Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Serie 04 12 13

2012-12-06T13:07:27Z

DrSchwuchtel: /* Aufgabe 4.4 */

=Pfeilklassen und <math>\mathbb{R}</math>Vektorräume=

==Aufgabe 4.1==

Ein Vektor <math>\vec{v}</math> wird durch einen Pfeil <math>\vec{AB}</math> repräsentiert. Geben Sie <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an.

a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)

b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)

==Aufgabe 4.2==

Gegeben ist eine Verschiebung <math>\vec{v}</math> des Raumes durch einen Verschiebungspfeil <math>\vec{PP'}</math> mit <math>P(2,1,3)</math> und <math>P'(5,3,-1)</math>.

a) Geben Sue den Verschiebungsvektor <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an.

b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte <math>A(3,-2,4)</math> und <math>B(3.5,2.5,-5)</math> bei der Verschiebung <math>\vec{v}</math> an.

==Aufgabe 4.3==

Durch <math>\vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> und <math>\vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} </math> werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.

a) Der Punkt <math>P(-3,-3,3)</math> wird zunächst um <math>\vec{v_{1}}</math> und dann um <math>\vec{v_{2}}</math> verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt <math>P'</math> und <math>P''</math> an.

b) Geben Sie den Verschiebungsvektor <math>\vec{v}</math> an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen <math>\vec{v_{1}}</math> und <math>\vec{v_{2}}</math> beschreibt.

==Aufgabe 4.4==

Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0};</math> mit <math> a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}</math> der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen <math> + </math> und <math>\cdot</math> für beliebige <math>p, q \in P</math> mit<math> p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}</math> und <math>q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}</math> sowie <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> ein Vektorraum ist:

<math>(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})</math>,

<math>(\lambda\cdot p)(x):= \lambda \cdot p(x)= \lambda a_{2}x^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0}</math>


[[Kategorie:Linalg]]

Serie 04 12 13

2012-12-06T13:06:21Z

DrSchwuchtel: /* Aufgabe 4.4 */

=Pfeilklassen und <math>\mathbb{R}</math>Vektorräume=

==Aufgabe 4.1==

Ein Vektor <math>\vec{v}</math> wird durch einen Pfeil <math>\vec{AB}</math> repräsentiert. Geben Sie <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an.

a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)

b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)

==Aufgabe 4.2==

Gegeben ist eine Verschiebung <math>\vec{v}</math> des Raumes durch einen Verschiebungspfeil <math>\vec{PP'}</math> mit <math>P(2,1,3)</math> und <math>P'(5,3,-1)</math>.

a) Geben Sue den Verschiebungsvektor <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an.

b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte <math>A(3,-2,4)</math> und <math>B(3.5,2.5,-5)</math> bei der Verschiebung <math>\vec{v}</math> an.

==Aufgabe 4.3==

Durch <math>\vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> und <math>\vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} </math> werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.

a) Der Punkt <math>P(-3,-3,3)</math> wird zunächst um <math>\vec{v_{1}}</math> und dann um <math>\vec{v_{2}}</math> verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt <math>P'</math> und <math>P''</math> an.

b) Geben Sie den Verschiebungsvektor <math>\vec{v}</math> an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen <math>\vec{v_{1}}</math> und <math>\vec{v_{2}}</math> beschreibt.

==Aufgabe 4.4==

Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}+x^2+a_{1}x+a_{0};</math> mit <math> a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}</math> der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen <math> + </math> und <math>\cdot</math> für beliebige <math>p, q \in P</math> mit<math> p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}</math> und <math>q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}</math> sowie <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> ein Vektorraum ist:

<math>(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})</math>,

<math>(\lambda\cdot p)(x):= \lambda \cdot p(x)= \lambda a_{2}x^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0}</math>


[[Kategorie:Linalg]]

Serie 04 12 13

2012-12-06T13:02:55Z

DrSchwuchtel: /* Aufgabe 4.3 */

=Pfeilklassen und <math>\mathbb{R}</math>Vektorräume=

==Aufgabe 4.1==

Ein Vektor <math>\vec{v}</math> wird durch einen Pfeil <math>\vec{AB}</math> repräsentiert. Geben Sie <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an.

a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)

b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)

==Aufgabe 4.2==

Gegeben ist eine Verschiebung <math>\vec{v}</math> des Raumes durch einen Verschiebungspfeil <math>\vec{PP'}</math> mit <math>P(2,1,3)</math> und <math>P'(5,3,-1)</math>.

a) Geben Sue den Verschiebungsvektor <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an.

b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte <math>A(3,-2,4)</math> und <math>B(3.5,2.5,-5)</math> bei der Verschiebung <math>\vec{v}</math> an.

