https://geometrie.idea-sketch.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Engel82Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2026-07-04T00:51:28ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.43.9https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.5&diff=6346Lösung von Aufg. 13.52011-02-09T12:38:33Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\triangle {AMP}</math><br /><br />
<u>Beh:</u> mab,mbc,mac schneiden sich in einem Punkt P<br /><br />
<br />
1) Für alle Punkte X der mab der Seite <math>\overline {AB}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{BX}</math>| <br /><br />
<br />
2)Für alle Punkte X der mac der Seite <math>\overline {AC}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{CX}</math>|<br /><br />
3) Für den Schnittpunkt P der mab und mac gilt:____________________________2), 1)<br /><br />
|<math>{AP}</math>|= |<math>{BP}</math>|=|<math>{CP}</math>|<br /><br />
4)|<math>{CP}</math>|=|<math>{BP}</math>|_____________________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
<math>P \in mbc</math><br /><br />
5) P ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten_________________3),4)<br /><br />
mab, mbc,mac. <br /><br />
6) P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks__________5) und Def. Umkreis<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:00, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<u>Eindeutigkeit</u>:<br /><br />
<u>Annahme</u>:<br /> <br />
Es gibt zwei Schnittpunkte P1 und P2 der drei Mittelsenkrechten mab, mbc,mac.<br />
Nach I/1 geht durch zwei Punkte genau eine Gerade. Daraus kann man sofort schlussfolgern, dass die Punkte A, B,C kollinear sind. Was wiederum ein Widerspruch zu Nichtkollinearität der Punkte A,B,C in der Voraussetzung ist.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:32, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Der Beweis ist noch nicht vollständig, es fehlt der Beweis der Eindeutigkeit und <br />dass der Punkt Mittelpunkt des Umkreises ist!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:03, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.5&diff=6344Lösung von Aufg. 13.52011-02-09T12:33:44Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\triangle {AMP}</math><br /><br />
<u>Beh:</u> mab,mbc,mac schneiden sich in einem Punkt P<br /><br />
<br />
1) Für alle Punkte X der mab der Seite <math>\overline {AB}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{BX}</math>| <br /><br />
<br />
2)Für alle Punkte X der mac der Seite <math>\overline {AC}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{CX}</math>|<br /><br />
3) Für den Schnittpunkt P der mab und mac gilt:____________________________2), 1)<br /><br />
|<math>{AP}</math>|= |<math>{BP}</math>|=|<math>{CP}</math>|<br /><br />
4)|<math>{CP}</math>|=|<math>{BP}</math>|_____________________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
<math>P \in mbc</math><br /><br />
5) P ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten_________________3),4)<br /><br />
mab, mbc,mac. <br /><br />
6) P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks__________5) und Def. Umkreis<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:00, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<u>Eindeutigkeit</u>:<br /><br />
<u>Annahme</u>:<br /> <br />
Es gibt zwei Schnittpunkte P1 und P2 der drei Mittelsenkrechten mab, mbc,mac.<br />
Nach I/1 geht durch zwei Punkte genau eine Gerade d.h zwei Mittelsenkrechten sind identisch. Daraus kann man sofort schlussfolgern, dass die Punkte A, B,C kollinear sind. Was wiederum ein Widerspruch zu Nichtkollinearität der Punkte A,B,C in der Voraussetzung ist.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:32, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Der Beweis ist noch nicht vollständig, es fehlt der Beweis der Eindeutigkeit und <br />dass der Punkt Mittelpunkt des Umkreises ist!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:03, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6327Lösung von Aufg. 14.22011-02-07T12:28:47Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot von M auf g.<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn eine Gerade g mit dem Kreis k den Berührpunkt A hat und senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br />
<br /><br />
zweiter Vorschlag: Wenn die Strecke vom Mittelpunkt M eines Kreises k zu einem Punkt A auf dem Kreis das Lot von M auf eine Gerade g ist, dann ist die Gerade g Tangente am Kreis k im Berührpunkt A.--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 14:36, 5. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
Vermutung für Teilaufgabe c) <br />
<br />
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k<br />
<br />
Beh: AM steht senkrecht auf CA <br />
<br />
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA<br />
<br />
(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />
<br />
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf t --> Satz aus Tutorium <br />
<br />
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2) <br />
<br />
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)<br />
<br />
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt! <br />
<br />
Wie gesagt nur eine Vermutung, die beim Lernen entstanden ist, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:35, 5. Feb. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
--> Was für ein Satz war das, was ihr im Tutorium gemacht habt!?<br />
<br />
<br />
<br />
Hört sich für mich schlüssig an.<br />
Und wie ist das?<br />
<br />
VSS: t ist Tangente an k; A ε k ^A ε t<br />
<br />
Beh: IαI = 90<br />
<br />
Annahme: B ε k ^ B ε t<br />
<br />
1) IAMI = IBMI_______________________Radien von k<br />
<br />
2) Dreieck ABM ist gleichschenklig___________1)<br />
<br />
3) I<MABI = I<ABMI = 90_______________Basiswinkelsatz, Radius steht senkrecht auf Tangente<br />
<br />
4) Widerspruch_______________________ Dreieck hat niemals zwei rechte Winkel</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.2&diff=6306Lösung von Aufg. 14.22011-02-05T12:02:51Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.<br />
<br />
b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
d) Umkehrung: <br /><br />
Wenn die Gerade g senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k im Berührungspunkt A.<br /><br />
<br />
Umkehrung gilt.<br />
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius <br />
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.1&diff=6305Lösung von Aufg. 14.12011-02-05T11:54:21Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Eine Gerade t, die einen Kreis K in genau einem Punkt B berührt (lat. tangere: berühren), heißt Tangente des Kreises K im Punkt B. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:03, 3. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k und eine Gerade g.<br /><br />
Eine Gerade g ist Tangente t des Kreises k, wenn t den Kreis k in genau einem Punkt berührt.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:51, 5. Feb. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._14.1&diff=6304Lösung von Aufg. 14.12011-02-05T11:51:17Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Eine Gerade t, die einen Kreis K in genau einem Punkt B berührt (lat. tangere: berühren), heißt Tangente des Kreises K im Punkt B. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:03, 3. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k und eine Gerade g.<br /><br />
Eine Gerade g ist Tangente t des Kreises k, wenn t den Kreis k in einem Punkt berührt.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:51, 5. Feb. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.5&diff=6303Lösung von Aufg. 13.52011-02-05T11:38:31Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\triangle {AMP}</math><br /><br />
<u>Beh:</u> mab,mbc,mac schneiden sich in einem Punkt P<br /><br />
<br />
1) Für alle Punkte X der mab der Seite <math>\overline {AB}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{BX}</math>| <br /><br />
<br />
2)Für alle Punkte X der mac der Seite <math>\overline {AC}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{CX}</math>|<br /><br />
3) Für den Schnittpunkt P der mab und mac gilt:____________________________2), 1)<br /><br />
|<math>{AP}</math>|= |<math>{BP}</math>|=|<math>{CP}</math>|<br /><br />
4)|<math>{CP}</math>|=|<math>{BP}</math>|_____________________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
<math>P \in mbc</math><br /><br />
5) P ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten_________________3),4)<br /><br />
mab, mbc,mac. <br /><br />
6) P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks__________5) und Def. Umkreis<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:00, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<u>Eindeutigkeit</u>:<br /><br />
<u>Annahme</u>:<br /> <br />
Es gibt zwei Schnittpunkte P1 und P2 der drei Mittelsenkrechten mab, mbc,mac.<br />
Nach I/1 geht durch zwei Punkte genau eine Gerade. Daraus kann man sofort schlussfolgern, dass die Punkte A, B,C kollinear sind. Was wiederum ein Widerspruch zu Nichtkollinearität der Punkte A,B,C in der Voraussetzung ist.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:32, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Der Beweis ist noch nicht vollständig, es fehlt der Beweis der Eindeutigkeit und <br />dass der Punkt Mittelpunkt des Umkreises ist!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:03, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.4&diff=6298Lösung von Aufg. 12.42011-02-04T16:42:42Z<p>Engel82: /* Aufgabe 12.4 */</p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.4 ==<br />
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.<br />
<br />
<u>Vor</u>: g, P: P kein Element der Geraden g <br /><br />
<u>Beh:</u> es existiert eine Gerade h, <math>P \in h</math>, g//h<br /><br />
<br />
