Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Hauptseite

2013-01-29T18:03:04Z

Beveggie: /* Hinweise */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
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| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2012/13 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''

*Spezialveranstaltung: [[Selbstverteidigung und mentales Training]]<br /> Wir beginnen am 29.10.12. Ort: PH-Spezialh. 003 INF 720 --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:10, 11. Okt. 2012 (CEST)

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'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
|}
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]
{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur}}

==Hinweise==

* '''Landeslehrpreis 2012 an drei unsere Dozenten im Fach Mathematik!'''<br />
Herzlichen Glückwunsch Herr Prof. Dr. Spannagel, Herr Dr. Gieding und Herr Dr. Schnirch!<br />
Mehr unter:<br />
http://www.ph-heidelberg.de/presse-und-kommunikation/pressemitteilungen/artikel/landeslehrpreis-2012.html<br />
*Klausurtermin ist Dienstag, der 12.02 um 10 Uhr für alle (neue+alte Studienordnung).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:32, 13. Jan. 2013 (CET)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-

| Mo.|| 08-10 Uhr || A108 ||A. Zähringer

|-

| Di.|| 10-12 Uhr || A108 ||A. Zähringer

|-

| Mi.|| 14-16 Uhr || A206 ||J. Spannagel

|-

| Do.|| 16-18 Uhr || A108 ||M. Schulte
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Wintersemester 2012/13!

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</div>
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_WS_12_13]]

==Hinweise==
* Leider bin ich immer noch krank, der Arzt hat mich heute erneut für die gesamte Woche aus dem Verkehr gezogen, so böse hat es mich das letzte mal vor 17 Jahren erwischt. Die Antibiotika müssen es jetzt richten. Ich bin dabei zu organisieren, dass die Vorlesung am Freitag nicht ausfällt. Näheres demnächst hier. Wenn Tableten anschlagen und ich bis Montag einsatzbereit bin, werde ich am Montag Nachmittag eine Übung machen. Ferner wird es am Mittwoch Nachmittag eine Übung geben (nach dem Tutorium).
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:02, 29. Jan. 2013 (CET)
*[[Spezialveranstaltung: Den Berg bezwingen: Spinning zur Klausurvorbereitung WS_12_13]]

* [[Klausurvorbereitung WS_12_13: Lisa reloaded oder der Heidelberger Viereckskreis]]
* Gerade ergänzt in [[Klausurvorbereitung WS_12_13: Lisa reloaded oder der Heidelberger Viereckskreis]]: Lisa mag es symmetrisch.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 20. Jan. 2013 (CET)
* [[Bierkasten/Prosecco Aufgabe WS_12_13]]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:17, 20. Jan. 2013 (CET) Das erste Video wurde eingereicht:[http://www.youtube.com/watch?v=yASKusZIfOo&sns=em]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:02, 21. Jan. 2013 (CET)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 10-12 Uhr ||H001 || Gieding
|}

====Übungen====

{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 12:00 - 14:00 || A306 ||Gieding
|-
| Donnerstag || 14:00 - 16:00 || H009 ||Gieding
|}

====Tutorien====

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|-
| Mittwoch || 12:00 - 14:00 || A108 || Huber
|-
| Donnerstag || 08:00 - 10:00 || A206 || Schneider
|}

====Hinweise, Kommentare====
* Lösung 8.6b reloaded: LarssonCarlsson auf Youtube:
[http://www.youtube.com/watch?v=LCTHgm1wlBU&feature=player_embedded]<br />
Das sieht verdächtig nach dem Golden Globe aus.<br />--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:34, 12. Jan. 2013 (CET)

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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
* Die Ergebnisse der ATP finden Sie in StudIP bei meinen Lehrveranstaltungen (Geometriedidaktik) im Forum --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:35, 27. Jul. 2012 (CEST)
==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====

Hat jemand vor im laufenden Wintersemester die Didaktik - Klausur
zu schreiben?

====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung Didaktik der Geometrie wird regulär nur im Sommersemester angeboten.
|}
</div>
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Dienstag || 10-12 Uhr ||H002 || Gieding
|}

|}
</div>
|}
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=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==
Wird die Vorlesung am Donnerstag (31.) vertreten?
--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 19:03, 29. Jan. 2013 (CET)
* Liebe Studierende, es hat sich sicherlich herumgesprochen, dass ich in dieser Woche krank geschrieben bin. Die Vorlesung am Donnerstag findet trotzdem statt. Sie wird durch Frau Plicht vertreten. Wegen der angestrebten Zusatzübung am kommenden Montag gebe ich Bescheid, wenn abzusehen ist, dass ich wirklich wieder auf dem Posten bin. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:45, 23. Jan. 2013 (CET)

==Newsticker==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Vorlesung
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|-
| Donnerstag || 10-12 Uhr ||A106 || Gieding
|}

Übung
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 14-16 Uhr ||A106 || Plicht
|}
Nächste Übung am (07.1., 21.1, 4.2.)

Bei Interesse an einer Übung zur Examensvorbereitung bitte hier eintragen:<br />
[[http://doodle.com/e4e7gnkuihb8kkt3]] (19-21.2)



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

2013-01-04T11:19:27Z

Beveggie: /* Vorlesung/Seminar/Übung */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
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{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2012/13 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''

*Spezialveranstaltung: [[Selbstverteidigung und mentales Training]]<br /> Wir beginnen am 29.10.12. Ort: PH-Spezialh. 003 INF 720 --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:10, 11. Okt. 2012 (CEST)

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'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
|}
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]
{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur}}

==Hinweise==

* '''Landeslehrpreis 2012 an drei unsere Dozenten im Fach Mathematik!'''<br />
Herzlichen Glückwunsch Herr Prof. Dr. Spannagel, Herr Dr. Gieding und Herr Dr. Schnirch!<br />
Mehr unter:<br />
http://www.ph-heidelberg.de/presse-und-kommunikation/pressemitteilungen/artikel/landeslehrpreis-2012.html<br />

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Do. || 10-12 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-

| Mo.|| 08-10 Uhr || A108 ||A. Zähringer

|-

| Di.|| 10-12 Uhr || A108 ||A. Zähringer

|-

| Mi.|| 14-16 Uhr || A206 ||J. Spannagel

|-

| Do.|| 16-18 Uhr || A108 ||M. Schulte
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Wintersemester 2012/13!

|}
</div>
|}
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_WS_12_13]]

==Hinweise==
* [[Zusatzaufgaben über Weihnachten]] Viel Spaß mit der gendergerechten Mathematik --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:10, 15. Dez. 2012 (CET)

* [[Klausurvorbereitung WS_12_13: Lisa reloaded oder der Heidelberger Viereckskreis]]

==Newsticker==

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====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 10-12 Uhr ||H001 || Gieding
|}

====Übungen====

{| class="wikitable"
|-
| Freitag || 12:00 - 14:00 || A306 ||Gieding
|-
| Donnerstag || 14:00 - 16:00 || H009 ||Gieding
|}

====Tutorien====

{| class="wikitable"
|-
| Mittwoch || 12:00 - 14:00 || A108 || Huber
|-
| Donnerstag || 08:00 - 10:00 || A206 || Schneider
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Wintersemester 2012/13!!

|}
</div>
|}
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
* Die Ergebnisse der ATP finden Sie in StudIP bei meinen Lehrveranstaltungen (Geometriedidaktik) im Forum --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:35, 27. Jul. 2012 (CEST)
==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====

Hat jemand vor im laufenden Wintersemester die Didaktik - Klausur
zu schreiben?

====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung Didaktik der Geometrie wird regulär nur im Sommersemester angeboten.
|}
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|}
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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| Dienstag || 10-12 Uhr ||H002 || Gieding
|}

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=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==
*Ich habe mal Teile vom Donnerstag (Gruppen) eingetragen. Wäre toll, wenn jemand ergänzen könnte, mir läuft die Zeit weg.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:33, 9. Dez. 2012 (CET)

==Newsticker==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Vorlesung
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|-
| Donnerstag || 10-12 Uhr ||A106 || Gieding
|}

Übung
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|-
| Montag || 14-16 Uhr ||A106 || Plicht
|}
(14-tägig, nächste Übungen: 26.11., 10.12.)
findet die Übung am 7.01 statt? oder erst am 14.?



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Geradenspiegelungen (2012 13)

2012-11-10T16:17:23Z

Beveggie: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
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| valign="top" |

== Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung==
=== Idee der Symmetrie ===
<ggb_applet width="458" height="328" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

<br /><br />Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

===Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels===
{{#ev:youtube|rAPgiFSavFY}}
{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Spiegelung_01.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_02.JPG|200px]] ||[[Bild:Spiegelung_03.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_04.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_05.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_06.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_07.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_09.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_10.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_11.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_12.JPG|200px]] ||
|}

===Falten===
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Reduktion der großen Idee ''Geradenspiegelung'' auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ===
====Übungsaufgabe:====

Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>\ g</math>,
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Lotgerade von P auf g
| Fällen des Lotes von P auf die Gerade g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 2.
| Lotfußpunkt L
| Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 3.
| IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P'
| Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P'
|Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|}

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...
<math>\forall P\ \not\in g: g ist Mittelsenkrechte von\overline{PS_g(P)}

====Beweis von Satz 2.1:====

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?

=====Fall 1=====
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
'''Beweis:''' <br />

=====Fall 2=====
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br />
'''Beweis:'''

=====Fall 3=====

::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />

'''Beweis:'''

[[Bild:Fall_3.JPG]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)

=====Fall 4=====
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />

[[Bild:Unbenannt.JPG]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
==== Satz 2.2 ====
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />

==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
<br />


|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Geradenspiegelungen (2012 13)

2012-11-10T16:16:13Z

Beveggie: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

== Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung==
=== Idee der Symmetrie ===
<ggb_applet width="458" height="328" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADVWZD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1VhNc9s4DD1vfwVXh96i6Nvy1E7HSXrITLvNTro99EZJiM2NRLoUlcj+9QuSki3bSdpkk9muL7JACATeA0BIk/dtVZJbkDUTfOr4rucQ4LkoGJ9PnUZdH6XO+5M3kzmIOWSSkmshK6qmTugGjpY37OTNb5N6Ie4ILY3KVwZ3U+ealjU4pF5KoEW9AFA7ctq0rGRUrj5nf0Ou6u2CNXLBlw3uomSDsrwqPrK6vz02Gy5Lps7ZLStAklLkUyeJ0XX89xWkYjktp07kWUkwdYK9RRSFenUhJFsLrrT61vg1Sgip2RoQkUDLJscm0Ak0eckKRrkOxviBSoTcsUItps7YT9AksPlCaX9iay0XQhZXq1pBRdpvIAW648ca6JW9C+1djX7hhrFnloZ3xgzcXoFSSEtNaAtbwOaSFTs3F/WpKLeipWBcndGlaqThNOxEV2qlN8C9pHZ4xucldLIAIV9AfpOJ9sqCEFrTX1ZL84hxKJufiVJIIjW8MSp018xejY72dKPlGR3PaHQ2tNHNuj8OjIa5ZvZqtErGrWtd5H4fte/127CaaIGGEVNxE3xJM0BqHdJwpj72N5gCN12ovn3gj6bKsAaGSbCx6b+UzcnxXvpMbkByKG2ScOS2EU1NbnUy2r2MIwXkrMJbu9BBQjVdf6EDVlrAXELvuK0gC5hZ9YaJuCeeHPdOaB9q9DVX2AowHqVjOWdAODRAvgHDnOAVrfMF0qErWGH16NALqlBTdwMooQKsHWXyxKTZBq+Zs2kUwtR8X93d+hZ5XL43Z0x20XK5oCjpy6KkK+wAwzCNvU+i2A1eSZp3kgHHHJE14WJ1LrVVzd0SoOhaoeoSnixxH1M+A2IMnjVpTTPElF1NnaPQjVOHrO3jRssWm24TZvOwywSL1A8wuzzEbDcJB968CmrXrIViH7Vt3HEfd+BGwcuF/ecvHnboRomlO3Hjp4Wdi6qivCCcVhj2R11J+jGmjztCPU05ob6GwEbXqH6BWlOdgQMES1OUHT7U2W2baoHdiUNdm96uhl384YL8CZC950O8RTN1x13x+O4oHg9/tpSOosANvfDgMHgkKvjOrU5tWzKrcF7ImXqcjs8SW9pccFreQ8zMEkMPiMmeQEz2isQEXmQPYX3Nuuu/p+c+UlY9a8hOkLhBkuCs1f+iV+fpgis8WBGYPYqopSg7oOj8cYp2u8/5Dw6qB+BPLPqJBT95EezD0Hd9P07S7nDxUncUjcdBD3VoGEgDFwl4Tv85YzIv9xP93KI4O0AxfxxFHB9YvkEp/79k+s/lKZsDv0UHhawJab1uPFh5dkOy7iUtIndkJ3i/E639wfmA44ZkLZn1+rNea6bfUsZuGIeJ54d+4o/8aIyHyyzstphFuhO6nhfHiZcGURwFo2CE8lgfSKMQ8yKNozSMvCDpB+f98sLRJmfXLH9eeeUPldeHLmPe0qWo3z2l1j78QrX2SjNcj8pzpt+Xi/Pe8XcbfOSOxr4f+Ek09jCL4g0SaYodf+SNkyT14nD0xGkHWnz9r/WnhT7OL9AqnLFxYeq8/d4I9e4U7mAOpABOLht+o8iMNBUBxskpKwuybshav3pw4L/bB8wmu4grtOrsbvFfzja1olJdamyIBhfnmiDwhr+xgTd2w52heYjc8fBlzHx/6D7AnPwDUEsHCPNNXRbgBAAAshEAAFBLAQIUABQACAAIADVWZD3zTV0W4AQAALIRAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAGgUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

<br /><br />Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

===Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels===
{{#ev:youtube|rAPgiFSavFY}}
{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Spiegelung_01.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_02.JPG|200px]] ||[[Bild:Spiegelung_03.JPG|200px]]
|-
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|-
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|-
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|}

===Falten===
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Reduktion der großen Idee ''Geradenspiegelung'' auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ===
====Übungsaufgabe:====

Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>\ g</math>,
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Lotgerade von P auf g
| Fällen des Lotes von P auf die Gerade g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 2.
| Lotfußpunkt L
| Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 3.
| IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P'
| Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P'
|Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|}

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...
<math>\forall P\ \not\in g: g ist Mittelsenkrechte von\overline{PS_g(P)}
--~~~~

==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
====Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)====
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.

====Beweis von Satz 2.1:====

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?

=====Fall 1=====
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
'''Beweis:''' <br />

=====Fall 2=====
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br />
'''Beweis:'''

=====Fall 3=====

::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />

'''Beweis:'''

[[Bild:Fall_3.JPG]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)

=====Fall 4=====
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />

[[Bild:Unbenannt.JPG]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
==== Satz 2.2 ====
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />

==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
<br />


|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Geradenspiegelungen (2012 13)

2012-11-10T16:07:07Z

Beveggie: /* Übungsaufgabe: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

== Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung==
=== Idee der Symmetrie ===
<ggb_applet width="458" height="328" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

<br /><br />Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

===Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels===
{{#ev:youtube|rAPgiFSavFY}}
{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Spiegelung_01.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_02.JPG|200px]] ||[[Bild:Spiegelung_03.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_04.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_05.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_06.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_07.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_09.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_10.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_11.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_12.JPG|200px]] ||
|}

===Falten===
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Reduktion der großen Idee ''Geradenspiegelung'' auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ===
====Übungsaufgabe:====

Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>\ g</math>,
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Lotgerade von P auf g
| Fällen des Lotes von P auf die Gerade g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 2.
| Lotfußpunkt L
| Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 3.
| IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P'
| Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P'
|Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|}

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...

==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
====Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)====
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.

====Beweis von Satz 2.1:====

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?

=====Fall 1=====
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
'''Beweis:''' <br />

=====Fall 2=====
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br />
'''Beweis:'''

=====Fall 3=====

::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />

'''Beweis:'''

[[Bild:Fall_3.JPG]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)

=====Fall 4=====
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />

[[Bild:Unbenannt.JPG]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
==== Satz 2.2 ====
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />

==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
<br />


|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Geradenspiegelungen (2012 13)

2012-11-10T16:06:13Z

Beveggie: /* Übungsaufgabe: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

== Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung==
=== Idee der Symmetrie ===
<ggb_applet width="458" height="328" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

<br /><br />Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

===Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels===
{{#ev:youtube|rAPgiFSavFY}}
{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Spiegelung_01.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_02.JPG|200px]] ||[[Bild:Spiegelung_03.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_04.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_05.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_06.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_07.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_09.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_10.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_11.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_12.JPG|200px]] ||
|}

===Falten===
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Reduktion der großen Idee ''Geradenspiegelung'' auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ===
====Übungsaufgabe:====

Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>\ g</math>,
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Lotgerade von P auf g
| Fällen des Lotes von P auf die Gerade g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 2.
| Lotfußpunkt L
| Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotternden von P auf g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 3.
| IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P'
| Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P'
|Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|}

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...

==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
====Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)====
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.

====Beweis von Satz 2.1:====

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?

=====Fall 1=====
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
'''Beweis:''' <br />

=====Fall 2=====
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br />
'''Beweis:'''

=====Fall 3=====

::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />

'''Beweis:'''

[[Bild:Fall_3.JPG]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)

=====Fall 4=====
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />

[[Bild:Unbenannt.JPG]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
==== Satz 2.2 ====
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />

==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
<br />


|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Bewegungen (2012 13)

2012-11-10T15:17:43Z

Beveggie: /* Injektivität */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Begriff der Bewegung ==
=== Die Grundideen ===
====Starrheit und Kopieren====
<ggb_applet width="712" height="673" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===Abstraktion von den physikalischen Gegebenheiten===
Die Materie scheint schwer genug zu sein. Wir werden unsere Betrachtungen auf eine einzige Ebene ε einschränken.

Die Lochschablone ist nichts anderes als das Modell unserer Ebene. Leider muss jedes physikalische Modell, mit dem der Schüler auch noch konkret handelnd tätig werden soll, flächenmäßig beschränkt sein.Für den mathematischen Bewegungsbegriff abstrahieren wir von dieser Beschränktheit. Das ist uns eigentlich schon länger klar, soll an dieser Stelle jedoch noch einmal besonders hervorgehoben und betont werden.

Hinter der Idee des Kopierens steckt nichts anderes als der mathematische Abbildungsbegriff. Jedem Original wird ein Bild zugeordnet.

Der Definitionsbereich für unsere Abbildungen ist die gesamte Ebene. Ihr Bild ist sie selbst. Jeder Punkt der Ebene ε wird auf genau einen Punkt der Ebene ε abgebildet. Aus mathematischer Sicht ist es egal, ob unser Ebenenmodell aus Plastik oder Glas ist. Aus Gummi dürfte es allerdings nicht sein, denn Gummimatten sind mit Sicherheit nicht starr. Die Starrheit bedeutet nichts weiter, als dass zwei Originalpunkte denselben Abstand haben wie ihre Bildpunkte.

=== Der Begriff der Bewegung ===
==== Definition ====
=====Definition 1.1: Bewegung=====
::Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der Streckenlängen erhalten bleiben.<br />

=== Eigenschaften von Bewegungen ===
===== Satz 1.1: (Bijektivität von Bewegungen) =====
::Jede Bewegung ist eine Bijektion.

==== Beweis von Satz 1.1 ====
===== Vorüberlegungen =====
Es sei <math>\ \beta</math> eine Bewegung, die die Ebene <math> \epsilon</math> auf sich selbst abbildet.

Wir haben zu zeigen, dass <math>\ \beta</math> ein Bijektion ist.<br />
Hierzu haben wir zu zeigen, dass die Abbildung <math>\ \beta</math><br />
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t surjektiv]

und

*[http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t injektiv]

ist.

===== Surjektivität =====
Die Surjektivität ergibt sich entsprechend der Definition 1.1 (Abbildung <u>auf</u>)

===== Injektivität =====
Alle unsere folgenden Bemerkungen beziehen sich auf ein und dieselbe Ebene <math>\varepsilon</math>. Wir verzichten deshalb darauf, die Zugehörigkeit der im folgenden verwendeten Punkte zu <math>\varepsilon</math> explizit zu betonen. Die gestrichenen Punktbezeichnungen mögen immer das Bild des Punktes mit der entsprechenden ungestrichenen Punktbezeichnung bezüglich der Bewegung <math>\beta</math> kennzeichnen.

zu zeigen:

# Jeder Punkt <math>\ P'</math> ist das Bild von maximal einem Punkt <math>\ P</math>.<br /><br />oder<br /><br />
# Je zwei verschiedene Originalpunkte <math>\ P</math> und <math>\ Q</math> haben nicht dasselbe Bild.<br /><br />oder<br /><br />
# <math>P \ne Q\Rightarrow P' \ne Q'</math>

Wir entscheiden uns dafür, 3. zu zeigen.

Wir führen den Beweis indirekt. (Ergänzen Sie den Beweis!)

{| class="wikitable"
|-
|<u>Voraussetzung:</u>|| <math>P \ne Q</math>
|-
|<u>Behauptung:</u>||<math> P' \ne Q'</math>
|-
|<u>Annahme:</u>||<math>\ P' = Q' </math>
|}

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (I)
| <math> d(P,Q) > 0 </math>
| Vor., Def. Abstand, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| (II)
| <math> d(\beta(P), \beta(Q)) = 0 </math>
|Annahme, Abstandsaxiom --[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| (III)
| (I) und (II) widersprechen sich.
| (I), (II)--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)
|}

===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====
:: Die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist eine Bewegung.
===== Beweis von Satz 1.2 =====
Zunächst ist allgemein bekannt, dass die NAF zweier Abbildungen eine Abbildung ist (s. Algebra I). Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen. <math>\beta_1</math> bildet die Ebene <math>\varepsilon</math>auf sich selbst ab. Hernach wird <math>\varepsilon</math> durch <math>\beta_2</math> wiederum auf sich selbst abgebildet. Ergo: <math>\begin{matrix} & \beta_2 \beta_1 & \\ \varepsilon & \longrightarrow & \varepsilon \end{matrix} </math>.

===== Satz 1.3: (Zwischenrelation als Invariante von Bewegungen) =====
::Die Zwischenrelation ist eine Invariante bei jeder Bewegung.

===== Beweis von Satz 1.3 =====

Es seien <math>\ A, B, C</math> drei paarweise verschiedene Punkte mit

(*) <math>\operatorname{Zw}(A, B, C)</math>.

zu zeigen:

(**) <math>\operatorname{Zw}(A', B', C')</math>

Wir übersetzen zunächst (*):

<math>\ |AB| + |BC| = |AC|</math>

entsprechend (**) haben wir zu zeigen, dass <math>\ |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|</math> gilt.

Den Rest können Sie alleine ... .

[[Bild:Invarianz_der_Zw-Relation.JPG|500px]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:46, 7. Nov. 2012 (CET)

=====Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen) =====
:: Für eine jede Bewegung <math>\ \beta</math> gilt:

::{| class="wikitable"
|-
| (a) || Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.
|-
| (b) || Das Bild einer Halbgeraden <math>\ AP^+</math> ist eine Halgerade mit dem Anfagspunkt <math>\ \beta(A)</math>.
|-
| (c) || Das Bild einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Strecke <math>\overline{\beta(A)\beta(B)}</math>
|-
| (d) || Falls zwei Geraden, Strecken, Halbgeraden oder zwei verschiedene dieser Figuren einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam haben, so haben die Bildfiguren den Punkt <math>\ \beta(P)</math> gemeinsam.
|}

===== Beweis von Satz 1.4: =====
:: Die Beweise ergeben sich mehr oder weniger unmittelbar aus Satz 1.3.
::Fühlen Sie sich frei zu üben.

===== Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)=====
:: Für jede Bewegung <math>\ \beta</math> und jeden Winkel <math>\angle ASB</math> gilt:
:: <math>| \angle ASB| = | \angle \beta(A) \beta(S) \beta(B)|</math>

=====Beweis von Satz 1.5:=====

Abstandserhaltung von <math>\ \beta</math>und der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.
<br />
Voraussetzung: <math>\angle ASB</math>, Bewegung <math>\beta</math>, <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />
Behauptung: <math>\angle ASB</math> = <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> <br />
...


|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]