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Verkettung von drei Geradenspiegelungen WS 23 24

2024-02-03T13:40:15Z

End007: /* Verkettung von drei Geradenspiegelungen */

=== Verkettung von drei Geradenspiegelungen ===
Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der Achsen gibt es bei der Verkettung von drei Geradenspiegelungen? (gerne auch als Bild). 

===== Satz X.1: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> an zueinander parallelen Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' ist eine Geradenspiegelung an einer Geraden ''d'' mit <math>d || a </math> und <math>\left| ab \right| =\left| dc \right| </math>. 
'''Beweis:''' 
Wie lautet der Beweis? Ich habe dazu leider nichts gefunden.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:14, 3. Feb. 2024 (CET)
[[Datei:Beweis zu Satz X.1.jpeg|thumb|End007]] Kann man das so machen? --[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:37, 3. Feb. 2024 (CET)

=====Satz X.2: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math>, an drei Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' die sich in einem Punkt ''S'' schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse ''d'', die durch den Punkt ''S'' verläuft mit <math>\left|\angle ab\right| = \left|\angle dc\right| </math>. 
'''Beweis:''' 
Wie lautet der Beweis? Ich habe dazu leider nichts gefunden.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:14, 3. Feb. 2024 (CET)

[[Datei:Beweis zu Satz X.2.jpeg|thumb|End007]] Kann man das so machen? --[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:40, 3. Feb. 2024 (CET)

=====Definition X.1 (Schub- oder Gleitspiegelung)=====
Eine Schub- oder Gleitspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung dreier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> entsteht, wenn die zwei Geraden ''a'' und ''b'' parallel zueinander und die dritte Gerade ''c'' senkrecht dazu steht. 
Experimentieren Sie mit der nachfolgenden GeoGebra-Applikation. Welche Eigenschaften der Schubspiegelung entdecken Sie? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

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=====Satz X.3:=====
Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen, deren Achsen nicht alle parallel zueinander oder kopunktal sind, ist stets eine Schubspiegelung. 
'''Beweis:''' 

[[Category:Geo_P]]

Datei:Beweis zu Satz X.2.jpeg

2024-02-03T13:38:33Z

End007: User created page with UploadWizard

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Verkettung von drei Geradenspiegelungen WS 23 24

2024-02-03T13:37:47Z

End007: /* Satz X.1: */

=== Verkettung von drei Geradenspiegelungen ===
Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der Achsen gibt es bei der Verkettung von drei Geradenspiegelungen? (gerne auch als Bild). 

===== Satz X.1: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> an zueinander parallelen Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' ist eine Geradenspiegelung an einer Geraden ''d'' mit <math>d || a </math> und <math>\left| ab \right| =\left| dc \right| </math>. 
'''Beweis:''' 
Wie lautet der Beweis? Ich habe dazu leider nichts gefunden.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:14, 3. Feb. 2024 (CET)
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=====Satz X.2: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math>, an drei Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' die sich in einem Punkt ''S'' schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse ''d'', die durch den Punkt ''S'' verläuft mit <math>\left|\angle ab\right| = \left|\angle dc\right| </math>. 
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Wie lautet der Beweis? Ich habe dazu leider nichts gefunden.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:14, 3. Feb. 2024 (CET)

=====Definition X.1 (Schub- oder Gleitspiegelung)=====
Eine Schub- oder Gleitspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung dreier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> entsteht, wenn die zwei Geraden ''a'' und ''b'' parallel zueinander und die dritte Gerade ''c'' senkrecht dazu steht. 
Experimentieren Sie mit der nachfolgenden GeoGebra-Applikation. Welche Eigenschaften der Schubspiegelung entdecken Sie? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

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=====Satz X.3:=====
Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen, deren Achsen nicht alle parallel zueinander oder kopunktal sind, ist stets eine Schubspiegelung. 
'''Beweis:''' 

[[Category:Geo_P]]

Datei:Beweis zu Satz X.1.jpeg

2024-02-03T13:36:27Z

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Verkettung von drei Geradenspiegelungen WS 23 24

2024-02-03T13:14:13Z

End007: /* Verkettung von drei Geradenspiegelungen */

=== Verkettung von drei Geradenspiegelungen ===
Aufgabe: Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der Achsen gibt es bei der Verkettung von drei Geradenspiegelungen? (gerne auch als Bild). 

===== Satz X.1: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> an zueinander parallelen Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' ist eine Geradenspiegelung an einer Geraden ''d'' mit <math>d || a </math> und <math>\left| ab \right| =\left| dc \right| </math>. 
'''Beweis:''' 
Wie lautet der Beweis? Ich habe dazu leider nichts gefunden.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:14, 3. Feb. 2024 (CET)

=====Satz X.2: =====
:Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math>, an drei Geraden ''a'', ''b'' und ''c'' die sich in einem Punkt ''S'' schneiden (kopunktal), ist eine Geradenspiegelung an einer Achse ''d'', die durch den Punkt ''S'' verläuft mit <math>\left|\angle ab\right| = \left|\angle dc\right| </math>. 
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Wie lautet der Beweis? Ich habe dazu leider nichts gefunden.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:14, 3. Feb. 2024 (CET)

=====Definition X.1 (Schub- oder Gleitspiegelung)=====
Eine Schub- oder Gleitspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung dreier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b} \circ S_{c}</math> entsteht, wenn die zwei Geraden ''a'' und ''b'' parallel zueinander und die dritte Gerade ''c'' senkrecht dazu steht. 
Experimentieren Sie mit der nachfolgenden GeoGebra-Applikation. Welche Eigenschaften der Schubspiegelung entdecken Sie? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="621" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

=====Satz X.3:=====
Die Verkettung dreier Geradenspiegelungen, deren Achsen nicht alle parallel zueinander oder kopunktal sind, ist stets eine Schubspiegelung. 
'''Beweis:''' 

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 10.5P (WS 23 24)

2024-01-13T11:15:58Z

End007:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 

[[Datei:Aufg. 10.5 End007.jpeg|thumb|Vorschlag]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 12:15, 13. Jan. 2024 (CET)
Kann man das so machen? Es ist irgendwie so offensichtlich, dass es mir schwer fällt die richtigen und wichtigen Beweis-Schritte zu formulieren.

