Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Hauptseite SoSe 11

2011-07-20T12:26:00Z

Eng.MODs: /* Weltmeister */

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2011 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

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= Einführung in die Geometrie =
== Haben wir nicht, bekommen wir auch nicht rein==
{{wpd|Nürnberger_Trichter}}
== Wöchentlich ==
* [[Auftrag der Woche_SoSe_11, Quiz der Woche_SoSe_11, Übungsaufgaben_SoSe_11 etc.‎]]

== Skripte, erstellt durch die Studierenden ==

== Materialien für das Studium ==
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* [[Einführendes Beispiel_SoSe_11]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}} [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_11]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_11]]
*[[Äquivalenzrelationen_und_Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Einige grundlegende Bemerkungen zum Geometrieunterricht_SoSe_11]]
*[[Eigenschaften von Geraden_So_Se_11]]
*[[Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden_SoSe_11]]
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik_SoSe_11]]
*[[Inzidenz im Raum (SoSe_11)]]
*[[Strecken (SoSe_11)]]
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe_11)]]
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe_11)]]
*[[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe_11)]]
*[[Winkelmessung (SoSe_11)]]
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe_11)]]
*[[Dreieckskongruenz (SoSe_11)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_11)]]
*[[Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe_11)]]
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe_11)]]
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe_11)]]
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe_11)]]
*[[Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe_11)]]
*Sätze über Dreiecke
:*[[Innenwinkelsatz für Dreiecke und starker Außenwinkelsatz (SoSe_11)]]
:*Dreieckstransversalen
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks (SoSe_11)]]
::*[[Die Höhen eines Dreiecks (SoSe_11)]]
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe_11)]]
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks (SoSe_11)]]
*Sätze am Kreis
:*[[Der Satz des Thales (SoSe_11)]]
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (SoSe_11)]]
:*[[Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe_11)]]

== Videos ==
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]

== Üben... Üben... Üben...==
[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]

== Die Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen ==
{{pdf|TP_Modul2_Sommersemester_10_L.pdf|Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen}}

== Die Teilprüfungsklausur WS_10/11 mit Lösungen ==
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung.pdf|Klausur}}
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung_Lösungen.pdf|mit Lösungen}}
|}

= Didaktik der Geometrie=
* [[Hinweise und Literatur]]
===Kapitel 1: Erarbeiten geometrischer Begriffe===
* [[Erarbeitung der Begriffe Kreis und Prisma (15.04.2011)]]
* [[Erarbeitung der Begriffe senkrecht, Pyramide, Geradenspiegelung (29.04.2011)]]
* [[Arten der Begriffserarbeitung (06.05.2011)]]
* [[Haus der Vierecke (15.07.2011)]]

===Kapitel 2: Argumentieren, Begründen, Beweisen===
*[[Der_Satz_des_Thales_(SoSe_11)]]
*[[Zentri-Peripheriewinkelsatz]]
*[[Satz des Pythagoras]]
*[[Satz über die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten im Tangentenviereck]]
*[[Höhensatz]]
*[[Kathetensatz]]

===Kapitel 3: Konstruieren===
* [[Konstruktion eines Sehnen-Tangenten-Viereck]]
* [[Äußere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]
* [[Innere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]

===Körperdarstellungen===

*[[Vertretungsveranstaltung,Ausgewählte Kapitel (Spannagel)]]

= Elementargeometrie =
== Skript und mehr ==
=== Kapitel 1: Kongruenzgeometrie ===
*[[Bewegungen (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen]]
*[[Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)]]
*[[Drehungen 2010]]
*[[Verschiebungen 2010]]
*[[Drehungen und Verschiebungen als Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen (2010)]]
*[[Klassifizierung aller Bewegungen in der ebenen Geometrie]]
*[[Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)]]
=== Kapitel 2: Ähnlichkeitsgeometrie ===
*[[Projektionen und Strahlensätze 2010]]

== Übungsaufgaben ==

*[[Prüfungsschwerpunkt Ws 2010/2011]]
*[[Übungsaufgaben zur Elementargeometrie im WS 2010/11]]

*[[Elementargeometrie|alte Übungen zur Vorbereitung aufs Staatsexamen im Anschluss an das SS 2010]]
= Spielecke =
*[[Test]]
*[[Spieltester gesucht]]
*[[Rollkurven]]
* Rotationskörper
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==Hinweise==
Bitte beachten Sie: Die Mo-Vorlesung findet ab sofort im Raum H001 (statt H002) statt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:27, 31. Mai 2011 (CEST) 
==Weltmeister==
Im letzten Sommersemester saß Herr Krieger auch in der Veranstaltung Einführung in die Geometrie. Als einer der Besten schloss er die ATP ab. Am 10. März dieses Jahres wurde er Weltmeister im Judo bei den Sehgeschädigten. Ich verneige mich vor dieser Leistung. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 13. Jul. 2011 (CEST)
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'''Veranstaltungsangebot:'''

=== Einführung in die Geometrie ===

Vorlesungen:

{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||A108 ||(Reichelt)
|-
| Mo. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Reichelt)
|-
| Mi. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 12-14 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Henrich)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Smuda)
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||A206 ||(Zähringer)
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||B109 ||(Gaß) (neuer Termin)
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A206 ||(Jäckle)

|}

=== Elementargeometrie ===
Die Elementargeometrie findet wieder Wintersemester statt.

=== Didaktik der Geometrie===

{| class="wikitable"
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A 106 ||(Gieding)
|}

([[Frühere Hinweise|mehr]])

==Hier gibt's was Neues zur "Einführung in die Geometrie"==
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([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Einführung in die Geometrie"==
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([[Diskussionen|mehr]]) ([[Statistik]])

==Hier gibt's was Neues zur "Didaktik der Geometrie"==
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([[Neuigkeiten zu Elementargeometrie|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Didaktik der Geometrie"==
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([[Diskussionen zu Elementargeometrie|mehr]]) ([[Statistik]])

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[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Diskussion:Quiz der Woche 7 (SoSe 11)

2011-07-20T00:39:04Z

Eng.MODs:

Diskussion:Quiz der Woche 7 (SoSe 11)

2011-07-20T00:38:24Z

Eng.MODs: Die Seite wurde neu angelegt: „2.000.000 € Frage. Ist der Name James oder Jim Braun? Hier nochmals die Frage. Wie lautet der Geburtsname des Künstlers, der den ACDC-Klassiker "Whole Lotta Ro…“

Lösung von Aufg. 14.3 (SoSe 11)

2011-07-19T21:12:30Z

Eng.MODs:

Beweisen Sie den Stufenwinkelsatz.
[[Datei:[[Datei:Eng.MODs_Stufenwinkel1.JPG]]]][[Datei:Eng.MODs_Stufenwinkel2.JPG]] --[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:07, 19. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Übung Aufgaben 14 (SoSe 11)

2011-07-19T21:12:00Z

Eng.MODs: /* Aufgabe 14.3 */

== Aufgabe 14.1 ==
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.

[[Lösung von Aufg. 14.1 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.2 ==
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms: 
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

[[Lösung von Aufg. 14.2 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.3 ==
Beweisen Sie den Stufenwinkelsatz.

[[Lösung von Aufg. 14.3 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.4 ==
Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke.

[[Lösung von Aufg. 14.4 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.5 ==
Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

[[Lösung von Aufg. 14.5 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.6 ==
Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

[[Lösung von Aufg. 14.6 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.7 ==
Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.

