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Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 14/15

2015-02-12T15:07:40Z

EarlHickey: /* Definition III.2: (Inneres eines Winkels) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
==== Definition III.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel verseht man ... ergänzen Sie 
 
:: ... die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben. 
 
oder
:: ... ein Paar Halbgeraden p und q mit gemeinsamen Anfangspunkt S. 
 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 16:02, 12. Feb. 2015 (CET)

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_Winkel.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe> 
Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) =====
Unter dem Inneren eines Winkels ... ergänzen Sie 

::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist die Schnittmenge der beiden offenen Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math> 
 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 16:07, 12. Feb. 2015 (CET)

===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::trivial entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
'''Ihre Definition:'''
 

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
Hier sind Beispiele aus der Classroompresenter-Übung vom 20.04.12. Kommentieren Sie die Definitionsversuche! 
 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_046.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_036.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}

 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_064.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_035.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
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|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}
 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_069.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_042.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}
 

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:'''
[[Category:Einführung_P]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 14/15

2015-02-12T15:02:15Z

EarlHickey: /* Definition III.1: (Winkel) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
==== Definition III.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel verseht man ... ergänzen Sie 
 
:: ... die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben. 
 
oder
:: ... ein Paar Halbgeraden p und q mit gemeinsamen Anfangspunkt S. 
 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 16:02, 12. Feb. 2015 (CET)

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_Winkel.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe> 
Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) =====
Unter dem Inneren eines Winkels ... ergänzen Sie 

===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::trivial entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
'''Ihre Definition:'''
 

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
Hier sind Beispiele aus der Classroompresenter-Übung vom 20.04.12. Kommentieren Sie die Definitionsversuche! 
 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_046.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_036.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
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|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}

 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_064.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_035.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}
 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_069.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_042.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
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|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}
 

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:'''
[[Category:Einführung_P]]

Strecken und Halbgeraden WS 14/15

2015-02-12T13:08:57Z

EarlHickey: /* Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 
::Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man die Punktmenge: 
::::<math>\overline{AB} := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \} \cup \{ A,B \}</math> 
::Die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> heißen Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 13:40, 12. Feb. 2015 (CET)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 
::Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 13:46, 12. Feb. 2015 (CET)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 
 
::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>
 
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)>br>
 
::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>
 --[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 14:08, 12. Feb. 2015 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Strecken und Halbgeraden WS 14/15

2015-02-12T12:46:05Z

EarlHickey: /* Definition I.4: (Länge einer Strecke) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 
::Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man die Punktmenge: 
::::<math>\overline{AB} := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \} \cup \{ A,B \}</math> 
::Die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> heißen Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 13:40, 12. Feb. 2015 (CET)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 
::Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 13:46, 12. Feb. 2015 (CET)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 

 
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)

[[Category:Einführung_P]]

Strecken und Halbgeraden WS 14/15

2015-02-12T12:40:04Z

EarlHickey: /* Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 
::Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man die Punktmenge: 
::::<math>\overline{AB} := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \} \cup \{ A,B \}</math> 
::Die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> heißen Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 13:40, 12. Feb. 2015 (CET)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 

 
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)

[[Category:Einführung_P]]

Strecken und Halbgeraden WS 14/15

2015-02-12T11:29:15Z

EarlHickey: /* Beweis von Satz I.3: */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 

 
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)

[[Category:Einführung_P]]

Strecken und Halbgeraden WS 14/15

2015-02-12T11:17:55Z

EarlHickey: /* Beweis von Satz I.3: */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe
siehe: Lösung_von_Zusatzaufgabe_6.2P_(WS_12_13) [[http://wikis.zum.de/geometrie/Lösung_von_Zusatzaufgabe_6.2P_(WS_12_13)]]

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 

 
:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 5.1P (WS 14/15)

2015-02-09T15:15:21Z

EarlHickey:

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

[[Kategorie:Einführung_P]]

<math>\ AB^-</math>:= (AB\ <math>\ AB^+</math>) u A --[[Benutzer:Leuchtbärli|Leuchtbärli]] ([[Benutzer Diskussion:Leuchtbärli|Diskussion]]) 21:06, 24. Nov. 2014 (CET)

Andere Idee:
:
<math>\ AB^- := \{ C | C \in \overline{AB} \land \left| \overline{CA} \right|\ + \left| \overline{AB} \right|\ = \left| \overline{CB} \right|\}</math>
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 10:21, 27. Nov. 2014 (CET)
<math>\overline{AB}</math> gehört nicht zu <math>\ AB^-</math>. Deshalb kann diese zweite Definition nicht stimmen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 13:18, 1. Dez. 2014 (CET)

 Meinte eigentlich <math> AB </math> statt <math> \overline{AB} </math>. Also dass C auf der Geraden durch A und B liegt und nicht auf der Strecke AB. Stimmt dann 
<math>\ AB^- := \{ C | C \in {AB} \land \left| \overline{CA} \right|\ + \left| \overline{AB} \right|\ = \left| \overline{CB} \right|\}</math> ? --[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 16:15, 9. Feb. 2015 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.3 P (WS 14/15)

2015-02-09T13:43:49Z

EarlHickey:

Definieren Sie, was man unter einem Kreis ''k'' mit dem Mittelpunkt ''M'' versteht, ohne den Begriff Ellipse zu verwendon Ren (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.) 
 
