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Lösung von Aufg. 7.2 (WS 11/12)

2012-01-04T14:29:53Z

CaroDa:

Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.

'''Voraussetzung''': Gerade g, Punkt P: P <math> \notin</math> g 

'''Behauptung''': <math> \exists!</math> Ebene E: g <math>\subseteq</math> E <math>\wedge</math> P <math>\in</math> E 

'''Beweis:''' 

{| class="wikitable"
|-
| 1) P <math> \notin</math> g|| Vor.
|-
| 2) <math>\exists</math> R, Q <math>\in</math> g, R<math>\neq</math> Q || Axiom I/2
|-
| 3) nkoll(P, Q, R) || Axiom I/3, 1), 2) ''(das Axiom sagt uns nicht, dass diese drei Punkte nicht kollinear sind. Wie kann man hier anders begründen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:48, 29. Nov. 2011 (CET))'' Vielleicht mit der Def. kollinear in Verbindung mit (1) und (2) ? --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 15:29, 4. Jan. 2012 (CET)
|-
| 4) <math> \exists!</math> E: (P, Q, R)<math>\in</math> E || Axiom I/4, 3)
|-
| 5) P <math> \in</math> E <math>\wedge</math> g <math>\subseteq</math> E || 4) ''(hier noch genauer begründen --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:48, 29. Nov. 2011 (CET))''
(1) wegen Punkt P, (2) und Axiom I/5 wegen Gerade g --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 15:29, 4. Jan. 2012 (CET)
|} q.e.d. --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 14:16, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2012-01-03T18:10:14Z

CaroDa:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

 

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C)
 
Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math>
 
Ann: A=B o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B || Ann.
|-
| <math>\exists g:A,C \in g</math> || Axiom I/1, (1)
|-
| <math>A,B,C \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|-
| Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt || (4)
|}
 

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C
 
Beh: koll(A,B,C)
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]] 
Gut! 
Der Beweises zur Aufgabe 6.4.2 scheint richtig. Was ist aber, wenn zufälligerweise auch A=C ist?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:01, 23. Dez. 2011 (CET)

Fall 2
Vor: nkoll (A,B,C)
An: A=B=C
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| (1) A=B=C || An
|-
| (2) ein Punkt ungleich Punktmenge || (1)
|-
| (3) nkoll (A,B,C)= Punktmenge|| Vor, Def nkoll

|}
 
--> Widerspruch zu (2), Behauptung stimmt

Darf man dies so sagen? Ich hoffe es stimmt wenigstens ein bisschen. --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 19:10, 3. Jan. 2012 (CET)

Lösung von Aufgabe 2.7 (WS 11/12)

2011-10-23T10:36:47Z

CaroDa:

Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 

Die Winkelhalbierende, ist die Gerade, welche bei einer geometrischen Figur einen Eckpunkt so schneidet, dass der Winkel der beiden Strecken welche diesen Eckpunkt dieser Figur bilden, in zwei gleich große Winkel geteilt wird. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels verläuft und das Winkelfeld in zwei kongruente Teile teilt. --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 12:36, 23. Okt. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 2.2 (WS 11/12)

2011-10-23T10:09:40Z

CaroDa:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

=== Antworten ===

1. 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen die Symmetrieachsen sind. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 09:59, 20. Okt. 2011 (CEST) 
* Vorsicht mit dem bestimmten Artikel! ''Eine Raute ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen die Symmetrieachsen sind.'' Ein Quadrat ist eine Raute. In jedem Quadrat sind die Mittelsenkrechten der Seiten auch Symmetrieachsen des jeweiligen Quadrates. Die Geraden, auf denen die Diagonalen liegen, sind natürlich auch Symmetrieachsen des Quadrates. Sind sie aber '''die''' Symmetrieachsen? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:48, 20. Okt. 2011 (CEST)
Wurde nicht aber in der letzten Übung angenommen, dass ein Rechteck auch ein Parallelogramm ist? Ist dann nicht auch ein Quadrat eine bestimmte Form der Raute? Wäre die Definition dann richtig, wenn der bestimmte Artikel weggelassen wird? Also: ..bei dem die Diagonalen Symmetrieachsen sind?--[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 12:00, 21. Okt. 2011 (CEST)

3. Eine Raute ist ein Drache mit vier zueinander kongruenten Seiten. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 09:59, 20. Okt. 2011 (CEST) 
: Hier haben Sie allerdings einen Oberbegriff verwendet - laut Aufgabenstellung sollen Sie dies hier aber vermeiden! ;-) --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 01:40, 21. Okt. 2011 (CEST) 
: Ich glaube die Antwort ist schon richtig, aber sie ist wohl durch meine Formatierung etwas verrutscht. Sollte jetzt aber wieder passen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 07:46, 21. Okt. 2011 (CEST)
Eine Raute ist ein Drache, bei welchem die gegenüber liegenden Seiten gleich lang sind. --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 12:09, 23. Okt. 2011 (CEST)
4.

1. Raute und Drachenviereck --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

2. Eine Raute ist ein Viereck bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander, sich einander halbieren und Symmetrieachsen sind. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

3a. Eine Raute ist ein Viereck bei dem die jeweils gegenüberliegenden Stecken parallel sind. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

3b. Eine Raute ist ein Viereck bei dem gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und die nebeneinander liegenden Winkel sich zu 180 Grad ergänzen. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

4. Drachenviereck; Bei einem Drachenviereck ist ein Viereck bei dem eine Diagonale die Symmetrieachse bildet.
Quadrate sind Teilmengen von Drachenvierecken; Rechtecke sind Teilmengen von Drachenvierecken; Rauten sind Teilmengen von Drachenvierecken; Drachenvierecke sind eine Teilmenge der aller Vierecke --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]