristallisiert. Eine anschließende Nachfrage wie der Punkt gefunden wurde war für alle Teilnehmer essentiell. Falls die Lösung durch Ausprobieren gefunden wurde, gab es den Vorschlag die Systematik der SchülerIn zu erfragen. Hier kann klargestellt werden das systematische Ausprobieren ein valider Lösungsansatz ist, aber auch dessen Grenzen lassen sich erkennen. Ohne Lösungsweg wird jede neue Aufgabe durch neuerliches, langwieriges Ausprobieren (falls überhaupt) gelöst. Um die SchülerIn von der Nutzung von Konstruktionsschritten zu überzeugen, lassen sich kritische Fragen stellen, z.B. „Sind das alle Punkte die die Aufgabe erfüllen?“, „Wie würdest du Alle finden?“, „Ist ausprobieren der bessere Weg?“. Ein Vorschlag war für die Aufgabe unterschiedliche Lösungswege zu sammeln und in der Klasse als soziale Gruppe eine Einigung über den sinnvollsten Lösungsweg zu suchen.

Es wurde noch festgehalten, dass zu jeder Konstruktionsaufgabe, eine Konstruktionsbeschreibung angefertigt werden muss. Diese enthält eine nachvollziehbare, vollständige Beschreibung der Konstruktionsschritte und ist dem sprachlichen Niveau der Lernenden angepasst. Sie entwickelt sich von zunächst umgangssprachlichen Formulierungen zu einer zunehmend formalisierten Darstellung weiter. Der Nutzen eine Konstruktionsbeschreibung ist vielfältig.

Konstruktionsbeschreibungen…

# ... Stellen für Lernende eine Dokumentation des eigenen Lösungsweges dar.
# ... Erlauben Kontrolle des Lösungsweges für Lernende und Lehrende.
# ... Erlauben ein Nachvollziehen der Konstruktion auf Zeichenebene
# ... Dienen zur Kommunikation im Unterricht

=== Konstruktionsschritte und Werkzeuge ===

Konstruktionsschritte sind Operationen die innerhalb einer Konstruktions angewendet werden können. Sie sind abhängig von den verwendeten Wekzeugen und lassen sich in Grundkonstruktionen, Standardkonstruktionen und Modulkonstuktionen unterteilen.

Grundkonstruktionen sind Konstruktionen, die mit dem jeweiligen Werkzeug in einem Schritt erzeugt werden können.

# „Axiomsystem“ für Lösung von Konstruktionsprobleme
# Abhängig von erlaubten Werkzeugen

Standardkonstruktionen sind die Zusammenfassung mehrerer Grundkonstruktionen

# Pragmatische Festlegung durch Häufigkeit und Bedeutung
# Festlegung wurde auch sozial ausgehandelt

Mit Zirkel und Lineal sind beispielsweise

# einen Kreis mit Mittelpunkt A durch B zeichnen
# eine Gerade durch die Punkte A und B zeichnen
# eine Halbgerade ausgehend von Punkt A durch B zeichnen
# die Strecke [AB] zeichnen

Grundkonstruktionen. Wird ein Geodreieck verwendet so sind auch das Zeichnen von Senkrechten und Parallelen, sowie das Abtragen von Winkeln Grundkonstruktionen. Gerade die Konstruktion von Senkrechten und Parallelen sollten mit Zirkel und Lineal zu Standardkonstruktionen werden.

=== Übung ===

Um das Anfertigen von Konstruktionsbeschreibungen zu üben und um die Abhängigkeit der Konstruktionsaufgabe vom erlaubten Werkzeug zu erfahren, wurde das Arbeitsblatt zu Grund- Standardkonstruktionen bearbeitet (siehe Oben).

=== Modulkonzept ===

Modulkonstruktionen sind die Zusammenfassung mehrerer Konstruktionsschritte, die als Ganzes betrachtet werden.

# Pragmatische Festlegung durch Häufigkeit und Bedeutung
# Festlegung wurde auch sozial ausgehandelt

Modulkonstruktionen können mental in einem Schritt ausgeführt werden

# Modulkonstruktionen sind mentale Grundkonstruktionen
# Modulkonstruktionen sind Grundkonstruktionen von komplexen Werkzeugen

Beispiel für Modulkonstruktionen die gedanklich in einem Schritt durchgeführt werden können, wäre die Konstruktion von Kongruenten Dreiecken. Das Geodreieck ist ein Komplexes werkzeug mit dem Parallelen und Senkrechten, Grundkonstruktionen sind.
Modulkonstruktionen sind Voraussetzung für komplexe Konstruktionsaufgaben, indem Sie eine kompakte Konstruktionsbeschreibung erlauben („Ich konstruiere die Mittelsenkrechte“). Sie bilden ein Abbild der mathematischen Denk- und Arbeitsweise. Mathematische Sätze, Lemmas, usw. werden (einmal bewiesen) als Teile in anderen Beweisen eingesetzt, ohne deren Beweise jedes Mal wieder aufzuzeichnen. Hier wird klar, dass Modulkonstruktion zunächst erarbeitet (Bewiesen/Motiviert) und aufgebaut werden müssen (White-Box-Prinzip).

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

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! GeoGebra
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https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp

Eigenes Werkzeug: https://www.geogebra.org/classic/zkkysctm
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https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Lukas) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Ziehe Kreis K_1 mit Mittelpunkt S, dabei entstehen Schnittpunkte A und B mit Halbgeraden von α
# Ziehe Kreis K_2 mit Mittelpunkt P und Radius [S,A], dabei entstehen Schnittpunkte S_1 und S_2 mit g
# Ziehe Kreis K_3 mit Mittelpunkt A durch B
# Ziehe Kreis K_4 mit Mittelpunkt S_1 mit Radius [A,B], dabei entsteht Schnittpunkt S_3 mit K_2
# Ziehe Gerade h durch P und S_3, der Winkel α wurde mit scheitelpunkt P abgetragen
||
# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Winkelgröße von α messen (Geodreieck in S anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α an Punkt P abtragen ( Geodreieck in P anlegen und Winkel über Punkt A markieren)
# Halbgerade h durch P und A
||
# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Falte S auf P
# Falte eine Halbgerade von α auf g, trage die andere Halbgerade von P an ab, diese bildet mit g den Winkel α
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
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! GeoGebra
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https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
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# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
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! GeoGebra
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https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
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=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:A1.jpg|thumb|Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:B.jpg|thumb|Geodreieck]]
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[[Datei:C.jpg|thumb|Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
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# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
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# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
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https://ggbm.at/xx8a48hw
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=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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=== Mittelparallele (wird bearbeitet von: Julian) ===

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Mittelparallele via Zirkel und Lineal.jpg|thumb|Konstruktion einer Mittelparallelen mittels Zirkel und Lineal.]]
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[[Datei:Mittelparallele via Geodreieck.jpg|thumb|Konstruktion einer Mittelparallelen mittels Geodreieck.]]
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[[Datei:Mittelparallele via Origami.jpg|thumb|Konstruktion einer Mittelparallelen mittels Origami.]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Es sind zwei nicht identische parallele Geraden <math>g</math> und <math>h</math> gegeben.
# Wähle einen beliebigen Punkte <math>P</math> auf <math>g</math> und konstruiere das Lot <math>l_1</math>. [siehe [[GeometrieUndUnterrichtSS2019_06#Das_Lot_zu_einer_Geraden_durch_gegebenen_Punkt_.28wird_bearbeitet_von:_Wibke_.29|Lot durch gegebenen Punkt]]]
# <math>l_1</math> schneidet nun beide die Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Konstruiere nun den Mittelpunkt <math>M</math> uder Gerade <math>l</math>. [siehe [[GeometrieUndUnterrichtSS2019_06#Mittelpunkt_einer_Strecke_.28wird_bearbeitet_von:_Marc_.29|Mittelpunkt einer Strecke]]]
# Die dabei eingezeichnete Gerade durch <math>M</math> ist die gesuchte Mittelparallele.
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# Ausgangskonfiguration: Es sind zwei nicht identische parallele Geraden <math>g</math> und <math>h</math> gegeben.
# Lege das Geodreieck im Lot auf die Gerade <math>g</math> und Messe den Abstand zur Geraden <math>h</math>. Halbiere diesen Abstand und zeichne dort einen Punkt <math>P</math> ein.
# Wiederhole Schritt 1 an einer anderen Stelle auf der Geraden <math>g</math>. [Nenne <math>P</math> dieses mal <math>P'</math>.]
# Zeichne eine Gerade durch <math>P</math> und <math>P'</math>. Dies ist die gesuchte Mittelparallele.
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# Ausgangskonfiguration: Es sind zwei nicht identische parallele Geraden <math>g</math> und <math>h</math> gegeben.
# Falte die Gerade <math>g</math> auf die Gerade <math>h</math>. Die entstandene Falte ist die gesuchte Mittelparallele.
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! GeoGebra
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Link zu [https://www.geogebra.org/m/rkyvecxh GeoGebra Aktivität]
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=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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(Nicht möglich.)
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! Konstruktionsbeschreibung
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(Nicht möglich.)
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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(Nicht möglich.)
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=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) ===

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:ZuL-Tangente.jpg|thumb|Konstruktion einer Tangente an einem Kreis druch gegebenen Punkt P mit Hilfe von Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:Geo-Tangente.jpg|thumb|Konstruktion einer Tangente an einem Kreis durch gegebenen Punkt P mit Hilfe des Geodreiecks]]
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
#Zeichne die Strecke MP.
#Konstruiere die Mittelsenkrechte mAP zu den Punkten M und P. Der Schnittpunkt der Strecke AP mit der Mittelsenkrechten mAP wird als MMP bezeichnet.
#Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt MMP und Radius AMMP. Die zwei Schnittpunkte der zwei Kreise sind nach dem Satz des Thales die Berührpunkte der Tangenten B und B'.
#Zeichne die Gerade durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne den Strahl SMP, welcher bei M beginnt und durch P geht.
# Zeichne einen Kreis k an P mit Radius der Strecke MP. Der Schnittpunkt des Kreises k mit dem Strahl SMP wird mit 2P gekennzeichnet.
# Konstruiere die Mittelsenkrechte mM2P. Diese entspricht der gesuchten Tangente tP.
||
Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Messe die Strecke AP.
# Berechne die Strecke BP = B'P mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
# Messe die Strecke BP bzw. B'P am Punkt P ab, s.d. Punkt B bzw. B' auf der Kreislinie liegt.
# Verlängere die Strecke BP und B’P zu Geraden durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne die Strecke MP und verlängere sie gegebenenfalls.
# Lege die Strecke MP auf die Mittellinie des Geodreiecks (das Lot des Geodreiecks) und zeichne die Tangente tP durch den Punkt P an der Zeichenkante ab.
||
Ausgangskonfiguration (?): Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Falte die Verbindungslinie durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte A auf P (Origami-Axiom 3). Der Schnittpunkt der Faltkanten wird mit MMP bezeichnet.
# Falte P auf die Kreislinie, s.d. die Faltkante durch M' geht [2x] (abgewandeltes Origami-Axiom 4). Die zu P entsprechenden Punkt auf dem Kreis sind die Berührpunkte B und B'.
# Falte die Gerade durch B und P bzw. durch B' und P.

Ausgangskonfiguration 2: Mittelpunkt M und der Kreispunkt P ist gegeben.
# Falte die Verbindungslinie lAP durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte die Verbindungslinie lAP auf sich selbst durch den Punkt P (Origami-Axiom 5). Die neue Faltlinie entspricht der Tangente tP durch den Punkt P.

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! GeoGebra
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Link zu [https://www.geogebra.org/m/sjudqvcx GeoGebra Aktivität]
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=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

Datei:Geo-Tangente.jpg

2019-06-06T20:34:15Z

Anna-Lena Fertig: User created page with UploadWizard

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|date=2019-06-06 22:31:39
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=={{int:license-header}}==
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Datei:ZuL-Tangente.jpg

2019-06-06T20:33:51Z

Anna-Lena Fertig: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Zirkel und Lineal}}
|date=2019-06-06 22:31:40
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|author=[[User:Anna-Lena Fertig|Anna-Lena Fertig]]
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GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-06T20:28:45Z

Anna-Lena Fertig: /* Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

==== Reaktion von Jana ====
Ich würde ebenfalls zuerst den Schüler für die richtige Antwort loben und anschließend interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Zudem würde ich ihm nahebringen, dass er trotz richtiger Antwort, seine Lösung durch die Zirkelvariante kontrolliert und damit Übung auch auf diesem Weg bekommt. Ich würde hinzufügen, dass es in der Zukunft nicht immer nur um die Ergebnisse der S Schüler, sondern auch um den Weg zur Lösung gehen würde und deshalb wichtig ist auch die herkömmliche Methode zu beherrschen, da er sonst bei komplexeren Aufgaben eventuell vor Schwierigkeiten steht.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1ECCmt8mvRzauGxv6b-bhiRVqB5zOOxL0PnGAb5YbBZE/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 31.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/11j4V-Q89aktZs9NuU7ItMiMIpGE1gGkW/view?usp=sharing Arbeitsblatt zu Grund- und Standardkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

=== Zusammenfassung ===

Im Ersten Teil dieser Sitzung wurde die Bedeutung des Konstruierens im Geometrieunterricht beleuchtet. Später wurde die Abhängigkeit der Konstruktion von den verwendeten Werkzeugen, sowie die Hierarchie der Konstruktionsschritte betrachtet.

=== Einstieg ===

Zunächst wurde in einem Zumpad Dokument gesammelt wozu Konstruktionen im Geometrieunterricht dienen können.

Vergleiche: https://zumpad.zum.de/p/GuU_Konstruktion

Konstruktionen dienen…
# … zur Förderung von Problemlösekompetenzen
# … zur Vertiefung von Begriffsverständnissen
# … als Möglichkeit im Mathematikunterricht Beweise zu führen, was in anderen Gebieten der Schulmathematik schwierig zu bewerkstelligen ist. Dabei dienen Konstruktionen als Existenzbeweise (Vergleiche Vorbereitungsauftrag: Ist der gefundene Punkt der Einzige der die Bedingung erfüllt?) oder Verifikationsbeweise (Erfüllt die gefundene Lösung die Bedingungen).
# ... Zur Förderung motorischer Fähigkeiten (Umgang mit Werkzeugen)
# ... Zur Veranschaulichung abstrakter Zusammenhänge

=== Bedeutung des Konstruierens ===
Im nächsten Teil wurde die Bedeutung des Konstruierens im Unterricht aufgearbeitet (Vergleiche Folien 3-5).
=== Funktionen ===

Konstruieren im Geometrieunterricht kann folgende Funktionen erfüllen:

# Entdecken geometrischer Zusammenhänge
# Entdeckung von Beweisideen: durch Durchführung von Konstruktionen
# Kulturhistorische Bedeutung: „Werkzeuge der alten Griechen“
# Entwicklung und Förderung von Problemlösefähigkeiten: Für Konstruktion zulässige Werkzeuge und Operationen sind leicht zu verstehen und zu handhaben; einzelne Lösungsschritte lassen sich gut nachvollziehen, verbalisieren und verschriftlichen.
# Entwicklung und Förderung von Argumentationsfähigkeiten: Konstruktionsaufgaben bieten klare Argumentationsbasis; Lösungen lassen sich schrittweise entwickeln und Begründen
# Handlungsbezogene Begriffsbildung: Begriffseinführung über Konstruktionen (z.B.: Drache, Parallelogramm, Mittelsenkrechte)
# Training von Zeichenfähigkeit und Feinmotorik: Erziehung im sorgfältigen Umgang mit Zirkel und Lineal; Möglichkeit zur Differenzierung z.B. Zugang zu unterschiedlichen Werkzeugen (Geodreieck als Abkürzung)

=== Standards ===

Es wurde sich mit den Bildungsstandards auseinandergesetzt (vgl. Folie 4). Dabei wurde gerade das gedankliche operieren mit geometrischen Begriffen und der unterschied zwischen zeichnen und konstruieren von geometrischen Figuren hervorgehoben. Beim Konstruieren geht es nicht vorrangig um das tatschliche Herstellen realer Objekte, sondern um das gedankliche Erzeugen ideeller Objekte ( Punkte ohne Ausdehnung, Strecken ohne Breite) mithilfe idealisierter Operationen (Kreise ziehen, Punkte mit Lineal verbinden) (vgl. Wiegand et al. 2018, S. 51). Statt nur zum Zeichnen werden Konstruktionen zur Beurteilung und Untersuchung von Problemstellungen angewendet.
Zur Leitidee „Raum und Form“ kam im Seminar die Frage auf, ob perspektivisches Zeichnen Konstruieren ist.

=== Mathematisch ===

Es wurde sich nochmals mit dem Unterschied zwischen dem Herstellen von realen Objekten und dem Konstruieren von ideellen Objekten beschäftigt. Konstruieren führt in der Vorstellung zu theoretisch exakten Ergebnissen, die praktisch, auch durch größtmögliche Sorgfalt der Konstruktion, nur innerhalb einer Zeichentoleranz genau sein können. Tatsächliche Realisierungen der (idealen) Konstruktion sind stets nur Näherungen.

Konstruieren bedeutet eine vorgegebene Ausgangskonfiguration durch Einsatz ausgewählter Werkzeuge, die nur nach festgelegten Regeln genutzt werden dürfen, eine Zielkonfiguration zu erzeugen. Zu gegebener Ausgangskonfiguration kann es keine, genau eine oder mehrere Zielkonfigurationen geben

# Ausgangskonﬁguration: Eine Menge geometrischer Objekte (z.B. Punkte, Kreise, Geraden) und ein System von Beziehungen (z.B. der Punkt A liegt auf Gerade g).

# Konstruktionsschritte: Eine endliche Anzahl von Operationen mit festgelegten Werkzeugen (z.B. Zirkel und Lineal), die nur nach festen Regeln verwendet werden. So dürfen z.B. mit dem Lineal nur zwei gegebene Punkte verbunden werden, und ein Kreis kann nur bei gegebenem Mittelpunkt und einem Kreispunkt bzw. gegebenem Radius gezeichnet werden.

# Zielkonﬁguration: Diese ist – falls sie existiert – wieder eine Menge geometrischer Objekte und Beziehungen, die die Ausgangskonﬁguration einschließt und erweitert.

=== Besprechung des Vorbereitungsauftrags ===

Anschließend wurde der Vorbereitungsauftrag besprochen (vgl. oben). Hier einige Gesprächsbeiträge:

Als Erste Reaktion hat sich ein Lob für die Lösung herauskristallisiert. Eine anschließende Nachfrage wie der Punkt gefunden wurde war für alle Teilnehmer essentiell. Falls die Lösung durch Ausprobieren gefunden wurde, gab es den Vorschlag die Systematik der SchülerIn zu erfragen. Hier kann klargestellt werden das systematische Ausprobieren ein valider Lösungsansatz ist, aber auch dessen Grenzen lassen sich erkennen. Ohne Lösungsweg wird jede neue Aufgabe durch neuerliches, langwieriges Ausprobieren (falls überhaupt) gelöst. Um die SchülerIn von der Nutzung von Konstruktionsschritten zu überzeugen, lassen sich kritische Fragen stellen, z.B. „Sind das alle Punkte die die Aufgabe erfüllen?“, „Wie würdest du Alle finden?“, „Ist ausprobieren der bessere Weg?“. Ein Vorschlag war für die Aufgabe unterschiedliche Lösungswege zu sammeln und in der Klasse als soziale Gruppe eine Einigung über den sinnvollsten Lösungsweg zu suchen.

Es wurde noch festgehalten, dass zu jeder Konstruktionsaufgabe, eine Konstruktionsbeschreibung angefertigt werden muss. Diese enthält eine nachvollziehbare, vollständige Beschreibung der Konstruktionsschritte und ist dem sprachlichen Niveau der Lernenden angepasst. Sie entwickelt sich von zunächst umgangssprachlichen Formulierungen zu einer zunehmend formalisierten Darstellung weiter. Der Nutzen eine Konstruktionsbeschreibung ist vielfältig.

Konstruktionsbeschreibungen…

# ... Stellen für Lernende eine Dokumentation des eigenen Lösungsweges dar.
# ... Erlauben Kontrolle des Lösungsweges für Lernende und Lehrende.
# ... Erlauben ein Nachvollziehen der Konstruktion auf Zeichenebene
# ... Dienen zur Kommunikation im Unterricht

=== Konstruktionsschritte und Werkzeuge ===

Konstruktionsschritte sind Operationen die innerhalb einer Konstruktions angewendet werden können. Sie sind abhängig von den verwendeten Wekzeugen und lassen sich in Grundkonstruktionen, Standardkonstruktionen und Modulkonstuktionen unterteilen.

Grundkonstruktionen sind Konstruktionen, die mit dem jeweiligen Werkzeug in einem Schritt erzeugt werden können.

# „Axiomsystem“ für Lösung von Konstruktionsprobleme
# Abhängig von erlaubten Werkzeugen

Standardkonstruktionen sind die Zusammenfassung mehrerer Grundkonstruktionen

# Pragmatische Festlegung durch Häufigkeit und Bedeutung
# Festlegung wurde auch sozial ausgehandelt

Mit Zirkel und Lineal sind beispielsweise

# einen Kreis mit Mittelpunkt A durch B zeichnen
# eine Gerade durch die Punkte A und B zeichnen
# eine Halbgerade ausgehend von Punkt A durch B zeichnen
# die Strecke [AB] zeichnen

Grundkonstruktionen. Wird ein Geodreieck verwendet so sind auch das Zeichnen von Senkrechten und Parallelen, sowie das Abtragen von Winkeln Grundkonstruktionen. Gerade die Konstruktion von Senkrechten und Parallelen sollten mit Zirkel und Lineal zu Standardkonstruktionen werden.

=== Übung ===

Um das Anfertigen von Konstruktionsbeschreibungen zu üben und um die Abhängigkeit der Konstruktionsaufgabe vom erlaubten Werkzeug zu erfahren, wurde das Arbeitsblatt zu Grund- Standardkonstruktionen bearbeitet (siehe Oben).

=== Modulkonzept ===

Modulkonstruktionen sind die Zusammenfassung mehrerer Konstruktionsschritte, die als Ganzes betrachtet werden.

# Pragmatische Festlegung durch Häufigkeit und Bedeutung
# Festlegung wurde auch sozial ausgehandelt

Modulkonstruktionen können mental in einem Schritt ausgeführt werden

# Modulkonstruktionen sind mentale Grundkonstruktionen
# Modulkonstruktionen sind Grundkonstruktionen von komplexen Werkzeugen

Beispiel für Modulkonstruktionen die gedanklich in einem Schritt durchgeführt werden können, wäre die Konstruktion von Kongruenten Dreiecken. Das Geodreieck ist ein Komplexes werkzeug mit dem Parallelen und Senkrechten, Grundkonstruktionen sind.
Modulkonstruktionen sind Voraussetzung für komplexe Konstruktionsaufgaben, indem Sie eine kompakte Konstruktionsbeschreibung erlauben („Ich konstruiere die Mittelsenkrechte“). Sie bilden ein Abbild der mathematischen Denk- und Arbeitsweise. Mathematische Sätze, Lemmas, usw. werden (einmal bewiesen) als Teile in anderen Beweisen eingesetzt, ohne deren Beweise jedes Mal wieder aufzuzeichnen. Hier wird klar, dass Modulkonstruktion zunächst erarbeitet (Bewiesen/Motiviert) und aufgebaut werden müssen (White-Box-Prinzip).

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

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! GeoGebra
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https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp

Eigenes Werkzeug: https://www.geogebra.org/classic/zkkysctm
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https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Lukas) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Ziehe Kreis K_1 mit Mittelpunkt S, dabei entstehen Schnittpunkte A und B mit Halbgeraden von α
# Ziehe Kreis K_2 mit Mittelpunkt P und Radius [S,A], dabei entstehen Schnittpunkte S_1 und S_2 mit g
# Ziehe Kreis K_3 mit Mittelpunkt A durch B
# Ziehe Kreis K_4 mit Mittelpunkt S_1 mit Radius [A,B], dabei entsteht Schnittpunkt S_3 mit K_2
# Ziehe Gerade h durch P und S_3, der Winkel α wurde mit scheitelpunkt P abgetragen
||
# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Winkelgröße von α messen (Geodreieck in S anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α an Punkt P abtragen ( Geodreieck in P anlegen und Winkel über Punkt A markieren)
# Halbgerade h durch P und A
||
# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Falte S auf P
# Falte eine Halbgerade von α auf g, trage die andere Halbgerade von P an ab, diese bildet mit g den Winkel α
|-
! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:A1.jpg|thumb|Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:B.jpg|thumb|Geodreieck]]
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[[Datei:C.jpg|thumb|Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
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https://ggbm.at/snqcdzrw
||
https://ggbm.at/xx8a48hw
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelparallele (wird bearbeitet von: Julian) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Mittelparallele via Zirkel und Lineal.jpg|thumb|Konstruktion einer Mittelparallelen mittels Zirkel und Lineal.]]
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[[Datei:Mittelparallele via Geodreieck.jpg|thumb|Konstruktion einer Mittelparallelen mittels Geodreieck.]]
||
[[Datei:Mittelparallele via Origami.jpg|thumb|Konstruktion einer Mittelparallelen mittels Origami.]]
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Es sind zwei nicht identische parallele Geraden <math>g</math> und <math>h</math> gegeben.
# Wähle einen beliebigen Punkte <math>P</math> auf <math>g</math> und konstruiere das Lot <math>l_1</math>. [siehe [[GeometrieUndUnterrichtSS2019_06#Das_Lot_zu_einer_Geraden_durch_gegebenen_Punkt_.28wird_bearbeitet_von:_Wibke_.29|Lot durch gegebenen Punkt]]]
# <math>l_1</math> schneidet nun beide die Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Konstruiere nun den Mittelpunkt <math>M</math> uder Gerade <math>l</math>. [siehe [[GeometrieUndUnterrichtSS2019_06#Mittelpunkt_einer_Strecke_.28wird_bearbeitet_von:_Marc_.29|Mittelpunkt einer Strecke]]]
# Die dabei eingezeichnete Gerade durch <math>M</math> ist die gesuchte Mittelparallele.
||
# Ausgangskonfiguration: Es sind zwei nicht identische parallele Geraden <math>g</math> und <math>h</math> gegeben.
# Lege das Geodreieck im Lot auf die Gerade <math>g</math> und Messe den Abstand zur Geraden <math>h</math>. Halbiere diesen Abstand und zeichne dort einen Punkt <math>P</math> ein.
# Wiederhole Schritt 1 an einer anderen Stelle auf der Geraden <math>g</math>. [Nenne <math>P</math> dieses mal <math>P'</math>.]
# Zeichne eine Gerade durch <math>P</math> und <math>P'</math>. Dies ist die gesuchte Mittelparallele.
||
# Ausgangskonfiguration: Es sind zwei nicht identische parallele Geraden <math>g</math> und <math>h</math> gegeben.
# Falte die Gerade <math>g</math> auf die Gerade <math>h</math>. Die entstandene Falte ist die gesuchte Mittelparallele.
|-
! GeoGebra
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Link zu [https://www.geogebra.org/m/rkyvecxh GeoGebra Aktivität]
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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(Nicht möglich.)
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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(Nicht möglich.)
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
||
Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
#Zeichne die Strecke MP.
#Konstruiere die Mittelsenkrechte mAP zu den Punkten M und P. Der Schnittpunkt der Strecke AP mit der Mittelsenkrechten mAP wird als MMP bezeichnet.
#Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt MMP und Radius AMMP. Die zwei Schnittpunkte der zwei Kreise sind nach dem Satz des Thales die Berührpunkte der Tangenten B und B'.
#Zeichne die Gerade durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne den Strahl SMP, welcher bei M beginnt und durch P geht.
# Zeichne einen Kreis k an P mit Radius der Strecke MP. Der Schnittpunkt des Kreises k mit dem Strahl SMP wird mit 2P gekennzeichnet.
# Konstruiere die Mittelsenkrechte mM2P. Diese entspricht der gesuchten Tangente tP.
||
Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Messe die Strecke AP.
# Berechne die Strecke BP = B'P mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
# Messe die Strecke BP bzw. B'P am Punkt P ab, s.d. Punkt B bzw. B' auf der Kreislinie liegt.
# Verlängere die Strecke BP und B’P zu Geraden durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne die Strecke MP und verlängere sie gegebenenfalls.
# Lege die Strecke MP auf die Mittellinie des Geodreiecks (das Lot des Geodreiecks) und zeichne die Tangente tP durch den Punkt P an der Zeichenkante ab.
||
Ausgangskonfiguration (?): Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Falte die Verbindungslinie durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte A auf P (Origami-Axiom 3). Der Schnittpunkt der Faltkanten wird mit MMP bezeichnet.
# Falte P auf die Kreislinie, s.d. die Faltkante durch M' geht [2x] (abgewandeltes Origami-Axiom 4). Die zu P entsprechenden Punkt auf dem Kreis sind die Berührpunkte B und B'.
# Falte die Gerade durch B und P bzw. durch B' und P.

Ausgangskonfiguration 2: Mittelpunkt M und der Kreispunkt P ist gegeben.
# Falte die Verbindungslinie lAP durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte die Verbindungslinie lAP auf sich selbst durch den Punkt P (Origami-Axiom 5). Die neue Faltlinie entspricht der Tangente tP durch den Punkt P.

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! GeoGebra
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Link zu [https://www.geogebra.org/m/sjudqvcx GeoGebra Aktivität]
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-05T06:39:40Z

Anna-Lena Fertig: /* Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
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||
[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

|-
! GeoGebra
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https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp
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https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:A1.jpg|thumb|Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:B.jpg|thumb|Geodreieck]]
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[[Datei:C.jpg|thumb|Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
||
https://ggbm.at/snqcdzrw
||
https://ggbm.at/xx8a48hw
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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(Nicht möglich.)
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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(Nicht möglich.)
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
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Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
#Zeichne die Strecke MP.
#Konstruiere die Mittelsenkrechte mAP zu den Punkten M und P. Der Schnittpunkt der Strecke AP mit der Mittelsenkrechten mAP wird als MMP bezeichnet.
#Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt MMP und Radius AMMP. Die zwei Schnittpunkte der zwei Kreise sind nach dem Satz des Thales die Berührpunkte der Tangenten B und B'.
#Zeichne die Gerade durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne den Strahl SMP, welcher bei M beginnt und durch P geht.
# Zeichne einen Kreis k an P mit Radius der Strecke MP. Der Schnittpunkt des Kreises k mit dem Strahl SMP wird mit 2P gekennzeichnet.
# Konstruiere die Mittelsenkrechte mM2P. Diese entspricht der gesuchten Tangente tP.
||
Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Messe die Strecke AP.
# Berechne die Strecke BP = B'P mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
# Messe die Strecke BP bzw. B'P am Punkt P ab, s.d. Punkt B bzw. B' auf der Kreislinie liegt.
# Verlängere die Strecke BP und B’P zu Geraden durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne die Strecke MP und verlängere sie gegebenenfalls.
# Lege die Strecke MP auf die Mittellinie des Geodreiecks (das Lot des Geodreiecks) und zeichne die Tangente tP durch den Punkt P an der Zeichenkante ab.
||
Ausgangskonfiguration (?): Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Falte die Verbindungslinie durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte A auf P (Origami-Axiom 3). Der Schnittpunkt der Faltkanten wird mit MMP bezeichnet.
# Falte P auf die Kreislinie, s.d. die Faltkante durch M' geht [2x] (abgewandeltes Origami-Axiom 4). Die zu P entsprechenden Punkt auf dem Kreis sind die Berührpunkte B und B'.
# Falte die Gerade durch B und P bzw. durch B' und P.

Ausgangskonfiguration 2: Mittelpunkt M und der Kreispunkt P ist gegeben.
# Falte die Verbindungslinie lAP durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte die Verbindungslinie lAP auf sich selbst durch den Punkt P (Origami-Axiom 5). Die neue Faltlinie entspricht der Tangente tP durch den Punkt P.

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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-05T05:56:51Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-03T17:21:21Z

Anna-Lena Fertig: /* Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 05

2019-06-03T17:06:59Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie die Seiten 30-43 in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.] Wählen Sie einen der genannten Größenbereiche aus: Länge, Flächeninhalt, Rauminhalt, Gewicht, Zeitdauer, Geldwert. Geben Sie für den gewählten Größenbereich wichtige Aktivitätsformen für Schülerinnen und Schüler zu den in Abschnitt 3.8 dargestellten methodischen Stufen an.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

{| class="wikitable"

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! Größenbereich !! Stufe 1 (Unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten) !! Stufe 2 (Mittelbarer Vergleich mit willk. Maßeinheiten) !! Stufe 3 (Normrepräsentanten) !! Stufe 4 (Einheitensystem) !! Stufe 5 (Rechnen mit Größen)


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Flächeninhalt
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Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen. Aufbau einer Ordnungsrelation durch Gegenüberstellung von flächenmäßig größeren und kleineren Objekten. Augenscheinlich und intuitiv klar.
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Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen und der Größe nach sortieren. Objekte die ineinander liegen stellen eine visuelle Repräsentation der Transitivität dar: "Wenn A in B liegt, und B in C liegt, dann liegt auch A in C."
||
Ausmessen von Flächen durch Norm- Quadrate/Rechtecke/Dreiecke. Einheiten wie cm^2, m^2 können durch Normquadrate eingeführt und repräsentiert werden. Mit Hilfe dieser (Flächen-)Einheiten können Flächeninhalte größerer und/oder komplizierterer Flächen gemessen werden. Hier ist noch keine explizite Berechnung nötig, nur das Auslegen und Zählen.
||
Einheiten aus der vorherigen Stufe können dazu genutzt werden Flächen in der realen Welt zu messen. Schnell ergeben sich hier unterschiedliche Größendimensionen/Größenskalen. Dies motiviert die Einführung eines Einheitensystems, das verschiedene Größenordnungen umfasst, und Umrechnung innerhalb dieses Einheitensystems. Der Übergang von cm^2 über dm^2 zu m^2 kann noch mit Hilfe von ausgeschnitteten Schablonen bewältigt werden. Für größere Größenordnungen muss eine abstrakte/verbale Respräsentation aus der realen Welt gewählt werden z.B. Fußballfelder, Acker, Schwimmbecken im lokalen Freibad, ... Aktivität: Schätzung von Flächeninhalten durch Repräsentaten dieser neuen Größenordnungen und Umrechnung/Interpretation in kleinerer/größerer Größenordnung.
||
Einführung eines alternativen Einheitensystems. Hier bietet sich ein ausländisches (nicht SI-)Einheitensystem an. Hier kann erneut verdeutlicht werden, wie Flächeninhalte, je nach Wahl der Einheit (Einheitsmeter vs Fuß), variieren können. Schülerinnen und Schüler können Flächeninhalte in verschiedenen Einheiten messen. Durch eine Messreihe können Schüler ein Muster in den Messergebnissen feststellen und sogar einen Umrechnungsfaktor bestimmen.




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Zeitdauer
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Anknüpfen an intuitives Verständnis von Zeitdauer und Zeit (z.B. "etwas dauert lange"); beispielsweise schätzen lassen, wie lange ein gemeinsam abgewartetes Zeitintervall war oder wie viel Zeit die SuS brauchen, um bestimmte Dinge zu tun; Hervorheben der Subjektivität im Kontext von Zeitwahrnehmung
||
Zeitdauern und / Zeitintervalle vergleichen; beispielsweise vergleichen, wie lange Schüler x und Schüler y für den Schulweg brauchen, wie viel Zeit man für den Schulweg benötigt, wenn man unterschiedliche Verkehrsmittel verwendet oder wie viel mehr Zeit Sportler x für die Laufstrecke bracht als Sportler y. Hierbei können Zeitangaben in Form von Einheiten (z.B. 10 Minuten für den Schulweg) bereits vorkommen und werden von den SuS vermutlich intuitiv genannt, da sie täglich mit Zeitangaben konfrontiert werden.
||
Zeiteinheiten: Sekunden, Minuten und Stunden (s, min, h) als Standardeinheiten einführen. Der Aufbau des Einheitensystems kann hierbei problematisch sein, weil nicht auf das Prinzip bekannter Einheitensysteme (z.B. für Längen) zurückgegriffen werden kann. Der Umgang mit der Tatsache, dass eine Minute nicht aus 100, sondern aus 60 Sekunden besteht, kann zu Verständnisproblemen führen, ließe sich aber beispielsweise anhand einer Uhr als Alltagsgegenstand, welchen die SuS sicher schon kennen, verdeutlichen. Ein geeignetes Messverfahren wäre hierbei v.a. das Stoppen der Zeit mithilfe von Uhren oder Timern auf dem Handy usw. (wobei die Unterscheidung zwischen digitaler und analoger Zeitangabe eine Herausforderung darstellt). Auch die Verwendung eines Metronoms, das Zählen oder das Messen anhand des eigenen Pulses sind hier denkbar.
||
Zeiteinheiten: Tag, Monat, Jahr (größerer Zusammenhang), beispielsweise mithilfe des Kalenders und des Aufbaus eines Jahres inklusive ggf. astronomischer Zusammenhänge (z.B. Warum ein Jahr 365 Tage hat, warum es ein Schaltjahr geben muss oder woher die Einteilung des Tags in 24 Stunden kommt.)
||
Die Besonderheiten der Einheiten zur Zeitdauer, die unter Stufe 3 bereits angesprochen wurden, müssen hier vertieft werden, um insbesondere das Umrechnen von Zeitangaben und das Addieren und Vervielfachen derselben bewerkstelligen und vertiefen zu können. Denkbar wäre es auch, sich andere Zeiteinheiten zu überlegen als die bereits bekannten, auf dieser Grundlage Zeitangaben miteinander zu vergleichen und ggf. auf ihre Praktikabilität hin zu untersuchen (z.B. Zeiteinteilung des Tages in Schulstunden, sofern diese 45 statt 60 Minuten dauern).



|-
|
Längen
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Aufgrund ihrer eigenen Erfahrungen im Alltag besitzen vermutlich die meisten SuS eine gewisse Grundvorstellung von Längen (z.B. Körpergröße). Als einführende Aufgabe könnten die SuS mithilfe von Schnur und Schere die Länge von ausgewählten Gegenständen messen, indem sie die Schnur an die zu messende Strecke anlegen und ein der Länge entsprechendes Stück davon abschneiden. Abschließend können beide „Schnurstücke“, d.h. indirekt die Länge der beiden Gegenstände, vergleichen werden (z.B. „Die Tafel ist länger bzw. breiter als die Schreibtischkante.“)

Ziel: Ordnungsrelation 

I. Vergleich der Körpergröße der Sitznachbarn: größer <-> kleiner via: Zwei stellen sich nebeneinander, ein Dritter überprüft die Größe

Das Ziel hierbei ist, die SuS der Größe nach aufzustellen.

||
Die Schülerinnen und Schüler erhalten die Aufgabe, sich ihrer Körpergröße nach geordnet im Klassenzimmer aufzustellen. Um das Verständnis für die Transitivität der Ordnung zu fördern, könnte jedem Schüler/jeder Schülerin (A) die Aufgabe erteilt werden, einen Schüler/eine Schülerin in der aufgestellten Reihe zu bestimmen, die größer (B) bzw. kleiner (C) als er selbst/sie selbst ist. Anschließend kann die Lehrperson hervorheben, dass damit Schüler/Schülerin C ebenfalls kleiner als Schüler/Schülerin B ist. Um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen, können Schüler/Schülerin C und B aus der Reihe heraustreten und sich zum Vergleich nebeneinander aufstellen.

Ziel: Transitivität 

Aktivität: 
I. A ist größer als B und B ist größer als C somit auch A größer als C.(siehe Text oben) 
II. Vergleich von Strecken, Schulhof, Zimmerlänge, Tischlänge mithilfe von willkürlichen Maßeinheiten 

Bsp. für willkürliche Maßeinheiten sind:
Stifte , Fußlänge und anhand derer Objekte und deren Länge vergleichen, Anzahl Schritte

Bsp. für Messobjekte hierbei sind : Tafellänge, Tischlänge, Stift, Unterarm, Zimmerlänge, Körpergröße und diese anhand der willkürlichen Maßeinheiten vergleichen und auf Transitivität kommen.

||
Den SuS werden verschiedene Längenrepräsentanten zur Verfügung gestellt, die den Standardeinheiten entsprechen (z.B. Schaschlikspieße der Länge 1dm, Büroklammern der Länge 1cm, …) mithilfe derer sie ihre Körpergröße ermitteln sollen, indem sie sich auf den Fußboden legen und ihre „Länge“ von anderen SuS mit den Repräsentanten „ausgelegt“ wird. Während dieser Aufgabe wird den SuS bewusst, welche „Messgeräte“ sich für die Messung von Körpergrößen eignen und weshalb verschiedene Längeneinheiten sinnvoll sind (z.B. damit man nicht 140 Büroklammern verwenden muss, um die Körpergröße nachzubilden).

Ziel: Standardeinheiten einführen

Aktivität: 
I. Bedürfnis einer Standardeinheit motivieren(Zahlen in cm beispielsweise zu groß für km-Angaben) 
II.Meterstab wird zum Messen als einheitliches Messgerät verwendet, da nicht alle Stifte gleich lang sind bzw. nicht alle Füße gleich groß und nicht jeder dieselbe Anzahl von Schritten bei einer Strecke hat etc. (Standardteinheiten motivieren, siehe Text oben) 

Ab nun werden Messobjekte anhand von Normrepräsentanten gemessen: 
Hierfür Einheitensystem aufbauen durch abmessen der Länge von: Radiergummi, Stifte, Tischlänge, Tafellänge, Körpergröße, Zimmerlänge. Diese Längen mit Meterstab messen und dokumentieren 

||
Um den Ausbau des Systems von Standardrepräsentanten zu fördern, erhalten die SuS eine Liste von Längenrepräsentanten (z.B. Gegenstände, bestimmte Wegabschnitte, die Höhe des Schulgebäudes u.Ä.), deren Längen sie zunächst schätzen und anschließend mithilfe von zur Verfügung gestellten Messgeräten abmessen sollen. Der Schätzvorgang dient dabei dem gedanklichen Vergleich mit bekannten Repräsentanten und fördert die Kenntnis weiterer Repräsentanten.

Ziel: Einheitensystem und Standardrepräsentanten 

Aktivität: Ausbau Einheitensystem durch System von Standartrepräsentanten wie beispielsweise: 

1 cm = Büroklammer

10 cm = Stift

100cm =Tafelbreite

1000cm = Zimmerlänge

||
Zum Rechnen mit Längen eignen sich Aufgaben, mit denen die SuS auch im Alltag konfrontiert werden könnten. Beispielsweise könnte berechnen werden, wie groß einer der Schüler/eine der Schülerinnen im nächsten Schuljahr sein wird, wenn sie innerhalb des nächsten Jahres 8cm wächst, usw.

Ziel: Rechnen mit den Größen; Umrechnen der Einheiten 

Aktivität: 
Einheiten umrechnen zur besseren Vergleichbarkeit der Längen-Liste in Stufe 4. Diese in passende Standardrepräsentanten für cm, dm, m, km umwandeln und ergänzen: 

1cm = Büroklammer

1dm= Stiftlänge

1m= Tafellänge

10m= Zimmerlänge

100m= Sprintstrecke

1km= ...

10km…...

Rechenaktivitäten: Wie groß ist Klasse zusammen in cm ausgedrückt? Wie groß in km?...




|-
|
Längen
||

Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten:

Vergleich von verschieden langen Gegenständen, z.B. Buntstifte. Gleichlang, kürzer, länger.

||

Mittelbarer Vergleich:

Buntstifte oder verschieden lange Papier-Streifen der Länge nach ordnen.

||

Vergleichen und Messen mit Normrepräsentantnen:

Einführung der Standardeinheiten 1mm, 1cm, 1dm, 1m, 1km. Kann anhand eines Meterstabs/Maßband/Lineal erfolgen. SuS sollen anhand von Stäben oder Schnüren Objekte messen.

||

Ausbau des Einheitensystems:

1mm: Dicke eines Geodreiecks

1cm: Breite eines Fingernagels

1dm: Breite von Toilettenpapier

1m: Höhe der grünen Fläche von Schultafeln

1km: Von meinem Haus zum Bäcker.