Gegeben sei ein Punkt M.
Unter einem Kreis k versteht man alle Punkte P für die gilt: |PM| = r = const. mit r Element von R.
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 P (WS 14/15)

2015-02-09T11:26:48Z

EarlHickey:

a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 
c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 

[[Category:Einführung_P]]
zu a) M = {s.D., D, P, Ra, Re, Q}
die schiefen Drachen müssen hier nicht mit rein genommen werden --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 14:22, 19. Nov. 2014 (CET)

Mit schiefen Drachen (plural) sind ja wohl sD, P und Re gemeint? --[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 12:26, 9. Feb. 2015 (CET) 
 
zu b) M x M = { '''(D,D)''', (D,Ra), (D,Q), '''(Ra,D), (Ra,Ra)''', (Ra,Q), '''(Q,D), (Q,Ra), (Q,Q)'''}

zu c) Die Relation R angewendet auf M x M, habe ich in Aufgabe b) dick markiert.

zu d) Die Relation ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch (z.B.: Ra ist Teilmenge von D, aber D nicht Teilmenge von Ra).--[[Benutzer:Bienes|Bienes]] ([[Benutzer Diskussion:Bienes|Diskussion]]) 13:12, 21. Nov. 2014 (CET)

Lösung von Aufgabe 4.2 P (WS 14/15)

2015-02-09T11:04:26Z

EarlHickey:

Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält.
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AC}</math> oder die Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 12:04, 9. Feb. 2015 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

a) Schneidet eine Gerade ''g'' weder die Strecke <math>\overline{AC}</math> noch die Strecke <math>\overline{AB}</math>. ,dann schneidet ''g'' auch nicht die Strecke <math>\overline{BC}</math> .
b)Annahme: ...,so schneidet sie weder die Strecke <math>\overline{AC}</math> noch die Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Würde ich jetzt sagen.. Allerdings weiß ich nicht ob das "weder noch" stimmt --[[Benutzer:Leuchtbärli|Leuchtbärli]] ([[Benutzer Diskussion:Leuchtbärli|Diskussion]]) 12:05, 14. Nov. 2014 (CET)
 
das "weder noch" ist ein Teil der Verneinung, es fehlt aber noch was.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 16:59, 14. Nov. 2014 (CET)

also ich habe es genau so wie Leuchtbärli, aber ich komme nicht darauf, was fehlen soll.--[[Benutzer:Ashketchum|Ashketchum]] ([[Benutzer Diskussion:Ashketchum|Diskussion]]) 20:09, 18. Nov. 2014 (CET)
nun ja, die ursprüngliche Aussage heißt ja, dass genau eine der beiden Strecken <math>\overline{AC}</math> oder <math>\overline{AB}</math> geschnitten wird. Wenn Sie das verneinen wollen, müssen 
alle anderen Fälle berücksichtigt werden. Es können also keine der beiden Strecken geschnitten werden, oder ...?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 13:13, 20. Nov. 2014 (CET)

a) Schneidet eine Gerade ''g'' weder die Strecke <math>\overline{AC}</math> noch die Strecke <math>\overline{AB}</math>. oder beide Strecken, dann schneidet ''g'' nicht die Strecke <math>\overline{BC}</math> .
b)Annahme: ...,so schneidet sie weder die Strecke <math>\overline{AC}</math> noch die Strecke <math>\overline{AB}</math>. noch beide Strecken. 

jetzt stimmt´s :-) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 09:23, 25. Nov. 2014 (CET)

Frage: Vielleicht stehe ich ja gerade auf'm Schlauch. Für mich schließt die Aussage "weder ..., noch ..." die Aussage "beide gemeinsam nicht" mit ein. Oder worum geht es sonst? --[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 12:04, 9. Feb. 2015 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 3.3 P (WS 14/15)

2015-02-08T23:20:25Z

EarlHickey:

Es seine A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 

 
Zu zeigen ist folgendes: 
1. Aus P ist Element von A folgt: P ist Element von B und 
2. Aus P ist Element von B folgt: P ist Element von A. 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 00:20, 9. Feb. 2015 (CET)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 2.1P (WS 14 15)

2015-02-08T19:07:02Z

EarlHickey:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

"Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten und einer Symmetrieachse, die nicht auf einer der Diagonalen des Trapezes liegt."
Stimmt das?--[[Benutzer:Leuchtbärli|Leuchtbärli]] ([[Benutzer Diskussion:Leuchtbärli|Diskussion]]) 10:39, 1. Nov. 2014 (CET)

Man kann sagen: "Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die nicht auf einer der Diagonalen des Trapezes liegt."
Die Parallelität ergibt sich aus der Symmetrie.
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 20:07, 8. Feb. 2015 (CET)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 5.1P (WS 14/15)

2014-11-27T09:21:59Z

EarlHickey:

Lösung von Aufg. 5.1P (WS 14/15)

2014-11-27T09:21:29Z

EarlHickey:

Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 13/14)

2014-02-13T21:55:12Z

EarlHickey:

Zeigen Sie, dass die Verkettung einer Drehung <math>D_{\left( S,\alpha \right) } </math> mit einer Verschiebung wieder eine Drehung <math>D_{\left( P,\alpha \right) } </math> ergibt. Wo liegt das neue Drehzentrum ''P''?
 