[[Lösung von Aufg. 14.7 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.8 ==
Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

[[Lösung von Aufg. 14.8 (SoSe_11)]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Übung Aufgaben 14 (SoSe 11)

2011-07-19T21:10:20Z

Eng.MODs: /* Aufgabe 14.3 */

== Aufgabe 14.1 ==
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.

[[Lösung von Aufg. 14.1 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.2 ==
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms: 
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

[[Lösung von Aufg. 14.2 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.3 ==
Beweisen Sie den Stufenwinkelsatz.

[[Lösung von Aufg. 14.3 (SoSe_11)]]
[[Datei:[[Datei:Eng.MODs_Stufenwinkel1.JPG]]]][[Datei:Eng.MODs_Stufenwinkel2.JPG]] --[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:07, 19. Jul. 2011 (CEST)

== Aufgabe 14.4 ==
Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke.

[[Lösung von Aufg. 14.4 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.5 ==
Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

[[Lösung von Aufg. 14.5 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.6 ==
Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

[[Lösung von Aufg. 14.6 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.7 ==
Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.

[[Lösung von Aufg. 14.7 (SoSe_11)]]

== Aufgabe 14.8 ==
Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

[[Lösung von Aufg. 14.8 (SoSe_11)]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.3 (SoSe 11)

2011-07-19T21:08:48Z

Eng.MODs:

Lösung von Aufg. 13.3 (SoSe 11)

2011-07-19T21:07:54Z

Eng.MODs:

Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes

 Wenn in einem Dreieck zwei Innenwinkel kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 15:53, 9. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]
[[Datei:[[Datei:Eng.MODs_Stufenwinkel1.JPG]]]][[Datei:Eng.MODs_Stufenwinkel2.JPG]] --[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:07, 19. Jul. 2011 (CEST)

Datei:Eng.MODs Stufenwinkel2.JPG

2011-07-19T21:07:06Z

Eng.MODs: hat eine neue Version von „Datei:Eng.MODs Stufenwinkel2.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-GFDL}}

{{Information_ohne_UploadWizard
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|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = [[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]]
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|Andere Versionen =
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== Lizenz ==
{{Bild-GFDL}}

Datei:Eng.MODs Stufenwinkel1.JPG

2011-07-19T21:05:45Z

Eng.MODs: hat eine neue Version von „Datei:Eng.MODs Stufenwinkel1.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-GFDL}}

Datei:Eng.MODs Stufenwinkel2.JPG

2011-07-19T21:05:13Z

Datei:Eng.MODs Stufenwinkel1.JPG

2011-07-19T21:01:37Z

Eng.MODs: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-GFDL}}

Datei:Eng.MODs Stufenwinkel2.JPG

2011-07-19T21:00:50Z

Eng.MODs: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-GFDL}}

Lösung von Aufg. 13.7 (SoSe 11)

2011-07-18T10:16:31Z

Eng.MODs:

Beweisen Sie: 
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Ich finde, dass man diesen Beweis nicht führen kann! Mit dem schwachen Außenwinkelsatz ist dieser nicht möglich, da ich hierbei die Innenwinkelsumme haben MUSS. Das kann ich beweisen:

Wir gehen von folgendem "Beweis" aus. Dieser wird klassischerweise o.B.d.A. geführt (was schonmal den ersten Fehler in den Beweis bringt):

Voraussetzung: <math>\overline{ABC}</math> , <math>\alpha \beta \gamma</math>
Behauptung: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180. Mögen dies o. B. d. A. <math>\alpha und \beta</math> sein.

{| class="wikitable"
|-
| 1 || Beta und Beta' sind Nebenwinkel, daraus folgt: <math>\beta + \beta ' = 180</math> || Außenwinkel Def., Nebenwinkel Def. supplementär, Suppl.Axiom
|-
| 2 || <math>\alpha < \beta '</math> || Schwacher Außenwinkelsatz, (1)
|-
| 3 || <math>\beta ' = 180 - \beta</math> || Rechnen in R, (1)
|-
| 4 || <math>180 - \beta > \alpha \Rightarrow \alpha +\beta < 180</math> || Rechnen in R, 2, 3
|}

Und jetzt? q. e. d.? Von wegen. Dies muss ich noch für alle anderen machen, denn ansonsten ist sowas auch möglich:

[[Bild:Dreieck2.jpg]]

Jetzt habe ich somit als Ergebnis:
{| class="wikitable"
|-
| <math>\alpha + \beta < 180</math>
|-
| <math>\alpha + \gamma < 180</math>
|-
| <math>\beta + \gamma < 180</math>
|}

Insofern darf kein Dreieck die Innenwinkelsumme von 180 haben, was heißt, dass es kein Dreieck gibt - das kann die absolute Geometrie aber nicht wollen :-), das ist schlichtweg falsch.

Ergo: Einerseits zeigt der Beweis auf, dass entweder das vorkommen kann, was ich in der obigen Graphik eingeblendet habe, oder er zeigt an, dass die Innenwinkelsumme kleiner als 180 ist. Beides falsch - dass er Nebenbei auch noch aufzeigt, dass die Innenwinkelsumme von zwei Winkel jeweils kleiner ist als 180 ist schon klar, aber die "Kollateralschäden" die das Korrolar mit sich bringt sind doch aus meiner Sicht enorm. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:09, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ich denke es geht mit dem Schw. Außenwinkelsatz. 
 
Vor: Dreieck ABC 
Beh: o.B.d.A <math>\alpha +\beta < 180°</math> 
 
Bew. durch Wiederspruch 
Ann: 
<math>\alpha +\beta = 180°</math> 
 
1. <math>\alpha +\beta = 180°</math>........Ann. 
2.<math>\alpha +\gamma = 180°</math>.........Neb. sind Supplimentär 
3.<math>\beta =180°- \alpha</math>..........1, rechnen/ umstellen in R 
4.<math>\gamma =180°- \alpha</math>.........2, rechnen/umstellen in R 
5.<math>\beta =\gamma</math>....................3,4, Wiederspruch zum schw. Außenwinkelsatz 
q.e.d 
[[Datei:Eng.MODs_Mod2mathe.jpg|500px]] 
--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:18, 17. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.7 (SoSe 11)

2011-07-18T10:13:03Z

Eng.MODs:

Beweisen Sie: 
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Ich finde, dass man diesen Beweis nicht führen kann! Mit dem schwachen Außenwinkelsatz ist dieser nicht möglich, da ich hierbei die Innenwinkelsumme haben MUSS. Das kann ich beweisen:

Wir gehen von folgendem "Beweis" aus. Dieser wird klassischerweise o.B.d.A. geführt (was schonmal den ersten Fehler in den Beweis bringt):

Voraussetzung: <math>\overline{ABC}</math> , <math>\alpha \beta \gamma</math>
Behauptung: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180. Mögen dies o. B. d. A. <math>\alpha und \beta</math> sein.

{| class="wikitable"
|-
| 1 || Beta und Beta' sind Nebenwinkel, daraus folgt: <math>\beta + \beta ' = 180</math> || Außenwinkel Def., Nebenwinkel Def. supplementär, Suppl.Axiom
|-
| 2 || <math>\alpha < \beta '</math> || Schwacher Außenwinkelsatz, (1)
|-
| 3 || <math>\beta ' = 180 - \beta</math> || Rechnen in R, (1)
|-
| 4 || <math>180 - \beta > \alpha \Rightarrow \alpha +\beta < 180</math> || Rechnen in R, 2, 3
|}

Und jetzt? q. e. d.? Von wegen. Dies muss ich noch für alle anderen machen, denn ansonsten ist sowas auch möglich:

[[Bild:Dreieck2.jpg]]

Jetzt habe ich somit als Ergebnis:
{| class="wikitable"
|-
| <math>\alpha + \beta < 180</math>
|-
| <math>\alpha + \gamma < 180</math>
|-
| <math>\beta + \gamma < 180</math>
|}

Insofern darf kein Dreieck die Innenwinkelsumme von 180 haben, was heißt, dass es kein Dreieck gibt - das kann die absolute Geometrie aber nicht wollen :-), das ist schlichtweg falsch.

