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Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 2

2013-02-11T19:27:13Z

B.....: /* Bemerkung --*m.g.* 12:34, 11. Feb. 2013 (CET) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Begründen Sie kurz und knapp, warum im gleichseitigen Dreieck alle Winkel zueinander kongruent sind.

==Lösung User ...==
 Da alle Seiten laut der Vorraussetzung kongruent sind, sind laut dem Basiswinkelsatz auch alle Innenwinkel kongruent.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:16, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Welcher Satz ist unabdingbar für den Beweis der Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade im Rahmen der absoluten Geometrie?

==Lösung User ...lw)...==
Mittelsenkrechtenkriterium

schwacher Außenwinkelsatz--LilPonsho 11:43, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
da es nur um die Eindeutigkeit des Lotes geht reicht der Außenwinkelsatz.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:19, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Ursprung <math>O</math> sei ein Einheitskreis <math>k</math> in Mittelpunktslage gegeben. Ferner seien <math>P \in k</math> und <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf die <math>x</math>-Achse. Beweisen Sie unter Bezug auf eine Skizze in der Euklidischen Geometrie: Wenn <math>|\angle LOP| =45</math>° dann ist <math>\overline{OPL}</math> gleichschenklig.

==Lösung User ...==
 Vor.: Dreieck OLP Laut Def. Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt ist der Winkel OLP = 90. 
Laut Def. Innenwinkelsumme ist der Winkel LPO = 45. 
Laut der Umkehrung des Basiswinkelsatzes ist somit das Dreieck OPL gleichschenklig--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:22, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe d=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Es sei bereits gezeigt:<math> |a|>|b| \Rightarrow |\alpha| > |\beta|</math>. Beweisen Sie in der absoluten Geometrie:<math> |\alpha|>|\beta| \Rightarrow |a| > |b|</math>.

==Lösung User ...==
 
Ann.: b ist kleiner gleich a 

Fall 1: b ist kleiner als a 
Widerspruch zur Vor. des schon bewiesenen Teils. 
Fall 2: b ist gleich a 
laut dem Basiswinkelsatz sind dann auch die Winkel alpha und beta gleich groß. 
Ist ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung. 
Somit ist die Annahme zu verwerfen.

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=
Es gelte: <math>|AB|=\frac{1}{3}, |BC|=\frac{1}{4}, |AC|=0,9</math>. Existiert <math>\overline{ABC}</math>? Begründen Sie Ihre Antwort.

==Lösung User ...==
 
laut Vor.: AB=0,9 BC=2,7 AC=3,6 
daraus folgt: AB+BC=AC 
Nach dem Axiom II/3 (Dreiecksungleichung) sind die Punkte kollinear koll(A,B,C) 
Somit ist nach Definition Dreieck zu folgern, dass das Dreieck ABC nicht existiert.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:31, 5. Feb. 2013 (CET)

===Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:34, 11. Feb. 2013 (CET)===
Wie kommen Sie auf diese merkwürdige Rechnung? 
<math>|AB|+|BC|=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}= \frac{70}{120}<\frac{108}{120}=\frac{9}{10}=|AC|</math> 
 
oh - ich dachte es wäre 1/3 mal BC. Habe nicht erkannt dass es ein Komma ist.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 20:27, 11. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Bin ich fit für die Klausur: das gleichschenklige Trapez WS 12 13

2013-02-07T15:39:26Z

B.....: /* Definition 5 */

=Vorbemerkung=
In der Datei [[Klausurvorbereitung_WS_12_13:_Lisa_reloaded_oder_der_Heidelberger_Viereckskreis]] haben Sie richtig erkannt, dass es in der Klausur wohl u.a. um gleichschenklige bzw. symmetrische Trapeze gehen wird.

Sie sollten die Zeit nutzen und sich intensiv mit dem Begriff auseinandersetzen.

=Das gleichschenklige Trapez entsprechen der Semantik des Namens=

Der Begriff wird mittels der Eigenschaft Trapez zu sein und die gleichlangen Seiten definiert. Sie sollten in der Lage sein 5 verschiedene Definition diesbezüglich zu entwickeln:

==Definition 1, der Klassiker==
Trapez, zwei Seiten kongruent
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist--LilPonsho 16:08, 31. Jan. 2013 (CET) ....}}

Ein Trapez ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn es zwei kongruente Seiten hat. (Dabei wäre auch ein Parallelogramm ein gleichschenkliges Trapez)
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:24, 27. Jan. 2013 (CET)

@ Yellow:
Das ist ganz richtig.
Wichtig ist eventuell zu zeigen, dass nicht jedes gleichschenklige Trapez auch ein symmetrisches Trapez ist.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:55, 28. Jan. 2013 (CET)
 was ist denn der Unterschied zwischen einem gleichschenkligen und einem symmetrischen Trapez ? (Sallyfield)

Ein gleichschenkliges Trapez kann auch ein Parallelogramm sein. Aber nicht jedes Parallelogramm ist symmetrisch. --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 18:30, 28. Jan. 2013 (CET)

ähhhhmm...

- Nur spezielle Parallelogramme sind gleichschenklige Trapeze! nämlich Rechtecke. Deshalb muss man doch beim Definieren des
gl. Trapezes das Parallelogramm ausschließen, aber Rechtecke als Spezialfall des Parallelogramms muss mit dabei sein?!oder? So haben wir das auch verstanden, wir können doch eigentlich immer das Parallelogramm ausschließen und können von einem Rechteck reden? (Sallyfield) Ein Trapez ist somit ein gleichschenkliges Trapez, wenn es zwei kongruente Seiten hat, die nicht parallel sind außer das Trapez wäre ein Rechteck.
Aber was wäre dann der Unterschied dieser Definition zur zweiten Definition? (Sallyfield)

@sallyfield: ja das hat mich auch erst gewundert, aber jetzt hat Herr Gieding ja was dazugeschrieben weiter unten, dass wir hier bei 1 mit parallel/ bzw. nicht parallel definieren sollen, und bei 2 dann explizit den Begriff des Parallelogramms benutzen sollen. Ich stimme deiner Definition zu! vll muss aber noch das gegenüberliegend rein und ein entweder-oder:
Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.--LilPonsho 20:28, 30. Jan. 2013 (CET)

- was ist der Unterschied zwischen gl. Trapez und einem symetrischen Trapez???--LilPonsho 20:02, 28. Jan. 2013 (CET)

'''Entschuldigt bitte meine Verwirrung, ich bin bis gerade davon ausgegangen, dass ein Parallelogramm automatisch auch ein gleichschenkliges Trapez ist, und bin mir auch immer noch nicht ganz sicher ob es nicht doch der Fall ist.'''

Könnte man denn nicht sagen: Ein Trapez ist dann ein gleichschenkliges, wenn es ein paar kongruenter Seiten hat und ein paar nicht paralleler Seiten oder einen Rechten Innenwinkel hat. Damit wäre das Parallelogramm weitestgehend (bis auf das Rechteck) ausgenommen.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 14:49, 29. Jan. 2013 (CET)
===Bemerkungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:07, 30. Jan. 2013 (CET)===
====Parallelogramme und gleichschenklige Trapeze====
Schauen Sie sich das Haus der Vierecke noch einmal an: Vom Trapez gehen zwei gleichberechtigte Pfeile aus: Parallogramme als ein Spezialfall der Trapeze und gleichschenklige Trapeze als ein zweiter Spezialfall der Trapeze. Beide Teilmengen Parallelogramme als auch gleichschenklige Trapeze befinden sich auf derselben Hierarchiestufe im Haus der Vierecke. Unterhalb dieser Hierarchiestufe wird wieder zusammengeführt: Die Rechtecke sind sowohl Parallelogramme als auch gleichschenklige Trapeze:

[[Datei:Haus_der_Vierecke_02.png]] 

Damit ist ein gleichschenkliges Trapez dann und nur dann ein Parallelogramm, wenn es ein Rechteck ist.

Trapez, zwei Seiten kongruent
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Trapez ist gleichschenklig, wenn es entweder ein Rechteck ist oder zwei gegenüberliegende Seiten hat, die '''kongruent zueinander sind und nicht parallel''' (Sallyfield) ...}}
{{Definition|<Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist. (LilPonsho)>}}

'''Hier mal mein Versuch: Ein Trapez ist genau dann gleichschenklich, wenn die Diagonalen gleich lang sind. (Waynetrain)''''
@waynetrain: richtige Definition, nur hast du nicht die vorgegebenen Eigenschaften benutzt!--LilPonsho 20:54, 30. Jan. 2013 (CET)

Geht das: Ein trapez mit zwei sich gegenüberliegenden kongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Trapez, wenn es kein Parallelogramist , es sei denn, es ist ein Rechteck? beta91

@beta91: ja geht! nur gehört diese Definition zu Definition 2!!! siehe Kommentar von Herr Gieding weiter unten bei Intention...:"Definition 1 verwendet nicht explizit den Begriff Parallelogramm. Wir verwenden stattdessen den Begriff parallel bzw. nicht parallel. In Definition 2 wollen wir explizit den Begriff Parallelogramm verwenden. "--LilPonsho 16:03, 31. Jan. 2013 (CET)

Definition: (Trapez, zwei Seiten kongruent)
Ein Trapez nennt man gleichschenklig, wenn es ein Paar zueinander kongruente, jedoch nicht parallele, Seiten hat, oder ein Rechteck ist. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 09:19, 5. Feb. 2013 (CET)

====Symmetrische Trapeze und gleichschenklige Trapeze====
Die Begriffe ''symmetrisches Trapez'' und ''gleichschenkliges Trapez'' sind synonym. Also jedes gleichschenklige Trapez ist ein symmetrisches Trapez und umgekehrt. Wie an anderen Stellen ausgeführt können wir den Begriff der Symmetrie nicht explizit verwenden, da wir ihn nicht definieren im Rahmen der Einführung in die Geometrie. Wir behelfen uns mit speziellen Mittelsenkrechteneigenschaften. Das passt aber nicht in diesen Abschnitt. In diesem Abschnitt zur Definition gleichschenkligen Trapeze verwenden wir die Semantik des Namens gleichschenkliges Trapez und nicht die Semantik des Namens symmetrisches Trapez.