[[Kategorie:Geo_P]]

Datei:Aufg. 10.5 End007.jpeg

2024-01-13T11:15:03Z

End007: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Aufgabe 10.4P (WS 23 24)

2024-01-13T10:52:26Z

End007:

Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math> (siehe GeoGebra-Applet). Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]
<ggb_applet width="536" height="428" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Datei:Aufg. 10.4 End 007.jpeg|thumb|Vorschlag]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:52, 13. Jan. 2024 (CET)
Geht das so einfach oder habe ich einen wichtigen Punkt vergessen?

[[Kategorie:Geo_P]]

Datei:Aufg. 10.4 End 007.jpeg

2024-01-13T10:51:36Z

End007: User created page with UploadWizard

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Lösung von Aufgabe 10.3P (WS 23 24)

2024-01-13T10:35:31Z

End007:

Das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> soll durch eine Drehung auf das blaue Rechteck abgebildet werden. Konstruieren Sie den Drehpunkt. Wo müssen die beiden Achsen liegen, wenn die Drehung durch eine Verkettung zweier Achsenspiegelungen erzeugt werden soll? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
 
 

[[Kategorie:Geo_P]]

[[Datei:Vorschlag Capricorn.jpeg|thumb|Vorschlag Capricorn]]--[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 21:52, 9. Jan. 2024 (CET)

[[Datei:Aufg.10.3 End007.jpeg|thumb|Vorschlag]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:35, 13. Jan. 2024 (CET)

Datei:Aufg.10.3 End007.jpeg

2024-01-13T10:34:45Z

End007: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Aufgabe 10.1P (WS 23 24)

2024-01-13T09:27:15Z

End007:

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wurde durch die Nacheinanderausführung zweier verschiedener Geradenspiegelungen auf das Dreieck <math>\overline{A''B''C''}</math> abgebildet. Konstruieren Sie die beiden Spiegelgeraden. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren] 

<ggb_applet width="649" height="515" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 

[[Kategorie:Geo_P]]

[[Datei:Vorschlag Capricorn 10.1.jpeg|thumb|Vorschlag Capricorn]]--[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 21:30, 9. Jan. 2024 (CET)

[[Datei:Aufg. 10.1 End007.jpeg|thumb|Lösungsvorschlag]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 10:27, 13. Jan. 2024 (CET)
Ich habe die Aufgabe so ähnlich gelöst allerdings ist meine zweite Gerade durch B‘‘, ist das auch richtig?

Datei:Aufg. 10.1 End007.jpeg

2024-01-13T09:25:20Z

End007: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel WS 23 24

2023-11-27T09:51:11Z

End007: /* Definition IV.4 : (Rechter Winkel) */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

==== Definition IV.6 : (Winkelmaß)====
::Jedem Winkel <math>\ \alpha</math> kann genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180 zugeordnet werden. Diese Zahl wird als Größe oder als Maß des Winkels <math>\ \alpha</math> bezeichnet. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

Wie aus der Schule bekannt, lassen sich Winkelgrößen addieren oder auch subtrahieren: Falls die Grafik nicht angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz IV.1 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz IV.1 ====
Für diesen Beweis benötigen wir spezielle Winkelaxiome, auf die wir an dieser Stelle aber verzichten wollen.

== Rechte Winkel ==

==== Definition IV.2 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition IV.3 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Satz IV.2: ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz IV.3a : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz IV.3a : ====
:: Übungsaufgabe 

==== Satz IV.3b : ====
::Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.

==== Beweis von Satz IV.3b : ====
:: Übungsaufgabe 

Wir haben somit in der Aussage, das Maß 90 zu haben, eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür gefunden, ein rechter Winkel zu sein und damit ein Kriterium für einen rechten Winkel gefunden. Dieses Kriterium eignet sich somit als neue Definition des Begriffs "rechter Winkel":

==== Definition IV.4 : (Rechter Winkel) ====
Versuchen Sie sich...

Ein rechter Winkel ist ein Winkel mit dem Maß 90.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 10:51, 27. Nov. 2023 (CET)

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition IV.5 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition IV.6 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ...

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

==Orientierte Winkel==
Für die kommende Abbildungsgeometrie ist es manchmal hilfreich neben einem Winkel und seinem Winkelmaß auch eine Drehrichtung anzugeben. Diese Drehrichtung gibt die Richtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn)an, um die ein Schenkel ''a'' um den Scheitelpunkt ''S'' gedreht werden muss, damit er auf dem zweiten Schenkel ''b'' zu liegen kommt. Die Drehrichtung wird dabei durch einen Pfeil angezeigt.

===== Definition IV.7 : (Orientierter Winkel) =====
Ein Winkel, bei dem die Drehrichtung mit angegeben ist, nennt man '''''Orientierter Winkel'''''.