Sus sollen zu jeder Einheit selbst Repräsentanten finden und notieren

||

Rechnen mit Größen des Bereichs: Addieren, Vervielfachen, Umwandeln der verschiedenen Einheiten. Übung zum Berechnen von Längenunterschieden.




|-
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Geldwert
||
Geldbeträge dargestellt durch Münzberge bestehend nur aus einer Münzart. Diese nach Wertigkeit sortieren.
||
Aufbauend auf die eigenen Erfahrungen vergleichen die SuS nun beliebige Geldwerte. Womit kann ich mehr kaufen? Mit einem 2€ Stück oder mit einem 50ct Stück, etc.
||
Alle Euromünzen in 1ct Stücken darstellen. Wie viele 1ct Stücke brauche ich bis die so viel Wert sind wie ein 20ct Stück, etc.
||
Mit der Klasse Überlegungen anstellen:

Für 10ct = 0.1€ bekomme ich ein Bonbon.

Für 1€ bekomme ich einen Apfel.

Für 10€ ein T-Shirt,

für 100€ fliege ich nach London, etc.
||
Wie viel von XY kann ich mir mit YZ€ kaufen? Einfache Kassnebeispiele berechnen. Rückgeld von Einkäufen ausrechnen, etc.




|}

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://drive.google.com/file/d/1p8b6ZmfaTWUxaTb4j4y1UKLp1j7E744p/view?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 24.05.2019 (Ute Sproesser)]

== Dokumentation der Sitzung ==
Die Sitzung war in drei Punkte gegliedert. Zu Beginn wurden die Ziele im Zusammenhang mit Größen erläutert. Anschließend wurde der Aufbau von Größenvorstellungen und Stützpunktvorstellungen thematisiert. Hierunter war auch die Arbeitsphase der Sitzung zu finden. Abschließend wurde grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen präsentiert.

=== A. Ziele im Zusammenhang mit Größen ===
==== I. Messen und Größen im Bildungsplan====
Mithilfe eines kurzen Brainstormings sollten die Teilnehmer die Aspekte von „Messen und Größen“ im Bildungsplan erarbeiten. Die hierbei erwähnten Aspekte deckten sich größtenteils mit den Standards im Bildungsplan (siehe Folie 3). Die folgende Tabelle dokumentiert die Ergebnisse im Vergleich zum Bildunsplan.

{| class="wikitable"
|-
! Ergebnisse des Brainstormings !! Aspekte im Bildungsplan
|-
| Rechnen mit Einheiten, Vorstellungen von Größen entwickeln (Realitätsbezug hierbei wichtig), Umgang mit Messgeräten erlernen (Geodreieck Winkelbestimmung, Thermometer, etc.), Grundvorstellungen zu Volumen und Flächen entwickeln, Schätzen,
||
Messvorgänge, Umgang mit Einheiten (Standardeinheiten), spezifische Größen messen (Längen, Volumina, Flächeninhalte, Winkel, etc.), Schätzen und Vergleichen, Umgang mit Figuren und Körpern und Rechnungen in diesem Zusammenhang durchführen
|}

==== II. Ziele der Leitidee Messen und Rechnen ====
'''1.Aufbau von Größenbegriffen'''
Hierbei sind im speziellen die Fragen „Was ist diese Größe. Wie messe ich diese Größe“ von zentraler Bedeutung um den Größenbegriff zu durchdringen.

''Beispiele:''

:* Flächeninhalt= „Was mit der Rasterfolie gemessen wird.“
:* Volumen= „Was mit einem Einheitsmesswürfel gemessen wird.“
:* Länge= „Was mit einem Metermaß gemessen wird.“
:* Gewicht= „ Was mit einer Wage gemessen wird.“

Hierbei können die Größenbegriffe unterschieden werden, da der Zugang zu diesem Größenbegriff über dessen Messgerät erfolgt und diese unterschiedlich sind. Hiermit kann vor allem der Schwierigkeit des Flächeninhaltsbegriffes entgegen gewirkt werden (siehe grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen).

'''2. Standardrepräsentanten aufbauen für Einheitensystem (Stützpunktvorstellungen)'''

'''3. Umwandlung von Einheiten'''

'''4. Rechnen mit Größen'''

Bemerkung: Bei allen Zielen der Leitidee ist das Schätzen ein hilfreicher Vorgang. Schätzen aktiviert die SuS und bestärkt den Zielaufbau. Allerdings bedarf erfolgreiches Schätzen Stützpunktvorstellungen, welche wiederum ein Ziel der Leitidee sind.

==== III. Abschließende Bemerkung zur Leitidee Messen ====

Die Leitidee Messen steht nicht isoliert im Bildungsplan. Es bestehen Vernetzungen und Verweise zu anderen Leitideen (beispielsweise der Leitidee Funktionaler Zusammenhang, via: Berechnungsformel als Funktion) und zu prozessbezogenen Kompetenzen (beispielsweise zur p. Kompetenz „Modellieren“, hier gilt es um „messen in alltäglichen Kontexten“. Hierzu wurden die Beispiele Tapezieren, Küche erneuen oder Garten ausmessen präsentiert)

=== B. Aufbau von Größenvorstellungen ===

Zu Beginn dieses Gliederungspunktes stand eine kurze Arbeitsphase.

''Arbeitsauftrag:''

SuS spielen auf einer Wiese Fußball. Sie möchten ein Fußballtor mithilfe von Steinen begrenzen. Beide Tore sollen gleich lang sein. Wie geht das?

''Ergebnisse:'' 

:*''Richtiges Tor (mit Latte und somit Höhe):'' Messen mit Körpergröße; einen Pfosten als Normlänge festlegen und andere Längen in diesem Verhältnis ausmessen.

:*''Nur Torbegrenzung (Steine als Begrenzung, keine Pfosten oder Latte)'': Tor mit Füßen ablaufen und somit Fußlänge als Normlänge festlegen; Seil, Stock, Metermaß als alternative Normlängen nehmen zum abmessen.

==== I. Methodische Stufenfolge ====
In dieser Inputphase wurde das Stufenmodell zur Größenerarbeitung vorgestellt (siehe Folie 8ff.). Ergänzend siehe Vorbereitungsauftrag. Zusammenfassend gilt:

'''1.Stufe: Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten
'''
*Ziel: Ordnungsrelation Aufbauen
*Ideen: nebeneinanderstehen (Länge), übereinanderliegen (Flächeninhalt), ineinander (Volumen)

'''2.Stufen: Mittelbarer Vergleich mit selbst gewählten Einheiten (willkürlichen Maßeinheiten)'''

*Ziel: Transitivität aufzeigen
*Ideen: Siehe Beispiel mit dem Tor: Hierbei mit Körper, Seil, Füße, Stock als willkürliche Maßeinheiten die Längen der Tore vergleichen.

'''3. Stufe: Vergleich mithilfe von Standardrepräsentanten'''

*Ziel: Einführung von Standardeinheiten und Anfang eines Einheitensystems
*Idee: Standardisierte Messverfahren verwenden, z.B. Tore mit Metermaß abmessen und vergleichen.

'''4.Stufen: Ausbau des Einheitensystems und Größenvorstellungen aufbauen'''

*Ziel: Stützpunktvorstellungen als Standardrepräsentanten für bestimmte Größen aufbauen
*Idee: Gemeinsam System von Stützpunktvorstellungen erarbeiten (siehe Arbeitsauftrag 2).

'''5.Stufe: Rechnen und Umwandeln der Einheiten aus dem Einheitensystem'''

==== II. Ergebnisse der Diskussion dieses Stufenmodells ====
:* Kernidee der Stufen 2 und 3 ist die folgende Abfolge:
::Maßeinheit finden-> auslegen, zählen, messen-> Einheiten verfeinern->Standardeinheiten erlangen

:* ''Geldwert im Modell:'' Zu diesem Punkt entstand eine Diskussion, inwieweit das Modell und die Größe Geldwert kompatibel sind. Als Ergebnis dieser Diskussion wurde festgestellt, dass das Modell eher nicht geeignet ist um hiermit Geld als Größe zu thematisieren. Es wurde erarbeitet, dass der Geldwert als markwirtschaftliche, monetäre Zuschreibung eines Geldwertes zu einem Objekt (der Preis des Objektes) ein sehr abstrakter Größenbereich ist und das Stufenmodell eben nicht für diesen Bereich gilt. Anderseits kam die Idee auf, dass unter Geldwert auch subjektive Wertzuschreibungen zu einem Objekt gemeint sein können. Die Größenvorstellungen einer subjektiven Wertzuschreibung können beispielsweise durch Tauschgeschäfte und Tauschspiele gestärkt und aufgebaut werden. Als Beispiel um solche subjektiven Wertvorstellungen aufzubauen wurde der Tausch „Pulli vs. Laptop“ genannt. Statt die abstrakte Größe Preis zu betrachten und die Zahlen der Preisangabe zu vergleichen wird bei einem Tauschgeschäft die individuelle Wertzuschreibung betrachtet. Die SuS fragen sich selbst, ob sie einen Pulli gegen einen Laptop tauschen würden und entwickeln somit eigene Größenvorstellungen von ihrem subjektiven Geldwert statt Preise und deren Zahlenwerte zu vergleichen.

:* Die Teilnehmer lernten bei der Diskussion über das Modell, dass das Rechnen mit Größen und das Umwandeln von Einheiten nicht am Anfang der Betrachtung, sondern am Ende der Beschäftigung mit Größen stehen sollte. Ebenso wurde die Erkenntnis geschärft, dass das Schätzen und Messen als Tätigkeiten im Unterricht nicht zu kurz kommen sollten. Zusammen mit dem Aufbau von Stützpunktvorstellungen stellen sie die wichtigsten Aspekte bei der Beschäftigung mit Größen dar. Rechnen und Umwandeln wird nur als Zusatz gesehen in diesem Modell.

==== III. Arbeitsauftrag 1 ====

''Auftrag:''
''
:Welche Einheiten würden Sie zum messen wählen?''

Hierbei wurden die Teilnehmer der Reihe nach gefragt.

''Ergebnisse:''

{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|-
! Objekt!! Einheit
|-
| Wasser in Badewanne|| Liter
|-
| Wasser in Getränk|| ml
|-
| Geschwindigkeit Auto|| km/h
|-
| Geschwindigkeit Fußgänger|| km/h oder m/s
|-
| Tischfläche || m²
|-
| Fläche Sportstadion|| ha
|-
| Gewicht Brot|| g
|-
| Gewicht Auto|| kg
|}
|}

Bei der Geschwindigkeit des Fußgängers gab es eine Diskussion, ob es besser ist in km/h oder m/s zu messen. Es wurde festgestellt, dass km/h besser geeignet ist um Vergleiche herzustellen (z.B. Vergleiche Auto, Zug, Tiere) und im Alltag gebräuchlicher ist während m/s besser geeignet ist um ein Gefühl für die Geschwindigkeit aufzubauen. Außerdem kommt es auf die Situation an. Beispielweise würde ein Jogger bei einem 60min-Lauf seine Geschwindigkeit eher in km/h statt in m/s angeben.

===== Fazit zu Arbeitsauftrag 1 =====
Es ist wichtig Stützpunktvorstellungen aufzubauen. Diese dienen als Standardrepräsentanten für bestimmte Einheiten und erlauben eine Vorstellung von einer Größe in dieser Einheit (Bsp: 1kg ist das Gewicht von einer Packung Zucker). Zusätzlich sind Stützpunktvorstellungen auch Voraussetzung für das erfolgreiche Schätzen und die geeignete Wahl von Messeinheiten bei Messvorgängen.

==== IV. Arbeitsauftrag 2: Einheitensystem ====
In dieser Phase erarbeiteten sich die Teilnehmer in zwei Gruppen ein Einheitensystem zu den Größen Länge, Flächeninhalt und Volumen. Der Arbeitsauftrag lautete:
„Überlegen Sie sich geeignete Stützpunktvorstellungen in Sek I."

'''''Ergebnisse:'''''

{| class="wikitable"
|-
! Länge!! km!! m!! dm!! cm!! mm
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| 2.5 mal eine Runde auf dem Sportplatz|| Schritt|| Handlänge|| Fingernagelbreite|| Dicke Geodreieck
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! Flächeninhalt!! ha!! 10a!! 1a !! 10m²!! 1m²!! 10dm²!! 1dm²!! 10cm²!! 1cm²
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| Sportplatz|| Bauplatz|| Wohung|| Kleines Zimmer|| Tafelseite|| DIN A3|| Ritter Sport Tafel|| Motivbriefmarken|| Würfeleite Spielwürfel
|}

{| class="wikitable"
|-
! Volumen!! 100m³!! 1m³!! 100dm³= 100l!! 10dm³= 10l!! 1dm³= 1l!! 100cm³!! 10cm³!! 1cm³= 1ml
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| Schwimmbecken|| großer Müllcontainer|| Badewanne|| 10l Putzeimer|| Milchpackung|| kleines Glas|| Duplostein (3er)|| Spielwürfel
|}

===== Fazit von Arbeitsauftrag 2 =====

Es wurden in dieser Phase geeignete Stützpunktvorstellungen für die Sek. I erarbeitet. Hierbei ist es den Teilnehmern selbst schwer gefallen für bestimmte Einheiten (z.B. 10a, 1 km) geeignete Stützpunktvorstellungen zu finden. Im Idealfall wäre für eine Einheit unmittelbar ein passender Repräsentant aus der Realität als Stützpunktvorstellung im Kopf. Dies verdeutlicht die Notwendigkeit Stützpunktvorstellungen bei SuS aufzubauen und nicht den Fokus auf Rechnen und Umwandeln zu legen. Die unterrichtspraktische Erkenntnis lautete somit: Stützpunktvorstellungen im Unterricht aufbauen, um das Schätzen zu verbessen.

Es gilt:
:::„Stützpunktvorstellungen sollen ebenso zum Schätzen verfügbar sein wie Grundrechenarten zum Rechnen“

=== C. Grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen ===

In der letzten Inputphase wurde in knapper Form die wichtigsten Fehler und Vorstellungen zum Thema Flächeninhalt und Volumen präsentiert (siehe Folien 13ff.). Die wichtigsten ''Erkenntnisse'' werden hier vorgestellt:

:* Verwechslung von Länge, Umfang, Flächeninhalt, Volumen sind oftmals Ursache für falschen Umgang mit Größen.
:* Dem Begriff Flächeninhalt liegen 4 Schwierigkeiten zugrunde:
::#Keine Vorerfahrungen mit Flächeninhalt aus dem Alltag
::#Flächeninhalte werde selten gemessen, meistens berechnet
::#Fehlende visuelle Präsentation der Fläche als Träger der Eigenschaft Flächeninhalt (bei Skizzen wird die Fläche selten schraffiert, obwohl sie ja existent ist)
::#Fehlende Sprachliche Unterscheidung zwischen Fläche und Flächeninhalt:
:::„ Wie groß ist die Fläche des Rechteckes“ muss heißen „Wie groß ist der Flächeninhalt der Rechtecksfläche“.
:* Unterrichtspraktischer Tipp: Stützpunktvorstellungen über praktische, experimentelle Zugänge aufbauen. Beispielweise durch auslegen, ablaufen, umfüllen, wiegen…
:* Keine formal mathematische Begriffsfestlegung sondern der Aufbau von Stützpunktvorstellungen steht zu Beginn im Zentrum (vgl. Ziele der Leitidee Messen und Rechnen, Aufbau von Größenbegriffen)
:* Keine formalen Umrechnungszahlen nutzen (da diese verwirrend sind).
:* Flächeninhalt eines Rechtecks und dessen Einheit über „Länge x Breite x Einheitsquadrate“ einführen. Die bedeutet: dm² über „1dm² = 1dm x 1dm = 10cm x 10cm = 100 cm²“ einführen und nicht als Ergebnis von Umrechnungszahlen.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 7 „Flächeninhalt und Volumen“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Kapitel 3 „Größen im Mathematikunterricht“ in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* Kapitel 5 „Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10“ in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).
* [http://www.urn.fi/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692 Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“]. In ''khdm-Report'' (Masterarbeit).

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

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|
Häufig bereitet der Flächeninhaltsbegriff im Vergleich zu anderen, in der Schule behandelten Größenbegriffen die größten Schwierigkeiten für SuS.

Nennen und erläutern Sie kurz drei mögliche Ursachen für diese Schwierigkeiten.

Mit welchen Maßnahmen könnten Sie diesen als Lehrperson zukünftig entgegenwirken?
||
Ursache 1: Fehlende Messprozesse

Flächeninhalte werden von SuS nur selten oder nie selbst gemessen. In den meisten Fällen kennen sie nicht einmal ein geeignetes Messgerät für das Bestimmen von Flächeninhalten. Im Unterricht werden Flächeninhalte meist lediglich berechnet. Für die Berechnungen sind nur Längenangaben zu den Seiten einer Figur nötig. Entsprechend verwechseln SuS den Flächeninhalt nicht selten mit dem Umfang einer Figur, da ihnen der Unterschied zwischen Längen- und Flächenmaß nicht bewusst ist.

Ursache 2: Mangelnde Erfahrungen im Alltag

Nur die wenigsten SuS können in ihrem Alltag bereits Vorerfahrungen zu Flächeninhalten sammeln. Grund dafür ist, dass der Umgang mit Flächeninhalten im alltäglichen Leben - im Gegensatz zum Umgang mit Rauminhalten oder Gewichten - nur selten erforderlich ist.

Ursache 3: Linien- statt Flächenfiguren

Der Unterschied zwischen Längen- und Flächenmaß wird außerdem dadurch „verwischt“, dass Figuren in Schulbüchern oftmals als Linien- und nicht als Flächenfiguren dargestellt werden. Dreiecke, Rechtecke und Kreise werden häufig nur durch ihre Umrisslinien präsentiert, weshalb SuS nur unzureichend wahrnehmen, dass die Figuren auch eine gewisse Fläche besitzen.

Um den Schwierigkeiten beim Umgang mit Flächeninhalten entgegenzuwirken, sind die folgenden Maßnahmen empfehlenswert:

1. SuS entwickeln ein Verständnis für den Flächeninhalt als Größe, die von Längen zu unterscheiden ist, indem sie Flächeninhalte verstärkt durch Verwendung von geeigneten Flächenmessgeräten (z.B. Rasterfolien) selbst direkt ausmessen.

2. Gemeinsam wird ein System von Standardrepräsentanten für Flächeninhalte aufgebaut. Die dazugehörigen Vorstellungen können durch Schätzaufgaben tiefer im Gedächtnis der SuS verankert werden.

3. Ebene Figuren werden nicht als Linien- sondern als Flächenfiguren dargestellt.
||
Die Aufgabe eignet sich dazu, den Prozess des Aufbaus von Größenvorstellungen und mögliche, dabei auftretende Schwierigkeiten aus Schülersicht zu reflektieren.


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Welche Aufgaben / Aktivitätsformen können zur Unterscheidung von nahen Größenpaaren, wie z.B. Gewicht & Volumen, Umfang & Flächeninhalt, Oberfläche & Rauminhalt, im Unterricht eingesetzt werden? Entscheiden Sie sich für ein Größenpaar und geben Sie eine konkrete geeignete Aufgabe für die SuS an, um den Unterschied der beiden verschiedenen Größen herauszuarbeiten und erläutern Sie, weshalb Sie sich für diese Aktivität entschieden haben. Nennen Sie ebenfalls Gründe, warum es für SuS schwer ist, diese beiden Größen zu unterscheiden.
||

Zum Beispiel Umfang & Flächeninhalt:

Jede/r SuS bekommt ein Kärtchen mit Beispielen für Umfang & Flächeninhalt (z.B. Zaun, Rasen, ). In einer Ecke des Klassenzimmers steht ist ein Plakat mit der Überschrift '''Umfang''', in der anderen Ecke eines mit der Überschrift '''Flächeninhalt'''. Die SuS sollen zur passenden Ecke gehen und gemeinsam vergleichen, ob sie richtig stehen. Wenn sich alle in der richtigen Ecke eingefunden haben, werden die Kärtchen auf das jeweilige Plakat geklebt und im Klassenzimmer aufgehängt. Zusätzlich könnte man die Begriffe noch nach Größen ordnen lassen, um eine bessere Größenvorstellungen zu bekommen.

Durch diese Aufgabe, werden die SuS nicht nur kognitiv, sondern auch körperlich aktiviert. Die SuS müssen kommunizieren und gemeinsam zu einer Lösung kommen.
Ein Grund für die Schwierigkeit der Unterscheidung von Flächeninhalt und Umfang ist zum einen, dass der Flächeninhalt fast nie gemessen, sondern meistens berechnet wird. Außerdem wird der Flächeninhalt oft einfach als Linienfigur graphisch dargestellt, was zur Verwechslung mit dem Umfang führen kann.

||
Durch diese Aufgabe wird das Thema der Größen inklusive der Repräsentanten und Einheiten aufgegriffen. Außerdem wird durch die Überlegung einer konkreten Aktivität für die SuS ein direkter Bezug zur Unterrichtspraxis hergestellt und es wird sich in ein Unterrichtsgeschehen versetzt. Problematiken im Umgang mit der Unterscheidung von Größen werden herausgearbeitet um diesen entgegenzuwirken.
||


|-
|
Führen Sie sich den Größenbereich der "Zeitdauer" vor Augen und wenden diesen auf die Grundprinzipien des Messens an. Welche Möglichkeiten für unterrichtliche Umsetzungen bieten sich? Welche Bereiche bereiten Schwierigkeiten und wie könnte man diesen entgegenwirken? Welche Besonderheiten charakterisieren den Größenbereich der "Zeitdauer" im Vergleich zu anderen Ihnen bekannten Größenbereichen?
||
Vergleichsaspekt:
* Die SuS bauen auf intuitiven Verständnissen und Wahrnehmungen von Zeitdauer auf, welche zudem situationsabhängig sind (ob eine Unterrichtsstunde von 45 Minuten als "lang" empfunden wird, hängt beispielsweise vom Thema und der Unterrichtsgestaltung, aber auch von Aufmerksamkeitsspanne und Interesse der SuS ab). Dies ist definitiv eine Schwierigkeit im Umgang mit dem Größenbereich "Zeitdauer".
* Der Vergleich von Zeitangaben wie "3 h", "1 Tag", "30 Sekunden" funktioniert entweder intuitiv oder anhand des Einheitensystems. Dieser Aspekt lässt sich sehr gut auf die Zeitdauer anwenden.
* Schwierigkeit hierbei kann es jedoch sein, dass das aus anderen Größenbereichen bekannte Einheitensystemen nicht auf die Zeitdauer angewedet werden kann. Statt 100 Sekunden enthält eine Minute lediglich 60 Sekunden. Durch diese Schwierigkeit wird auch das Umrechnen im Einheitensystem der Zeitdauer zu einer größeren Herausforderung und ebenso der Vergleich von Größen. Dem entgegenwirken ließe sich beispielsweise über einen sehr grundlegenden Ansatz, der die analoge Uhr (nicht die weit verbreitete Digitalanzeige) als Ausgangspunkt nimmt und daher begründet, warum eine Minute 60 Sekunden hat usw.

Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt:
* Für grundlegende Herangehensweisen ließe sich ggf. ebenso mit dem Ziffernblatt arbeiten (beispielsweise indem man es vierteilt und auf diese Art und Weise die Sprechweise "Viertel vor / Viertel nach" begründet bzw. nachvollziehbar macht).
* Ansonsten bietet dieser Aspekt des Messens im Kontext von "Zeitdauer" einige Schwierigkeiten. Er lässt sich beispielsweise nicht so anschaulich darstellen wie das Auslegen eines Rechtecks mit Einheitsquadraten.

Messgerät-Aspekt:
* Hier fällt es wieder leichter, konkrete Bezüge herzustellen: Der Umgang mit Zeitangaben und "Zeitdauer" ist im Unterricht in der Regel mit Messgeräten verbunden. Insbesondere Uhren (digital / analog) und / oder Stoppuhren dürften immer wieder Einsatz finden, wenn es um das Messen von "Zeitdauer" geht.
* Auch hier existiert jedoch eine Schwierigkeit: Die Zeitangaben eines Ziffernblatts mit denen einer Digitalanzeige in Beziehung zu setzen, mag den SuS schwerfallen, bietet aber zugleich die Möglichkeit, den Größenbereich "Zeitdauer" wirklich gut zu durchdenken und zu verstehen.

Messen-als-Berechnen-Aspekt:
* Der richtige Umgang mit dem Einheitensystem spielt hierbei eine große Rolle. Ist den SuS dieses bekannt, so sind sie dazu in der Lage, gemessene Zeitdauern umzurechnen.
* Schwierigkeiten des Einheitensystems wurden weiter oben und im Vorbereitungsauftrag bereits thematisiert.

||
Diese Aufgabe vertieft zum einen das Verständnis der Grundprinzipien des Messens und fordert zum anderen dazu auf, diese an einem konkreten Größenbereich durchzuspielen. Dadurch kann zusätzlich auch das Verständnis für den Größenbereich "Zeitdauer" verstärkt werden. Insbesondere die speziellen Herausforderungen und Anforderungen dieses Größenbereichs werden vor Augen geführt und die Aufgabe fordert dazu auf, sich in die SuS und ihren aktuellen Wissens- und Kenntnisstand hineinzuversetzen.



|-
|

Hannah steht vor der folgenden Aufgabe: "Die Fläche der Bundesrepublik Deutschland beträgt etwa 357.386 km². Wie viele Quadratmeter sind das?" Im Mathematikunterricht hat sie bereits gelernt, dass der Buchstabe "k" in der Einheitsangabe für "kilo" steht, was so viel wie "tausend" bedeutet. Sie sagt: "Ein Kilogramm, das sind eintausend Gramm. Genauso funktioniert das mit Längen. Ein Kilometer, das sind eintausend Meter. Es reicht also mit 1000 zu multiplizieren." Sie schlussfolgert: "Die Fläche unserer Bundesrepublik in Quadratmetern beträgt 357.386.000."

*Welchen Fehler hat Hannah gemacht?
*Warum könnte diese Fehlvorstellung entstanden sein?
*Welche Ansätze für den Unterricht fallen Ihnen ein, um solche Fehlschlüsse zu vermeiden?

||
*Hannah nutzte eine simple Analogie um einen scheinbar logischen Schluss zu ziehen. Sie fällt der Sprache der Mathematik zum Opfer, aus der nicht direkt deutlich wird, das Flächen und damit auch ihre Einheiten quadratisch wachsen. Die Fläche der Bundesrepublik beträgt demnach 357.386.000.000m². Man multipliziert die Größe also doch mit dem Faktor eintausend, jedoch tut man dies einmal pro Raumdimension der Größe.
*Hannah hat leider nicht verstanden/nicht gelernt, dass Flächeninhalte quadratisch wachsen und sich ihre Einheiten ebenso verhalten. Sie zieht direkte Schlüsse aus den linearen Größen wie Längen und Gewicht und überträgt diese analog auf den Flächeninhalt.
*Zu allererst ist es wichtig diesen Sachverhalt direkt im Unterricht zu thematisieren. Das Umrechnen von Flächeneinheiten muss ebenso geübt werden, wie das Umrechnen von Längeneinheiten geübt wurde. Dabei können Grundvorstellungen geschaffen und Eselsbrücken gefunden werden, wie beispielsweise der Bezug zur Dimension. Die Fläche verändert sich in zwei Richtungen, demnach muss die bekannte Längenumrechnung in beide Richtungen berücksichtigt werden. Diese Tatsache kann auch konkret erfahrbar gemacht werden, indem man im Unterricht konkrete Flächen mit unterschiedlichen Einheiten ausmisst. Hier wird der Vergleich/der Umrechnung von Einheiten direkt sichtbar. Weiterhin hilft es, eine Vorstellung für Größenordnungen zu besitzen. Dies ist vorallem bei der Umrechnung von kleineren Einheiten wie mm², cm², dm² oder m² hilfreich, denn mögliche Rechenfehler können durch einen schnellen Sanity-Check schnell entlarvt werden, beispielsweise durch einen Vergleich mit der Fläche eines realen Gegenstands aus der Alltagswelt (zB Zimmer, Fingernagel, Stecknadelkopf etc.). Schwieriger wird diese Methode bei Größenordnungen, die nicht im Alltag auftreten oder schwer zu begreifen sind, wie beispielsweise der Fläche von Ländern.

||

Das gestellte Problem stellt eine realistische Situation im Alltag eines Didaktikers dar und thematisiert mögliche Schwierigkeiten im Bezug auf das Messen und Vorstellungen die damit verbunden sind.




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In einem Schulbuch findet sich neben einer Karte vom Südpol mit geeigneten Maßstab die folgende Aufgabe: 

Nutze ein Einheitsquadrat mit Kantenlänge 1000km [im Maßstab] um Näherungsweiße die Größe des Südpols zu bestimmen.

*Welche Möglichkeiten gibt es die Aufgabe zu lösen?
*Wie könnte man zu einem genaueren Ergebnis gelangen?
*Wo könnten Probleme auftreten und warum?

||
*Die Aufgabe zielt auf den Messe-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt ab. Die Fläche des Südpols kann mit den Einheitsquadraten ausgelegt und/oder überdeckt werden und so mittels deren Anzahl die Fläche des Südpols geschätzt werden.
*Nicht nur das Quadrat zum auslegen verwenden sondern auch Dreiecke, etc. die besser die Fläche des Südpols abbilden. Falls der Flächeninhalt eines Kreises schon behandelt wurde könnte man auch diesen als mögliche Annäherung in Betracht ziehen.
*Den Schülerinnen und Schülern muss klar sein, dass es einen Unterschied zwischen auslegen und überdecken gibt und dieser nicht vermischt wird. [Vergleiche Untersumme/Obersumme beim Integral.]
||

Das gestellte Problem kommt in dieser Form tatsächlich in einigen Schulbüchern vor und soll den Zerlegeaspekt im Bezug auf Flächen hervorheben.



|-
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*Welche verschiedenen Sequenzierungen ausgehend vom Rechteck fallen Ihnen ein, um den Flächeninhalt von Parallelogrammen, Dreiecken, beliebigen Vier- und Vielecken einzuführen?
*Welche Fehlvorstellungen können bei den SuS auftreten und wie könne diese vorgebeugt werden?
*Nenne zwei weitere Medien, die bei der Einführung von Flächeninhaltsberechnungen von Parallelogrammen helfen können? Wie können Sie genutzt werden?
||
* a. Rechteck -> Parallelogramm -> Dreieck -> beliebige Vier- und Vielecke 
:b. Rechteck -> Dreieck -> Parallelogramm -> beliebige Vier-und Vielecke
* SuS könnten ''a priori'' davon ausgehen, dass sich der Parallelogrammflächeninhalt analog zu dem Rechtecksflächeninhalt berechnen lässt. Durch die Untersuchung von umfangsgleichen Parallelogrammen beispielsweise mit Hilfe von '''Gelenkparallelogrammen''' können, die SuS diesen Irrglauben sehr anschaulich enttarnen. („Wie groß muss der Scherungswinkel sein, damit sich der Flächeninhalt halbiert?“ ist eine geeignete und interessante Frage, um das Verständnis der SuS zu testen.)
*'''Geobrett mit Schieber''': SuS erkennen, dass auch nach der Scherung von Rechteck zu Parallelogramm in jeder Zeile der gleiche Flächeninhalt erhalten bleibt (inhaltsgleiche Parallelogramme; Prinzip von Cavalieri).
:'''Parallelogrammschieber''': Durch Ziehen an dem Schieber entsteht innen eine freie Parallelogrammfläche und außen eine gleichgroße Rechtecksfläche, da kein Flächeninhalt vernichtet werden kann. (Der Flächeninhalt wurde nur transaltiert; Das was an Flächeninhalt dazugekommen ist (Rechtecksfläche) entspricht, das dem Flächeninhalt, welcher innen fehlt (Parallelogramm). Dieses Medium macht Zusammenhang zwischen der Größe Flächeninhalt und der Formel zur Berechnung sehr anschaulich deutlich.
||
Die Berechnung von Flächeninhalten insbesondere von Parallelogrammen erweist sich in der Praxis oftmals als schwierige Aufgabe für SuS. Das zahlreiche Anwenden der Formeln trägt dabei nicht nachhaltig zum Verständnis bei; die Formeln werden schnell vergessen oder verwechselt. Aus diesem Grund ist wichtig verschiedene Sequenzierungen zu kennen, Fehlvorstellungen vorzubeugen und unterschiedliche mediale Zugänge zu nutzen, um dadurch nachhaltig für ein tiefes Verständnis von Messungen/Berechnungen von Flächeninhalten zu sorgen.


|}

== Literaturhinweise ==

GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

2019-06-03T11:55:35Z

Anna-Lena Fertig: /* Abgabe von alf */

== Vorbereitungsauftrag ==

=== Vom Volumen zum Flächeninhalt ===

Denken Sie sich einen mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine
Waage und ein Maßband.
# Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
# Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)#Allgemeiner_Zylinder allgemeine Zylinder].
# In dieser Aufgabe wurde das Problem der ''Flächenmessung'' auf das Problem der ''Volumenmessung'' zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung ''im Alltag'' tatsächlich das einfacherere Problem ist.

=== Vom Flächeninhalt zum Volumen ===

Lesen Sie den Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).

# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri'' nach.
# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit Stufenkörpern'' nach.
# Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum?

== Vorbereitungsauftrag (Zusatz) ==

Der ''Satz von Fubini'' ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

:<math>
\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)
</math>

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.
# Wiederholen Sie den ''Satz von Fubini'' aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
# Formulieren Sie den ''Satz von Fubini'' für folgenden Spezialfall: Es sei <math>X \subseteq \mathbb{R}^{n}</math> ein abgeschlossener Quader, und <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei <math>A\subseteq X\times I</math> messbar. Wir betrachten für <math>h\in I</math> die Mengen <math>A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}</math>. Wie können Sie <math>\int_{A}d(x,y)</math> berechnen?
# Für das ''Prinzip von Cavalieri'' findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
# Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?

=== Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) ===

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1JewWDjuI0dHJAIfV28_y4CsV2JQZJz3PXSFs902YaXU/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 17.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1UDlDhDVIjxRBy6n_bYPyYkXLdjUQ14RK/view?usp=sharing Vortragsnotizen für die Integration des Paralellograms]
* Sie auch [https://mampf.mathi.uni-heidelberg.de/media/491 Zusatzmaterial Fläche und Volumen auf der Mathematischen Medienplattform des Mathematischen Instituts der Universität Heidelberg.]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

Diese Sitzung beschäftigte sich exemplarisch mit der Bestimmung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen als Einstieg in den Themenkomplex "Messen". Hiervon ausgehend werden auch komplexere Flächen betrachtet. 
Generell wurde angemerkt, dass sich bei diesem Themenkomplex GeoGebra gut zum Veranschaulichen eignen könnte!

=== Inhaltlicher Input (Einführung) ===

In den Bildungsstandards von Baden-Württemberg findet sich die '''Leitidee Messen'''. In diesem Zusammenhang ist oft auch von den vier '''Grundprinzipien des Messens''' die Rede:
* Vergleichsaspekt
* Messe-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt
* Messgeräte-Aspekt
* Messen-als-Berechnen-Aspekt
[Details, siehe oben verlinkte Sitzungsfolien]

Da die Bestimmung von Flächeninhalt/Volumen als Integration angesehen werden kann ['''Propädeutik'''], haben wir uns in der folgenden Arbeitsphase mit der Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen [mithilfe der Integrationstheorie] beschäftigt.

=== Arbeitsphase (Flächeninhalt eines Parallelogramms) ===

Aufwärmübung - Flächeninhalt eines Rechtecks. 

Sei <math>ABCD</math> ein Rechteck mit Grundseite <math>g</math> und Höhe <math>h</math>. Dieses Rechteck kann man wie folgt in einem 2D-Koordinatensystem betrachten:
Der Punkt <math>A</math> ist der Ursprung mit Koordinaten <math>(0;0)</math>, der Punkt <math>B</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(g;0)</math> und der Punkt <math>D</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(0;h)</math>.
Dadurch ist auch bereits <math>C</math> mit <math>(g;h)</math> eindeutig festgelegt.
Nun kann die Berechnung des Flächeninhalts als Bestimmung der Fläche Zwischen x-Achse und der Geraden durch <math>C</math> und <math>D</math> auf dem Intervall <math>[0, g]</math> betrachte werden. Es handelt sich also um eine simple Integration. Man erhält:

<math> F_{ABCD} = \int_0^g h \, dt = [ht]^g_0 = hg </math>.

Dieser Ansatz verwendet gerade die Rieman-Integration. 

Natürlich wäre aber auch eine Integration über die Höhe <math>h</math> Mittels der Lebesgue-Integration möglich gewesen. Man erhält so:

<math> F_{ABCD} = \int_0^h g \, dt = [gt]^h_0 = gh </math>.

Flächeninhalt eines Parallelogramms 
Im Folgenden werden nun verschiedene Ansätze zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms <math>ABCD</math> vorgestellt. Für die exakten Rechnungen sei auf die verlinkten Vortragsnotizen des Dozenten verwiesen. 

{| class="wikitable"
|-
! Idee !! Skizze !! Ausführung !! Entsprechung
|-
| Zerlege das Parallelogramm in drei Teile ||
[[Datei:Para1.PNG|thumb]]
|| Man berechnet <math> F_{ABCD} = \int_0^{g+\alpha} h_t \, dt = \int_0^{\alpha} h_t \, dt + \int_\alpha^{g} h_t \, dt + \int_g^{g+\alpha} h_t \, dt </math>. 
Zur Berechnung von <math>h_t</math> im ersten und dritten Summanden bietet sich ein Steigungsdreick zur Bestimmung von <math>\beta</math> an.
|| Die Integration entlang der Grundseite (Riemann) entspricht gerade der Zerlegung des Parallelogramms in Rechteck und Dreiecke.
|-
| Betrachte eine Parallele zur Grundseite und Integriere über die Höhe ||
[[Datei:Para2.PNG|thumb]]
|| Analog zum Rechteck. Es gilt: <math> g_t = \alpha_t + g - \alpha_t = g</math> || Die Integration entlang der Höhe (Lebesgue) entspricht der Idee, dass Scherungen Flächeninhalte nicht ändern.
|-
| Mittels der Determinante bzw. Koordinatentransformation || siehe zum Beispiel [http://i.stack.imgur.com/gCaz3.png hier] || Die Transformation um Scherung <math>\alpha</math> ist gegeben durch 
<math>(1;0)^T -> (1;0)^T</math> und <math>(0;1)^T -> (\alpha;1)^T</math>
|| Scherungen entsprechen Koordinatentransformationen
|}

=== Arbeitsphase (Flächeninhalt von anderen Formen) ===

In einem nächsten Schritt haben wir uns die Frage gestellt, wie Flächen von komplexeren Formen berechnet werden können. Eine klassische Schulbuchaufgabe ist hier beispielsweise die approximative Bestimmung der Landfläche des Südpols, mit Hilfe einer Landkarte mit geeigneten Maßstab. Dies führt zu zwei verschiedenen Herangehensweisen:
# Zerlegen und Ergänzen [Der Südpol wird einmal mit "Normrechtecken" ausgelegt]
# Benutzung von Scherungen, denn diese ändern nicht den Flächeninhalt.

Die zweite Möglichkeit verwendet dabei das Konzept von Cavalieri: 

Das Prinzip von Cavalieri (für Flächen) 

In einer Ebene werden zwei Figuren und die Schar aller zu einer Geraden parallelen Geraden betrachtet. Wenn für jede Gerade der Schar die beiden Schnitte mit den zwei Figuren gleich lang sind, so sind die beiden Figuren flächengleich.

Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) 

Im Raum werden zwei Körper und die Schar aller zu einer Ebene parallelen Ebenen betrachtet. Wenn für jede Ebene der Schar die beiden Schnittflächen mit den zwei Körpern gleichen Flächeninhalt haben, so sind die beiden Körper volumengleich.

Betrachtet man verschiedene Schulbücher und untersucht, wie diese die Flächenberechnung des Parallelogramms begründen, so verwenden diese eigentlich nur die Methode der Zerlegung. Eine Diskussion unter den Sitzungsteilnehmern führte in diesem Kontext zu folgenden Ergebnis:
Die Methode des Zerlegens ist sehr einsichtig. Sie kann sehr einfach von der Klasse nachvollzogen werden und es besteht somit kein Interesse an einer anderen Methode. Es ist in diesem Zusammenhang aber auch Anzumerken, dass in höheren Klassenstufen Scherungen notwendig werden, zur Bestimmung des Volumens bei Kegel, Kugel, Pyramid, etc..

== Nachbereitungsauftrag ==

Im Jahre 1994 veröffentlichte das Journal ''Diabetes Care'' den Artikel [https://doi.org/10.2337/diacare.17.2.152 „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] von Mary M. Tai. In dem Artikel entwickelt und validiert Tai eine Methode zur Berechnung der Fläche unter einer Blutzuckerkurve.

# Finden Sie heraus, wann und von wem die ''Integrationstheorie'' und insbesondere die ''Trapezregel'' entwickelt wurde. Lesen Sie dann [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“].
# Für die Validierung „ihres“ Approximationsverfahrens vergleicht Tai ihre Rechenergebnisse mit einem Bestimmungsverfahren für den „wahren Wert“. Diskutieren Sie die beiden Verfahren vor dem Hintergrund des ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekts'', des ''Messen-als-Berechnen-Aspekts'' und des ''Vergleichsaspekt'' (vgl. Grundprinzipien des Messens in ).
# Analysieren Sie die Fehler/Fehlvorstellung zum ''Messen'', die in dem Artikel sichtbar werden. Skizzieren Sie Hypothesen, wie diese Fehlvorstellungen entstanden sein könnten und wie Sie Ihnen im Unterricht der Sekundarstufe II begegnen bzw. im Unterricht der Sekundarstufe I vorbeugen könnten.

=== Ergebnisse der Nachbereitung ===

Tragen Sie hier die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in Textform (nicht länger als 500 Wörter) ein.