Definition: (Trapez, zwei Seiten kongruent)
Ein Trapez nennt man gleichschenklig, wenn es ein Paar zueinander kongruente, jedoch nicht parallele, Seiten hat, oder ein Rechteck ist. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 09:17, 5. Feb. 2013 (CET)

==Definition 2==
Trapez mit gleichlangen Seiten, kein Parallelogram, es sei denn ...
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Trapez mit zwei gleichlangen gegenüberliegenden Seiten, das kein Parallelogramm ist, es sei denn es besitzt einen rechten Innenwinkel, heißt gleichschenkliges Trapez --LilPonsho 21:18, 30. Jan. 2013 (CET)

Ein Trapez mit zwei gleichlangen gegenüberliegenden Seiten, das kein Parallelogramm ist, es sei denn es es ist ein Rechteck, heißt gleichschenkliges Trapez --LilPonsho 21:18, 30. Jan. 2013 (CET)....}}

Ein Trapez ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn es zwei kongruente Seiten hat, die nicht parallel sind außer Trapez wäre ein Rechteck.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:26, 27. Jan. 2013 (CET)
 
Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist. (Sallyfield) find ich gut--LilPonsho 20:07, 28. Jan. 2013 (CET)

Anmerkung zu den oberen Definitionen: Ein Parallelogramm ist IMMER ein Trapez, nicht nur wenn es ein Rechteck ist.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 14:53, 29. Jan. 2013 (CET)

 Ein Parallelogramm ist immer ein Trapez aber nie ein gleichschenkliges Trapez, es sei denn es sei ein spezielles Parallelogramm, nämlich ein Rechteck. (Sallyfield)

Meine Definition: Ein Trapez ist dann ein gleichschenkliges, wenn es ein Paar gleich langer Seiten hat. Es ist kein Parallelogramm, es sei denn es hat zwei Paar kongruenter Seiten.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:14, 28. Jan. 2013 (CET)

===Bemerkungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:32, 30. Jan. 2013 (CET)===
====Intention des Unterschiedes zu Definition 1====
Definition 1 verwendet nicht explizit den Begriff Parallelogramm. Wir verwenden stattdessen den Begriff ''parallel'' bzw. ''nicht parallel''. In Definition 2 wollen wir explizit den Begriff ''Parallelogramm'' verwenden.
====Bewertung der formulierten Definitionen====
=====Yellow=====
Ein Trapez ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn es zwei kongruente Seiten hat, die nicht parallel sind außer Trapez wäre ein Rechteck.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:26, 27. Jan. 2013 (CET)
Vorab: Es fehlt der Artikel vor dem dritten Trapez (... außer Trapez wäre ein Rechteck..., feiner Deutsch) Konzentration!

Was wäre mit dem hier? Nach Ihrer Definition wäre es ein gleichschenkliges Trapez. 
[[Datei:Trapez_11.png| 400px]]
 
* hat zwei zueinander parallele Seiten bzw. ist ein Trapez
* hat zwei Seiten, die kongruent und nicht parallel sind (<math>\overline{AB}, \overline{BC}</math>)
* ist trotzdem kein gleichschenkliges Trapez

 Du hast vergessen zu sagen, dass es zwei '''gegenüberliegenden''' kongruenten Seiten hat. Dann ist der Fall auf dem Bild nämlich ausgeschlossen (Sallyfield)
 Ein Trapez ist gleichschenklig, wenn es zwei gegenüberliegende gleichlange Seiten hat, die nicht parallel sind. Demnach ist das Trapez '''kein Parallelogramm''', es sei denn das Trapez ist ein Rechteck. (Sallyfield)

'''neuer Versuch:''''''
Ein Trapez ist dann gleichschenklig, wenn es zwei gleichlange, gegenüberliegenden Seiten hat und kein Parallelogramm ist, es sei denn es ist ein Rechteck.--[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 09:26, 5. Feb. 2013 (CET)

==Definition 3==
als Oberbegriff wird diesmal Viereck verwendet, sonst wie Definition 1
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Viereck, bei dem ein Seitenpaar parallel und das andere sich gegenüberliegende Seitenpaar kongruent zueinander ist, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn das kongruente Seitenpaar entweder nicht parallel ist oder das Viereck ein Rechteck ist--LilPonsho 22:12, 30. Jan. 2013 (CET) ....}} 

Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn ein Seitenpaar parallel ist und das andere Paar Seiten kongruent zueinander ist.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:29, 27. Jan. 2013 (CET)

Anmerkung: Es können auch beide Eigenschaften, also Kongruenz und Parallelität für das selbe "Seitenpaar" zutreffen. Dann ist es übrigens ein Parallelogramm.

Für mich ergibt sich somit eine andere Definition:
Ein Viereck, das ein Paar paralleler und zwei kongruente Seiten hat, ist ein gleichschenkliges Trapez.
--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:21, 28. Jan. 2013 (CET)

puhhh für mich sagen beide Definitionen iwie das Gleiche aus! es soll genau ein Seitenpaar parallel sein und das andere Seitenpaar kongruent zueinander, damit es ein gleichschenkliges Trapez ist... aber beide Definitionen können doch Parallelogramme sein, und wenn man es mit "genau einem parallen Seitenpaar" definieren würde, dann wäre das Rechteck ausgeschlossen, kann also auch nicht sein!!
Es muss in die Richtung gehen:
Ein Viereck, bei dem ein Paar von Seiten parallel zueinander ist und die nicht parallelen Seiten kongruent sind oder es ein Rechteck ist, heißt gleichschenkliges Trapez.--LilPonsho 20:29, 28. Jan. 2013 (CET)

Okay, dann auch von mir ein neuer Versuch:
 Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn es ein Paar paralleler und ein Paar kongruenter Seiten hat. Zudem ist ein Seitanpaar nicht parallel, es sei denn es ist ein Rechteck.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 15:01, 29. Jan. 2013 (CET) Wenn ein Viereck ein Rechteck ist oder wenn es ein Paar gegenüberliegende parallele Seiten hat und die anderen Seiten kongruent zueinander sind, dann ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez (Sallyfield)

@ Sallyfield: Musst du in deiner Definition jetzt nicht noch ausschließen, dass das Viereck ein Parallelogramm ist, indem du sagst, dass die beiden zueinander kongruenten Seiten nicht parallel zueinander sind? --[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 14:28, 30. Jan. 2013 (CET)
@sallyfield & @caro44: ja genau is mir auch grad aufgefallen! caro44 hat sinngemäß Recht--LilPonsho 21:27, 30. Jan. 2013 (CET)

'''neuer Versuch:'''
Ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten und einem Paar zueinander kongruenten, jedoch nicht paralleler Seiten, nennt man gleichschenkliges Trapez, es sei denn es ist ein Rechteck.--[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 09:30, 5. Feb. 2013 (CET)

<div_class="schuettel-quiz"></div>==Definition 4==
als Oberbegriff wird diesmal Viereck verwendet, sonst wie Definition 2
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Viereck, mit zwei parallelen und zwei gegenüberliegenden gleichlangen Seiten, das kein Parallelogramm ist, es sei denn es beitzt einen rechten Innenwinkel, heißt gleichschenkliges Trapez.

Ein Viereck, mit zwei parallelen und zwei gegenüberliegenden gleichlangen Seiten, das kein Parallelogramm ist, es sei denn es ist ein Rechteck, heißt gleichschenkliges Trapez.--LilPonsho 22:21, 30. Jan. 2013 (CET)....}}

Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn ein Seitenpaar parallel ist und das andere Paar Seiten kongruent zueinander ist, jedoch nicht Parallel außer das Viereck ist ein Rechteck.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:31, 27. Jan. 2013 (CET)

 Wenn ein Viereck ein Rechteck ist oder wenn ein paar Seiten parallel sind und das andere Paar kongruent, dann ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez. (Sallyfield)

 Wenn ein Viereck ein paar gegenüberliegende parallele Seiten hat und die anderen Seiten gleich lang sind, aber nicht parallel, dann ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez und kein Parallelogramm, es sei denn es ist ein Rechteck. (Sallyfield)

@sally: iwie doppelt gemobbelt: " nicht parallel" - kein Parallelogramm,
--> es muss rein würd ich sagen : Viereck, ein Seitenpaar parallel, das andere sich gegenüberliegende Seitenpaar gleich lang, das kein Parallogramm ist, es sein denn es ist ein Rechteck, heißt gl. Trapez siehe Definition oben (LilPonsho)

'''Definition:'''
Ein Viereck, welches kein Parallelogramm ist, jedoch ein Paar paralleler Seiten und ein Paar zueinander kongruenter und nicht paralleler Seiten hat, nennt man gleichschenkliges Trapez, es sei denn es ist ein Rechteck.

==Definition 5==
das Ganze mal als operational genetische Definition
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei zueinander parallele Geraden. Wenn man auf <math>a</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> und auf <math>b</math> die Punkte <math>C</math> und <math>D</math> derart wählt, dass ....}}

... gilt <math>|AC| = |BD|</math>, so erhält man ein gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:34, 28. Jan. 2013 (CET)
 Du meintest doch sicherlich <math>|AD| = |BC|</math> oder wolltest du über die Diagonalen, dann müsstest du nämlich noch dazu sagen, dass sich AC und BD im selben Verhältnis schneiden?