[[Category:Geo_P]]

Quiz/Spiel der Woche 5 (WS 23 24)

2023-11-20T15:32:41Z

End007:

{| class="wikitable"
|-
| <quiz>
{ Die nebenstehende Abbildung ist im Rahmen der Veranstaltung: "Vorbereitung auf die Klausur mit Hilfe eines Classroompresenters" vor ein paar Semestern entstanden. Beurteilen Sie die dargestellten Teilmengenbeziehungen:}
+ In Zeile 1 sind die Teilmengen des Trapezes korrekt angegeben.
|| Ja, richtig, denn jedes Quadrat, jede Raute, jedes Rechteck und jedes Parallelogramm hat ein Paar paralleler gegenüberliegender Seiten und ist somit ein Trapez.
- In Zeile 2 sind die Teilmengen des symmetrischen Drachens korrekt angegeben.
|| dies stimmt nicht ganz, denn sowohl Rechtecke als auch Parallelogramme sind im Unterschied zum Drachen, bezüglich ihrer Diagonalen nicht achsensymmetrisch. Als Teilmengen der symmetr. Drachen kommen nur Quadrate und Rauten in Frage.
+ In Zeile 3 sind die Teilmengen des Parallelogramms korrekt angegeben.
|| Ja, prima!
+ In Zeile 4 sind die Teilmengen des Rechtecks korrekt angegeben.
|| Ja, jedes Quadrat ist ein Rechteck
+ In Zeile 5 sind die Teilmengen der Raute korrekt angegeben.
|| Ja, das Quadrat hat vier gleich lange Seiten und ist somit eine Raute.
+ In Zeile 6 sind die Teilmengen des Quadrats korrekt angegeben.
|| Außer die Teilmengenbeziehung zu sich selbst verfügt ein Quadrat über keine weiteren Teilmengen. Dies ist hier korrekt dargestellt.
</quiz>

|| [[Bild:Haus_der_Vierecke.png|500px]]
|-
| <quiz>
| { Die nebenstehende Abbildung ist im Rahmen der Veranstaltung: "Vorbereitung auf die Klausur mit Hilfe eines Classroompresenters" vor ein paar Semestern entstanden. Beurteilen Sie die dargestellten Definitionen:}
- Die Definition des allgemeinen Vierecks ist korrekt.
|| nach dieser Definition könnten aber z. B. drei von vier Punkten kollinear sein.
+ Die Definition des Trapezes ist korrekt.
|| Ja!
+ Die Definition des Drachens ist korrekt.
|| Wenn wir davon ausgehen, dass es sich um symmetrische Drachen handelt, dann stimmt die Definition. Wie sieht das bei einem schiefen Drachen aus?
</quiz>
|| [[Bild:Haus_der_Vierecke_2.png|500px]]
|-
| <quiz>

| { Die nebenstehende Abbildung ist im Rahmen der Veranstaltung: "Vorbereitung auf die Klausur mit Hilfe eines Classroompresenters" vor ein paar Semestern entstanden. Beurteilen Sie die dargestellte Grafik:}
+ Die dicke gelbe Linie zeigt eine korrekte Teilmengenbeziehung.
|| Ja, da jedes Quadrat auch ein Rechteck ist.
- Die pinkfarbene Linie gibt die Teilmengenbeziehungen des Drachens korrekt wieder.
|| Da Rechtecke bezüglich ihrer Diagonalen nicht achsensymmetrisch sind, ist dies leider nicht korrekt.
+ Alle Figuren, die dick grün umrandet sind lassen sich den Trapezen zuordnen.
|| Ja, das ist korrekt!
+ Alle Figuren, die mit einer dünnen Linie grün umrandet sind, sind Parallelogramme.
|| Ja, auch das ist korrekt!
</quiz>
|| [[Bild:Haus_der_Vierecke_3.png|500px]]
|}

Quiz/Spiel der Woche 5 (WS 23 24)

2023-11-20T15:30:39Z

End007:

Lösung von Aufgabe 5.3 P (WS 23 24)

2023-11-20T14:17:39Z

End007:

a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 
c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 

Mein Vorschlag: a) M= {Drache, Raute, Quadrat} b) MxM= {(D,D); (D,R); (D,Q); (R,R); (R,D); (R,Q); (Q,Q); (Q,R); (Q,D)}--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 15:17, 20. Nov. 2023 (CET)

zu Aufgabe c habe ich eine Frage: was ist A und was ist B das ist hier nicht definiert oder? Es steht ja nur da dass die Relation R als "A ist die Teilmenge von B" definiert ist.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 15:17, 20. Nov. 2023 (CET)
[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.2 P (WS 23 24)

2023-11-20T14:01:10Z

End007:

Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält.
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AC}</math> oder die Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Mein Vorschlag: --[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 16:10, 17. Nov. 2023 (CET)
a) Kontraposition: Wenn die Gerade g die Strecke AC oder AB nicht schneidet, schneidet sie auch nicht die Strecke BC. b) Annahme: Die Gerade g schneidet nicht die Strecken AC oder AB.

Achtung! Das logische Gegenteil von "entweder oder" lautet "weder noch". Vielleicht schaffst du es mit diesem Hinweis die Kontraposition sowie die Annahme richtig zu formulieren :)--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 14:00, 19. Nov. 2023 (CET)

Okay, dann hier mein neuer Vorschlag: a) Wenn die Gerade g weder AC noch AB schneidet, schneidet sie auch nicht BC. b)Die Gerade g schneidet weder AC noch AB.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 15:01, 20. Nov. 2023 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 23 24

2023-11-20T10:44:42Z

End007: /* Definition III.4: (Nebenwinkel) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer lässt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
==== Definition III.1: (Winkel)====
...
Ein Winkel (ABC) ist die Vereinigungsmenge zweier Halbgeraden BA+ und BC+. B ist gemeinsamer Anfangspunkt (Scheitel).--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:08, 20. Nov. 2023 (CET)

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

Blenden Sie mit den Schiebereglern die Halbebenen sowie das Innere des Winkels aus bzw. ein oder verschieben Sie die Punkte <math>S</math>, <math>A</math> oder <math>B</math>. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].

