Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.3 P (WS 19 20)

2019-11-12T11:43:10Z

Emiliam:

Definieren Sie, was man unter einem Kreis ''k'' mit dem Mittelpunkt ''M'' versteht, ohne den Begriff Ellipse zu verwenden (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.) 

In einem Kreis (Dargestellt durch Punktmenge k) mit dem Mittelpunkt M, ist der Abstand von M zu allen Punkten der Menge k kongruent. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:43, 12. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.2 P (WS 19 20)

2019-11-12T11:40:12Z

Emiliam:

Definieren Sie den Begriff Kreis unter Verwendung des Begriffs Ellipse. 

Ein Kreis ist eine Ellipse, bei der die Beiden Brennpunkte <math>F_{1} + F_{2}</math> identisch sind. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:40, 12. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 P (WS 19 20)

2019-11-12T11:37:18Z

Emiliam:

Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 

<math>| \overline{AB} | = 0 \Rightarrow A=B</math> --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:37, 12. Nov. 2019 (CET)

<math>A=B \Rightarrow | \overline{AB} | =0</math> --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:37, 12. Nov. 2019 (CET)

b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 

<math>A\neq B \Rightarrow | \overline{AB} | \neq 0</math>--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:37, 12. Nov. 2019 (CET)

<math> | \overline{AB} | \neq 0 \Rightarrow A \neq B</math>--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:37, 12. Nov. 2019 (CET)

c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

<math>1) A\neq B</math>--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:37, 12. Nov. 2019 (CET)

<math>2) | \overline{AB} | \neq 0</math>--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:37, 12. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 19 20)

2019-11-12T11:23:06Z

Emiliam:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene = reflexiv, symmetrisch, transitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 11:44, 12. Nov. 2019 (CET)
*Kongruenz geometrischer Figuren = reflexiv, symmetrisch, transitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 11:44, 12. Nov. 2019 (CET)
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math> = reflexiv, transitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:20, 12. Nov. 2019 (CET)
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math> = transitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:23, 12. Nov. 2019 (CET)
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math> = reflexiv, transitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:23, 12. Nov. 2019 (CET)
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math> = symmetrisch, transitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:23, 12. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 19 20)

2019-11-12T11:20:42Z

Emiliam:

Lösung von Aufgabe 5.5 P (WS 19 20)

2019-11-12T11:17:10Z

Emiliam:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

Transitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:17, 12. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.3 P (WS 19 20)

2019-11-12T11:05:14Z

Emiliam:

a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 

M(konvexe Drachenvierecke) = {Drachen; Raute; Quadrat} --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:41, 12. Nov. 2019 (CET)

b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 

<math>M \times M =</math> { <math>(Dr,Dr);(Dr,Ra);(Dr,Q);(Ra,Dr);(Ra,Ra);(Ra,Q);(Q,Dr);(Q,Ra);(Q,Q)</math> } --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:41, 12. Nov. 2019 (CET)

c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 

<math>R =</math> {<math>(Ra,Dr);(Q,Dr);(Q,Ra)</math> } --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 11:22, 12. Nov. 2019 (CET)

d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 

Nicht reflexiv: a steht nicht in Relation zu sich selbst 
transitiv: wenn aRb und bRc dann aRc...bedeutet nicht dass es zwingend vorliegen muss. 
Nicht symmetrisch: a steht in Relation zu b aber nicht umgekehrt --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 11:41, 12. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 19 20)

2019-11-12T10:44:58Z

Emiliam:

Lösung von Aufgabe 5.3 P (WS 19 20)

2019-11-12T10:41:10Z

Emiliam:

a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 

M(konvexe Drachenvierecke) = {Drachen; Raute; Quadrat} --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:41, 12. Nov. 2019 (CET)

b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 

<math>M \times M =</math> { <math>(Dr,Dr);(Dr,Ra);(Dr,Q);(Ra,Dr);(Ra,Ra);(Ra,Q);(Q,Dr);(Q,Ra);(Q,Q)</math> } --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:41, 12. Nov. 2019 (CET)

c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 

<math>R =</math> {<math>(Ra,Dr);(Q,Dr);(Q,Ra)</math> } --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 11:22, 12. Nov. 2019 (CET)

d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 

Nicht reflexiv: a steht nicht in Relation zu sich selbst 
Nicht transitiv 
Nicht symmetrisch: a steht in Relation zu b aber nicht umgekehrt --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 11:41, 12. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.3 P (WS 19 20)