1) Es existieren zwei Punkte A und B, die auf der Geraden g liegen____________Axiom I/1<br /><br />
2) Die Punkte P und C liegen nicht auf der Geraden g__________________________Vor.<br /><br />
3) Durch zwei Punkte A und P geht genau eine Gerade_____________I/1, 1) und 2)<br /><br />
4) An PA+ trägt man in der Halbebene PA,B+ einen Winkel der Größe____________Winkelkonstruktionsaxiom/ Winkelmaßaxiom<br /><br />
|<math>\angle {PAB}</math>| an.<br /><br />
5) Durch den nicht auf AP liegende Schenkel des ungetragenen Winkels, verläuft die Gerade PC, die wir h bezeichnen._____4)<br /><br />
6) h//g__________________nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:54, 19. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
<br />
*Wenn ich mich nicht irre sagt der Beweis nicht aus das die Gerade h durch den Punkt P laeuft.<br /><br /><br />
ja richtig, es müsste z. B. im Schritt 5 noch ein weiterer Punkt ''C'' auf dem konstruierten<br /> Strahl festgelegt werden und dann gesagt werden, dass wir die Gerade ''PC'' mit Gerade ''h''<br /> bezeichnen. Bei Schritt 4 sollte noch zusätzlich das Winkelmaßaxiom angeführt werden.<br />Ansonsten ist der Beweis aber OK!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:34, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Frage: Wo steht etwas davon, dass |<math>\angle {PAB}</math>|=90 ist? Beziehungsweise wie kommt man dann auf g||h?<br />
Der Winkel <math>\angle {PAB}</math> muss nicht das Maß 90 haben. Man muss nur sicherstellen,<br />dass dieser und der neu konstruierte Winkel das gleiche Maß haben. <br />Siehe Umkehrung des Stufenwinkelsatzes!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:34, 4. Feb. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.5&diff=6297Lösung von Aufg. 13.52011-02-04T16:33:21Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\triangle {AMP}</math><br /><br />
<u>Beh:</u> mab,mbc,mac schneiden sich in einem Punkt P<br /><br />
<br />
1) Für alle Punkte X der mab der Seite <math>\overline {AB}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{BX}</math>| <br /><br />
<br />
2)Für alle Punkte X der mac der Seite <math>\overline {AC}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{CX}</math>|<br /><br />
3) Für den Schnittpunkt P der mab und mac gilt:____________________________2), 1)<br /><br />
|<math>{AP}</math>|= |<math>{BP}</math>|=|<math>{CP}</math>|<br /><br />
4)|<math>{CP}</math>|=|<math>{BP}</math>|_____________________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
<math>P \in mbc</math><br /><br />
5) P ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten_________________3),4)<br /><br />
mab, mbc,mac. <br />
6) P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks__________5) und Def. Umkreis<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:00, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<u>Eindeutigkeit</u>:<br /><br />
<u>Annahme</u>:<br /> <br />
Es gibt zwei Schnittpunkte P1 und P2 der drei Mittelsenkrechten mab, mbc,mac.<br />
Nach I/1 geht durch zwei Punkte genau eine Gerade. Daraus kann man sofort schlussfolgern, dass die Punkte A, B,C kollinear sind. Was wiederum ein Widerspruch zu Nichtkollinearität der Punkte A,B,C in der Voraussetzung ist.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:32, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Der Beweis ist noch nicht vollständig, es fehlt der Beweis der Eindeutigkeit und <br />dass der Punkt Mittelpunkt des Umkreises ist!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:03, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.5&diff=6296Lösung von Aufg. 13.52011-02-04T16:32:55Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\triangle {AMP}</math><br /><br />
<u>Beh:</u> mab,mbc,mac schneiden sich in einem Punkt P<br /><br />
<br />
1) Für alle Punkte X der mab der Seite <math>\overline {AB}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{BX}</math>| <br /><br />
<br />
2)Für alle Punkte X der mac der Seite <math>\overline {AC}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{CX}</math>|<br /><br />
3) Für den Schnittpunkt P der mab und mac gilt:____________________________2), 1)<br /><br />
|<math>{AP}</math>|= |<math>{BP}</math>|=|<math>{CP}</math>|<br /><br />
4)|<math>{CP}</math>|=|<math>{BP}</math>|_____________________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
<math>P \in mbc</math><br /><br />
5) P ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten_________________3),4)<br /><br />
mab, mbc,mac. <br />
6) P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks__________5) und Def. Umkreis<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:00, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
Eindeutigkeit:<br /><br />
Annahme:<br /> <br />
Es gibt zwei Schnittpunkte P1 und P2 der drei Mittelsenkrechten mab, mbc,mac.<br />
Nach I/1 geht durch zwei Punkte genau eine Gerade. Daraus kann man sofort schlussfolgern, dass die Punkte A, B,C kollinear sind. Was wiederum ein Widerspruch zu Nichtkollinearität der Punkte A,B,C in der Voraussetzung ist.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:32, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
Der Beweis ist noch nicht vollständig, es fehlt der Beweis der Eindeutigkeit und <br />dass der Punkt Mittelpunkt des Umkreises ist!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:03, 4. Feb. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6262Lösung von Aufg. 13.32011-02-03T10:01:30Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh: </u>P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand.<br /><br />
( <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> )<br /><br />
<br />
1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
<br />
<u>Vor</u> P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand.<br /><br />
( <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> )<br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<br />
1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7)SP+ ist Winkelhalbierende ____________________6)<br /><br />
<math>P \in w</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
<br />
************Kannst du die Punkte A und B verwenden um die Winkel zu beschreiben und alles wenn du sie erst in Schritt 2 als Lotfußpunkte festlegst?--[[Benutzer:Einfach ich|Einfach ich]] 10:47, 2. Feb. 2011 (UTC)<br />
Wenn man es ganz genau nimmt, müsste man in die Behauptung folgendes schreiben:<br />
P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand. Und in Schritt zwei werden dann die Lotfußpunkte festgelegt. Aber man kann sich ja auf die Skizze berufen. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:59, 3. Feb. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6261Lösung von Aufg. 13.32011-02-03T10:01:11Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u>P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand.<br /><br />
( <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> )<br /><br />
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1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
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<u>Vor</u>P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand.<br /><br />
( <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> )<br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
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1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7)SP+ ist Winkelhalbierende ____________________6)<br /><br />
<math>P \in w</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
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*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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<br />
************Kannst du die Punkte A und B verwenden um die Winkel zu beschreiben und alles wenn du sie erst in Schritt 2 als Lotfußpunkte festlegst?--[[Benutzer:Einfach ich|Einfach ich]] 10:47, 2. Feb. 2011 (UTC)<br />
Wenn man es ganz genau nimmt, müsste man in die Behauptung folgendes schreiben:<br />
P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand. Und in Schritt zwei werden dann die Lotfußpunkte festgelegt. Aber man kann sich ja auf die Skizze berufen. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:59, 3. Feb. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6260Lösung von Aufg. 13.32011-02-03T09:59:50Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
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<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u>P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand.<br /><br />
( <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> )<br /><br />
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1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
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<u>Vor</u>:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
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1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7)SP+ ist Winkelhalbierende ____________________6)<br /><br />
<math>P \in w</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
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*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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************Kannst du die Punkte A und B verwenden um die Winkel zu beschreiben und alles wenn du sie erst in Schritt 2 als Lotfußpunkte festlegst?--[[Benutzer:Einfach ich|Einfach ich]] 10:47, 2. Feb. 2011 (UTC)<br />
Wenn man es ganz genau nimmt, müsste man in die Behauptung folgendes schreiben:<br />
P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand. Und in Schritt zwei werden dann die Lotfußpunkte festgelegt. Aber man kann sich ja auf die Skizze berufen. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:59, 3. Feb. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6259Lösung von Aufg. 13.32011-02-03T09:58:25Z<p>Engel82: </p>