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==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) =====
...
Das Innere des Winkels ASB ist definiert als SBA+ geschnitten mit SAB+.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:22, 20. Nov. 2023 (CET)

===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===

==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
'''Ihre Definition:'''
...
Die beiden Winkel <(SA+,SB+) und <(SA-,SB-) sind Scheitelwinkel.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:29, 20. Nov. 2023 (CET)

=== Nebenwinkel ===

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:'''
...
Die Winkel <(SA+,SB+) und <(SA+, SA-) sind Nebenwinkel.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:44, 20. Nov. 2023 (CET)

[[Category:Geo_P]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 23 24

2023-11-20T10:29:53Z

End007: /* Definition III.3: (Scheitelwinkel) *

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 23 24

2023-11-20T10:22:48Z

End007: /* Definition III.2: (Inneres eines Winkels) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer lässt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
==== Definition III.1: (Winkel)====
...
Ein Winkel (ABC) ist die Vereinigungsmenge zweier Halbgeraden BA+ und BC+. B ist gemeinsamer Anfangspunkt (Scheitel).--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:08, 20. Nov. 2023 (CET)

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

Blenden Sie mit den Schiebereglern die Halbebenen sowie das Innere des Winkels aus bzw. ein oder verschieben Sie die Punkte <math>S</math>, <math>A</math> oder <math>B</math>. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].

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==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) =====
...
Das Innere des Winkels ASB ist definiert als SBA+ geschnitten mit SAB+.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:22, 20. Nov. 2023 (CET)

===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===

==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
'''Ihre Definition:'''
...

=== Nebenwinkel ===

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:'''
...

[[Category:Geo_P]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 23 24

2023-11-20T10:08:08Z

End007: /* Definition III.1: (Winkel) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer lässt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
==== Definition III.1: (Winkel)====
...
Ein Winkel (ABC) ist die Vereinigungsmenge zweier Halbgeraden BA+ und BC+. B ist gemeinsamer Anfangspunkt (Scheitel).--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:08, 20. Nov. 2023 (CET)

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

Blenden Sie mit den Schiebereglern die Halbebenen sowie das Innere des Winkels aus bzw. ein oder verschieben Sie die Punkte <math>S</math>, <math>A</math> oder <math>B</math>. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].

<ggb_applet width="900" height="814" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) =====
...

===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===

==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
'''Ihre Definition:'''
...

=== Nebenwinkel ===

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:'''
...

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.2 P (WS 23 24)

2023-11-17T15:10:34Z

End007:

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 23 24)

2023-11-17T15:07:25Z

End007:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Mein Vorschlag:--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 16:04, 17. Nov. 2023 (CET)
a) Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind.
b) Kontraposition: Wenn ein Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann kann es auch kein gleichseitiges Dreieck sein.
Beweis: 1.) Es sind nicht mindestens zwei Seiten des Dreiecks gleich lang --> Voraussetzung; Def. gleichschenkliges Dreieck 2.) Es sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang. --> vgl. 1.). 3.) Dreieck ist nicht gleichseitig. --> vgl. 2.); Def. gleichseitiges Dreieck

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 23 24)

2023-11-17T15:06:36Z

End007:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Mein Vorschlag:--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 16:04, 17. Nov. 2023 (CET)
a) Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind.
b) Kontraposition: Wenn ein Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann kann es auch kein gleichseitiges Dreieck sein.
Beweis: 1.) Es sind nicht mindestens zwei Seiten des Dreiecks gleich lang --> Voraussetzung; Def. gleichschenkliges Dreieck
2.) Es sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang. --> vgl. 1.)
3.) Dreieck ist nicht gleichseitig. --> vgl. 2.); Def. gleichseitiges Dreieck

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 23 24)

2023-11-17T15:06:15Z

End007:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Mein Vorschlag:--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 16:04, 17. Nov. 2023 (CET)
a) Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind.
b) Kontraposition: Wenn ein Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann kann es auch kein gleichseitiges Dreieck sein.
Beweis: 1.) Es sind nicht mindestens zwei Seiten des Dreiecks gleich lang --> Voraussetzung; Def. gleichschenkliges Dreieck
2.) Es sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang. --> vgl. 1.)
3.) Dreieck ist nicht gleichseitig. --> vgl. 2.); Def. gleichseitiges Dreieck

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 23 24)

2023-11-17T15:05:49Z

End007:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Mein Vorschlag:--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 16:04, 17. Nov. 2023 (CET)
a) Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind.
b) Kontraposition: Wenn ein Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann kann es auch kein gleichseitiges Dreieck sein.
Beweis: 1.) Es sind nicht mindestens zwei Seiten des Dreiecks gleich lang --> Voraussetzung; Def. gleichschenkliges Dreieck
2.) Es sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang. --> vgl. 1.)
3.) Dreieck ist nicht gleichseitig. --> vgl. 2.); Def. gleichseitiges Dreieck

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 23 24)

2023-11-17T15:05:13Z

End007:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Mein Vorschlag:--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 16:04, 17. Nov. 2023 (CET)
a) Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind.
b) Kontraposition: Wenn ein Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann kann es auch kein gleichseitiges Dreieck sein.
Beweis: 1.) Es sind nicht mindestens zwei Seiten des Dreiecks gleich lang --> Voraussetzung; Def. gleichschenkliges Dreieck
2.) Es sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang. --> vgl. 1.)
3.) Dreieck ist nicht gleichseitig. --> vgl. 2.); Def. gleichseitiges Dreieck

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 23 24)

2023-11-17T15:04:23Z

End007:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Mein Vorschlag:--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 16:04, 17. Nov. 2023 (CET)
a) Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind.
b) Kontraposition: Wenn ein Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann kann es auch kein gleichseitiges Dreieck sein.
Beweis: 1.) Es sind nicht mindestens zwei Seiten des Dreiecks gleich lang --> Voraussetzung; Def. gleichschenkliges Dreieck
2.) Es sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang. --> 1.)
3.) Dreieck ist nicht gleichseitig. --> 2.); Def. gleichseitiges Dreieck