Ergo: Einerseits zeigt der Beweis auf, dass entweder das vorkommen kann, was ich in der obigen Graphik eingeblendet habe, oder er zeigt an, dass die Innenwinkelsumme kleiner als 180 ist. Beides falsch - dass er Nebenbei auch noch aufzeigt, dass die Innenwinkelsumme von zwei Winkel jeweils kleiner ist als 180 ist schon klar, aber die "Kollateralschäden" die das Korrolar mit sich bringt sind doch aus meiner Sicht enorm. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:09, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ich denke es geht mit dem Schw. Außenwinkelsatz. 
 
Vor: Dreieck ABC 
Beh: o.B.d.A <math>\alpha +\beta < 180°</math> 
 
Bew. durch Wiederspruch 
<math>\alpha +\beta = 180°</math> 
 
1. <math>\alpha +\beta = 180°</math>........Ann. 
2.<math>\alpha +\gamma = 180°</math>.........Neb. sind Supplimentär 
3.<math>\beta =180°- \alpha</math>..........1, rechnen/ umstellen in R 
4.<math>\gamma =180°- \alpha</math>.........2, rechnen/umstellen in R 
5.<math>\beta =\gamma</math>....................3,4, Wiederspruch zum schw. Außenwinkelsatz 
q.e.d 
[[Datei:Eng.MODs_Mod2mathe.jpg|500px]] 
--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:18, 17. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.7 (SoSe 11)

2011-07-18T10:08:32Z

Eng.MODs:

Beweisen Sie: 
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Ich finde, dass man diesen Beweis nicht führen kann! Mit dem schwachen Außenwinkelsatz ist dieser nicht möglich, da ich hierbei die Innenwinkelsumme haben MUSS. Das kann ich beweisen:

Wir gehen von folgendem "Beweis" aus. Dieser wird klassischerweise o.B.d.A. geführt (was schonmal den ersten Fehler in den Beweis bringt):

Voraussetzung: <math>\overline{ABC}</math> , <math>\alpha \beta \gamma</math>
Behauptung: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180. Mögen dies o. B. d. A. <math>\alpha und \beta</math> sein.

{| class="wikitable"
|-
| 1 || Beta und Beta' sind Nebenwinkel, daraus folgt: <math>\beta + \beta ' = 180</math> || Außenwinkel Def., Nebenwinkel Def. supplementär, Suppl.Axiom
|-
| 2 || <math>\alpha < \beta '</math> || Schwacher Außenwinkelsatz, (1)
|-
| 3 || <math>\beta ' = 180 - \beta</math> || Rechnen in R, (1)
|-
| 4 || <math>180 - \beta > \alpha \Rightarrow \alpha +\beta < 180</math> || Rechnen in R, 2, 3
|}

Und jetzt? q. e. d.? Von wegen. Dies muss ich noch für alle anderen machen, denn ansonsten ist sowas auch möglich:

[[Bild:Dreieck2.jpg]]

Jetzt habe ich somit als Ergebnis:
{| class="wikitable"
|-
| <math>\alpha + \beta < 180</math>
|-
| <math>\alpha + \gamma < 180</math>
|-
| <math>\beta + \gamma < 180</math>
|}

Insofern darf kein Dreieck die Innenwinkelsumme von 180 haben, was heißt, dass es kein Dreieck gibt - das kann die absolute Geometrie aber nicht wollen :-), das ist schlichtweg falsch.

Ergo: Einerseits zeigt der Beweis auf, dass entweder das vorkommen kann, was ich in der obigen Graphik eingeblendet habe, oder er zeigt an, dass die Innenwinkelsumme kleiner als 180 ist. Beides falsch - dass er Nebenbei auch noch aufzeigt, dass die Innenwinkelsumme von zwei Winkel jeweils kleiner ist als 180 ist schon klar, aber die "Kollateralschäden" die das Korrolar mit sich bringt sind doch aus meiner Sicht enorm. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:09, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ich denke es geht mit dem Schw. Außenwinkelsatz. 
 
Vor: Dreieck ABC 
Beh: o.B.d.A <math>\alpha +\beta < 180°</math> 
 
Bew. durch Wiederspruch 
<math>\alpha +\beta = 180°</math> 
 
1. <math>\alpha +\beta = 180°</math>........Ann. 
2.<math>\alpha +\gamma = 180°</math>.........Neb. sind Supplimentär 
3.<math>\beta =180°- \alpha</math>..........1, rechnen/ umstellen in R 
4.<math>\gamma =180°- \alpha</math>.........2, rechnen/umstellen in R 
5.<math>\beta =\gamma</math>....................3,4, Wiederspruch zum schw. Außenwinkelsatz 
q.e.d 
 
[[Datei:Eng.MODs_Mod2mathe.jpg]] 
--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:18, 17. Jul. 2011 (CEST)

Datei:Eng.MODs Mod2mathe.jpg

2011-07-18T10:05:18Z

Eng.MODs: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Datei:Eng.MODs Mod2mathe.pdf

2011-07-18T10:03:40Z

Eng.MODs: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-GFDL}}

Hauptseite SoSe 11

2011-07-17T21:34:37Z

Eng.MODs: /* Weltmeister */

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2011 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"
| valign="top" |
= Einführung in die Geometrie =
== Haben wir nicht, bekommen wir auch nicht rein==
{{wpd|Nürnberger_Trichter}}
== Wöchentlich ==
* [[Auftrag der Woche_SoSe_11, Quiz der Woche_SoSe_11, Übungsaufgaben_SoSe_11 etc.‎]]

== Skripte, erstellt durch die Studierenden ==

== Materialien für das Studium ==
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* [[Einführendes Beispiel_SoSe_11]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}} [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_11]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_11]]
*[[Äquivalenzrelationen_und_Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Einige grundlegende Bemerkungen zum Geometrieunterricht_SoSe_11]]
*[[Eigenschaften von Geraden_So_Se_11]]
*[[Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden_SoSe_11]]
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik_SoSe_11]]
*[[Inzidenz im Raum (SoSe_11)]]
*[[Strecken (SoSe_11)]]
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe_11)]]
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe_11)]]
*[[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe_11)]]
*[[Winkelmessung (SoSe_11)]]
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe_11)]]
*[[Dreieckskongruenz (SoSe_11)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_11)]]
*[[Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe_11)]]
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe_11)]]
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe_11)]]
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe_11)]]
*[[Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe_11)]]
*Sätze über Dreiecke
:*[[Innenwinkelsatz für Dreiecke und starker Außenwinkelsatz (SoSe_11)]]
:*Dreieckstransversalen
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks (SoSe_11)]]
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::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe_11)]]
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*Sätze am Kreis
:*[[Der Satz des Thales (SoSe_11)]]
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (SoSe_11)]]
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== Videos ==
===Videos von Studierenden===
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*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
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==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]

== Üben... Üben... Üben...==
[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]

== Die Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen ==
{{pdf|TP_Modul2_Sommersemester_10_L.pdf|Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen}}

== Die Teilprüfungsklausur WS_10/11 mit Lösungen ==
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung.pdf|Klausur}}
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung_Lösungen.pdf|mit Lösungen}}
|}

= Didaktik der Geometrie=
* [[Hinweise und Literatur]]
===Kapitel 1: Erarbeiten geometrischer Begriffe===
* [[Erarbeitung der Begriffe Kreis und Prisma (15.04.2011)]]
* [[Erarbeitung der Begriffe senkrecht, Pyramide, Geradenspiegelung (29.04.2011)]]
* [[Arten der Begriffserarbeitung (06.05.2011)]]
* [[Haus der Vierecke (15.07.2011)]]

===Kapitel 2: Argumentieren, Begründen, Beweisen===
*[[Satz des Pythagoras]]
*[[Satz über die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten im Tangentenviereck]]

===Kapitel 3: Konstruieren===
* [[Konstruktion eines Sehnen-Tangenten-Viereck]]

===Körperdarstellungen===

*[[Vertretungsveranstaltung,Ausgewählte Kapitel (Spannagel)]]

= Elementargeometrie =
== Skript und mehr ==
=== Kapitel 1: Kongruenzgeometrie ===
*[[Bewegungen (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen]]
*[[Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)]]
*[[Drehungen 2010]]
*[[Verschiebungen 2010]]
*[[Drehungen und Verschiebungen als Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen (2010)]]
*[[Klassifizierung aller Bewegungen in der ebenen Geometrie]]
*[[Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)]]
=== Kapitel 2: Ähnlichkeitsgeometrie ===
*[[Projektionen und Strahlensätze 2010]]

== Übungsaufgaben ==

*[[Prüfungsschwerpunkt Ws 2010/2011]]
*[[Übungsaufgaben zur Elementargeometrie im WS 2010/11]]

*[[Elementargeometrie|alte Übungen zur Vorbereitung aufs Staatsexamen im Anschluss an das SS 2010]]
= Spielecke =
*[[Test]]
*[[Spieltester gesucht]]
*[[Rollkurven]]
* Rotationskörper
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</div>


| width="50%" style="vertical-align:top" |
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{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"
| valign="top" |

==Hinweise==
Bitte beachten Sie: Die Mo-Vorlesung findet ab sofort im Raum H001 (statt H002) statt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:27, 31. Mai 2011 (CEST) 
==Weltmeister==
Im letzten Sommersemester saß Herr Krieger auch in der Veranstaltung Einführung in die Geometrie. Als einer der Besten schloss er die ATP ab. Am 10. März dieses Jahres wurde er Weltmeister im Judo bei den Sehgeschädigten. Ich verneige mich vor dieser Leistung. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 13. Jul. 2011 (CEST)
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/bilder/matze1.png" width="184" height="343" frameborder="2"></iframe>

Gefällt mir....:-) 

'''Veranstaltungsangebot:'''

=== Einführung in die Geometrie ===

Vorlesungen:

{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||A108 ||(Reichelt)
|-
| Mo. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Reichelt)
|-
| Mi. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 12-14 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Henrich)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Smuda)
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||A206 ||(Zähringer)
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||B109 ||(Gaß) (neuer Termin)
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A206 ||(Jäckle)

|}

=== Elementargeometrie ===
Die Elementargeometrie findet wieder Wintersemester statt.

=== Didaktik der Geometrie===

{| class="wikitable"
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A 106 ||(Gieding)
|}

([[Frühere Hinweise|mehr]])

==Hier gibt's was Neues zur "Einführung in die Geometrie"==
<dpl>
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([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Einführung in die Geometrie"==
<dpl>
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([[Diskussionen|mehr]]) ([[Statistik]])

==Hier gibt's was Neues zur "Didaktik der Geometrie"==
<dpl>
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([[Neuigkeiten zu Elementargeometrie|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Didaktik der Geometrie"==
<dpl>
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([[Diskussionen zu Elementargeometrie|mehr]]) ([[Statistik]])

|}

</div>
|}


[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Datei:Eng.MODs Gefällt-mir-button.jpg

2011-07-17T21:28:25Z

Eng.MODs: hat eine neue Version von „Datei:Eng.MODs Gefällt-mir-button.jpg“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = google |Urheber = facebook |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-CC-b

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2011-07-17T21:27:58Z

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== Lizenz ==
{{Dateiüberprüfung}}

Lösung von Aufg. 13.4 (SoSe 11)

2011-07-17T21:21:20Z

Eng.MODs:

Beweisen Sie die Gültigkeit der Umkehrung des Basiswinkelsatzes

Hallo - kann jemand eine gültige Lösung einstellen, da wir uns in unserer Übung nicht ganz einig über
die Beweisidee waren.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:26, 14. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

==Beweisdarstellung 1==
[[Bild:Umkehrung_Basiswinkelsatz_01.jpg|800px]] 

Die Idee des Beweises ist korrekt: Es wird versucht, über die Mittelsenkrechte der Seite <math>\ c</math> den Beweis zu führen. Die Darstellung des Beweises ist in einigen Punkten suboptimal.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:51, 17. Jul. 2011 (CEST)

meiner ist auch schön[[Datei:Eng.MODs_Dreieck.JPG]]
[[Datei:Eng.MODs_Beweis_Umkehrung_Basiswinkelsatz.jpg|800px]]-- [[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:20, 17. Jul. 2011 (CEST) 
Gehts auch so? Nur so ne Idee: 
<math>\ Vor: \triangle \ ABC \ , \alpha \cong \beta</math> 
<math>\ Beh: \ | \overline{AC} \ | \ = \ | \overline{BC} </math> 
<math>\ Annahme \ fuer \ den \ Widerspruchsbeweis: \ | \overline{AC} \ | \neq \ | \overline{BC}</math> 
<math>\ oBdA: \ | \overline{AC} \ | \ < \ | \overline{BC} </math> 
<math>\ 1) \ | \beta \ | \ < \ | \alpha \ |</math> Annahme, Satz größere Seite liegt dem größeren Winkel gegenüber 
Widerspruch zur Vor. Die Annahme ist zu verwerfen. --[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 23:07, 17. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.4 (SoSe 11)

2011-07-17T21:20:12Z

Eng.MODs:

Beweisen Sie die Gültigkeit der Umkehrung des Basiswinkelsatzes

Hallo - kann jemand eine gültige Lösung einstellen, da wir uns in unserer Übung nicht ganz einig über
die Beweisidee waren.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:26, 14. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

==Beweisdarstellung 1==
[[Bild:Umkehrung_Basiswinkelsatz_01.jpg|800px]] 

Die Idee des Beweises ist korrekt: Es wird versucht, über die Mittelsenkrechte der Seite <math>\ c</math> den Beweis zu führen. Die Darstellung des Beweises ist in einigen Punkten suboptimal.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:51, 17. Jul. 2011 (CEST)

meiner ist auch schön[[Datei:Eng.MODs_Dreieck.JPG]]
[[Datei:Eng.MODs_Beweis_Umkehrung_Basiswinkelsatz.jpg|800px]]--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:20, 17. Jul. 2011 (CEST) 
Gehts auch so? Nur so ne Idee: 
<math>\ Vor: \triangle \ ABC \ , \alpha \cong \beta</math> 
<math>\ Beh: \ | \overline{AC} \ | \ = \ | \overline{BC} </math> 
<math>\ Annahme \ fuer \ den \ Widerspruchsbeweis: \ | \overline{AC} \ | \neq \ | \overline{BC}</math> 
<math>\ oBdA: \ | \overline{AC} \ | \ < \ | \overline{BC} </math> 
<math>\ 1) \ | \beta \ | \ < \ | \alpha \ |</math> Annahme, Satz größere Seite liegt dem größeren Winkel gegenüber 
Widerspruch zur Vor. Die Annahme ist zu verwerfen. --[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 23:07, 17. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.7 (SoSe 11)

2011-07-17T21:18:48Z

Eng.MODs:

Beweisen Sie: 
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Ich finde, dass man diesen Beweis nicht führen kann! Mit dem schwachen Außenwinkelsatz ist dieser nicht möglich, da ich hierbei die Innenwinkelsumme haben MUSS. Das kann ich beweisen:

Wir gehen von folgendem "Beweis" aus. Dieser wird klassischerweise o.B.d.A. geführt (was schonmal den ersten Fehler in den Beweis bringt):

Voraussetzung: <math>\overline{ABC}</math> , <math>\alpha \beta \gamma</math>
Behauptung: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180. Mögen dies o. B. d. A. <math>\alpha und \beta</math> sein.

{| class="wikitable"
|-
| 1 || Beta und Beta' sind Nebenwinkel, daraus folgt: <math>\beta + \beta ' = 180</math> || Außenwinkel Def., Nebenwinkel Def. supplementär, Suppl.Axiom
|-
| 2 || <math>\alpha < \beta '</math> || Schwacher Außenwinkelsatz, (1)
|-
| 3 || <math>\beta ' = 180 - \beta</math> || Rechnen in R, (1)
|-
| 4 || <math>180 - \beta > \alpha \Rightarrow \alpha +\beta < 180</math> || Rechnen in R, 2, 3
|}

Und jetzt? q. e. d.? Von wegen. Dies muss ich noch für alle anderen machen, denn ansonsten ist sowas auch möglich:

[[Bild:Dreieck2.jpg]]

Jetzt habe ich somit als Ergebnis:
{| class="wikitable"
|-
| <math>\alpha + \beta < 180</math>
|-
| <math>\alpha + \gamma < 180</math>
|-
| <math>\beta + \gamma < 180</math>
|}

Insofern darf kein Dreieck die Innenwinkelsumme von 180 haben, was heißt, dass es kein Dreieck gibt - das kann die absolute Geometrie aber nicht wollen :-), das ist schlichtweg falsch.

Ergo: Einerseits zeigt der Beweis auf, dass entweder das vorkommen kann, was ich in der obigen Graphik eingeblendet habe, oder er zeigt an, dass die Innenwinkelsumme kleiner als 180 ist. Beides falsch - dass er Nebenbei auch noch aufzeigt, dass die Innenwinkelsumme von zwei Winkel jeweils kleiner ist als 180 ist schon klar, aber die "Kollateralschäden" die das Korrolar mit sich bringt sind doch aus meiner Sicht enorm. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:09, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ich denke es geht mit dem Schw. Außenwinkelsatz. 
 
Vor: Dreieck ABC 
Beh: o.B.d.A <math>\alpha +\beta < 180°</math> 
 
Bew. durch Wiederspruch 
<math>\alpha +\beta = 180°</math> 
 
1. <math>\alpha +\beta = 180°</math>........Ann. 
2.<math>\alpha +\gamma = 180°</math>.........Neb. sind Supplimentär 
3.<math>\beta =180°- \alpha</math>..........1, rechnen/ umstellen in R 
4.<math>\gamma =180°- \alpha</math>.........2, rechnen/umstellen in R 
5.<math>\beta =\gamma</math>....................3,4, Wiederspruch zum schw. Außenwinkelsatz 
q.e.d 
 
Bild folgt 
--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 23:18, 17. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.7 (SoSe 11)

2011-07-17T21:18:21Z

Eng.MODs:

Beweisen Sie: 
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Ich finde, dass man diesen Beweis nicht führen kann! Mit dem schwachen Außenwinkelsatz ist dieser nicht möglich, da ich hierbei die Innenwinkelsumme haben MUSS. Das kann ich beweisen:

Wir gehen von folgendem "Beweis" aus. Dieser wird klassischerweise o.B.d.A. geführt (was schonmal den ersten Fehler in den Beweis bringt):

Voraussetzung: <math>\overline{ABC}</math> , <math>\alpha \beta \gamma</math>
Behauptung: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180. Mögen dies o. B. d. A. <math>\alpha und \beta</math> sein.

{| class="wikitable"
|-
| 1 || Beta und Beta' sind Nebenwinkel, daraus folgt: <math>\beta + \beta ' = 180</math> || Außenwinkel Def., Nebenwinkel Def. supplementär, Suppl.Axiom
|-
| 2 || <math>\alpha < \beta '</math> || Schwacher Außenwinkelsatz, (1)
|-
| 3 || <math>\beta ' = 180 - \beta</math> || Rechnen in R, (1)
|-
| 4 || <math>180 - \beta > \alpha \Rightarrow \alpha +\beta < 180</math> || Rechnen in R, 2, 3
|}

Und jetzt? q. e. d.? Von wegen. Dies muss ich noch für alle anderen machen, denn ansonsten ist sowas auch möglich:

[[Bild:Dreieck2.jpg]]

Jetzt habe ich somit als Ergebnis:
{| class="wikitable"
|-
| <math>\alpha + \beta < 180</math>
|-
| <math>\alpha + \gamma < 180</math>
|-
| <math>\beta + \gamma < 180</math>
|}

Insofern darf kein Dreieck die Innenwinkelsumme von 180 haben, was heißt, dass es kein Dreieck gibt - das kann die absolute Geometrie aber nicht wollen :-), das ist schlichtweg falsch.

Ergo: Einerseits zeigt der Beweis auf, dass entweder das vorkommen kann, was ich in der obigen Graphik eingeblendet habe, oder er zeigt an, dass die Innenwinkelsumme kleiner als 180 ist. Beides falsch - dass er Nebenbei auch noch aufzeigt, dass die Innenwinkelsumme von zwei Winkel jeweils kleiner ist als 180 ist schon klar, aber die "Kollateralschäden" die das Korrolar mit sich bringt sind doch aus meiner Sicht enorm. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:09, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ich denke es geht mit dem Schw. Außenwinkelsatz. 
 
Vor: Dreieck ABC 
Beh: o.B.d.A <math>\alpha +\beta < 180°</math> 
 
Bew. durch Wiederspruch 
<math>\alpha +\beta = 180°</math> 
 
1. <math>\alpha +\beta = 180°</math>........Ann. 
2.<math>\alpha +\gamma = 180°</math>.........Neb. sind Supplimentär 
3.<math>\beta =180°- \alpha</math>..........1, rechnen/ umstellen in R 
4.<math>\gamma =180°- \alpha</math>.........2, rechnen/umstellen in R 
5.<math>\beta =\gamma</math>....................3,4, Wiederspruch zum schw. Außenwinkelsatz 
q.e.d 
 
Bild folgt

Lösung von Aufg. 13.4 (SoSe 11)

2011-07-17T18:06:37Z

Eng.MODs: /* Beweisdarstellung 1 */

Datei:Eng.MODs Beweis Umkehrung Basiswinkelsatz.jpg

2011-07-17T18:04:52Z

Eng.MODs: hat eine neue Version von „Datei:Eng.MODs Beweis Umkehrung Basiswinkelsatz.jpg“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lize

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Unk. Basiswinkelsatz
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = [[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]]
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Datei:Eng.MODs Beweis Umkehrung Basiswinkelsatz.jpg

2011-07-17T18:04:41Z

Datei:Eng.MODs Dreieck.JPG

2011-07-17T18:03:39Z

Eng.MODs: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Datei:Eng.MODs Beweis Umkehrung Basiswinkelsatz.jpg

2011-07-17T18:02:38Z

Eng.MODs: hat eine neue Version von „Datei:Eng.MODs Beweis Umkehrung Basiswinkelsatz.jpg“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = Unk. Basiswinkelsatz |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerku

Datei:Eng.MODs Beweis Umkehrung Basiswinkelsatz.jpg

2011-07-17T18:02:27Z

Eng.MODs: {{Information |Beschreibung = Unk. Basiswinkelsatz |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 11)

2011-04-20T17:07:43Z

Eng.MODs:

Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck'' 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten einen Kreis berühren. Oder: Jedes Viereck mit einem Inkreis ist ein Tangentenviereck. Jeder Punkt des Kreises liegt dabei im Inneren des Vierecks, wobei das Innere als die Schnittmenge aller Ebenen definiert sein soll. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:31, 18. Apr. 2011 (CEST) 
Wie ist "Schnittmenge aller Ebenen" an dieser Stelle zu verstehen? Was passiert, wenn man zwei Ebenen, die nicht identisch sind, schneidet? Was würde passieren, wenn man alle Ebenen des Raumes mit einander schneiden würde? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:55, 20. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ein Tangentenviereck, ist ein Viereck mit einem beliebigen Punkt R.
Dieser Punkt R ist Anfangspunk von genau 4 gleichlangen Strecken, dabei berührt jede dieser Strecke im Endpunkt genau eine Seite.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:59, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 11)

2011-04-20T17:05:30Z

Eng.MODs:

Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck'' 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten einen Kreis berühren. Oder: Jedes Viereck mit einem Inkreis ist ein Tangentenviereck. Jeder Punkt des Kreises liegt dabei im Inneren des Vierecks, wobei das Innere als die Schnittmenge aller Ebenen definiert sein soll. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:31, 18. Apr. 2011 (CEST) 
Wie ist "Schnittmenge aller Ebenen" an dieser Stelle zu verstehen? Was passiert, wenn man zwei Ebenen, die nicht identisch sind, schneidet? Was würde passieren, wenn man alle Ebenen des Raumes mit einander schneiden würde? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:55, 20. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ein Tangentenviereck, ist ein Viereck mit einem beliebigen Punkt R.
Diesem Punkt R ist Anfangspunk von genau 4 gleichlangen Strecken, dabei berühren jede dieser Strecke im Endpunkt genau eine Seite.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:59, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 11)

2011-04-20T16:59:35Z

Eng.MODs:

Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck'' 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten einen Kreis berühren. Oder: Jedes Viereck mit einem Inkreis ist ein Tangentenviereck. Jeder Punkt des Kreises liegt dabei im Inneren des Vierecks, wobei das Innere als die Schnittmenge aller Ebenen definiert sein soll. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:31, 18. Apr. 2011 (CEST) 
Wie ist "Schnittmenge aller Ebenen" an dieser Stelle zu verstehen? Was passiert, wenn man zwei Ebenen, die nicht identisch sind, schneidet? Was würde passieren, wenn man alle Ebenen des Raumes mit einander schneiden würde? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:55, 20. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ein Tangentenviereck, ist ein Viereck mit einem beliebigen Punkt R.
Von diesem Punkt R gibt es genau 4 gleichlange Strecken, die jeweils eine Gerade berühren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:59, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 11)

2011-04-20T16:41:31Z

Eng.MODs:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

2.3

[[Category:Einführung_Geometrie]]
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, welches zwei Paralelle Seiten hat, und die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:40, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 11)

2011-04-20T16:40:36Z

Eng.MODs:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

2.3

[[Category:Einführung_Geometrie]]
Ein Trapez ist ein Viereck, welches zwei Paralelle Seiten hat, und die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:40, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 11)

2011-04-20T16:40:24Z

Eng.MODs:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]
Ein Trapez ist ein Viereck, welches zwei Paralelle Seiten hat, und die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:40, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 11)

2011-04-20T16:40:11Z

Eng.MODs:

Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]
Ein Trapez ist ein Viereck, welches zwei Paralelle Seiten hat, und die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:40, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe 11)

2011-04-20T16:15:05Z

Eng.MODs:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
3. Soll nun Raute der Oberbegriff sein? 
4. Aus geometrischer Sicht würde wohl auch ein Quadrat Sinn machen, aber aus praktischer Sich nicht. Das Quadrat steht am Ende vom Haus der Vierecke. Hoffe, das war so gemeint?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:17, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren. 
3. Wenn ein Parallelogramm vier gleichlange Seiten hat, dann ist es eine Raute. 
4. Die Raute ist ja ein Drachen, mit der Besonderheit dass sie 4 gleich lange Seiten hat. Steht im Haus der Vierecke also genau über der Raute. Wenn jetzt ein Wagenheber nur jeweils zwei gleichlange Seiten hätte, also ein Drachen wäre, dann würde es vielleicht aus geometrischer Sicht Sinn machen. ?

--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 18:15, 20. Apr. 2011 (CEST)schreibt

4.Aufgabe war doch...
Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen '''( funktionierenden Scherenwagenheber aus rein geometrischer Sicht)'''
Betrachen wir also nur die'''rein geometrischer Sicht''',nicht die Technische oder Physikalische, so funktioniert dieses Wagenherberviereck mit einem Drachen, Raute und auch mit einem Parallelogramm.
Da das Parallelogramm auch diese Möglichkeit bereit hält,
kann ich das Wagenheberviereck nicht im Haus der Vierecke einordnen.
Def. Ein Wagenheberviereck ist ein Viereck bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen oder jeweils 2 Seiten ein paar ergeben, die parallel zueinander sind."Wenn das Parallelogramm mit reinkommt sollte"

Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe 11)

2011-04-20T15:54:59Z

Eng.MODs:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
3. Soll nun Raute der Oberbegriff sein? 
4. Aus geometrischer Sicht würde wohl auch ein Quadrat Sinn machen, aber aus praktischer Sich nicht. Das Quadrat steht am Ende vom Haus der Vierecke. Hoffe, das war so gemeint?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:17, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren. 
3. Wenn ein Parallelogramm vier gleichlange Seiten hat, dann ist es eine Raute. 
4. Die Raute ist ja ein Drachen, mit der Besonderheit dass sie 4 gleich lange Seiten hat. Steht im Haus der Vierecke also genau über der Raute. Wenn jetzt ein Wagenheber nur jeweils zwei gleichlange Seiten hätte, also ein Drachen wäre, dann würde es vielleicht aus geometrischer Sicht Sinn machen. ?

4.
Aufgabe war doch...
Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen '''( funktionierenden Scherenwagenheber aus rein geometrischer Sicht)'''
Betrachen wir also nur die'''rein geometrischer Sicht''',nicht die Technische oder Physikalische, so funktioniert dieses Wagenherberviereck mit einem Drachen, Raute und auch mit einem Parallelogramm.
Da das Parallelogramm auch diese Möglichkeit bereit hält,
kann ich das Wagenheberviereck nicht im Haus der Vierecke einordnen.
Def. Ein Wagenheberviereck ist ein Viereck bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen oder jeweils 2 Seiten ein paar ergeben, die parallel zueinander sind."Wenn das Parallelogramm mit reinkommt sollte"--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 17:43, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe 11)

2011-04-20T15:53:23Z

Eng.MODs:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
3. Soll nun Raute der Oberbegriff sein? 
4. Aus geometrischer Sicht würde wohl auch ein Quadrat Sinn machen, aber aus praktischer Sich nicht. Das Quadrat steht am Ende vom Haus der Vierecke. Hoffe, das war so gemeint?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:17, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren. 
3. Wenn ein Parallelogramm vier gleichlange Seiten hat, dann ist es eine Raute. 
4. Die Raute ist ja ein Drachen, mit der Besonderheit dass sie 4 gleich lange Seiten hat. Steht im Haus der Vierecke also genau über der Raute. Wenn jetzt ein Wagenheber nur jeweils zwei gleichlange Seiten hätte, also ein Drachen wäre, dann würde es vielleicht aus geometrischer Sicht Sinn machen. ?

4.
Aufgabe war doch...
Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen '''( funktionierenden Scherenwagenheber aus rein geometrischer Sicht)'''
Betrachen wir also nur die'''rein geometrischer Sicht''',nicht die Technische oder Physikalische, so funktioniert dieses Wagenherberviereck mit einem Drachen, Raute und auch mit einem Parallelogramm.
Da das Parallelogramm auch diese Möglichkeit bereit hält,
kann ich das Wagenheberviereck nicht im Haus der Vierecke einordnen.
Def. Ein Wagenheberviereck ist ein Viereck bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen oder "wenn das Parallelogramm mit reinkommt" jeweils 2 Seiten ein paar ergeben, die parallel zueinander sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 17:43, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe 11)

2011-04-20T15:51:06Z

Eng.MODs:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
3. Soll nun Raute der Oberbegriff sein? 
4. Aus geometrischer Sicht würde wohl auch ein Quadrat Sinn machen, aber aus praktischer Sich nicht. Das Quadrat steht am Ende vom Haus der Vierecke. Hoffe, das war so gemeint?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:17, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren. 
3. Wenn ein Parallelogramm vier gleichlange Seiten hat, dann ist es eine Raute. 
4. Die Raute ist ja ein Drachen, mit der Besonderheit dass sie 4 gleich lange Seiten hat. Steht im Haus der Vierecke also genau über der Raute. Wenn jetzt ein Wagenheber nur jeweils zwei gleichlange Seiten hätte, also ein Drachen wäre, dann würde es vielleicht aus geometrischer Sicht Sinn machen. ?

4.
Aufgabe war doch...
Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen '''( funktionierenden Scherenwagenheber aus rein geometrischer Sicht)'''
Betrachen wir also nur die'''rein geometrischer Sicht''',nicht die Technische, so funktioniert dieses mit einem Drachen, Raute und auch einem Parallelogramm.
Da das Parallelogramm auch diese möglichkeit bereit hält,
kann ich das Wagenheberviereck nicht im Haus der Vierecke einordnen.
Def. Ein Wagenheberviereck ist ein Viereck bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen oder "wenn das Parallelogramm mit reinkommt" jeweils 2 Seiten ein paar ergeben, die parallel zueinander sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 17:43, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe 11)

2011-04-20T15:45:48Z

Eng.MODs:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
3. Soll nun Raute der Oberbegriff sein? 
4. Aus geometrischer Sicht würde wohl auch ein Quadrat Sinn machen, aber aus praktischer Sich nicht. Das Quadrat steht am Ende vom Haus der Vierecke. Hoffe, das war so gemeint?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:17, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren. 
3. Wenn ein Parallelogramm vier gleichlange Seiten hat, dann ist es eine Raute. 
4. Die Raute ist ja ein Drachen, mit der Besonderheit dass sie 4 gleich lange Seiten hat. Steht im Haus der Vierecke also genau über der Raute. Wenn jetzt ein Wagenheber nur jeweils zwei gleichlange Seiten hätte, also ein Drachen wäre, dann würde es vielleicht aus geometrischer Sicht Sinn machen. ?

Aufgabe war doch...
Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen '''( funktionierenden Scherenwagenheber aus rein geometrischer Sicht)'''
Aus '''rein geometrischer Sicht''' funktioniert das mit einem Drachen, Raute und auch einem Parallelogramm.
Da das Parallelogramm auch diese möglichkeit bereit hält,
kann ich das Wagenheberviereck nicht im Haus der Vierecke einordnen.
Def. Ein Wagenheberviereck ist ein Viereck bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen oder "wenn das Parallelogramm mit reinkommt" jeweils 2 Seiten ein paar ergeben, die parallel zueinander sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 17:43, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe 11)

2011-04-20T15:44:21Z

Eng.MODs:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
3. Soll nun Raute der Oberbegriff sein? 
4. Aus geometrischer Sicht würde wohl auch ein Quadrat Sinn machen, aber aus praktischer Sich nicht. Das Quadrat steht am Ende vom Haus der Vierecke. Hoffe, das war so gemeint?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:17, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren. 
3. Wenn ein Parallelogramm vier gleichlange Seiten hat, dann ist es eine Raute. 
4. Die Raute ist ja ein Drachen, mit der Besonderheit dass sie 4 gleich lange Seiten hat. Steht im Haus der Vierecke also genau über der Raute. Wenn jetzt ein Wagenheber nur jeweils zwei gleichlange Seiten hätte, also ein Drachen wäre, dann würde es vielleicht aus geometrischer Sicht Sinn machen. ?

Aufgabe war doch...
Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen '''( funktionierenden Scherenwagenheber aus rein geometrischer Sicht)'''
Aus '''rein geometrischer Sicht''' funktioniert das mit einem Drachen, Raute und auch einem Parallelogramm.
Da das Parallelogramm auch diese möglichkeit bereit hält,
kann ich das Wagenheberviereck nicht im Haus der Vierecke einordnen.
Def. Ein Wagenheberviereck ist ein Viereck bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen oder "wenn das Parallelogramm mit reinkommt" jeweils 2 Seiten ein paar ergeben, welche parallel zueinander sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 17:43, 20. Apr. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.2 (SoSe 11)

2011-04-20T15:43:39Z

Eng.MODs: table+ table+

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. 
3. Soll nun Raute der Oberbegriff sein? 
4. Aus geometrischer Sicht würde wohl auch ein Quadrat Sinn machen, aber aus praktischer Sich nicht. Das Quadrat steht am Ende vom Haus der Vierecke. Hoffe, das war so gemeint?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:17, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

2. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren. 
3. Wenn ein Parallelogramm vier gleichlange Seiten hat, dann ist es eine Raute. 
4. Die Raute ist ja ein Drachen, mit der Besonderheit dass sie 4 gleich lange Seiten hat. Steht im Haus der Vierecke also genau über der Raute. Wenn jetzt ein Wagenheber nur jeweils zwei gleichlange Seiten hätte, also ein Drachen wäre, dann würde es vielleicht aus geometrischer Sicht Sinn machen. ?

Aufgabe war doch...
Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen '''( funktionierenden Scherenwagenheber aus rein geometrischer Sicht)'''
Aus geometrischer Sicht funktioniert das mit einem Drachen, Raute und auch einem Parallelogramm.
Da das Parallelogramm auch diese möglichkeit bereit hält,
kann ich das Wagenheberviereck nicht im Haus der Vierecke einordnen.
Def. Ein Wagenheberviereck ist ein Viereck bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen oder "wenn das Parallelogramm mit reinkommt" jeweils 2 Seiten ein paar ergeben, welche parallel zueinander sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 17:43, 20. Apr. 2011 (CEST)

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-15T07:19:19Z

Eng.MODs: /* Definition: Drachen */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:54, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez,bei dem die nicht parallelen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:59, 13. Apr. 2011 (CEST) 
wie sieht es denn aus mit: "Wenn die senkrechte Mittellinie der beiden parallelen Seiten eines Trapezes identisch sind und zugleich Symmetrieachse des Trapezes, dann ist das Trapez ein gleichschenkliches Trapez."? --[[Benutzer:HecklF|HecklF]] 22:48, 14. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST) statt 4 rechten Innenwinkeln nur 3 verwenden. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:52, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)
 steht schon gut da ! Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat und einen rechten Winkel besitzt, dann ist es ein Quadrat.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:53, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei <s>Stecken</s>Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)Die Änderung in "Diagonalen" müsste die Def. "richtig" werden lassen, oder?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:49, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck, bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen eine Diagonale wird halbiert halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Halbieren sich die Diagonalen bei einem Drachen gegenseitig oder wird hier eine bestimmte "Art der Drachen" beschrieben? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:15, 14. Apr. 2011 (CEST)
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen Diagonale ist, heißt Drachen.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:50, 13. Apr. 2011 (CEST)
ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symetrieachse ist --[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 18:32, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Viereck, bei dem jede Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen ist, heißt Raute.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:46, 13. Apr. 2011 (CEST)

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-13T08:15:48Z

Eng.MODs: /* Definition: gleichschenkliges Trapez */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren ... .
 

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==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST)
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST)
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist. Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)
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Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass ... (ergänzen Sie selbst entsprechend des Videos von Herrn Filler) ... , dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse.
 
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-13T08:11:46Z

Eng.MODs: /* Definition: gleichschenkliges Trapez */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren ... .
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
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Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST)
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist. Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass ... (ergänzen Sie selbst entsprechend des Videos von Herrn Filler) ... , dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse.
 
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-13T08:10:11Z

Eng.MODs: /* Definition: Drachen */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren ... .
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST)
Ein 4 Eck mit zwei paralellen Seiten heißt Trapez--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 09:56, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST)
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist. Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)
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Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass ... (ergänzen Sie selbst entsprechend des Videos von Herrn Filler) ... , dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse.
 
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-13T08:07:43Z

Eng.MODs: /* Definition: Rechteck */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren ... .
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST)
Ein 4 Eck mit zwei paralellen Seiten heißt Trapez--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 09:56, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST)
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist. Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 

<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAANLjT4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VlLk9o4ED5vfoXLh73Fo4dt7FpIiszkQVWy2arJ5rA3YQujHWOztpjA/PptPWwMnpkEhuyScDFqyS3p+7q/lmD4cr3InVte1aIsRi72kOvwIilTUWQjdyVnzyP35Ytnw4yXGZ9WzJmV1YLJkUs94ir7Srx49suwnpdfHJbrIZ8F/zJyZyyvuevUy4qztJ5zLnfsbLUWuWDV5uP0b57IetthnEyK5QpmkdUKbMkifS/qpnmhJ1zmQl6JW5HyysnLZOSGASwdvn3mlRQJy0euj4yFjFyy1wkmqnrnZSXuykKq4VvnM7A4Ti3uOCBClG14oTc65KskF6lghdqMXgcMcpwvIpVzmJCG4JKLbK4AIrHxlpRllV5vaskXzvovXpVqOYECemNbUahaNawLJgyQ7uq2tBt+e82lBFpqh635FrCsEulOY1K/KvOtaVmKQl6ypVxVmlNqTddyoyaAuSq14HGR5dzaCEA+58nNtFxfGxCocf1ps9Sv6AVNs8syLyun0vuBAfY5NU89Rq20HYX0GKRHWB/KaduPY6JH6OfUPPWoXBRmaXbnuNk1Rs00onaUQcEIodhuPmdTDtS6zqoQ8n3TgBC4sVvF5oXfV4sp5EA3CFqf+FQ+hxd74TO84VXBcxMkBXC7Kle1c6uC0cylF5LyRCygaTosJEzR9ScswFhTnlW8WbjJIAOY7kXdQNwzDy+aRag11LDWRIIUwH6k2ovKVAlZor6lTCqLSoOcLzjkiNTxoMOpxWXstoJQ6txustj2bxGG7ntjQ0cRy5dzBpYm/HO2gUzvbkf7+1Cmu5tkBYCldwAJt1QOFB1LzlOrbtLGsLMElzojOlhriGpnrd4bQDJvIKk9CuF4Z97Wg0z6qMTXE1PLrcHkK+i8+lnQiSONDvKC6DB0knKxYEXqFGwBM13zTNk1KkJpvsOQiiGHYQWWQWIlmw5mvFkfPaxr661Bk7m78iHnkKUFr2utcbKrZg9T0gHgIU7Q8YxsMaXewLeYEhzvfAYa4ucwIibRviY+sin+T2HG1EaZxALKZiJki2uuOJ4UEnSK67zvy88N50ul+x+LTxUralX/zZiOrD1A7ntY4yuhPJfVHsOsR+30cWrVfltKpkfyuqvgX8+1k/D6/F4+Nw3hitjIiwc4RO2nV/eO5PhhalrO93iZmszr03P5OD27KnfZV7lvgT70NfbqMTWPp6OPCaCPlYQrxEHMo4hsgQ6Mdvkeoh34ET5Gyv7QEOzDuY/j1SE4Xh1VLTAxpzH9PJeKAVkAER4EeEB8TAcxxdhkAQFKYm1A1Pcj8qRycimqJOd7JFyamL7qcZE8zgWch0TSYp2cv+Z8m16IjBe3WpNrx1kjS+MGmQmdu8ayxpo11Yet6Q53mIGwqMTaGTfjx82oMdyuAi+MaQi5NgiikCCgekztBGNf+42ULYCvxPOD+6UMwiwRM5EcJ2WJoV0pmroBNsvu8P/6kFx8fVQufhdJ82LUzSQU2UQKMAKswygOVS89/bnsykD6uodketi5LP2RzmVKuQhuVEuLlG8BRyG2qqXD3BRz34t9n5DWTM/5wPZYxL/5Oe4qSmAie5ULT3iVe/vTwEMNPBDo4Xe4zL0xovG2Jxr8MNHgP5JoBB61dzmMdj+xQZgA1qc65v8HV7n7Dre8x+i7Qwrqu+MuCed5ugWNCWOfohD5cUSgCDc/HqHAtH0UwICnZNfHSs7LrCxYru7Ve1y8M0nWp2R2wLV6dv5H3N2y3E+tjU09VYgJ9gaA+/Zzqkp8WJrMepxMDkmTyZnfAb89R6gX0TiKQkxQHIe+j5sUoVQ3SQQX9ehJFeiDqKreb02Th3Jj8itblvVvB7FhX/nfOengCljFUTwIUAQn/0E8IC2wUaDaOKCI+DE+fWm3yHZw3ME3O6zAZz9SgVc3Y7hkNdjCNQBheysY+EgbCCIRVAWrRhh7QDjFkU99HNIwPusfci+6fwbp/z/tH8Av/gVQSwcI3OJHRc8FAAAyHgAAUEsBAhQAFAAIAAgAA0uNPtziR0XPBQAAMh4AAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAAAJBgAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass ... (ergänzen Sie selbst entsprechend des Videos von Herrn Filler) ... , dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse.
 
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]