Lösung Aufgabe 6.01 SoSe 2017

2017-06-12T15:46:35Z

Big h97: /* Lösung 1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

Lena aus der 5a erklärt Ihnen, was eine Strecke ist: <br />
Strecken sind Teile von Geraden. Mein Papa hat mir gesagt, dass die Mathematiker nicht einfach so Teil sondern Teilmenge sagen. Und zu einer Festlegung sagen sie Definition. Ich definiere also: <br /> Eine Teilmenge einer Geraden ist eine Strecke.

#Formulieren Sie Lenas "`Definition"' als Konventionaldefinition.
#Es ist klar, dass Lenas Definition nicht den formal korrekten Ansprüchen eines Mathematikers genügt. Aber auch im Sinne einer informellen Definition auf Schülerniveau wäre Lenas Definition verbesserunsgwürdig. Skizzieren Sie einen Denkanstoß, den Sie Lena geben würden, damit sie selbst ihre Definition präzisieren kann.
#Formulieren Sie eine verbesserte Variante von Lenas Definition. Bleiben Sie dabei auf dem Niveau einer informellen Definition.
=Lösung 1=
1. Wenn eine Gerade eine Teilmenge M hat,dann ist M eine Strecke auf der Geraden.
2. Denkanstoß: Ein einzelner Punkt P auf der Geraden gehört auch zur Teilmenge der Geraden, ist das mit der Teilmenge dann so korrekt?
3. Eine Teilmenge M von der Geraden g aus mindestens zwei Punkten auf der Geraden, ist eine Strecke.

=Lösung 2=


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung Aufgabe 5.10 SoSe 2017

2017-06-01T13:42:51Z

Big h97: /* Lösung 1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
==Aufgabe 5.10 SoSe 2017 ==
Es seien <math>A, B, C, D</math> vier paarweise verschiedene Punkte.<br /> Beweisen Sie: <br /> <math> \operatorname{nKomp}(A,B,C,D)\Rightarrow \operatorname{nKoll}(A,B,C)</math>.
=Lösung 1=
Wenn nKomp (A,B,C,D), dann müssen die Punkte A,B,C eine Ebene E bilden und somit nkoll (A,B,C), da ansonsten, wenn koll (A,B,C) aus der folgenden Geraden g mit den Punkten A,B,C sich eine Ebene H mit dem Punkt D und der Geraden g bildet, was wiederum dazu führen würde, dass Komp (A,B,C,D).

=Lösung 2=

=Lösung 3=


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Implikationen SoSe 2017

2017-05-08T17:15:01Z

Big h97: /* Beispiele */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Mathematische Aussagen=
==Beispiele==
===Primzahlen===
Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen:
{| class="wikitable"
|-
! Aussage!! Wahrheitswert
|-
| Die Zahl <math>3</math> ist eine Primzahl.|| wahr
|-
| Die Zahl <math>4</math> ist eine Primzahl.|| falsch
|-
| Es gibt unendlich viele Primzahlen.|| wahr
|-
| Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt.|| wahr.
|}
Keine Aussage zu Primzahlen ist:<br />
: Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl.

===Wichtige Sätze der Schulgeometrie===
Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein.
*Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels.
*Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
*Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks.
*Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen:
* .....
* .....
* .....

==Begriff der Aussage==
Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art:

*Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983).

Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:

*Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
*Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Beide Prinzipien zusammengefasst:
*Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch.

==Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen==
Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
{| class="wikitable"
|-
! keine Aussage!! Aussage
|-
| Gründonnerstag|| Gründonnerstag regnet es immer.
|-
| Ab jetzt heißt Raider Twix.|| Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
|-
| Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.|| Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in <math>\mathbb{R}</math> nicht definiert.
|-
| Konstruiere einen Kreis.|| ihr Beispiel
|-
| ihr Beispiel || ihr Beispiel
|}

==Die Negation einer Aussage==
===Beispiele===
{| class="wikitable"
|-
! Aussage !! Negation der Aussage
|-
| <math>2</math> ist Primzahl|| <math>2</math> ist keine Primzahl
|-
| Die Eisernen steigen auf.|| Die Eisernen steigen nicht auf.
|-
| Die Hose ist grün.|| Die Hose ist nicht grün.
|-
| Bier schmeckt gut. || Bier schmeckt nicht gut.
|-
| ihr Beispiel || ihr Beispiel
|}

===Wahrheitswerttabelle===
Wenn <math>p</math> eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit <math>\neg p</math> die Negation von <math>p</math> zu kennzeichnen.
{| class="wikitable"
|-
! <math>p</math> !! <math>\neg p</math>
|-
| wahr || falsch
|-
| falsch|| wahr
|}
Hinweis: Die LaTex-Syntax für das Zeichen <math>\neg</math> ist \neg.
==Verknüpfung zweier Aussagen==
===Das logische und===
==== Die Idee====
Zwei Aussagen <math>a</math> und <math>b</math> lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen.
==== Beispiel Teilbarkeit von Summen====
Wenn <math>t|a</math> und <math>t|b</math>, dann <math>t|(a+b)</math>.<br />
Voraussetzung <math>1</math>: <math>t|a</math><br />
Voraussetzung <math>2</math>: <math>t|b</math><br />
Zusammenfassung zu einer Voraussetzung: <math>t|a \land t|b</math>.
====Wahrheitswertabelle====
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \land b</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch|| falsch
|-
| falsch || wahr|| falsch
|-
| falsch || falsch || falsch
|}

Die Verknüpfung zweier Aussagen durch ein logisches und ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
==Das logische oder==
===Die Idee===
Zwei Aussagen lassen sich durch ein logisches oder zu einer Aussage zusammenfassen.
===Wahrheitswerttabelle===
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \lor b</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch|| wahr
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|}
Die Verknüpfung zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.<br />
Hinweis: Das logische oder entspricht nicht dem allgemeinen Sprachgebrauch in der Umgangsprache. Umgangssprachlich ist das oder ein entweder oder (exklusives oder).
===Wahrheitswerttabelle entweder oder===
exklusives oder
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \dot\lor b</math>
|-
| wahr || wahr || falsch
|-
| wahr || falsch|| wahr
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|}


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

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