==== Abgabe von pq ====

#Die Frage nach Flächeninhalten, hier speziell im Flächeninhalt unter einer Kurve aka Integral, ist so alt wie die Mathematik selbst. Die in der Arbeit [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] angeführte Methodik des Ausfüllens oder Erschöpfens einer Fläche durch kleinere Flächen, deren Flächeninhalte durch bekannte Formeln trivial bestimmbar sind, findet sich zuerst beim antiken griechischen Philosophen Antiphon, der im 5. Jahrhundert vor Christus lebte. Dieser Methode bediente sich später auch Johannes Kepler, der bei der Berechnung von Planetenbahnen eben Integrale durch einfachere Flächen approximierte und damit die heute bekannte numerische Integration nutzte. Basierend auf dieser einfachen Idee entwickelten die Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz und Sir Isaac Newton unabhängig voneinander die Theorie der Differential- und Integralrechnung, welche mithilfe der Infinitesimalrechnung die Approximation eines Integrals durch infinitesimal kleine Quader oder Trapeze erlaubt. Numerische Verfahren zur Bestimmung solcher einfacher, aber auch komplexerer, Integrale waren 1994 sicher bereits weit verbreitet.
# Zur Validierung ihres Verfahrens vergleichen Tai et al. die Ergebnisse ihrer neuartigen Methode mit einer ''ground truth'', welche darin besteht, die Kurve auf Millimeterpapier zu zeichnen und die Kästchen unter der Kurve zu zählen (''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt'') (''The validity of each model was verified through comparison of the total area obtained from the above formulas to a standard (true value), which is obtained by plotting the curve on graph paper and counting the number of small units under the curve. The sum of these units represents the actual total area under the curve.''). Dabei scheinen sie nicht zu bemerken, dass dieses Verfahren ebenso eine Approximation des gewünschten Ergebnisses ist, wenn auch eine hinreichend genaue. Beide Verfahren beinhalten also einen Prozess des Messens. Die "neu entwicklete" Methode beinhaltet über das Messen der Seiten der Trapeze hinaus jedoch einige Rechnungen und entspricht vielmehr einem berechnenden Ansatz, wie es eben auch der Fall für das Berechnen von Flächeninhalten von einfachen geometrischen Objekten der Fall ist (''Messen-als-Berechnen-Aspekt''). Beide Methoden werden empirisch verglichen, indem man die relativen Abweichungen der Ergebnisse in verschiedenen Tests prüft. Dabei scheint den Autoren auch nicht bewusst zu sein, dass es sich bei ihrem Vergleich nicht um einen Beweis handelt, welcher ihre Methode validiert. Beispielsweise könnten die Tests nur einen Teil von möglichen Szenarien abdecken, in welchen ihr Verfahren eben die gewünschte Genauigkeit aufweist. Schließlich werden die Abweichungen der neuen Methode von der "ground truth" als "statistisch nicht signifikant" bezeichnet (?).
# Aus dem Artikel wird klar, dass die Autoren die reine Messmethode für die genauere Methode, welche das "echte Ergebnis" liefert, halten. Ihre berechnende Methode halten sie, zu Recht, für eine Approximation. Unklar bleibt, wie die tatsächlichen Kurven der Tests aussahen und welche Annahmen über diese Kurven getroffen wurden. Wurden die Kurven beispielsweise als stückweise linear angenommen, so liefert die angewandte Trapezregel offenbar sogar das exakte Ergebnis und ist damit sogar genauer als die ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen''-Methode. Das Missverständnis der Autoren scheint für mich auf der kindlichen Vorstellung zu beruhen, dass etwas, dass ich tatsächlich messe und sehe, das echte und richtige Ergebnis ist. Dagegen scheinen Tai et al. jedoch erkannt zu haben, das sie das Integral der Kurve (wenn sie denn nicht stückweise linear angenommen wird) durch die Trapeze und damit Flächen unter stückweisen linearen Kurven nur approximieren. Im Falle, dass die Trapezregel tatsächlich die exakte Lösung darstellt, bleibt diese Auffassung für mich jedoch ein Rätsel. Um solchen Vorstellungen vorzubeugen, sollte im Laufe der Sekundarstufe I stark betont werden, dass eine Messung immer mit einer Messgenauigkeit und einem Messfehler zusammenhängen. Hier könnten Beispiele und Vergleiche von Messung und Berechnung schon am Beispiel von Dreiecken herangezogen werden. Am Beispiel des Kreises lässt sich dieser Sachverhalt noch deutlicher darstellen, da sich Kreise nie vollständig durch Dreiecke oder Vierecke auslegen lassen. In der Sekundarstufe II ist es wichtig bei der Einführung des Hauptsatzes der Integral- und Differenzialrechnung darauf wert zu legen, dass die Approximation durch Ober- und Untersummen (i.e. Quader) immer genauer wird, wenn die Zerlegungsintervalle kleiner werden und nur dann exakt ist, wenn die Teile unendlich klein sind. Das analytische Integral ist also tatsächlich die einzige exakte Lösung für beliebige Kurven.

Weitere Fragen/Anmerkungen:
* Habe ich etwas falsch verstanden?
* Beispielrechnung auf Seite zwei enthält einen Klammerfehler/Typo, das Ergebnis ist jedoch korrekt.
* Wie rechtfertigt sich die Annahme, dass der Blutzuckerspiegel stückweise linear approximiert werden kann?
* Was waren die anderen Formeln zur Berechnung des Blutzuckers?
* Gab es 1994 keinen Reviewingprocess für wissenschaftliche Arbeiten?
* Was haben die Autoren dieser Arbeit im Mathematikunterricht gemacht?
* Warum wurde dieses Paper 273 mal zitiert, davon 6 Zitationen im Jahr 2019?!

==== Abgabe von xy ====

#Bereits griechische Gelehrte setzten sich mit der Flächeninhaltsbestimmung geometrischer Formen auseinander. Insbesondere der griechische Universalgelehrte Archimedes (287-212 v. Chr.) erzielte namhafte Ergebnisse im Kontext der Bestimmung von Flächeninhalten komplexerer geometrischer Strukturen (beispielsweise eine von einem Parallelbogen und einer Sekante eingerahmte Fläche). Aber erst Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibnitz gelang es im 17. Jahrhundert, sich von der geometrischen Herangehensweise an die Flächeninhaltsbestimmung zu lösen und einen analytischen Zugang zu wählen. Verfahren zur numerischen Bestimmung von Flächeninhalten bzw. Integralen wurden seither vielfach verfeinert. Darunter fällt insbesondere auch die hier beschriebene Verwendung von Trapezen statt Rechtecken.
#Tais Modell unterteilt die Fläche unter der Kurve in Trapeze, deren Flächeninhalte mit geometrischen Mitteln eindeutig bestimmt werden können. Addiert man diese Flächeninhalte, so erhält man laut Tai eine deutlich genauere Näherung an den „tatsächlichen“ Flächeninhalt unter der Kurve als mit anderen Methoden. Den „wahren“ Wert bestimmt sie im Rahmen ihrer Studie, indem die Kurve auf Millimeterpapier gezeichnet wird und man anschließend die unter der Kurve befindlichen Kästchen addiert.Im Grunde kann man beide Ansätze als „Messen durch Auslegen und Zählen“ verstehen. Die allgemeine Herangehensweise legt die Fläche unter der Kurve mit einheitlich großen Kästchen aus und zählt diese zusammen. Tais Modell hingegen legt die Fläche mit Trapezen aus, welche an den Verlauf der Kurve angepasst sind und diese dabei besser approximieren. Zu bedenken ist jedoch, dass auch die Version für den „wahren“ Wert in diesem Aufsatz keine exakte Bestimmung des Flächeninhalts liefert, sondern eine Näherung an diesen (obwohl die Einheiten durch das Millimeterpapier recht klein gewählt sind). Tai fasst ihre Ergebnisse außerdem in einer Formel zusammen, welche an verschiedene Fälle angepasst werden kann („Messen als Berechnen“). Wie der Vergleichsaspekt in diesem Kontext Anwendung finden soll, ist mir nicht ganz klar. Einzig der besondere Fall, dass ein Teil der Kurve eine der Koordinatenachsen schneidet, könnte die Fähigkeit des Vergleichens notwendig machen. Tai hat diesen Fall in ihr Modell aufgenommen, im allgemeinen Fall müsste man jedoch mit Konzepten von orientierten Flächeninhalten arbeiten, falls der Kontext der Studie dies zulässt.
#Bei der Lektüre des Aufsatzes irritierte mich, dass nicht der Versuch unternommen wird, die Kurve durch eine geeignete Funktion zu approximieren und diese dann zu integrieren. Möglicherweise aber lassen die entsprechenden Studien eine solche Vorgehensweise nicht zu. Darüber hinaus ist der Umgang mit dem „wahren“ Flächeninhalt problematisch. Auch die Kästchenzähl-Variante bleibt lediglich eine Approximation, was Tai in ihrem Aufsatz nicht angemessen berücksichtigt. Den wahren Wert des Flächeninhalts durch Messen zu ermitteln, ist in diesem Fall nur mittels Approximation möglich, was für SuS der Sekundarstufe II möglicherweise schwer nachvollziehbar ist. Zu diesem Zweck wäre es beispielsweise hilfreich, mehrere Ansätze zur Berechnung von Flächeninhalten bzw. mehrere Herangehensweisen an das Integral zu bieten, einander gegenüberzustellen und gegeneinander abzuwägen.
.

==== Abgabe von fqt ====

Aufgabe 1 
* Die Exhaustionsmethode ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, also zur Integration. [Eudoxus, ca. 370 v.Chr.]
* Anscheinend wurde die Trapezregel bereits ca. 50 v.Chr. in Babylon in Bezug zu astronomischen Fragestellungen angewandt.

Aufgabe 2 
Die Methode von Tai's beruht auf der Unterteilung in kleine Rechtecke und Dreieck, also auf dem ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt''. Auch die Vergleichsmethode zur Validierung verwendet diesen Aspekt, denn sie beruht auf dem Zählen der kleinsten Einheiten unter der Kurve des Graphen bis der wahre Wert bestimmt ist. Jedoch sind Tai's Ergebnisse auch als reine Formel anwendbar. Hier ist es also definitiv auch möglich vom 'Messen-als-Berechnen-Aspekts'' zu sprechen.

Aufgabe 3 
Weder Tai's Methode noch die Vergleichsmethode stellen genaue Berechnungen dar. Dies wird von den Autoren jedoch nur für Tai's Methode selbst erkannt. Sie erkennen nicht, dass das Integral verschiedene Aspekte des Messens gleichzeitig darstellt (darstellen kann). Persönlich denke ich, dass eine Klasse in der Kursstufe einfach eine Stammfunktion bestimmen würde um den wahren Wert zu erhalten und nicht erneut approximieren würde. Ich frage mich auch, warum dies hier nicht gemacht wurde.

==== Abgabe von alf ====
'''Aufgabe 1'''
* < 17. Jhdt.: Flächeninhalts- und Voluminaberechnungen von interessanten Fallbeispielen durch das Messen durch Auslegen-und-Zählen, durch Vergleichen und Abschätzen und später auch durch erste Berechnungen. [‘‘Antiphon, Archimedes‘‘]
* > 17. Jhdt.: Flächeninhalts- und Voluminaberechnungen von einer gewaltigen Fülle konkreter Probleme mit Hilfe der Infinitisimalrechnung. Die heute in der numerischen Integration zugehörige keplersche Fassregel (Messen durch Auslegen-und-Zählen und durch Vergleichen) und der Fundamentalsatz der Analysis (Messen durch Berechnen) sind wichtige Errungenschaften der Zeit. [‘‘Cavalieri, Kepler, Leibnitz, Newton, L’Hospital, Bernoulli‘‘]
* > 19. Jhdt.: Angemessene Formulierung des Begriffs Volumens als Teilmenge von R^n. Entwicklung des Riemann- und Lebesgue-Integrals und der Maßtheorie (Messen durch Berechnen). [Cantor, Cauchy, Riemann, Lebesgue]

'''Aufgabe 2''' 
Tai’s Prinzip: Approximieren des Flächeninhalts unter einer Kurve durch Zerlegens des Bereichs in Segmente bekannter Figuren (hauptsächlich Rechtecke und Dreiecke) mit unterschiedlich Breite (Delta x). Dieser Ansatz basiert auf dem Prinzips Messen durch Auslegen-und-Zählen und entspricht dem Aufsummieren unterschiedlich großer Sehentrapeze (Messen als Berechnen-Aspekt). Tai vergleicht sein Ergebnis mit einem „true value“, der graphisch durch Zählen von kleinen Standardflächen (auch Berechnen durch Auslegen-Zählen bzw. eine Art „Messgeräte-Aspekt“) bestmöglichst genähert wird. Durch das Vergleichen der Ergebnisse wird zusätzlich noch der Vergleichsaspekt von „Messergebnisse“ für eine Einschätzung der Approximationen benutzt. Die Aspekte sind oftmals nicht sauber voneinander zu trennen.

'''Aufgabe 3''' 
Problematisch ist sicherlich der Vergleich mit dem „true value“, da dieser sich ebenso auf die gleiche Art Messmethode (Messen durch Auslegen-und-Zählen) beruht. Ebenso wird nicht erkannt, dass das Schätzen des „true value’“ nichts anderes beinhaltet als das Aufsummieren kleiner Rechtecke der gleichen Breite delta x (Untersumme). Diese Vorgehensweise wird jedoch grundsätzlich als schlechter erachtet als Tai’s Methode. Widerspruch? Außerdem wird in der ganzen Tabelle nie von der Anzahl ‘‘n‘‘ oder von der Breite/Breitenspanne der Teilfiguren in den einzelnen Formeln und auch der Einheitsflächen geredet. Die Aussagekraft des Vergleichs ist deshalb sehr zweifelhaft! Eine systematischer Eingrenzung des Wahren Werts durch bsp. Unter-und Obersummen wäre sinnvoller. So hätte auch der Referenzwert seinen Fehlerbereich.
Es sollte deshalb bei den SuS klar kommuniziert werden, dass
* Messen durch Auslegen-und-Zählen und auch durch ein Messgerät immer eine Approximation des wahren Werts darstellt und der so erhaltende Wert Messungenauigkeiten unterliegt
* Das Entscheidende bei der Genauigkeit von Messverfahren der Aspekte Auslegen-und-Zählen, Vergleichen, Messgerät im Allgemeinen (glatten Fkt.) die Feinheit des Messgeräts bzw. die Anzahl der Zerlegungen ist.
* die Güte der Approximationsmethode je nach Ausgangsfunktion beurteilt werden muss
* es mehrere Methoden gibt, um Flächeninhalte zu bestimmen, die in unterschiedlichen Situationen mehr oder weniger gut geeignet sind
* Approximationsmethoden wichtige Hilfsmittel zum Messen eines Flächeninhalts sind und nicht jede Funktion eine analytische Stammfunktion besitzt (Bsp. e^-(x^2)).

== Literaturhinweise ==

* [https://doi.org/10.1007978-3-662-48877-5 Greefrath et al. (2016) „Didaktik der Analysis“].
* [http://www.urn.fi/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692 Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“]. In ''khdm-Report'' (Masterarbeit).
* Kapitel 5 (Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10) in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

2019-06-03T11:52:15Z

Anna-Lena Fertig: /* Nachbereitungsauftrag */

== Vorbereitungsauftrag ==

=== Vom Volumen zum Flächeninhalt ===

Denken Sie sich einen mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine
Waage und ein Maßband.
# Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
# Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)#Allgemeiner_Zylinder allgemeine Zylinder].
# In dieser Aufgabe wurde das Problem der ''Flächenmessung'' auf das Problem der ''Volumenmessung'' zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung ''im Alltag'' tatsächlich das einfacherere Problem ist.

=== Vom Flächeninhalt zum Volumen ===

Lesen Sie den Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).

# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri'' nach.
# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit Stufenkörpern'' nach.
# Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum?

== Vorbereitungsauftrag (Zusatz) ==

Der ''Satz von Fubini'' ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

:<math>
\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)
</math>

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.
# Wiederholen Sie den ''Satz von Fubini'' aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
# Formulieren Sie den ''Satz von Fubini'' für folgenden Spezialfall: Es sei <math>X \subseteq \mathbb{R}^{n}</math> ein abgeschlossener Quader, und <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei <math>A\subseteq X\times I</math> messbar. Wir betrachten für <math>h\in I</math> die Mengen <math>A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}</math>. Wie können Sie <math>\int_{A}d(x,y)</math> berechnen?
# Für das ''Prinzip von Cavalieri'' findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
# Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?

=== Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) ===

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1JewWDjuI0dHJAIfV28_y4CsV2JQZJz3PXSFs902YaXU/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 17.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1UDlDhDVIjxRBy6n_bYPyYkXLdjUQ14RK/view?usp=sharing Vortragsnotizen für die Integration des Paralellograms]
* Sie auch [https://mampf.mathi.uni-heidelberg.de/media/491 Zusatzmaterial Fläche und Volumen auf der Mathematischen Medienplattform des Mathematischen Instituts der Universität Heidelberg.]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

Diese Sitzung beschäftigte sich exemplarisch mit der Bestimmung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen als Einstieg in den Themenkomplex "Messen". Hiervon ausgehend werden auch komplexere Flächen betrachtet. 
Generell wurde angemerkt, dass sich bei diesem Themenkomplex GeoGebra gut zum Veranschaulichen eignen könnte!

=== Inhaltlicher Input (Einführung) ===

In den Bildungsstandards von Baden-Württemberg findet sich die '''Leitidee Messen'''. In diesem Zusammenhang ist oft auch von den vier '''Grundprinzipien des Messens''' die Rede:
* Vergleichsaspekt
* Messe-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt
* Messgeräte-Aspekt
* Messen-als-Berechnen-Aspekt
[Details, siehe oben verlinkte Sitzungsfolien]

Da die Bestimmung von Flächeninhalt/Volumen als Integration angesehen werden kann ['''Propädeutik'''], haben wir uns in der folgenden Arbeitsphase mit der Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen [mithilfe der Integrationstheorie] beschäftigt.

=== Arbeitsphase (Flächeninhalt eines Parallelogramms) ===

Aufwärmübung - Flächeninhalt eines Rechtecks. 

Sei <math>ABCD</math> ein Rechteck mit Grundseite <math>g</math> und Höhe <math>h</math>. Dieses Rechteck kann man wie folgt in einem 2D-Koordinatensystem betrachten:
Der Punkt <math>A</math> ist der Ursprung mit Koordinaten <math>(0;0)</math>, der Punkt <math>B</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(g;0)</math> und der Punkt <math>D</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(0;h)</math>.
Dadurch ist auch bereits <math>C</math> mit <math>(g;h)</math> eindeutig festgelegt.
Nun kann die Berechnung des Flächeninhalts als Bestimmung der Fläche Zwischen x-Achse und der Geraden durch <math>C</math> und <math>D</math> auf dem Intervall <math>[0, g]</math> betrachte werden. Es handelt sich also um eine simple Integration. Man erhält:

<math> F_{ABCD} = \int_0^g h \, dt = [ht]^g_0 = hg </math>.

Dieser Ansatz verwendet gerade die Rieman-Integration. 

Natürlich wäre aber auch eine Integration über die Höhe <math>h</math> Mittels der Lebesgue-Integration möglich gewesen. Man erhält so:

<math> F_{ABCD} = \int_0^h g \, dt = [gt]^h_0 = gh </math>.

Flächeninhalt eines Parallelogramms 
Im Folgenden werden nun verschiedene Ansätze zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms <math>ABCD</math> vorgestellt. Für die exakten Rechnungen sei auf die verlinkten Vortragsnotizen des Dozenten verwiesen. 

{| class="wikitable"
|-
! Idee !! Skizze !! Ausführung !! Entsprechung
|-
| Zerlege das Parallelogramm in drei Teile ||
[[Datei:Para1.PNG|thumb]]
|| Man berechnet <math> F_{ABCD} = \int_0^{g+\alpha} h_t \, dt = \int_0^{\alpha} h_t \, dt + \int_\alpha^{g} h_t \, dt + \int_g^{g+\alpha} h_t \, dt </math>. 
Zur Berechnung von <math>h_t</math> im ersten und dritten Summanden bietet sich ein Steigungsdreick zur Bestimmung von <math>\beta</math> an.
|| Die Integration entlang der Grundseite (Riemann) entspricht gerade der Zerlegung des Parallelogramms in Rechteck und Dreiecke.
|-
| Betrachte eine Parallele zur Grundseite und Integriere über die Höhe ||
[[Datei:Para2.PNG|thumb]]
|| Analog zum Rechteck. Es gilt: <math> g_t = \alpha_t + g - \alpha_t = g</math> || Die Integration entlang der Höhe (Lebesgue) entspricht der Idee, dass Scherungen Flächeninhalte nicht ändern.
|-
| Mittels der Determinante bzw. Koordinatentransformation || siehe zum Beispiel [http://i.stack.imgur.com/gCaz3.png hier] || Die Transformation um Scherung <math>\alpha</math> ist gegeben durch 
<math>(1;0)^T -> (1;0)^T</math> und <math>(0;1)^T -> (\alpha;1)^T</math>
|| Scherungen entsprechen Koordinatentransformationen
|}

=== Arbeitsphase (Flächeninhalt von anderen Formen) ===

In einem nächsten Schritt haben wir uns die Frage gestellt, wie Flächen von komplexeren Formen berechnet werden können. Eine klassische Schulbuchaufgabe ist hier beispielsweise die approximative Bestimmung der Landfläche des Südpols, mit Hilfe einer Landkarte mit geeigneten Maßstab. Dies führt zu zwei verschiedenen Herangehensweisen:
# Zerlegen und Ergänzen [Der Südpol wird einmal mit "Normrechtecken" ausgelegt]
# Benutzung von Scherungen, denn diese ändern nicht den Flächeninhalt.

Die zweite Möglichkeit verwendet dabei das Konzept von Cavalieri: 

Das Prinzip von Cavalieri (für Flächen) 

In einer Ebene werden zwei Figuren und die Schar aller zu einer Geraden parallelen Geraden betrachtet. Wenn für jede Gerade der Schar die beiden Schnitte mit den zwei Figuren gleich lang sind, so sind die beiden Figuren flächengleich.

Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) 

Im Raum werden zwei Körper und die Schar aller zu einer Ebene parallelen Ebenen betrachtet. Wenn für jede Ebene der Schar die beiden Schnittflächen mit den zwei Körpern gleichen Flächeninhalt haben, so sind die beiden Körper volumengleich.

Betrachtet man verschiedene Schulbücher und untersucht, wie diese die Flächenberechnung des Parallelogramms begründen, so verwenden diese eigentlich nur die Methode der Zerlegung. Eine Diskussion unter den Sitzungsteilnehmern führte in diesem Kontext zu folgenden Ergebnis:
Die Methode des Zerlegens ist sehr einsichtig. Sie kann sehr einfach von der Klasse nachvollzogen werden und es besteht somit kein Interesse an einer anderen Methode. Es ist in diesem Zusammenhang aber auch Anzumerken, dass in höheren Klassenstufen Scherungen notwendig werden, zur Bestimmung des Volumens bei Kegel, Kugel, Pyramid, etc..

== Nachbereitungsauftrag ==

Im Jahre 1994 veröffentlichte das Journal ''Diabetes Care'' den Artikel [https://doi.org/10.2337/diacare.17.2.152 „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] von Mary M. Tai. In dem Artikel entwickelt und validiert Tai eine Methode zur Berechnung der Fläche unter einer Blutzuckerkurve.

# Finden Sie heraus, wann und von wem die ''Integrationstheorie'' und insbesondere die ''Trapezregel'' entwickelt wurde. Lesen Sie dann [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“].
# Für die Validierung „ihres“ Approximationsverfahrens vergleicht Tai ihre Rechenergebnisse mit einem Bestimmungsverfahren für den „wahren Wert“. Diskutieren Sie die beiden Verfahren vor dem Hintergrund des ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekts'', des ''Messen-als-Berechnen-Aspekts'' und des ''Vergleichsaspekt'' (vgl. Grundprinzipien des Messens in ).
# Analysieren Sie die Fehler/Fehlvorstellung zum ''Messen'', die in dem Artikel sichtbar werden. Skizzieren Sie Hypothesen, wie diese Fehlvorstellungen entstanden sein könnten und wie Sie Ihnen im Unterricht der Sekundarstufe II begegnen bzw. im Unterricht der Sekundarstufe I vorbeugen könnten.

=== Ergebnisse der Nachbereitung ===

Tragen Sie hier die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in Textform (nicht länger als 500 Wörter) ein.

==== Abgabe von pq ====

#Die Frage nach Flächeninhalten, hier speziell im Flächeninhalt unter einer Kurve aka Integral, ist so alt wie die Mathematik selbst. Die in der Arbeit [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] angeführte Methodik des Ausfüllens oder Erschöpfens einer Fläche durch kleinere Flächen, deren Flächeninhalte durch bekannte Formeln trivial bestimmbar sind, findet sich zuerst beim antiken griechischen Philosophen Antiphon, der im 5. Jahrhundert vor Christus lebte. Dieser Methode bediente sich später auch Johannes Kepler, der bei der Berechnung von Planetenbahnen eben Integrale durch einfachere Flächen approximierte und damit die heute bekannte numerische Integration nutzte. Basierend auf dieser einfachen Idee entwickelten die Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz und Sir Isaac Newton unabhängig voneinander die Theorie der Differential- und Integralrechnung, welche mithilfe der Infinitesimalrechnung die Approximation eines Integrals durch infinitesimal kleine Quader oder Trapeze erlaubt. Numerische Verfahren zur Bestimmung solcher einfacher, aber auch komplexerer, Integrale waren 1994 sicher bereits weit verbreitet.
# Zur Validierung ihres Verfahrens vergleichen Tai et al. die Ergebnisse ihrer neuartigen Methode mit einer ''ground truth'', welche darin besteht, die Kurve auf Millimeterpapier zu zeichnen und die Kästchen unter der Kurve zu zählen (''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt'') (''The validity of each model was verified through comparison of the total area obtained from the above formulas to a standard (true value), which is obtained by plotting the curve on graph paper and counting the number of small units under the curve. The sum of these units represents the actual total area under the curve.''). Dabei scheinen sie nicht zu bemerken, dass dieses Verfahren ebenso eine Approximation des gewünschten Ergebnisses ist, wenn auch eine hinreichend genaue. Beide Verfahren beinhalten also einen Prozess des Messens. Die "neu entwicklete" Methode beinhaltet über das Messen der Seiten der Trapeze hinaus jedoch einige Rechnungen und entspricht vielmehr einem berechnenden Ansatz, wie es eben auch der Fall für das Berechnen von Flächeninhalten von einfachen geometrischen Objekten der Fall ist (''Messen-als-Berechnen-Aspekt''). Beide Methoden werden empirisch verglichen, indem man die relativen Abweichungen der Ergebnisse in verschiedenen Tests prüft. Dabei scheint den Autoren auch nicht bewusst zu sein, dass es sich bei ihrem Vergleich nicht um einen Beweis handelt, welcher ihre Methode validiert. Beispielsweise könnten die Tests nur einen Teil von möglichen Szenarien abdecken, in welchen ihr Verfahren eben die gewünschte Genauigkeit aufweist. Schließlich werden die Abweichungen der neuen Methode von der "ground truth" als "statistisch nicht signifikant" bezeichnet (?).
# Aus dem Artikel wird klar, dass die Autoren die reine Messmethode für die genauere Methode, welche das "echte Ergebnis" liefert, halten. Ihre berechnende Methode halten sie, zu Recht, für eine Approximation. Unklar bleibt, wie die tatsächlichen Kurven der Tests aussahen und welche Annahmen über diese Kurven getroffen wurden. Wurden die Kurven beispielsweise als stückweise linear angenommen, so liefert die angewandte Trapezregel offenbar sogar das exakte Ergebnis und ist damit sogar genauer als die ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen''-Methode. Das Missverständnis der Autoren scheint für mich auf der kindlichen Vorstellung zu beruhen, dass etwas, dass ich tatsächlich messe und sehe, das echte und richtige Ergebnis ist. Dagegen scheinen Tai et al. jedoch erkannt zu haben, das sie das Integral der Kurve (wenn sie denn nicht stückweise linear angenommen wird) durch die Trapeze und damit Flächen unter stückweisen linearen Kurven nur approximieren. Im Falle, dass die Trapezregel tatsächlich die exakte Lösung darstellt, bleibt diese Auffassung für mich jedoch ein Rätsel. Um solchen Vorstellungen vorzubeugen, sollte im Laufe der Sekundarstufe I stark betont werden, dass eine Messung immer mit einer Messgenauigkeit und einem Messfehler zusammenhängen. Hier könnten Beispiele und Vergleiche von Messung und Berechnung schon am Beispiel von Dreiecken herangezogen werden. Am Beispiel des Kreises lässt sich dieser Sachverhalt noch deutlicher darstellen, da sich Kreise nie vollständig durch Dreiecke oder Vierecke auslegen lassen. In der Sekundarstufe II ist es wichtig bei der Einführung des Hauptsatzes der Integral- und Differenzialrechnung darauf wert zu legen, dass die Approximation durch Ober- und Untersummen (i.e. Quader) immer genauer wird, wenn die Zerlegungsintervalle kleiner werden und nur dann exakt ist, wenn die Teile unendlich klein sind. Das analytische Integral ist also tatsächlich die einzige exakte Lösung für beliebige Kurven.

Weitere Fragen/Anmerkungen:
* Habe ich etwas falsch verstanden?
* Beispielrechnung auf Seite zwei enthält einen Klammerfehler/Typo, das Ergebnis ist jedoch korrekt.
* Wie rechtfertigt sich die Annahme, dass der Blutzuckerspiegel stückweise linear approximiert werden kann?
* Was waren die anderen Formeln zur Berechnung des Blutzuckers?
* Gab es 1994 keinen Reviewingprocess für wissenschaftliche Arbeiten?
* Was haben die Autoren dieser Arbeit im Mathematikunterricht gemacht?
* Warum wurde dieses Paper 273 mal zitiert, davon 6 Zitationen im Jahr 2019?!

==== Abgabe von xy ====

#Bereits griechische Gelehrte setzten sich mit der Flächeninhaltsbestimmung geometrischer Formen auseinander. Insbesondere der griechische Universalgelehrte Archimedes (287-212 v. Chr.) erzielte namhafte Ergebnisse im Kontext der Bestimmung von Flächeninhalten komplexerer geometrischer Strukturen (beispielsweise eine von einem Parallelbogen und einer Sekante eingerahmte Fläche). Aber erst Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibnitz gelang es im 17. Jahrhundert, sich von der geometrischen Herangehensweise an die Flächeninhaltsbestimmung zu lösen und einen analytischen Zugang zu wählen. Verfahren zur numerischen Bestimmung von Flächeninhalten bzw. Integralen wurden seither vielfach verfeinert. Darunter fällt insbesondere auch die hier beschriebene Verwendung von Trapezen statt Rechtecken.
#Tais Modell unterteilt die Fläche unter der Kurve in Trapeze, deren Flächeninhalte mit geometrischen Mitteln eindeutig bestimmt werden können. Addiert man diese Flächeninhalte, so erhält man laut Tai eine deutlich genauere Näherung an den „tatsächlichen“ Flächeninhalt unter der Kurve als mit anderen Methoden. Den „wahren“ Wert bestimmt sie im Rahmen ihrer Studie, indem die Kurve auf Millimeterpapier gezeichnet wird und man anschließend die unter der Kurve befindlichen Kästchen addiert.Im Grunde kann man beide Ansätze als „Messen durch Auslegen und Zählen“ verstehen. Die allgemeine Herangehensweise legt die Fläche unter der Kurve mit einheitlich großen Kästchen aus und zählt diese zusammen. Tais Modell hingegen legt die Fläche mit Trapezen aus, welche an den Verlauf der Kurve angepasst sind und diese dabei besser approximieren. Zu bedenken ist jedoch, dass auch die Version für den „wahren“ Wert in diesem Aufsatz keine exakte Bestimmung des Flächeninhalts liefert, sondern eine Näherung an diesen (obwohl die Einheiten durch das Millimeterpapier recht klein gewählt sind). Tai fasst ihre Ergebnisse außerdem in einer Formel zusammen, welche an verschiedene Fälle angepasst werden kann („Messen als Berechnen“). Wie der Vergleichsaspekt in diesem Kontext Anwendung finden soll, ist mir nicht ganz klar. Einzig der besondere Fall, dass ein Teil der Kurve eine der Koordinatenachsen schneidet, könnte die Fähigkeit des Vergleichens notwendig machen. Tai hat diesen Fall in ihr Modell aufgenommen, im allgemeinen Fall müsste man jedoch mit Konzepten von orientierten Flächeninhalten arbeiten, falls der Kontext der Studie dies zulässt.
#Bei der Lektüre des Aufsatzes irritierte mich, dass nicht der Versuch unternommen wird, die Kurve durch eine geeignete Funktion zu approximieren und diese dann zu integrieren. Möglicherweise aber lassen die entsprechenden Studien eine solche Vorgehensweise nicht zu. Darüber hinaus ist der Umgang mit dem „wahren“ Flächeninhalt problematisch. Auch die Kästchenzähl-Variante bleibt lediglich eine Approximation, was Tai in ihrem Aufsatz nicht angemessen berücksichtigt. Den wahren Wert des Flächeninhalts durch Messen zu ermitteln, ist in diesem Fall nur mittels Approximation möglich, was für SuS der Sekundarstufe II möglicherweise schwer nachvollziehbar ist. Zu diesem Zweck wäre es beispielsweise hilfreich, mehrere Ansätze zur Berechnung von Flächeninhalten bzw. mehrere Herangehensweisen an das Integral zu bieten, einander gegenüberzustellen und gegeneinander abzuwägen.
.

==== Abgabe von fqt ====

Aufgabe 1 
* Die Exhaustionsmethode ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, also zur Integration. [Eudoxus, ca. 370 v.Chr.]
* Anscheinend wurde die Trapezregel bereits ca. 50 v.Chr. in Babylon in Bezug zu astronomischen Fragestellungen angewandt.

Aufgabe 2 
Die Methode von Tai's beruht auf der Unterteilung in kleine Rechtecke und Dreieck, also auf dem ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt''. Auch die Vergleichsmethode zur Validierung verwendet diesen Aspekt, denn sie beruht auf dem Zählen der kleinsten Einheiten unter der Kurve des Graphen bis der wahre Wert bestimmt ist. Jedoch sind Tai's Ergebnisse auch als reine Formel anwendbar. Hier ist es also definitiv auch möglich vom 'Messen-als-Berechnen-Aspekts'' zu sprechen.

Aufgabe 3 
Weder Tai's Methode noch die Vergleichsmethode stellen genaue Berechnungen dar. Dies wird von den Autoren jedoch nur für Tai's Methode selbst erkannt. Sie erkennen nicht, dass das Integral verschiedene Aspekte des Messens gleichzeitig darstellt (darstellen kann). Persönlich denke ich, dass eine Klasse in der Kursstufe einfach eine Stammfunktion bestimmen würde um den wahren Wert zu erhalten und nicht erneut approximieren würde. Ich frage mich auch, warum dies hier nicht gemacht wurde.

==== Abgabe von alf ====
#
:* < 17. Jhdt.: Flächeninhalts- und Voluminaberechnungen von interessanten Fallbeispielen durch das Messen durch Auslegen-und-Zählen, durch Vergleichen und Abschätzen und später auch durch erste Berechnungen. [‘‘Antiphon, Archimedes‘‘]
:* > 17. Jhdt.: Flächeninhalts- und Voluminaberechnungen von einer gewaltigen Fülle konkreter Probleme mit Hilfe der Infinitisimalrechnung. Die heute in der numerischen Integration zugehörige keplersche Fassregel (Messen durch Auslegen-und-Zählen und durch Vergleichen) und der Fundamentalsatz der Analysis (Messen durch Berechnen) sind wichtige Errungenschaften der Zeit. [‘‘Cavalieri, Kepler, Leibnitz, Newton, L’Hospital, Bernoulli‘‘]
:* > 19. Jhdt.: Angemessene Formulierung des Begriffs Volumens als Teilmenge von R^n. Entwicklung des Riemann- und Lebesgue-Integrals und der Maßtheorie (Messen durch Berechnen). [Cantor, Cauchy, Riemann, Lebesgue]
# Tai’s Prinzip: Approximieren des Flächeninhalts unter einer Kurve durch Zerlegens des Bereichs in Segmente bekannter Figuren (hauptsächlich Rechtecke und Dreiecke) mit unterschiedlich Breite (Delta x). Dieser Ansatz basiert auf dem Prinzips Messen durch Auslegen-und-Zählen und entspricht dem Aufsummieren unterschiedlich großer Sehentrapeze (Messen als Berechnen-Aspekt). Tai vergleicht sein Ergebnis mit einem „true value“, der graphisch durch Zählen von kleinen Standardflächen (auch Berechnen durch Auslegen-Zählen bzw. eine Art „Messgeräte-Aspekt“) bestmöglichst genähert wird. Durch das Vergleichen der Ergebnisse wird zusätzlich noch der Vergleichsaspekt von „Messergebnisse“ für eine Einschätzung der Approximationen benutzt. Die Aspekte sind oftmals nicht sauber voneinander zu trennen.
# Problematisch ist sicherlich der Vergleich mit dem „true value“, da dieser sich ebenso auf die gleiche Art Messmethode (Messen durch Auslegen-und-Zählen) beruht. Ebenso wird nicht erkannt, dass das Schätzen des „true value’“ nichts anderes beinhaltet als das Aufsummieren kleiner Rechtecke der gleichen Breite delta x (Untersumme). Diese Vorgehensweise wird jedoch grundsätzlich als schlechter erachtet als Tai’s Methode. Widerspruch? Außerdem wird in der ganzen Tabelle nie von der Anzahl ‘‘n‘‘ oder von der Breite/Breitenspanne der Teilfiguren in den einzelnen Formeln und auch der Einheitsflächen geredet. Die Aussagekraft des Vergleichs ist deshalb sehr zweifelhaft! Eine systematischer Eingrenzung des Wahren Werts durch bsp. Unter-und Obersummen wäre sinnvoller. So hätte auch der Referenzwert seinen Fehlerbereich.
::Es sollte deshalb bei den SuS klar kommuniziert werden, dass
::* Messen durch Auslegen-und-Zählen und auch durch ein Messgerät immer eine Approximation des wahren Werts darstellt und der so erhaltende Wert Messungenauigkeiten unterliegt
::* Das Entscheidende bei der Genauigkeit von Messverfahren der Aspekte Auslegen-und-Zählen, Vergleichen, Messgerät im Allgemeinen (glatten Fkt.) die Feinheit des Messgeräts bzw. die Anzahl der Zerlegungen ist.
::* die Güte der Approximationsmethode je nach Ausgangsfunktion beurteilt werden muss
::* es mehrere Methoden gibt, um Flächeninhalte zu bestimmen, die in unterschiedlichen Situationen mehr oder weniger gut geeignet sind
::* Approximationsmethoden wichtige Hilfsmittel zum Messen eines Flächeninhalts sind und nicht jede Funktion eine analytische Stammfunktion besitzt (Bsp. e^-(x^2)).

== Literaturhinweise ==

* [https://doi.org/10.1007978-3-662-48877-5 Greefrath et al. (2016) „Didaktik der Analysis“].
* [http://www.urn.fi/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692 Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“]. In ''khdm-Report'' (Masterarbeit).
* Kapitel 5 (Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10) in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-05-31T07:09:33Z

Anna-Lena Fertig: /* Reaktion von Anna-Lena */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-05-31T07:02:35Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-16T17:26:01Z

Anna-Lena Fertig: /* Inputphase */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei haben wir die verschiedenen Zugänge zur Erarbeitung von geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für sie kennengelernt. Dabei haben sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion'' als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie Lernstile auch in persona je nach Thematik und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.), betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitiv gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernendn geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetz''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]
[[Datei: MD Geo VB2.pdf|thumb| Beispiel eines Vorbereitungsauftrags]]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und Bildung ganzheitlicher Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) durch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung von Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht von der Problemstellung ausgehend (nicht induktiv)
||
* ''Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel''
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung einer dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt ||
* Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen
|| * Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Beispiele und Gegenbeispiele || höhere Klassenstufen ||
* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: ''Sortiere die Figuren nach ihrer Form''
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip''' (vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzepts ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensaltern Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (Zeichnen, Konstruieren, Falten, Bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (''''Interiorisation''''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen (Re-)Konstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen, werden sie zahlreichen Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließlich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen, als auch in der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht" (Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
'''Phänomene''' sind für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte'') gut geeignet sowie dazu, um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkten geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags-/Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesenlegen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel/Phänomen gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Dieser koordinatenlose Zugang zur Kurvengeometrie bietet einen „historischen“ Einblick in eine Art und Weise Geometrie zu betreiben. René Decartes und Pierre de Fermat entwickelten (unabhängig voneinander) die Koordinatenmethode erst 1637. Dieses Jahr gilt als natürliche Grenze zum Übergang in die „moderne“ Mathematik. Vor Begründung der Koordinatenmethode wurden Kurven etwa als ebene Schnitte räumlicher Figuren (etwa Kegelschnitte), durch punktweise Konstruktion oder durch (gedachte) mechanische Erzeugung mit bestimmten Werkzeugen konstruiert.

Äquidistanzkurven dienen beispielsweise als Ausgangspunkt zur Beschreibung von Parabeln, Kreisen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welche Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen sind. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Neben Charlie waren die Bäume von Alices und Bobs sowie einige Äpfel im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen ausprobiertund umgesetzt.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft: Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurde auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinem der beiden Kreise zuordnen. Ein an die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wäre das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können (zumindest theoretisch) Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Nachfragen bezüglich der Hangneigung und Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten ernst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten '''schlecht''' geeignet, da Begriffe (wenn möglich) immer angelehnt an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau der Mittelsenkrechten der zwei Punkten entspricht. Deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an den eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“-Funktion in Geogebra (auch bei anderen dynamischen Geometrie-Programmen) sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung des Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
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Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
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Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


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Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
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1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

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Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

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1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

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Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

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Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

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Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



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Eine siebte Klasse bearbeitet die folgende Aufgabenstellung:

Wie viele gemeinsame Punkte kann eine Kreislinie mit einer Geraden haben? Treten hierbei Symmetrien auf?
(Wie) Ist es möglich eine Gerade zu konstruieren, welche genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie besitzt?

* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
* Ist diese Aufgabenstellung geeignet um den Begriff der Tangente einzuführen? Wenn nicht, was sollte geändert werden?

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Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Gerade, Kreis, Passante, Sekante, Tangente, rechte Winkel, Orthogonale und Achsensymmetrie.

Die Lösung der Aufgabenstellung verlangt mindestens ein Begriffsverständnis auf der Stufe 3 Apstraction (van Hile). Beziehungen zwischen Gerade und Kreis müssen erkannt werden. Schlussfolgerungen bezüglich der Konstruktion der Tangenten finden vermutlich nur auf informeller Ebene statt. (Es sieht so aus, als steht die Tangente senkrecht zum Radius durch den Schnittpunkt.)

In der Sekundarstufe 1 sind die konstruktiv-operative Begriffsbildung bzw. die Begriffsbildung durch Abstraktion zentral. Eine mögliche Vereinfachung der Aufgabenstellung könnte wie folgt aussehen: Die Klasse experimentiert nicht selbst mit der Anzahl der gleichen Punkte, sondern es werden die drei Möglichkeiten vorgegeben und dann selbstständig genauer auf ihre Eigenschaften untersucht.
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Die Aufgabe eignet sich dazu, die Einführung geometrischer Konzepte aus einer Aufgabenstellung in den Kontext des Stufenmodells der Begriffsbildung zu übertragen. Desweiteren wird bewertet, welche Arten der Begriffsbildung in welcher Klassenstufe sich als sinnvoll erweißen.



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Im Untericht wurde anhand von Prototypen, mit unterschiedlich großen benachbarten Winkeln und Seiten, der Begriff des Parallelograms erarbeitet. Die anschließende Reflexionsphase zeigt bei einigen SuS. Probleme beim erkennen von Quadraten, Rechtecken, Rauten usw. als Parallelograme.

*Wie könnte man vorgehen um diese Probleme abzubauen?
*Welche Begriffsvorstellungen liegen der Problematik zu Grunde?

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Im Kern beruht die Problematik auf der Vorstellung Parallelograme seien immer schief. Dabei herrscht eine Inuitive, ganzheitliche Vorstellung vor, die unzureichende Verknüpfungen oder Abgrenzungen zu den Begriffen Quadrate, Rechtecke, Raute aufzeigt.

Zum Abbau der Fehlvorstellung kann ein Konflikt zum Präkonzept Parallelograme erzeugt werden. So lassen sich durch systematische Erkundung der Eigenschaften von schiefen Parallelogramen, Quadraten usw. Gemeinsamkeiten und Unterschiede finden, die in den SuS. ein kritische Prüfung ihrer Präkonzepte anregen. So festigt sich eine Inhaltliche Vorstellung. Über Gemeinsamkeiten der Begriffe lässt sich der Parallelogramsbegriff in des Begriffsnetz der Vierecke einordenen und so ein Integrierte Begriffsvorstellung erzielen.

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Es werden beispielhaft Erarbeitung und Reflexion des Kurzfristigen Lehren geometrischer Begriff abgefragt.




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Eine Lehrerin in Klasse 5 führt den Begriff des Drachenvierecks ein, indem sie die SuS ein DIN A5 Blatt zu einem DIN A6 Blatt falten lässt. Danach sollen die SuS mit der Schere zwei Schnitte legen, die zusammen mit der Faltkante ein Dreieck ergeben. Anschließend wird auseinander gefaltet.

* Zu welcher Art der Begriffserarbeitung lässt sich dieser Zugang zuordnen?
* Warum hat die Lehrerin wohl diesen Zugang gewählt?/Erklären sie kurz, welches Prinzip dem Zugang zugrunde liegt?/Welche Vorteile ergeben sich aus ihm?
* Was muss die Lehrkraft bei diesem Zugang beachten?
* Welche anderen Zugänge fallen Ihnen konkret ein?

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Die Lehrerin wählt eine operative bzw. konstruierende Begriffserarbeitung, welche auf dem Operativen Prinzip beruht.

Die Schüler sollen durch den enaktiven Zugang zu einer dynamischen Begriffsvorstellung von Drachen gelangen. Durch die (aufgrund der Klassengröße mehrfach) durchgeführte Konstruktion (falten und schneiden) wird dem Objekt Eigenschaften und Beziehungen aufgeprägt, sodass sich SuS den Begriffsinhalt und durch mehrfaches Durchführen auch den Begriffsumfang relativ selbständig erschließen können. Eine Prototypenfixierung und eine Verkümmerung der feinmotorischen Fähigkeiten kann dadurch auch entgegengewirkt werden. Die Lehrkraft kann die Konstruktion vor der Klasse vormachen, sodass auch ohne Sprache jeder SuS die Möglichkeit hat aktiv das zu untersuchende Objekt zu erforschen (-> Inklusion). Außerdem können Beziehungen zu anderen Begriffen (Raute, Quadrat) beobachtet werden, die den zu erlernenden Begriff an ein schon vorhandenes Begriffsnetz anknüpft.

Wichtig bei dem gewählten Zugang ist nicht nur das zielgerichtete, internalisierte Handeln, sondern auch das bewusste Beobachten der Wirkung der Operation. Die Lehrerin sollte/kann dies durch einige der folgenden Leitfragen unterstützen:
* Welche Eigenschaften werden einem Drachenviereck durch dieses Herstellungsverfahren aufgeprägt?
* Welche verschiedenen Formen kann ein Drachenviereck haben?
* Wie muss man schneiden, damit alle vier Seiten gleichlang werden? Kann man auch ein Quadrat erhalten?

Alternativ könnte man auch eine Sortierungsaufgabe stellen, in der Drachenvierecke aus verschiedenen Vierecken ausgesucht werden sollen (Begriffsbildung durch Abstraktion). Ein anderer Zugang wäre ein „echter“ Drache, an dem Eigenschaften untersucht werden (Exemplarische Begriffsbildung) oder die Definition eines Drachen als ein bzgl. einer Diagonale achsensymmetrisches Viereck (Spezifikation aus einem Oberbegriff). Grundsätzlich ist für eine umfassende Begriffsvorstellung der Einsatz verschiedener Zugänge am besten.

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Diese Aufgabe deckt die verschieden Arten der Begriffserarbeitung, insbesondere das Operative Prinzip ab. An Hand der operativen Begriffserarbeitung werden Herausforderungen, Vorteile, Nachteile sowie Alternativen diskutiert und reflektiert. Ausgehend von dieser Frage lassen sich weiter Fragen zu den Phasen des kurzfristigen Begriffserwerb, Grund- bzw. Fehlvorstellungen oder mentalen Modellen stellen.




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== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''
* [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-02362-0 Scriba und Schreiber (2010): „5000 Jahre Geometrie“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-16T17:25:12Z

Anna-Lena Fertig: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei haben wir die verschiedenen Zugänge zur Erarbeitung von geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für sie kennengelernt. Dabei haben sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion'' als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie Lernstile auch in persona je nach Thematik und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.), betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitiv gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernendn geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]
[[Datei: MD Geo VB2.pdf|thumb| Beispiel eines Vorbereitungsauftrags]]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und Bildung ganzheitlicher Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) durch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung von Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht von der Problemstellung ausgehend (nicht induktiv)
||
* ''Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel''
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung einer dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt ||
* Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen
|| * Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Beispiele und Gegenbeispiele || höhere Klassenstufen ||
* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: ''Sortiere die Figuren nach ihrer Form''
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip''' (vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzepts ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensaltern Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (Zeichnen, Konstruieren, Falten, Bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (''''Interiorisation''''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen (Re-)Konstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen, werden sie zahlreichen Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließlich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen, als auch in der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht" (Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
'''Phänomene''' sind für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte'') gut geeignet sowie dazu, um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkten geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags-/Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesenlegen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel/Phänomen gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Dieser koordinatenlose Zugang zur Kurvengeometrie bietet einen „historischen“ Einblick in eine Art und Weise Geometrie zu betreiben. René Decartes und Pierre de Fermat entwickelten (unabhängig voneinander) die Koordinatenmethode erst 1637. Dieses Jahr gilt als natürliche Grenze zum Übergang in die „moderne“ Mathematik. Vor Begründung der Koordinatenmethode wurden Kurven etwa als ebene Schnitte räumlicher Figuren (etwa Kegelschnitte), durch punktweise Konstruktion oder durch (gedachte) mechanische Erzeugung mit bestimmten Werkzeugen konstruiert.

Äquidistanzkurven dienen beispielsweise als Ausgangspunkt zur Beschreibung von Parabeln, Kreisen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welche Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen sind. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Neben Charlie waren die Bäume von Alices und Bobs sowie einige Äpfel im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen ausprobiertund umgesetzt.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft: Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurde auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinem der beiden Kreise zuordnen. Ein an die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wäre das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können (zumindest theoretisch) Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Nachfragen bezüglich der Hangneigung und Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten ernst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten '''schlecht''' geeignet, da Begriffe (wenn möglich) immer angelehnt an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau der Mittelsenkrechten der zwei Punkten entspricht. Deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an den eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“-Funktion in Geogebra (auch bei anderen dynamischen Geometrie-Programmen) sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung des Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
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Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


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Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
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1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

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Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

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1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

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Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

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Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

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Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



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Eine siebte Klasse bearbeitet die folgende Aufgabenstellung:

Wie viele gemeinsame Punkte kann eine Kreislinie mit einer Geraden haben? Treten hierbei Symmetrien auf?
(Wie) Ist es möglich eine Gerade zu konstruieren, welche genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie besitzt?

* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
* Ist diese Aufgabenstellung geeignet um den Begriff der Tangente einzuführen? Wenn nicht, was sollte geändert werden?

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Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Gerade, Kreis, Passante, Sekante, Tangente, rechte Winkel, Orthogonale und Achsensymmetrie.

Die Lösung der Aufgabenstellung verlangt mindestens ein Begriffsverständnis auf der Stufe 3 Apstraction (van Hile). Beziehungen zwischen Gerade und Kreis müssen erkannt werden. Schlussfolgerungen bezüglich der Konstruktion der Tangenten finden vermutlich nur auf informeller Ebene statt. (Es sieht so aus, als steht die Tangente senkrecht zum Radius durch den Schnittpunkt.)

In der Sekundarstufe 1 sind die konstruktiv-operative Begriffsbildung bzw. die Begriffsbildung durch Abstraktion zentral. Eine mögliche Vereinfachung der Aufgabenstellung könnte wie folgt aussehen: Die Klasse experimentiert nicht selbst mit der Anzahl der gleichen Punkte, sondern es werden die drei Möglichkeiten vorgegeben und dann selbstständig genauer auf ihre Eigenschaften untersucht.
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Die Aufgabe eignet sich dazu, die Einführung geometrischer Konzepte aus einer Aufgabenstellung in den Kontext des Stufenmodells der Begriffsbildung zu übertragen. Desweiteren wird bewertet, welche Arten der Begriffsbildung in welcher Klassenstufe sich als sinnvoll erweißen.



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Im Untericht wurde anhand von Prototypen, mit unterschiedlich großen benachbarten Winkeln und Seiten, der Begriff des Parallelograms erarbeitet. Die anschließende Reflexionsphase zeigt bei einigen SuS. Probleme beim erkennen von Quadraten, Rechtecken, Rauten usw. als Parallelograme.

*Wie könnte man vorgehen um diese Probleme abzubauen?
*Welche Begriffsvorstellungen liegen der Problematik zu Grunde?

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Im Kern beruht die Problematik auf der Vorstellung Parallelograme seien immer schief. Dabei herrscht eine Inuitive, ganzheitliche Vorstellung vor, die unzureichende Verknüpfungen oder Abgrenzungen zu den Begriffen Quadrate, Rechtecke, Raute aufzeigt.

Zum Abbau der Fehlvorstellung kann ein Konflikt zum Präkonzept Parallelograme erzeugt werden. So lassen sich durch systematische Erkundung der Eigenschaften von schiefen Parallelogramen, Quadraten usw. Gemeinsamkeiten und Unterschiede finden, die in den SuS. ein kritische Prüfung ihrer Präkonzepte anregen. So festigt sich eine Inhaltliche Vorstellung. Über Gemeinsamkeiten der Begriffe lässt sich der Parallelogramsbegriff in des Begriffsnetz der Vierecke einordenen und so ein Integrierte Begriffsvorstellung erzielen.

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Es werden beispielhaft Erarbeitung und Reflexion des Kurzfristigen Lehren geometrischer Begriff abgefragt.




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Eine Lehrerin in Klasse 5 führt den Begriff des Drachenvierecks ein, indem sie die SuS ein DIN A5 Blatt zu einem DIN A6 Blatt falten lässt. Danach sollen die SuS mit der Schere zwei Schnitte legen, die zusammen mit der Faltkante ein Dreieck ergeben. Anschließend wird auseinander gefaltet.

* Zu welcher Art der Begriffserarbeitung lässt sich dieser Zugang zuordnen?
* Warum hat die Lehrerin wohl diesen Zugang gewählt?/Erklären sie kurz, welches Prinzip dem Zugang zugrunde liegt?/Welche Vorteile ergeben sich aus ihm?
* Was muss die Lehrkraft bei diesem Zugang beachten?
* Welche anderen Zugänge fallen Ihnen konkret ein?

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Die Lehrerin wählt eine operative bzw. konstruierende Begriffserarbeitung, welche auf dem Operativen Prinzip beruht.

Die Schüler sollen durch den enaktiven Zugang zu einer dynamischen Begriffsvorstellung von Drachen gelangen. Durch die (aufgrund der Klassengröße mehrfach) durchgeführte Konstruktion (falten und schneiden) wird dem Objekt Eigenschaften und Beziehungen aufgeprägt, sodass sich SuS den Begriffsinhalt und durch mehrfaches Durchführen auch den Begriffsumfang relativ selbständig erschließen können. Eine Prototypenfixierung und eine Verkümmerung der feinmotorischen Fähigkeiten kann dadurch auch entgegengewirkt werden. Die Lehrkraft kann die Konstruktion vor der Klasse vormachen, sodass auch ohne Sprache jeder SuS die Möglichkeit hat aktiv das zu untersuchende Objekt zu erforschen (-> Inklusion). Außerdem können Beziehungen zu anderen Begriffen (Raute, Quadrat) beobachtet werden, die den zu erlernenden Begriff an ein schon vorhandenes Begriffsnetz anknüpft.

Wichtig bei dem gewählten Zugang ist nicht nur das zielgerichtete, internalisierte Handeln, sondern auch das bewusste Beobachten der Wirkung der Operation. Die Lehrerin sollte/kann dies durch einige der folgenden Leitfragen unterstützen:
* Welche Eigenschaften werden einem Drachenviereck durch dieses Herstellungsverfahren aufgeprägt?
* Welche verschiedenen Formen kann ein Drachenviereck haben?
* Wie muss man schneiden, damit alle vier Seiten gleichlang werden? Kann man auch ein Quadrat erhalten?

Alternativ könnte man auch eine Sortierungsaufgabe stellen, in der Drachenvierecke aus verschiedenen Vierecken ausgesucht werden sollen (Begriffsbildung durch Abstraktion). Ein anderer Zugang wäre ein „echter“ Drache, an dem Eigenschaften untersucht werden (Exemplarische Begriffsbildung) oder die Definition eines Drachen als ein bzgl. einer Diagonale achsensymmetrisches Viereck (Spezifikation aus einem Oberbegriff). Grundsätzlich ist für eine umfassende Begriffsvorstellung der Einsatz verschiedener Zugänge am besten.

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Diese Aufgabe deckt die verschieden Arten der Begriffserarbeitung, insbesondere das Operative Prinzip ab. An Hand der operativen Begriffserarbeitung werden Herausforderungen, Vorteile, Nachteile sowie Alternativen diskutiert und reflektiert. Ausgehend von dieser Frage lassen sich weiter Fragen zu den Phasen des kurzfristigen Begriffserwerb, Grund- bzw. Fehlvorstellungen oder mentalen Modellen stellen.




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== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''
* [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-02362-0 Scriba und Schreiber (2010): „5000 Jahre Geometrie“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-16T16:49:16Z

Anna-Lena Fertig: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zur Erarbeitung von geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie Lernstile auch inpersona, je nach Thematik und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.), betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]
[[Datei: MD Geo VB2.pdf|thumb| Beispiel eines Vorbereitungsauftrags]]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und Bildung ganzheitlicher Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) durch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung von Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht von der Problemstellung ausgehend (nicht induktiv)
||
* ''Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel''
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung einer dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt ||
* Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen
|| * Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Beispiele und Gegenbeispiele || höhere Klassenstufen ||
* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: ''Sortiere die Figuren nach ihrer Form''
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensaltern Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen (Re-)konstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen, werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen, als auch in der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkten geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel/Phänomen gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Dieser koordinatenlose Zugang zur Kurvengeometrie bietet einen „historischen“ Einblick in eine Art und Weise Geometrie zu betreiben. René Decartes und Pierre de Fermat entwickelten (unabhängig voneinander) die Koordinatenmethode erst 1637. Dieses Jahr gilt als natürliche Grenze zum Übergang in die „moderne“ Mathematik. Vor Begründung der Koordinatenmethode wurden Kurven etwa als ebene Schnitte räumlicher Figuren (etwa Kegelschnitte), durch punktweise Konstruktion oder durch (gedachte) mechanische Erzeugung mit bestimmten Werkzeugen konstruiert.

Äquidistanzkurven dienen beispielsweise als Ausgangspunkt zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welche der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft: Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten '''schlecht''' geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau der Mittelsenkrechten der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

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Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

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1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

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Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

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Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

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Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



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Eine siebte Klasse bearbeitet die folgende Aufgabenstellung:

Wie viele gemeinsame Punkte kann eine Kreislinie mit einer Geraden haben? Treten hierbei Symmetrien auf?
(Wie) Ist es möglich eine Gerade zu konstruieren, welche genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie besitzt?

* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
* Ist diese Aufgabenstellung geeignet um den Begriff der Tangente einzuführen? Wenn nicht, was sollte geändert werden?

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Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Gerade, Kreis, Passante, Sekante, Tangente, rechte Winkel, Orthogonale und Achsensymmetrie.

Die Lösung der Aufgabenstellung verlangt mindestens ein Begriffsverständnis auf der Stufe 3 Apstraction (van Hile). Beziehungen zwischen Gerade und Kreis müssen erkannt werden. Schlussfolgerungen bezüglich der Konstruktion der Tangenten finden vermutlich nur auf informeller Ebene statt. (Es sieht so aus, als steht die Tangente senkrecht zum Radius durch den Schnittpunkt.)

In der Sekundarstufe 1 sind die konstruktiv-operative Begriffsbildung bzw. die Begriffsbildung durch Abstraktion zentral. Eine mögliche Vereinfachung der Aufgabenstellung könnte wie folgt aussehen: Die Klasse experimentiert nicht selbst mit der Anzahl der gleichen Punkte, sondern es werden die drei Möglichkeiten vorgegeben und dann selbstständig genauer auf ihre Eigenschaften untersucht.
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Die Aufgabe eignet sich dazu, die Einführung geometrischer Konzepte aus einer Aufgabenstellung in den Kontext des Stufenmodells der Begriffsbildung zu übertragen. Desweiteren wird bewertet, welche Arten der Begriffsbildung in welcher Klassenstufe sich als sinnvoll erweißen.



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Im Untericht wurde anhand von Prototypen, mit unterschiedlich großen benachbarten Winkeln und Seiten, der Begriff des Parallelograms erarbeitet. Die anschließende Reflexionsphase zeigt bei einigen SuS. Probleme beim erkennen von Quadraten, Rechtecken, Rauten usw. als Parallelograme.

*Wie könnte man vorgehen um diese Probleme abzubauen?
*Welche Begriffsvorstellungen liegen der Problematik zu Grunde?

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Im Kern beruht die Problematik auf der Vorstellung Parallelograme seien immer schief. Dabei herrscht eine Inuitive, ganzheitliche Vorstellung vor, die unzureichende Verknüpfungen oder Abgrenzungen zu den Begriffen Quadrate, Rechtecke, Raute aufzeigt.

Zum Abbau der Fehlvorstellung kann ein Konflikt zum Präkonzept Parallelograme erzeugt werden. So lassen sich durch systematische Erkundung der Eigenschaften von schiefen Parallelogramen, Quadraten usw. Gemeinsamkeiten und Unterschiede finden, die in den SuS. ein kritische Prüfung ihrer Präkonzepte anregen. So festigt sich eine Inhaltliche Vorstellung. Über Gemeinsamkeiten der Begriffe lässt sich der Parallelogramsbegriff in des Begriffsnetz der Vierecke einordenen und so ein Integrierte Begriffsvorstellung erzielen.

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Es werden beispielhaft Erarbeitung und Reflexion des Kurzfristigen Lehren geometrischer Begriff abgefragt.




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Eine Lehrerin in Klasse 5 führt den Begriff des Drachenvierecks ein, indem sie die SuS ein DIN A5 Blatt zu einem DIN A6 Blatt falten lässt. Danach sollen die SuS mit der Schere zwei Schnitte legen, die zusammen mit der Faltkante ein Dreieck ergeben. Anschließend wird auseinander gefaltet.

* Zu welcher Art der Begriffserarbeitung lässt sich dieser Zugang zuordnen?
* Warum hat die Lehrerin wohl diesen Zugang gewählt?/Erklären sie kurz, welches Prinzip dem Zugang zugrunde liegt?/Welche Vorteile ergeben sich aus ihm?
* Was muss die Lehrkraft bei diesem Zugang beachten?
* Welche anderen Zugänge fallen Ihnen konkret ein?

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Die Lehrerin wählt eine operative bzw. konstruierende Begriffserarbeitung, welche auf dem Operativen Prinzip beruht.

Die Schüler sollen durch den enaktiven Zugang zu einer dynamischen Begriffsvorstellung von Drachen gelangen. Durch die (aufgrund der Klassengröße mehrfach) durchgeführte Konstruktion (falten und schneiden) wird dem Objekt Eigenschaften und Beziehungen aufgeprägt, sodass sich SuS den Begriffsinhalt und durch mehrfaches Durchführen auch den Begriffsumfang relativ selbständig erschließen können. Eine Prototypenfixierung und eine Verkümmerung der feinmotorischen Fähigkeiten kann dadurch auch entgegengewirkt werden. Die Lehrkraft kann die Konstruktion vor der Klasse vormachen, sodass auch ohne Sprache jeder SuS die Möglichkeit hat aktiv das zu untersuchende Objekt zu erforschen (-> Inklusion). Außerdem können Beziehungen zu anderen Begriffen (Raute, Quadrat) beobachtet werden, die den zu erlernenden Begriff an ein schon vorhandenes Begriffsnetz anknüpft.

Wichtig bei dem gewählten Zugang ist nicht nur das zielgerichtete, internalisierte Handeln, sondern auch das bewusste Beobachten der Wirkung der Operation. Die Lehrerin sollte/kann dies durch einige der folgenden Leitfragen unterstützen:
* Welche Eigenschaften werden einem Drachenviereck durch dieses Herstellungsverfahren aufgeprägt?
* Welche verschiedenen Formen kann ein Drachenviereck haben?
* Wie muss man schneiden, damit alle vier Seiten gleichlang werden? Kann man auch ein Quadrat erhalten?

Alternativ könnte man auch eine Sortierungsaufgabe stellen, in der Drachenvierecke aus verschiedenen Vierecken ausgesucht werden sollen (Begriffsbildung durch Abstraktion). Ein anderer Zugang wäre ein „echter“ Drache, an dem Eigenschaften untersucht werden (Exemplarische Begriffsbildung) oder die Definition eines Drachen als ein bzgl. einer Diagonale achsensymmetrisches Viereck (Spezifikation aus einem Oberbegriff). Grundsätzlich ist für eine umfassende Begriffsvorstellung der Einsatz verschiedener Zugänge am besten.

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Diese Aufgabe deckt die verschieden Arten der Begriffserarbeitung, insbesondere das Operative Prinzip ab. An Hand der operativen Begriffserarbeitung werden Herausforderungen, Vorteile, Nachteile sowie Alternativen diskutiert und reflektiert. Ausgehend von dieser Frage lassen sich weiter Fragen zu den Phasen des kurzfristigen Begriffserwerb, Grund- bzw. Fehlvorstellungen oder mentalen Modellen stellen.




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== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''
* [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-02362-0 Scriba und Schreiber (2010): „5000 Jahre Geometrie“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-16T10:48:17Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]
[[Datei: MD Geo VB2.pdf|thumb| Beispiel eines Vorbereitungsauftrags]]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Dieser koordinatenlose Zugang zur Kurvengeometrie bietet einen „historischen“ Einblick in eine Art und Weise Geometrie zu betreiben. René Decartes und Pierre de Fermat entwickelten (unabhängig voneinander) die Koordinatenmethode erst 1637. Dieses Jahr gilt als natürliche Grenze zum Übergang in die „moderne“ Mathematik. Vor Begründung der Koordinatenmethode wurden Kurven etwa als ebene Schnitte räumlicher Figuren (etwa Kegelschnitte), durch punktweise Konstruktion oder durch (gedachte) mechanische Erzeugung mit bestimmten Werkzeugen konstruiert.

Äquidistanzkurven dienen beispielsweise Ausgangspunkt als zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
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Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


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|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

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1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

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Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

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Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

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Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



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Eine siebte Klasse bearbeitet die folgende Aufgabenstellung:

Wie viele gemeinsame Punkte kann eine Kreislinie mit einer Geraden haben? Treten hierbei Symmetrien auf?
(Wie) Ist es möglich eine Gerade zu konstruieren, welche genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie besitzt?

* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
* Ist diese Aufgabenstellung geeignet um den Begriff der Tangente einzuführen? Wenn nicht, was sollte geändert werden?

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Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Gerade, Kreis, Passante, Sekante, Tangente, rechte Winkel, Orthogonale und Achsensymmetrie.

Die Lösung der Aufgabenstellung verlangt mindestens ein Begriffsverständnis auf der Stufe 3 Apstraction (van Hile). Beziehungen zwischen Gerade und Kreis müssen erkannt werden. Schlussfolgerungen bezüglich der Konstruktion der Tangenten finden vermutlich nur auf informeller Ebene statt. (Es sieht so aus, als steht die Tangente senkrecht zum Radius durch den Schnittpunkt.)

In der Sekundarstufe 1 sind die konstruktiv-operative Begriffsbildung bzw. die Begriffsbildung durch Abstraktion zentral. Eine mögliche Vereinfachung der Aufgabenstellung könnte wie folgt aussehen: Die Klasse experimentiert nicht selbst mit der Anzahl der gleichen Punkte, sondern es werden die drei Möglichkeiten vorgegeben und dann selbstständig genauer auf ihre Eigenschaften untersucht.
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Die Aufgabe eignet sich dazu, die Einführung geometrischer Konzepte aus einer Aufgabenstellung in den Kontext des Stufenmodells der Begriffsbildung zu übertragen. Desweiteren wird bewertet, welche Arten der Begriffsbildung in welcher Klassenstufe sich als sinnvoll erweißen.



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Im Untericht wurde anhand von Prototypen, mit unterschiedlich großen benachbarten Winkeln und Seiten, der Begriff des Parallelograms erarbeitet. Die anschließende Reflexionsphase zeigt bei einigen SuS. Probleme beim erkennen von Quadraten, Rechtecken, Rauten usw. als Parallelograme.

*Wie könnte man vorgehen um diese Probleme abzubauen?
*Welche Begriffsvorstellungen liegen der Problematik zu Grunde?

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Im Kern beruht die Problematik auf der Vorstellung Parallelograme seien immer schief. Dabei herrscht eine Inuitive, ganzheitliche Vorstellung vor, die unzureichende Verknüpfungen oder Abgrenzungen zu den Begriffen Quadrate, Rechtecke, Raute aufzeigt.

Zum Abbau der Fehlvorstellung kann ein Konflikt zum Präkonzept Parallelograme erzeugt werden. So lassen sich durch systematische Erkundung der Eigenschaften von schiefen Parallelogramen, Quadraten usw. Gemeinsamkeiten und Unterschiede finden, die in den SuS. ein kritische Prüfung ihrer Präkonzepte anregen. So festigt sich eine Inhaltliche Vorstellung. Über Gemeinsamkeiten der Begriffe lässt sich der Parallelogramsbegriff in des Begriffsnetz der Vierecke einordenen und so ein Integrierte Begriffsvorstellung erzielen.

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Es werden beispielhaft Erarbeitung und Reflexion des Kurzfristigen Lehren geometrischer Begriff abgefragt.




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Eine Lehrerin in Klasse 5 führt den Begriff des Drachenvierecks ein, indem sie die SuS ein DIN A5 Blatt zu einem DIN A6 Blatt falten lässt. Danach sollen die SuS mit der Schere zwei Schnitte legen, die zusammen mit der Faltkante ein Dreieck ergeben. Anschließend wird auseinander gefaltet.

* Zu welcher Art der Begriffserarbeitung lässt sich dieser Zugang zuordnen?
* Warum hat die Lehrerin wohl diesen Zugang gewählt?/Erklären sie kurz, welches Prinzip dem Zugang zugrunde liegt?/Welche Vorteile ergeben sich aus ihm?
* Was muss die Lehrkraft bei diesem Zugang beachten?
* Welche anderen Zugänge fallen Ihnen konkret ein?

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Die Lehrerin wählt eine operative bzw. konstruierende Begriffserarbeitung, welche auf dem Operativen Prinzip beruht.

Die Schüler sollen durch den enaktiven Zugang zu einer dynamischen Begriffsvorstellung von Drachen gelangen. Durch die (aufgrund der Klassengröße mehrfach) durchgeführte Konstruktion (falten und schneiden) wird dem Objekt Eigenschaften und Beziehungen aufgeprägt, sodass sich SuS den Begriffsinhalt und durch mehrfaches Durchführen auch den Begriffsumfang relativ selbständig erschließen können. Eine Prototypenfixierung und eine Verkümmerung der feinmotorischen Fähigkeiten kann dadurch auch entgegengewirkt werden. Die Lehrkraft kann die Konstruktion vor der Klasse vormachen, sodass auch ohne Sprache jeder SuS die Möglichkeit hat aktiv das zu untersuchende Objekt zu erforschen (-> Inklusion). Außerdem können Beziehungen zu anderen Begriffen (Raute, Quadrat) beobachtet werden, die den zu erlernenden Begriff an ein schon vorhandenes Begriffsnetz anknüpft.

Wichtig bei dem gewählten Zugang ist nicht nur das zielgerichtete, internalisierte Handeln, sondern auch das bewusste Beobachten der Wirkung der Operation. Die Lehrerin sollte/kann dies durch einige der folgenden Leitfragen unterstützen:
* Welche Eigenschaften werden einem Drachenviereck durch dieses Herstellungsverfahren aufgeprägt?
* Welche verschiedenen Formen kann ein Drachenviereck haben?
* Wie muss man schneiden, damit alle vier Seiten gleichlang werden? Kann man auch ein Quadrat erhalten?

Alternativ könnte man auch eine Sortierungsaufgabe stellen, in der Drachenvierecke aus verschiedenen Vierecken ausgesucht werden sollen (Begriffsbildung durch Abstraktion). Ein anderer Zugang wäre ein „echter“ Drache, an dem Eigenschaften untersucht werden (Exemplarische Begriffsbildung) oder die Definition eines Drachen als ein bzgl. einer Diagonale achsensymmetrisches Viereck (Spezifikation aus einem Oberbegriff). Grundsätzlich ist für eine umfassende Begriffsvorstellung der Einsatz verschiedener Zugänge am besten.

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Diese Aufgabe deckt die verschieden Arten der Begriffserarbeitung, insbesondere das Operative Prinzip ab. An Hand der operativen Begriffserarbeitung werden Herausforderungen, Vorteile, Nachteile sowie Alternativen diskutiert und reflektiert. Ausgehend von dieser Frage lassen sich weiter Fragen zu den Phasen des kurzfristigen Begriffserwerb, Grund- bzw. Fehlvorstellungen oder mentalen Modellen stellen.




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== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''
* [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-02362-0 Scriba und Schreiber (2010): „5000 Jahre Geometrie“].

Datei:MD Geo VB2.pdf

2019-05-16T09:09:51Z

Anna-Lena Fertig: Anna-Lena Fertig lud eine neue Version von „Datei:MD Geo VB2.pdf“ hoch: {{Information ohne UploadWizard |Beschreibung = Beispiel für einen Vorbereitungsauftrag |Quelle = Anna-Lena Fertig |Urheber = Anna-Lena Fertig |Datum = 16.05.2019 |Genehmigun

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2019-05-16T09:07:42Z

Anna-Lena Fertig: Anna-Lena Fertig lud eine neue Version von „Datei:MD Geo VB2.pdf“ hoch: {{Information ohne UploadWizard |Beschreibung = Beispiel eines Vorbereitungsauftrages |Quelle = Anna-Lena Fertig |Urheber = Anna-Lena Fertig |Datum = 16.05. 19 |Genehmigung =

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-16T09:03:42Z

Anna-Lena Fertig: /* Phase 2: Erarbeitungsphase */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]
[[Datei: MD Geo VB2.pdf|thumb| Beispiel eines Vorbereitungsauftrags]]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|-
|
Eine siebte Klasse bearbeitet die folgende Aufgabenstellung:

Wie viele gemeinsame Punkte kann eine Kreislinie mit einer Geraden haben? Treten hierbei Symmetrien auf?
(Wie) Ist es möglich eine Gerade zu konstruieren, welche genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie besitzt?

* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
* Ist diese Aufgabenstellung geeignet um den Begriff der Tangente einzuführen? Wenn nicht, was sollte geändert werden?

||
Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Gerade, Kreis, Passante, Sekante, Tangente, rechte Winkel, Orthogonale und Achsensymmetrie.

Die Lösung der Aufgabenstellung verlangt mindestens ein Begriffsverständnis auf der Stufe 3 Apstraction (van Hile). Beziehungen zwischen Gerade und Kreis müssen erkannt werden. Schlussfolgerungen bezüglich der Konstruktion der Tangenten finden vermutlich nur auf informeller Ebene statt. (Es sieht so aus, als steht die Tangente senkrecht zum Radius durch den Schnittpunkt.)

In der Sekundarstufe 1 sind die konstruktiv-operative Begriffsbildung bzw. die Begriffsbildung durch Abstraktion zentral. Eine mögliche Vereinfachung der Aufgabenstellung könnte wie folgt aussehen: Die Klasse experimentiert nicht selbst mit der Anzahl der gleichen Punkte, sondern es werden die drei Möglichkeiten vorgegeben und dann selbstständig genauer auf ihre Eigenschaften untersucht.
||
Die Aufgabe eignet sich dazu, die Einführung geometrischer Konzepte aus einer Aufgabenstellung in den Kontext des Stufenmodells der Begriffsbildung zu übertragen. Desweiteren wird bewertet, welche Arten der Begriffsbildung in welcher Klassenstufe sich als sinnvoll erweißen.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

Datei:MD Geo VB2.pdf

2019-05-16T09:00:45Z

Anna-Lena Fertig:

Datei:MD Geo VB2.pdf

2019-05-16T08:59:20Z

Anna-Lena Fertig:

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2019-05-16T08:56:38Z

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GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T18:08:57Z

Anna-Lena Fertig: /* Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T17:56:23Z

Anna-Lena Fertig: /* Inputphase */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' || Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' || Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T17:55:22Z

Anna-Lena Fertig: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert bzw. angeknüpft.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Bild 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' || Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' || Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
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|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T17:51:25Z

Anna-Lena Fertig: /* Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert bzw. angeknüpft.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Bild 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' || Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' || Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
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Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
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Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T17:50:38Z

Anna-Lena Fertig: /* Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert bzw. angeknüpft.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Bild 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
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| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' || Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' || Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
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! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

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Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
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Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
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Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


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Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
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1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

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Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

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Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

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Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T17:45:54Z

Anna-Lena Fertig: /* Bemerkungen und Kritik */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert bzw. angeknüpft.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Bild 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' || Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' || Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

[[Datei:C:\Users\Anna-Lena\Desktop\image1.png|miniatur|Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags]]

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png

2019-05-15T17:43:26Z

Anna-Lena Fertig: User created page with UploadWizard

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2019-05-15T17:30:15Z

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GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T17:25:28Z

Anna-Lena Fertig: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert bzw. angeknüpft.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Bild 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' || Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' || Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

[[Datei:C:\Users\Anna-Lena\Desktop\image1.png|miniatur|Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags]]

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Bild 2).

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
|
Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T17:18:58Z

Anna-Lena Fertig: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert bzw. angeknüpft.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Bild 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
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| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' || Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' || Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Bild 2).

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


|-
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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-15T15:05:12Z

Anna-Lena Fertig: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen und Tabelle, Bilder usw. müssen noch eingefügt werden! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung/Abstract ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert bzw. angeknüpft.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

===== Phase 2: Erarbeitungsphase =====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.

'''Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. unter anderem auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe || eher ungeeignet für Sek1, wenig Abstraktion (?) || Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff ||
* Aufgezählter Listeneintrag
Notwendigkeit von Vorwissen
* Aufgezählter Listeneintrag
Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend || 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel' ;
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' || alle anderen Begriffe
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' || alle anderen Begriffe
|-
|}

Das '''Operative Prinzip''' (vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht.''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

===== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

Die Problemstellung:

„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

Lösungsvorschläge:

Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

Bemerkungen und Kritik:

Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das Zeitbudget, wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden.
Außerdem ist dieser Zugang als Einstiegszugang zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B.
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum enaktiv zu erschließen und sichtbar zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe beide Zugänge miteinander zu verbinden, um ein integriertes mentales Modell bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Bild).

Das Fazit der Arbeitsphase:

Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
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! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

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Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
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Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
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Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


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Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
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1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

||
Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

||
Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


|-
|
Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

||
Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-08T14:36:58Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

In dieser Sitzung haben wir uns mit dem Konzept des Begriffslernen beschäfigt. Es wurden Ziele und Möglichkeiten des Begriffslernens erarbeitet und diskutiert. Ausgehend von Vom Hofe's Artikel Grundvorstellungsbegriff wurden verschiedene Grundvorstellungen .....

=== Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen ===

In der ersten inhaltlichen Phase standen Ziele und Legitimierung des Begriffslernens im Vordergrund. Ausgangspunkt hierfür war der Text "Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell" von Rudolf vom Hofe, in dem er den Begriff der Grundvorstellung erklärt. Als erstes Diskussionsthema diente das folgende Zitat aus eben jenem Text:

<poem>
"Wichtigster Kritikpunkt, weit häufiger genannt als Klagen über Angsterlebnisse der zeitliche Belastung, war der Vorwurf der Sinnlosigkeit."
</poem>

Mögliche Gründe für diese Sinnlosigkeit, welche die Seminarteilnehmer äußerten, waren der fehlender Realitätsbezug von Mathematik und mathematischen Begriffen, mangelnde Authentizität in Begriffen, Aufgaben und Legitimierung im Mathematikunterricht und die fehlende Perspektive, in welchen Lebenssituationen Mathematik und damit verbundene Grundvorstellungen und Grundbegrifflichkeiten von Bedeutung sein können. Weiterhin wurde angeführt, dass das Lernen formaler Regeln ohne eine Einbettung in einen praktischen Kontext, wenig Sinn macht. Das Fach Mathematik treffe hier, in der Form in der es gelehrt wird, auf eine unter Schülern fehlende Wertschätzung für die Eleganz der Mathematik und den formalen Methoden. Angefügt wurde hierzu, dass formale Regeln, wie beispielsweise die binomischen Formeln, aus guten Gründen nicht hergeleitet werden, aber die Präsentation von festen Regeln "die halt so sind" die Schüler unbefriedigt lassen. Aus diesen festgesetzten Regeln könnte es auch zu Furst bei Schülerinnen und Schülern kommen, wenn ihre Vorstellung und Intuition diesen mathematischen Gesetzmäßigkeiten widersprechen, besonders, wenn keine Begründung oder Erklärung für diese Diskrepanz gegeben wird. Ein mangeldes Verständnis oder falsche Vorstellung führen dann eben auch zu unreflektierter Anwendung von Pseudoregeln, welche die Schüler aus ihrer Intuition ableiten.

Liebe Anna-Lena. Ich weiß, dass du grade einen anderen Bereich dieses Wikiartikels bearbeitest. Ich möchte testen, ob es mögliche Mergekonflikte auftreten, wenn wir beide an verschiedenen Teilen des Artikels arbeiten, oder ob diese nur auftreten, wenn wir am gleichen Abschnitt arbeiten. Gru0, Patrick

=== Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe ===

Sammlung geometrische Begriffe..

=== Inhaltlicher Input (2), Ziele des Begriffslernens ===

=== Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse ===

Bücher..

=== Inhaltlicher Input (3) ===

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-
| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, Körper allg., Eigenschaften und Beziehung untereinander (gleichschenklig, gleichseitig, parallel, senkrecht, rechtwinklig, kongruent, achsensymmetrisch)
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang

|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Objektbegriffe''' || Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse, Zylinder, Würfel, Kegel, Quarder, Prisma, Parallelogramm, Ebene, Gerade
|-
| '''Eigenschaftsbegriffe''' || dreieckig, viereckig, rund, elliptisch, zylindrisch, würfelförmig, kegelförmig, quadratisch, eben, gerade, Punkt, Seite, Strecke, Kreisbogen (?), Diagonale (?)
|-
| '''Relationsbegriffe''' || parallel, symmetrisch, orthogonal, kongruent, windschief, identisch, ähnlich, deckungsgleich
|-
|'''Funktionsbegriffe''' || Abbildungen, Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang, Streckensymmetrale

|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Grundbegriffe''' || Punkte, Geraden
|-
| '''definierte Begriffe''' || alle anderen Begriffe
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Figur (Haus der Vierecke, Kreis), Flächeninhalt, Trigonometrie (Sinus, Kosinus, Tangens), Symmetrie/Spiegelung, identisch, orthogonal
|-
| '''Schlüsselbegriffe''' || kongruent, ähnlich, Vektoren, windschief, deckungsgleich
|-
| '''zentrale Begriffe ''' || Stufenwinkel, Wechselwinkel, Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Winkelsumme, Innenkreis, Außenkreis, Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte
|-
| '''Arbeitsbegriffe''' || spitzer Winkel, stumpfer Winkel, überstumpfer Winkel, rechter Winkel, Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse, Länge, Breite, Radius, Durchmesser, goldener Schnitt, Körpernetz
|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Figur,Körper, Flächeninhalt, Volumen
|-
| '''Klasse B''' || Begriff 3, Begriff 4, Begriff 5
|-
| '''Klasse C''' || Begriff 6
|}

==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-08T14:15:26Z

Anna-Lena Fertig: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

In dieser Sitzung haben wir uns mit dem Konzept des Begriffslernen beschäfigt. Es wurden Ziele und Möglichkeiten des Begriffslernens erarbeitet und diskutiert. Ausgehend von Vom Hofe's Artikel Grundvorstellungsbegriff wurden verschiedene Grundvorstellungen .....

=== Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen ===

In der ersten inhaltlichen Phase standen Ziele und Legitimierung des Begriffslernens im Vordergrund. Ausgangspunkt hierfür war der Text "Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell" von Rudolf vom Hofe, in dem er den Begriff der Grundvorstellung erklärt. Als erstes Diskussionsthema diente das folgende Zitat aus eben jenem Text:

<poem>
"Wichtigster Kritikpunkt, weit häufiger genannt als Klagen über Angsterlebnisse der zeitliche Belastung, war der Vorwurf der Sinnlosigkeit."
</poem>

Mögliche Gründe für diese Sinnlosigkeit, welche die Seminarteilnehmer äußerten, waren der fehlender Realitätsbezug von Mathematik und mathematischen Begriffen, mangelnde Authentizität in Begriffen, Aufgaben und Legitimierung im Mathematikunterricht und die fehlende Perspektive, in welchen Lebenssituationen Mathematik und damit verbundene Grundvorstellungen und Grundbegrifflichkeiten von Bedeutung sein können. Weiterhin wurde angeführt, dass das Lernen formaler Regeln ohne eine Einbettung in einen praktischen Kontext, wenig Sinn macht. Das Fach Mathematik treffe hier, in der Form in der es gelehrt wird, auf eine unter Schülern fehlende Wertschätzung für die Eleganz der Mathematik und den formalen Methoden. Angefügt wurde hierzu, dass formale Regeln, wie beispielsweise die binomischen Formeln, aus guten Gründen nicht hergeleitet werden, aber die Präsentation von festen Regeln "die halt so sind" die Schüler unbefriedigt lassen. Aus diesen festgesetzten Regeln könnte es auch zu Furst bei Schülerinnen und Schülern kommen, wenn ihre Vorstellung und Intuition diesen mathematischen Gesetzmäßigkeiten widersprechen, besonders, wenn keine Begründung oder Erklärung für diese Diskrepanz gegeben wird. Ein mangeldes Verständnis oder falsche Vorstellung führen dann eben auch zu unreflektierter Anwendung von Pseudoregeln, welche die Schüler aus ihrer Intuition ableiten.

Liebe Anna-Lena. Ich weiß, dass du grade einen anderen Bereich dieses Wikiartikels bearbeitest. Ich möchte testen, ob es mögliche Mergekonflikte auftreten, wenn wir beide an verschiedenen Teilen des Artikels arbeiten, oder ob diese nur auftreten, wenn wir am gleichen Abschnitt arbeiten. Gru0, Patrick

=== Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe ===

Sammlung geometrische Begriffe..

=== Inhaltlicher Input (2), Ziele des Begriffslernens ===

=== Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse ===

Bücher..

=== Inhaltlicher Input (3) ===

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
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| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, Körper allg., Eigenschaften und Beziehung untereinander (gleichschenklig, gleichseitig, parallel, senkrecht, rechtwinklig, kongruent, achsensymmetrisch)
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang

|}

{| class="wikitable"
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| '''Objektbegriffe''' || Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse, Zylinder, Würfel, Kegel, Quarder, Prisma, Parallelogramm, Ebene, Gerade
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| '''Eigenschaftsbegriffe''' || dreieckig, viereckig, rund, elliptisch, zylindrisch, würfelförmig, kegelförmig, quadratisch, eben, gerade, Punkt, Seite, Strecke, Kreisbogen (?), Diagonale (?)
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| '''Relationsbegriffe''' || parallel, symmetrisch, orthogonal, kongruent, windschief, identisch, ähnlich, deckungsgleich
|-
|'''Funktionsbegriffe''' || Abbildungen, Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang, Streckensymmetrale

|}

{| class="wikitable"
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| '''Grundbegriffe''' || Punkte, Geraden
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| '''definierte Begriffe''' || alle anderen Begriffe
|-
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{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Figur,Körper, Flächeninhalt, Volumen
|-
| '''Schlüsselbegriffe''' || Begriff 3, Begriff 4, Begriff 5
|-
| '''zentrale Begriffe ''' || Begriff 6
|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Figur,Körper, Flächeninhalt, Volumen
|-
| '''Klasse B''' || Begriff 3, Begriff 4, Begriff 5
|-
| '''Klasse C''' || Begriff 6
|}

==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]