2019-11-12T10:22:30Z

Emiliam:

Lösung von Aufgabe 5.3 P (WS 19 20)

2019-11-12T09:41:49Z

Emiliam:

Lösung von Aufgabe 5.2 P (WS 19 20)

2019-11-12T09:20:16Z

Emiliam:

Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält.
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AC}</math> oder die Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 

Wenn g <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{AB}</math> nicht schneidet, dann schneidet sie nicht <math>\overline{BC}</math> --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:20, 12. Nov. 2019 (CET)

b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Annahme: g schneidet weder <math>\overline{AC}</math> noch <math>\overline{AB}</math> --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:20, 12. Nov. 2019 (CET)
[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 19 20)

2019-11-12T09:13:03Z

Emiliam:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 

Def. gleichseitiges Dreieck: Ein Dreieck, mit drei gleich langen Seiten. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:13, 12. Nov. 2019 (CET)

Def. gleichschenkliges Dreieck: Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:13, 12. Nov. 2019 (CET)

b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Ist ein Dreieck nicht gleichschenklig, dann ist es nicht gleichseitig. 

Vor: Dreieck ist nicht gleichschenklig 
Beh: Dreieck ist nicht gleichseitig 

1) Nach Vor. und Def. gleichschenkliges Dreieck hat Dreieck keine zwei gleichlangen Seiten. 
2) Nach 1) hat das Dreieck keine drei gleichlangen Seiten. 
3) Nach 2) und Def. gleichseitiges Dreieck ist das Dreieck nicht gleichseitig. 

q.e.d --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:13, 12. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.3 P (WS 19 20)

2019-11-12T09:01:41Z

Emiliam:

Es seine A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 

<math>\forall x \epsilon A:x \epsilon A \wedge x \epsilon B \Rightarrow A \subset B </math> --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 10:01, 12. Nov. 2019 (CET)

Kannst du es mit der Teilmenge darstellen?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:23, 9. Nov. 2019 (CET)

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.2P (WS 19 20)

2019-11-12T08:56:58Z

Emiliam:

Geben Sie eine genetische Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an. 

Es sei S der Scheitelpunkt eines Winkels <math>\alpha </math>. Man zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt S und Radius r. R und R1 seien die Schnittpunkte dieses Kreises mit den Schenkeln des Winkels. Man zeichne zwei weitere Kreise mit Radius r und Mittelpunkten R und R1. Es seien Q und Q1 die Schnittpunkte der Kreise mit Mittelpunkten R und R1. Man verbinde Q und Q1 und erhält somit die Winkelhalbierende von <math>\alpha </math>. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:56, 12. Nov. 2019 (CET)
[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.5 (WS 19 20)

2019-11-12T08:55:49Z

Emiliam:

Vergleichen Sie die Wahrheitswerte von 

<math>(\ A \Rightarrow B) </math> und <math>(\ A \wedge \neg B)</math>. 

Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Ihrer Wahrheitstabelle und dem indirekten Beweis durch Widerspruch. 

[[Category:Geo_P]]

{| class="wikitable"
|-
! <math>A</math> !! <math>\neg A</math> !! <math>B</math> !! <math>\neg B</math> !! <math>(A\Rightarrow B)</math> !! <math>(\ A \wedge \neg B)</math>
|-
| <math>w</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>f</math>
|-
| <math>w</math> || <math>f</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>f</math> || <math>w</math>
|-
| <math>f</math> || <math>w</math> || <math>w</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>f</math>
|-
| <math>f</math> || <math>w</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>w</math> || <math>f</math>
|}

Voraussetzung: <math>(\ A \Rightarrow B) </math> 
Behauptung: <math>(\ A \wedge \neg B)</math> 
Annahme: <math>(\neg A \vee \ B)</math> 
Annahme hat die gleichen Wahrheitswerte wie Voraussetzung, also Annahme bewiesen, Behauptung widerlegt. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:55, 12. Nov. 2019 (CET)

Schau dir noch einmal deine Tabelle an.
Da ist etwas durcheinander gekommen. Fange vielleicht mit
<math>A</math> und <math>B</math> und danach dann
<math>\neg A</math> und <math>\neg B</math>. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:20, 9. Nov. 2019 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 19 20)

2019-11-08T13:57:01Z

Emiliam:

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

Antwort:

1,13,real formal

3,6,7,8,12,16 real informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:54, 8. Nov. 2019 (CET)

5,9 konventional informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)
Theoretisch ja, aber ist es eine korrekte Definition? --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

