Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel

2010-06-14T09:45:14Z

Celestius: /* Repräsentanten und Gegenrepräsentanten */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
| 3,5,8. Da hier jeweils die Halbgeraden, welche einen Winkel definieren gezeigt werden. Vorr. für 8: es handelt sich um Halbgeraden mit dem selben Startpunkt.
| 1, da das Innere des WInkels gezeigt wird. 2, siehe 1 und es werden nur Strecken gezeigt , 4 siehe 1, 6, eine Halbgerade fehlt. 7, beide Halbgeraden fehlen.
|}
Erarbeitet in der Vorlesung am 14.06.10

==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen ...
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten ..., der

|}
=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====
:: Ein Winkel ist ein Paar .... .
:: ... heißt der Scheitelpunkt von ...
:: ... sind die Schenkel von ...
==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====
[[Bild:Inneres_winkel.png | 400 px]]

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_eines_Winkels.htm Flashapplikation]
==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 10:47, 12. Jun. 2010 (UTC)
korrekt--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:01, 14. Jun. 2010 (UTC)

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.
== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel

2010-06-14T09:44:11Z

Celestius: /* Repräsentanten und Gegenrepräsentanten */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
| 3,5,8. Da hier jeweils die Halbgeraden, welche einen Winkel definieren gezeigt werden. Vorr. für 8: es handelt sich um Halbgeraden mit dem selben Startpunkt.
| 1, da das Innere des WInkels gezeigt wird. 2, siehe 1 und es werden nur Strecken gezeigt , 4 siehe 1, 6, eine Halbgerade fehlt. 7, beide Halbgeraden fehlen.
|}

==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen ...
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten ..., der

|}
=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====
:: Ein Winkel ist ein Paar .... .
:: ... heißt der Scheitelpunkt von ...
:: ... sind die Schenkel von ...
==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====
[[Bild:Inneres_winkel.png | 400 px]]

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_eines_Winkels.htm Flashapplikation]
==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 10:47, 12. Jun. 2010 (UTC)
korrekt--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:01, 14. Jun. 2010 (UTC)

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.
== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel

2010-06-14T09:42:20Z

Celestius: /* Repräsentanten und Gegenrepräsentanten */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
| 3,5,8. Da hier jeweils die Halbgeraden, welche einen Winkel definieren gezeigt werden. Vorr. für 8: es handelt sich um Halbgeraden.
| 1, da das Innere des WInkels gezeigt wird. 2, siehe 1 , 4 siehe 1, 6, eine Halbgerade fehlt. 7, beide Halbgeraden fehlen.
|}

==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen ...
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten ..., der

|}
=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====
:: Ein Winkel ist ein Paar .... .
:: ... heißt der Scheitelpunkt von ...
:: ... sind die Schenkel von ...
==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====
[[Bild:Inneres_winkel.png | 400 px]]

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_eines_Winkels.htm Flashapplikation]
==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 10:47, 12. Jun. 2010 (UTC)
korrekt--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:01, 14. Jun. 2010 (UTC)

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.
== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.