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 23 24)

2023-11-17T15:04:05Z

End007:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Mein Vorschlag:
a) Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem mindestens zwei Seiten gleich lang sind.
b) Kontraposition: Wenn ein Dreieck kein gleichschenkliges Dreieck ist, dann kann es auch kein gleichseitiges Dreieck sein.
Beweis: 1.) Es sind nicht mindestens zwei Seiten des Dreiecks gleich lang --> Voraussetzung; Def. gleichschenkliges Dreieck
2.) Es sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang. --> 1.)
3.) Dreieck ist nicht gleichseitig. --> 2.); Def. gleichseitiges Dreieck

[[Kategorie:Geo_P]]

Strecken und Halbgeraden WS 23 24

2023-11-13T10:18:46Z

End007: /* Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizieren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben: Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: Folgt aus Symmetriebetrachtungen und dass: <math>\left| AB \right|=\left| BA \right|</math>

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: Folgt aus der Definition Zw und Definition koll

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====

Eine Strecke ist die Menge aller Punkte P, für die gilt: Zw(A,P,B) vereinigt mit den Punkten A,B.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 10:53, 13. Nov. 2023 (CET)Vorlesung

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 

AB+:= Strecke AB U {P|Zw (A,B,P)}--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:07, 13. Nov. 2023 (CET)Vorlesung

:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie) 

AB-:= {P|Zw (P,A,B)} U {A} oder alternativ AB-:= (Gerade AB\AB+) U A--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:18, 13. Nov. 2023 (CET)Vorlesung

 

[[Category:Geo_P]]

Strecken und Halbgeraden WS 23 24

2023-11-13T10:07:41Z

End007: /* Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

Strecken und Halbgeraden WS 23 24

2023-11-13T09:53:32Z

End007: /* Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizieren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben: Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: Folgt aus Symmetriebetrachtungen und dass: <math>\left| AB \right|=\left| BA \right|</math>

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: Folgt aus der Definition Zw und Definition koll

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====

Eine Strecke ist die Menge aller Punkte P, für die gilt: Zw(A,P,B) vereinigt mit den Punkten A,B.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 10:53, 13. Nov. 2023 (CET)Vorlesung

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAOKcuTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrrbts2FP69PgWhBUWL1Y6oq43aLZK02wpkS7BkwVAMK2iJlrnIkitRvrTo/+09Nuy9+iQ7JCXbsh3VTlLn0uaPLJI6PPy+85E8ZFrPx/0QDWmSsjhqa7iua4hGXuyzKGhrGe/WGtrzZw9aAY0D2kkI6sZJn/C2ZtYNTZRn7NmDb1ppLx4hEsomZ4yO2lqXhCnVUDpIKPHTHqW8VE6yMQsZSSZHnT+px9NZhTLyKhpk0AtPMijz+v4hS4vXXdnhIGT8BRsynyYojL225tjgOvw6owlnHgnbmqWrEqOtGQuVUGSK2l6csHdxxEXzmfEulCCUsncUvtRFWWtXDrRFMy9kPiORGIz0AxohNGI+7wF6RkPYpCzogbMNy1DmvDhO/JNJymkfjV/TJBb+GALpSf5mueItBcegR1uXVfNv0gwdnlDOgZcUkTGdIRYkzC+QEr9fpftx6E+rBzGL+AEZ8CyRnJp50QmfCPvQVSL83YuCkOZlBkDeo955Jx6fSBCwqUyfTgbyE+lPJziIwzhBiRiODQ3yZ0c9ZRvh6LSVLtvoskVuQxid1uOmIVvIZ0c9ZauQRcq1fOC4GDTWi25YikSBQBFCcTr4kHQoUKuhLGL8sHiBEDjPh4rVBz9n/Q5oYD4Ipjbxddls7S6ET+ucJhENVYxEQG0WZykaimBUfUlHfOqxPryqihwSIuj6FRxQpT4NElo4rhSkAJO1+nwcLhS3dgsnhA8p+OpxmApgPFyMRSiVg0raWr8e1DXkEy5KhRRC2qegEy5jQobUFJs9bTopxFLfRXzm9TOUoXplfMhIIuGgR6CkUEBIJqD2+SFJe0fdbko5Gre1GrZAOeI5V/1T7JdxIBHgKQcJkhwI+4KxAaV+PgHyPMzRAHqUopmjQ6KYit7Mup53Z9SbGnqnvpaNlMLE3CA7dnP6FWSfAG//xsDT1WjMbYBn15tOAZ7e2Aw9L+73SeSjiPShq0OYHSRkTKwZiOgi/hDBAkkFU8aLikCZyg0sESEmminOgVaee3gPJB7RFBRtz4a5e1Wy9EtQ5TYldNiuYmqGdU2vN3Bz/q8hv4ewNRTyOrChu3MNFifeisHTt5Fqk6rpj/VhbfYYr2btWMZ8mbZgia/jar7Kwjm+lHCwodYu+by8eBQjNWsb2nHrlm6bpuXojYZj6NJjOevVHdfCuGE6puFYrms6V9HVGSAYJ6uVdbzEVFbN1FAZK6jILtaWUaWt8hJ8neKqkI9VN50VcOO6YdiNBnZMxzVtw3BMifaso3VGN7cm5/LxSMJpCnuEfPgc3qVYEB0PBAGXJm15OhxuRNrwLpGm5raJsLE8990ATVCagGkh/hyIkaaaZmgXDbUFyHc/RcboLpGB61bTarquo9uuazmOo/ZNkPVYkCUZuulaNrZN/LKG3etnp2LrQKOA9xbUMlqSSadaJlHWpwnzpqB2pEFAIsvxWDH8tTHHnw4kLw8k0kkfjR6vip1FD70te+jnHo7X9M/fsn+ndMxx7uPDt1nMn74ePTp+gvaeoP3HqkBb9prDV1rZxLobEEi1fKZ2AtD6KG/so4chf4qmwT8/OhvL4YnHhpuUJV122Zj6qmTmEUsPySn9bbFYHoWkQE63GIs6FoGdRS61PFuA4IvDjNMTDxLR6DD21EZHTsW2mokNazkPWkmFsUgF8HC8GRXGlan4+Pe/ggn08a//kHj7B+FVvBRHHzkx4nFveTFX8LIP1GzAi3l1iQQgkS+IivKKdUIDUb7uBo9Ur1xpbq1An1y8qWiunfKWUpZVHEpVgZ78LWrrcyXDi7BUJcOSmVDkda8iTpOUypO25QO/c0oH4qT1KDpNSJSKE/dyzF0cHr+QybqhQatDIwFLBaN0K2GxJWl/6ZGwnLp314+E7rYi4TPsg+YOa/Lzs1pzZaCYS4GyKtWfrD4YEGHj1M2Gg23dtjBkNk3nNkfN6pXeKq30e/t/1NZf4q2vu+CqJR6vu9uySxzs/B4PaSJi6P3e/ocdRLIu2kHAzPvvPqCd9dmxr8jOTSzet54qp0zVJWhxvu6Lr4UJt5yigGJokEUBoiCcBP1AE+LTCMDY23/4Ldafsgj5jKIOZaL4RxJ2grzJjuJwB2WwpCpGax82INS98i1e9cmbsz2ajLVpWsFSxX3NwTJE5dPJuTXtsledlTBV3sesfRtTk1c3cjugV963mJuA8+KegWNcJzgv7wc4WP8c4Hx/z8DZWFaLF83hJIijhWToQCVDL+BhiHhCxBTILaZGZwzMeudYtfbeYNXelz/gCyp/WDCEN7g6ixrkbhQkTC1fmBpUXuNclFCVbrZtc37dXzoTv9J6cnE0Lh4qCdRuZJAbhu383aGeXx2qyDM2uo3afgpXCb9/5+AvhI9xjn/NuNMM0DvHQG1JAZtdyN4yArp3joBCArWpBizrdjOwO//fo/IfpvP/GH/2P1BLBwj3i9pEKgcAAGMuAABQSwECFAAUAAgACADinLk894vaRCoHAABjLgAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAGQHAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 

:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie) 

 

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 23 24)

2023-11-06T13:01:50Z

End007:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

[[Datei:3.2 Vorschlag Capricorn.jpeg|thumb|3.2 Vorschlag Capricorn]]--[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 21:41, 30. Okt. 2023 (CET)

Super Lösung! Alles richtig :)--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 10:52, 2. Nov. 2023 (CET)

[[Datei:Aufgabe 3.2End007.jpeg|thumb|End007]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 10:56, 31. Okt. 2023 (CET)
Hi End007 deine Lösungen sind weitgehend richtig :). Leider reicht deine Definition bei 2) nicht aus, um die Raute zu definieren, da ein Drache auch ein Viereck ist, bei dem die Diagonalen orthogonal aufeinander stehen. --[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 10:52, 2. Nov. 2023 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Zu 2) Geht die Definition so? Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen gegenseitig halbieren und senkrecht aufeinander stehen.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 14:01, 6. Nov. 2023 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.5 (WS 23 24)

2023-10-31T10:16:26Z

End007: Def

Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei zueinander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke.

Mein Vorschlag: Der Definitionsversuch ist eine Existenzaussage und keine Definition. Somit wäre die Aussage zu beweisen um daraus eine Definition abzuleiten. --[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 21:48, 30. Okt. 2023 (CET)

Mein Vorschlag: Die Informationen in der versuchten Definition sind richtig, allerdings handelt es sich um eine Aussage, die bewiesen werden muss und somit ist es keine Definition.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:16, 31. Okt. 2023 (CET)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.4 (WS 23 24)

2023-10-31T10:11:52Z

End007:

Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 

Mein Vorschlag:
Ein Viereck, dessen Symmetriepunkt der Schnittpunkt der Diagonalen ist, heißt Parallelogramm. --[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 21:46, 30. Okt. 2023 (CET)
[[Kategorie:Geo_P]]

Mein Vorschlag: Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen Symmetriepunkt im Schnittpunkt der Diagonalen liegt.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:11, 31. Okt. 2023 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.3 (WS 23 24)

2023-10-31T10:05:50Z

End007:

Definieren Sie den Begriff: "Drachen" unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge. 

Mein Vorschlag: Ein Viereck, das eine Symmetrieachse hat, die auf einer Diagonalen des Vierecks liegt, heißt Drachen. --[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 21:44, 30. Okt. 2023 (CET)
[[Kategorie:Geo_P]]

Mein Vorschlag: Ein Drache ist ein Viereck, das eine Symmetrieachse hat, die eine Diagonale halbiert.--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:05, 31. Okt. 2023 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 23 24)

2023-10-31T09:56:40Z

End007:

Datei:Aufgabe 3.2End007.jpeg

2023-10-31T09:55:57Z

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (WS 23 24)

2023-10-31T09:37:47Z

End007:

Handelt es sich um Definitionen? Wenn ja, um welche Art von Definition (Real-, Konventional-, genetisch)? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

[[Kategorie:Geo_P]]

[[Datei:Aufgabe 3.1-End007.jpeg|thumb|End007]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 10:37, 31. Okt. 2023 (CET)

Datei:Aufgabe 3.1-End007.jpeg

2023-10-31T09:36:16Z

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Auftrag der Woche 3 (WS 23 24)

2023-10-30T13:14:07Z

End007: /* Quiz zu Definitionen */

== Quiz zu Definitionen ==
Generieren Sie gemeinsam ein eigenes Quiz zum Begriff der Definition bzw. zum Definieren.
Hier der Anfang. Sie müssen nur nur auf Bearbeiten klicken, den Quelltext der ersten Frage kopieren, wieder einfügen und schließlich manipulieren.