::(1) <math> D_{(S,\alpha)}:= S_a\circ S_b </math> 
::(2) Verschiebung <math>T := S_c\circ S_d </math> 
::(3) Es sei <math>S_{alt}\in a,b </math> 
::(4) Drehe <math> a </math> und <math>b </math> so um <math> D_{alt} </math>, dass <math> b'||c </math> gilt. Es entsteht <math> a' </math> und <math> b' </math> 
::(5) Verschiebe <math> c </math> und <math> d </math> so, dass <math> c </math> auf <math> b' </math> fällt. Es entsteht <math> c'=b' </math> und <math> d' </math>. 
::(6) <math> b' </math> und <math> c' </math> heben sich auf (involutorisch!). 
::(7) Der Punkt <math> S_{neu} \in a',d' </math> ist der neue Drehpunkt der resultierenden Drehung. 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 11:25, 10. Feb. 2014 (CET) 

Gute Beschreibung deiner Konstruktion. Mit einer Skizze und Bezeichnungen kann es sich jeder veranschaulichen. Es fehlt noch die Begründung, dass es sich bei der neuen vereinfachten Verkettung wieder um eine Drehung mit selbem Winkelmaß handelt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:52, 10. Feb. 2014 (CET) 
::Der neue Drehwinkel ist gleich groß, denn <math>a' || c'</math>, dadurch bilden die Winkel <math>\angle a'd'</math> und <math>\angle c'd'</math> Stufenwinkel. Sie sind also kongruent.--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 22:55, 13. Feb. 2014 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 13.3P (WS 13/14)

2014-02-13T21:37:24Z

EarlHickey:

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie! 
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:Ich denke schon, dass es solch einen Punkt der Ebene gibt, ob er jedoch auch ein Punkt der Figur ist, kann ich nicht genau sagen.
:Der Punkt muss die Bedingung erfüllen das dort die Resultierende der Drehbewegung in Richtung und Betrag genauso groß ist wie der Verschiebungsvektor, jedoch in gegengesetzter Richtung.
:Ich würde ihn folgendermaßen konstruieren:
* Zeichne eine Gerade durch D, die den Vektor (bzw. die Gerade, auf welcher der Vektor liegt, senkrecht schneidet).
* Diese Gerade bildet die Winkelhalbierende, die den Winkel mit dem Winkelmaß 90 halbiert (das ist die Drehbewegung).
* Der zugehörige Winkel wird um die Winkelhalbierende konstruiert.
* Verschiebe nun den Vektor nun so, dass seine Enden auf den Schenkeln des Winkels liegen bleiben.
* Der Endpunkt des verschobenen Vektors zeigt jetzt auf den gesuchten Punkt.
:Es ist ersichtlich, dass der Anfangspunkt der Drehbewegung mit dem Endpunkt der Verschiebung zusammenfällt.
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 13.1P (WS 13/14)

2014-02-13T14:38:59Z

EarlHickey:

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 
::Ich glaube, man kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen durch eine Verschiebung ersetzen:
::Die Gerade, welche die beiden Spiegelpunkte S1 und S2 verbindet, gibt die Richtung an, und die Verschiebung ist doppelt so lang wie der Abstand beider Spiegelpunkte.
::Begründung:
:::- Jede Punktspiegelung kann ich auf eine Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen zurückführen, wobei der Schnittpunkt dem Drehpunkt entspricht.
:::- Die Spiegelachsen sind orthogonal.
:::- Jedes dieser „Spiegelkreuze“ kann ich nach Belieben um den Drehpunkt drehen, ohne das Ergebnis zu verändern.
:::- Also kann man sie auch so einstellen, dass die b und c (die Bezeichnung a, b, c, d gibt die Reihenfolge ihrer Ausführung an) aufeinanderliegen.
:::- c und d heben sich auf.
* Du meinst sicher b und c.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 15:16, 13. Feb. 2014 (CET)
* Ja meinte ich (Tippfehler).--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 15:38, 13. Feb. 2014 (CET)
:::- Die dazu senkrechten Spiegelachsen a und d bleiben übrig.
:::- Sie stehen nun parallel zueinander.
:::- Daraus folgt die Translation um die den doppelten Abstand (=Abstand der Drehpunkte) und die Richtung von S1 nach S2.
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 22:28, 12. Feb. 2014 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]] 

So ist es. Sehr gut begründet!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 15:16, 13. Feb. 2014 (CET)

Hauptseite

2014-02-12T23:13:50Z

EarlHickey: /* Hinweise, Kommentare, Altklausuren */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

-----
{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
-----
 
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
 
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Wintersemester 2013/14 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.Oktober

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

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| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
Viel Erfolg bei der Klausurvorbereitung und in der Klausur! 
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 10:00, 11. Feb. 2014 (CET) 
PS: Nutzt gerene diese Woche weiterhin das Wiki - ich werde jeden Tag eure Beiträge kommentieren.