Kommt drauf an wie man die Punkte wählt... wenn du in deiner Skizze der Punkte die Buchstaben C und D vertauschst, sind nicht mehr die Diagonalen entscheidend.... Wenn ich in meiner Definition die Diagonalen gemeint hätte, wäre diese nicht korrekt.
PS: Bitte schreibe zu deinem Kommentar noch deine Signatur...--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:11, 29. Jan. 2013 (CET)

Wenn man auf <math>a</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> und auf <math>b</math> die Punkte <math>C</math> und <math>D</math> derart wählt, dass die Strecke <math>AD</math> kongruent zur Strecke <math>BC</math> ist und entweder die Strecke <math>AB</math> größer als die Strecke <math>DC</math> ist oder umgekehrt, dann ist ABCD ein gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 14:37, 30. Jan. 2013 (CET)

@caro44: ich find deine definition gut, dachte auch erst sie is korrekt so, aber was ich mich jetzt frage, ist folgendes: dadurch das du schreibst "und entweder die Strecke <math>AB</math> größer als die Strecke <math>DC</math> ist oder umgekehrt" kann ja nie ein Rechteck entstehen... mir ist klar, dass du es so formuliert hast um das Parallelogramm auszuschließen, aber es fehlen so halt Rechteck und somit auch das Quadrat, die ja bei der Definition des gleichschenkligen Trapezes nicht ausgeschlossen werden dürfen.--LilPonsho 22:41, 30. Jan. 2013 (CET)

'''Idee:'''
Wenn man auf <math>a</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> und auf <math>b</math> die Punkte <math>C</math> und <math>D</math> derart wählt, dass die Strecke <math>AD</math> kongruent zur Strecke <math>BC</math> ist, ist entweder eine der Strecken <math>AB</math> bzw. <math>DC</math> größer als die andere, oder Strecke <math>AD</math> und <math>BC</math> ist Lot sodass <math>AB</math> = <math>DC</math> ist , dann ist ABCD ein gleichschenkliges Trapez.--LilPonsho 22:58, 30. Jan. 2013 (CET)

oder "einfach" so:
Wenn man auf <math>a</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> und auf <math>b</math> die Punkte <math>C</math> und <math>D</math> derart wählt, dass die Strecke <math>AD</math> kongruent zur Strecke <math>BC</math> ist, ist eine der Strecken <math>AB</math> bzw. <math>DC</math> größer als die andere,''es sei denn es ist ein Rechteck'',dann ist ABCD ein gleichschenkliges Trapez.--LilPonsho 16:28, 31. Jan. 2013 (CET)

@LilPonsho: Danke für deinen Hinweis! Ich war zu sehr damit beschäftigt das Parallelogramm auszuschließen und habe dabei vergessen, dass das gleichschenkl. Trapez ja auch ein Rechteck sein kann. Deine Definition ist meiner Meinung nach richtig! ;-)--[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 15:10, 3. Feb. 2013 (CET) 

@LilPonsho: ist der Teil: "ist entweder eine der Strecken AB bzw. DC größer als die andere" deiner Definition überhaupt nötig, oder könntest du den auch weglassen? --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:39, 7. Feb. 2013 (CET)

=== Definition 5 ===
... <math>|AD| = |BC|</math> und die Strecke <math>AB</math> nicht parallel zur Strecke <math>DC</math> ist, dann ist <math>ABCD</math> ein gleichschenkliges Trapez, es sei denn es ist ein Rechteck. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 09:47, 5. Feb. 2013 (CET)

'''Hinweis:'''
@lw: Die Geraden a und b seien zwei zueinander parallele Geraden. Die Punkte ''A,B liegen auf a'' und die ''Punkte D,C auf b'', folglich ist''' AB parallel zu BC'''. Somit widersprichst du dir in deiner Definition.--LilPonsho 10:49, 5. Feb. 2013 (CET)

=Das gleichschenklige Trapez als abgeschnittenes gleichschenkliges Dreieck=

==Definition 1, abschneiden==
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis <math>\overline{AB}</math>. Ferner sei <math>p</math> eine Gerade, die ... }}

...die parallel zu der Basis ist und die Schenkel des Dreiecks in den Punkten <math>D</math> und <math>E</math> schneidet. Das Viereck <math>\overline{ABDE}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:41, 28. Jan. 2013 (CET)

... die parallel zur Basis ist und die Strecken <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BC}</math> schneidet, so dass zwei Schnittpunkte <math>C'</math> und <math>D</math> entstehen. Das daraus entstandene Viereck <math>ABC'D</math> nennt man gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 09:51, 5. Feb. 2013 (CET)

==Definition 2, ergänzen==
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Trapez mit <math>AB \|| CD</math>. <math>\overline{ABCD}</math> ist gleichschenklig, wenn das Dreieck ....}}
 ein gleichschenkliges Dreieck ist und ein Schenkel parellel zur Seite DA ist und Punkt C des Dreiecks identisch mit Punkt C des Trapezes ist.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:38, 27. Jan. 2013 (CET)

... <math>\overline{ABE}</math> gleichschenklig ist, und die Schenkel des Trapezes <math>\overline{AD}</math> und <math>\overline{BC}</math> Teilmengen der Schenkel des Dreiecks <math>\overline{AE}</math> und <math>\overline{BE}</math> sind.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 09:57, 29. Jan. 2013 (CET) Dürfen wir bei einem gleichschenkligen Trapez überhaupt von Schenkeln reden? Das wurde doch so nie definiert ? (Sallyfield)
 Naja, wenn du von gleich-schenklig sprichst, dass darf man doch das Wort Schenkel verwenden...
Ansonsten müsste man wirklich noch Basis eines Trapezes und die daran anliegenden Schenkel Definieren. Ich habe das jetz nur mal vom Dreieck abgeleitet. Außerdem könnte man, wenn man es ernst nimmt bei einem Trapez auch von Seiten reden.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 15:46, 29. Jan. 2013 (CET) 
@Sweetnightmare5: wie passt in deine Definition der Sonderfall Rechteck rein? Vielleicht passt diese Definition: gleichschenklig ist und, die Mittelsenkrechte des Dreiecks identisch ist mit der Mittelsenkrechter der längeren parallelen Seite des Trapezes.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 21:29, 4. Feb. 2013 (CET)

...<math>\overline{ABE}</math> gleichschenklig ist und die Strecke <math>\overline{AD}</math> Teilmenge der Strecke <math>\overline{AE}</math> und die Strecke <math>\overline{BC}</math> Teilmenge der Strecke <math>\overline{BE}</math> ist oder beim Schnitt von <math>\overline{CD}</math> mit <math>\overline{AD}</math> und <math>\overline{BC}</math> rechte Winkel entstehen. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:00, 5. Feb. 2013 (CET)

=Das gleichschenklige Trapez als symmetrisches Trapez bzw. als Sehnenviereck=
Bringen Se hier entsprechende Definitionen unter.
Wir haben und werden Symmetrie nicht definieren, sie können nur über Eigenschaften der Mittelsenkrechten definieren.

=== ...lw)... ===
... Ein Trapez nennt man gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck mit einem paar zueinander paralleler Sehnen oder ein Rechteck ist. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:10, 5. Feb. 2013 (CET)

... Ein Trapez nennt man gleichschenklig, wenn der Abstand von A zur Mittelsenkrechten M gleich <math>|BM|</math> und <math>|CM| = |DM|</math> ist. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:14, 5. Feb. 2013 (CET)10:10, 5. Feb. 2013 (CET)