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<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
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<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u>P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand.<br /><br />
( <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> )<br /><br />
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1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
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<u>Vor</u>:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
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1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7)SP+ ist Winkelhalbierende ____________________6)<br /><br />
<math>P \in w</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
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*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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************Kannst du die Punkte A und B verwenden um die Winkel zu beschreiben und alles wenn du sie erst in Schritt 2 als Lotfußpunkte festlegst?--[[Benutzer:Einfach ich|Einfach ich]] 10:47, 2. Feb. 2011 (UTC)<br />
Wenn man es ganz genau nimmt, müsste man in die Behauptung folgendes schreiben:<br />
P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand. Und in Schritt zwei werden dann die Lotfußpunkte festgelegt.</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6258Lösung von Aufg. 13.32011-02-03T09:58:05Z<p>Engel82: </p>
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<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
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<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u>P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand.<br /><br />
( <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br />)<br />
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1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
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<u>Vor</u>:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
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1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7)SP+ ist Winkelhalbierende ____________________6)<br /><br />
<math>P \in w</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
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*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
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************Kannst du die Punkte A und B verwenden um die Winkel zu beschreiben und alles wenn du sie erst in Schritt 2 als Lotfußpunkte festlegst?--[[Benutzer:Einfach ich|Einfach ich]] 10:47, 2. Feb. 2011 (UTC)<br />
Wenn man es ganz genau nimmt, müsste man in die Behauptung folgendes schreiben:<br />
P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand. Und in Schritt zwei werden dann die Lotfußpunkte festgelegt.</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6257Lösung von Aufg. 13.32011-02-03T09:57:24Z<p>Engel82: </p>
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<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
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<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u>P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand. Und in Schritt zwei werden dann die Lotfußpunkte festgelegt( <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br />)<br />
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1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
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<u>Vor</u>:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
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1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7)SP+ ist Winkelhalbierende ____________________6)<br /><br />
<math>P \in w</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
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*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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************Kannst du die Punkte A und B verwenden um die Winkel zu beschreiben und alles wenn du sie erst in Schritt 2 als Lotfußpunkte festlegst?--[[Benutzer:Einfach ich|Einfach ich]] 10:47, 2. Feb. 2011 (UTC)<br />
Wenn man es ganz genau nimmt, müsste man in die Behauptung folgendes schreiben:<br />
P hat sowohl zum Strahl p als auch zum Strahl q ein und denselben Abstand. Und in Schritt zwei werden dann die Lotfußpunkte festgelegt.</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6253Lösung von Aufg. 13.32011-02-01T12:03:31Z<p>Engel82: </p>
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<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
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<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
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2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
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2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7)SP+ ist Winkelhalbierende ____________________6)<br /><br />
<math>P \in w</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
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*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6252Lösung von Aufg. 13.32011-02-01T12:02:59Z<p>Engel82: </p>
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<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
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<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u> <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
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1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math>= <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
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1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
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3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7)SP+ ist Winkelhalbierende ____________________6)<br />
<math>P \in w</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6251Lösung von Aufg. 13.32011-02-01T12:00:55Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u> <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<br />
1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math>= <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<br />
1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7) <math>P \in w</math>, ____________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6250Lösung von Aufg. 13.32011-02-01T12:00:26Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u> <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<br />
1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />.A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math>= <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<br />
1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br />. A und B sind Lotfußpunkte.<br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4),Korollar 1 und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7) <math>P \in w</math>, ____________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Peripheriewinkelsatz_und_Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz_(WS10/11&diff=6242Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/112011-01-30T13:23:11Z<p>Engel82: /* Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) */</p>
<hr />
<div>==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>.<br /><br />
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k, M der Mittelpunkt von k und die Punkte <math>A,B \in k</math>.<br /><br />
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in M liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:20, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==<br />
Um welchen Spezialfall handelt es sich?<br /><br />
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?<br />
<br />
{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}<br />
<br />
== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==<br />
ergänzen Sie:<br />
Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:22, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===<br />
<br />
== Der Peripheriewinkelsatz ==<br />
<br />
=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===<br />
ergänzen Sie:<br />
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:23, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Peripheriewinkelsatz_und_Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz_(WS10/11&diff=6241Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/112011-01-30T13:22:15Z<p>Engel82: /* Der Zentri-Peripheriewinkelsatz */</p>
<hr />
<div>==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>.<br /><br />
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k, M der Mittelpunkt von k und die Punkte <math>A,B \in k</math>.<br /><br />
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in M liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:20, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==<br />
Um welchen Spezialfall handelt es sich?<br /><br />
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?<br />
<br />
{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}<br />
<br />
== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==<br />
ergänzen Sie:<br />
Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:22, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===<br />
<br />
== Der Peripheriewinkelsatz ==<br />
<br />
=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Peripheriewinkelsatz_und_Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz_(WS10/11&diff=6240Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/112011-01-30T13:20:39Z<p>Engel82: /* Definition XIX.2 (Zentriwinkel) */</p>
<hr />
<div>==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>.<br /><br />