<quiz>
{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Dreieck?
(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
- Ein Dreieck hat drei Eckpunkte, unter dem Aspekt n=5.
|| Gut zu wissen, aber was ist denn nun ein Dreieck?
- Jedes n-Eck mit drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
|| Ein Viereck hat auch drei Ecken. Analogie: Das ein Bier-Problem: Frau: Wo warst du? Mann: Ich habe ein Bier getrunken. Frau (sauer) Es waren bestimmt 8 Bier. Bewertung: Beide haben Recht. Der Mann hat nicht gelogen. (Ein Bier zu trinken ist eine notwendige Bedingung um 8 Bier zu trinken. Allerdings ist es nicht hinreichend, ein Bier zu trinken um 8 Bier getrunken zu haben.)
- Es gibt n-Ecke mit drei Eckpunkten, welche Dreiecke genannt werden.
|| Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.
+ Für n=3 ist ein n-Eck ein Dreieck.
|| Wenn n=3 gilt, gilt nicht gleichzeitig etwa n=5.
+ Ein n-Eck mit genau drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
|| Analog zur vorangegangenen Frage.

</quiz>

[[Kategorie:Geo_P]]

<quiz>
{In welchen Fällen handelt es sich um eine Definition eines Drachen?
(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
+ Wenn in einem Viereck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, so ist das Viereck ein Drachen
- Ein Drachen ist ein schiefer Drachen mit einem paar gleicher Winkel
|| Diese Aussage trifft auch auf ein Parallelogramm zu
+ Wenn ein Viereck an einer Diagonalen Achsensymmetrisch ist, dann ist es ein Drachen
- Es gibt Vierecke, bei denen die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, die man Drachen nennt
|| Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.

</quiz>

<quiz>
{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Quadrat?
(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
+ Wenn ein Rechteck 3 gleich lange Seiten hat, dann ist es ein Quadrat.
||
- Ein Quadrat ist ein Viereck mit 3 kongruenten Winkeln
|| Ein Rechteck hat auch 3 kongruente Winkel.
- Es gibt Rauten, deren Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, die man Quadrate nennt.
|| Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.
+ Eine Raute mit einem rechten Winkel ist ein Quadrat.
||
- Vierecke, die 3 gleich lange Seiten haben, heißen Quadrate.
|| Diese Definition trifft auch auf Rauten zu.

</quiz>

<quiz>

{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Raute?
(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
+ Wenn ein Drache 3 gleich lange Seiten hat, dann ist es eine Raute.
|| drei gleich lange Seiten bedeuten dass die vierte auch gleich lang sein muss
+ Eine Raute ist ein Parallelogramm bei dem alle Seiten gleich lang sind.
||
- Es gibt Parallelogramme, deren Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, die man Rauten nennt.
|| Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.
+ Alle Quadrate sind auch gleichzeitig Rauten.
|| sie haben 4 gleich lange Seiten
+ Vierecke, die 3 gleich lange Seiten haben, heißen Raute.
|| dazu gehören Rauten und Quadrate

</quiz>

Lösung von Zusatzaufgabe 1 (WS 23 24)

2023-10-30T09:46:57Z

End007:

== Aufgabe 1 ==
Erstellen Sie zu den Vierecksarten aus Aufgabe 2.2 ein Venndiagramm, aus dem die Teilmengenbeziehungen der Mengen sichtbar werden. (Ausgenommen Schiefer Drache; gleichschenkliges Trapez)

[[Kategorie:Geo_P]]

[[Datei:Zusatz.jpeg|thumb|Zusatzaufgabe Woche 2]]--[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 10:35, 25. Okt. 2023 (CEST)

Hi Capricorn super, dass du dich an diese schwierige Zusatzaufgabe getraut hast. Du stellst schon viele Teilmengenbeziehungen richtig dar. :)
Überlege dir noch einmal ob in deinem Venn Diagramm wirklich alle Teilmengenbeziehungen von Quadrat und Raute dargestellt sind. Gibt es Drachen, die weder Raute noch Quadrat, aber dennoch Parallelogramme sind?--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 15:12, 25. Okt. 2023 (CEST)

So habe es versucht zu verbessern [[Datei:Zusatzaufgabe verbessert.jpeg|thumb|Zusatz verbessert]]--[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 21:34, 25. Okt. 2023 (CEST)

Deine Verbesserung zeigt nun noch mehr richtige Teilmengenbeziehungen :) Gibt es Parallelogramme, die keine allgemeinen Trapeze sind?--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 20:03, 27. Okt. 2023 (CEST)

Ja, allgemeine Trapeze brauchen doch nur zwei parallele Seiten, aber ein Parallelogramm je zwei. Also gibt es auch allgemeine Trapeze, die keine Parallelogramme sind, oder? --[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 14:51, 28. Okt. 2023 (CEST)

Genau es gibt allgemeine Trapeze, die keine Parallelogramme sind. Aber gibt es Parallelogramme, die keine allgemeine Trapeze sind?
(Es gibt ja auch Rechtecke, die keine Vierecke sind aber keine Vierecke, die keine Rechtecke sind.)--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 11:21, 29. Okt. 2023 (CET)

Ah, dann müsste die Parallelogrammlinie um die allgemeine Trapezlinie laufen oder? Weil alle Parallelogramme auch allgemeine Trapeze sind. --[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 13:00, 29. Okt. 2023 (CET)

Genau die Menge der Parallelogramme muss komplett in der Menge der Trapeze liegen :) --[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 18:29, 29. Okt. 2023 (CET)