==Natürliches Mineralwasser==
1. Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist. 
2. Ein Trapez, das achsensymmetrisch ist und das eine Symmetrieachse hat, die verschieden von den Diagonalen des Trapezes ist, heißt gleichschenkliges Trapez. 
3. Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez. 
4. Ein Trapez, in dem nicht gegenüberliegende Innenwinkel zu einander kongruent sind, heißt gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 18:05, 3. Feb. 2013 (CET) 
===--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:08, 3. Feb. 2013 (CET)===
zu 2. 
::Vorsicht, Es gibt gleichschenklige Trapeze, deren Diagonalen Symmetrieachsen sind.
==Yellow==
1. Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez wenn sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden. 
2. Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn die Mittelsenkrechten der parallelen Seiten identisch sind.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:34, 27. Jan. 2013 (CET)
===--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:05, 3. Feb. 2013 (CET)===
====zu 1.====
Was ist damit? Mittelsenkrechten schneiden sich in genau einem Punkt!
<ggb_applet width="409" height="380" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAEOYQ0IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAgIAEOYQ0IAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vptb9s4Ev7c/RWEPjcK30kVThdpusEVyO4Vl97hcF8WskTb3MiST5IdO+iPvyEp+TVJ62T3mraJQ5Eavsw8M88Mkw5+Xk4LtDB1Y6vyLCIxjpApsyq35fgsmrejEx39/PanwdhUYzOsUzSq6mnankU8ptFmHvRiot1km59FeZZlUkl6YrJMn3A9HJ7oNB+e5HmSDFWSjEYmjxBaNvZNWf2WTk0zSzNznU3MNL2qsrT1a07advbm9PT29jbud4+renw6Hg/jZQMLwMnL5izqHt7AcjuTbpkXpxiT03//ehWWP7Fl06ZlZiLktJrbtz+9GtzaMq9u0a3N2wnowmSEJsaOJ6CmICpCp05oBrrOTNbahWlg6lbX69xOZ5EXS0v3/lV4QsVanQjldmFzU59FOOZCKyJEIhnDVAkqIlTV1pRtJ0y6TU/75QYLa27Duu7Jb8lxAodb2MYOC3MWjdKiAbVsOarBpHCieg7dpl0VZpjWfX9zIPIavkDA3hm3FmAX7ABvMH7tPgo+QuBwlu2NI9RWVeFXxUgk6PNnRDHF6LVrSGgoNFKGVziMYRYaGhoeGhFkeJjOgygPMjzIcPaInl1/o2g3sKNprye7T08JH2+APT31lp7EKfEZEXd63zDkzk38+V3Du64MXeUbgkNDupfa/fD2ks/UiD1JI7K1a/CHhzc98JeNryRfvyN9lp5rLel9WlLxgJbPNG6/KRFbm8Je/tt/DrZkR+n5oGmP2FHy58T+EzZU+P+x4eC0Z7pBF3uomTjZzl1bM20c67DEEw8iSEBgSgU8IRBJoFEuQCkiAnEBXaKRdK1CzMUkRwxp5OQIQ55ehIYf3MerRALWcoMqBC5iHAmGiCcljoCKkCc2IDnKQEIIJGCS2524bZlEXEKHacThgI7SlKMNBvOgD5tTxAhibi5RiEokKVKOFgl3bCm1OzssSpHESLqpwIvAiYEPYYZGzGkDHj6rGrs27sQUszUq3o62nM3bHdtl07x/bKs96bzKbt7t2dqkTds/gxAko03OC8lpJyW+GhTp0BRQOFw7N0BokRYugv36o6psUe8CNIyN63Q2sVlzbdoWZjXoj3SRXqWtWV6CdNMf0G/tM/XAzLPC5jYt/wU+4pZwC6J14na81CduJrpdsqqq8+tVA46Dlv8xdQUHYCJOwG0ITQjHEruEv+peCRpDTk6IxkoJKTRk5iZLC++5scJUKMVVgqWg7tXqgXdCh83NYq1cujRrldC4dhG11fnQvKuKzdCssmV7kc7aee0LMeDB2ul1Xo4L483rmRVKmuxmWC2vg11ZWOvTagY9HE4wHF9URVUjiEkq4MTjrh2G1su4o62lsJfBXgL3QNl8/Z4k1Ev4dhhaLwXIh6N1qpJeTYL7bWzjmQQWD37WU6/zG1chzUvbXvWd1mY3naokTPhtPh2Cy3U+ubsm+bPWHJzuedngxtSlKYIvlQDmvJo3wbnXDvpqMG/Mx7SdnJf5P8wYovJj6oixhaWD6ObIucnsFCaG8c54qQP2n3DUMJqbcW16FQtf+wbT+rd427MPhv1Sl3U1/VAuPoHX7B11cNrrM2iy2s6cd6IhMPWN2fhfbpsUeD7fngfKN6BF5jgHDNk6I0YonbeTqvblLUQueCq6hNPOgUooBod0QVuYKVS2qPVu6T17Dc+5r5kdDqga/gFUss4c4f3GavD6Xhf1zpwWs0nq6urOBEW6MvWOUfx6v1b5vqkACa8P0MMs+MTMmOBO4bzwMIPlfBRuwe1t36CluzJRyMQrX9XDw124RIUrg9PVxeYOFYbRPdjA64KZvmCwd4cG23X478BiMvaEexadEP/0J5gsq6bTtMxR6YuRC1tnhYk2WTDFztVQSpwBg3Hmbf8iC4t1SxzYH9zeZmvzZl9w2C2FH7I/frr1NxTbQuK8gath4/NA2zG+f/ibzXPjq4KQguzYlAs4aQVUhJa4u+SvcNgf3fUjS7DOiR9akW7ojmxBA7jXdonOe/nzXuqcwkSqYkUZSdb/wMnOWbfHOfdgu0A5F34XCJVwuv+WQaEmsLKrJ+zIZo8D/NHHxC6+2QGwF48DuxtYF09iIkJDSvXtS4gtsDJPGJNMaKUVoQx3ocbB+loSyRRjQiiR/AVx93WwvD8Glvc/Biw8JhzsDt9cQ8mpaQ8K4YImItEq4VBv6m8Gyi/HgPLLjwGKjAWECteYYS4Icb9kWjnrM0Yp5VIRxYkWin0zUC6PAeXyxwDlhMaSU8VlIomWcKHSHhWgL0guAIsighH5V1QNH6tiNa7KPVQuQtnwHhrqPB+lrANmByq4KhRwFyNBOvudBPk8yAMKKaTA0ZfwDAfoEVuv+dTUf3SZArb13iDIQaVCjnGFh6vZxoxdb1NP/U6eVlE9ctQjvXbL90BNDNGPmRZA0hhj5Z1PxJIBHciEU6nB/QIjUBarhCXA3wmjhAgsnl6kgScVLig+lO7GaPwd6/COeWPMzF3u/15+qtOycX+K2b1cfr3d8xdkdRG73EexFInUEPbCG51CjQhlJPCwgKLF/ZbGW53RWAtgK6mwRyj5joxuXpDRwYxJIhOlkkTpRGPa1YkJEK3ECZgeCFfrUCYyqCopowqzRHIpqeDfkdVHL8fqOoZqQzCtOddacdoVHARKds2gMgdEBFQdIbmpWHClgXWAjbBMXhi97ObOKzjUO9v4W+ZeAjXrI/Qj6eNp0Cm4Bif9pvftDXKHYbF6IIju3CUMEokCLsNQ0gNTQfuM+/veDdlOZ4XNbPtkQPIDQIZHADJ8IYCc3JcfVvdnkzuXwiHkCIY7sAtAiKgXBMjoAJDxEYCMXwog9/HY6j7Ou/PoMSwpJgpD7ADNcfaCAHFF6T4kkyMgmbwUSO4pXFcPlLkAioox44l2XCZwwp5TWn0tJKfbf1Twf+fr/qfP2/8BUEsHCCKvgluOCAAAmSQAAFBLAQIUABQACAgIAEOYQ0LWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgAQ5hDQiKvgluOCAAAmSQAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAAlCQAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===zu 2.===
Oberbegriff Viereck oder doch besser Trapez?

==Sallyfield==
 Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten, wobei diese eine gemeinsame Mittelsenkrechte haben (Sallyfield) 
===Sweetnightmare5===
Anm: Wenn zwei Strecken oder wie in unserem Falle Seiten eine gemeinsame Mittelsenkrechte haben, sind die Seiten automatisch Parallel, es sei denn sie sind identisch, was aber in einem Viereck nicht vorkommen kann.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 15:12, 29. Jan. 2013 (CET)

==Sweetnightmare5==
Ein Trapez ist dann gleichschenklig, wenn zwei Mittelsenkrechten der Seiten des Trapezes identisch sind. --[[Benutzer:|Sweetnightmare5]] 13:53, 28. Jan. 2013 (CET)
===--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:14, 3. Feb. 2013 (CET)====
perfekt, funktioniert sogar, wenn als Oberbegriff Viereck und nicht Trapez gemommen wird, s. Bemerkungen zu Sallyfield unten

== LilPonsho==
Ein Trapez, welches einen Umkreis besitzt, heißt gl. Trapez.--LilPonsho 20:40, 28. Jan. 2013 (CET)

Ein Trapez, bei dem sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180 ergänzen, heißt gl. Trapez. --LilPonsho 20:40, 28. Jan. 2013 (CET)
===--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:23, 3. Feb. 2013 (CET)===
beides korrekt

==Sweetnightmare5==
Gleich dazu:
 Ein Sehnenviereck mit einem Paar paralleler Seiten ist ein gleichschenkliges Trapez --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 15:22, 29. Jan. 2013 (CET)
===--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:23, 3. Feb. 2013 (CET)===
korrekt

==Sallyfield==
Hier müssten wir die Definition folgendermaßen ändern: Ein '''symmetrisches Trapez''' ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten, wobei diese eine identische Mittelsenkrechte haben(Sallyfield)

===--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:20, 3. Feb. 2013 (CET)===
Versuchen Sie einmal ein Viereck zu konstruieren, in dem zwei Seiten eine identische Mittelsenkrechte haben, und das kein Trapez ist.

Sei <math>m</math> die Mittelsenrechte von <math>a</math> und von <math>c</math>. Da wir es mit einem Viereck zu tun haben, sind die beiden Seiten nicht identisch. Weil <math>m</math> senkrecht auf <math>a</math> und auf <math>b</math> steht, müssen <math>a</math> und <math>b</math> nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ...

siehe auch Bemerkung von Sweetnightmare5 oben
[[Kategorie:Einführung_S]] 
 müsst das b nicht c heißen?
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 23:44, 3. Feb. 2013 (CET)

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 1

2013-02-05T19:20:30Z

B.....: /* Lösung User Ron */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Ergänzen Sie <math>\overline{AB}:= \ldots</math> .
==Lösung User Ron==
{P/ Zw (A,P,B)} U {A,B}
===Bewertung===
2 von 2 Punkten

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Definieren Sie den Begriff ''komplanar'' für die Anzahl von Punkten, ab der der Begriff sinnvoll ist.

==Lösung User ...==

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
===Bewertung===
1 von 2 Punkten --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:01, 4. Feb. 2013 (CET)

Vier Punkte heißen komplanar, wenn sie in ein und derselben Ebene liegen.--[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 20:01, 4. Feb. 2013 (CET)

Vier Punkte A, B, C, und D sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle diese Punkte enthält. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:45, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
Drei Punkte heißen komplanar, wenn es ein Ebene gibt, die alle Punkte A,B,C enthällt. 
komp(A,B,C) 
(AxiomI/4) --[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:08, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Definieren Sie den Begriff ''Raute'' unter Verwendung des Oberbegriffs ''Viereck''.

==Lösung User Ron==

Ein Viereck ist eine Raute, wenn alle vier Seiten gleich lang sind.
===Bewertung===
2 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:02, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Lösung ...lw)... ===
Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler und 3 gleichlangen Seiten. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:46, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Ron==

Wenn ein Viereck eine Raute ist, dann sind alle vier Seiten des Vierecks gleich lang.
===Bewertung===
0 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:03, 4. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe d=
Nur unter Verwendung der Eigenschaft <math>E_1</math> sei der Begriff <math>B</math> korrekt definiert. Es stellt sich heraus, dass <math>B</math> ebenso korrekt über die Eigenschaft <math>E_2</math> hätte definiert werden können. Was ist <math>E_1</math> hinsichtlich einer Entscheidung, ob ein Repräsentant <math>R</math> zum Begriff <math>B</math> gehört?

==Lösung User Ron==

Ein Kriterium 
 Frage dazu: Wenn es ein Kriterium ist, kann man dann auch sagen, dass es notwendig und hinreichend ist?--[[Benutzer:B.....|B.....]] 20:20, 5. Feb. 2013 (CET)
===Bewertung===
2 von 2 Punkten

==Lösung User --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 19:27, 5. Feb. 2013 (CET)==

Hinreichende Bedingung

===Bewertung===
? von 2 Punkten

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=

Es sei <math>R</math> ein beliebiger Punkt und <math>r \in \mathbb{R}, r>0</math>. Was ist das? <math>M:=\left\{P||RP|\leq r \right\}</math>.

==Lösung User ...==

Eine Kugel
===Bewertung===
1 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:04, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Aaliyah==

Es ist eine Kugel um P mit dem Radius r inklusive ihres Inneren.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 18:55, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Lösung User ...lw)... ===
M ist eine Kugel mit dem Radius RP. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:50, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe f=
Definieren Sie den Begriff ''Rechter Winkel'' wie in der Vorlesung.

==Lösung User Ron==

Ein Winkel, der so groß ist, wie einer seiner Nebenwinkel, nennt man rechter Winkel.

===Bewertung===
2 von 2 Punkten mit sehr großen Bauchschmerzen: 
Wen oder was nennt man rechter Winkel? Ein'''en''' Winkel, der ...--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:06, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Aaliyah==

Wenn ein Winkel so groß ist, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist der Winkel ein Rechter.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 18:57, 4. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe g=
Ergänzen Sie die folgende Definition: Zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> sind windschief, wenn <math>\ldots</math>

==Lösung User Ron==

,wenn sie nicht parallel sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt(schnittfrei sind) haben
===Bewertung===
2 von 2 Punkten, besser ''schnittpunktfrei'' --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:08, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe h=
Definieren Sie den Begriff Tangentialebene einer Kugel.

==Lösung User Ron==

Eine Ebene, welche eine Kugel in einem Punkt berührt, nennt man Tangentialebene

===Bewertung===
1 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:10, 4. Feb. 2013 (CET) 
Tangentialebene sein ist eine zweistellige Relation, es macht erst Sinn, wenn man formuliert ''Tangentialebene der ...''

==Lösung User Aaliyah==

Es sei k eine Kugel. Eine Ebene E, die mit der Kugel k genau einen Berührpunkt B hat, nennt man Tangentialebene an der Kugel k.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 19:00, 4. Feb. 2013 (CET)


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 4

2013-02-05T13:48:48Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



{| class="wikitable"

|-
| [[Datei:THales_00.png|300px]] || [[Datei:THales 01.png| 300px]]
|-
|Abbildung 02 || Abbildungs 03
|}

=Aufgabe a=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>, auf <math>k</math> seien drei nichtkollineare Punkte <math>A, B, C</math> gegeben. 
Voraussetzung 1: <math> M \in \overline{AB}</math>, 
Voraussetzung 2: <math>A, B, C \in k</math>, 
Behauptung <math>|\gamma|=|\angle ACB|=90</math>° 
Für den folgenden Beweis beziehen wir uns auf Abb. 03. Hier wurde der Durchmesser <math>\overline{CD}</math> eingezeichnet und zum Viereck <math>\overline{ACBD}</math> ergänzt. Die Korrektheit dieser Konstruktion muss nicht begründet werden. Ergänzen Sie das folgende Beweisfragment:

==Lösung ...lw)...==
{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (I) || <math>\overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB}</math> || ...Vor., Definition Abstand eines Punktes von k zu M (Radius eines Kreises)
|-
| (II) ||<math>|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180</math>° || ...Vor., Sehnenviereckskriterium (?)oder Basiswinkelsatz und Rechnen in R (?)
|-
| (III) || <math>\varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2</math> || ... Vor., Def. Scheitelwinkel, (I), SWS
|-
| (IV) || <math>\overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD}</math> || ... (III), Def. Dreieckskongruenz
|-
|(V)|| <math>\delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2</math> || ... (IV), (II), Rechnen in R
|-
|(VI)||<math> |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180</math>° || ... (V), Rechnen in R
|-
|(VIII)|| <math>|\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90</math>° || ... (VI), Rechnen in R
|-
|(VII)|| <math>2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180</math>° || ...
|}

==Lösung User ...--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:46, 5. Feb. 2013 (CET)==
{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (I) || <math>\overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB}</math> || ... Vor.2, Def. Sehnenviereck
|-
| (II) ||<math>|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180</math>° || ...1), Sehnenvierecksktriterium
|-
| (III) || <math>\varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2</math> || ... kongruente Scheitelwinkel, Def. Scheitelwinkel
|-
| (IV) || <math>\overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD}</math> || ...1), 3), Kongruenzaxiom SWS
|-
|(V)|| <math>\delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2</math> || ...4), Def. Dreieckskongruenz
|-
|(VI)||<math> |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180</math>° || ... 2),5)
|-
|(VIII)|| <math>|\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90</math>° || ...6), rechnen in R
|-
|(VII)|| <math>2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180</math>° || ... 7), rechen in R
|}

=Aufgabe b=
Formulieren Sie den unter a) bewiesenen Satz in allgemeinerer Form unter Verwendung der Begriffe Dreieck und Umkreis in der Form Wenn-Dann.

==Lösung User ...lw)...==
Wenn ein alle drei Punkte A,B,C eines Dreiecks auf dessen Umkreis k liegen und die Basis <math>\overline{AB}</math> ein Druchmesser von k ist, dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 11:06, 5. Feb. 2013 (CET) 
geht so leider gar nicht--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:19, 5. Feb. 2013 (CET)
==Lösung User ...--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:48, 5. Feb. 2013 (CET)==
 
Wenn bei einem Dreieck ABC mit dem Umkreis k, der Mittelpunkt M, von dem Kreis k, Teil der Srecke AB ist, dann ist der Winkel ACB = 90.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:48, 5. Feb. 2013 (CET)


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 4

2013-02-05T13:46:03Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



{| class="wikitable"

|-
| [[Datei:THales_00.png|300px]] || [[Datei:THales 01.png| 300px]]
|-
|Abbildung 02 || Abbildungs 03
|}

=Aufgabe a=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>, auf <math>k</math> seien drei nichtkollineare Punkte <math>A, B, C</math> gegeben. 
Voraussetzung 1: <math> M \in \overline{AB}</math>, 
Voraussetzung 2: <math>A, B, C \in k</math>, 
Behauptung <math>|\gamma|=|\angle ACB|=90</math>° 
Für den folgenden Beweis beziehen wir uns auf Abb. 03. Hier wurde der Durchmesser <math>\overline{CD}</math> eingezeichnet und zum Viereck <math>\overline{ACBD}</math> ergänzt. Die Korrektheit dieser Konstruktion muss nicht begründet werden. Ergänzen Sie das folgende Beweisfragment:

==Lösung ...lw)...==
{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (I) || <math>\overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB}</math> || ...Vor., Definition Abstand eines Punktes von k zu M (Radius eines Kreises)
|-
| (II) ||<math>|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180</math>° || ...Vor., Sehnenviereckskriterium (?)oder Basiswinkelsatz und Rechnen in R (?)
|-
| (III) || <math>\varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2</math> || ... Vor., Def. Scheitelwinkel, (I), SWS
|-
| (IV) || <math>\overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD}</math> || ... (III), Def. Dreieckskongruenz
|-
|(V)|| <math>\delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2</math> || ... (IV), (II), Rechnen in R
|-
|(VI)||<math> |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180</math>° || ... (V), Rechnen in R
|-
|(VIII)|| <math>|\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90</math>° || ... (VI), Rechnen in R
|-
|(VII)|| <math>2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180</math>° || ...
|}

==Lösung User ...--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:46, 5. Feb. 2013 (CET)==
{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (I) || <math>\overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB}</math> || ... Vor.2, Def. Sehnenviereck
|-
| (II) ||<math>|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180</math>° || ...1), Sehnenvierecksktriterium
|-
| (III) || <math>\varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2</math> || ... kongruente Scheitelwinkel, Def. Scheitelwinkel
|-
| (IV) || <math>\overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD}</math> || ...1), 3), Kongruenzaxiom SWS
|-
|(V)|| <math>\delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2</math> || ...4), Def. Dreieckskongruenz
|-
|(VI)||<math> |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180</math>° || ... 2),5)
|-
|(VIII)|| <math>|\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90</math>° || ...6), rechnen in R
|-
|(VII)|| <math>2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180</math>° || ... 7), rechen in R
|}

=Aufgabe b=
Formulieren Sie den unter a) bewiesenen Satz in allgemeinerer Form unter Verwendung der Begriffe Dreieck und Umkreis in der Form Wenn-Dann.

==Lösung User ...lw)...==
Wenn ein alle drei Punkte A,B,C eines Dreiecks auf dessen Umkreis k liegen und die Basis <math>\overline{AB}</math> ein Druchmesser von k ist, dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 11:06, 5. Feb. 2013 (CET) 
geht so leider gar nicht--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:19, 5. Feb. 2013 (CET)
==Lösung User ...==


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 3

2013-02-05T13:40:15Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Unter Satz (I) wollen wir den Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck verstehen. Formulieren Sie diesen in der Wenn-Dann-Form.

==Lösung User Aaliyah==

Wenn ein Viereck ein Sehnenviereck ist, dann sind seine gegenüberliegenden Innenwinkel supplementär.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 19:04, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Satz (II) sei die Umkehrung von Satz (I). Formulieren Sie Satz (II).

==Lösung User Aaliyah==

Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Innenwinkel supplementär sind, dann ist das Viereck ein Sehnenviereck.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 19:06, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe c=

[[Datei:*m.g.*_Sehnenwinkel.png]] 
Abbildung 01 

Satz (I) sei bewiesen. Der Beweis von Satz (II) steht aus. Führen Sie den Beweis für eine Konstellation entsprechend der Skizze aus Abb. 01.

==Lösung User ...==
 [[Datei:3kriteriend.JPG| 500px]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:40, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe d=
Auch Satz (II) lässt sich vollständig beweisen. Formulieren Sie ein Sehnenviereckskriterium.

==Lösung User Aaliyah==

Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn seine gegenüberliegenden Innenwinkel supplementär sind.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 19:08, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:3kriteriend.JPG

2013-02-05T13:37:40Z

B.....: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
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|Andere Versionen =
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}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 2

2013-02-05T13:31:57Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Begründen Sie kurz und knapp, warum im gleichseitigen Dreieck alle Winkel zueinander kongruent sind.

==Lösung User ...==
 Da alle Seiten laut der Vorraussetzung kongruent sind, sind laut dem Basiswinkelsatz auch alle Innenwinkel kongruent.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:16, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Welcher Satz ist unabdingbar für den Beweis der Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade im Rahmen der absoluten Geometrie?

==Lösung User ...lw)...==
Mittelsenkrechtenkriterium

schwacher Außenwinkelsatz--LilPonsho 11:43, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
da es nur um die Eindeutigkeit des Lotes geht reicht der Außenwinkelsatz.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:19, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Ursprung <math>O</math> sei ein Einheitskreis <math>k</math> in Mittelpunktslage gegeben. Ferner seien <math>P \in k</math> und <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf die <math>x</math>-Achse. Beweisen Sie unter Bezug auf eine Skizze in der Euklidischen Geometrie: Wenn <math>|\angle LOP| =45</math>° dann ist <math>\overline{OPL}</math> gleichschenklig.

==Lösung User ...==
 Vor.: Dreieck OLP Laut Def. Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt ist der Winkel OLP = 90. 
Laut Def. Innenwinkelsumme ist der Winkel LPO = 45. 
Laut der Umkehrung des Basiswinkelsatzes ist somit das Dreieck OPL gleichschenklig--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:22, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe d=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Es sei bereits gezeigt:<math> |a|>|b| \Rightarrow |\alpha| > |\beta|</math>. Beweisen Sie in der absoluten Geometrie:<math> |\alpha|>|\beta| \Rightarrow |a| > |b|</math>.

==Lösung User ...==
 
Ann.: b ist kleiner gleich a 

Fall 1: b ist kleiner als a 
Widerspruch zur Vor. des schon bewiesenen Teils. 
Fall 2: b ist gleich a 
laut dem Basiswinkelsatz sind dann auch die Winkel alpha und beta gleich groß. 
Ist ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung. 
Somit ist die Annahme zu verwerfen.

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=
Es gelte: <math>|AB|=\frac{1}{3}, |BC|=\frac{1}{4}, |AC|=0,9</math>. Existiert <math>\overline{ABC}</math>? Begründen Sie Ihre Antwort.

==Lösung User ...==
 
laut Vor.: AB=0,9 BC=2,7 AC=3,6 
daraus folgt: AB+BC=AC 
Nach dem Axiom II/3 (Dreiecksungleichung) sind die Punkte kollinear koll(A,B,C) 
Somit ist nach Definition Dreieck zu folgern, dass das Dreieck ABC nicht existiert.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:31, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 2

2013-02-05T13:26:40Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Begründen Sie kurz und knapp, warum im gleichseitigen Dreieck alle Winkel zueinander kongruent sind.

==Lösung User ...==
 Da alle Seiten laut der Vorraussetzung kongruent sind, sind laut dem Basiswinkelsatz auch alle Innenwinkel kongruent.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:16, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Welcher Satz ist unabdingbar für den Beweis der Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade im Rahmen der absoluten Geometrie?

==Lösung User ...lw)...==
Mittelsenkrechtenkriterium

schwacher Außenwinkelsatz--LilPonsho 11:43, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
da es nur um die Eindeutigkeit des Lotes geht reicht der Außenwinkelsatz.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:19, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Ursprung <math>O</math> sei ein Einheitskreis <math>k</math> in Mittelpunktslage gegeben. Ferner seien <math>P \in k</math> und <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf die <math>x</math>-Achse. Beweisen Sie unter Bezug auf eine Skizze in der Euklidischen Geometrie: Wenn <math>|\angle LOP| =45</math>° dann ist <math>\overline{OPL}</math> gleichschenklig.

==Lösung User ...==
 Vor.: Dreieck OLP Laut Def. Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt ist der Winkel OLP = 90. 
Laut Def. Innenwinkelsumme ist der Winkel LPO = 45. 
Laut der Umkehrung des Basiswinkelsatzes ist somit das Dreieck OPL gleichschenklig--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:22, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe d=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Es sei bereits gezeigt:<math> |a|>|b| \Rightarrow |\alpha| > |\beta|</math>. Beweisen Sie in der absoluten Geometrie:<math> |\alpha|>|\beta| \Rightarrow |a| > |b|</math>.

==Lösung User ...==
 
Ann.: b ist kleiner gleich a 

Fall 1: b ist kleiner als a 
Widerspruch zur Vor. des schon bewiesenen Teils. 
Fall 2: b ist gleich a 
laut dem Basiswinkelsatz sind dann auch die Winkel alpha und beta gleich groß. 
Ist ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung. 
Somit ist die Annahme zu verwerfen.

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=
Es gelte: <math>|AB|=\frac{1}{3}, |BC|=\frac{1}{4}, |AC|=0,9</math>. Existiert <math>\overline{ABC}</math>? Begründen Sie Ihre Antwort.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 2

2013-02-05T13:22:24Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Begründen Sie kurz und knapp, warum im gleichseitigen Dreieck alle Winkel zueinander kongruent sind.

==Lösung User ...==
 Da alle Seiten laut der Vorraussetzung kongruent sind, sind laut dem Basiswinkelsatz auch alle Innenwinkel kongruent.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:16, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Welcher Satz ist unabdingbar für den Beweis der Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade im Rahmen der absoluten Geometrie?

==Lösung User ...lw)...==
Mittelsenkrechtenkriterium

schwacher Außenwinkelsatz--LilPonsho 11:43, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
da es nur um die Eindeutigkeit des Lotes geht reicht der Außenwinkelsatz.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:19, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Ursprung <math>O</math> sei ein Einheitskreis <math>k</math> in Mittelpunktslage gegeben. Ferner seien <math>P \in k</math> und <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf die <math>x</math>-Achse. Beweisen Sie unter Bezug auf eine Skizze in der Euklidischen Geometrie: Wenn <math>|\angle LOP| =45</math>° dann ist <math>\overline{OPL}</math> gleichschenklig.

==Lösung User ...==
 Vor.: Dreieck OLP Laut Def. Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt ist der Winkel OLP = 90. 
Laut Def. Innenwinkelsumme ist der Winkel LPO = 45. 
Laut der Umkehrung des Basiswinkelsatzes ist somit das Dreieck OPL gleichschenklig--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:22, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe d=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Es sei bereits gezeigt:<math> |a|>|b| \Rightarrow |\alpha| > |\beta|</math>. Beweisen Sie in der absoluten Geometrie:<math> |\alpha|>|\beta| \Rightarrow |a| > |b|</math>.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=
Es gelte: <math>|AB|=\frac{1}{3}, |BC|=\frac{1}{4}, |AC|=0,9</math>. Existiert <math>\overline{ABC}</math>? Begründen Sie Ihre Antwort.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 2

2013-02-05T13:19:02Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Begründen Sie kurz und knapp, warum im gleichseitigen Dreieck alle Winkel zueinander kongruent sind.

==Lösung User ...==
 Da alle Seiten laut der Vorraussetzung kongruent sind, sind laut dem Basiswinkelsatz auch alle Innenwinkel kongruent.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:16, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Welcher Satz ist unabdingbar für den Beweis der Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade im Rahmen der absoluten Geometrie?

==Lösung User ...lw)...==
Mittelsenkrechtenkriterium

schwacher Außenwinkelsatz--LilPonsho 11:43, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
da es nur um die Eindeutigkeit des Lotes geht reicht der Außenwinkelsatz.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:19, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Ursprung <math>O</math> sei ein Einheitskreis <math>k</math> in Mittelpunktslage gegeben. Ferner seien <math>P \in k</math> und <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf die <math>x</math>-Achse. Beweisen Sie unter Bezug auf eine Skizze in der Euklidischen Geometrie: Wenn <math>|\angle LOP| =45</math>° dann ist <math>\overline{OPL}</math> gleichschenklig.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==

=Aufgabe d=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Es sei bereits gezeigt:<math> |a|>|b| \Rightarrow |\alpha| > |\beta|</math>. Beweisen Sie in der absoluten Geometrie:<math> |\alpha|>|\beta| \Rightarrow |a| > |b|</math>.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=
Es gelte: <math>|AB|=\frac{1}{3}, |BC|=\frac{1}{4}, |AC|=0,9</math>. Existiert <math>\overline{ABC}</math>? Begründen Sie Ihre Antwort.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 2

2013-02-05T13:16:36Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Begründen Sie kurz und knapp, warum im gleichseitigen Dreieck alle Winkel zueinander kongruent sind.

==Lösung User ...==
 Da alle Seiten laut der Vorraussetzung kongruent sind, sind laut dem Basiswinkelsatz auch alle Innenwinkel kongruent.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:16, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Welcher Satz ist unabdingbar für den Beweis der Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade im Rahmen der absoluten Geometrie?

==Lösung User ...lw)...==
Mittelsenkrechtenkriterium

schwacher Außenwinkelsatz--LilPonsho 11:43, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe c=
Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Ursprung <math>O</math> sei ein Einheitskreis <math>k</math> in Mittelpunktslage gegeben. Ferner seien <math>P \in k</math> und <math>\overline{PL}</math> das Lot von <math>P</math> auf die <math>x</math>-Achse. Beweisen Sie unter Bezug auf eine Skizze in der Euklidischen Geometrie: Wenn <math>|\angle LOP| =45</math>° dann ist <math>\overline{OPL}</math> gleichschenklig.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==

=Aufgabe d=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Es sei bereits gezeigt:<math> |a|>|b| \Rightarrow |\alpha| > |\beta|</math>. Beweisen Sie in der absoluten Geometrie:<math> |\alpha|>|\beta| \Rightarrow |a| > |b|</math>.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=
Es gelte: <math>|AB|=\frac{1}{3}, |BC|=\frac{1}{4}, |AC|=0,9</math>. Existiert <math>\overline{ABC}</math>? Begründen Sie Ihre Antwort.

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 1

2013-02-05T13:08:49Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Ergänzen Sie <math>\overline{AB}:= \ldots</math> .
==Lösung User Ron==
{P/ Zw (A,P,B)} U {A,B}
===Bewertung===
2 von 2 Punkten

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Definieren Sie den Begriff ''komplanar'' für die Anzahl von Punkten, ab der der Begriff sinnvoll ist.

==Lösung User ...==

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
===Bewertung===
1 von 2 Punkten --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:01, 4. Feb. 2013 (CET)

Vier Punkte heißen komplanar, wenn sie in ein und derselben Ebene liegen.--[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 20:01, 4. Feb. 2013 (CET)

Vier Punkte A, B, C, und D sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle diese Punkte enthält. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:45, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
Drei Punkte heißen komplanar, wenn es ein Ebene gibt, die alle Punkte A,B,C enthällt. 
komp(A,B,C) 
(AxiomI/4) --[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:08, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Definieren Sie den Begriff ''Raute'' unter Verwendung des Oberbegriffs ''Viereck''.

==Lösung User Ron==

Ein Viereck ist eine Raute, wenn alle vier Seiten gleich lang sind.
===Bewertung===
2 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:02, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Lösung ...lw)... ===
Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler und 3 gleichlangen Seiten. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:46, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Ron==

Wenn ein Viereck eine Raute ist, dann sind alle vier Seiten des Vierecks gleich lang.
===Bewertung===
0 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:03, 4. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe d=
Nur unter Verwendung der Eigenschaft <math>E_1</math> sei der Begriff <math>B</math> korrekt definiert. Es stellt sich heraus, dass <math>B</math> ebenso korrekt über die Eigenschaft <math>E_2</math> hätte definiert werden können. Was ist <math>E_1</math> hinsichtlich einer Entscheidung, ob ein Repräsentant <math>R</math> zum Begriff <math>B</math> gehört?

==Lösung User Ron==

Ein Kriterium
===Bewertung===
2 von 2 Punkten

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=

Es sei <math>R</math> ein beliebiger Punkt und <math>r \in \mathbb{R}, r>0</math>. Was ist das? <math>M:=\left\{P||RP|\leq r \right\}</math>.

==Lösung User ...==

Eine Kugel
===Bewertung===
1 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:04, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Aaliyah==

Es ist eine Kugel um P mit dem Radius r inklusive ihres Inneren.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 18:55, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Lösung User ...lw)... ===
M ist eine Kugel mit dem Radius RP. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:50, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe f=
Definieren Sie den Begriff ''Rechter Winkel'' wie in der Vorlesung.

==Lösung User Ron==

Ein Winkel, der so groß ist, wie einer seiner Nebenwinkel, nennt man rechter Winkel.

===Bewertung===
2 von 2 Punkten mit sehr großen Bauchschmerzen: 
Wen oder was nennt man rechter Winkel? Ein'''en''' Winkel, der ...--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:06, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Aaliyah==

Wenn ein Winkel so groß ist, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist der Winkel ein Rechter.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 18:57, 4. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe g=
Ergänzen Sie die folgende Definition: Zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> sind windschief, wenn <math>\ldots</math>

==Lösung User Ron==

,wenn sie nicht parallel sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt(schnittfrei sind) haben
===Bewertung===
2 von 2 Punkten, besser ''schnittpunktfrei'' --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:08, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe h=
Definieren Sie den Begriff Tangentialebene einer Kugel.

==Lösung User Ron==

Eine Ebene, welche eine Kugel in einem Punkt berührt, nennt man Tangentialebene

===Bewertung===
1 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:10, 4. Feb. 2013 (CET) 
Tangentialebene sein ist eine zweistellige Relation, es macht erst Sinn, wenn man formuliert ''Tangentialebene der ...''

==Lösung User Aaliyah==

Es sei k eine Kugel. Eine Ebene E, die mit der Kugel k genau einen Berührpunkt B hat, nennt man Tangentialebene an der Kugel k.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 19:00, 4. Feb. 2013 (CET)


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 12.06 WS 12 13

2013-01-31T15:53:03Z

B.....: /* Bemerkungen --*m.g.* 09:48, 31. Jan. 2013 (CET) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Aufgabe 12.06=
Beweisen Sie: Die Höhen eines Dreiecks (bzw. die Geraden, die durch die Höhen eindeutig bestimmt sind) schneiden einander in genau einem Punkt. 
Hilfe: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Von diesem Dreieck wissen Sie bereits, dass sich seine Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Konstruieren aus <math>\overline{ABC}</math> ein weiteres Dreieck, indem sie die drei Parallelen konstruieren, die sie erhalten, wenn sie die Parallele jeweils durch einen Eckpunkt von <math>\overline{ABC}</math> zur gegenüberliegenden Seite legen.

=Lösung User Caro44=

Skizze:
[[Datei:Caro44_Skizze_1.JPG]]

Beweis:
[[Datei:Caro44_Beweis_Paralleln.JPG]]

--[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 13:53, 30. Jan. 2013 (CET)

=Lösung User B.....=
 
geht es auch mit der Winkelkongruenz? 
[[Datei:12.6.JPG| 500px]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 22:59, 30. Jan. 2013 (CET)
==Bemerkungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:48, 31. Jan. 2013 (CET)==
# Das Parallelenaxiom können Sie nicht zur Begründung der Konstruktion der Parallelen verwenden. Grund: Das Parallelenaxiom fordert nicht die Existenz von Parallelen. Es bezieht sich lediglich auf die Eindeutigkeit der Parallelen. Bereits in der absoluten Geometrie können wir zeigen: Durch jeden Punkt<math> P</math> außerhalb einer Geraden <math>g</math> geht eine zu <math>g</math> parallele Gerade <math>h</math>. Was wir nicht beweisen können und deshalb axiomatisch fordern, ist die Tatsache, dass es höchstens eine solche Gerade geben kann.
#Die korrekte Begründung der Parallelen muss also lauten: Existenz der Parallelen.
# Die weitere Lösung ist nicht ganz korrekt begründet: Nur mit dem Wechselwinkelsatz werden Sie die Kongruenz der Winkel nicht begründen können, Sie werden auch den Stufenwinkelsatz einsetzen müssen. Die Kongruenz der äußeren Dreiecke zueinander kann man nur dadurch begründen, dass jedes äußere Dreieck jeweils zum inneren Dreieck nach SWS kongruent ist. Wegen der Transitivität der Relation Dreieckskongruenz sind jetzt die äußeren Dreiecke jetzt auch zueinander kongruent.
#Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot von einem Eckpunkt auf die Gerade, die durch die gegenüberliegende Seite eindeutig bestimmt ist. Das bringt ein wenig Probleme bei der Formulierung. Mittelsenkrechten sind Geraden und können damit nicht identisch mit Höhen sein. Es geht aber schließlich darum, dass die Geraden, die durch die Höhen eindeutig bestimmt sind, mit den Mittelsenkrechten zusammenfallen. Hier sollten wir aber nicht päpstlicher als der Papst sein.
Alles in allem aber eine schöne Lösung.

Die Konstellation hier noch mal zum dynamischen Verändern: (A, B, C können verschoben werden)

<ggb_applet width="523" height="339" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Ihre Anmerkungen 1,2 und 4 kann ich nachvollziehen. Beim Punkt drei verstehe ich nicht für welche Winkel sie den Stufenwinkelsatz verwenden. 
Die an Nebenwinkel des mittleren Dreieck müssten doch für WSW/Dreieckskongruenz reichen - irgendwo habe ich wohl noch ein Denkfehler:

 
[[Datei:12.6.1.JPG| 500px]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:53, 31. Jan. 2013 (CET) 


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:12.6.1.JPG

2013-01-31T15:41:05Z

B.....: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
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}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Lösung von Aufgabe 12.06 WS 12 13

2013-01-30T21:59:44Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Aufgabe 12.06=
Beweisen Sie: Die Höhen eines Dreiecks (bzw. die Geraden, die durch die Höhen eindeutig bestimmt sind) schneiden einander in genau einem Punkt. 
Hilfe: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Von diesem Dreieck wissen Sie bereits, dass sich seine Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Konstruieren aus <math>\overline{ABC}</math> ein weiteres Dreieck, indem sie die drei Parallelen konstruieren, die sie erhalten, wenn sie die Parallele jeweils durch einen Eckpunkt von <math>\overline{ABC}</math> zur gegenüberliegenden Seite legen.

=Lösung User Caro44=

Skizze:
[[Datei:Caro44_Skizze_1.JPG]]

Beweis:
[[Datei:Caro44_Beweis_Paralleln.JPG]]

--[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 13:53, 30. Jan. 2013 (CET)

=Lösung User ...=
 
geht es auch mit der Winkelkongruenz? 
[[Datei:12.6.JPG|500px|thumb|left]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 22:59, 30. Jan. 2013 (CET)


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:12.6.JPG

2013-01-30T21:55:18Z

B.....: hat eine neue Version von „Datei:12.6.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
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Datei:12.6.JPG

2013-01-30T21:53:17Z

B.....: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
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Lösung Aufgabe 11.01 WS 12 13

2013-01-24T15:56:38Z

B.....: /* Lösung User ... */

=Aufgabe 11.01=
Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.

=Lösung User ...=
 
Wenn in einem Dreieck zwei Innenwinkel kongruent sind, so ist das Dreieck ein gleichschenkliges.
 --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:56, 24. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_S]]

=Lösung User ...=

Lösung Aufgabe 11.06 WS 12 13

2013-01-24T15:55:10Z

B.....: Die Seite wurde neu angelegt: „left --~~~~ Kategorie:Einführung_S“

[[Datei:11.6.JPG|1000px|thumb|left]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:55, 24. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:11.6.JPG

2013-01-24T15:53:29Z

B.....: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
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== Lizenz ==
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Lösung Aufgabe 11.03 WS 12 13

2013-01-24T15:45:58Z

B.....: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Aufgabe 11.03=
Es sei <math>\alpha</math> ein Winkel mit den Schenkeln <math>g</math> und <math>h</math> und dem Scheitel <math>S</math>. Ferner sei <math>w</math> die Winkelhalbierende von <math>\alpha</math>, also ein Strahl im Inneren von <math>\alpha</math>, der als Anfangspunkt S hat und <math>\alpha</math> in zwei kongruente Teilwinkel <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> teilt. Auf <math>w</math> sei ein beliebiger von <math>S</math> verschiedener Punkt <math>P</math> gegeben. <math>F_g</math> sei der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>h</math>: 

<ggb_applet width="558" height="463" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 
Wir konstruieren jetzt auf dem Schenkel <math>h</math> den Punkt <math>F_h</math>, indem wir auf <math>h</math> den Abstand <math>|SF_g|</math> abtragen:
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Beweisen Sie: <math>F_h</math> ist der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>g</math>. 
=Berichtigung der Erstfassung=
(Muss es nicht korrekterweise heißen: Beweisen Sie: <math>F_h</math> ist der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>h</math>??? --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 16:29, 21. Jan. 2013 (CET) 
War natürlich ein Fehler, hab's geändert, danke. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:34, 21. Jan. 2013 (CET))
=Anfrage Sallie Field=
Dürfen wir bei diesem Beweis die euklidische Geometrie anwenden und einfach über die Innenwinkelsumme im Dreieck gehen? 
Warum wollen Sie das tun? Es geht problemlos mit den Mitteln der absoluten Geometrie. Die Verwendung der Innenwinkelsumme würde die Sache nur komplizierter machen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:25, 23. Jan. 2013 (CET)

=Lösung User ...=

[[Datei:11.03.JPG|500px|thumb|left]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:45, 24. Jan. 2013 (CET)--[[Benutzer:B.....|B.....]] 00:52, 24. Jan. 2013 (CET)


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:11.03.JPG

2013-01-24T15:45:10Z

B.....: hat eine neue Version von „Datei:11.03.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Datei:11.03.JPG

2013-01-24T15:42:13Z

B.....: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
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|Datum =
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|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Lösung Aufgabe 11.01 WS 12 13

2013-01-24T15:25:58Z

B.....: /* Lösung User ... */

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:23:54Z

B.....: /* Aufgabe 11.02 */

== Aufgabe 11.02 ==

Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=
== Lösung User ... ==
= --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:21, 24. Jan. 2013 (CET)
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) 

................................................. 

[[Kategorie:Einführung_S]]

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...... An., Axiom von Pasch
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... [[Winkelkonstruktionsaxiom]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... [[C* =C]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:21:50Z

B.....: /* Lösung User ... */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...= --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:21, 24. Jan. 2013 (CET)
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) 

................................................. 

[[Kategorie:Einführung_S]]

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...... An., Axiom von Pasch
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... [[Winkelkonstruktionsaxiom]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... [[C* =C]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:21:24Z

B.....: /* Was wäre wenn nicht */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) 

................................................. 

[[Kategorie:Einführung_S]]

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...... An., Axiom von Pasch
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... [[Winkelkonstruktionsaxiom]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... [[C* =C]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:20:59Z

B.....: /* Ergänzen Sie den folgenden Beweis */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) 

................................................. 

[[Kategorie:Einführung_S]]

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...... An., Axiom von Pasch
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... [[Winkelkonstruktionsaxiom]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... [[C* =C]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:19:09Z

B.....: /* (H) Hilfskonstruktion: */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET) 

................................................. 

[[Kategorie:Einführung_S]]

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:12, 24. Jan. 2013 (CET)
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...... An., Axiom von Pasch
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)
|}--[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:16, 24. Jan. 2013 (CET)

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... [[Winkelkonstruktionsaxiom]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... [[C* =C]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:18:27Z

B.....: /* Was wäre wenn nicht */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET) 

................................................. 

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:12, 24. Jan. 2013 (CET)
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...... An., Axiom von Pasch
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| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
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| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)
|}--[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:16, 24. Jan. 2013 (CET)

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... [[Winkelkonstruktionsaxiom]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... [[C* =C]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:18, 24. Jan. 2013 (CET)identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:16:31Z

B.....: /* Was wäre wenn nicht */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET) 

................................................. 

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:12, 24. Jan. 2013 (CET)
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...... An., Axiom von Pasch
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ... 1), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...2), Basiswinkelsatz
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ... Vor.
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ... 4),3)
|}--[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:16, 24. Jan. 2013 (CET)

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:12:57Z

B.....: /* (H) Hilfskonstruktion: */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte) --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET) 

................................................. 

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:12, 24. Jan. 2013 (CET)
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:12:24Z

B.....: /* Was wäre wenn */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET) 

................................................. 

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:12, 24. Jan. 2013 (CET)
 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:11:17Z

B.....: /* Was wäre wenn */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET) 

................................................. 

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
 Mittelsenkrechtenkriterium 
..................................................

===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:09:41Z

B.....: /* (H) Hilfskonstruktion: */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET) 

................................................. 

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

2013-01-24T15:08:26Z

B.....: /* (H) Hilfskonstruktion: */

=Aufgabe 11.02=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. 
Behauptung: 
:::<math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math>
 

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
................................................. 
Existens- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:B.....|B.....]] 16:08, 24. Jan. 2013 (CET)

===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

=Lösung User ...=
==Ergänzen Sie den folgenden Beweis==
===(H) Hilfskonstruktion: ===
<math>m_c</math> sei die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
 
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann: 
.................................................
===Was wäre wenn===
Wenn die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch <math>C</math> gehen würde, wären die Strecken <math>\overline{CA}</math> und <math>\overline{CB}</math> kongruent zueinander. 
Begründung hierfür: 
..................................................
===Was wäre wenn nicht===
Annahme: <math>C \not \in m_c</math>

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
|-
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
|-
| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|-
| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
|-
| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
|}

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz: 

Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein. 
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.

Lösung Aufgabe 11.09 WS 12 13

2013-01-24T14:59:24Z

B.....:

Lösung Aufgabe 11.08 WS 12 13

2013-01-24T14:57:49Z

B.....:

Lösung Aufgabe 11.09 WS 12 13

2013-01-23T23:55:11Z

B.....:

Lösung Aufgabe 11.09 WS 12 13

2013-01-23T23:52:26Z

B.....: Die Seite wurde neu angelegt: „left left --~~~~“

Lösung Aufgabe 11.08 WS 12 13

2013-01-23T23:49:16Z

B.....: Die Seite wurde neu angelegt: „left left left --~~~~“

Datei:11.09a.JPG

2013-01-23T23:39:24Z

B.....: hat eine neue Version von „Datei:11.09a.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
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Datei:11.09b.JPG

2013-01-23T23:38:20Z

B.....: hat eine neue Version von „Datei:11.09b.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
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Datei:11.09b.JPG

2013-01-23T23:33:18Z

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2013-01-23T23:31:54Z

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2013-01-23T23:30:30Z

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2013-01-23T23:29:51Z

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2013-01-23T23:29:13Z

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== Beschreibung ==
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Lösung von Aufg. 10.4 WS 12 13

2013-01-16T21:52:09Z

B.....: /* Lösung von User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Aufgabe 10.4 =
Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewiesen wurde.
=Lösung von User ...=
 
[[Datei:10.4.JPG|500px|thumb|left]] --[[Benutzer:B.....|B.....]] 

=Lösung von User ...=


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]