==Aufgabe 4.3==

Durch <math>\vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> und <math>\vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} </math> werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.

a) Der Punkt <math>P(-3,-3,3)</math> wird zunächst um <math>\vec{v_{1}}</math> und dann um <math>\vec{v_{2}}</math> verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt <math>P'</math> und <math>P''</math> an.

b) Geben Sie den Verschiebungsvektor <math>\vec{v}</math> an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen <math>\vec{v_{1}}</math> und <math>\vec{v_{2}}</math> beschreibt.

==Aufgabe 4.4==

Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}+x^2+a_{1}x+a_{0};</math> mit <math> a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}</math> der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen <math> + </math> und <math>\cdot</math> für beliebige <math>p, q \in P</math> mit<math> p(x)=a_{2}+x^2+a_{1}x+a_{0}</math> und <math>q(x)=b_{2}+x^2+b_{1}x+b_{0}</math> sowie <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> ein Vektorraum ist:

<math>(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})</math>,

<math>(\lambda\cdot p)(x):= \lambda \cdot p(x)= \lambda a_{2}x^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0}</math>


[[Kategorie:Linalg]]

Auftrag der Woche 2

2010-07-29T21:41:36Z

DrSchwuchtel:

== Quiz zu Definitionen II ==
Generieren Sie gemeinsam ein eigenes Quizz zum Begriff der Definition bzw. zum Definieren.
Hier der Anfang. Sie müssen nur nur auf Bearbeiten klicken, den Quelltext der ersten Frage kopieren, wieder einfügen und schließlich manipulieren. F.F. (Viel Freude!)
<quiz>

{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Dreieck? }
- Ein Dreieck besteht aus drei Strecken.
|| Gut zu wissen, aber was ist denn nun ein Dreieck?
- Ein Dreieck ist ein n-Eck, das keine Diagonalen hat.
|| oder doch nicht?
+ Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Die Vereingungsmenge der Strecken <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> und <math>\overline{AC}</math> ist das Dreieck mit den Eckpunkten <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>.
|| Sauber
- Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Die Vereingungsmenge der Strecken <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> und <math>\overline{AC}</math> ist das Dreieck mit den Eckpunkten <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>.
|| Was ist, wenn die drei Punkte kollinear sind?

</quiz>

Auftrag der Woche 2

2010-07-29T21:38:57Z

DrSchwuchtel:

== Quiz zu Definitionen II ==
Generieren Sie gemeinsam ein eigenes Quizz zum Begriff der Definition bzw. zum Definieren.
Hier der Anfang. Sie müssen nur nur auf Bearbeiten klicken, den Quelltext der ersten Frage kopieren, wieder einfügen und schließlich manipulieren. F.F. (Viel Freude!)
<quiz>

{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Dreieck? }
- Ein Dreieck besteht aus drei Strecken.
|| Gut zu wissen, aber was ist denn nun ein Dreieck?
+ Ein Dreieck ist ein n-Eck, das keine Diagonalen hat.
|| oder doch nicht?
+ Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Die Vereingungsmenge der Strecken <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> und <math>\overline{AC}</math> ist das Dreieck mit den Eckpunkten <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>.
|| Sauber
- Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Die Vereingungsmenge der Strecken <math>\overline{AB}</math>, <math>\overline{BC}</math> und <math>\overline{AC}</math> ist das Dreieck mit den Eckpunkten <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>.
|| Was ist, wenn die drei Punkte kollinear sind?

</quiz>

Lösung von Aufgabe 6.9

2010-07-11T14:57:41Z

DrSchwuchtel: /* Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) */

====Vorlage====
'''Satz:'''
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz. 
== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) ==
'''Satz in ''wenn-dann'':''' 
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

'''Beweis''' 

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. 
'''Voraussetzungen:'''
koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)

'''Behauptung''' 
::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es gilt eine der drei Gleichungen:
 <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
 <math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| (I), Axiom II/3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
| (II), Def (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
 Annahme: es gilt o.B.d.A. <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
| (IV), (Axiom II/3)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math>
| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
| (VII), + <math>\left| BC \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math>
| (VIII), - <math>\left| AB \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
 --> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.
|
|}

Eine Frage: Wenn im Satz von drei PAARWEISE VERSCHIEDENEN Punkten die Rede ist, warum lassen sie es einfach weg? Ich werde immer unsicherer was diese Spitzfindigkeiten angeht, weil nie die gleichen Regeln zu gelten scheinen und mich das ganz verrückt macht!
Darf ich davon ausgehen, das wenn von drei Punkte die Rede ist, diese immer verschieden sind oder nicht? Wenn ja wieso darf ich das in diesem Fall und in anderen nicht?
Wenn ich nicht davon ausgehen kann, muss das "paarweise verschieden" dabei sein, weil die Voraussetzung sonst eine ganz andere ist???
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:45, 21. Jun. 2010 (UTC)

In diesem Fall muss es nicht explizit geschrieben werden, weil die Definition von kollinear schon besagt, dass die Punkte paarweiße verschieden sein müssen.
--[[Benutzer:DrSchwuchtel|DrSchwuchtel]] 16:38, 11. Jul. 2010 (UTC)

== vorausgegangene Diskussion ==
====Versuch I====
'''Satz:'''
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz. 
'''Satz in ''wenn-dann'':''' 
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

'''Beweis''' 

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. 
'''Voraussetzungen:'''
koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)

'''Behauptung''' 
::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
|Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
 <math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| Axiom II/3.1
 Axiom II/3.2
 Axiom II/3.3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
|
|
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
|
|
|}

...und jetzt?
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
| Def (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
 Annahme: es gilt <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
| (Axiom II/3)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math>
| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
| (VIII), + <math>\left| BC \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math>
| (IX), - <math>\left| AB \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(XI)
| Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.
 --> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.
|
|}
--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

==== Versuch II ==== ===

'''Satz in ''wenn-dann'':''' 
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

'''Beweis''' 

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. 
'''Voraussetzungen:'''

<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

'''Behauptung''' 
::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> paarweise verschieden
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| (1.) <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> (2.) <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math> (3.) <math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| I., Axiom II/3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| (1.)<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> (2.) <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}</math> (3.) <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>
| III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Behauptung ist wahr
|
|}
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-06-28T16:53:59Z

DrSchwuchtel:

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:
=====Axiom I/0=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
=====Axiom I/1(Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
=====Axiom I/2=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
=====Axiom I/3=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
=====Axiom I/4=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
=====Axiom I/5=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
=====Axiom I/6=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
=====Axiom I/7=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:
===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

== Definitionen ==
=====Definition I/2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''
=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.
=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.
=====Definition I/5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
=====Definition I/6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)
=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.
=====Definition I/9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.
===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

== Sätze ==
=====Satz I.1=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.
===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
===== Satz II.1 =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
===== Satz II.3 =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
===== Satz II.4 =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.
===== Satz IV.2 =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen
===== Satz IV.3 =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1 =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.
==== Satz V.2 ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.
==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.
==== Satz V.4 : ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.
==== Satz V.5 : ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-06-28T16:25:27Z

DrSchwuchtel:

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:
=====Axiom I/0=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
=====Axiom I/1(Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
=====Axiom I/2=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
=====Axiom I/3=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
=====Axiom I/4=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
=====Axiom I/5=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
=====Axiom I/6=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
=====Axiom I/7=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:
===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

== Definitionen ==
=====Definition I/2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''
=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.
=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.
=====Definition I/5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
=====Definition I/6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)
=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.
=====Definition I/9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.
===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

== Sätze ==
=====Satz I.1=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.
===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
===== Satz II.1 =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
===== Satz II.3 =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
===== Satz II.4 =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.
===== Satz IV.2 =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen
===== Satz IV.3 =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1 =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.
==== Satz V.2 ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.
==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.
==== Satz V.4 : ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.