[[Datei:Teilmengenbeziehungen Vierecke.jpeg|thumb|Das wäre mein Vorschlag.]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 18:43, 26. Okt. 2023 (CEST)

Hi End007 bei deinem Entwurf sind die Mengen schon in der richtigen Größe eingezeichnet. Leider zeigt er die Teilmengenbeziehungen noch nicht richtig. Ich mache einmal ein Beispiel um dir zu zeigen, worüber du nochmal nachdenken "musst": Ein Quadrat vereint die Eigenschaften von Raute und Rechteck. Somit ist jedes Quadrat ein Rechteck und gleichzeitig auch eine Raute. Es gibt aber Rauten, die keine Rechtecke sind und umgekehrt. Bei deinem Venndiagramm sieht es so aus, als ob die meisten Quadrate Rechtecke wären und einige Quadrate Rauten wären, es allerdings keine Rauten gibt, die gleichzeitig auch Rechtecke sind. (Dabei sind ja alle Quadrate gleichzeitig Rechtecke und Rauten)
Ich hoffe das hilft dir weiter :)--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 20:03, 27. Okt. 2023 (CEST)

[[Datei:Venn-Diagramm (2).jpeg|thumb|End007 2.Versuch]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:41, 28. Okt. 2023 (CEST)

Der zweite Versuch ist schon viel besser :) nur die Teilmengenbeziehung zwischen den Parallelogrammen und den Trapezen stimmt noch nicht so ganz :)--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 11:21, 29. Okt. 2023 (CET)

[[Datei:3.Versuch.jpeg|thumb|End007]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 10:46, 30. Okt. 2023 (CET)

Datei:3.Versuch.jpeg

2023-10-30T09:45:53Z

End007: User created page with UploadWizard

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Lösung von Zusatzaufgabe 1 (WS 23 24)

2023-10-28T09:41:24Z

End007:

Datei:Venn-Diagramm (2).jpeg

2023-10-28T09:40:43Z

End007: User created page with UploadWizard

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Lösung von Aufgabe 2.4 (WS 23 24)

2023-10-28T09:19:43Z

End007:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
# Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
# Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm.
# Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden.
# Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 

[[Datei:Übung2 Aufgabe1.4.jpg|thumb|Aufgabe]] --[[Benutzer:PaulPirker|PaulPirker]] ([[Benutzer Diskussion:PaulPirker|Diskussion]]) 16:02, 23. Okt. 2023 (CEST)

Hi Paul deine erste und letzte Antwort sind richtig :).
Es gibt allerdings eine Menge von Vierecken, die sowohl Parallelogramm als auch Drache sind (alle Rauten). Findest du eine andere Begründung, dafür, dass die zweite Definition falsch ist?
Ist die dritte Definition eine Definition?--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 15:33, 25. Okt. 2023 (CEST)

Aufgabe 2.4 [[Datei:Aufgabe 2.4.jpeg|thumb|Aufgabe 2.4]]--[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 23:10, 24. Okt. 2023 (CEST)

Hi Capricorn deine Antwort für Fall 1 ist richtig :).

Bei Fall 2 hast du grundlegend Recht. Gegenüberliegende kongruente Seiten müssen nicht zwingen zu gleich großen gegenüberliegenden Winkeln führen. Fügt man allerdings die Eigenschaft des Drachens hinzu, dass mindestens eine Diagonale die andere halbiert, so landet man bei der Menge der Rauten. Diese wiederum sind Parallelogramme. Findest du einen anderen Grund, warum der zweite Fall nicht stimmt?

Ist Fall 3 eine Definition?

Bei Fall 4 hast du wieder grundlegend Recht. Nur weil ein Viereck zwei kongruente Seiten hat, müssen diese nicht zwingen parallel sein. Dies trifft aber nicht auf Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten zu. Weißt du woran das liegt?

--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 15:33, 25. Okt. 2023 (CEST)

Zu 2: Könnte die Aussage falsch sein, weil beim Drachen die Diagonalen senkrecht zueinander sind und beim Parallelogramm nicht?
Eine Frage zum Halbieren der Diagonalen beim Drachen: es halbiert sich doch nur eine Diagonale, oder?

Zu 3: hier korrekt, weil bei der Definition vom Trapez einPaar gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Kommen nun zwei parallele Seiten dazu, ergibt das die Definition eines Parallelogramms.

Zu 4: Fall 4 ist richtig, weil bei der Definition vom Trapez ein Paar gegenüberliegender Seiten parallel sind. Kommen zwei kongruente Seiten hinzu entsteht entweder ein Rechteck oder ein Parallelogramm, richtig?--[[Benutzer:Capricorn|Capricorn]] ([[Benutzer Diskussion:Capricorn|Diskussion]]) 21:11, 25. Okt. 2023 (CEST)
[[Kategorie:Geo_P]]

Zu 2: Überlege mal, ob mit der hier genannten Definition wirklich alle Parallelogramme beschrieben werden können.
Du hast Recht beim Drachen muss nur mindestens eine Diagonale die andere halbieren.

Zu 3: Schau dir noch einmal den Unterschied zwischen Sätzen und Beweisen an.

Zu 4: richtig :)

--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 19:51, 27. Okt. 2023 (CEST)

[[Datei:End007.jpeg|thumb|Aufgabe 2.4]]--[[Benutzer:End007|End007]] ([[Benutzer Diskussion:End007|Diskussion]]) 11:19, 28. Okt. 2023 (CEST)

Datei:End007.jpeg

2023-10-28T09:19:01Z

End007: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Zusatzaufgabe 1 (WS 23 24)

2023-10-26T16:44:02Z

End007:

Lösung von Zusatzaufgabe 1 (WS 23 24)

2023-10-26T16:43:34Z

End007: