Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-26T12:45:29Z

Barbarossa: /* Beweis */

== Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==

===Definition (Zentriwinkel, Mittelpunktswinkel)===
Ist M der Mittelpunkt des Kreises k, so bezeichnet man einen Winkel <math> \angle AMB </math> als den zughörigen Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel).

=== Satz:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß, wie ein zugehöriger Zentriwinkel.

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:59, 23. Jul. 2010 (UTC): Vorsicht mit den Artikeln: Wie viele Zentriwinkel sind einem Peripheriewinkel zugehörig? In der Definition war es korrekt.

==== Beweis ====
 Ich hab mir Gedanken zu den Fallunterscheidungen gemacht, komme aber irgendwie nicht weiter. Ich stelle meine Notizen mal hier ein, kann mir jemand weiter helfen?

[[Bild:Teil_1.jpg]]
 [[Bild:Teil_2.jpg]]

--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 13:22, 25. Jul. 2010 (UTC)
 Jaaaaaaaaa :-) Ich glaube, ich hatte gerade DIE Eingebung, zumindest bezüglich der Fallunterscheidungen ;-). Und zwar:
Laut dem Peripheriewinkelsatz sind alle Peripheriewinkel eines Kreises über einer Sehne gleich groß. Ich kann also sagen, dass ich den Scheitelpunkt des Peripheriewinkels so wähle, dass er auf der Mittelsenkrechten der Sehne liegt. Damit würden zumindest die Fälle 2 und 5 wegfallen. Hm, naja, ob es allerdings viel hilft? Denn schließlich wären ja gerade Fall 3 und 4 die "unmöglichen Beweise"... Egal, Hauptsache Eingebung :-) --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 12:45, 26. Jul. 2010 (UTC)

Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-25T13:22:38Z

Barbarossa:

Datei:Teil 2.jpg

2010-07-25T13:17:50Z

Barbarossa: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Datei:Teil 1.jpg

2010-07-25T13:10:56Z

Barbarossa: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Satz des Thales

2010-07-25T08:38:55Z

Barbarossa: /* Umkehrung 2: Satz des Thales */

=Ein wenig Didaktik=
Hier geben Ihnen die Didaktikspezialisten Tipps zum Satz des Thales

=Satzfindung=

==Induktive Satzfindung==

<ggb_applet width="885" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 12:10, 21. Jul. 2010 (UTC)

==Funktionale Betrachtung==

===Variante 1===
<ggb_applet width="1005" height="544" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:47, 15. Jul. 2010 (UTC)

===Variante 2===

<ggb_applet width="884" height="510" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)

===Variante 3===
<ggb_applet width="884" height="510" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)

=Beweisfindung=

==ikonisches/halbikonisches Beweisen==

<ggb_applet width="1080" height="620" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 17:07, 15. Jul. 2010 (UTC)

==Beweisen am Beispiel==
<ggb_applet width="1156" height="522" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=induktive Satzfindung der allgemeinen Umkehrung=

<ggb_applet width="1209" height="575" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGRj6jwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vvdctu4Fb7uPgWqzmSmM2uaIAH+JHY8sr1tM0kbJ84mM3uzQ5GQhIgCFRKMJT9PX6A3vcpd7vtMPQBI/UsW/ZNYmfWFKYIQcPB93zk4BKCjk/EwRZ9ZXvBMHLewZbcQE3GWcNE7bpWyexC0Tp7/dNRjWY918gh1s3wYyeOWazktVV7y5z/96ajoZ1coSnWV95xdHbe6UVqwFipGOYuSos+YXCiPyjFPeZRPXnc+slgWswemkRdiVEIvMi+hLB4mr3hR3x7qDkcpl+f8M09YjtIsPm55FEyHT+9ZLnkcpcctYpsS57jlLD2EIlc97Wc5v86EVNVnjXehBKGCXzNAxFFlR4d6oEesjFOe8EiowWg7oBJCVzyRfVXXDqFNxnt9MJb6rmkuzrI8uZwUkg3R+DeWZ8oeVyE9MXfEtdVdAYZBj1TfTObvdDPs8yWTEngpUDRmM8R6OU8Wbl4Up1k6KxplXMizaCTLXJPqVkWXcqI6gL5yZXBb9FJWlWHAvM/iQScbXxoUXNP0u8lIf0Ub1OmdZWmWo1yNh0KF6toxV11HWTqtZes6tq5RtaEanT7HoaNr6GvHXHWtlAtjWjVyXI8a23U3vECqQMEIWpwOPo06DLhtoVJw+aq+AQ0MZkNVX/hXOeyAE8yrYNomvq82jw6X9HM0YLlgqRGJAG7LrCzQZ6VG05c2JGExH8KteVBBEim6fgUDTGnCejmrDTcuZADTT+15IS4VHx3WRigbCrA1lhALYDxSjeXX4YD181L0MHrXB0UWyncl+M1x693H6OTkpIWSSEJFFQ1YyoYMfEdqmWiVTeFq/45b01CRaa9fRnRuzGBKwrUdqv7rqvrQPIRvr9WUVl+UjvoRlNRuk0YTCBHzMOje/pkli+BEAkA2PUo2Ug0oGkeMJVVYlJX20Qia1J60YC9AW6AxOKwVEnBfbQF8uDbf1pWM26mIoTt2K00Y0G6A780qeCY4Vs9nun0QdLp8zBJTMutpNuhQhyzTbqMhx9lwGIkEiWgIQz7jeZwyPVKuJgAU2UY4KMIKAjO+UtaPYtNc1cgKgiAiHk8RiluLoUT2wWMFKwrlU1N2Dx9Yo/btOdjJdJh8mPgMlmR5gdDYrsQ7sWty6pIxIHpgphpcFV3jOebAGXI+Ru26fruu1dbzqRU69uwPGGq7VQ9tAg0bL2hT0wepbPskjP2FiZPgXTHv8ni7KN5GkyVFvDF6UMJYVkS0XRE5tFUzGd23Hh6A8pmHGRiVjx1A6kDD+T9P+5xtuV4ToSyRwYeQUsVcTiFNVZB7ISRMYUxPCasz04CxkUoJXot3eSQKlRsuxojNrE4bXuI2NtxGK8ye1WHgYjvFi2HzbN2ssxA4NxDoEc2gunTM5e4c3jpKbhvhxa0mhvsb3g0zg2MFwVygsJ0aAT9c/LvLvHGhEVkW0rKC2k2E074VrNgxebC+NpxzX3e7BZMKM+PnjrMN9vtKV3yLejQIXJf41KWeX8UYx6LU8Rzihz5xsE8bZjI3RfD2phm9s3v87uxX/F6D6EQhSlyCsedRh3jEdaiJ5Y5jhb7rOS72PT+kfuDvT2TfyPbFCtvJ7mwn+8a25y6w7Rq/IpYXzLubo+n2rZB6gWvbAXF9n2K8P2yvT9kN4X4N4BzlvSYpe28PSH9EWTkmlk8DEhAckBDU5IXLafmaaK9y9NXYdId8fVNm1zOi6KxI4tQ8aDI7n37npGfm6di2wpBQzw6x6wPkQaAd3QVEbUDSDbEHyQAO7v+12KAWrvGxfhMf6//hY0187AD7lkMwxTTAFDwsdB+Tj/WNKJIVSZw397Hzb+tjs/T3wPHMZOnv5oLApRPY1Ce2G7gepZA0VblVQBX+EAqpTbzQo3dxwlegwSW0zzdFNLYdZyXnKYxsD/zvtmnsgWtBPkMoUZkOwWFAVhb0b5nZNOLpdJNXdBvw1N03npokoIRaNLAdDxPiwVxGyIPTtCmCdQ1XbIWrs0bLPo8mPyChRQm2qRtADAodatY/ICWAWcQOfM8JfJe49fs1teCtz4eAFYK7BI7v3SZSXbKeKl+fL5yuAMu3A1tUrdXQ8Vv6wS6LbvfvBp6FbZgcbByEtksc36myM+IEHrxpeR72IE8z6FNiKYIgbbOxC69ihO7Pa9h6zqvAd7bC+cdmnH/cK86JBZ7lhKHv+KHjERJW2YQVwNxEffDE0MaObbIB37Ncx/VgbrJ9eGVy9mgJfT3nZ4bz8xXOB804H+wT58tujuudkkU/p67mPLBsHyZG0EjghZjSPVpuWc95lYi2VzhPm3Ge7hPnS25ODefLXl4lothddPPgvjKcB+GcjUc5WKJW9ytQ37GxhAHCg+PWk09lJp9doBJU8QYVHC7XV4yjLiskQxelGEhmofbp2TliXKC3LO5LFg8s9OQv2H52yq5Yr6qG2pYu+5ChQSQEaqOUw0NxYqrO/v3GeNwXTLXH0OtcFoAbB2LAwPbPCCxgQ5SU8P1cdVbo70RiACgNCqkNjcouehKNsuLZ5ajMUSTMDarqWGZQGohFjUoYeWsRhu+pv0JGudT7TUgv/ziQx1XCcxc2SW7m01ng82+AYil6GuIcTY/doIQV1cmbIpLXrNgdKOe7AqUP0RUs593ZYUB9lgxQKupzUusg9S08f7TAnvq1vVTaBGt3AevzEnU4CDMxYLeFvMpysBZEzvIT9FJpkqEkKtDLr/8uJJQKpVilai3mUf71S5dBSI77f17yFP3vPQSCEr6l/W+RyksgcY5T0+Z1qc9VluB9ORNPTeHuRLuPzSM0Y8RaXPXcvKHdybKURWJq71CPB/oo2UocvcsJqN0HOVuMgjdlsxvrbd2OjaOR3ozVZRdaHgKps6kghWEpgf3ddEoWdPqBCdPKBy4GLEUX7TdaUjrKQvEFuNcIJMvZla6ghaPqXzIVrS/eIFD5zyBkaMaCv90lRXaX1PpjUOIb6s1ee8KANosQdAF5FR0AvvMyj/tDqAyWKad9mTNewDVR5Wrqq2bhBsjSuyKbfVNkTSJtWyHZMfxu9ezsUXm2mVmIG+zs2a++/rdY48u75OgXm448jJrl6KMHzNEd26yA6Wunut49U1972mei39rwfKFvcnXb8vFS7b3L1b3FfAMA0z+cALtU/s0LyIw4RBSBLmUJF8nENHabxPgXLrpfv5i8ASJ+Atn231k2ZBKCfZU6f/3SYXkaQXASJo1/+tfdw5B31zD06VuGIa8+lWRvzrG3Bp5PjyrwVAlS6O0ceD4wrib8HutLw37xdHsQ0j/n2HBuFi7OuuM4//vP9lCkf3MwBQdqL2GKLeqDp6uNBz8kQejh3QFumEVgexV/vKPMmuxBRXk8t+5eF6ZpdvWWdVM21jBvCQ5bRSkelSjN2VTXc3cW5T942r1hveoiSye9TGzai9BCVCuW7roVy/ccmo0H1bnfSB8Ahvod/QG+EesP5LiVmJPg23aHjBk1htOWH24u1YuNQIlal7qlUG+IccuZQfT7dxrPH9szN3n+MlWd/aPqx91V2U5VvHdU/cCbIdupSvaOqh94D+Nw/tek+hfU1U/In/8fUEsHCJ7ZrSJuCgAAdD4AAFBLAQIUABQACAAIAGRj6jye2a0ibgoAAHQ+AAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAqAoAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Nimmt man statt eines Rechtecks ein Parallelogramm, so lässt sich die Umkehrung des Periphriewinkelsatzes finden: 
Die Scheitel kongruente Winkel, deren Schenkel die Eckpunkte einer Strecke AB enthalten, liegen auf einem Kreis, der AB als Sehne hat.--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:39, 23. Jul. 2010 (UTC)

=Beweisführung=

==Satz des Thales==
===Satz des Thales===
Es sei k ein Kreis mit einem Durchmesser <math> \overline {AB} </math>. Jeder Peripheriewinkel von k über <math> \overline {AB} </math> ist ein rechter Winkel.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC)

Ein Versuch den Satz des Thales mit dem EP zu beweisen:

<ggb_applet width="1280" height="648" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Vor: Dreieck ABC, A,B und C element von k, Kreis K 
Beh: y= 90 

1) Konstruieren eine Parallele zu AB durch C (Nach dem EP) 
2)Der Winkel < ACE ist Kongruent zu alpha (Wechselwinkelsatz) 
3)Delta ist kongruent zu Betha (Wechselwinkelsatz) 
4)Winkel < ACM ist Kongruent zu alpha (Basiswinkelsatz) 
5) Winkel < MCB ist kongruent zu Betha (Basiswinkelsatz) 
6) <ACE+<ACM+<MCB+<BCD= 180 
7)alpha+alpha+betha+Betha= 180 (einsetzten der Kongruenzen) 
8) 2*(alpha+betha)= 180 (rechenen in R) 
9) alpha+betha=90 (rechenen in R) 
10) Y=90 
q.e.d 

==Umkehrung 1: Satz des Thales==
===Umkehrung Satz des Thales===
Ist <math> \overline {ABC} </math> ein Dreieck mit einem rechten WInkel bei <math> C </math>, so liegt der Punkt <math> C </math> auf dem Thaleskreis, wobei <math> \overline {ABC} </math> einen Durchmesser des Kreises <math> k </math>bildet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC)

==Umkehrung 2: Satz des Thales==
===Umkehrung Satz des Thales===
Ist ein Peripheriewinkel <math>\gamma </math> über einer Sehne <math> s </math> eines Kreises <math> k </math> ein rechter Winkel, so ist die Sehne s ein Durchmesser des Kreises <math> k </math>.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC)
===Kommentar zu den Umkehrungen des Thalesstzes--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:43, 23. Jul. 2010 (UTC)===
Es sei <math>\ \alpha</math> ein Winkel und <math>\ k</math> ein Kreis.
Der Satz des Thales hat zwei Voraussetzungen:

# <math>\ \alpha</math> ist Peripheriewinkel von <math>\ k</math>
# über einem Durchmesser von <math> \ k</math>.

Die Behauptung des Thalessatzes: <math>\ \alpha</math> ist ein rechter Winkel.

Aus Gründen der Übersicht benenne ich die Voraussetzungen V1 und V2. Für die Behauptung schreibe ich B.

Satz des Thales:

Aus V1 und V2 folgt B.

Die eigentliche Umkehrung:

Aus B folgt V1 und V2.

Gemischte Umkehrung 1:

Aus B und V1 folgt V2.

Gemischte Umkehrung 2:

Aus B und V2 folgt V1.

 Also fehlt uns noch die

==== Eigentliche Umkehrung des Satz von Thales ====
Mein Vorschlag: Es sei ein Dreieck <math> \overline {ABC} </math> mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ist <math>\ \gamma</math> ein rechter Winkel, so ist <math> \ c</math> identisch mit einem Durchmesser des Umkreises des Dreiecks.
 --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:38, 25. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks

2010-07-24T19:06:42Z

Barbarossa:

Lösung von Aufgabe 13.2

2010-07-24T14:46:24Z

Barbarossa: /* Anmerkung */

===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math> 
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math>
| (Euklidisches Parallelenaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel
| (I), (Def. Scheitelwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math>
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math>
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (VII), (V), (VI)
|}
-> Beh. wahr qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)

== Zum Thema EP ==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?

 Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.
 Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur eine Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?

 Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC): Fast. Man müsste mit der EINDEUTIGKEIT der Parallelen, die das EP aussagt (höchstens) belegen, dass <math>\ d</math> DIE EINZIGE Parallele zu <math>\ AB</math> durch <math>\ C</math> ist. <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math> geht, die Begründung sagt aber an, dass man das anders "sprechen" muss: es existiert GENAU EINE Parallele usw. Ganz ordentlich müsste man die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nennen, mit der die EXISTENZ einer Parallelen (...es gibt mindestens eine Parallele...) bewiesen werden kann.

 Ich würd's nicht komplizierter machen, als es ist. Da wir die Existenz einer Parallelen ja bewiesen haben, würde ich (wenn nicht ausdrücklich gefragt) auch keinen Schritt weiter zurück gehen. Meine Begründung für Schritt eins wäre also: Satz über die Existenz von Parallelen '''und''' das EP. Was meint ihr? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 14:35, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Sind DREI "Neben-" Winkel supplementär? ==
 Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)

Re: Die Begründung ist problematisch, das kann besser mit Winkeladdition erklärt werden. Oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC)

 Ich habe mit dem Winkeladditionsaxiom sozusagen zwei der Winkel zusammen gefasst. Dann hat man nur noch zwei Winkel, die zueinander Nebenwinkel sind, ein Fall für's Supplementaxiom. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 14:38, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Weitere Fragen ==
 Habe den Beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!

== Anmerkung ==
Etwas vereinfacht wäre es, wenn wir nicht die Stufenwinkel sondern die Wechselwinkel nehmen würden, und dann sozusagen auf der Unterseite der parallelen arbeiteten. 
Zu der EP-Diskussion: Ich denke es genüt Def.X.3 (Existenz von Parallelen) aufzuführen, um den Beweis zu führen. Wozu sollten wir die
Eindeutigkeit brauchen? Wir brauchen ja nur eine Gerade die Parallel verläuft, dass wir unsere Wechselwinkelsätze bzw. Stufenwinkelsätze anwenden können.
 
Das Problem mit den Nebenwinkeln würde ich wie folgt klären:
Ich nehme mir 2 Winkel davon und fasse sie mit dem Winkeladditionsaxiom zusammen (es gilt dann noch zu begründen, warum der Innere
Strahl auch im inneren liegt). Anschließend kann ich dann mit dem 3. Winkel und dem zusammengefassten Winkel über Nebenwinkel argumentieren.
Anschließen drösle ich den zusammengefassten Winkel wieder auf... Fertig.
 
Beim Wechselwinkelsatz/Stufenwinkelsatz dürfte es aber keine Probleme Geben, da ich mir ja immer nur die 2 Geraden herausnehme, auf die ich mich
beziehe.

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 12:53, 24. Jul. 2010 (UTC)

 Tja, da habe ich mal wieder die Seite nicht bis zum Schluß gelesen, bevor ich meinen Kommentar abgegeben habe. Aber es ist ja zumindest beruhigend, wenn vorher schon jemand auf die Gleiche Lösung gekommen ist (bezüglich der Nebenwinkel). Allerdings muss ich dir, TheGeosi, in Sachen EP-Diskussion widersprechen: ohne das EP konnten wir nur mit den Umkehrungen des Wechsel- und des Stufenwinkelsatzes arbeiten. Für den Beweis des Wechsel- und des Stufenwinkelsatzes selbst haben wir dann das EP gebraucht. Deshalb muss es auch hier unbedingt in die Beweisschrittbegründung mit hinein! --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 14:46, 24. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 13.2

2010-07-24T14:38:47Z

Barbarossa: /* Sind DREI "Neben-" Winkel supplementär? */

Lösung von Aufgabe 13.2

2010-07-24T14:35:29Z

Barbarossa: /* Zum Thema EP */

===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

== Versuch 1 ==
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math> 
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math>
| (Euklidisches Parallelenaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel
| (I), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel
| (I), (Def. Scheitelwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math>
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math>
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math>
| (VII), (V), (VI)
|}
-> Beh. wahr qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)

== Zum Thema EP ==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?

 Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.
 Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur eine Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?

 Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC): Fast. Man müsste mit der EINDEUTIGKEIT der Parallelen, die das EP aussagt (höchstens) belegen, dass <math>\ d</math> DIE EINZIGE Parallele zu <math>\ AB</math> durch <math>\ C</math> ist. <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math> geht, die Begründung sagt aber an, dass man das anders "sprechen" muss: es existiert GENAU EINE Parallele usw. Ganz ordentlich müsste man die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nennen, mit der die EXISTENZ einer Parallelen (...es gibt mindestens eine Parallele...) bewiesen werden kann.

 Ich würd's nicht komplizierter machen, als es ist. Da wir die Existenz einer Parallelen ja bewiesen haben, würde ich (wenn nicht ausdrücklich gefragt) auch keinen Schritt weiter zurück gehen. Meine Begründung für Schritt eins wäre also: Satz über die Existenz von Parallelen '''und''' das EP. Was meint ihr? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 14:35, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Sind DREI "Neben-" Winkel supplementär? ==
 Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)

Re: Die Begründung ist problematisch, das kann besser mit Winkeladdition erklärt werden. Oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC)

== Weitere Fragen ==
 Habe den Beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!

== Anmerkung ==
Etwas vereinfacht wäre es, wenn wir nicht die Stufenwinkel sondern die Wechselwinkel nehmen würden, und dann sozusagen auf der Unterseite der parallelen arbeiteten. 
Zu der EP-Diskussion: Ich denke es genüt Def.X.3 (Existenz von Parallelen) aufzuführen, um den Beweis zu führen. Wozu sollten wir die
Eindeutigkeit brauchen? Wir brauchen ja nur eine Gerade die Parallel verläuft, dass wir unsere Wechselwinkelsätze bzw. Stufenwinkelsätze anwenden können.
 
Das Problem mit den Nebenwinkeln würde ich wie folgt klären:
Ich nehme mir 2 Winkel davon und fasse sie mit dem Winkeladditionsaxiom zusammen (es gilt dann noch zu begründen, warum der Innere
Strahl auch im inneren liegt). Anschließend kann ich dann mit dem 3. Winkel und dem zusammengefassten Winkel über Nebenwinkel argumentieren.
Anschließen drösle ich den zusammengefassten Winkel wieder auf... Fertig.
 
Beim Wechselwinkelsatz/Stufenwinkelsatz dürfte es aber keine Probleme Geben, da ich mir ja immer nur die 2 Geraden herausnehme, auf die ich mich
beziehe.

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 12:53, 24. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.4

2010-07-24T08:07:57Z

Barbarossa: /* Existenz */

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>.

==== Existenz ====

Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>
 Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.

{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>
| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
| <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
| SWS
S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
 W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II)
 S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
| (VI), Definition Lot
|}

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
 Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC) Uuups, mir ist gerade aufgefallen, dass wir zu diesem Zeitpunkt P' ja noch gar nicht haben... Traurig.--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:07, 24. Jul. 2010 (UTC) 
<ggb_applet width="1116" height="616" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Eindeutigkeit ====
Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt <math>\ L'</math>
{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Annahme, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>|\angle PLL'| = 90</math>
| VSS, <math>\ L</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Außenwinkel von <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Supplementaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\angle PLL'| < </math> Außenwinkel von <math>|\angle LL'P|</math>
 <math>|\angle PLL'| < 90</math>
| Schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Annahme muss verworfen werden
| Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!
|}
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.4

2010-07-24T08:04:12Z

Barbarossa: /* Existenz */

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>.

==== Existenz ====

Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>
 Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.

{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>
| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
| <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
| SWS
S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
 W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II)
 S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
| (VI), Definition Lot
|}

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
 Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC) 
<ggb_applet width="1116" height="616" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAPhW9DwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VvbjuO2Gb5unoLwRdAWa4+ok2VkZgN3UjQLOF0jk26B3AxoiZa5lilHombseZ4+QBb7Bu39PlN/HuSDLHt9mllvjAEkk79I/t/3n0h5rr+fTRL0QLOcpfymgVtWA1EephHj8U2jEMNm0Pj+9TfXMU1jOsgIGqbZhIibhtOyG7K9YK+/+dN1PkofEUmUyDtGH28aQ5LktIHyaUZJlI8oFWvtpJixhJFs/nbwnoYiX3boQd7waQGziKyAtnAS9Vhefr1SE04TJn5gDyyiGUrS8Kbhe7B0uHtHM8FCktw0XEu32DcNu9IJTY7sHaUZe0q5kOLLwYfQglDOniggYsu26yul6DUtwoRFjHCpjFoHCCH0yCIxAlnH92FMyuIRLNbHrh4uTNMsupvngk7Q7FeapbC0Dm7hwG4HnuVg+LPdBprrLscHEpx223Ux9vzA6XiAIiwZ1uLZLQ9bnmsHvm+3LUs+tLVLTU0f7qgQwGWOyIwuUY4zFpXoyvs3+d/SJFp0T1PGxS2ZiiJTduCYpjsxl5MBcJnUscvjhJo2G2ga0XA8SGd3GjhHD/3LfKoeUesZxLdpkmYok5SAYrG5DvRVyciFLqQsJWMpCTOGHHTRjzu2klDXgb4qqYRxvTSjOC6VxlY5DcuRbIDBpfkulE/IgII5NFDBmeiVX8BsxkZVrB/4ZzEZgN+sGs5iTHyuMa+vKiZ3PaYZp4m2Kw7UFmmRowdpwHoutZCIhmwCX3WHgYRIuv4FC9CtEY0zWi5ce50GTPVaq7Zbab6+Khch15DDWkMB4QP0EVIX6d0CPOum8SNl/OmBcFrElDdQRITsln6U0AkFJxPKOJRtLUDqNxYRJVXBoTRU07+EGyaPmJpZSr81wvE91t3wdK0dKYsjyXREoKVlFE3IHCLJqupqup/SaB0QwgFYPaegUzmApG5KaWSipzD2jqYwpPKeFV4UnDmayfgJInOIBPL6pJ9VItrRZFhR0zrGCjRgn4GueyJ0o/MB93Y4zKmQmjZxR2naxC+Bq2VwxefE9XYT13XHXgJ70UYXHAtOmE4mhEeIkwnM04PYqhBhMksjYknLQwRLoDQIhSg7Yj2UGWADZxmmFyjGjfXILUYQIDnNc5VexGoiecbwYB3P06YZBgbpZrAYax/16G9cy+Q6PbAJ1DshE7t5Ufm4QsytJkbyY8vYWuXn04fdBKmksQAXpOXzoHNRat6CIsbpBNh3nA4ULYFzKkFsGz3Y2iQI7xuEbE8HIcepJRAfQA7JwhVXKRuTJH38mQ4TOlM06N6VNL6Fszsay/YKa/2StSpdg91s5Wa0EuvBOTxqLZQckTbO4lBlvmw6xqOcszmUAjiRYfMNF1B9UVXNbBZVY0qnspp9y3/JCM/lTmhfln9OBdQ+9a7pYK9l/fW/v2sP3aT89lsyTfPvdhNfyVfmkb2z1t6e6LuKWHkZ6Mvp1HotHzY6sHdxO27HdtqmXHDXmwPsnZKzamOjgWk1Qm5msE8f9iGgGidXGNgVLb2LjpZOPYNfLFjesizcYNGUHpupje5mDPBk4QJnukektE8Ple+fLVTut3TKYCf2AEtJsxyhmWVqwbllSpansmUGkDZ1FYPLghGveB/UoxmboW4p3y2lurYs9dsta+0DgaLrmDm6bjl015OyrS0xGgrckA2Bo2OL0aXfrtlFeEBJGp7FLI524jMmUK8mnM5rg68sVzebDzGyo6rXRfKtsEk1m6GOz3aJwAqh/cMzZH9bhjyItxpvPjpBrkRfVwffnfvlJbF2q7P+8XX+tCsuiE9Jn/Vlahl6tzhadFixGr1Isfp8EXitWK1CP68n6kkRtdH+1RS2O7cv2+xieJhdDF/ELsYvYBd+rV1Apeu6VtCxrU7gWZZv+39vYmMb+HznBi9gDdtCeKztYbhhCb1DYnbvxGhdw/AZonVb+7a/nwVg1y0PfoNW1Rae6lrPtNcxLtnbtsv89PGg/c3H6s4Gt7y21e74ju23O27Q8YNTiyL+HDsbOzBn0fV8veDOZh3eQZomlPDlUeg9riK84qL7gHp6IFui5puawt1dkpCpIlG19Qs+Fqj/Cv2DZgQE48P0H12g9m37QO27iBRDFL9CdyKj4Ziibv8wFNhFoaAjHbbqT1DrYPg342OaoE8fEJmgu3BEmaDJ1GDDOPqRJAM6oBzM41W/ichAZES+KTwIpPcXBZI2Fezsbyvv4EZaSv5KmYv8QcO3vxWp+I7TgnJ9a7yo/BYxinr/+w+PqRJfmteREI4vCkJjZ2UG2cfdTKWJ8nDEKYtgpFjaV293nuynyTxO+bbzJJUpexuZ8h2D8cIx1mKJFiP38rsDJcvnKho9ZYnhYrCXKHEnm2xhz1F8efjAlFohZLutVav55EhV14+uV3TdU52ji/Zm+eqhfPPQvPBXD7vxJ/fHGtsXY2Dx7mfHRimobKKDr5eh6dfGT/myu+4kQ5LzNR9w1OeI/uqbo617KhPcbS1G7m0tOF08DPki0T9HODhj2F8qY+j8blt6y6yuz50yJHLP6BK7NDopa9Sc9Vgmh3QqvRu/Wrwkj/hMuFo5Sv+aGPpjRa3PFF3Pm/SfhZ8/8iH67u3Y5BK3Y539t2O/PlKGximPYUWAGfoho0xtUPu9LiogtZr02esehgu/KFz0Tt/e8oOyXcchH9GfzW231/8LYrlAFHarsIkfgYUh3VeF5mr1p9bqPxLMv2S8/j9QSwcI9WXe0vQHAADEMQAAUEsBAhQAFAAIAAgA+Fb0PPVl3tL0BwAAxDEAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAAAuCAAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Eindeutigkeit ====
Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt <math>\ L'</math>
{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Annahme, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>|\angle PLL'| = 90</math>
| VSS, <math>\ L</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Außenwinkel von <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Supplementaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\angle PLL'| < </math> Außenwinkel von <math>|\angle LL'P|</math>
 <math>|\angle PLL'| < 90</math>
| Schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Annahme muss verworfen werden
| Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!
|}
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.4

2010-07-24T08:03:13Z

Barbarossa: /* Existenz */

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt <math>\ P</math> auf eine Gerade <math>\ g</math>.

==== Existenz ====

Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>
 Behauptung: Es existiert ein Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf <math>\ g</math>, die durch <math>\ P</math> geht.

{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Punkt <math>A \in g</math>, der Abstand zu P beträgt <math>|AP| \ </math>
| Axiom I/1 (Axiom von der Geraden), Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Am Scheitelpunkt <math>A \ </math> wird an der Gerade <math>g \ </math> der Winkel <math>\alpha \ </math> in die Halbebene <math>g,P^- \ </math> abgetragen.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Auf dem entstanden Strahl trägt man die Länge von <math>\ |AP|</math> ab. Es entsteht der Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ PP' \cap g </math>. Der Schnittpunkt sei <math>\ L</math>.
| <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> liegen in unterschiedlichen Halbebenen bezogen auf <math>\ g </math>.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Es entstehen zwei kongruente Dreiecke <math>\overline {PLA}</math> und <math>\overline {P'LA}</math>
| SWS
S - <math>\overline {PA} \cong \overline {P'A}</math> (III)
 W - <math>\alpha \cong \alpha'</math> (II)
 S - <math>\overline {AL} \cong \overline {AL}</math> trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Die Winkel an <math>\ L</math> sind rechte Winkel
| (IV), (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel (Definition V.6 : Rechter Winkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\ PL</math> steht senkrecht auf <math>\ g \rightarrow PL</math> ist Lotgerade, <math>\overline {PL} \ </math> ist Lot(strecke)
| (VI), Definition Lot
|}

Kleine Anmerkung: Bei Schritt (II) muss man an sich auch definieren, dass der Winkel <math>\alpha' \ </math> bezüglich <math>AP \ </math> in der selben Halbebene liegt wie <math>\alpha \ </math>. An dieser Stelle wurde es wg. besserer Übersicht weggelassen.
 Man könnte ja einfach sagen, dass nkoll(P, A, P') gelten soll. Dann wäre der zweite mögliche, für uns jedoch nicht nützliche Winkel ausgeschlossen. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:03, 24. Jul. 2010 (UTC) 
<ggb_applet width="1116" height="616" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Eindeutigkeit ====
Voraussetzung: Gerade <math>\ g</math>, Punkt <math>\ P \notin g</math>, Lot <math>\ l</math>von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> mit Lotfußpunkt <math>\ L</math>
 Behauptung: Es existiert genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt <math>\ L'</math>
{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es existiert ein Dreieck <math>\overline {PLL'}</math>
| VSS, Punkte <math>\ L L' P </math> sind nicht kollinear, da <math>\ L \in g \and L' \in g \and P \notin g</math> laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Annahme, <math>\ L'</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>|\angle PLL'| = 90</math>
| VSS, <math>\ L</math> ist Lotfußpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Außenwinkel von <math>|\angle LL'P| = 90</math>
| Supplementaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\angle PLL'| < </math> Außenwinkel von <math>|\angle LL'P|</math>
 <math>|\angle PLL'| < 90</math>
| Schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Annahme muss verworfen werden
| Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!
|}
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

Das Euklidische Parallelenaxiom

2010-07-23T20:44:47Z

Barbarossa: /* Satz XII.3 */

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander. 

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

Beweis: [[Lösung von Aufgabe 12.10]]

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander. 

Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder? 
Versuch: 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind kongruent zueinander. 

Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder? 
'''Versuch 1:''' 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel <s>kongruent</s> supplementär zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 

Ist das ok? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)

Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)

Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Dann muss es aber im Satz XII.3 ebenfalls supplementär heißen, oder? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 20:44, 23. Jul. 2010 (UTC)

 '''Versuch 2:''' 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel supplementär sind, die Größen sich also auf 180 summieren, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 
 Begründung: Der jeweilige Nebenwinkel des einen Winkels ist entweder Stufenwinkel oder Wechselwinkel bezüglich des anderen Winkels, die wiederum kongruent zueinander sind.
 Winkel <math> \alpha \ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ a </math> und <math> \ c </math>)
 Winkel <math> \beta\ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ b </math> und <math> \ c </math>)
 Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math>
 Wenn <math>a \| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ |\beta| + |\beta'| = 180</math>, gilt auch <math>\ |\alpha| + |\beta| = 180</math>.

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???

Lösung von Aufgabe 12.5

2010-07-23T20:29:12Z

Barbarossa: /* Lösung 1 */

Definieren Sie: Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel
 [[Die_Umkehrung_des_Stufenwinkelsatzes| Definitionen im Skript]]

==== Definition X.1: (Stufenwinkel) ====
===== Lösung 1 =====
# Wenn zwei Geraden (<math>g_1 \ </math> und <math>g_2 \ </math>) von einer dritten Geraden (<math>h \ </math>) geschnitten werden,bezeichnet man die Winkel als Stufenwinkel, bei denen einer der begrenzenden Strahlen Teilmenge der selben Geraden (der Geraden <math>h \ </math>) ist und bezüglich zu einem Punkt <math>P \in h </math> (der nicht zwischen <math>g_1 \ </math> und <math>g_2 \ </math> liegt) die selbe Richtung hat und deren jeweils anderer Strahl bezüglich der Geraden <math>h \ </math> in der selben Halbebene liegen.
# Zwei Winkel <math>\angle ABC</math> und <math>\angle A'B'C'</math> sind Stufenwinkel, wenn die Strahlen <math>\ BA^+</math> und <math>\ B'A'^+</math> in der selben Halbebene bezüglich der Geraden <math>BB' \ </math> liegen und es gilt: <math> \operatorname{Zw} \left( B, C', B' \right) \and \operatorname{Zw} \left( C', B, C \right) </math>.
# Zwei Winkel <math>\angle ABC</math> und <math>\angle A'B'C'</math> sind Stufenwinkel, wenn die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ A'</math> in der selben Halbebene bezüglich der Geraden <math>BB' \ </math> liegen und es gilt entweder:
::<math>B'C'^+ \cong B'C^+ \and BC'^- \cong BC^+</math> oder
::<math>BC'^+ \cong BC^+ \and B'C'^- \cong B'C^+</math>.
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 22:24, 12. Jul. 2010 (UTC)
 
'''Lösung 2''' Mir gefällt eigentlich dein zweiter Ansatz ganz gut. Allerdings verstehe ich nicht ganz, was du mit der Zwischenrelation gemeint hast. Ist das notwendig für die Definition? Mein Verbesserungsvorschlag wäre auch, so wenig Punkte wie möglich zu benutzen. Das würde dann ungefähr so aussehen: Zwei Winkel <math>\angle ABC</math> und <math>\angle A'CC'</math> heißen Stufenwinkel, wenn die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ A'</math> bezüglich der Geraden <math>BC \ </math> in ein und derselben Halbebene liegen und <math> \operatorname{koll} \left( B, C, C' \right)</math> gilt. Was hältst du davon? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 20:29, 23. Jul. 2010 (UTC)

==== Definition X.2: (Wechselwinkel) ====
===== Lösung 1 =====
Zwei Winkel <math>\angle ABC</math> und <math>\angle A'B'C'</math> sind Wechselwinkel, wenn die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ A'</math> in verschiedenen Halbebenen bezüglich der Geraden <math>BB' \ </math> liegen und es gilt entweder: <math> \operatorname{Zw} \left( B, C', B' \right) \and \operatorname{Zw} \left( B, C, B' \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( C, B', C' \right) \and \operatorname{Zw} \left( C, B, C' \right) </math>
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 22:24, 12. Jul. 2010 (UTC)

==== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) ====
===== Lösung 1 =====
Zwei Winkel <math>\angle ABC</math> und <math>\angle A'B'C'</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel (Nachbarwinkel), wenn die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ A'</math> in der selben Halbebene bezüglich der Geraden <math>BB' \ </math> liegen und es gilt entweder: <math> \operatorname{Zw} \left( B, C', B' \right) \and \operatorname{Zw} \left( B, C, B' \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( C, B', C' \right) \and \operatorname{Zw} \left( C, B, C' \right) </math>
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 22:24, 12. Jul. 2010 (UTC)

===== Lösung 2 =====
Zwei WInkel <math> alpha </math> und <math> beta </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn <math> alpha </math> und <math> beta </math> bezüglich der Geraden <math> g </math> in ein und derselben Halbebene liegen, wobei gilt, dass jeweils ein Schenkel der Winkel eine Teilmenge dieser Geraden ist. Diese Schenkel haben entweder keinen Schnittpunkt gemeinsam oder der Schnitt der beiden Schenkel bildet eine Strecke. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:32, 14. Jul. 2010 (UTC)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

2010-07-23T19:49:08Z

Barbarossa: /* Definition X.1: (Stufenwinkel) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====
Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel g und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:55, 17. Jul. 2010 (UTC)
 Ich glaube du meinst "... Die anderen beiden Schenkel '''q''' und s...". Und vielleicht ist es besser den letzten Teil so zu formulieren: "...bezüglich der Geraden g liegen, von welcher Strahl p eine Teilmenge ist." Klar ist diese Gerade durch die beiden Schenkel gegeben, aber es reicht ja auch einer und ich glaube die "Teilmengen-Formulierung" wäre mathematischer. Aber vielleicht ist das auch unnötige Erbsenzählerei meinerseits ;-) !?! --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 19:49, 23. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:57, 17. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====

[[ Lösung von Aufgabe 12.5]]
== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Unter Berücksichtigung von <math>a \not\equiv b</math> hätten die beiden Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entsprechend der Annahme genau einen Punkt <math>\ C</math> gemeinsam.

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_02.png|400 px]]

Bezüglich des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> ist <math>\ \beta</math> nun ein Außenwinkel.

Der Winkel <math>\ \alpha</math> ist bezüglich <math>\ \beta</math> ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

Nach dem [[Der_schwache_Außenwinkelsatz|schwachen Außenwinkelsatz]] ist jetzt <math>\ \ beta</math> größer als <math>\ \ alpha</math>. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i): <math>\ \alpha \cong \beta</math>.

Halbebenen oder das Axiom von Pasch

2010-07-21T07:37:41Z

Barbarossa: /* Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
|}
{|class="wikitable center"
|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>

|-
| <math>\ G</math> ist eine Gerade
| <math>\ G</math> ist eine Ebene

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>

|-
| eindimensional
| zweidimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>

|-
| Anfangspunkt <math>\ A</math>
| Trägergerade <math>\ g</math>

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>

|-
| nulldimensional
| eindimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 1: </center>
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center>

|-
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig: 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden: 
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math>
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 2:</center>
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center>

|-
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math>
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math>

|}
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)

Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.

Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)

Zu gQ+:
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...

Zu gQ-:
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt..
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!

--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
===== Satz IV.1 =====
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Beweis des Satzes IV.1 =====
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>
 '''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
 '''Fallunterscheidung:'''
 Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
 Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)
|-
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).
 Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.
|| Schritt (3) und Satz von Pasch
|-
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)
|-
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und
 <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)
|-
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
|-
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene
|-
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3]
|-
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math>
 Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik
|-
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''||
|}

Stimmt das so? Nochmal geändert...
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)

[[Bild:Dozenten.jpg]]

Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.

Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)

Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann <math>\ Q_2</math> doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?
Wenn nicht könnte also <math>\ Q_2</math> auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte <math>\ Q_2</math> kein "Referenzpunkt" sein...
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Ja, mir ist auch aufgefallen, dass es da ein bisschen durcheinander geht. Ich würde mal behaupten, dass es bei dem oberen Beweisschema (Fall 1) unter '''Schritt 2''' (Voraussetzung, siehe Argument von Principella), '''Schritt 4''' (denn P kann ja auch auf g liegen, dann hat die geschlossene Strecke mit g eben doch einen Schnittpunkt) und in der Begründung von '''Schritt 8''' (auf einmal ist von disjunkten offenen Halbebenen die Rede, dabei wurde in Schritt 1 die Halbebene als geschlossen definiert) zu Problemen kommt. Mein Vorschlag: Ich würde im gesamten Beweis mit offenen Halbebenen arbeiten. g gehört ja entweder zu beiden oder zu keiner der Halbebenen, hat also für deren Unterscheidung keine Relevanz. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 07:16, 21. Jul. 2010 (UTC)

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Lösung von Aufgabe 7.5]]

Lösung von Aufgabe 8.1

2010-07-21T07:25:11Z

Barbarossa: /* Lösung --Schnirch 13:10, 14. Jul. 2010 (UTC) */

Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene, die durch die Gerade <math>\ g</math> in die beiden Halbebenen <math> gQ^+</math> und <math>gQ^-</math> eingeteilt wird. Ferner sei <math>\ R</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ gQ^-</math>, der nicht auf der Trägergeraden <math>\ g</math> liegen möge.
Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math>

== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:10, 14. Jul. 2010 (UTC)==
'''Voraussetzung:''' <math>\ {gQ}^{+}</math> und <math>\ {gQ}^{-}</math> <math>R \in {gQ}^{-} </math> mit <math>R \not \in g </math>
 '''Behauptung:''' <math>{gR}^{+} \equiv {gQ}^{-}</math> und <math>{gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}</math>, d. h. <br\>
1) <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}</math> <br\>
2) <math>\forall P\in {gQ}^{+} \Rightarrow P\in {gR}^{-}</math> <br\>

zu 1)
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math>
| nach Definition Halbebene
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math>
| nach Voraussetzung und Definition Halbebene
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace </math>
| Axiom v. Pasch
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ P\in {gR}^{+}</math>
| (III) und Definition Halbebene
|-
|}

zu 2) analog zu 1)
 Aber hier wurde doch wie in der ersten Version des Wiki-Kapitels zu den Halbebenen nicht beachtet, dass auch koll (P, R, Q) gelten könnte. Müsste man diese Fallunterscheidung nicht noch machen??? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 07:25, 21. Jul. 2010 (UTC)

Halbebenen oder das Axiom von Pasch

2010-07-21T07:16:24Z

Barbarossa: /* Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAC+LwjwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3V3rbttGFv69fQpCKIp2GzNzv6B2iyipXTduE8PZYrHdbkFJtMxYFlWKSuwUfaN9in2yPTND6kpRoi4xlSAAw+FwNPN955w558xwcvzd/V3PexcmwyjunzSwjxpe2G/HnajfPWmM0usj1fju28+Ou2HcDVtJ4F3HyV2QnjSoTxqmfBR9+9nfjoc38Xsv6Nkqv0Th+5PGddAbhg1vOEjCoDO8CcN0pjwY3Ue9KEgeXrXehu10OHngGjnvD0bwK2kygrL2XeciGua3T+0PDnpR+iJ6F3XCxOvF7ZOG4NB1+NcvYZJG7aB30mDIlZCTBpl7CEXUPL2Jk+hD3E9N9Unj11DiecPoQwhvIlN2/NQO9DgctXtRJwr6ZjC2H1DJ895HnfQGmtQCmgyj7k3qft221o7jpHP1MEzDO+/+X2ES2+74EiGJCVcaSSp4w3twjzDV8EjAaBTFlFMNGEKHoSdM+5ohgSWXEmuJmXlp+TP72+G7qzBNgcuhF9yHE5S7SdSZuTkfNuPepGgQR/30eTBIR4kVBJoVXaUP5ucAucSM8lm/2wuzMgI83YTt21Z8f2WRw9Q1/eZhYF+xHWp1n8e9OPESAwIMoJtdW+5q65iejmshWwfZGlkbptHxc6yJrWGvLXe1tXpR33UtGznOR41R/jPR0DMF0LiR3/Hge0ErBHloeKN+lF7kNyA3t9lQsXvh59FdCxRnWnLGbeJdtXn8dE7mjm/DpB/2nGT1gdtRPBp674wEu9+yHemE7egObt2DDJLA0PUP6IAr7YTdJMw77tTOAWafzkjvXPHx07wTpg9D6Gs7BfsB40nNWIx6p6BaJ407v+s3vE6QmlKjP73wLgTlSq1MWJEaY/OsMbYksTUKufpnzycow+NC+bCSFPQGNwGU+NkAesEDmIjpIdn2foo7swMN+gCYHQVo6sA0YCgZhGEnM4tpJsfeAJq0WjGFt4Vp6N2fNI6wz0ANhdCMYcww0wz01JUrKSiVQlNCCGXQ/gfXtm3CKZixJ7ZbNGPfIbYCu+angR3yFZrgpgjmDjqwlkJIKQXjgmtNlK4GXTu+uwv6Ha8f3EE3LsAyWLwiM8l4ATKy5wXYwOgwGqX5g65rKmtggQVjZMYgdxuzdie9AfXuh0PQZj6B4OkmTHFsqTKXily9ur4ehqkBV2oHpi5jckqOAXSCFBeYUCEIRZzY94lPFJEYI66IoDDXWCqITylBhDAMj7hQnM1b4RI0wj/6rs7Q2cLoDmb3dpRW0YDLT0UDxKykZxpAfSy0AI9AY4KQNlxspwDNaAggxcm6itCqoAit5YpAyhRhdq5czRjanK8pOS8Q6Icl4v/BmnEuucbAEVYCc8pkiaTPD3ddSZ/l67yfgk8AEM2R1XVktRbIel5O1qzmPF/UnHWIEMwyYS4td9kBF9jXGKScEMUUk4wi6sgQPuOaMkop14ghTS0X3JcU7sDyCM4IEpRvog0voh74J8V6gM1gvIBkkM6A/OyLYBAPv/kdVwF78tKjmqtpyLEvmdRgdQBABDbcIc4AW8yUoBCiICIq+iprIHy5GuHLTRC+XI5wVfuyI4i1DxYdIMYaMwouoAOYgCHhmAnCGYMoUG7l0hQi3FyNcHMThJt1k2EQYSQzcK1/nTkqTEokmcZIEcTYVlNmuZFYw0qQTawEqQvCYCWYz4TWglGisEL5LEmljyVCGCuNBBgQyfdnKNawFJVQvqwbylr7UjEIGAXThIDsZpYCcZ8KDTYEwWOpMNufqVjDVlTCuFk3jDGmEGSOA0yQWAsyZeB5cIEQxO4CohixDcSvkvQm7sb9oFcQal4uc9raFTzs9iF52EsCySLH2zjY0pcYiDCGnGKETRJg3w52KWGZlW8vENapQFjnkAgrjoiWBEQwLzCMsWaUY3AWhXhctprL2AorsBV+smxBhEWUJooq8JeQZvoj8LUsfG07qjoLVL2oMsO8qFH4ykxuQAiYPmBi4Vpyls/gPsza8JdKCGKBDr7D+HUFvOECvN9Xgff7+sCrfI441kjB/C0ZyHWWVxe+UAyBU8rgD+VM7RDcn6IkWUiSdZfZmMB5OxUsTf7GAdmbhcwYW5IYztxU6iOttWKUco4Y5/ufzpdpRMfxNsXSDHunVfTitD56AYQIzbhSHEvQD5OCz4Iz6mPElJIEIgrgbJdZs2UYh+UYn1XB+Kw+GGPiUyWIEJwwopHUeWymfA1xmUYamxQPZWyHGL+Oew/g5xT7o6cuTjuDCy1K2P8SQbPtW5zx8Tt29a9d/a69ZxCHrM79uE7kmI/b3YXJmloDmWYQczq93jVttnAVBpcvHg3Drrmb2OHfdzOgYoksGc/GEsmMI8eIUIQppoR0mXLswwQINlZReMaVduKofMo4kRLEkUkkd7ViYeWtZ1azxtYgivuLmxFuw3BgdoG86r9Jgv7QbCFydaY2OazJ0/WBsbQ4WapHmSwfgaruwanU0YJO8XzrxpxW0WzRmxGozLhJ7Suk1eGS1aonWZPdC9lCICXrUVkx51Rp+8KjU7n+0gRZY2WCVnHJJi/VJJ97RMzWCMwJ1loKgpXMdBbmPDq1DYuqnSfNT1djfLrJ+trpVutr+/B+CfE5VlhQs8UUE0UzbeRU+1SC3mAO8YUget/L8merIT/bBPKz+kGumI8pByNl1obHIR3jwpeAqsncmbgD7xvx5mrEm5sYkmbdDAnIONNEaI2FFBwwdnZE+EgBD5wTjSkG0B91FZltYqtZXSB+zFXk0zVQPt1khfN0qxXO/eQqkE844MgYk9p+QmBdHyEBUGxT0EbQd5kmLTPWpZCfbQL5Wf0gZ8TE2MZ1FBBCTBL/hEtfwwOEGVz2P0FWWcivZEyadTMmH2Mhf0vXegNjXRd0D8Kt3sBM18ZiHKBLvYGJrg/cB+dOb2Cc62I8PoYrvWRtJAPCrZCMb8hEIN1qyZLVqXxtY7qVYBwauvWT6Xa64xuzkrIeb8WrKVstA8+wPPNZSb8TuY9SoPqrrPb//vsivIbf6Px69VulVB2tIg8Vll5mYu8tR//xksUKrIRSnAowHVrahT+T15c+WBEMgm+XY5WbHsGaEx8CHooxIpQilENZy/TiihWY3YnqhKxiSb3y/u5deV/00m+8MVF7XwMwIaqZkQmTlDABJssSy7hvJgMC1HIiNSNuwYZRDm4oAT+JgxQogQ+X2O4+iN07XfNqmH9dMa+H2YoN0synwnxdB7O7ofhw+WptxddjrbHNqRdGPPfECvXriAlfMMSYguiZQrjBdrVf8SOszBRuHptxUbrLQseNA8h6eYJrh5FbfZxTiPNpOc6nm+J8ujXOe9kDRpT0tbF2oCFSYLfcyRhMTpTDJEa0yYns9LvJQtTPylE/2xT1s5qiLnzKkTTfnWGGpHROIISZPuPm22Blgh+2yxi+EPVmOerNTVFv1tGmLESXRcGl3MqglAaXBSFmQaBZEG6uFXQWhJ7TrV8vtt6dK5qEotsHpKtcDLS7sLQsKC07/oLwKoJUOSzdCwK7OdqjilvMl7jFMtv/UiVAnR9yzfzi64Mmbt4/Jqws/DxiRCCfwzyPNQIvipZuGKw5cd1DJm5e4VRxOohm+lYlDq05ba1Dpm3tcLQwGuX6cGib9exeb+TN5Uf2ZRyYS+WNnEdYZZtqSw+i2uVxbBBpYk0VFiY4Eiw/UQkJzcG+gmJSIbMtvRs6jFeZTsw6jK+dG3e54PIF5T7Zgiuyi4PFVjpg5+Xe+44+BceTbT4QBOnshDcC5YRpiYgxnVQz55cIn4MthQiWaGpOWyrbYF3lULGPkPtZcWZTsCATV1UCs6u11XdtrjfX7RK+fw5+tvza6wd3LVIvvmC77gcJ0Gr6nQ3pTXifQp/gwUnjiz9GcfpN9/I/f379l/u3fX8WsRReaMy+vR1o5Qtn6+sKL8MuGl4Eb8J/zopZdiTtMEyi67zT7nha0cjlO9sYP0yDJH1t0HVQXXhfe18efQlO4ldPPOTLrzZIL1wuSyxcVk8pXC5LJjzS4Uzm40klpVQwQ0jBtRD5h1QYa6k5o+DSSUlIxfmhWIDJggAfVRDg9fe7VQ+x1xdfVivxLZO1H1ZJ2RJPs3anQh7ZynaeRLs7NPZ89RlpBwcQ3iVAP34q8OwFnZefGjqVlWudpPEPbu48z/cP/eiSti8X5tIs8Upc/RtXO3K137q07u2qibYwlUt2vKuoyGmcPsM95xMX8EmX87l+wuFmjwPaecSTCxeaF656LmCXIx8dEvJoTq2PyCFD//aQoD/6pKT+9pBO58ml/igXe1Zv6Gfn0OdQmMRRZz6R5ma2X3944sFE+sT78Yn38rdxl/JaF1Xi0IsNvZdK2whKprsizrDK1YVs5qC14rgXBhMP4NwOEt4chQss7dFKTCc4JolfnJ2Zg4kohSUYWJ/Oln3+7/hdmBjJ/fNZ86/P1wuy6UyQPdXE68u/Pl8/2t7+y9R6pIGyLMf0WdOSIZbZZyaZMPuGNKfmeCM0c7bsNNZPp/+nF3Of/5dQ3/4fUEsHCM8TtlY4DQAARGoAAFBLAQIUABQACAAIAC+LwjzPE7ZWOA0AAERqAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAcg0AAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
|}
{|class="wikitable center"
|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>

|-
| <math>\ G</math> ist eine Gerade
| <math>\ G</math> ist eine Ebene

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>

|-
| eindimensional
| zweidimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>

|-
| Anfangspunkt <math>\ A</math>
| Trägergerade <math>\ g</math>

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>

|-
| nulldimensional
| eindimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 1: </center>
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center>

|-
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math> an dieser Stelle sind noch zwei Präzisierungen notwendig: 1: es muss sichergestellt sein, dass <math> P </math> Element der Geraden <math> AQ </math> ist und 2: der Punkt <math> A </math> selbst muss noch berücksichtigt werden: 
<math>\ AQ^{+} = \{P \in AQ| A \not \in \overline{PQ}\} \cup \{A\} </math>
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 2:</center>
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center>

|-
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math>
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math>

|}
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)

Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.

Entschuldigung, mein Fehler: Ein Punkt hat natürlich die Dimension 0 und eine Gerade die Dimension 1. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 27. Jun. 2010 (UTC)

Zu gQ+:
Wenn hier von der geschlossenen Halbebene die Rede ist, fehlen alle Punkte die auf der Trägergeraden liegen und auch dazu gehören...

Zu gQ-:
Ausformuliert steht hier: gQ- ist die Menge aller Punkte, für die gilt, dass es KEINEN Schnittpunkt von g und der Strecke PQ (mit Dächle) gibt..
Wenn ich es richtig verstanden habe ist das natürlich quatsch. Voraussetzung ist, dass sie einen Schnittpunkt haben, sonst lägen sie ja in derselben HE wie Q!

--[[Benutzer:Principella|Principella]] 21:42, 20. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
===== Satz IV.1 =====
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Beweis des Satzes IV.1 =====
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>
 '''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
 '''Fallunterscheidung:'''
 Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
 Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)
|-
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).
 Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.
|| Schritt (3) und Satz von Pasch
|-
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)
|-
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und
 <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)
|-
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
|-
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene
|-
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3]
|-
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math>
 Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik
|-
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''||
|}

Stimmt das so? Nochmal geändert...
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)

[[Bild:Dozenten.jpg]]

Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.

Müssen wir unbedingt unterscheiden, ob einmal kollinear und einmal nichtkollinear!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)
Oder geht das auch einfachso wie im folgenden eingescannten Beweise!?
[[Bild:Beweis Satz IV.1]]
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:51, 8. Jul. 2010 (UTC)

Ich hab ein Problem mit der Voraussetzung: Wenn ich nur sage <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>, dann kann <math>\ Q_2</math> doch immer noch ein Punkt auf g sein, oder sprechen wir von offenen Halbebenen?
Wenn nicht könnte also <math>\ Q_2</math> auf g liegen. Der "Referenzpunkt" einer Halbebene darf aber nicht auf der Trägergeraden liegen und so könnte <math>\ Q_2</math> kein "Referenzpunkt" sein...
Hat vielleicht jemand eine Ahnung???
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:31, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Ja, mir ist auch aufgefallen, dass es da ein bisschen durcheinander geht. Ich würde mal behaupten, dass es bei dem oberen Beweisschema unter '''Schritt 2''' (Voraussetzung, siehe Argument von Principella), '''Schritt 4''' (denn P kann ja auch auf g liegen, dann hat die geschlossene Strecke mit g eben doch einen Schnittpunkt) und in der Begründung von '''Schritt 8''' (auf einmal ist von disjunkten offenen Halbebenen die Rede, dabei wurde in Schritt 1 die Halbebene als geschlossen definiert) zu Problemen kommt. Mein Vorschlag: Ich würde im gesamten Beweis mit offenen Halbebenen arbeiten. g gehört ja entweder zu beiden oder zu keiner der Halbebenen, hat also für deren Unterscheidung keine Relevanz. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 07:16, 21. Jul. 2010 (UTC)

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Lösung von Aufgabe 7.5]]

Lösung von Aufgabe 7.10

2010-07-19T15:34:46Z

Barbarossa:

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Die Lösung von Maude001 ist korrekt - super! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 09:57, 8. Jul. 2010 (UTC)

A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), <math>\overline{AM}</math> = <math>\overline{MB}</math>
:(gemeint ist: <math>\vert AM \vert = \vert MB \vert</math>) --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

<math>\overline{AM}</math> ist eindeutig für <math>\overline{AB}</math> definiert
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)

noch ein Versuch: Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. 1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt. 2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt. Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte <math> M_1 </math> und <math> M_2 </math>, die Element von <math> \overline { AB } </math> sind. 

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exist M_1 \in \overline { AB }: \left| AM_1 \right| = \left| M_1B \right| </math> <math>\exist M_2 \in \overline { AB }: \left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right| </math>
| Annahme
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \operatorname{Zw} \left( A, M_1, B \right)</math> <math>\operatorname{Zw} \left( A, M_2, B \right)</math>
| (I), Existenzbeweis, Def. (zw)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \left| AM_1 \right| + \left| M_1B \right| = \left| AB \right| </math> <math> \left| AM_2 \right| + \left| M_2B \right| = \left| AB \right| </math>
| Def (zw), (II)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 2\left| AM_1 \right| = \left| AB \right|</math> <math> 2\left| AM_2 \right| = \left| AB \right|</math>
| (I), (III), Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \left| AM_1 \right|= {\left| AB \right| \over 2} </math> <math> \left| AM_2 \right|= {\left| AB \right| \over 2} </math>
| Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>, (IV)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \left| AM_1 \right|= \left| AM_2 \right|</math>
| (V), Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> M_1 \equiv M_2 </math> Widerspruch zur Annahme<math> M_1 \not\equiv M_2 </math> Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke <math> \overline { AB } </math>.
| (VI)
|}
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)

'''Mal eine generelle Frage:''' Ist der Existenzbeweis im Falle des Mittelpunktes nicht schon ausreichend für die Eindeutigkeit des Mittelpunktes? Denn das Axiom II.1 und das Axiom vom Lineal, die für den Existenzbeweis verwendet wurden, machen ja schon eindeutige Aussagen. Bei den Aufgaben Übung 7.1 und 7.2 war zumindest ein Beweis ausreichend. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 15:34, 19. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 11.7

2010-07-11T13:58:09Z

Barbarossa: /* Versuch 1: */

Beweisen Sie Satz VII.6a: 
Wenn ein Punkt <math> P </math> zu den Endpunkten der Strecke <math> \overline{AB} </math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math> \overline{AB} </math>.

== Versuch 1: ==

VSS: Punkt P, <math> \overline{AB} </math>, <math> |AP| = |BP| </math>, Mittelsenkrechte m 
Beh: <math> P \in m </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |AP| = |BP| </math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es existiert ein Punkt <math> M : |AM| = |BM|</math>
| Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt (I)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \cong \beta </math>
| Basiswinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \overline {PAM} \cong \overline {PBM} </math>
| (I), (II), (III), (SWS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>| \angle AMP| = | \angle BMP|</math>
| (Def Dreieckskongruenz) (IV)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> PM = m </math>
| (Axiom I.1), (II), (V)
|}
--> <math>P \in m </math>, die Behauptung ist wahr. qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC) 

Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS? 
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)

Die Winkel <math>alpha</math> und <math>beta</math> entsprechen den Winkel <math>\angle PAB</math> und <math>\angle ABP</math>. Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC)

Müsste man nicht noch einen Zwischenschritt einschieben und schreiben, wie man von den beiden kongruenten Winkeln in (V) zu <math> PM = m </math> in (VI) kommt?
Ich meine, dass es sich wegen der Definition von rechten Winkeln um solche handelt, wodurch ja erst der zweite Aspekt für die Mittelsenkrechte (siehe deren Definition) gegeben ist. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 10:16, 11. Jul. 2010 (UTC)

"Wenn ein Winkel das gleiche Maß hat, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist es ein rechter Winkel" (Def. rechter Winkel). Diese Bedingung ist ja durch Schritt (V) erfüllt. Meinst du trotzdem, dass es notwendig ist, nochmal darauf hinzuweisen? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:34, 11. Jul. 2010 (UTC)

Ich denke schon, bin mir da aber auch immer unsicher. Manchmal müssen wir ganz genau sein und ein anderes Mal ist es wieder egal... --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 13:58, 11. Jul. 2010 (UTC)

== Versuch 2: ==
VSS:
*Punkt P, Strecke <math> \overline{AB} </math>, es gilt <math> |AP| = |BP| </math>
*Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu <math> \overline{AB} </math> und geht durch <math> M \in \overline{AB} </math> und es gilt: <math> |MA| = |MB| </math>
 Behauptung: <math> P \in m </math>
 Annahme (indirekter Beweis): <math> P \notin m </math>

{| class="wikitable "
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Das Dreieck <math> \overline{ABP} </math> ist gleichschenklig
| Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS <math> |AP| = |BP| </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \alpha \cong \beta </math>
| Basiswinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels <math> \angle APB</math>
| Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Die Winkelhalbierende w und die Strecke <math>\overline {AB}</math> schneiden sich in <math>S</math>
| ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
'''''Nein, Satz: Ist SP+ ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke <math>\overline{AB}</math>. vgl. Aufgabe Tutorium 12 '''''--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>| SWS: <math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \overline{AS} \cong \overline{BS}</math>
| Dreieckskongruenz: (VI)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> S \equiv M</math>
| (VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: <math> \overline{AM} \cong \overline{BM}</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math> |\delta_1| = |\delta_2| = 90</math>
| Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| <math> m \equiv w \rightarrow P \in m \rightarrow</math> Widerspruch zu Annahme!
| (VIII), (IX), (III), (VSS)
|}
 Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
 [[Bild:Skizze_Übung_11_7.png|800px]]
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 11.7

2010-07-11T10:16:29Z

Barbarossa: /* Versuch 1: */

Beweisen Sie Satz VII.6a: 
Wenn ein Punkt <math> P </math> zu den Endpunkten der Strecke <math> \overline{AB} </math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math> \overline{AB} </math>.

== Versuch 1: ==

VSS: Punkt P, <math> \overline{AB} </math>, <math> |AP| = |BP| </math>, Mittelsenkrechte m 
Beh: <math> P \in m </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |AP| = |BP| </math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es existiert ein Punkt <math> M : |AM| = |BM|</math>
| Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt (I)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \alpha \cong \beta </math>
| Basiswinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \overline {PAM} \cong \overline {PBM} </math>
| (I), (II), (III), (SWS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>| \angle AMP| = | \angle BMP|</math>
| (Def Dreieckskongruenz) (IV)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> PM = m </math>
| (Axiom I.1), (II), (V)
|}
--> <math>P \in m </math>, die Behauptung ist wahr. qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC) 
Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS? 
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)

Die Winkel <math>alpha</math> und <math>beta</math> entsprechen den Winkel <math>\angle PAB</math> und <math>\angle ABP</math>. Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC)

Müsste man nicht noch einen Zwischenschritt einschieben und schreiben, wie man von den beiden kongruenten Winkeln in (V) zu <math> PM = m </math> in (VI) kommt?
Ich meine, dass es sich wegen der Definition von rechten Winkeln um solche handelt, wodurch ja erst der zweite Aspekt für die Mittelsenkrechte (siehe deren Definition) gegeben ist. --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 10:16, 11. Jul. 2010 (UTC)

== Versuch 2: ==
VSS:
*Punkt P, Strecke <math> \overline{AB} </math>, es gilt <math> |AP| = |BP| </math>
*Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu <math> \overline{AB} </math> und geht durch <math> M \in \overline{AB} </math> und es gilt: <math> |MA| = |MB| </math>
 Behauptung: <math> P \in m </math>
 Annahme (indirekter Beweis): <math> P \notin m </math>

{| class="wikitable "
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Das Dreieck <math> \overline{ABP} </math> ist gleichschenklig
| Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS <math> |AP| = |BP| </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> \alpha \cong \beta </math>
| Basiswinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels <math> \angle APB</math>
| Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Die Winkelhalbierende w und die Strecke <math>\overline {AB}</math> schneiden sich in <math>S</math>
| ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
'''''Nein, Satz: Ist SP+ ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke <math>\overline{AB}</math>. vgl. Aufgabe Tutorium 12 '''''--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>| SWS: <math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> \overline{AS} \cong \overline{BS}</math>
| Dreieckskongruenz: (VI)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math> S \equiv M</math>
| (VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: <math> \overline{AM} \cong \overline{BM}</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math> |\delta_1| = |\delta_2| = 90</math>
| Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| <math> m \equiv w \rightarrow P \in m \rightarrow</math> Widerspruch zu Annahme!
| (VIII), (IX), (III), (VSS)
|}
 Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
 [[Bild:Skizze_Übung_11_7.png|800px]]
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Der fotografierte Beweis

2010-07-10T21:20:06Z

Barbarossa:

Diskussion:Videos zur Vorlesung

2010-07-10T10:10:59Z

Barbarossa: Die Seite wurde neu angelegt: = Zur Umkehrung des Basiswinkelsatzes = Wir haben in der Vorlesung die Umkehrung des Basiswinkelsatzes folgendermaßen formuliert: " Wenn in einem Dreieck zwei Innenwi...

Diskussion:Der fotografierte Beweis

2010-07-10T07:59:34Z

Barbarossa: Die Seite wurde neu angelegt: Müsste man den Beweis nicht rein theoretisch noch einmal analog für <math>|\overline{AC}|</math> < <math>|\overline{DF}|</math> führen? --~~~~