10 real intuitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:39, 8. Nov. 2019 (CET)
Wieso informell?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

11 genetisch formal --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:10, 4. Nov. 2019 (CET)

2, 4, 7, 14 und 15 sind nicht korrekt. Tipp: Was genau ist ein Satz?
Könnte es hier auch Sätze statt Definitionen geben?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

2,4,7,14,15 Sätze, da beweisbar --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 19 20)

2019-11-08T13:56:05Z

Emiliam:

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

Antwort:

1,13,real formal

7,8,12,16 real informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:54, 8. Nov. 2019 (CET)

5,9 konventional informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)
Theoretisch ja, aber ist es eine korrekte Definition? --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

10 real intuitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:39, 8. Nov. 2019 (CET)
Wieso informell?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

11 genetisch formal --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:10, 4. Nov. 2019 (CET)

2, 4, 7, 14 und 15 sind nicht korrekt. Tipp: Was genau ist ein Satz?
Könnte es hier auch Sätze statt Definitionen geben?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

2,4,7,14,15 Sätze, da beweisbar --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 19 20)

2019-11-08T13:55:04Z

Emiliam:

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

Antwort:

1,13,real formal

7,8,16 real informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:54, 8. Nov. 2019 (CET)

5,9 konventional informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)
Theoretisch ja, aber ist es eine korrekte Definition? --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

10 real intuitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:39, 8. Nov. 2019 (CET)
Wieso informell?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

11 genetisch formal --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:10, 4. Nov. 2019 (CET)

2, 4, 7, 14 und 15 sind nicht korrekt. Tipp: Was genau ist ein Satz?
Könnte es hier auch Sätze statt Definitionen geben?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

2,4,7,14,15 Sätze, da beweisbar --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 19 20)

2019-11-08T13:54:20Z

Emiliam:

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

Antwort:

1,13,real formal

7,8,16 real informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:54, 8. Nov. 2019 (CET)

5 konventional informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)
Theoretisch ja, aber ist es eine korrekte Definition? --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

10 real intuitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:39, 8. Nov. 2019 (CET)
Wieso informell?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

11 genetisch formal --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:10, 4. Nov. 2019 (CET)

2, 4, 7, 14 und 15 sind nicht korrekt. Tipp: Was genau ist ein Satz?
Könnte es hier auch Sätze statt Definitionen geben?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

2,4,7,14,15 Sätze, da beweisbar --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 19 20)

2019-11-08T13:52:38Z

Emiliam:

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

Antwort:

1,13,real formal

7,16 real informell

5 konventional informell --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)
Theoretisch ja, aber ist es eine korrekte Definition? --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

10 real intuitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:39, 8. Nov. 2019 (CET)
Wieso informell?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

11 genetisch formal --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:10, 4. Nov. 2019 (CET)

2, 4, 7, 14 und 15 sind nicht korrekt. Tipp: Was genau ist ein Satz?
Könnte es hier auch Sätze statt Definitionen geben?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

2,4,7,14,15 Sätze, da beweisbar --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:52, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 19 20)

2019-11-08T13:39:01Z

Emiliam:

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

Antwort:

1,2,4,13,15 real formal

7,14, 16 real informell

5 konventional formal
Theoretisch ja, aber ist es eine korrekte Definition? --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

10 real intuitiv --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 14:39, 8. Nov. 2019 (CET)
Wieso informell?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

11 genetisch formal --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:10, 4. Nov. 2019 (CET)

2, 4, 7, 14 und 15 sind nicht korrekt. Tipp: Was genau ist ein Satz?
Könnte es hier auch Sätze statt Definitionen geben?--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:17, 5. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.3 P (WS 19 20)

2019-11-08T13:29:51Z

Emiliam:

Es seine A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 

<math>\forall x \epsilon A:x \epsilon A \wedge x \epsilon B </math>

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.2P (WS 19 20)

2019-11-08T13:21:51Z

Emiliam:

Lösung von Zusatzaufgabe 4.1P (WS 19 20)

2019-11-08T13:10:26Z

Emiliam:

Geben Sie eine exakte Realdefinition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 

Eine Winkelhalbiernde ist ein Strahl, der im Scheitelpunkt eines Winkel entspringt und diesen in zwei gleiche Teile teilt.

Scheitel, Winkel, Strahl

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.5 (WS 19 20)

2019-11-08T13:04:47Z

Emiliam:

Vergleichen Sie die Wahrheitswerte von 

<math>(\ A \Rightarrow B) </math> und <math>(\ A \wedge \neg B)</math>. 

Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Ihrer Wahrheitstabelle und dem indirekten Beweis durch Widerspruch. 

[[Category:Geo_P]]

{| class="wikitable"
|-
! <math>A</math> !! <math>\neg A</math> !! <math>B</math> !! <math>\neg B</math> !! <math>(A\Rightarrow B)</math> !! <math>(\ A \wedge \neg B)</math>
|-
| <math>w</math> || <math>f</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>w</math> || <math>w</math>
|-
| <math>w</math> || <math>f</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>f</math> || <math>w</math>
|-
| <math>f</math> || <math>w</math> || <math>w</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>f</math>
|-
| <math>f</math> || <math>w</math> || <math>w</math> || <math>f</math> || <math>w</math> || <math>f</math>
|}

Voraussetzung: <math>(\ A \Rightarrow B) </math> 
Behauptung: <math>(\ A \wedge \neg B)</math> 
Annahme: <math>(\neg A \vee \ B)</math> 
Annahme hat nicht die gleichen Wahrheitswerte wie Voraussetzung => Widerspruch

Lösung von Aufgabe 4.4 (WS 19 20)

2019-11-08T12:45:54Z

Emiliam:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 

Haben zwei geraden mehr als einen gemeinsamen Punkt, dann sind sie identisch. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:45, 8. Nov. 2019 (CET)

b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Annahme: g und h haben mehr als einen gemeinsamen Punkt --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:45, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 (WS 19 20)

2019-11-08T12:37:26Z

Emiliam:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 

Def. Stufenwinkel: Stufenwinkel sind Winkel, die auf derselben Seite einer Schnittgeraden c und auf sich entsprechender Seite der geschnittenen Geraden a und b liegen. 

Stufenwinkelsatz: Werden zwei parallele Geraden a und b von einer Geraden c geschnitten, so sind die entstehenden Stufenwinkel gleich groß. 

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:27, 8. Nov. 2019 (CET)

b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math> => korrekt, Stufenwinkelsatz, sind zwei geraden parallel, so sind die Stufenwinkel kongruent. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:31, 8. Nov. 2019 (CET)
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math> => korrekt, Umkehrung des Stufenwinkelsatzes, sind die Stufenwinkel gleich groß, so sind die Geraden parallel. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:31, 8. Nov. 2019 (CET)
#<math>\left|\alpha \right|\not= \left| \beta \right| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math> => gilt nur für zwei nichtidentische Geraden in der Ebene --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:37, 8. Nov. 2019 (CET)
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math> => korrekt, Äquivalenz von Satz und Umkehrung, ist beim Stufenwinkelsatz gegeben. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:33, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 (WS 19 20)

2019-11-08T12:33:06Z

Emiliam:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 

Def. Stufenwinkel: Stufenwinkel sind Winkel, die auf derselben Seite einer Schnittgeraden c und auf sich entsprechender Seite der geschnittenen Geraden a und b liegen. 

Stufenwinkelsatz: Werden zwei parallele Geraden a und b von einer Geraden c geschnitten, so sind die entstehenden Stufenwinkel gleich groß. 

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:27, 8. Nov. 2019 (CET)

b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math> => korrekt, Stufenwinkelsatz, sind zwei geraden parallel, so sind die Stufenwinkel kongruent. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:31, 8. Nov. 2019 (CET)
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math> => korrekt, Umkehrung des Stufenwinkelsatzes, sind die Stufenwinkel gleich groß, so sind die Geraden parallel. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:31, 8. Nov. 2019 (CET)
#<math>\left|\alpha \right|\not= \left| \beta \right| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math> => korrekt, Äquivalenz von Satz und Umkehrung, ist beim Stufenwinkelsatz gegeben. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:33, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 (WS 19 20)

2019-11-08T12:31:30Z

Emiliam:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 

Def. Stufenwinkel: Stufenwinkel sind Winkel, die auf derselben Seite einer Schnittgeraden c und auf sich entsprechender Seite der geschnittenen Geraden a und b liegen. 

Stufenwinkelsatz: Werden zwei parallele Geraden a und b von einer Geraden c geschnitten, so sind die entstehenden Stufenwinkel gleich groß. 

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:27, 8. Nov. 2019 (CET)

b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math> => Stufenwinkelsatz, sind zwei geraden parallel, so sind die Stufenwinkel kongruent. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:31, 8. Nov. 2019 (CET)
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math> => Umkehrung des Stufenwinkelsatzes, sind die Stufenwinkel gleich groß, so sind die Geraden parallel. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:31, 8. Nov. 2019 (CET)
#<math>\left|\alpha \right|\not= \left| \beta \right| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 (WS 19 20)

2019-11-08T12:27:26Z

Emiliam:

Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 19 20)

2019-11-08T12:14:56Z

Emiliam:

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 

beide Korrekt? - einmal direkter, einmal indirekter Beweis? --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:14, 8. Nov. 2019 (CET)

b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

Beweis 3) 
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
An: |α| = |β| 
Bew: 
1) Dreieck ist gleichschenklig (Annahme, Basiswinkelsatz) 
2) |AC| = |BC| (1), Basiswinkelsatz) 
3) Widerspruch zur Voraussetzung (2), Voraussetzung) 

q.e.d. 

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:04, 8. Nov. 2019 (CET)
 

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 19 20)

2019-11-08T12:04:25Z

Emiliam:

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

Beweis 3) 
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
An: |α| = |β| 
Bew: 
1) Dreieck ist gleichschenklig (Annahme, Basiswinkelsatz) 
2) |AC| = |BC| (1), Basiswinkelsatz) 
3) Widerspruch zur Voraussetzung (2), Voraussetzung) 

q.e.d. 

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 13:04, 8. Nov. 2019 (CET)
 

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.1 (WS 19 20)

2019-11-08T11:46:37Z

Emiliam:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
Sind die Basiswinkel eines Dreiecks kongruent zueinander, so ist es gleichschenklig. --[[Benutzer:DieGefryten|DieGefryten]] ([[Benutzer Diskussion:DieGefryten|Diskussion]]) 11:27, 6. Nov. 2019 (CET)

b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen.
 
Genau dann, wenn ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt, sind die Basiswinkel kongruent zueinander. --[[Benutzer:DieGefryten|DieGefryten]] ([[Benutzer Diskussion:DieGefryten|Diskussion]]) 11:27, 6. Nov. 2019 (CET)

[[Category:Geo_P]]

a) Sind die Basiswinkel eines Dreiecks kongruent zueinander, so ist es gleichschenklig.

b) Genau dann, wenn die Basiswinkel eines Dreiecks kongruent zueinander sind, ist es gleichschenklig.

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:46, 8. Nov. 2019 (CET)

Auftrag der Woche 4 (WS 19 20)

2019-11-08T11:38:02Z

Emiliam:

Erstellen Sie einen Film über die Gärtnerkonstruktion und stellen Sie diesen hier ein. 

[[Kategorie:Geo_P]]

[[Datei:Gärtnertechnik.MP4|thumb|Gärtnertechnik]]

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:38, 8. Nov. 2019 (CET)

Auftrag der Woche 4 (WS 19 20)

2019-11-08T11:35:17Z

Emiliam:

Erstellen Sie einen Film über die Gärtnerkonstruktion und stellen Sie diesen hier ein. 

[[Datei:Gärtnertechnik.MP4|thumb|Gärtnertechnik]] --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 12:35, 8. Nov. 2019 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Datei:Gärtnertechnik.MP4

2019-11-08T11:33:34Z

Emiliam: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 19 20)

2019-11-08T10:41:53Z

Emiliam:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Antwort:

1. Raute

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen orthogonal zueinander sind und sich gegenseitig halbieren.

3. Eine Raute ist ein Drachen, mit vier gleich langen Seiten.
Eine Raute ist ein Parallelogramm, mit vier gleich langen Seiten. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 11:41, 8. Nov. 2019 (CET)

Nutze hier einen Oberbegriff d.h. ein anderes Viereck (aber nicht
den Begriff "Viereck") , um die Raute zu definieren.--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 20:21, 5. Nov. 2019 (CET)

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:27, 4. Nov. 2019 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 3.2P (WS 19 20)

2019-11-04T08:54:01Z

Emiliam:

Ein Tangentenviereck ist das, was der Begriff suggeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck'' 

[[Kategorie:Geo_P]]

In einem Tangentenviereck sind die Seiten des Vierecks die Tangenten des Innenkreises des Tangentenvierecks. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:54, 4. Nov. 2019 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 3.1P (WS 19 20)

2019-11-04T08:51:01Z

Emiliam:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit einem Paar Parallelen Seiten und benachbarten kongruenten Winkeln. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:51, 4. Nov. 2019 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.5 (WS 19 20)

2019-11-04T08:40:38Z

Emiliam:

Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei zueinander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke.

[[Kategorie:Geo_P]]

Antwort: real formal --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:40, 4. Nov. 2019 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.4 (WS 19 20)

2019-11-04T08:35:35Z

Emiliam:

Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 

[[Kategorie:Geo_P]]

Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit einer Punktsymmetrie im Schnittpunkt der Diagonalen. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:35, 4. Nov. 2019 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.3 (WS 19 20)

2019-11-04T08:34:41Z

Emiliam:

Definieren Sie den Begriff: "Drachen" unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Ein Drache ist ein Viereck mit einer Achsensymmetrie entlang einer Diagonalen. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:31, 4. Nov. 2019 (CET)

Übung Aufgaben 3 (WS 19 20)

2019-11-04T08:33:53Z

Emiliam: /* Aufgabe 3.3 */

=Aufgaben zu Definitionen=

==Aufgabe 3.1==
Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

[[Lösung von Aufgabe 3.1 (WS_19_20)]]

==Aufgabe 3.2==

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
[[Lösung von Aufgabe 3.2 (WS_19_20)]]

==Aufgabe 3.3==
Definieren Sie den Begriff: "Drachen" unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge. 
[[Lösung von Aufgabe 3.3 (WS_19_20)]]

==Aufgabe 3.4==
Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 
[[Lösung von Aufgabe 3.4 (WS_19_20)]]

== Aufgabe 3.5 ==
Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei zueinander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke.

[[Lösung von Aufgabe 3.5 (WS_19_20)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 3 (WS 19 20)

2019-11-04T08:31:25Z

Emiliam: /* Aufgabe 3.3 */

=Aufgaben zu Definitionen=

==Aufgabe 3.1==
Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

[[Lösung von Aufgabe 3.1 (WS_19_20)]]

==Aufgabe 3.2==

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
[[Lösung von Aufgabe 3.2 (WS_19_20)]]

==Aufgabe 3.3==
Definieren Sie den Begriff: "Drachen" unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge. 
[[Lösung von Aufgabe 3.3 (WS_19_20)]]

Ein Drache ist ein Viereck mit einer Achsensymmetrie entlang einer Diagonalen. --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:31, 4. Nov. 2019 (CET)

==Aufgabe 3.4==
Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 
[[Lösung von Aufgabe 3.4 (WS_19_20)]]

== Aufgabe 3.5 ==
Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei zueinander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke.

[[Lösung von Aufgabe 3.5 (WS_19_20)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 19 20)

2019-11-04T08:27:14Z

Emiliam:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Antwort:

1. Raute

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen orthogonal zueinander sind und sich gegenseitig halbieren.

3. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 09:27, 4. Nov. 2019 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 19 20)

2019-11-04T08:19:40Z

Emiliam:

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 19 20)

2019-11-04T08:10:21Z

Emiliam:

Definitionen in der Mathematik WS 19 20

2019-10-21T13:34:06Z

Emiliam: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

 
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
* ein Kreis der nicht überall den gleichen Radius hat
* ein Kreis der eiförmig ist
* ein plattgedrückter Kreis
* sieht aus wie eine Stadionlaufbahn
* entsteht bei der Gärtnerkonstruktion --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:08, 21. Okt. 2019 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung am 21.10.)
---
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

====Definition E.1: Ellipse====

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus. 

1)
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt:

<math>| F_{1}P | + | F_{2} P | = const., mit F_{1}, F_{2}, P \epsilon E (Ebene) </math>

2)
Ein Kreis ist eine Ellipse, bei der die Beiden Brennpunkte <math>F_{1} + F_{2}</math> identisch sind.

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 15:29, 21. Okt. 2019 (CEST)

[[Category:Geo_P]]

Definitionen in der Mathematik WS 19 20

2019-10-21T13:29:36Z

Emiliam: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

 
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
* ein Kreis der nicht überall den gleichen Radius hat
* ein Kreis der eiförmig ist
* ein plattgedrückter Kreis
* sieht aus wie eine Stadionlaufbahn
* entsteht bei der Gärtnerkonstruktion --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:08, 21. Okt. 2019 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung am 21.10.)
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Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

====Definition E.1: Ellipse====

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus. 

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt:

<math> | F_{1}P | + | F_{2}P | = const., mit F_{1}, F_{2}, P \epsilon E (Ebene) </math>

--[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 15:29, 21. Okt. 2019 (CEST)

[[Category:Geo_P]]