https://geometrie.idea-sketch.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=BulkathosGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2026-07-06T03:05:26ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.43.9https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.4&diff=6356Lösung von Aufg. 12.42011-02-10T20:23:33Z<p>Bulkathos: /* Aufgabe 12.4 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.4 ==<br />
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<u>Vor</u>: g, P: P kein Element der Geraden g <br /><br />
<u>Beh:</u> es existiert eine Gerade h, <math>P \in h</math>, g//h<br /><br />
<br />
1) Es existieren zwei Punkte A und B, die auf der Geraden g liegen____________Axiom I/1<br /><br />
2) Die Punkte P und C liegen nicht auf der Geraden g__________________________Vor.<br /><br />
3) Durch zwei Punkte A und P geht genau eine Gerade_____________I/1, 1) und 2)<br /><br />
4) An PA+ trägt man in der Halbebene PA,B+ einen Winkel der Größe____________Winkelkonstruktionsaxiom/ Winkelmaßaxiom<br /><br />
|<math>\angle {PAB}</math>| an.<br /><br />
5) Durch den nicht auf AP liegende Schenkel des ungetragenen Winkels, verläuft die Gerade PC, die wir h bezeichnen._____4)<br /><br />
6) h//g__________________nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:54, 19. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
<br />
*Wenn ich mich nicht irre sagt der Beweis nicht aus das die Gerade h durch den Punkt P laeuft.<br /><br />
*Bei Punkt 4 müsst noch gesagt werden, dass der Strahl im Punkt P startet<br /><br /><br />
ja richtig, es müsste z. B. im Schritt 5 noch ein weiterer Punkt ''C'' auf dem konstruierten<br /> Strahl festgelegt werden und dann gesagt werden, dass wir die Gerade ''PC'' mit Gerade ''h''<br /> bezeichnen. Bei Schritt 4 sollte noch zusätzlich das Winkelmaßaxiom angeführt werden.<br />Ansonsten ist der Beweis aber OK!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:34, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Frage: Wo steht etwas davon, dass |<math>\angle {PAB}</math>|=90 ist? Beziehungsweise wie kommt man dann auf g||h?<br />
Der Winkel <math>\angle {PAB}</math> muss nicht das Maß 90 haben. Man muss nur sicherstellen,<br />dass dieser und der neu konstruierte Winkel das gleiche Maß haben. <br />Siehe Umkehrung des Stufenwinkelsatzes!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:34, 4. Feb. 2011 (UTC)</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Pr%C3%BCfungsschwerpunkt_Ws_2010/2011&diff=6354Prüfungsschwerpunkt Ws 2010/20112011-02-09T21:02:55Z<p>Bulkathos: /* Aufgabe 1: */</p>
<hr />
<div>== Gleichseitige Dreiecke==<br />
=== Aufgaben zur Vorbereitung===<br />
====Aufgabe 1: Höhe ====<br />
::Man berechne die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge <math>a</math>.<br />
====Aufgabe 2: Flächeninhalt ====<br />
::Man berechne den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge <math>a</math>.<br />
<br />
===Aufgabe zu gleichseitigen Dreiecken von Studenten===<br />
<br />
==== Aufgabe 1: ==== <br />
<br />
Man falte folgendermaßen aus einem DinA4 Blatt ein gleichseitiges Dreieck:<br /><br />
a) Man gehe folgendermaßen vor, um aus einem DinA4 Blatt ein gleichseitiges Dreieck zu erhalten. Man falte das Blatt so zusammen, dass die länger Seite auf die andere längere Seite fällt. Man öffnet das Papier wieder und klappt die Ecke D so ein, dass die Faltlinie n direkt in der Ecke A beginnt und D auf der zuvor entstandenen Faltlinie k liegt. Dann klappt man den restlichen Teil des Blattes über die neu Seite FE (siehe Skizze). Die überstehende Ecke B muss man jetzt noch nach hinten umklappen. Das Dreick AFG ist gleichschenklig.<br /><br /><br />
<br />
<ggb_applet width="736" height="512" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAIlmlz0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vtdk5s2FH1ufgXD+7KSQHzM2Ml4vzKZSZtON81DXzIyyFhrDA7gjb2/vlcSsF5ju4vj7NptXwxcyRfpnHuPrjDuvVtME+Oe54XI0r6JLWQaPA2zSKRx35yXozPffPf2TS/mWcyHOTNGWT5lZd+0LWJK+1y8ffNLrxhn3w2WqC5fBP/eN0csKbhpFLOcs6gYc14+sbP5QiSC5ctPwzselsVjg3byIZ3N4S5lPgdbOI0+iqK+PFc3nCWivBL3IuK5kWRh33QpDB3OvvC8FCFL+qaDtIX0TbLWCCZbto6zXDxkaSm7PzofgcUwCvHAAREibb1zNdEen4eJiARL5WTUOKCTYXwXUTnum57tgksu4jGMlWKkvYVZlke3y6LkU2PxF88zGA6mEuilvrL1VQHjghtSpJpWr5Qbfn/LyxJoKQy24I+AxbmIaqDk+YfiIkuipnmWibS8ZLNynitK7cp0Wy6lf7hVLsc7SOOEVzYCiI95OBlmi1uNga1df17O1FfUeIbxZZZkuZFLdCl0qI5DfVR95ECbXkj1QapH5UM6bdpxQFQPdRzqo+qViFQPrZo4riddI8wWojCkQaIIkdhMPmFDDsyaxjwV5cf6AiJgUk0V6y/8Np8OIQVWY6DxiQ/ls3e+Fj29Cc9TnugYSYHaeTYvjHsZi/peaiARD8UULnVDBQmTdP0JA9DWiMc5rweuE0gDplqfxOGauXdeD0KOoYCxhiUoAcynlHORiVpCksiziJXSIrMg4VMOKVKqeFDh1OAyMBs9yFRq17FZtT8iDM0bY0NFEUtmYwaWOvoTtoREX52O8vdrFj2dJEsBLDUDyLeZdCDpmHEeVeJWVjFszMClyogVrBVEhbHom2eq8xJObHnyoL+tOun0kXmvbmxX3GpM/gGdi6+4jc/TwDoRgOy98Qmz6ZSlkZGyKdzoD7ZUiAgp+AZDMoIMhjVUGoZ5WTcx7avy0MI6B181jMx8Kh3lGDI05UWh9K1cVbIfIgPtT8UjmKgC06mxJI2v50yAf0t1n0IrkJjC6hiKssEvkUR+SEvQI67yuy0zE85nUt8/pZ9zlhZymdd9VuRrC4WXIg8TvplFjCzaojHcTSMIkQgbCsLjJ/J5JImYp/cwtCwvDGOBqnRboor+h9qyANjOdETgyvSAV/IL0jcXC2NQ9x/UvQZE6hZCFgF9GNiV34FTN1OdtRtDBhQgFCMR7ma6CaE1skNNNoMDWRnpCuUXuylfU8m91hDXUWzKw1AffjwxA4jeQ6jcpxxW0ThLWfIRYmVzqrAWaMPdoMmwazAZHn+arKyuTiV4qIJVGQ4jePvplLdBpqIuMhUdP/7HJFOO+/IqFWmqh1qlyAaVuuqiUldHo1JNsepIufpJKnVVo7cOGu+gUvz4s6RdlZ01ZZn/Aiq1k4SLbUvFqAMJo1MiobVU2C9BwjYJ4Rr/UQv/yy7KcXk0yoEpqeD1SB3k7n7icctjad+ymWsBFu8GrKi81ZDEe8Zsx2cPB9UNtfdRIYvr6uIUtnObiayU57JF5LgbkeMTIvLMq8r/Wns8LKuWE2fyUjN51WJSdGNSnBCTzVLe5KTj/QuorGqyQYvKu25U3p0Qla2cPCVtlSXdhSjU9mqNy7sWiZMONd3kGQxieiQU1tnoVbl4Ri33eclYT+HwDwDacjjrsv2fHX9N/V/f/s800ZPt2//rLkX89dEU8dRyAooDRIlv+zYJKnn0fuhZwA6lqlad6xZ+SQfBSo4/YVYKQXcTxHYNsQMnjo8Cx8Mudj3c+t36xfaniaZGtKi56RLaN0cT2oR4FsYkCAIH4AeUPY08ci0/8DxKHNfFGDm24sH1LRwEFCHJBnHqtxC6B/4aqjfbAn7aIeCnpxTwOrSXUiaxS5FrU4huF6PA0ws2IRaxkecSjG1q29j96RG/uQC+2VYAp90K4PSUyqe6Aj5zLNtGmHgI+wEhOLDrasoJkO1jRF3Pdal/qMLq1bY5W/PvWzeWvz2H5WPZ5/yUFMTPyMFXo/l6WzLn3WjOT5LmDTWGpBlTy7Mp9TD1KXYC3zshmtvv9mzN5GI3xatv9hT/L6RHwe62GjTWHBctjt93qUHfH00NCkus5RJCEfEcWG3hs3qUiKHcJNUT/sCyvb3Kzd+zZBln6eaHEjd6r/q+BeUXAf7CCdbd4q9Yd2TqBDbVI/3y3C6w9W1rOBuHB3gQuBJeq9xgaityKG6nF+1CzvaXLVu/Gn09yIQ2x9qu+ey90axru82l3T6V3WuJxW5m2Kkxs40Yp3qE6TgW6DpsSEEgkOvah3oG8ArcjE6Nm+bXHd9yXUSog2zPdxzbrxdZagX+qSyy56vv4at/nlR/vXn7N1BLBwjM9/xs5QYAAKwzAABQSwECFAAUAAgACACJZpc9zPf8bOUGAACsMwAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAB8HAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br /><br />
Beweise dir Korrektheit dieser Handlung.<br /><br />
[[Lösungshinweise]]<br /><br /><br />
''b) Lässt sich dies auch mit einem quadratischen Papier oder mit einem Rechteck der Breite a und Länge 2a durchführen? Begründe.<br />''<br />
''c) Kann man auf diese Weiße auch ein Tetraeder herstellen?<br />'' http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/did_geo/dateien/tetraeder-1.pdf<br />
<br /><br />
<br />
<br />
[[Category:Elementargeometrie]]</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Diskussion:Definitionen_WS10/11&diff=6353Diskussion:Definitionen WS10/112011-02-09T18:47:31Z<p>Bulkathos: Die Seite wurde neu angelegt: === Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) === Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math>...</p>
<hr />
<div></div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Definitionen_WS10/11&diff=6352Definitionen WS10/112011-02-09T18:11:09Z<p>Bulkathos: /* Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */</p>
<hr />
<div>Hier geht es zu den [[Axiome WS10/11]]<br />
<br />
Hier geht es zu den [[Sätze WS10/11]]<br />
<br />
= Definitionen (1) =<br />
<br />
===Definition: (n-stellige Relation)===<br />
Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
<br />
===Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)===<br />
Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.<br />
<br />
<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn<br />
<br />
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.<br />
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.<br />
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.<br />
<br />
Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.<br />
<br />
<br />
= Definitionen (2) =<br />
<br />
== Definitionen I ==<br />
<br />
===Definition I/2 (kollinear)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)<br />
<br />
Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)<br />
<br />
===Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)===<br />
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist. <br />
<br />
===Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)===<br />
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört. <br />
<br />
===Definition I/5 (Raum)===<br />
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.<br />
<br />
===Definition I/6 (komplanar)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)<br />
<br />
analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar<br />
<br />
===Definition I/7 (komplanar für Geraden)=====<br />
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen. <br />
<br />
Schreibweise: komp(g, h) <br />
<br />
===Definition I/8 (Geradenparallelität)===<br />
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind. <br />
<br />
In Zeichen: g || h. <br />
<br />
===Definition I/9 (windschief)===<br />
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind. <br />
<br />
===Definition I/10 (parallel für Ebenen)===<br />
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen II ==<br />
<br />
=== Definition II.1 (Abstand) ===<br />
Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann.<br />
<br />
Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition II.2 (Zwischenrelation) ===<br />
Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
<br />
Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
<br />
=== Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br ><br ><br />
* Wieso zwei verschiedene Punkte? Laut meinen Kenntnissen stimmt diese Definition so nicht! --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]<br />
<br ><br />
<br />
=== Definition II.4 (Länge einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
=== Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) ===<br />
<u>Halbgerade <math>AB^+</math></u><br />
<br />
<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math><br />
<br />
<u>Halbgerade <math>AB^-</math></u> <br />
<br />
<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math><br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen III ==<br />
<br />
=== Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke) ===<br />
Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IV ==<br />
<br />
=== Definition IV.1 (offene Halbebene)===<br />
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br />
<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math><br />
<br />
=== Definition IV.2 (Halbebene) ===<br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
===Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===<br />
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen V ==<br />
<br />
=== Definition V.1 (Winkel)===<br />
Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels <math>\ \angle pq</math>. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S<br />
<br />
=== Definition V.2 (Inneres eines Winkels) ===<br />
Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.<br />
<br />
=== Definition V.3 (Scheitelwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.<br />
<br />
=== Definition V.4 (Nebenwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.<br />
<br />
===Definition V.5 (Größe eines Winkels) ===<br />
Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />
<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ===<br />
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.<br />
<br />
=== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ===<br />
Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.<br />
<br />
=== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) ===<br />
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math><br />
<br />
=== Definition V.9 (noch mehr Senkrecht) ===<br />
1. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br />
<br />
2. Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ CD</math> steht. <br />
<br />
3. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:50, 8. Dez. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== Defintionen VI ==<br />
<br />
=== Definition VI.1 (Mittelsenkrechte) ===<br />
Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn <br />
<br />
:# <math>m \perp AB</math><br />
:# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math><br />
<br />
=== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)===<br />
(a) Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.<br />
<br />
(b) Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VII ==<br />
<br />
=== Definition VII.1 (Streckenkongruenz) ===<br />
Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.<br />
<br />
In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math><br />
<br />
=== Definition VII.2 (Winkelkongruenz) ===<br />
Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math><br />
<br />
=== Definition VII.3 (Dreieckskongruenz) ===<br />
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen <br />
<br />
:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math><br />
:# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math><br />
:# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math><br />
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math><br />
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math><br />
:# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math><br />
gelten,<br />
<br />
dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.<br />
<br />
=== Definition VII.4 (gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel) ===<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.<br />
<br />
Ein '''Schenkel''' ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Die dritte Seite nennt man '''Basis''' des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man '''Basiswinkel''' des gleichschenkligen Dreiecks.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VIII ==<br />
<br />
=== Definition VIII.1 (Außenwinkel eines Dreiecks) ====<br />
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline {ABC}</math>. Alle Nebenwinkel der Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IX ==<br />
<br />
=== Definition IX.1 (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. <br />
<br />
Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.<br />
<br />
=== Definition IX.2 (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. <br />
<br />
Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist der Abstand der Punkte <math>\ P</math> und <math>\ L</math>, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen X ==<br />
<br />
=== Definition X.1 (Stufenwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.2 (Wechselwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.3 (entgegengesetzt liegende Winkel) ===</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Definitionen_WS10/11&diff=6351Definitionen WS10/112011-02-09T18:09:47Z<p>Bulkathos: /* Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */</p>
<hr />
<div>Hier geht es zu den [[Axiome WS10/11]]<br />
<br />
Hier geht es zu den [[Sätze WS10/11]]<br />
<br />
= Definitionen (1) =<br />
<br />
===Definition: (n-stellige Relation)===<br />
Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
<br />
===Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)===<br />
Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.<br />
<br />
<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn<br />
<br />
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.<br />
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.<br />
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.<br />
<br />
Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.<br />
<br />
<br />
= Definitionen (2) =<br />
<br />
== Definitionen I ==<br />
<br />
===Definition I/2 (kollinear)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)<br />
<br />
Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)<br />
<br />
===Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)===<br />
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist. <br />
<br />
===Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)===<br />
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört. <br />
<br />
===Definition I/5 (Raum)===<br />
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.<br />
<br />
===Definition I/6 (komplanar)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)<br />
<br />
analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar<br />
<br />
===Definition I/7 (komplanar für Geraden)=====<br />
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen. <br />
<br />
Schreibweise: komp(g, h) <br />
<br />
===Definition I/8 (Geradenparallelität)===<br />
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind. <br />
<br />
In Zeichen: g || h. <br />
<br />
===Definition I/9 (windschief)===<br />
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind. <br />
<br />
===Definition I/10 (parallel für Ebenen)===<br />
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen II ==<br />
<br />
=== Definition II.1 (Abstand) ===<br />
Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann.<br />
<br />
Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition II.2 (Zwischenrelation) ===<br />
Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
<br />
Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
<br />
=== Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br ><br ><br />
* Wieso zwei verschiedene Punkte? Laut meinen Kenntnissen stimmt diese Definition so nicht! <br />
<br ><br />
<br />
=== Definition II.4 (Länge einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
=== Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) ===<br />
<u>Halbgerade <math>AB^+</math></u><br />
<br />
<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math><br />
<br />
<u>Halbgerade <math>AB^-</math></u> <br />
<br />
<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math><br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen III ==<br />
<br />
=== Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke) ===<br />
Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IV ==<br />
<br />
=== Definition IV.1 (offene Halbebene)===<br />
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br />
<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math><br />
<br />
=== Definition IV.2 (Halbebene) ===<br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
===Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===<br />
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen V ==<br />
<br />
=== Definition V.1 (Winkel)===<br />
Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels <math>\ \angle pq</math>. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S<br />
<br />
=== Definition V.2 (Inneres eines Winkels) ===<br />
Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.<br />
<br />
=== Definition V.3 (Scheitelwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.<br />
<br />
=== Definition V.4 (Nebenwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.<br />
<br />
===Definition V.5 (Größe eines Winkels) ===<br />
Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />
<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ===<br />
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.<br />
<br />
=== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ===<br />
Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.<br />
<br />
=== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) ===<br />
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math><br />
<br />
=== Definition V.9 (noch mehr Senkrecht) ===<br />
1. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br />
<br />
2. Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ CD</math> steht. <br />
<br />
3. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:50, 8. Dez. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== Defintionen VI ==<br />
<br />
=== Definition VI.1 (Mittelsenkrechte) ===<br />
Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn <br />
<br />
:# <math>m \perp AB</math><br />
:# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math><br />
<br />
=== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)===<br />
(a) Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.<br />
<br />
(b) Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VII ==<br />
<br />
=== Definition VII.1 (Streckenkongruenz) ===<br />
Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.<br />
<br />
In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math><br />
<br />
=== Definition VII.2 (Winkelkongruenz) ===<br />
Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math><br />
<br />
=== Definition VII.3 (Dreieckskongruenz) ===<br />
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen <br />
<br />
:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math><br />
:# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math><br />
:# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math><br />
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math><br />
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math><br />
:# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math><br />
gelten,<br />
<br />
dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.<br />
<br />
=== Definition VII.4 (gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel) ===<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.<br />
<br />
Ein '''Schenkel''' ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Die dritte Seite nennt man '''Basis''' des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man '''Basiswinkel''' des gleichschenkligen Dreiecks.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VIII ==<br />
<br />
=== Definition VIII.1 (Außenwinkel eines Dreiecks) ====<br />
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline {ABC}</math>. Alle Nebenwinkel der Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IX ==<br />
<br />
=== Definition IX.1 (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. <br />
<br />
Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.<br />
<br />
=== Definition IX.2 (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. <br />
<br />
Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist der Abstand der Punkte <math>\ P</math> und <math>\ L</math>, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen X ==<br />
<br />
=== Definition X.1 (Stufenwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.2 (Wechselwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.3 (entgegengesetzt liegende Winkel) ===</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Definitionen_WS10/11&diff=6350Definitionen WS10/112011-02-09T18:08:00Z<p>Bulkathos: /* Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */</p>
<hr />
<div>Hier geht es zu den [[Axiome WS10/11]]<br />
<br />
Hier geht es zu den [[Sätze WS10/11]]<br />
<br />
= Definitionen (1) =<br />
<br />
===Definition: (n-stellige Relation)===<br />
Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
<br />
===Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)===<br />
Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.<br />
<br />
<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn<br />
<br />
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.<br />
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.<br />
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.<br />
<br />
Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.<br />
<br />
<br />
= Definitionen (2) =<br />
<br />
== Definitionen I ==<br />
<br />
===Definition I/2 (kollinear)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)<br />
<br />
Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)<br />
<br />
===Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)===<br />
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist. <br />
<br />
===Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)===<br />
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört. <br />
<br />
===Definition I/5 (Raum)===<br />
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.<br />
<br />
===Definition I/6 (komplanar)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)<br />
<br />
analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar<br />
<br />
===Definition I/7 (komplanar für Geraden)=====<br />
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen. <br />
<br />
Schreibweise: komp(g, h) <br />
<br />
===Definition I/8 (Geradenparallelität)===<br />
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind. <br />
<br />
In Zeichen: g || h. <br />
<br />
===Definition I/9 (windschief)===<br />
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind. <br />
<br />
===Definition I/10 (parallel für Ebenen)===<br />
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen II ==<br />
<br />
=== Definition II.1 (Abstand) ===<br />
Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann.<br />
<br />
Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition II.2 (Zwischenrelation) ===<br />
Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
<br />
Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
<br />
=== Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br ><br ><br />
* Wieso zwei verschiedene Punkte?<br />
<br ><br />
<br />
=== Definition II.4 (Länge einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
=== Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) ===<br />
<u>Halbgerade <math>AB^+</math></u><br />
<br />
<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math><br />
<br />
<u>Halbgerade <math>AB^-</math></u> <br />
<br />
<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math><br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen III ==<br />
<br />
=== Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke) ===<br />
Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IV ==<br />
<br />
=== Definition IV.1 (offene Halbebene)===<br />
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br />
<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math><br />
<br />
=== Definition IV.2 (Halbebene) ===<br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
===Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===<br />
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen V ==<br />
<br />
=== Definition V.1 (Winkel)===<br />
Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels <math>\ \angle pq</math>. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S<br />
<br />
=== Definition V.2 (Inneres eines Winkels) ===<br />
Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.<br />
<br />
=== Definition V.3 (Scheitelwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.<br />
<br />
=== Definition V.4 (Nebenwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.<br />
<br />
===Definition V.5 (Größe eines Winkels) ===<br />
Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />
<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ===<br />
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.<br />
<br />
=== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ===<br />
Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.<br />
<br />
=== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) ===<br />
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math><br />
<br />
=== Definition V.9 (noch mehr Senkrecht) ===<br />
1. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br />
<br />
2. Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ CD</math> steht. <br />
<br />
3. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:50, 8. Dez. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== Defintionen VI ==<br />
<br />
=== Definition VI.1 (Mittelsenkrechte) ===<br />
Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn <br />
<br />
:# <math>m \perp AB</math><br />
:# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math><br />
<br />
=== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)===<br />
(a) Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.<br />
<br />
(b) Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VII ==<br />
<br />
=== Definition VII.1 (Streckenkongruenz) ===<br />
Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.<br />
<br />
In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math><br />
<br />
=== Definition VII.2 (Winkelkongruenz) ===<br />
Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math><br />
<br />
=== Definition VII.3 (Dreieckskongruenz) ===<br />
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen <br />
<br />
:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math><br />
:# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math><br />
:# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math><br />
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math><br />
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math><br />
:# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math><br />
gelten,<br />
<br />
dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.<br />
<br />
=== Definition VII.4 (gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel) ===<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.<br />
<br />
Ein '''Schenkel''' ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Die dritte Seite nennt man '''Basis''' des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man '''Basiswinkel''' des gleichschenkligen Dreiecks.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VIII ==<br />
<br />
=== Definition VIII.1 (Außenwinkel eines Dreiecks) ====<br />
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline {ABC}</math>. Alle Nebenwinkel der Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IX ==<br />
<br />
=== Definition IX.1 (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. <br />
<br />
Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.<br />
<br />
=== Definition IX.2 (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. <br />
<br />
Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist der Abstand der Punkte <math>\ P</math> und <math>\ L</math>, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen X ==<br />
<br />
=== Definition X.1 (Stufenwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.2 (Wechselwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.3 (entgegengesetzt liegende Winkel) ===</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Definitionen_WS10/11&diff=6349Definitionen WS10/112011-02-09T18:01:32Z<p>Bulkathos: /* Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */</p>
<hr />
<div>Hier geht es zu den [[Axiome WS10/11]]<br />
<br />
Hier geht es zu den [[Sätze WS10/11]]<br />
<br />
= Definitionen (1) =<br />
<br />
===Definition: (n-stellige Relation)===<br />
Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
<br />
===Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)===<br />
Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.<br />
<br />
<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn<br />
<br />
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.<br />
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.<br />
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.<br />
<br />
Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.<br />
<br />
<br />
= Definitionen (2) =<br />
<br />
== Definitionen I ==<br />
<br />
===Definition I/2 (kollinear)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)<br />
<br />
Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)<br />
<br />
===Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)===<br />
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist. <br />
<br />
===Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)===<br />
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört. <br />
<br />
===Definition I/5 (Raum)===<br />
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.<br />
<br />
===Definition I/6 (komplanar)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)<br />
<br />
analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar<br />
<br />
===Definition I/7 (komplanar für Geraden)=====<br />
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen. <br />
<br />
Schreibweise: komp(g, h) <br />
<br />
===Definition I/8 (Geradenparallelität)===<br />
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind. <br />
<br />
In Zeichen: g || h. <br />
<br />
===Definition I/9 (windschief)===<br />
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind. <br />
<br />
===Definition I/10 (parallel für Ebenen)===<br />
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen II ==<br />
<br />
=== Definition II.1 (Abstand) ===<br />
Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann.<br />
<br />
Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition II.2 (Zwischenrelation) ===<br />
Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
<br />
Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
<br />
=== Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br ><br ><br />
* Wieso zwei verschiedene Punkte?<br />
<br ><br ><br />
<br />
=== Definition II.4 (Länge einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
=== Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) ===<br />
<u>Halbgerade <math>AB^+</math></u><br />
<br />
<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math><br />
<br />
<u>Halbgerade <math>AB^-</math></u> <br />
<br />
<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math><br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen III ==<br />
<br />
=== Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke) ===<br />
Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IV ==<br />
<br />
=== Definition IV.1 (offene Halbebene)===<br />
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br />
<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math><br />
<br />
=== Definition IV.2 (Halbebene) ===<br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
===Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===<br />
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen V ==<br />
<br />
=== Definition V.1 (Winkel)===<br />
Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels <math>\ \angle pq</math>. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S<br />
<br />
=== Definition V.2 (Inneres eines Winkels) ===<br />
Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.<br />
<br />
=== Definition V.3 (Scheitelwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.<br />
<br />
=== Definition V.4 (Nebenwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.<br />
<br />
===Definition V.5 (Größe eines Winkels) ===<br />
Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />
<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ===<br />
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.<br />
<br />
=== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ===<br />
Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.<br />
<br />
=== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) ===<br />
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math><br />
<br />
=== Definition V.9 (noch mehr Senkrecht) ===<br />
1. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br />
<br />
2. Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ CD</math> steht. <br />
<br />
3. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:50, 8. Dez. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== Defintionen VI ==<br />
<br />
=== Definition VI.1 (Mittelsenkrechte) ===<br />
Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn <br />
<br />
:# <math>m \perp AB</math><br />
:# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math><br />
<br />
=== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)===<br />
(a) Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.<br />
<br />
(b) Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VII ==<br />
<br />
=== Definition VII.1 (Streckenkongruenz) ===<br />
Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.<br />
<br />
In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math><br />
<br />
=== Definition VII.2 (Winkelkongruenz) ===<br />
Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math><br />
<br />
=== Definition VII.3 (Dreieckskongruenz) ===<br />
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen <br />
<br />
:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math><br />
:# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math><br />
:# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math><br />
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math><br />
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math><br />
:# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math><br />
gelten,<br />
<br />
dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.<br />
<br />
=== Definition VII.4 (gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel) ===<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.<br />
<br />
Ein '''Schenkel''' ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Die dritte Seite nennt man '''Basis''' des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man '''Basiswinkel''' des gleichschenkligen Dreiecks.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VIII ==<br />
<br />
=== Definition VIII.1 (Außenwinkel eines Dreiecks) ====<br />
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline {ABC}</math>. Alle Nebenwinkel der Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IX ==<br />
<br />
=== Definition IX.1 (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. <br />
<br />
Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.<br />
<br />
=== Definition IX.2 (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. <br />
<br />
Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist der Abstand der Punkte <math>\ P</math> und <math>\ L</math>, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen X ==<br />
<br />
=== Definition X.1 (Stufenwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.2 (Wechselwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.3 (entgegengesetzt liegende Winkel) ===</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Definitionen_WS10/11&diff=6348Definitionen WS10/112011-02-09T18:01:20Z<p>Bulkathos: /* Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */</p>
<hr />
<div>Hier geht es zu den [[Axiome WS10/11]]<br />
<br />
Hier geht es zu den [[Sätze WS10/11]]<br />
<br />
= Definitionen (1) =<br />
<br />
===Definition: (n-stellige Relation)===<br />
Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.<br />
<br />
===Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)===<br />
Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.<br />
<br />
<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn<br />
<br />
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.<br />
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.<br />
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.<br />
<br />
Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.<br />
<br />
<br />
= Definitionen (2) =<br />
<br />
== Definitionen I ==<br />
<br />
===Definition I/2 (kollinear)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)<br />
<br />
Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)<br />
<br />
===Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)===<br />
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist. <br />
<br />
===Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)===<br />
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört. <br />
<br />
===Definition I/5 (Raum)===<br />
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.<br />
<br />
===Definition I/6 (komplanar)===<br />
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. <br />
<br />
Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)<br />
<br />
analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar<br />
<br />
===Definition I/7 (komplanar für Geraden)=====<br />
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen. <br />
<br />
Schreibweise: komp(g, h) <br />
<br />
===Definition I/8 (Geradenparallelität)===<br />
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind. <br />
<br />
In Zeichen: g || h. <br />
<br />
===Definition I/9 (windschief)===<br />
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind. <br />
<br />
===Definition I/10 (parallel für Ebenen)===<br />
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen II ==<br />
<br />
=== Definition II.1 (Abstand) ===<br />
Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann.<br />
<br />
Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition II.2 (Zwischenrelation) ===<br />
Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.<br />
<br />
Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math><br />
<br />
=== Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br ><br ><br />
* Wieso zwei verschiedene Punkte?<br />
<br />
=== Definition II.4 (Länge einer Strecke) ===<br />
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
=== Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) ===<br />
<u>Halbgerade <math>AB^+</math></u><br />
<br />
<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math><br />
<br />
<u>Halbgerade <math>AB^-</math></u> <br />
<br />
<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math><br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen III ==<br />
<br />
=== Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke) ===<br />
Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IV ==<br />
<br />
=== Definition IV.1 (offene Halbebene)===<br />
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br />
<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math><br />
<br />
=== Definition IV.2 (Halbebene) ===<br />
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.<br />
<br />
:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math><br />
<br />
===Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===<br />
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen V ==<br />
<br />
=== Definition V.1 (Winkel)===<br />
Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels <math>\ \angle pq</math>. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S<br />
<br />
=== Definition V.2 (Inneres eines Winkels) ===<br />
Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.<br />
<br />
=== Definition V.3 (Scheitelwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.<br />
<br />
=== Definition V.4 (Nebenwinkel) ===<br />
<br />
(a) Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.<br />
<br />
(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.<br />
<br />
===Definition V.5 (Größe eines Winkels) ===<br />
Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.<br />
<br />In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.<br />
<br />
=== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ===<br />
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.<br />
<br />
=== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ===<br />
Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.<br />
<br />
=== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) ===<br />
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math><br />
<br />
=== Definition V.9 (noch mehr Senkrecht) ===<br />
1. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.<br />
<br />
2. Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ CD</math> steht. <br />
<br />
3. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:50, 8. Dez. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
== Defintionen VI ==<br />
<br />
=== Definition VI.1 (Mittelsenkrechte) ===<br />
Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn <br />
<br />
:# <math>m \perp AB</math><br />
:# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math><br />
<br />
=== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)===<br />
(a) Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.<br />
<br />
(b) Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VII ==<br />
<br />
=== Definition VII.1 (Streckenkongruenz) ===<br />
Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.<br />
<br />
In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math><br />
<br />
=== Definition VII.2 (Winkelkongruenz) ===<br />
Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.<br />
<br />
In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math><br />
<br />
=== Definition VII.3 (Dreieckskongruenz) ===<br />
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen <br />
<br />
:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math><br />
:# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math><br />
:# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math><br />
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math><br />
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math><br />
:# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math><br />
gelten,<br />
<br />
dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.<br />
<br />
=== Definition VII.4 (gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel) ===<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.<br />
<br />
Ein '''Schenkel''' ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Die dritte Seite nennt man '''Basis''' des gleichschenkligen Dreiecks. <br />
<br />Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man '''Basiswinkel''' des gleichschenkligen Dreiecks.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen VIII ==<br />
<br />
=== Definition VIII.1 (Außenwinkel eines Dreiecks) ====<br />
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline {ABC}</math>. Alle Nebenwinkel der Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math>.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen IX ==<br />
<br />
=== Definition IX.1 (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. <br />
<br />
Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.<br />
<br />
=== Definition IX.2 (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. <br />
<br />
Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist der Abstand der Punkte <math>\ P</math> und <math>\ L</math>, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<br />
<br />
== Definitionen X ==<br />
<br />
=== Definition X.1 (Stufenwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.2 (Wechselwinkel) ===<br />
<br />
<br />
=== Definition X.3 (entgegengesetzt liegende Winkel) ===</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._7.1&diff=6347Lösung von Aufg. 7.12011-02-09T16:11:06Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br /><br />
<br />
<br />
<u>Vor</u>: g, P ist nicht Element g<br /><br />
<u>Beh</u>: Es existiert genau eine Ebene E, g<math>\subset E</math>, <math>P \in E</math><br /><br />
<br />
1) <math>A,B \in g</math>_____Axiom I/1<br /><br />
2) nkoll(A,P,B)_______________laut Vor und 1)<br /><br />
3) zu drei nkoll(A,P,B)________Axiom I/4 und 2)<br /><br />
gibt es genau eine Ebene E<br /> <br />
4)<math>g\supset E </math>_________Axiom I/5<br /> <br />
5) Behauptung stimmt<br />
<br />
Die Eindeutigkeit das genau eine Ebene E existiert, lässt sich auf das Axiom I/4 zurückführen<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:11, 23. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Lösung von Engel82 ist korrekt, prima!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)<br />
<br />
In Punkt 4) müsste es <math> g \subset E </math> heißen. --[[Benutzer:Studentxyz|Studentxyz]] 12:38, 16. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
Lösungsvorschlag 2<br />
<br />
[[Bild:Scannen0006.jpg|600px]]<br />
<br />
vielen Dank für dieses gescannte Bild. Schritt 2 können Sie weglassen und den ersten Teil in Schritt 4 auch,<br />ansonsten ist alles korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
<p>-----------------------------------------------------------------------------------------------</p><br />
Lösungsvorschlag 3:<br />
<p><br />
'''Voraussetzung:'''Es sei eine Gerade g und ein Punkt P, <math>P \notin g </math><br /><math>\varepsilon </math> sei die Menge aller Ebenen. <br /><br />
<br />'''Behauptung:''' <math>\exists ! E \in \varepsilon := g \subset E \and P \in E</math> <br />
<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! style="background: #A2CD5A;" |Nr.<br />
! style="background: #A2CD5A;" |Beweisschritt<br />
! style="background: #A2CD5A;" |Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #EEE685;"|(I)<br />
| <math>\exists A,B \in g , A \not= B </math> <br />
| Axiom I.2<br />
|-<br />
! style="background: #EEE685;"|(II)<br />
| nkoll(A,B,P) <br />
| I, Vor. (<math>P \notin g </math>), Def I.2 (kollinear)<br />
|-<br />
! style="background: #EEE685;"|(III)<br />
| <math>\exists ! E \in \varepsilon := A,B,P \in E</math> <br />
| II, Axiom I.4 <br />
|-<br />
! style="background: #EEE685;"|(IV)<br />
| <math>g \subset E</math> <br />
| I, III, Axiom I.5<br />
|-<br />
! style="background: #EEE685;"|(V)<br />
| <math>\exists ! E \in \varepsilon := g \subset E \and P \in E</math> <br />
| III, IV<br />
|-<br />
<br />
|}<br />
<br />
'''qed.'''<br />
<br />
Stimmt das mit dem := in III und V oder müsste man nur : schreiben, wie im vorigen Lösungsvorschlag?<br />
<br />
</p>--[[Benutzer:Studentxyz|Studentxyz]] 13:25, 16. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
nur :</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_4.3&diff=6345Lösung von Aufgabe 4.32011-02-09T12:33:59Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, so sind sie supplementär.<br /><br />
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation?<br /><br />
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?<br /><br />
<br />
a) Sind zwei Winkel nicht supplementär, so sind sie keine Nebenwinkel. --DeFloGe<br /><br />
Das ist korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:32, 23. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
b) <u>Annahme</u>: Nebenwinkel sind nicht supplementär--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:49, 4. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Das ist die übliche korrekte Form!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:32, 23. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
oder Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, so sind sie nicht supplementär.--[[Benutzer:Kinder Riegel|Kinder Riegel]] 02:27, 9. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
@Kinderriegel: Das ist keine REINE Annahme -> falsch im Sinne der Aufgabenstellung!</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_3.4&diff=6343Lösung von Aufgabe 3.42011-02-08T14:52:38Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>VSS: Pew daraus folgt Winkel ASP=Winkel BSP<br /><br />
Beh: Strecke AP= Strecke BP<br /><br />
<br />
Aep und Beq<br /><br />
= bedeutet ist kongruent<br /><br />
/ bedeutet Betragsstriche<br /><br />
<br />
1. Winkel ASP= Winkel BSP, VSS<br /><br />
2. Strecke SP= STrecke SP, trivial<br /><br />
3. /Winkel SAP/=/WinkelSBP/=90, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
4. Winkel SPA= Winkel SPB, Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
5. Dreieck SAP= Dreieck SPB, WSW und 1., 2., 4.<br /><br />
6. Strecke AP=Strecke PB, 5.<br /><br />
<br />
VSS: Strecke AP= Strecke BP<br /><br />
Beh: Pew daraus folgt Winkel ASP= Winkel BSP<br /><br />
<br />
1. Strecke AP= Strecke BP, VSS<br /><br />
2. Winkel SAP= Winkel SBP, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
3. Strecke SP=Strecke SP, trivial<br /><br />
4. Dreieck SAP= Dreieck SPB, SsW und 1., 2., 3.<br /><br />
5. Winkel ASP= Winkel BSP, 4. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:26, 28. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
es fehlt noch die Begründung, dass <math>\overline{SP}</math> tatsächlich die längste Strecke in den beiden Dreiecken ist.<br />Dies lässt sich z. B. dadurch begründen, dass <math>\overline{SP}</math> jeweils dem größten Winkel (rechter Winkel) gegenüberliegt und damit auch längste Seite sein muss.<br />Ansonsten ist die Beweisführung von Engel82 in Ordnung!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
Ähm...wir können doch die Existenz und Eindeutigkeit des Lotes doch nicht einfach mal als gegeben annehmen. Wie soll des dann jemand machen, der davon noch nichts gehört hat??<br /><br />
Wir setzen an dieser Stelle alles als bekannt voraus, was wir aus der Schule her kennen,<br />und das Lot gehört selbstverständlich zum Schulwissen!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
Ist das dann beim zweiten Teil von dem Beweis nicht SWS??? Weil man geht ja davon aus, dass SP gleichlang ist (logisch), dann geht man von dem rechten Winkel aus und von BP und AP...der rechte Winkel wäre ja dann der Winkel der von den beiden Strecken eingeschlossen wird, also SWS oder? [[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]<br /><br />
Schauen Sie sich nochmal an, wo sich der rechte Winkel befindet?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_3.4&diff=6342Lösung von Aufgabe 3.42011-02-08T14:51:26Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>VSS: Pew daraus folgt Winkel ASP=Winkel BSP<br /><br />
Beh: Strecke AP= Strecke BP<br /><br />
<br />
Aep und Beq<br /><br />
= bedeutet ist kongruent<br /><br />
/ bedeutet Betragsstriche<br /><br />
<br />
1. Winkel ASP= Winkel BSP, VSS<br /><br />
2. Strecke SP= STrecke SP, trivial<br /><br />
3. /Winkel SAP/=/WinkelSBP/=90, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
4. Winkel SPA= Winkel SPB, Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
5. Dreieck SAP= Dreieck SPB, WSW und 1., 2., 4.<br /><br />
6. Strecke AP=Strecke PB, 5.<br /><br />
<br />
VSS: Strecke AP= Strecke BP<br /><br />
Beh: Pew daraus folgt Winkel ASP= Winkel BSP<br /><br />
<br />
1. Strecke AP= Strecke BP, VSS<br /><br />
2. Winkel SAP= Winkel SBP, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
3. Strecke SP=Strecke SP, trivial<br /><br />
4. Dreieck SAP= Dreieck SPB, SsW und 1., 2., 3.<br /><br />
5. Winkel ASP= Winkel BSP, 4. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:26, 28. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
es fehlt noch die Begründung, dass <math>\overline{SP}</math> tatsächlich die längste Strecke in den beiden Dreiecken ist.<br />Dies lässt sich z. B. dadurch begründen, dass <math>\overline{SP}</math> jeweils dem größten Winkel (rechter Winkel) gegenüberliegt und damit auch längste Seite sein muss.<br />Ansonsten ist die Beweisführung von Engel82 in Ordnung!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
Ähm...wir können doch die Existenz und Eindeutigkeit des Lotes doch nicht einfach mal als gegeben annehmen. Wie soll des dann jemand machen, der davon noch nichts gehört hat??<br /><br />
Wir setzen an dieser Stelle alles als bekannt voraus, was wir aus der Schule her kennen,<br />und das Lot gehört selbstverständlich zum Schulwissen!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
Ist das dann beim zweiten Teil von dem Beweis nicht SWS??? Weil man geht ja davon aus, dass SP gleichlang ist (logisch), dann geht man von dem rechten Winkel aus und von BP und AP...der rechte Winkel wäre ja dann der Winkel der von den beiden Strecken eingeschlossen wird, also SWS oder? [[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]<br /><br />
Schauen Sie sich nochmal an, wo sich der rechte Winkel befindet?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br /><br /><br />
Woran kann ich den in der Aufgabenstellung rauslesen, dass diese beiden Richtungen zu zeigen sind. Ist die Formulierung "die Menge aller Punkte" ausschlaggebend. Wenn dem so wäre würde ich im zweiten Teil davon ausgehen das bei der Vorraussetzung AP = BP die Annahme zu machen ist das P nicht Element der Winkelhalbierenden ist. <br ><br />
<br > Laut meiner Auffassung reicht der Beweis <br ><br />
VSS: Pew daraus folgt Winkel ASP=Winkel BSP <br ><br />
Beh: Strecke AP= Strecke BP</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_3.4&diff=6341Lösung von Aufgabe 3.42011-02-08T14:50:59Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>VSS: Pew daraus folgt Winkel ASP=Winkel BSP<br /><br />
Beh: Strecke AP= Strecke BP<br /><br />
<br />
Aep und Beq<br /><br />
= bedeutet ist kongruent<br /><br />
/ bedeutet Betragsstriche<br /><br />
<br />
1. Winkel ASP= Winkel BSP, VSS<br /><br />
2. Strecke SP= STrecke SP, trivial<br /><br />
3. /Winkel SAP/=/WinkelSBP/=90, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
4. Winkel SPA= Winkel SPB, Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
5. Dreieck SAP= Dreieck SPB, WSW und 1., 2., 4.<br /><br />
6. Strecke AP=Strecke PB, 5.<br /><br />
<br />
VSS: Strecke AP= Strecke BP<br /><br />
Beh: Pew daraus folgt Winkel ASP= Winkel BSP<br /><br />
<br />
1. Strecke AP= Strecke BP, VSS<br /><br />
2. Winkel SAP= Winkel SBP, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
3. Strecke SP=Strecke SP, trivial<br /><br />
4. Dreieck SAP= Dreieck SPB, SsW und 1., 2., 3.<br /><br />
5. Winkel ASP= Winkel BSP, 4. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:26, 28. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
es fehlt noch die Begründung, dass <math>\overline{SP}</math> tatsächlich die längste Strecke in den beiden Dreiecken ist.<br />Dies lässt sich z. B. dadurch begründen, dass <math>\overline{SP}</math> jeweils dem größten Winkel (rechter Winkel) gegenüberliegt und damit auch längste Seite sein muss.<br />Ansonsten ist die Beweisführung von Engel82 in Ordnung!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
Ähm...wir können doch die Existenz und Eindeutigkeit des Lotes doch nicht einfach mal als gegeben annehmen. Wie soll des dann jemand machen, der davon noch nichts gehört hat??<br /><br />
Wir setzen an dieser Stelle alles als bekannt voraus, was wir aus der Schule her kennen,<br />und das Lot gehört selbstverständlich zum Schulwissen!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
Ist das dann beim zweiten Teil von dem Beweis nicht SWS??? Weil man geht ja davon aus, dass SP gleichlang ist (logisch), dann geht man von dem rechten Winkel aus und von BP und AP...der rechte Winkel wäre ja dann der Winkel der von den beiden Strecken eingeschlossen wird, also SWS oder? [[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]]<br /><br />
Schauen Sie sich nochmal an, wo sich der rechte Winkel befindet?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:16, 23. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br /><br /><br />
Woran kann ich den in der Aufgabenstellung rauslesen, dass diese beiden Richtungen zu zeigen sind. Ist die Formulierung "die Menge aller Punkte" ausschlaggebend. Wenn dem so wäre würde ich im zweiten Teil davon ausgehen das bei der Vorraussetzung AP = BP die Annahme zu machen ist das P nicht Element der Winkelhalbierenden ist.<br />
<br > Laut meiner Auffassung reicht der Beweis <br ><br />
VSS: Pew daraus folgt Winkel ASP=Winkel BSP <br ><br />
Beh: Strecke AP= Strecke BP</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_2.3&diff=6340Lösung von Aufgabe 2.32011-02-08T11:54:53Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.<br /><br />
===Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)===<br />
Einige Möglichkeiten (es gibt sicher noch mehr):<br /><br />
#Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dass eine Symmetrieachse besitzt die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes.<br />
#Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez<br />
#Ein Trapez mit zwei kongruenten gegenüberliegenden Seiten ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.<br />
<br />
===vorangegangene Diskussion===<br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.<br />
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
gilt das nicht auch für ein Parallelogramm?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)<br />Ja, es MUSS sogar das Parallelogramm enthalten, siehe unten oder wikipedia/google.<br /><br />
<br />
<br />
sehr gut, zum experimentieren:--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:07, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
<ggb_applet width="656" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />Was ist mit Rechtecken?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:12, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Winkel an jeder der beiden parallelen Seiten gleich groß sind. (Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Innenwinkel, die an a angrenzen, einander gleich groß sind.) --[[Benutzer:Dance4fun|Dance4fun]] 14:07, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten und einer Symmetrieachse.--[[Benutzer:Abukabar|Abukabar]] 16:37, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br ><br ><br ><br />
"Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Schenkel gleich lang sind. Somit ist ein gleichschenkliges Trapez entweder ein Parallelogramm, oder es ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind." <br ><br />
Zitiert aus Wikipedia, Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_%28Geometrie%29</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_2.3&diff=6339Lösung von Aufgabe 2.32011-02-08T11:54:25Z<p>Bulkathos: </p>
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<div>Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.<br /><br />
===Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)===<br />
Einige Möglichkeiten (es gibt sicher noch mehr):<br /><br />
#Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dass eine Symmetrieachse besitzt die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes.<br />
#Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez<br />
#Ein Trapez mit zwei kongruenten gegenüberliegenden Seiten ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.<br />
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===vorangegangene Diskussion===<br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.<br />
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
gilt das nicht auch für ein Parallelogramm?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Ja, es MUSS sogar das Parallelogramm enthalten, siehe unten oder wikipedia/google.<br /><br />
<br />
sehr gut, zum experimentieren:--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:07, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
<ggb_applet width="656" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />Was ist mit Rechtecken?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:12, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Winkel an jeder der beiden parallelen Seiten gleich groß sind. (Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Innenwinkel, die an a angrenzen, einander gleich groß sind.) --[[Benutzer:Dance4fun|Dance4fun]] 14:07, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten und einer Symmetrieachse.--[[Benutzer:Abukabar|Abukabar]] 16:37, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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"Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Schenkel gleich lang sind. Somit ist ein gleichschenkliges Trapez entweder ein Parallelogramm, oder es ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind." <br ><br />
Zitiert aus Wikipedia, Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_%28Geometrie%29</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_2.3&diff=6338Lösung von Aufgabe 2.32011-02-08T11:53:57Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.<br /><br />
===Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)===<br />
Einige Möglichkeiten (es gibt sicher noch mehr):<br /><br />
#Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dass eine Symmetrieachse besitzt die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes.<br />
#Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez<br />
#Ein Trapez mit zwei kongruenten gegenüberliegenden Seiten ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.<br />
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===vorangegangene Diskussion===<br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
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Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.<br />
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
gilt das nicht auch für ein Parallelogramm?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Ja, es MUSS sogar das Paralellogramm enthalten, siehe unten oder wikipedia/google.<br />
<br />
sehr gut, zum experimentieren:--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:07, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
<ggb_applet width="656" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
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<br />Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />Was ist mit Rechtecken?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:12, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Winkel an jeder der beiden parallelen Seiten gleich groß sind. (Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Innenwinkel, die an a angrenzen, einander gleich groß sind.) --[[Benutzer:Dance4fun|Dance4fun]] 14:07, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
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Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten und einer Symmetrieachse.--[[Benutzer:Abukabar|Abukabar]] 16:37, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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"Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Schenkel gleich lang sind. Somit ist ein gleichschenkliges Trapez entweder ein Parallelogramm, oder es ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind." <br ><br />
Zitiert aus Wikipedia, Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_%28Geometrie%29</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_2.3&diff=6337Lösung von Aufgabe 2.32011-02-08T11:51:51Z<p>Bulkathos: </p>
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<div>Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.<br /><br />
===Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)===<br />
Einige Möglichkeiten (es gibt sicher noch mehr):<br /><br />
#Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dass eine Symmetrieachse besitzt die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes.<br />
#Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez<br />
#Ein Trapez mit zwei kongruenten gegenüberliegenden Seiten ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.<br />
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===vorangegangene Diskussion===<br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
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Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.<br />
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
gilt das nicht auch für ein Parallelogramm?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
sehr gut, zum experimentieren:--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:07, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
<ggb_applet width="656" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />Was ist mit Rechtecken?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:12, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Winkel an jeder der beiden parallelen Seiten gleich groß sind. (Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Innenwinkel, die an a angrenzen, einander gleich groß sind.) --[[Benutzer:Dance4fun|Dance4fun]] 14:07, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten und einer Symmetrieachse.--[[Benutzer:Abukabar|Abukabar]] 16:37, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br ><br ><br ><br />
"Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Schenkel gleich lang sind. Somit ist ein gleichschenkliges Trapez entweder ein Parallelogramm, oder es ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind." <br ><br />
Zitiert aus Wikipedia, Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_%28Geometrie%29</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_2.3&diff=6336Lösung von Aufgabe 2.32011-02-08T11:51:21Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.<br /><br />
===Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)===<br />
Einige Möglichkeiten (es gibt sicher noch mehr):<br /><br />
#Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dass eine Symmetrieachse besitzt die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes.<br />
#Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez<br />
#Ein Trapez mit zwei kongruenten gegenüberliegenden Seiten ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.<br />
<br />
===vorangegangene Diskussion===<br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.<br />
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
gilt das nicht auch für ein Parallelogramm?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
sehr gut, zum experimentieren:--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:07, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
<ggb_applet width="656" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />Was ist mit Rechtecken?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:12, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Winkel an jeder der beiden parallelen Seiten gleich groß sind. (Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Innenwinkel, die an a angrenzen, einander gleich groß sind.) --[[Benutzer:Dance4fun|Dance4fun]] 14:07, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten und einer Symmetrieachse.--[[Benutzer:Abukabar|Abukabar]] 16:37, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br ><br ><br ><br />
"Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Schenkel gleich lang sind. Somit ist ein gleichschenkliges Trapez entweder ein Parallelogramm, oder es ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind." Zitiert aus Wikipedia, Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_%28Geometrie%29</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_2.3&diff=6335Lösung von Aufgabe 2.32011-02-08T11:51:02Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.<br /><br />
===Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)===<br />
Einige Möglichkeiten (es gibt sicher noch mehr):<br /><br />
#Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dass eine Symmetrieachse besitzt die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes.<br />
#Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez<br />
#Ein Trapez mit zwei kongruenten gegenüberliegenden Seiten ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.<br />
<br />
===vorangegangene Diskussion===<br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.<br />
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
gilt das nicht auch für ein Parallelogramm?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:04, 9. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
sehr gut, zum experimentieren:--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:07, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
<ggb_applet width="656" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />Was ist mit Rechtecken?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:12, 29. Okt. 2010 (UTC)<br />
Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Winkel an jeder der beiden parallelen Seiten gleich groß sind. (Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die Innenwinkel, die an a angrenzen, einander gleich groß sind.) --[[Benutzer:Dance4fun|Dance4fun]] 14:07, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten und einer Symmetrieachse.--[[Benutzer:Abukabar|Abukabar]] 16:37, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
"Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Schenkel gleich lang sind. Somit ist ein gleichschenkliges Trapez entweder ein Parallelogramm, oder es ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind." Zitiert aus Wikipedia, Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_%28Geometrie%29</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6334Lösung von Aufg. 14.22011-02-07T18:26:17Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn eine Gerade g mit dem Kreis k den Berührpunkt A hat und senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
--> Steht doch da. Das Lot l ist die kürzeste Strecke von der Gerade auf M.<br />
<br />
<br />
<br />
Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
<br />
VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
<br />
Beh: IαI = 90<br />
<br />
Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
<br />
1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel<br ><br ><br />
1.Ich würde in deine Annahme noch hinzunehmen,dass B nicht identisch mit A ist<br ><br />
2.Bei 4) würde ich noch schreiben: Führt zu Widerspruch zu Tangente o.ä.<br ><br />
Ansonsten top</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6333Lösung von Aufg. 14.22011-02-07T18:26:06Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn eine Gerade g mit dem Kreis k den Berührpunkt A hat und senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
--> Steht doch da. Das Lot l ist die kürzeste Strecke von der Gerade auf M.<br />
<br />
<br />
<br />
Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
<br />
VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
<br />
Beh: IαI = 90<br />
<br />
Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
<br />
1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel<br ><br />
1.Ich würde in deine Annahme noch hinzunehmen,dass B nicht identisch mit A ist<br ><br />
2.Bei 4) würde ich noch schreiben: Führt zu Widerspruch zu Tangente o.ä.<br ><br />
Ansonsten top</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6332Lösung von Aufg. 14.22011-02-07T18:25:47Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn eine Gerade g mit dem Kreis k den Berührpunkt A hat und senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
--> Steht doch da. Das Lot l ist die kürzeste Strecke von der Gerade auf M.<br />
<br />
<br />
<br />
Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
<br />
VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
<br />
Beh: IαI = 90<br />
<br />
Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
<br />
1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel<br />
<br ><br />
1.Ich würde in deine Annahme noch hinzunehmen,dass B nicht identisch mit A ist<br ><br />
2.Bei 4) würde ich noch schreiben: Führt zu Widerspruch zu Tangente o.ä.<br ><br />
Ansonsten top</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6331Lösung von Aufg. 14.22011-02-07T18:25:27Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn eine Gerade g mit dem Kreis k den Berührpunkt A hat und senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
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<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
--> Steht doch da. Das Lot l ist die kürzeste Strecke von der Gerade auf M.<br />
<br />
<br />
<br />
Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
<br />
VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
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Beh: IαI = 90<br />
<br />
Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
<br />
1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel<br />
<br />
1.Ich würde in deine Annahme noch hinzunehmen,dass B nicht identisch mit A ist<br ><br />
2.Bei 4) würde ich noch schreiben: Führt zu Widerspruch zu Tangente o.ä.<br ><br />
Ansonsten top</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6330Lösung von Aufg. 14.22011-02-07T18:25:03Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn eine Gerade g mit dem Kreis k den Berührpunkt A hat und senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
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<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
--> Steht doch da. Das Lot l ist die kürzeste Strecke von der Gerade auf M.<br />
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<br />
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Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
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VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
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Beh: IαI = 90<br />
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Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
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1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel<br />
<br />
1.Ich würde in deine Annahme noch hinzunehmen,dass B nicht identisch mit A ist<br />
2.Bei 4) würde ich noch schreiben: Führt zu Widerspruch zu Tangente o.ä.<br />
Ansonsten top</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6329Lösung von Aufg. 14.22011-02-07T18:18:32Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn eine Gerade g mit dem Kreis k den Berührpunkt A hat und senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
--> Steht doch da. Das Lot l ist die kürzeste Strecke von der Gerade auf M.<br />
<br />
<br />
<br />
Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
<br />
VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
<br />
Beh: IαI = 90<br />
<br />
Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
<br />
1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6328Lösung von Aufg. 14.22011-02-07T18:18:06Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn eine Gerade g mit dem Kreis k den Berührpunkt A hat und senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
--> Steht doch da. Das Lot ist die kürzeste Strecke von der Gerade auf M.<br />
<br />
<br />
<br />
Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
<br />
VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
<br />
Beh: IαI = 90<br />
<br />
Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
<br />
1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6079Lösung von Aufg. 12.52011-01-20T18:30:12Z<p>Bulkathos: /* Aufgabe 12.5 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
<br />
EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6078Lösung von Aufg. 12.52011-01-20T18:26:47Z<p>Bulkathos: /* Aufgabe 12.5 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
<br />
EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
EPA? Bedeutung?</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.4&diff=6077Lösung von Aufg. 12.42011-01-20T18:24:23Z<p>Bulkathos: /* Aufgabe 12.4 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.4 ==<br />
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<u>Vor</u>: g, P: P kein Element der Geraden g <br /><br />
<u>Beh:</u> es existiert eine Gerade h, <math>P \in h</math>, g//h<br /><br />
<br />
1) Es existieren zwei Punkte A und B, die auf der Geraden g liegen____________Axiom I/1<br /><br />
2) Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden__________________________Vor.<br /><br />
3) Durch zwei Punkte A und P geht genau eine Gerade_____________I/1, 1) und 2)<br /><br />
4) An PA+ trägt man in der Halbebene PA,B+ einen Winkel der Größe____________Winkelkonstruktionsaxiom<br /><br />
|<math>\angle {PAB}</math>| an.<br /><br />
5) Der nicht auf AP liegende Schenkel des ungetragenen Winkels bestimmt eine Gerade, die man h nennt._____4)<br /><br />
6) h//g__________________nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:54, 19. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
<br />
*Wenn ich mich nicht irre sagt der Beweis nicht aus das die Gerade h durch den Punkt P laeuft.</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.4&diff=6076Lösung von Aufg. 12.42011-01-20T18:24:09Z<p>Bulkathos: /* Aufgabe 12.4 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.4 ==<br />
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<u>Vor</u>: g, P: P kein Element der Geraden g <br /><br />
<u>Beh:</u> es existiert eine Gerade h, <math>P \in h</math>, g//h<br /><br />
<br />
1) Es existieren zwei Punkte A und B, die auf der Geraden g liegen____________Axiom I/1<br /><br />
2) Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden__________________________Vor.<br /><br />
3) Durch zwei Punkte A und P geht genau eine Gerade_____________I/1, 1) und 2)<br /><br />
4) An PA+ trägt man in der Halbebene PA,B+ einen Winkel der Größe____________Winkelkonstruktionsaxiom<br /><br />
|<math>\angle {PAB}</math>| an.<br /><br />
5) Der nicht auf AP liegende Schenkel des ungetragenen Winkels bestimmt eine Gerade, die man h nennt._____4)<br /><br />
6) h//g__________________nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:54, 19. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
<br />
*Wenn ich mich nicht irre sag der Beweis nicht aus das die Gerade h durch den Punkt P laeuft.</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.4&diff=6075Lösung von Aufg. 12.42011-01-20T18:23:49Z<p>Bulkathos: /* Aufgabe 12.4 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.4 ==<br />
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<u>Vor</u>: g, P: P kein Element der Geraden g <br /><br />
<u>Beh:</u> es existiert eine Gerade h, <math>P \in h</math>, g//h<br /><br />
<br />
1) Es existieren zwei Punkte A und B, die auf der Geraden g liegen____________Axiom I/1<br /><br />
2) Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden__________________________Vor.<br /><br />
3) Durch zwei Punkte A und P geht genau eine Gerade_____________I/1, 1) und 2)<br /><br />
4) An PA+ trägt man in der Halbebene PA,B+ einen Winkel der Größe____________Winkelkonstruktionsaxiom<br /><br />
|<math>\angle {PAB}</math>| an.<br /><br />
5) Der nicht auf AP liegende Schenkel des ungetragenen Winkels bestimmt eine Gerade, die man h nennt._____4)<br /><br />
6) h//g__________________nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:54, 19. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
*Wenn ich mich nicht irre sag der Beweis nicht aus das die Gerade h durch den Punkt P laeuft.</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=5650Lösung von Aufgabe 5.62010-12-13T20:45:22Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
* "Strecke AA" finde ich fragwürdig, denn: Eine Strecke (auch Geradenabschnitt) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, so mit gibts Strecke AA nicht!<br /><br />
der Autor hat ja verdeutlicht, dass die Strecke <math>\overline{AA}</math> der Punkt ''A'' ist, das ist dann schon OK so!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
Strecke <math>\overline{AA}</math> ist und bleibt im Widerspruch zur Definition der Strecke.<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Ausführungen und Erläuterungen sind korrekt. Engel82 hat an dieser Stelle bereits auf den Satz von Pasch verwiesen.<br />Das können sie zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen und war auch nicht notwendig, es reicht eine anschauliche Erläuterung. Den Satz von Pasch<br />werden wir später als Axiom von Pasch kennenlernen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=5649Lösung von Aufgabe 5.62010-12-13T20:44:58Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
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a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
* "Strecke AA" finde ich fragwürdig, denn: Eine Strecke (auch Geradenabschnitt) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, so mit gibts Strecke AA nicht!<br /><br />
der Autor hat ja verdeutlicht, dass die Strecke <math>\overline{AA}</math> der Punkt ''A'' ist, das ist dann schon OK so!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
Strecke <math>\overline{AA}</math> ist und bleibt im Widerspruch zur Definition<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Ausführungen und Erläuterungen sind korrekt. Engel82 hat an dieser Stelle bereits auf den Satz von Pasch verwiesen.<br />Das können sie zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen und war auch nicht notwendig, es reicht eine anschauliche Erläuterung. Den Satz von Pasch<br />werden wir später als Axiom von Pasch kennenlernen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=5648Lösung von Aufgabe 5.62010-12-13T20:43:09Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
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a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
* "Strecke AA" finde ich fragwürdig, denn: Eine Strecke (auch Geradenabschnitt) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, so mit gibts Strecke AA nicht!<br /><br />
der Autor hat ja verdeutlicht, dass die Strecke <math>\overline{AA}</math> der Punkt ''A'' ist, das ist dann schon OK so!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
Der Begriff "Strecke AA" wird ja wohl nicht korrekter dadurch, dass gesagt wird das es ein Punkt ist?<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Ausführungen und Erläuterungen sind korrekt. Engel82 hat an dieser Stelle bereits auf den Satz von Pasch verwiesen.<br />Das können sie zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen und war auch nicht notwendig, es reicht eine anschauliche Erläuterung. Den Satz von Pasch<br />werden wir später als Axiom von Pasch kennenlernen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=5647Lösung von Aufgabe 5.62010-12-13T20:41:08Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
* "Strecke AA" finde ich fragwürdig, denn: Eine Strecke (auch Geradenabschnitt) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, so mit gibts Strecke AA nicht!<br /><br />
der Autor hat ja verdeutlicht, dass die Strecke <math>\overline{AA}</math> der Punkt ''A'' ist, das ist dann schon OK so!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
*Ich spüre die Willkür!<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Ausführungen und Erläuterungen sind korrekt. Engel82 hat an dieser Stelle bereits auf den Satz von Pasch verwiesen.<br />Das können sie zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen und war auch nicht notwendig, es reicht eine anschauliche Erläuterung. Den Satz von Pasch<br />werden wir später als Axiom von Pasch kennenlernen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=5646Lösung von Aufgabe 5.62010-12-13T20:40:48Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Ich spüre die Willkür!<br />
<br />
a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
* "Strecke AA" finde ich fragwürdig, denn: Eine Strecke (auch Geradenabschnitt) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, so mit gibts Strecke AA nicht!<br /><br />
der Autor hat ja verdeutlicht, dass die Strecke <math>\overline{AA}</math> der Punkt ''A'' ist, das ist dann schon OK so!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
Die Ausführungen und Erläuterungen sind korrekt. Engel82 hat an dieser Stelle bereits auf den Satz von Pasch verwiesen.<br />Das können sie zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht wissen und war auch nicht notwendig, es reicht eine anschauliche Erläuterung. Den Satz von Pasch<br />werden wir später als Axiom von Pasch kennenlernen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:12, 25. Nov. 2010 (UTC)<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._6.7&diff=5162Lösung von Aufg. 6.72010-11-23T00:49:26Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien <math>\ P_1, P_2, P_3, ..., P_n \ n</math> verschiedene Punkte der Ebene, von denen je drei stets nicht kollinear sind. Wie viele verschiedene Geraden gibt es, die jeweils durch zwei dieser <math>n</math> Punkte gehen?<br />
Hinweis: Es gibt eine Problemlösestrategie: ''Führe einen komplizierten Fall auf einen einfacheren Fall zurück''. Carl Friedrich Gauß hilft auch bei der Lösung dieser Aufgabe.<br />
<br />
Also es gibt genau 6 Geraden, diese bilden zusammen einen Tetraeder.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 15:53, 17. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
*Erklärung bitte :)<br />
<br />
Im Praktikum haben wir eine analoge Aufgabe einmal mit Schülern einer 7. Hauptschulklasse gelöst. <br />
Formulieren Sie obige Aufgabe für Schüler dieser Schulstufe.<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._6.6&diff=5161Lösung von Aufg. 6.62010-11-23T00:39:04Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.<br />
<br />
Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.<br />
<br />
1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden<br /><br />
<br />
2. <br /><br />
Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar<br /><br />
Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden<br /><br />
Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br /><br />
* Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen <br />
<br />
Beweisschritt Begründung<br /><br />
1. Es existierte genau eine Gerade g Axiom I/1<br /><br />
die die Punkte A und B enthält<br /><br />
2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g Axiom I/3<br /><br />
3. A,B C sind nicht kollinear 1), 2)<br /><br />
4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält Axiom I/4<br /><br />
5. C = D Annahme<br /><br />
6. D ist Element der Ebene E 5)<br /><br />
7. A,B,C,D sind komplanar 4), 6)<br /><br />
Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.<br />
<br />
<br />
<br />
3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br /><br />
<br />
4. <br /><br />
Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br /><br />
Behauptung: A,B,C,D sind komplanar<br />
<br />
Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C <br /> enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar<br /><br />
<br />
5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar<br /><br />
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
6. Die Umkehrung stimmt nicht, da alle vier Punkte paarweise verschieden sein können, aber trotzdem Element der Ebene sind.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:04, 17. Nov. 2010 (UTC)</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._6.6&diff=5160Lösung von Aufg. 6.62010-11-23T00:37:48Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.<br />
<br />
Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.<br />
<br />
1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden<br /><br />
<br />
2. <br /><br />
Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar<br /><br />
Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden<br /><br />
Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br /><br />
<br />
Beweisschritt Begründung<br /><br />
1. Es existierte genau eine Gerade g Axiom I/1<br /><br />
die die Punkte A und B enthält<br /><br />
2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g Axiom I/3<br /><br />
3. A,B C sind nicht kollinear 1), 2)<br /><br />
4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält Axiom I/4<br /><br />
5. C = D Annahme<br /><br />
6. D ist Element der Ebene E 5)<br /><br />
7. A,B,C,D sind komplanar 4), 6)<br /><br />
Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.<br />
<br />
* Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen <br />
<br />
3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br /><br />
<br />
4. <br /><br />
Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br /><br />
Behauptung: A,B,C,D sind komplanar<br />
<br />
Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C <br /> enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar<br /><br />
<br />
5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar<br /><br />
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
6. Die Umkehrung stimmt nicht, da alle vier Punkte paarweise verschieden sein können, aber trotzdem Element der Ebene sind.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:04, 17. Nov. 2010 (UTC)</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=4878Lösung von Aufgabe 5.62010-11-16T00:40:57Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
* "Strecke AA" finde ich fragwürdig, denn: Eine Strecke (auch Geradenabschnitt) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, so mit gibts Strecke AA nicht!<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=4877Lösung von Aufgabe 5.62010-11-16T00:40:19Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
* Finde ich fragwürdig, denn: Eine Strecke (auch Geradenabschnitt) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, so mit gibts Strecke AA nicht!<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=4876Lösung von Aufgabe 5.62010-11-16T00:40:02Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
* Eine Strecke (auch Geradenabschnitt) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird, so mit gibts Strecke AA nicht!<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_5.6&diff=4875Lösung von Aufgabe 5.62010-11-16T00:38:45Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /><br />
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /><br />
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /><br />
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /><br />
<br />
Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!<br /><br />
Die 0 steht für die Leere Menge, ich habe es zum besseren Verständnis geändert in : <math>\lbrace \rbrace</math>, OK?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:12, 15. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.<br /><br />
b) <u>Reflexivität:</u> aRa<br /><br />
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.<br /><br />
<br />
Wenn AA ein Punkt ist, dann ist es wohl keine Strecke?<br />
<br />
<u>Symmetrie</u>: aRb, bRa<br /><br />
zu zeigen: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g). <br /><br />
Es gilt: <br />
*Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,<br /><br />
*Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.<br /><br />
<br />
<u>Transitivität</u>: aRb, bRc draus folgt aRc<br /><br />
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.<br /><br />
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_4.4&diff=4663Lösung von Aufgabe 4.42010-11-09T11:38:10Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br /> <br />
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.<br /> <br />
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br /><br />
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> <br />
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land a \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . <br /><br />
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />
VSS: a//b und b//c<br /><br />
Beh: a//c<br /><br />
Annahme: a ist nicht parallel zu c<br /><br />
<br />
1. a geschnitten mit c hat den Schnittpunkt S_____nach Annhamne<br /><br />
2. a ist parallel zu b mit S e a und c ist parallel zu b mit S e c____1.<br /><br />
3. zu b existieren zwei verschiedene Parallelen a und c durch S___1. und 2.<br /><br />
4. Widerspruch zum Parallenaxiom<br /><br />
Annahme ist zu verwerfen<br /><br />
daraus folgt a//c<br /><br />
b) Transitivität<br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:42, 4. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was bedeutet das "S e c" und "S e a"? <br /><br />
--> ich denke man meint mit S den Schnittpunkt und mit e Element, also S ist Element von a. --[[Benutzer:Kinder Riegel|Kinder Riegel]] 02:51, 9. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Und woher das "b//c" in der Aufgabenstellung gibt es das nicht<br />
<br />
das b//c gehört in die Aufgabenstellung. da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. warum sollte in Implikation und Behauptung das selbe stehen.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 10:42, 9. Nov. 2010 (UTC) <- Das ist doch Mathe? Jeder Nonsense ist möglich!</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_4.4&diff=4662Lösung von Aufgabe 4.42010-11-09T11:37:33Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br /> <br />
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.<br /> <br />
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br /><br />
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> <br />
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land a \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . <br /><br />
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />
VSS: a//b und b//c<br /><br />
Beh: a//c<br /><br />
Annahme: a ist nicht parallel zu c<br /><br />
<br />
1. a geschnitten mit c hat den Schnittpunkt S_____nach Annhamne<br /><br />
2. a ist parallel zu b mit S e a und c ist parallel zu b mit S e c____1.<br /><br />
3. zu b existieren zwei verschiedene Parallelen a und c durch S___1. und 2.<br /><br />
4. Widerspruch zum Parallenaxiom<br /><br />
Annahme ist zu verwerfen<br /><br />
daraus folgt a//c<br /><br />
b) Transitivität<br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:42, 4. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was bedeutet das "S e c" und "S e a"? <br /><br />
--> ich denke man meint mit S den Schnittpunkt und mit e Element, also S ist Element von a. --[[Benutzer:Kinder Riegel|Kinder Riegel]] 02:51, 9. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Und woher das "b//c" in der Aufgabenstellung gibt es das nicht<br />
<br />
das b//c gehört in die Aufgabenstellung. da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. warum sollte in Implikation und Behauptung das selbe stehen.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 10:42, 9. Nov. 2010 (UTC) <- Hallo, wir studieren Mathe? Jeder Nonsense ist möglich!</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_4.4&diff=4653Lösung von Aufgabe 4.42010-11-08T22:14:38Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br /> <br />
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.<br /> <br />
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br /><br />
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> <br />
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land a \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . <br /><br />
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />
VSS: a//b und b//c<br /><br />
Beh: a//c<br /><br />
Annahme: a ist nicht parallel zu c<br /><br />
<br />
1. a geschnitten mit c hat den Schnittpunkt S_____nach Annhamne<br /><br />
2. a ist parallel zu b mit S e a und c ist parallel zu b mit S e c____1.<br /><br />
3. zu b existieren zwei verschiedene Parallelen a und c durch S___1. und 2.<br /><br />
4. Widerspruch zum Parallenaxiom<br /><br />
Annahme ist zu verwerfen<br /><br />
daraus folgt a//c<br /><br />
b) Transitivität<br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:42, 4. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was bedeutet das "S e c" und "S e a"? <br /><br />
Und woher das "b//c" in der Aufgabenstellung gibt es das nicht</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_4.4&diff=4652Lösung von Aufgabe 4.42010-11-08T22:14:26Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br /> <br />
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.<br /> <br />
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br /><br />
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> <br />
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land a \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . <br /><br />
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />
VSS: a//b und b//c<br /><br />
Beh: a//c<br /><br />
Annahme: a ist nicht parallel zu c<br /><br />
<br />
1. a geschnitten mit c hat den Schnittpunkt S_____nach Annhamne<br /><br />
2. a ist parallel zu b mit S e a und c ist parallel zu b mit S e c____1.<br /><br />
3. zu b existieren zwei verschiedene Parallelen a und c durch S___1. und 2.<br /><br />
4. Widerspruch zum Parallenaxiom<br /><br />
Annahme ist zu verwerfen<br /><br />
daraus folgt a//c<br /><br />
b) Transitivität<br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:42, 4. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was bedeutet das "S e c" und "S e a"?<br />
Und woher das "b//c" in der Aufgabenstellung gibt es das nicht</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_4.4&diff=4651Lösung von Aufgabe 4.42010-11-08T22:14:11Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br /> <br />
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.<br /> <br />
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br /><br />
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> <br />
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land a \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . <br /><br />
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />
VSS: a//b und b//c<br /><br />
Beh: a//c<br /><br />
Annahme: a ist nicht parallel zu c<br /><br />
<br />
1. a geschnitten mit c hat den Schnittpunkt S_____nach Annhamne<br /><br />
2. a ist parallel zu b mit S e a und c ist parallel zu b mit S e c____1.<br /><br />
3. zu b existieren zwei verschiedene Parallelen a und c durch S___1. und 2.<br /><br />
4. Widerspruch zum Parallenaxiom<br /><br />
Annahme ist zu verwerfen<br /><br />
daraus folgt a//c<br /><br />
b) Transitivität<br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:42, 4. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was bedeutet das "S e c" und "S e a"?<br />
Woher das "b//c" in der Aufgabenstellung gibt es das nicht</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_4.4&diff=4650Lösung von Aufgabe 4.42010-11-08T22:10:18Z<p>Bulkathos: </p>
<hr />
<div>Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br /> <br />
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.<br /> <br />
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br /><br />
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> <br />
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land a \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . <br /><br />
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />
VSS: a//b und b//c<br /><br />
Beh: a//c<br /><br />
Annahme: a ist nicht parallel zu c<br /><br />
<br />
1. a geschnitten mit c hat den Schnittpunkt S_____nach Annhamne<br /><br />
2. a ist parallel zu b mit S e a und c ist parallel zu b mit S e c____1.<br /><br />
3. zu b existieren zwei verschiedene Parallelen a und c durch S___1. und 2.<br /><br />
4. Widerspruch zum Parallenaxiom<br /><br />
Annahme ist zu verwerfen<br /><br />
daraus folgt a//c<br /><br />
b) Transitivität<br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:42, 4. Nov. 2010 (UTC)<br />
<br />
Was bedeutet das "S e c" und "S e a"?</div>Bulkathoshttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=%C3%9Cbung_Aufgaben_2&diff=4311Übung Aufgaben 22010-10-26T08:30:05Z<p>Bulkathos: /* Aufgabe 2.5 */</p>
<hr />
<div>=Aufgaben zu Definitionen=<br />
==Aufgabe 2.1==<br />
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde.<br /><br />
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.<br />
<br />
Lösungsvorschlag<br /><br />
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.<br />
<br />
Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Du hast eine Strecke AB<br />
<br />
A ------------------------- B<br />
:<br />
:<br />
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, <br />den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B<br />
<br />
Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.<br />
<br />
@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist?<br /><br />
<br />
Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010<br />
<br /><br />
<br />
=Aufgabe 2.2=<br />
<br />
# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?<br />
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.<br />
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).<br />
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein.<br /><br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
1. Raute<br /><br />
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen.<br /><br />
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind.<- 2 Paar?<br /> <br />
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC) <br />
<br />
<br />
==Aufgabe 2.3==<br />
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.<br />
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<br />
Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.<br />
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Aufgabe 2.4==<br />
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''<br />
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Lösungsvorschlag:<br />
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.<br />
<br />
Es heißt Inkreis.<br /><br />
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Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ein Viereck, dessen Winkelhalbierende sich alle in einem Punkt schneiden, heißt Tangentenviereck. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:21, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Aufgabe 2.5==<br />
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren. <- sinnvoll für Mathematiker -hust-<br />
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Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.<br />
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
==Aufgabe 2.6==<br />
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden.<br /><br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.<br />
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt <br /><br />
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe.<br /><br />
-Strahl SP*<br /><br />
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.<br />
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel<br /><br />
<br />
Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende.<br /><br />
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
Eine Winkelhalbierende eines Winkels ist die Gerade, die durch den Scheitelpunkt des Winkels geht und diesen in zwei gleich große Teile teilt. Begriffe: Schenkel, Symmetrieachse. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:43, 26. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Aufgabe 2.7==<br />
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an.<br /><br />
Lösungsvorschlag:<br /><br />
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S.<br /><br />
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden<br /><br />
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich).<br /><br />
2. Es entstehen die Punkte P und Q.<br /><br />
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X.<br /><br />
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)<br />
<br />
eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.<br /><br />
<br />
Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:<br />
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1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.<br />
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.<br />
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.<br />
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X<br />
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)</div>Bulkathos