** Hallo. Hat vllt. irgendjemand Beiwese zum gleichschenkligem Trapez. Wäre echt super.

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
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====Übungen====
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| Di.|| 08-10 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Di.|| 16-18 Uhr || A206 ||J. Spannagel

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A108 ||T. Wanielik

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Wintersemester 2013/14!
 
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}} 

{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
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| Freitag || 10 - 12 ||H001 ||Gieding/Spannagel
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====Übungen====

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====Tutorium/Übung====

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
*Hab die Vorabvideos aus dem MOOC online gestellt. Bitte noch nicht großartig publizieren, momentan sind sie auf youtube noch versteckt, weil sie die Endfassung noch nicht erreicht haben.
*Robben23 hat sich Gedanken zum Thalessatz gemacht. Diskutieren Sie mit: [[Satzfindung vom Satz des Thales]]
*[[Findung des Satzes von Pythagoras]]
Wann sind den endlich die Klausurergebnisse da.

==Neu==
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====Hinweise, Kommentare====
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=Elementargeometrie=
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==Hinweise==

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Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
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=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

==Newsticker==
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====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Dienstag || 14-16 Uhr ||HS02 ||Gieding
|}

====Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}
beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
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Hauptseite

2014-02-12T23:12:39Z

EarlHickey: /* Hinweise, Kommentare, Altklausuren */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''

-----
{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2013/14 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''
-----
 
'''Einführung in die Geometrie Primarstufe, Einführung in die Geometrie Sekundarstufe, Elementargeometrie, Didaktik der Geometrie, Lineare Algebra/analytische Geometrie'''
 
=Selbstverteidigung und mentales Training=
*Findet im Wintersemester 2013/14 wieder statt. Jeden Montag 10 bis 12 Uhr Spezialhalle der PH. Wir starten am 28.Oktober

[[Selbstverteidigung und mentales Training]]

=Heidelberger Winkelkreuz=
[[Heidelberger Winkelkreuz]]

-----

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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:1em"
| valign="top" |
'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
Viel Erfolg bei der Klausurvorbereitung und in der Klausur! 
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 10:00, 11. Feb. 2014 (CET) 
PS: Nutzt gerene diese Woche weiterhin das Wiki - ich werde jeden Tag eure Beiträge kommentieren.

** Hallo. Hat vllt. irgendjemand Beiwese zum gleichschenkligem Trapez. Wäre echt super.

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H002 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-

| Di.|| 08-10 Uhr || A206 ||M. Schulte

|-

| Di.|| 16-18 Uhr || A206 ||J. Spannagel

|-

| Mi.|| 16-18 Uhr || A108 ||T. Wanielik

|}

====Hinweise, Kommentare, Altklausuren====
Viel Erfolg im Wintersemester 2013/14!
 
{{pdf|Klausur_Einführung_in_die_Geometrie_WS12_13_Primar_Lösung.pdf|Musterlösung der Klausur WS_12/13}} 
::Stimmt Aufgabe 1a)? Demnach wäre das Quadrat (Spezialfall eines gleichschenkligen Trapezes) kein gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 00:12, 13. Feb. 2014 (CET)
{{pdf|Lösungen_Klausur_SoSe_12_Primar.pdf|Musterlösung der Klausur_SoSe_12}}

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</div>
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_13]]

==Hinweise==
Im Wintersemester 2013/2014 gehen wir neue Wege. Unsere Materialien findet ihr im Mathemooc auf iversity.org: https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken Wir sehen uns bei iversity.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:10, 20. Okt. 2013 (CEST)

==Newsticker==

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====Vorlesung====
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|-
| Freitag || 10 - 12 ||H001 ||Gieding/Spannagel
|}

====Übungen====

{| class="wikitable"
|-
| || || ||
|-
| || || ||
|}

====Tutorium/Übung====

{| class="wikitable"
|-
| || || ||
|-
| || || ||

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im WS 13/14
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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Hinweise==
*Hab die Vorabvideos aus dem MOOC online gestellt. Bitte noch nicht großartig publizieren, momentan sind sie auf youtube noch versteckt, weil sie die Endfassung noch nicht erreicht haben.
*Robben23 hat sich Gedanken zum Thalessatz gemacht. Diskutieren Sie mit: [[Satzfindung vom Satz des Thales]]
*[[Findung des Satzes von Pythagoras]]
Wann sind den endlich die Klausurergebnisse da.

==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|-
| || ||||
|}

====Hinweise, Kommentare====
Die Veranstaltung wird nur im Sommersemester angeboten. 
|}
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12_13]]

==Hinweise==

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten.
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=Lineare Algebra/analytische Geometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra_analytische Geometrie]]

==Hinweise==

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Dienstag || 14-16 Uhr ||HS02 ||Gieding
|}

====Übung====
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|-
| Montag || 16-18 Uhr ||A236 ||Plicht
|}
beginnend ab dem 04.11.
Die nächste Übung findet am 20.01. statt.

====Kommentare====



[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Datei:Lösung 13.2.png

2014-02-12T21:44:08Z

EarlHickey: User created page with UploadWizard

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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]
[[Kategorie:Lösungen]]

Lösung von Aufgabe 13.1P (WS 13/14)

2014-02-12T21:28:50Z

EarlHickey:

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 
::Ich glaube, man kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen durch eine Verschiebung ersetzen:
::Die Gerade, welche die beiden Spiegelpunkte S1 und S2 verbindet, gibt die Richtung an, und die Verschiebung ist doppelt so lang wie der Abstand beider Spiegelpunkte.
::Begründung:
:::- Jede Punktspiegelung kann ich auf eine Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen zurückführen, wobei der Schnittpunkt dem Drehpunkt entspricht.
:::- Die Spiegelachsen sind orthogonal.
:::- Jedes dieser „Spiegelkreuze“ kann ich nach Belieben um den Drehpunkt drehen, ohne das Ergebnis zu verändern.
:::- Also kann man sie auch so einstellen, dass die b und c (die Bezeichnung a, b, c, d gibt die Reihenfolge ihrer Ausführung an) aufeinanderliegen.
:::- c und d heben sich auf.
:::- Die dazu senkrechten Spiegelachsen a und d bleiben übrig.
:::- Sie stehen nun parallel zueinander.
:::- Daraus folgt die Translation um die den doppelten Abstand (=Abstand der Drehpunkte) und die Richtung von S1 nach S2.
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 22:28, 12. Feb. 2014 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 8.2P (WS 13/14)

2014-02-10T14:01:04Z

EarlHickey:

Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden. Tipp: [[Spiegel|Hier]] finden Sie eine hilfreiche GeoGebra-Applikation.
 
 
::Gegeben sind die Bezeichnungen aus der verlinkten Geogebra-Applikation. 
 
::Aus den Strahlensätzen lässt sich herleiten: <math>\frac{|K'F'|}{|AK'|} = \frac{|CB|}{|AC|}</math>. (1) 
 
::Umformen ergibt: <math>\frac{|K'F'|}{|CB|} = \frac{|AK'|}{|AC|}</math> (2) 
 
::Aus den Eigenschaften der Geradenspiegelung ergibt sich: <math>|AK'|=2*|AC|</math> (3) 
 
::Aus (2) und (3) folgt unmittelbar: <math>|K'F'|=2*|CB|</math> 
 
::Der Spiegel ist also (mindestens) halb so hoch wie die Person. 
::Analog kann man herleiten, dass <math>|EC|</math> halb so groß ist wie <math>|KA|</math> und 
::<math>|BD|</math> halb so groß ist wie <math>|AF|</math>. 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 19:20, 9. Feb. 2014 (CET)
 
Hallo EarlHickey, 
ich kann leider deine Aufgabe nicht prüfen, da ich an einem fremden PC sitze und Java nicht installieren kann. Kannst du mir die Applikation als Photo einstellen oder mir sagen, welche Punkte B und C sind. Ich kann nämlich trotz erahnter Bezeichnung Schritt 1 nicht nachvollziehen. Zum Lösen der Aufgabe braucht man auf jeden Fall beide Strahlensätze. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:58, 10. Feb. 2014 (CET) 
--Ich habe eine Screenshot erstellt und das Bild hochgeladen. Die Bezeichnungen habe ich komplett daraus übernommen - es ist leider nicht unkompliziert, hier im Editor die Texte oder Zeichnungen zu erstellen. 
[[Datei:Spiegel Frau mit Hut.jpg|thumb|Spiegel]] 
P. S.: Danke für das schnelle, zeitnahe Feedback.
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 14:57, 10. Feb. 2014 (CET)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 8.2P (WS 13/14)

2014-02-10T13:57:40Z

EarlHickey:

Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden. Tipp: [[Spiegel|Hier]] finden Sie eine hilfreiche GeoGebra-Applikation.
 
 
::Gegeben sind die Bezeichnungen aus der verlinkten Geogebra-Applikation. 
 
::Aus den Strahlensätzen lässt sich herleiten: <math>\frac{|K'F'|}{|AK'|} = \frac{|CB|}{|AC|}</math>. (1) 
 
::Umformen ergibt: <math>\frac{|K'F'|}{|CB|} = \frac{|AK'|}{|AC|}</math> (2) 
 
::Aus den Eigenschaften der Geradenspiegelung ergibt sich: <math>|AK'|=2*|AC|</math> (3) 
 
::Aus (2) und (3) folgt unmittelbar: <math>|K'F'|=2*|CB|</math> 
 
::Der Spiegel ist also (mindestens) halb so hoch wie die Person. 
::Analog kann man herleiten, dass <math>|EC|</math> halb so groß ist wie <math>|KA|</math> und 
::<math>|BD|</math> halb so groß ist wie <math>|AF|</math>. 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 19:20, 9. Feb. 2014 (CET)
 