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k, M der Mittelpunkt von k und die Punkte <math>A,B \in k</math>.<br /><br />
Ein Zentriwinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in M liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:20, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==<br />
Um welchen Spezialfall handelt es sich?<br /><br />
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?<br />
<br />
{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}<br />
<br />
== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) === <br />
<br />
== Der Peripheriewinkelsatz ==<br />
<br />
=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Peripheriewinkelsatz_und_Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz_(WS10/11&diff=6239Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/112011-01-30T13:18:30Z<p>Engel82: /* Definition XIX.1 (Peripheriewinkel) */</p>
<hr />
<div>==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
<br />
Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>.<br /><br />
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />
==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==<br />
Um welchen Spezialfall handelt es sich?<br /><br />
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?<br />
<br />
{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}<br />
<br />
== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) === <br />
<br />
== Der Peripheriewinkelsatz ==<br />
<br />
=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Peripheriewinkelsatz_und_Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz_(WS10/11&diff=6238Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/112011-01-30T13:18:12Z<p>Engel82: /* Definition XIX.1 (Peripheriewinkel) */</p>
<hr />
<div>==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>.<br /><br />
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />
==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==<br />
Um welchen Spezialfall handelt es sich?<br /><br />
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?<br />
<br />
{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}<br />
<br />
== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) === <br />
<br />
== Der Peripheriewinkelsatz ==<br />
<br />
=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Peripheriewinkelsatz_und_Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz_(WS10/11&diff=6237Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (WS10/112011-01-30T13:17:53Z<p>Engel82: /* Definition XIX.1 (Peripheriewinkel) */</p>
<hr />
<div>==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
Gegeben sei ein Kreis k und die Punkte <math>A,B,C \in k</math>.<br />
Ein Peripheriewinkel ist ein Winkel, dessen Scheitel in C liegt und dessen Schenkel durch A und B verlaufen.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)== <br />
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff:<br /><br />
<br />
<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
<br />
==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==<br />
Um welchen Spezialfall handelt es sich?<br /><br />
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?<br />
<br />
{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}<br />
<br />
== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) === <br />
<br />
== Der Peripheriewinkelsatz ==<br />
<br />
=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===<br />
ergänzen Sie:<br />
<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Sehnenvierecke_und_der_Satz_%C3%BCber_die_gegen%C3%BCberliegenden_Winkel_im_Sehnenviereck_(WS10/11)&diff=6235Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)2011-01-30T13:13:42Z<p>Engel82: /* Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) */</p>
<hr />
<div>== Begriff des Sehnenvierecks ==<br />
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====<br />
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .<br />
<br />
===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.<br />
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.<br />
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.<br />
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn <br />
<math>A \in k</math> gilt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====<br />
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.<br />
<br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
=== Die Satzfindung ===<br />
==== sehr speziell: Quadrate ====<br />
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.<br /><br /><br />
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]<br />
<br />
==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====<br />
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.<br />
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====<br />
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== allgemeines Sehnenviereck ====<br />
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?<br />
<br />
<br />
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== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Sehnenvierecke_und_der_Satz_%C3%BCber_die_gegen%C3%BCberliegenden_Winkel_im_Sehnenviereck_(WS10/11)&diff=6234Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)2011-01-30T13:12:58Z<p>Engel82: /* Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) */</p>
<hr />
<div>== Begriff des Sehnenvierecks ==<br />
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====<br />
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .<br />
<br />
===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.<br />
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.<br />
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.<br />
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn <br />
<math>A \in k</math> ist--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====<br />
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.<br />
<br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
=== Die Satzfindung ===<br />
==== sehr speziell: Quadrate ====<br />
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.<br /><br /><br />
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]<br />
<br />
==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====<br />
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.<br />
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====<br />
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== allgemeines Sehnenviereck ====<br />
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?<br />
<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Sehnenvierecke_und_der_Satz_%C3%BCber_die_gegen%C3%BCberliegenden_Winkel_im_Sehnenviereck_(WS10/11)&diff=6233Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)2011-01-30T13:12:34Z<p>Engel82: /* Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) */</p>
<hr />
<div>== Begriff des Sehnenvierecks ==<br />
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====<br />
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .<br />
<br />
===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.<br />
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.<br />
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.<br />
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn <br />
<math>A \in k</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====<br />
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.<br />
<br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
=== Die Satzfindung ===<br />
==== sehr speziell: Quadrate ====<br />
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.<br /><br /><br />
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]<br />
<br />
==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====<br />
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.<br />
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====<br />
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== allgemeines Sehnenviereck ====<br />
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?<br />
<br />
<br />
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== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Sehnenvierecke_und_der_Satz_%C3%BCber_die_gegen%C3%BCberliegenden_Winkel_im_Sehnenviereck_(WS10/11)&diff=6232Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)2011-01-30T13:05:58Z<p>Engel82: /* Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) */</p>
<hr />
<div>== Begriff des Sehnenvierecks ==<br />
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====<br />
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .<br />
<br />
===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.<br />
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.<br />
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.<br />
<br />
===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====<br />
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.<br />
<br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
=== Die Satzfindung ===<br />
==== sehr speziell: Quadrate ====<br />
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.<br /><br /><br />
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]<br />
<br />
==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====<br />
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.<br />
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====<br />
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== allgemeines Sehnenviereck ====<br />
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?<br />
<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Sehnenvierecke_und_der_Satz_%C3%BCber_die_gegen%C3%BCberliegenden_Winkel_im_Sehnenviereck_(WS10/11)&diff=6231Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)2011-01-30T13:02:47Z<p>Engel82: /* Definition XVIII.1: (Kreissehne) */</p>
<hr />
<div>== Begriff des Sehnenvierecks ==<br />
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====<br />
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .<br />
<br />
===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.<br />
<br />
===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.<br />
<br />
===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====<br />
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.<br />
<br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
=== Die Satzfindung ===<br />
==== sehr speziell: Quadrate ====<br />
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.<br /><br /><br />
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]<br />
<br />
==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====<br />
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.<br />
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====<br />
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAJGx9TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1VrbbtvGFn1uv4LgQ9GiNT1XcohaKWT7JUDcFHVOcNALCoocSVNTpEqOHMkH56OK/sf5prNnhpQlSpYtxU7sPITi3Getvfbs2ebJD/NJ7l3LqlZl0fNxgHxPFmmZqWLU82d6eCT8H159eTKS5UgOqsQbltUk0T2fBsQ35TP16ssvTupx+cFLctvkvZIfev4wyWvpe/W0kklWj6XUa+XJbK5ylVSLt4M/Zarr2wo3yOtiOoNZdDWDsnSSvVF1+3psJ5zmSp+ra5XJysvLtOeHHJYOv97LSqs0yXs+Q66E9HzSqYQiamrHZaVuykKb5reDD6HE82p1I6EnMmUnx3ajJ3KW5ipTSWE2Y9cBjTzvg8r0GCbEMQwp1WiszeyxGy0tyyq7XNRaTrz5L7Iqe/4RDgPOIkJxTDkKo5BHvrdwdXEcMIwjRuKQccoxBhBhxbAUGgcEhSyKMOyVYMShz51Vdmp5fSm1BiprL5nLW5BHlcrWXl7Xp2V+WzQtVaHPkqmeVdYOaFN0qRdmNgCuMpvsF6NcNmUEaBrL9GpQzi8tcJi6od8tpraLXdBgdFbmZeVVhhJY/6h5DtzTtjErXbZCtg2yLZoxzKDLehwT28I+B+5pW+WqcEtrdo7bXWPUTqNqzxTA4MZ8l5vPk4EEc/C9WaH0m/YFzOaq2Sp2HX6cTQagm1XDWY6JH2vMk+OOyZ1cyaqQuTOsAridlbPauzYG7OayC8lkqibw6ipwszpD179gAa40k6NKtgt3qnOA2Vq0aryd4pPjdhFmDTWsNdXgPmA/2uzFqFuDsnr+JBgFvpcl2pQa+eRyIkFb2tqENaklNhf+0pGU1ie06m/qb1GG6q32YS0pyafjBEqCZgN5sgAPsbolO97b4bCW2puDFkGzCzBxulJ7UWbrMCQFwGn3CDKemuENYVMps8Zn6sbKvSlMaDWzwoYFsTaThaYtzHZEzY8b19m2cfoy3sTOSxvyHWD3QHf6B94Eb93yVlbzGPA9GUBxAxDaF5+0nEySIvOKZALznKkqzaUFRZmTxEuQsTAvwQ4tB8RMt1WpG64ZZANusHKVLrFM/XUHo8eg40LWtfWCetXf3W3ODyAEHU7HgxYHB5UsrmFpZVV73hw1TC1QC39bMgfUjmzRAjdFN3iFG2C+UnOv37bvt6365ugNg3jtXwjltJmiz2BkK4o+NzFFu7K/Crf62nlHMKRUDVW6m/SfrCjWOU83qO7vpnpdWf2DnBIm7mizz8MdEyNWCoR9CuHRAPOY4AhHIsaYsZA3OsQQgggSCYEQJSI0Wzlcl2/ALjsM9Z0q5304OzfISnaTZcx8yUVyoCz3dpQfoctbvFHj6HDj6I62Ib2HljuKURMIkFOld9PxutAQbQAKG6qxnCTwMApud7lCzOk+Kjo9SEUhs5ibx8A99pYQcRhT/DBORCAYigQREEELwTl9Cgm8rSA2GpVFkm8Rw2kLfBfvwR5CGLwoIRzhzpG/ycJTy2AnJf27KMn2oCR72ZRsORyempMtTFzsOinkHmzIF8VG96RYRklPiP6lHJny7VI43QB/uBv8uhltidzzD6A34edBKDAPechACBFGYXtsCy5izmLKEBIIi0fixuKbm4BteUhDkLd507+ScmpSLG+Ld1VS1CY959qsZBAOcXuN2IYbXI/2ENroRQntaAvFq06QBUjENKaCUxSSkD25Cu8Kz0Z3cXPmrrYPjcvODs4bHByb7YAfx9Tgj4kQcPojhl34xQKIuwhEAgwTKhiPHRkkIEZtArOQhhHlh4Ri56rWSZHeYfpnW/IEycD0yC7OdsNczCayWskY3HYz48HSZu0Cu7Fl+HA7xxspovm0Auszd8Fm3ndyrmFSD2p6/ld/zUr9/W/ltayMzf7HvXvfel//CGj8evH7N8vfsHX75pr81/vtO69n/lt2ud2Qd7yxew2z+p0lfFaJq/pN8k7+e90vwnp0UmmbNHAAXajM2s+vF995BoHdKbgux+Mutyhg97q2+5OaG4w/YNvLfO/hqYFdoskT3ZWM0YoVzdHX42/crfFi0zt9lUzL+vu9PFTT5fl6KeTyJEeYRgE3hTTixlER/nh+asvx3AJzx0Gg9jik1aMc0vtZ8scHw4IGDI4FuChC8IWpyZUB3JHAAY1iSmgMJDDRKuazpVCUEwPekkI530cI5582hbJLAEHMREw4pjFjEPGyyAmABSSEF4oxJwhTzD4mSfIwVLclpu45mTvu5fmgCn05RhETIeI8xvFToPpTmS8g3u9get6EOw5Tk4GiTZZ8Ddj3CoZNrxo/n1mHD+1T+wN6DOwPBsHO/UGoW0aL8nLkp7sVYpPLA844PvhQRbvDge4dN/vjM+3no12rCDAimMURwRCa0pi0tx+ORRzDrYjgEAz1Od9zd1OTvjhqwA0wjENwDHBJQCxEy6gjIEBWTBA44wiFjDVRRxxgwVkYQVtGEYvDl8vW4MWx1QppWz7hxlS/oIzRbm6SF8fNQ4UErNj0HqZBxCHOgaCSIMIivPF50XNia/24t59nbT/s++1h3z3l//f37rPbfkO0JA5ady69OBAUPI9gMeZg3pyL+8jfdXHAaN9L8Mqfz4lwN4Xtfz7f52aQVOltjCXawjwvP/wsh7mcW6A7zB1Ey9mdtPyzFy3/dGlhQQyeBkyfweU0BnY+Gyu8Edz2z60+JSvHq9+u2U88m29cX/0fUEsHCCkjpU3sBwAAFSsAAFBLAQIUABQACAAIAJGx9TwpI6VN7AcAABUrAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAJggAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== allgemeines Sehnenviereck ====<br />
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?<br />
<br />
<br />
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== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Sehnenvierecke_und_der_Satz_%C3%BCber_die_gegen%C3%BCberliegenden_Winkel_im_Sehnenviereck_(WS10/11)&diff=6230Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)2011-01-30T13:02:22Z<p>Engel82: /* Definition XVIII.1: (Kreissehne) */</p>
<hr />
<div>== Begriff des Sehnenvierecks ==<br />
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====<br />
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) .<br />
<br />
===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.<br />
<br />
===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====<br />
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.<br />
<br />
===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====<br />
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.<br />
<br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
=== Die Satzfindung ===<br />
==== sehr speziell: Quadrate ====<br />
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck.<br /><br /><br />
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]<br />
<br />
==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====<br />
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.<br />
<ggb_applet width="419" height="444" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====<br />
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
==== allgemeines Sehnenviereck ====<br />
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.<br />
<br />
Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?<br />
<br />
<br />
<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==<br />
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8NP7dcq1EGZpM8akfTZVN/0m2uaiaO9+vihro/x82n9cMUN09L2t0lO6tXzUTPwVb0t8UxVsSeTGSpuUfxkyf9RwcwcXd+q2WVuWZzfARZraWsSHjUn4bQ9CY8blAhv1qA0bXfYaX0mq6O+okGJjctG2JyxuaTYiRSsphNpae022U4kVY6HyKQepuyD38j+77Ty8+h/pH7n/1BLBwiiOmLODQ8AAMN6AABQSwECFAAUAAgACADbgPY8ojpizg0PAADDegAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAEcPAAAAAA==" 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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_Dreiecks_(WS10/11)&diff=6229Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (WS10/11)2011-01-30T12:52:59Z<p>Engel82: /* Winkelhalbierendenkriterium */</p>
<hr />
<div>== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==<br />
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====<br />
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.<br />
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====<br />
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.<br />
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====<br />
(das können Sie selbst:)<br /><br /><br />
<br />
Hat ein Punkt zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand, so ist er ein Punkt der Winkelhalbierenden des Winkels.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:26, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
===== Winkelhalbierendenkriterium=====<br />
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:)<br /><br /><br />
Genau dann wenn ein Punkt zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand hat, ist er ein Punkt der Winkelhalbierenden des Winkels.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:29, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
Eine Menge an Punkten M ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>, wenn jeder Punkt <math>P \in M</math> ein und denselben Abstand zu den Schenkeln des Winkels <math>\angle ASB</math> hat.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:52, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
Beweis siehe Übungsaufgabe<br /><br /><br />
<br />
===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====<br />
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.<br />
<br />
Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst:<br /><br />
<br />
== Inkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====<br />
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>. <br />
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====<br />
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!)<br /><br /><br />
<br />
...wenn sie eine Teilmenge der Tangente t des Kreises ist.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:38, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====<br />
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks. <br />
<br />
===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====<br />
...ergänzen Sie!<br /><br /><br />
<br />
Es gibt genau einen Inkreis des Dreiecks für den gilt, dass er alle Seiten des Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:34, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Inkreis_und_die_Winkelhalbierenden_eines_Dreiecks_(WS10/11)&diff=6228Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (WS10/11)2011-01-30T12:52:31Z<p>Engel82: /* Winkelhalbierendenkriterium */</p>
<hr />
<div>== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==<br />
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====<br />
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.<br />
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====<br />
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.<br />
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====<br />
(das können Sie selbst:)<br /><br /><br />
<br />
Hat ein Punkt zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand, so ist er ein Punkt der Winkelhalbierenden des Winkels.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:26, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
===== Winkelhalbierendenkriterium=====<br />
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:)<br /><br /><br />
Genau dann wenn ein Punkt zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand hat, ist er ein Punkt der Winkelhalbierenden des Winkels.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:29, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
Eine Menge an Punkten M ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>, wenn jeder Punkt <math>P \in M</math> ein und denselben Abstand zu en Schenkeln des Winkels <math>\angle ASB</math> hat.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:52, 30. Jan. 2011 (UTC)<br />
Beweis siehe Übungsaufgabe<br /><br /><br />
<br />
===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====<br />
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.<br />
<br />
Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst:<br /><br />
<br />
== Inkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====<br />
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>. <br />
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====<br />
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!)<br /><br /><br />
<br />
...wenn sie eine Teilmenge der Tangente t des Kreises ist.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:38, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====<br />
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks. <br />
<br />
===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====<br />
...ergänzen Sie!<br /><br /><br />
<br />
Es gibt genau einen Inkreis des Dreiecks für den gilt, dass er alle Seiten des Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:34, 29. Jan. 2011 (UTC)<br /><br /><br />
<br />
<br />
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.6&diff=6216Lösung von Aufg. 12.62011-01-29T15:19:01Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.6 ==<br />
Beweisen Sie den Stufenwinkelsatz.<br />
<br />
<u>Vor</u>: a//b<br /><br />
<u>Beh:</u> <math>\alpha </math> <math>\cong</math><math>\beta </math><br /><br />
<br />
<u>Annahme</u>: <math>\alpha </math> ist nicht kongruent zu <math>\beta </math><br /><br />
<br />
1) Es existiert genau eine Gerade h für die gilt:___________________________WInkelkonstruktionsaxiom<br /><br />
<math>\alpha1 </math> <math>\cong</math><math>\beta </math><br /><br />
2) h//b________________________Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und 1) <br /><br />
3) Die Gerade b hat zwei Parallelen a und h______________________ Vor. und 2) Widerspruch zum EPA<br /><br />
4) a=h___________________________3)<br /><br />
5) Annahme ist zu verwerfen<br /><br />
6) Behauptung stimmt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:57, 19. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
Musst du für diesen Beweis nicht erstmal die Umkehrung des Stufenwinkelsatz beweisen...das haben wir ja noch nicht gemacht?!<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
Andere Möglichkeit, könnte das gehen?<br />
<br />
Vor.: aIIb<br />
<br />
Beh.: IαI = IβI<br />
<br />
1) aIIb_____________________________Vor.<br />
<br />
2) IαI+IάI=180_______________________1), Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel<br />
<br />
3) IάI=Iβ’I___________________________Stufenwinkelsatz<br />
<br />
4) IβI+Iβ’I=180_______________________1), Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel<br />
<br />
5) IαI+I β’I=180______________________2),3),4)<br />
<br />
6) IαI=IβI___________________________5)<br />
<br />
7) Behauptung stimmt<br /><br /><br />
<br />
Du benutzt in deinem Beweis zum Stufenwinkelsatz ja bereits den Stufenwinkelsatz...<br /><br />
Ich würde das so machen:<br /><br />
Vor.: a||b und c schneidet a und b<br /><br />
Beh.: <math> |\alpha| </math> = <math> |\alpha_1| </math> <br /><br />
<br />
{| class="wikitable" <br />
|- <br />
| 1) <math> a \cap c = {S}</math> und <math> c \cap b = {B}</math> || Vor.<br />
|- <br />
| 2) <math> \overline {SL_b} </math> Lot von S auf b|| Definition Lot, 1)<br />
|- <br />
| 3) <math> \exists L_d </math> <math>\in SL_b^- </math> : <math> \overline {|SL_d|} </math> = <math> \overline {|SL_d|} </math> || Axiom vom Lineal, 2)<br />
|- <br />
| 4) <math> \exists d </math> : <math> d \|a </math> und <math> L_d </math> <math>\in d </math> und <math> d \cap c = {D}</math> || Euklidisches Parallelenaxiom, 3)<br />
|- <br />
| 5) <math> \overline {SL_d} </math> Lot von S auf d || Definition Lot, 4)<br />
|- <br />
| 6) <math> \angle BL_bS </math> <math> \cong </math> <math> \angle DL_dS </math> || 2), 5)<br />
|- <br />
| 7) <math> \angle L_bSB </math> <math> \cong </math> <math> \angle L_dSD </math> || Scheitelwinkelsatz, 1)<br />
|- <br />
| 8) <math> \overline {BL_bS} </math> <math> \cong </math> <math> \overline {DL_dS} </math>|| 3),6),7), SWS-Axiom<br />
|- <br />
| 9) <math> \angle SBL_b </math> <math> \cong </math> <math> \angle SDL_d </math> || 8), Definition Dreieckskongruenz<br />
|- <br />
| 10) <math> \angle \alpha_2 </math> <math> \cong </math> <math> \angle \alpha_1 </math> || 9), Wechselwinkelsatz<br />
|-<br />
| 11) <math> \angle \alpha_1 </math> <math> \cong </math> <math> \angle \alpha </math> || 9),10)<br />
|}<br />
--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 20:22, 25. Jan. 2011 (UTC)<br /></div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.5&diff=6215Lösung von Aufg. 13.52011-01-29T15:16:46Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\triangle {AMP}</math><br /><br />
<u>Beh:</u> mab,mbc,mac schneiden sich in einem Punkt P<br /><br />
<br />
1) Für alle Punkte X der mab der Seite <math>\overline {AB}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{BX}</math>| <br /><br />
<br />
2)Für alle Punkte X der mac der Seite <math>\overline {AC}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
|<math>{AX}</math>|=|<math>{CX}</math>|<br /><br />
3) Für den Schnittpunkt P der mab und mac gilt:____________________________2), 1)<br /><br />
|<math>{AP}</math>|= |<math>{BP}</math>|=|<math>{CP}</math>|<br /><br />
4)|<math>{CP}</math>|=|<math>{BP}</math>|_____________________Mittelsenkrechtenkriterium<br /><br />
<math>P \in mbc</math><br /><br />
5) P ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten_________________3),4)<br /><br />
mab, mbc,mac. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:00, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6199Lösung von Aufg. 13.32011-01-27T09:02:45Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u> <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<br />
1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br /><br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math>= <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<br />
1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br /><br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4) und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7) <math>P \in w</math>, ____________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.3&diff=6198Lösung von Aufg. 13.32011-01-27T09:02:02Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.<br />
<br />
<u>Vor</u>: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<u>Beh:</u> <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<br />
1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br /><br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck<br /><br />
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5)<br /><br />
7) <math>\overline {AP}</math>= <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
<br />
<u>Vor</u>:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math><br /><br />
<u>Beh</u>: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math><br /> <br />
<br />
1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor.<br /><br />
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br /><br />
<math>\angle ASB</math> gefällt<br /><br />
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2)<br /><br />
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial<br /><br />
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4) und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.<br /><br />
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5)<br /><br />
7) <math>P \in w</math>, ____________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6196Lösung von Aufg. 12.52011-01-26T16:55:18Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
<br />
EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird (ist beweisbar) und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie (nicht beweisbar, da dass EPA ein Axiom ist).--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
<u>Ausführliche Variante:</u><br /><br />
EPA wiederspricht der Unabhängigkeit der Axiome eines Axiomensystems. In der Formulierung des EPA wird "genau" verwendet, was eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Parallelen h durch P auf g macht.<br /><br />
Die Existenz der Parallelen wir in der absoluten Geometrie bewiesen. <br /><br />
Das EPA wird in die Euklidischen Geometrie eingeordnet und ist eine Eindeutigkeitsaussage. Außerdem ist das EPA ein Axiom und kann somit nicht bewiesen werden.<br />
Aus diesem Grund müsste in der Formulierung des EPA eine Änderung vorgenommen werden und zwar müsste das "genau" durch "höchstens"(Eindeutigkeit) ausgetauscht werden.<br />
<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:50, 26. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!<br />
<br />
Ja ziemlich unverständlich ausgedrückt...meiner meinung nach liegt das daran, dass man die Existenz beweisen kann (ich meine das ist Aufgabe 12.4). Das heißt diese Formulierung würde gegen die Nicht-Beweisbarkeit der Axiome verstoßen! Darum muss es höchstens eine Gerade heißen und nicht genau eine! Die Formulierung schließt nämlich die Existenz mit ein!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:06, 23. Jan. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6195Lösung von Aufg. 12.52011-01-26T16:54:39Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
<br />
EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird (ist beweisbar) und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie (nicht beweisbar, da dass EPA ein Axiom ist).--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
<u>Ausführliche Variante:</u><br /><br />
EPA wiederspricht der Unabhängigkeit der Axiome eines Axiomensystems. In der Formulierung des EPA wird "genau" verwendet, was eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Parallelen h durch P auf g macht.<br /><br />
Die Existenz der Parallelen wir in der absoluten Geometrie bewiesen. <br /><br />
Das EPA wird in der Euklidischen Geometrie eingeordnet und ist eine Eindeutigkeitsaussage. Außerdem ist das EPA ein Axiom und kann somit nicht bewiesen werden.<br />
Aus diesem Grund müsste in der Formulierung des EPA eine Änderung vorgenommen werden und zwar müsste das "genau" durch "höchstens"(Eindeutigkeit) ausgetauscht werden.<br />
<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:50, 26. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!<br />
<br />
Ja ziemlich unverständlich ausgedrückt...meiner meinung nach liegt das daran, dass man die Existenz beweisen kann (ich meine das ist Aufgabe 12.4). Das heißt diese Formulierung würde gegen die Nicht-Beweisbarkeit der Axiome verstoßen! Darum muss es höchstens eine Gerade heißen und nicht genau eine! Die Formulierung schließt nämlich die Existenz mit ein!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:06, 23. Jan. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6194Lösung von Aufg. 12.52011-01-26T16:54:07Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
<br />
EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird (ist beweisbar) und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie (nicht beweisbar, da dass EPA ein Axiom ist).--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
<u>Ausführliche Variante:</u><br /><br />
EPA wiederspricht der Unabhängigkeit der Axiome eines Axiomensystems. In der Formulierung des EPA wird "genau" verwendet, was eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Parallelen h durch P auf g macht.<br /><br />
Die Existenz der Parallelen wir in der absoluten Geometrie bewiesen. <br /><br />
Das EPA wird in der Euklidischen Geometrie eingeordnet und ist eine Eindeutigkeitsaussage. Außerdem ist das EPA ein Axiom und kann somit nicht bewiesen werden.<br />
Aus diesem Grund müsste in der Formulierung des EPA eine Änderung vorgenommen werden und zwar müsste das "genau" durch "höchstens" ausgetauscht werden.<br />
<br />
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:50, 26. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!<br />
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Ja ziemlich unverständlich ausgedrückt...meiner meinung nach liegt das daran, dass man die Existenz beweisen kann (ich meine das ist Aufgabe 12.4). Das heißt diese Formulierung würde gegen die Nicht-Beweisbarkeit der Axiome verstoßen! Darum muss es höchstens eine Gerade heißen und nicht genau eine! Die Formulierung schließt nämlich die Existenz mit ein!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:06, 23. Jan. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6193Lösung von Aufg. 12.52011-01-26T16:52:11Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
<br />
EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird (ist beweisbar) und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie (nicht beweisbar, da dass EPA ein Axiom ist).--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
<u>Ausführliche Variante:</u><br /><br />
EPA wiederspricht der Unabhängigkeit der Axiome eines Axiomensystems. In der Formulierung des EPA wird "genau" verwendet, was eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Parallelen h durch P auf g macht.<br /><br />
Die Existenz der Parallelen wir in der absoluten Geometrie bewiesen. Das EPA wird in der Euklidischen Geometrie eingeordnet und ist eine Eindeutigkeitsaussage. Außerdem ist das EPA ein Axiom und kann somit nicht bewiesen werden.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:50, 26. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!<br />
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Ja ziemlich unverständlich ausgedrückt...meiner meinung nach liegt das daran, dass man die Existenz beweisen kann (ich meine das ist Aufgabe 12.4). Das heißt diese Formulierung würde gegen die Nicht-Beweisbarkeit der Axiome verstoßen! Darum muss es höchstens eine Gerade heißen und nicht genau eine! Die Formulierung schließt nämlich die Existenz mit ein!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:06, 23. Jan. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6192Lösung von Aufg. 12.52011-01-26T16:51:46Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
<br />
EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird (ist beweisbar) und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie (nicht beweisbar, da dass EPA ein Axiom ist).--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
<u>Ausführliche Variante:</u><br /><br />
EPA wiederspricht der Unabhängigkeit der Axiome eines Axiomensystems. In der Formulierung des EPA wird "genau" verwendet, was eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Parallelen h durch P auf g.<br /><br />
Die Existenz der Parallelen wir in der absoluten Geometrie bewiesen. Das EPA wird in der Euklidischen Geometrie eingeordnet und ist eine Eindeutigkeitsaussage. Außerdem ist das EPA ein Axiom und kann somit nicht bewiesen werden.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:50, 26. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!<br />
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Ja ziemlich unverständlich ausgedrückt...meiner meinung nach liegt das daran, dass man die Existenz beweisen kann (ich meine das ist Aufgabe 12.4). Das heißt diese Formulierung würde gegen die Nicht-Beweisbarkeit der Axiome verstoßen! Darum muss es höchstens eine Gerade heißen und nicht genau eine! Die Formulierung schließt nämlich die Existenz mit ein!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:06, 23. Jan. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6191Lösung von Aufg. 12.52011-01-26T16:51:19Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
<br />
EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird (ist beweisbar) und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie (nicht beweisbar, da dass EPA ein Axiom ist).--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br /><br />
<br />
<u>Ausführliche Variante:</u><br /><br />
EPA wiederspricht der Unabhängigkeit des Axiome eines Axiomensystems. In der Formulierung des EPA wird "genau" verwendet, was eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Parallelen h durch P auf g.<br /><br />
Die Existenz der Parallelen wir in der absoluten Geometrie bewiesen. Das EPA wird in der Euklidischen Geometrie eingeordnet und ist eine Eindeutigkeitsaussage. Außerdem ist das EPA ein Axiom und kann somit nicht bewiesen werden.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:50, 26. Jan. 2011 (UTC) <br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
<br />
Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!<br />
<br />
Ja ziemlich unverständlich ausgedrückt...meiner meinung nach liegt das daran, dass man die Existenz beweisen kann (ich meine das ist Aufgabe 12.4). Das heißt diese Formulierung würde gegen die Nicht-Beweisbarkeit der Axiome verstoßen! Darum muss es höchstens eine Gerade heißen und nicht genau eine! Die Formulierung schließt nämlich die Existenz mit ein!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:06, 23. Jan. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._12.5&diff=6190Lösung von Aufg. 12.52011-01-26T16:50:57Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 12.5 ==<br />
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br /><br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.<br /><br />
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EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird (ist beweisbar) und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie (nicht beweisbar, da dass EPA ein Axiom ist).--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)<br />
<u>Ausführliche Variante:</u><br /><br />
EPA wiederspricht der Unabhängigkeit des Axiome eines Axiomensystems. In der Formulierung des EPA wird "genau" verwendet, was eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Parallelen h durch P auf g.<br /><br />
Die Existenz der Parallelen wir in der absoluten Geometrie bewiesen. Das EPA wird in der Euklidischen Geometrie eingeordnet und ist eine Eindeutigkeitsaussage. Außerdem ist das EPA ein Axiom und kann somit nicht bewiesen werden.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:50, 26. Jan. 2011 (UTC) <br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]<br />
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Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!<br />
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Ja ziemlich unverständlich ausgedrückt...meiner meinung nach liegt das daran, dass man die Existenz beweisen kann (ich meine das ist Aufgabe 12.4). Das heißt diese Formulierung würde gegen die Nicht-Beweisbarkeit der Axiome verstoßen! Darum muss es höchstens eine Gerade heißen und nicht genau eine! Die Formulierung schließt nämlich die Existenz mit ein!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:06, 23. Jan. 2011 (UTC)</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.4&diff=6188Lösung von Aufg. 13.42011-01-26T11:51:05Z<p>Engel82: </p>
<hr />
<div>Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.<br />
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.<br />
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<u>Vor</u>: AF+ und DF+ sind Winkelhalbierende der Winkel <math>\angle BAD</math> und <math>\angle ADC</math><br />
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<u>Beh:</u> <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math><br />
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1)<math>\angle FAE</math> <math>\cong</math><math>\angle EAD</math>__________________AE+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle BAD</math> und<br /><br />
<math>\angle EDF</math><math>\cong</math><math>\angle ADF</math>__________________DF+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle ADC</math><br /><br />
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2)<math>\angle FAE</math><math>\cong</math><math>\angle AED</math> und______________Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen<br /><br />
<math>\angle EDF</math><math>\cong</math><math>\angle AFD</math><br /><br />
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3)<math>\angle EAD</math> <math>\cong</math><math>\angle AED</math>__________________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz<br /><br />
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4)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math>______3) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
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5)<math>\angle AFD</math> <math>\cong</math><math>\angle ADF</math>_____________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz <br /><br />
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6)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>_____5) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
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7)<math>\triangle {ADP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {DPE}</math>_______WSW,1),3),4)<br /><br />
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analoge Beweisführung für das <math>\triangle {AEF}</math><br /><br />
daraus folgt letzendlich die Behauptung <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:45, 26. Jan. 2011 (UTC)<br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.4&diff=6187Lösung von Aufg. 13.42011-01-26T11:50:40Z<p>Engel82: </p>
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<div>Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.<br />
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.<br />
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Vor: AF+ und DF+ sind Winkelhalbierende der Winkel <math>\angle BAD</math> und <math>\angle ADC</math><br />
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Beh: <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math><br />
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1)<math>\angle FAE</math> <math>\cong</math><math>\angle EAD</math>__________________AE+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle BAD</math> und<br /><br />
<math>\angle EDF</math><math>\cong</math><math>\angle ADF</math>__________________DF+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle ADC</math><br /><br />
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2)<math>\angle FAE</math><math>\cong</math><math>\angle AED</math> und______________Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen<br /><br />
<math>\angle EDF</math><math>\cong</math><math>\angle AFD</math><br /><br />
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3)<math>\angle EAD</math> <math>\cong</math><math>\angle AED</math>__________________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz<br /><br />
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4)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math>______3) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
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5)<math>\angle AFD</math> <math>\cong</math><math>\angle ADF</math>_____________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz <br /><br />
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6)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>_____5) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
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7)<math>\triangle {ADP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {DPE}</math>_______WSW,1),3),4)<br /><br />
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analoge Beweisführung für das <math>\triangle {AEF}</math><br /><br />
daraus folgt letzendlich die Behauptung <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:45, 26. Jan. 2011 (UTC)<br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.4&diff=6186Lösung von Aufg. 13.42011-01-26T11:49:26Z<p>Engel82: </p>
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<div>Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.<br />
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.<br />
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Vor: AF+ und DF+ sind Winkelhalbierende<br /><br />
Beh: <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math><br />
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1)<math>\angle FAE</math> <math>\cong</math><math>\angle EAD</math>__________________AE+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle BAD</math> und<br /><br />
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2)<math>\angle FAE</math><math>\cong</math><math>\angle AED</math> und______________Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen<br /><br />
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3)<math>\angle EAD</math> <math>\cong</math><math>\angle AED</math>__________________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz<br /><br />
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4)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math>______3) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
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5)<math>\angle AFD</math> <math>\cong</math><math>\angle ADF</math>_____________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz <br /><br />
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6)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>_____5) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
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7)<math>\triangle {ADP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {DPE}</math>_______WSW,1),3),4)<br /><br />
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analoge Beweisführung für das <math>\triangle {AEF}</math><br /><br />
daraus folgt letzendlich die Behauptung <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:45, 26. Jan. 2011 (UTC)<br />
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<div>Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.<br />
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.<br />
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Vor: AF+ und DF+ sind Winkelhalbierende<br /><br />
Beh: <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math><br />
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1)<math>\angle FAE</math> <math>\cong</math><math>\angle EAD</math>__________________AE+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle BAD</math> und<br /><br />
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2)<math>\angle FAE</math><math>\cong</math><math>\angle AED</math> und______________Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen<br /><br />
<math>\angle EDF</math><math>\cong</math><math>\angle AFD</math><br /><br />
3)<math>\angle EAD</math> <math>\cong</math><math>\angle AED</math>__________________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz<br /><br />
4)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math>______3) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
5)<math>\angle AFD</math> <math>\cong</math><math>\angle ADF</math>_____________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz<br /><br />
6)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>_____5) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
7)<math>\triangle {ADP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {DPE}</math>_______WSW,1),3),4)<br /><br />
analoge Beweisführung für das <math>\triangle {AEF}</math><br /><br />
daraus folgt letzendlich die Behauptung <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:45, 26. Jan. 2011 (UTC)<br />
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[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>Engel82https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufg._13.4&diff=6184Lösung von Aufg. 13.42011-01-26T11:45:17Z<p>Engel82: </p>
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<div>Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.<br />
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.<br />
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Vor: AF+ und DF+ sind Winkelhalbierende<br /><br />
Beh: <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math><br />
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1)<math>\angle FAE</math> <math>\cong</math><math>\angle EAD</math>__________________AE+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle BAD</math> und<br /><br />
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2)<math>\angle FAE</math><math>\cong</math><math>\angle AED</math> und______________Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen<br /><br />
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3)<math>\angle EAD</math> <math>\cong</math><math>\angle AED</math>__________________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz<br /><br />
4)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math>______3) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
5)<math>\angle AFD</math> <math>\cong</math><math>\angle ADF</math>_____________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz<br /><br />
6)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math>_____5) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes<br /><br />
7)<math>\triangle {ADP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {DPE}</math>_______WSW,1),3),4)<br /><br />
analoge Beweisführung für das <math>\triangle {AEF}</math><br /><br />
daraus folgt letzendlich die Behauptung <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:45, 26. Jan. 2011 (UTC)<br />
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