Hallo EarlHickey, 
ich kann leider deine Aufgabe nicht prüfen, da ich an einem fremden PC sitze und Java nicht installieren kann. Kannst du mir die Applikation als Photo einstellen oder mir sagen, welche Punkte B und C sind. Ich kann nämlich trotz erahnter Bezeichnung Schritt 1 nicht nachvollziehen. Zum Lösen der Aufgabe braucht man auf jeden Fall beide Strahlensätze. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:58, 10. Feb. 2014 (CET) 
--Ich habe eine Screenshot erstellt und das Bild hochgeladen. Die Bezeichnungen habe ich komplett daraus übernommen - es ist leider nicht unkompliziert, hier im Editor die Texte oder Zeichnungen zu erstellen. 
[[Datei:Spiegel Frau mit Hut.jpg|thumb|Spiegel]] 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 14:57, 10. Feb. 2014 (CET)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Datei:Spiegel Frau mit Hut.jpg

2014-02-10T13:54:16Z

EarlHickey: User created page with UploadWizard

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=={{int:license-header}}==
{{cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 13/14)

2014-02-10T10:25:38Z

EarlHickey:

Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 13/14)

2014-02-10T09:31:20Z

EarlHickey:

Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze. 

[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
 
#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung. 

Lösung: 
1.) 
::(1) Drehe <math> a </math> und <math> b </math> gleichsinnig um den gleichen Winkel um ihren Schnittpunkt <math> S</math>, bis <math> b </math> parallel zu <math> c </math> ist. | "Eig. der Drehung" 
::Man erhät <math> a' </math> und <math> b' </math>. 
::(2) Verschiebe <math> c </math> und <math> d </math> gleichsinnig und mit dem gleichen Betrag, solange bis <math> c </math> auf <math> b </math> zu liegen kommt. | "Eig. der Geradenspiegelung 
::Man erhät <math> c' </math> und <math> d' </math>. 
::(3) Die Geradenspiegelung an <math> b </math> und <math> c </math> heben sich auf (sind involutorisch). | "Eig. der Geradenspiegelung" 
::(4) Die Abbildung reduziert sich auf <math> S_{a'} \circ S_{d'}.</math> 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 09:46, 10. Feb. 2014 (CET) 
 
2.) 
::Siehe Bild "Lösung_12.5b"
[[Datei:Lösung 12.5b.png|thumb|Lösung 12.5b]]
 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 10:29, 10. Feb. 2014 (CET) 
3.) 
::Siehe ebenfalls Bild "Lösung_12.5b"
 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 10:29, 10. Feb. 2014 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 13/14)

2014-02-10T09:29:58Z

EarlHickey:

Datei:Lösung 12.5b.png

2014-02-10T09:24:37Z

EarlHickey: User created page with UploadWizard

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{{Information
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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 13/14)

2014-02-10T09:21:38Z

EarlHickey:

Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 13/14)

2014-02-10T09:04:07Z

EarlHickey:

Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze. 

[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
 
#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
::(1) Drehe <math> a </math> und <math> b </math> gleichsinnig um den gleichen Winkel um ihren Schnittpunkt <math> S</math>, bis <math> b </math> parallel zu <math> c </math> ist. | "Eig. der Drehung" 
::Man erhät <math> a' </math> und <math> b' </math>. 
::(2) Verschiebe <math> c </math> und <math> d </math> gleichsinnig und mit dem gleichen Betrag, solange bis <math> c </math> auf <math> b </math> zu liegen kommt. | "Eig. der Geradenspiegelung 
::Man erhät <math> c' </math> und <math> d' </math>. 
::(3) Die Geradenspiegelung an <math> b </math> und <math> c </math> heben sich auf (sind involutorisch). | "Eig. der Geradenspiegelung" 
::(4) Die Abbildung reduziert sich auf <math> S_{a'} \circ S_{d'}.</math> 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 09:46, 10. Feb. 2014 (CET) 
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 12.4P (WS 13/14)

2014-02-10T08:48:12Z

EarlHickey:

Lösung von Aufgabe 12.4P (WS 13/14)

2014-02-10T08:46:50Z

EarlHickey:

Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? Nutzen Sie diese Erkenntnis für die Lösung der folgenden Aufgabe. 
 
 
::(1) Drehe <math> a </math> und <math> b </math> gleichsinnig um den gleichen Winkel um ihren Schnittpunkt <math> S</math>, bis <math> b </math> parallel zu <math> c </math> ist. | "Eig. der Drehung" 
::Man erhät <math> a' </math> und <math> b' </math>. 
::(2) Verschiebe <math> c </math> und <math> d </math> gleichsinnig und mit dem gleichen Betrag, solange bis <math> c </math> auf <math> b </math> zu liegen kommt. | "Eig. der Geradenspiegelung 
::Man erhät <math> c' </math> und <math> d' </math>. 
::(3) Die Geradenspiegelung an <math> b </math> und <math> c </math> heben sich auf (sind involutorisch). | "Eig. der Geradenspiegelung" 
::(4) Die Abbildung reduziert sich auf <math> S_{a'} \circ S_{d'}.</math> 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 09:46, 10. Feb. 2014 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 12.3P (WS 13/14)

2014-02-10T07:17:32Z

EarlHickey:

Beweisen Sie Satz IX.9: 
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
 
 
::(1) <math>S_{a}</math> bildet <math> A </math> auf <math> A' </math> ab und 
::(2) <math>S_{b}</math> bildet <math> A' </math> auf <math> A'' </math> ab.
::(3) Der Abstand von <math>A</math> zur Spiegelgeraden <math>a</math> ist gleich dem Abstand von <math>A'</math> zu <math>a</math>. | (1); Eig. der Geradenspiegelung; 
::(4) Der Abstand von <math>A'</math> zu <math>b</math> ist gleich dem Abstand von <math>A''</math> zu <math>b</math>. | (2); Eig. der Geradenspiegelung; 
::(5) Der Abstand von <math>a</math> zu <math>b</math> ist somit gleich dem Abstand von <math>A'</math> zu <math>a</math> <math>+</math> dem Abstand von <math>A'</math> zu <math>b</math>. | (3); (4); 
::(6) Das ist Gleich der Summe der Abstände von <math>A</math> zur Spiegelgeraden <math>a</math> <math>+</math> dem Abstand von <math>A''</math> zu <math>b</math> |(3); (4); (5); 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 08:17, 10. Feb. 2014 (CET) 
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Übung Aufgaben 12 (WS 13/14)

2014-02-10T06:47:42Z

EarlHickey: /* Aufgabe 12.1 */

==Aufgabe 12.1==
Das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> soll durch eine Drehung auf das blaue Rechteck abgebildet werden. Konstruieren Sie den Drehpunkt. Wo müssen die beiden Achsen liegen, wenn die Drehung durch eine Verkettung zweier Achsenspiegelungen erzeugt werden soll? 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
 
 
::Zeichne die Mittelsenkrechte zu mindestens zwei verschiedenen Punkt-Spiegelpunkt-Paaren.
::Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ergibt den Drehpunkt M der Drehung und somit den Schnittpunkt der zwei Geradenspiegelungen, die in M einen 45 Grad-Winkel bilden.
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 07:47, 10. Feb. 2014 (CET) 
 

[[Lösung von Aufgabe 12.1P (WS_13/14)]]

==Aufgabe 12.2==
Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math> (siehe GeoGebra-Applet). 
<ggb_applet width="536" height="428" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
[[Lösung von Aufgabe 12.2P (WS_13/14)]]

==Aufgabe 12.3==
Beweisen Sie Satz IX.9: 
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
[[Lösung von Aufgabe 12.3P (WS_13/14)]]

==Aufgabe 12.4==
Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? Nutzen Sie diese Erkenntnis für die Lösung der folgenden Aufgabe. 
[[Lösung von Aufgabe 12.4P (WS_13/14)]]

==Aufgabe 12.5==
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze. 

[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
 
#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung. 
[[Lösung von Aufgabe 12.5P (WS_13/14)]]

Lösung von Aufgabe 9.1P (WS 13/14)

2014-02-09T20:34:29Z

EarlHickey:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
 
 
::(1) Def.: <math>AB^+ = \overline{AB} \cup \{P||PB|<|PA|\}</math> 
 
::(2) <math>|\overline{AB}| = |\overline{A'B'}|</math> ; Streckentreue der Geradenspiegelung 
 
::(3) <math>|PB|=|P'B'|</math> und <math>|PA|=|P'A'|</math> ; Streckentreue der Geradenspiegelung 
 
::(4)<math>A'B'^+ = \overline{A'B'} \cup \{P||P'B'|<|P'A'|\}</math> ; (1);(2);(3); 
 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 21:34, 9. Feb. 2014 (CET)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 8.4P (WS 13/14)

2014-02-09T18:55:54Z

EarlHickey:

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Datei:Baum.png|300px]]
 
::Man bilde die Sekante BC. 
::Daraufhin bildet man die Mittelsenkrechte zu BC. 
::Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und BC ergibt den gesuchten Punkt K. 
 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 19:55, 9. Feb. 2014 (CET)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 8.2P (WS 13/14)

2014-02-09T18:20:20Z

EarlHickey:

Lösung von Aufgabe 8.1P (WS 13/14)

2014-02-09T16:46:59Z

EarlHickey:

Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion. Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

 
Man möge eine Achsenspiegelung an der Geraden g ausführen. Dabei erhalten wir die Spiegelpunkte A' und B'. 
 
Gesucht ist die kürzeste Strecke |AS| + |SB|, dabei ist S <math> \in </math> g. 
Aufgrund der Längentreue der Geradenspiegelung ist |AS| = |SA'|. 
Folglich können wir auch ersatzweise |A'S| + |SB| = |AS| + |SB| betrachten. 
 
Die kürzeste Verbindung zwischen A' und B ist die Gerade A'B. 
 
Der Winkel zw. der Geraden g und BS ist gleich dem Winkel zw. der Geraden g und SA' (Scheitelwinkel). 
Wegen der Winkeltreue der Geradenspiegelung ist der Winkel zw. g und SA' gleich dem Winkel zw. AS und g. 
Daraus folgt „Ausfallwinkel“ = „Einfallwinkel“. 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 17:46, 9. Feb. 2014 (CET) 
 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Benutzer:EarlHickey/Bücher/Einführung in die Geometrie

2014-02-05T08:35:58Z

EarlHickey: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Gespeichertes Buch}} == Einführung in die Geometrie == :Allgemeine Aspekte ;Allgemeine Aspekte Einführung in die Geometrie“

{{Gespeichertes Buch}}

== Einführung in die Geometrie ==
:[[Allgemeine Aspekte]]
;Allgemeine Aspekte

[[Kategorie:Bücher|Einführung in die Geometrie]]

Lösung von Aufg. 7.1P (WS 13/14)

2014-02-04T13:01:43Z

EarlHickey:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 
(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit <math>\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> und nutzen Sie den Satz von Pasch) 
 
1.) Wir betrachten das Dreieck <math>\overline {ABD}</math> 
2.) <math>\Rightarrow \overline{BD}\cap g\not=\lbrace \rbrace</math> 
::| Vor.; "Pasch"; 1.) 
3.) Wir betrachten das Dreieck <math>\overline {BCD}</math> 
4.) <math>\Rightarrow \overline{CD}\cap g\not=\lbrace \rbrace</math> 
::| Vor.; "Pasch"; 2.); 3.) 
5.) Wir betrachten das Dreieck <math>\overline {ACD}</math> 
6.) <math>\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace</math> 
::| Vor.; 4.); 5.); "Pasch" 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 14:01, 4. Feb. 2014 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (WS 13/14)

2014-02-04T12:19:43Z

EarlHickey:

Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>. 
 
Aus der Dreiecksungleichung
::"Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear." 
folgt unmittelbar unter Verwendung von der Definition I.2: (Zwischenrelation)
::::"Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>" 
die Behauptung. 
 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 13:19, 4. Feb. 2014 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (WS 13/14)

2014-02-04T12:11:15Z

EarlHickey:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

1.) geg.: <math>zw (A, B, C)</math> 

2.) <math>\Rightarrow \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|</math>
: | Def. "Zwischen" 
3.) <math>\Rightarrow koll (A, B, C)</math>
: | 2.); "Dreiecksungleichung" --[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 13:08, 4. Feb. 2014 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.5P (WS 13/14)

2014-02-04T12:10:36Z

EarlHickey:

Lösung von Aufg. 6.5P (WS 13/14)

2014-02-04T12:08:12Z

EarlHickey:

a) Gegeben seien drei paarweise verschiedene und nichtkollineare Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 

1.) geg.: <math>zw (A, B, C)</math> 

2.) <math>\Rightarrow \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|</math>
: | Def. "Zwischen" 
3.) <math>\Rightarrow koll (A, B, C)</math>
: | 2.); "Dreiecksungleichung" --[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 13:08, 4. Feb. 2014 (CET)

b) Was hat Aufgabe 6.5 mit Aufgabe 5.4 zu tun? 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.3P (WS 13/14)

2014-02-04T11:09:13Z

EarlHickey:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex. 
Beweis: Geg. sind zwei konvexe Punktmengen <math>M</math> und <math>N</math> mit <math>A, B \in M \cap N</math> 
zu zeigen: <math> \forall A, B \in M \cap N \land P \in \overline {AB}: P \in M \cap N</math> 
<math>P \in M</math>, weil <Math>A, B \in M</math> und <math>M</math> ist konvex. 
<math>P \in N</math>, weil <Math>A, B \in N</math> und <math>N</math> ist konvex. 
<math>P \in M \land P \in N</math> 
<math>\Rightarrow P \in M \cap N</math> 
<math>\Rightarrow M \cap N</math>ist konvex. 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 12:09, 4. Feb. 2014 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.2P (WS 13/14)

2014-02-04T10:34:29Z

EarlHickey:

Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen_und_der_Satz_von_Pasch_WS_13/14#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen. 
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...''' 
Def.: <math> M </math> ist konvex, wenn gilt:<math> \forall A, B \in M \land P \in \overline {AB}: P \in M</math> 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 11:34, 4. Feb. 2014 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (WS 13/14)

2014-02-04T10:24:52Z

EarlHickey:

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.
Def.: <math> AB^- = \lbrace P \mid A \in \overline {PB} \rbrace</math> 
--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 11:24, 4. Feb. 2014 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Übung Aufgaben 5 (WS 13/14)

2014-01-07T00:04:25Z

EarlHickey: /* Aufgabe 5.1 */

== Aufgabe 5.1 ==
a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 
c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subset B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 
[[Lösung von Aufgabe 5.1_P (WS_13/14)]]

== Aufgabe 5.2 ==
Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>
[[Lösung von Aufgabe 5.2_P (WS_13/14)]]

==Aufgabe 5.3==
Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 
[[Lösung von Aufgabe 5.3_P (WS_13/14)]]

==Aufgabe 5.4==
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 
[[Lösung von Aufgabe 5.4_P (WS_13/14)]]

==Aufgabe 5.5==
Wir betrachten die Gerade ''g'' und auf dieser Geraden die Relation Punkt ''A'' liegt links von Punkt ''B'' ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu? 
*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''.
*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''.
*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch. 
[[Lösung von Aufgabe 5.5_P (WS_13/14)]]

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.5 P (WS 13/14)

2014-01-06T21:40:47Z

EarlHickey: