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Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 12)

2012-07-21T18:12:15Z

Fahrtwind:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln die Umkehrung des Basiswinkelsatzes. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Darf man die Kongruenzsätze WSW, SSS und so weiter benutzen?--[[Benutzer:Zitrone|Zitrone]] 12:34, 24. Jun. 2012 (CEST) 
Nein, diese werden wir erst später beweisen und dafür dann vielleicht auf auf diese Sätze zurückgreifen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:36, 28. Jun. 2012 (CEST)

ich fang mal mit einem bild an, bei dem die punkte a, b, c beweglich sind:
<ggb_applet width="1822" height="774" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 02:42, 29. Jun. 2012 (CEST) 
basiswinkelsatz: 
in jedem gleichschenkligen dreieck sind die basiswinkel kongruent zueinander. 

umkehrung: wenn in einem dreieck zwei winkel kongruent zueinander sind, dann handelt es sich um ein gleichschenkliges dreieck 

==Beweis von Studentin==
voraussetzung:dreieck hat zwei zueinander kongruente winkeln 
behauptung: dreieck ist gleichschenklig 
gegeben sei ein dreieck a, b, c mit zwei kongruenten winkeln alpha und beta, die mittelsenkrechte m zu (von?) ab und der schnittpunkt s mit s element von ab und s element von m. 
ziel ist es zu zeigen, dass c element von m ist, da denn laut mittelsenkrechtenkriterium |ac| = |bc| 

===indirekter Beweis der Umkehrung===
bei einem indirekten beweis beginne ich mit der annahme, dass |ac| ungleich |bc| sei, c also laut mittelsenkrechtenkriterium nicht auf m läge. 
den schnittpunktes von m mit der strecke ac (bzw. der strecke bc - abhängig davon auf welcher halbebenen bezüglich der mittelsenkrechten m der punkt c liegt) nenne ich d. der abstand des schnittpunktes d zu a und zu b ist gleich groß (wieder mittelsenkrechtenkriterium). 
da stellen sich mir zwei fragen: 
1.wir wissen wahrscheinlich aber auch noch nichts über die längen der seiten in einem dreieck bzg. ihrer gegenüberliegenden winkel, richtig? 
* doch,doch
2. darf ich den basiswinkelsatz nutzen, um die umkehrung zu beweisen? 
*Richtig, du darfst den Besisweinkelsatz benutzen, um die Umkehrung zu beweisen. Sehr guter Beweis bis hierher!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:16, 3. Jul. 2012 (CEST)
 
bis zur beantwortung versuch ich es mal ohne annahme in einem

===direkten beweis===

ich weiß, dass folgende spiegelungen gelten: 
sm(a)=b und sm(b)=a, da |as|=|bs| und m senkrecht zu ab (def mittelsenkrechte und def geradenspiegelung). 
desweiteren sind die winkel alpha und beta kongruent (voraussetzung) 
*die Winkel sind kongruent, d.h. ihr Maß ist gleich. Wir wissen aber nicht, ob auch Winkel auch aufeinander abgebildet werden. Ich denke, hier ist das Problem. Da wir dies nicht wissen, können wir auch nicht davon ausgehen, dass sich die Halbgeraden AC+ und BC+ wirklich auf m treffen. Wir können nicht sagen, dass Sm(C)=C ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:16, 3. Jul. 2012 (CEST)
ich weiss nicht richtig, wie ich die halbgeraden ac+ und bc+ auf andere art benennen kann, ohne dass das "c" im namen auftaucht, da ich den punkt c noch nicht brauche. also zum beispiel die halbgerade, die in a beginnt und im winkel alpha zu ab steht (das wäre dann die halbgerade ac+) 
kann ich jetzt nicht mit der winkeltreue argumentieren, dass die spiegelung der halbgeraden ac+ an m kongruent zu bc+ sein muss und umgekehrt? denn wenn ich das könnte, wären der schnittpunkt der beiden halbgeraden auf der mittelhalbierenden (def geradenspiegelung), und dieser schnittpunkt ist punkt c.
da abstände in der geradenspiegelung erhalten bleiben, ist |ac|=|bc|--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 08:34, 29. Jun. 2012 (CEST) 
* Herr Schnirch, könnten Sie bitte über diesen Beweis sehen und Stellung dazu nehmen, was ich oben geschrieben habe. Ich bin mir nämlich nicht sicher.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:16, 3. Jul. 2012 (CEST) 
OK, dann schauen wir mal, was wir haben: Ich weiß sicher, dass es eine Spiegelung gibt, die ''A'' auf ''B'' abbildet und aufgrund der Def. Geradenspiegelung weiß ich auch, dass die Spiegelachse Mittelsenkrechte ''m'' zu <math>\overline{AB}</math> ist. Sei ''M'' der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>. Wegen der Streckentreue und der Def. Geradenspiegelung weiß ich dann auch, dass <math>\overline{AM}</math> auf <math>\overline{BM}</math> abgebildet wird. Wegen der Winkeltreue und der Tatsache, dass <math>\overline{AB}</math> Teilmenge der Schenkel <math>\ AB^{+}</math> und <math>\ BA^{+}</math> der beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind, muss <math>\alpha</math> bei der Spiegelung an ''m'' auf den kongruenten Winkel <math>\beta</math> abgebildet werden. Wir wissen außerdem, dass sich die beiden anderen Schenkel von <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> im Punkt ''C'' schneiden, da wir ja ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> voraussetzen. Die entscheidende Frage ist nun: Wie können wir jetzt begründen, dass ''C'' auf ''m'' liegen muss? Wenn Sie das schaffen, ist der Beweis fertig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:46, 4. Jul. 2012 (CEST) 
müssen wir das noch beweisen? 
wir wissen doch, dass sich die halbgeraden spiegeln, und dass sie sich in irgendeinem punkt mit m schneiden. dieser punkt ist element von m, und daher ist es fixpunkt bezüglich der geradenspiegelung (nennen wir ihn c). 
wo ist mein denkfehler???--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:06, 4. Jul. 2012 (CEST) 
* richtig, wir wissen, die sich die halbgeraden AC+ und BC+ schneiden. Aber das C auf m liegt, dass muss erst noch begründet werden. Die Begründung hast du gerade schon genannt, aber die Reihenfolge der aufeinander folgenden Schritte '''ist''' so nicht richtig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:14, 7. Jul. 2012 (CEST)
 ich hab es so gemeint: der punkt, an dem sich die eine halbgerade mit m schneidet, ist fixpunkt bezüglich der geradenspiegelung die gepiegelte halbgerade hat also auch den schnittpunkt mit m an diesem gleichen punkt. 
in diesem punkt schneiden sich also auch die beiden halbgeraden.
da der schnittpunkt der beiden halbgeraden gleich dem schnittpunkt der halbgeraden mit m ist, liegt der schnittpunkt auf m.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 11:57, 8. Jul. 2012 (CEST)
OK, das ist jetzt in Ordnung!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:15, 9. Jul. 2012 (CEST)

==Beweis von Fahrtwind und Honeydukes==

'''Voraussetzung:''' in einem Dreieck sind zwei Winkel kongruent zueinander; <MAC ist kongruent zu <MBC und m ist Spiegelgerade Sm 
'''Behauptung:''' Dreieck ist gleichschenklig -> |AC| = |BC| 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (1) <math> \overline{BM}</math><math> = S_m ( \overline{AM})</math> || Vor., Geradenspiegelung
|-
| (2)<math> B=S_m(A)</math> || Geradenspiegelung
|-
| (3)<math> C \in m</math> mit m ist Mittelsenkrechte von <math> \overline{AB}</math> || Vor., Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (4) <math>|AC| = |BC|</math> || Mittelsenkrechtenkriterium
|}
 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Ist das so in Ordnung? Und, darf ich bei (3) einfach annehmen, dass C Element von m ist? --[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 18:18, 30. Jun. 2012 (CEST) 
Ich denke schon. Ich habe es so ähnlich. Schritt eins und zwei ist identisch. Dann...

Schritt drei ist: "m= Mittelsenkrechte von Strecke AB" (Begr.: Def. Mittelsenkr. und Vorauss.).
* Das m die Mittelsenkrechte ist, habt ihr ja schon für Schritt 1) und 2) verwendet, ohne die Verwendung zu nennen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:29, 3. Jul. 2012 (CEST)
Schritt vier ist: "Es existiert ein C Element m" (Begr.: Def. Mittelsenkr.)

Schritt fünf ist: "Abstand AC = Abstand BC" (Begr.: Schritt 4, Mittelsenkrechtenkrit., abstandserhaltend [Sm (AC)= BC] --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 17:56, 2. Jul. 2012 (CEST) 
*Ihr könnt nicht davon ausgehen, dass C als Eckpunkt des Dreiecks auf der Mittelsenkrechten liegt. Deshalb ist der Beweis so nicht richtig. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:29, 3. Jul. 2012 (CEST)
==Beweisschritte, Begründung bitte zufügen==
Hier gebe ich mal eine Möglichkeit eines direkten Beweises vor. Ergänzt die Beweisschritte.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:29, 3. Jul. 2012 (CEST) 
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit üblicher Bezeichnung, <math>|\alpha| = |\beta|</math>
|-
| Behauptung || <math>|AC| =|BC|</math>
|}
 
<ggb_applet width="427" height="325" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 

'''
Vorschlag Fahrtwind''' 
{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1) m ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>|| (Vor, Def. Mittelsenkrechte)
|-
| 2) <math>m \cap \overline{AC} = {S} \vee m \cap \overline{AC} = {C} \vee m \cap \overline{BC} = {S}</math> || (Satz vom Pasch oder C auf m (weil noch eine weitere Seite geschnitten wird - aber passt das, weil m in einem Fall durch den Eckpunkt C verläuft?- Ja, das ist in Ordnung - aber du hast gut aufgepasst!)
|-
| 3) FAll 1)<math>|AS| =|BS|</math> || (Mittelsenkrechtenkriterium)
|-
| 4) <math>|\alpha| = |<ABS|</math> || (Vor., 3.) Warum aus 3. - Begründung?
|-
| 5) <math>|\beta| = |<ABS|</math> || (Vor., 3.) Warum das?
|-
| 6) <math>BS^+ =BC^+</math> || (Def. Winkel, 4.,5.)
|-
| 7) <math> S = C</math> || (4.,5.,6.) Wozu braucht man hier die Winkelgrößen?
|-
| 8) <math>|AC| =|BC|</math> || (Mittelsenkrechtenkriterium), aus welchem Schritt wurde das abgeleitet??
|-
| 9) Fall 2) analog Fall 1 || -
|-
| 10) Fall 3) <math>|AC| =|BC|</math> || (Mittelsenkrechtenkriterium)
|}
 
*Die Begründungen stimmen so nicht alle. Schaut nochmal bei 4), 5),7), 8) - teilweise ist es einfach zu viel, teilweise fehlt was, teilweise ist die Begründung falsch.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:11, 4. Jul. 2012 (CEST)

Ich hab mich nochmal mit der Begründung versucht... 
* Die Begründungen sind bei 4,5,7,8 noch nicht richtig. Ich habe mal Fragen hinzugefügt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:19, 7. Jul. 2012 (CEST)

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1) m ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>|| (Vor, Def. Mittelsenkrechte)
|-
| 2) <math>m \cap \overline{AC} = {S} \vee m \cap \overline{AC} = {C} \vee m \cap \overline{BC} = {S}</math> || (Satz vom Pasch oder C auf m (weil noch eine weitere Seite geschnitten wird - aber passt das, weil m in einem Fall durch den Eckpunkt C verläuft?- Ja, das ist in Ordnung - aber du hast gut aufgepasst!)
|-
| 3) FAll 1)<math>|AS| =|BS|</math> || (Mittelsenkrechtenkriterium)
|-
| 4) <math>|\alpha| = |<ABS|</math> || (3.) Basiswinkelsatz
|-
| 5) <math>|\beta| = |<ABS|</math> || (Vor., 4.)
|-
| 6) <math>BS^+ =BC^+</math> || (Def. Winkel, 5.)
|-
| 7) <math> S = C</math> || (2.,6.) Da S und C jeweils Schnittpunkte der Graden AC und BC mit m sind.
|-
| 8) <math>|AC| =|BC|</math> || (3.,7.)
|-
| 9) Fall 2) analog Fall 1 || -
|-
| 10) Fall 3) <math>|AC| =|BC|</math> || (Mittelsenkrechtenkriterium)
|}
 q.e.d.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 08:50, 10. Jul. 2012 (CEST)

Ich habe noch eine wichtige Frage:
Was genau bedeutet es, wenn wir mit "abbildungsgeometrischen Mitteln" etwas beweisen sollen? Heißt es, dass wir nur mit Spiegelungen beweisen sollen? Oder was können wir alles benutzen bzw. was nicht?

--[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 20:12, 21. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 12)

2012-07-19T21:08:54Z

Fahrtwind:

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Vielleicht ist es eine doofe Frage, aber was ist der Unterschied zwischen winkelmaßerhaltend und Winkeltreue?--[[Benutzer:Zitrone|Zitrone]] 12:35, 24. Jun. 2012 (CEST)

Hei, ich glaube dass die Eigenschaft der Winkeltreue über die "Winkelerhaltung" zu beweisen ist. Ich meine, dass Herr Schnirch am vergangenen Dienstag gesagt hat, dass "winkelerhaltend" ein Axiom ist. Wir können also die Winkeltreue beweisen, indem wir uns auf das Axiom der "Winkelerhaltung bei Geradenspiegelungen" beziehen. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 12:14, 25. Jun. 2012 (CEST)
 

*winkelerhaltend - festgelegte Eigenschaft der Geradenspiegelung (- ein Axiom) Danke Honeydukes! Dabei handelt es sich um das Maß der Winkel, dass gleich bleibt.
*winkeltreu meint dabei, dass auch die Schenkel des Winkels wieder Schenkel sind, also die Abbildung des Winkels auch wirklich wieder ein Winkel und nicht z.B. zwei lose Strecken ergibt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:44, 26. Jun. 2012 (CEST)
 
mir geht es ähnlich wie zitrone. ich weiß auch nicht den unterschied. 
ich wäre daher über einen anderen ansatz gegangen: 
wenn ich drei nicht lineare punkte a, b, s habe, kann ich ja die beiden halbgeraden sa+ und sb+ betrachten mit winkel asb. 
beide halbgeraden werden halbgeradentreu abgebildet, wie wir in aufgabe 9.1 festgestellt haben. 
außerdem wissen wir, dass die drei strecken sa, sb und ab streckentreu abgebildet werden. 
können wir dann nicht sagen, dass wenn die beiden dreiecke sab und s'a'b' kongruent sind, die winkeltreue gilt? 
wahrscheinlich nicht, oder? 
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 01:52, 26. Jun. 2012 (CEST) 
Ja, so lässt es sich '''nicht''' begründen. Aber der Ansatz über die Halbgeraden ist gut.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:44, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ich hab keine Ahnung ob das, was ich gerechnet habe, stimmt. Hier mein Vorschlag ;)

(1) AS+ -> A'S'+ und BS+ -> B'S'+ ; Def. Halbgeradentreue

(2) AS+ geschnitten mit BS+ = {S} mit <ASB ; (1), Def. Winkel

(3) Sg (<ASB) => <A'S'B' ; (2), Axiom bzw. Eigenschaft Winkelmaßerhaltend

Erklärung(sversuch):
Da ein Winkel aus zwei Halbgeraden besteht, werden alle Punkte gemäß der Halbgeradentreue auch auf der Spiegelung der Halbgeraden, eingeschlossen dem gemeinsamen Schnitt- bzw Anfangspunkt S, abgebildet. Nach Def. Winkel ergeben die beiden Halbgeraden den Winkel und somit gilt auch hierfür die Spiegeltreue aller Punkte, also bleibt die Winkelgröße gleich. --[[Benutzer:fahrtwind|fahrtwind]]
 
'''Mein neuer Versuch:'''

'''Vor:'''
<math>\angle ABC, Sg(A)=A', Sg(B)=B', Sg(C)=C'</math> 
'''Beh:'''
<math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math>

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>\angle ABC = \ BA^{+} \cup \ BC^{+}</math>|| (Vor, Def. Winkel)
|-
| 2 <math>Sg(\ BA^{+} = \ B'A'^{+} \wedge Sg (\ BC^{+}) = \ B'C'^{+}</math> ) || (Halbgeradentreue, 1, Vor.)
|-
| 3 <math>|\angle ABC| = |\angle A'B'C'|</math> || (Winkelmaßerhaltend (Eig. Geradenspiegelung))
|-
| 4 <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math> || (1,2,3)
|}
 
--[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 23:08, 19. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 12)

2012-07-07T15:47:35Z

Fahrtwind:

Definieren Sie den Begriff "Gleichschenkliges Dreieck". Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei kongruenten Schenkeln und zwei kongruenten Innenwinkel (Basiswinkel). Die dritte Seite nennt man Basis.--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 16:50, 26. Jun. 2012 (CEST)
* Achte beim (formalen) Definieren darauf, dass nur so viel Eigenschaften genannt werden, dass es sich um eine eindeutige Definition handelt - aber nicht mehr. Alle weiteren lassen sich dann als Satz formulieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:31, 28. Jun. 2012 (CEST)

Ein Dreieck, das 2 kongruente Schenkel hat, die an der Basis 2 kongruente Basiswinkel entstehen lassen, heißt gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 18:21, 30. Jun. 2012 (CEST)
* Was sind den Schenkel in einem allgemeinen Dreieck?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:38, 2. Jul. 2012 (CEST)

Achso - das Wort "Schenkel" impliziert schon, dass sie gleich lang bzw kongruent sind oder?
Wäre es dann so richtig?
Ein Dreieck, das 2 Schenkel hat, die an der Basis 2 kongruente Basiswinkel entstehen lassen, heißt gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 17:03, 2. Jul. 2012 (CEST)

Meine Vorschläge:

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem die Basiswinkel (Winkel zwischen Basis und einem Schenkel das Dreiecks) kongruent zueinander sind.

ODER:

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem die Basiswinkel, die Winkel zwischen Basis und Schenkel, kongruent zueinander sind.
--[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 17:02, 2. Jul. 2012 (CEST) 
* Ihr müsst trennen zwischen der Definiton des Begriffs und der Bezeichnung der Begrifflichkeiten. Zunächst muss man definieren, danach kann man die Benennung der einzelnen Seiten und Winkel vornehmen. Zudem gehören Eigenschaften, die beweisbar sind, nicht in die Definiton. Also versucht es nochmal, die richtige Definition ist noch nicht dabei. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:02, 3. Jul. 2012 (CEST)

Ist damit gemeint, dass wir zuerst die 3 Begriffe (Schenkel, Basis und Basiswinkel) definieren sollen und dann die Definition des gleichschenkligen Dreiecks? 
Oder sollen wir zuerst (in etwa so, wie wir es versucht haben) definieren und dann noch die 3 Begriffe klären? --[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 13:01, 4. Jul. 2012 (CEST)
*erst gleichschenkliges Dreieck definieren. Erst dann kann man beschreiben, wie die einzelnen Teile des gl. Dreiecks heißen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:00, 4. Jul. 2012 (CEST)
 
Wenn ein Dreieck zwei gleichlange Seiten (Schenkel) hat, dann ist es ein gleichschenkliges Dreieck. Die dritte Seite des Dreiecks heißt Basis. Die Winkel alpha und beta (Skizze anfertigen) sind Basiswinkel. --[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 17:52, 6. Jul. 2012 (CEST) 
* Das Wort Schenkel nicht in Klammer schreiben, sondern einen extra Satz danach: Die gleichlangen Seiten heißen Schenkel. Die Winkel musst du schon beschreiben, über eine Skizze darf man nicht definieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:22, 7. Jul. 2012 (CEST)
In der Übung hieß es, wir dürfen uns auf die Skizze beziehen. Und die Schenkel wurden auch in Klammern geschrieben. Das verwirrt mich jetzt... --[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 17:47, 7. Jul. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 12)

2012-07-06T15:52:01Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 12)

2012-07-06T15:48:21Z

Fahrtwind:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln die Umkehrung des Basiswinkelsatzes. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Darf man die Kongruenzsätze WSW, SSS und so weiter benutzen?--[[Benutzer:Zitrone|Zitrone]] 12:34, 24. Jun. 2012 (CEST) 
Nein, diese werden wir erst später beweisen und dafür dann vielleicht auf auf diese Sätze zurückgreifen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:36, 28. Jun. 2012 (CEST)

ich fang mal mit einem bild an, bei dem die punkte a, b, c beweglich sind:
<ggb_applet width="1822" height="774" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGdE3UAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAGdE3UAAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vndctu2Er5OnwLD64jCD0FKGTmd2DOdZsZpOnV65sy5g0hIQk0RLAH9uNOXah+kz9QFQFKUZTt23DQ5msgggAUWu99+i6Uy+3a/LtFWNkbp6iwiMY6QrHJdqGp5Fm3sYjSJvn39zWwp9VLOG4EWulkLexYlTlIV8DDNxJxzOVpM59kokTgdTZlkozkVmKY4pYLxCKG9Ua8q/YNYS1OLXF7lK7kWlzoX1iteWVu/Go93u13cqYp1sxwvl/N4b4oIwTErcxa1D69gu6NFO+bFKcZk/N93l2H7kaqMFVUuI+RM2KjX37yY7VRV6B3aqcKuwGBGI7SSarkCm9gkQmMnU4M/aplbtZUGVg663mS7riMvJio3/yI8obK3JkKF2qpCNmcRjimYrxslK9vOklbLuFs/2yq5Cxu5p+DWCFmty7lwe6Dff0cUU4xeuoaEhkKTpmEKhzHMQkNDk4SGB5kkLE+CaBJkkiCTsAhtlVHzUp5FC1EacJmqFg3A1feNvSmlP087cLCXvASbjPoNhBmGuAg+hnGMX7pvCt/ETYyPjSQDrbbZPFFpp5JMKH28TvosS1mnNOHpqU7K77EzfUBpMPxRhvKBb0GV/+e/JxrZQ2be1hj6z1OYJv+KibNxx5VZSw9kVk62DR8r18YRhk0Rn7q4J4gDOdIMwpwjMoUmowjogAhHCYcumaDUtRliGUwkiKEJcnKEIc8OPoE/SeY3SxGHzdxoBqREBBQliDNEPKkSBFRCnphAUspAgnPEYZFTT6jbgqUoSaHHJiiBMzpOZgQEGSyEPqiniBHE3GKSIZqi1O1HEsf1dOKODltSlGKUErch0BooHegM8hPEnDVp6y5V1Rt75KJ8XXSPVtc9FiANCemQ6EKCOsqDL2almMsSboYrhyRCW1E6RnhFC11Z1IFIw9iyEfVK5eZKWgurDPpFbMWlsHL/HUibTreXzXVlfmy0vdDlZl0ZhHJd4v7MuiSDZ9qfGjpsMJEMJ/hgIh08Z3fq1TCDNkaCft2YTlwUxVsncUgN4Mn3VXlz3khxXWt1bMZs7C+ZmdzkpSqUqP4Dweq0OL+g/s7x+aq7dLKMdSfRTXF1YyCE0f5/stGQqwh31+xN6LHQM7lwHOPYTw17fhu57d0t9vJw8mXjaDrovDXnujwMeWMuRG03jb/7IdM17oRvqmUpPeCepnCx5tdzvb8KSLOw14ebGnrtCeZL70QERKccLr9l285D62Xc0Xop7GWwl8Bd6KiinydT6iV8Ow+tl4JYDEdrTSWdmQR3apTx6QlHLQm61OMi2V3Um0rZy65jVX59MNUt+GGznss+Ho73JP/UnrPxrYCZXcumkmUbnwDmRm9MoNsgdAuZqzV0w0TrEuHg+hkOEEYLuWxkd/DS11XBYX4WDyPvZNhv9V2j12+r7QeIhVsHmI27U85M3qjaxRyaQ06/loeoKpQRcCUUw3WOUGB67lI/uMc61wDVNnalG187QYaA1vGolGuom5D14eUjtHfzG1+COX8iPf8FklR/j4X5A2AwfWeo+aAUZb0SrkxrjS7FjWyO3OD3e79YGGnR/iwauZi/gdVsMP1OF7d9B9B4A4HPdYC+ljJETTAHHmrQ5sl2lJAADOM0pfEk9apGwHuI/N9CfR4qVOcLx8GjJBxGbwEJ0RXc+BGHnn8xhwZ/ks/tT5LFrsL/Rx2a6/VaVAWqfJ1zJZduPDrcvAK7SEWCOP8G521sNyHCbu0eJ/CYdrcOAPERgAZG34cQfjQ+Jwgc/BguHpdkYx68yGk8IZhN+09yOz9bqAOu4W3H+ALctteFf/heFYX0NWC4v36twhITkqZa16XKle29VzqI31YWUqj0OeQ0M15LWbsr6X31oRGVce+sQWaQce+B8BKOfK7czrq5haM4AXCtrJWgtbpuZL6y8mE8nTd6sE6WPpd8j4f2QL3AhoQ+DvdRC/hNGwKOPjSLOaYH5CefB/j78frR57BjoO6C5Qi3i4eBOs6LF58EDaGh8vHtE3Pj58l+NCYBvCSmEzz4kH87E16cAJI/LRPmX0kmHE3jUAzwmPLp8ONdOsUxxeykVv2/yYW+9L8F4XmA0CFJ70Lyrz8ehtIXlT1QIO1//xLlpvUxhCFPcUpSnJFpmqXdC8OnpUaCT9Emj0yOIzYNxQKZ3hkNz8BVNPmAYB3Jy1LvfpKLUu694x+L0t1UO7+PasXTqFZ8bVSD2o2mIWMxeKSTz3TlfCF+XXTFoufXm1N+/fkkfv35UX7RL8Wv9jYakeyrpleP/seKDI/baY347im1xrtPqjXcb6/L0MxD83y+EZaQmFFOkyzcaN2rKOcxT3mCs+FNR6A0TLPhG8Czaonx8CcC/7Na+39Cr/8GUEsHCJHpx3fwBgAAsBoAAFBLAQIUABQACAAIAGdE3UDWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAZ0TdQJHpx3fwBgAAsBoAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAACHBwAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 02:42, 29. Jun. 2012 (CEST) 
basiswinkelsatz: 
in jedem gleichschenkligen dreieck sind die basiswinkel kongruent zueinander. 

umkehrung: wenn in einem dreieck zwei winkel kongruent zueinander sind, dann handelt es sich um ein gleichschenkliges dreieck 

==Beweis von Studentin==
voraussetzung:dreieck hat zwei zueinander kongruente winkeln 
behauptung: dreieck ist gleichschenklig 
gegeben sei ein dreieck a, b, c mit zwei kongruenten winkeln alpha und beta, die mittelsenkrechte m zu (von?) ab und der schnittpunkt s mit s element von ab und s element von m. 
ziel ist es zu zeigen, dass c element von m ist, da denn laut mittelsenkrechtenkriterium |ac| = |bc| 

===indirekter Beweis der Umkehrung===
bei einem indirekten beweis beginne ich mit der annahme, dass |ac| ungleich |bc| sei, c also laut mittelsenkrechtenkriterium nicht auf m läge. 
den schnittpunktes von m mit der strecke ac (bzw. der strecke bc - abhängig davon auf welcher halbebenen bezüglich der mittelsenkrechten m der punkt c liegt) nenne ich d. der abstand des schnittpunktes d zu a und zu b ist gleich groß (wieder mittelsenkrechtenkriterium). 
da stellen sich mir zwei fragen: 
1.wir wissen wahrscheinlich aber auch noch nichts über die längen der seiten in einem dreieck bzg. ihrer gegenüberliegenden winkel, richtig? 
* doch,doch
2. darf ich den basiswinkelsatz nutzen, um die umkehrung zu beweisen? 
*Richtig, du darfst den Besisweinkelsatz benutzen, um die Umkehrung zu beweisen. Sehr guter Beweis bis hierher!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:16, 3. Jul. 2012 (CEST)
 
bis zur beantwortung versuch ich es mal ohne annahme in einem

===direkten beweis===

ich weiß, dass folgende spiegelungen gelten: 
sm(a)=b und sm(b)=a, da |as|=|bs| und m senkrecht zu ab (def mittelsenkrechte und def geradenspiegelung). 
desweiteren sind die winkel alpha und beta kongruent (voraussetzung) 
*die Winkel sind kongruent, d.h. ihr Maß ist gleich. Wir wissen aber nicht, ob auch Winkel auch aufeinander abgebildet werden. Ich denke, hier ist das Problem. Da wir dies nicht wissen, können wir auch nicht davon ausgehen, dass sich die Halbgeraden AC+ und BC+ wirklich auf m treffen. Wir können nicht sagen, dass Sm(C)=C ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:16, 3. Jul. 2012 (CEST)
ich weiss nicht richtig, wie ich die halbgeraden ac+ und bc+ auf andere art benennen kann, ohne dass das "c" im namen auftaucht, da ich den punkt c noch nicht brauche. also zum beispiel die halbgerade, die in a beginnt und im winkel alpha zu ab steht (das wäre dann die halbgerade ac+) 
kann ich jetzt nicht mit der winkeltreue argumentieren, dass die spiegelung der halbgeraden ac+ an m kongruent zu bc+ sein muss und umgekehrt? denn wenn ich das könnte, wären der schnittpunkt der beiden halbgeraden auf der mittelhalbierenden (def geradenspiegelung), und dieser schnittpunkt ist punkt c.
da abstände in der geradenspiegelung erhalten bleiben, ist |ac|=|bc|--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 08:34, 29. Jun. 2012 (CEST) 
* Herr Schnirch, könnten Sie bitte über diesen Beweis sehen und Stellung dazu nehmen, was ich oben geschrieben habe. Ich bin mir nämlich nicht sicher.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:16, 3. Jul. 2012 (CEST) 
OK, dann schauen wir mal, was wir haben: Ich weiß sicher, dass es eine Spiegelung gibt, die ''A'' auf ''B'' abbildet und aufgrund der Def. Geradenspiegelung weiß ich auch, dass die Spiegelachse Mittelsenkrechte ''m'' zu <math>\overline{AB}</math> ist. Sei ''M'' der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>. Wegen der Streckentreue und der Def. Geradenspiegelung weiß ich dann auch, dass <math>\overline{AM}</math> auf <math>\overline{BM}</math> abgebildet wird. Wegen der Winkeltreue und der Tatsache, dass <math>\overline{AB}</math> Teilmenge der Schenkel <math>\ AB^{+}</math> und <math>\ BA^{+}</math> der beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind, muss <math>\alpha</math> bei der Spiegelung an ''m'' auf den kongruenten Winkel <math>\beta</math> abgebildet werden. Wir wissen außerdem, dass sich die beiden anderen Schenkel von <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> im Punkt ''C'' schneiden, da wir ja ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> voraussetzen. Die entscheidende Frage ist nun: Wie können wir jetzt begründen, dass ''C'' auf ''m'' liegen muss? Wenn Sie das schaffen, ist der Beweis fertig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:46, 4. Jul. 2012 (CEST) 
müssen wir das noch beweisen? 
wir wissen doch, dass sich die halbgeraden spiegeln, und dass sie sich in irgendeinem punkt mit m schneiden. dieser punkt ist element von m, und daher ist es fixpunkt bezüglich der geradenspiegelung (nennen wir ihn c). 
wo ist mein denkfehler???--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:06, 4. Jul. 2012 (CEST) 
* richtig, wir wissen, die sich die halbgeraden AC+ und BC+ schneiden. Aber das C auf m liegt, dass muss erst noch begründet werden. Die Begründung hast du gerade schon genannt, aber die Reihenfolge der aufeinander folgenden Schritte war so nicht richtig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:07, 5. Jul. 2012 (CEST)

==Beweis von Fahrtwind und Honeydukes==

'''Voraussetzung:''' in einem Dreieck sind zwei Winkel kongruent zueinander; <MAC ist kongruent zu <MBC und m ist Spiegelgerade Sm 
'''Behauptung:''' Dreieck ist gleichschenklig -> |AC| = |BC| 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (1) <math> \overline{BM}</math><math> = S_m ( \overline{AM})</math> || Vor., Geradenspiegelung
|-
| (2)<math> B=S_m(A)</math> || Geradenspiegelung
|-
| (3)<math> C \in m</math> mit m ist Mittelsenkrechte von <math> \overline{AB}</math> || Vor., Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (4) <math>|AC| = |BC|</math> || Mittelsenkrechtenkriterium
|}
 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Ist das so in Ordnung? Und, darf ich bei (3) einfach annehmen, dass C Element von m ist? --[[Benutzer:Fahrtwind|Fahrtwind]] 18:18, 30. Jun. 2012 (CEST) 
Ich denke schon. Ich habe es so ähnlich. Schritt eins und zwei ist identisch. Dann...

Schritt drei ist: "m= Mittelsenkrechte von Strecke AB" (Begr.: Def. Mittelsenkr. und Vorauss.).
* Das m die Mittelsenkrechte ist, habt ihr ja schon für Schritt 1) und 2) verwendet, ohne die Verwendung zu nennen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:29, 3. Jul. 2012 (CEST)
Schritt vier ist: "Es existiert ein C Element m" (Begr.: Def. Mittelsenkr.)

Schritt fünf ist: "Abstand AC = Abstand BC" (Begr.: Schritt 4, Mittelsenkrechtenkrit., abstandserhaltend [Sm (AC)= BC] --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 17:56, 2. Jul. 2012 (CEST) 
*Ihr könnt nicht davon ausgehen, dass C als Eckpunkt des Dreiecks auf der Mittelsenkrechten liegt. Deshalb ist der Beweis so nicht richtig. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:29, 3. Jul. 2012 (CEST)
==Beweisschritte, Begründung bitte zufügen==
Hier gebe ich mal eine Möglichkeit eines direkten Beweises vor. Ergänzt die Beweisschritte.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:29, 3. Jul. 2012 (CEST) 
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit üblicher Bezeichnung, <math>|\alpha| = |\beta|</math>
|-
| Behauptung || <math>|AC| =|BC|</math>
|}
 
<ggb_applet width="427" height="325" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 

'''
Vorschlag Fahrtwind''' 
{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1) m ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>|| (Vor, Def. Mittelsenkrechte)
|-
| 2) <math>m \cap \overline{AC} = {S} \vee m \cap \overline{AC} = {C} \vee m \cap \overline{BC} = {S}</math> || (Satz vom Pasch (weil noch eine weitere Seite geschnitten wird - aber passt das, weil m in einem Fall durch den Eckpunkt C verläuft?)
|-
| 3) FAll 1)<math>|AS| =|BS|</math> || (Mittelsenkrechtenkriterium)
|-
| 4) <math>|\alpha| = |<ABS|</math> || (Vor., 3.)
|-
| 5) <math>|\beta| = |<ABS|</math> || (Vor., 3.)
|-
| 6) <math>BS^+ =BC^+</math> || (Def. Winkel, 4.,5.)
|-
| 7) <math> S = C</math> || (4.,5.,6.)
|-
| 8) <math>|AC| =|BC|</math> || (Mittelsenkrechtenkriterium)
|-
| 9) Fall 2) analog Fall 1 || -
|-
| 10) Fall 3) <math>|AC| =|BC|</math> || (Mittelsenkrechtenkriterium)
|}
 
*Die Begründungen stimmen so nicht alle. Schaut nochmal bei 4), 5),7), 8) - teilweise ist es einfach zu viel, teilweise fehlt was, teilweise ist die Begründung falsch.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:11, 4. Jul. 2012 (CEST)

Ich hab mich nochmal mit der Begründung versucht...

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 12)

2012-07-04T11:01:19Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 12)

2012-07-04T10:41:08Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 12)

2012-07-02T15:03:30Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 12)

2012-07-02T15:03:16Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 12)

2012-06-30T16:21:31Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 12)

2012-06-30T16:18:16Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 12)

2012-06-30T16:17:33Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 12)

2012-06-28T08:56:50Z

Fahrtwind: /* Vorschlag Honeydukes */

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
 
Manchmal kommt man nicht weiter, weil man nicht weiß wie es losgehen soll. Deshalb fange ich hier mal an. Diese Struktur kann auch für die anderen Aufgaben genutzt werden.''(z.B. kopieren, um die Formelschreibweise auf einer anderen Seite zu nutzen)''--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:03, 21. Jun. 2012 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Geradenspiegelung an g <math>Sg</math> mit <math>A'= Sg (A)</math> und <math>B' = Sg (B)</math> und <math>P \in AB^{+}</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (AB+) = A'B'^{+}</math> d.h. <math>P' \in A'B'^{+}</math>
|}
 
Es muss also gezeigt werden, dass das Bild <math>P'</math> eines beliebigen Punkts <math>P</math> der Halbgerade auch auf dem Bilder der Halbgeraden liegt. 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| (Begründung 1)
|-
| 2 (Schritt 2) || (Begründung 2)
|-
| 3 (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 (Schritt) || (Begründung)
|}
 

[[Kategorie:Einführung_P]]

==Versuch von Zitrone==
{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| 2 Zw(ABP) <math> \wedge</math> Zw (APB) || (1), Def. Zw., Def. Halbgerade
|-
| 3 <math>\left| AB \right| + \left| BP \right| = \left| AP \right| \wedge
\left| AP \right| + \left| PB \right| = \left| AB \right|</math> || (2), Def. koll
|-
| 4 <math>\left| A'B' \right| + \left| B'P' \right| = \left| A'P' \right| \wedge
\left| A'P' \right| + \left| P'B' \right| = \left| A'B' \right|</math> || (3), Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
|-
| 5 Zw(A'B'P') <math>\wedge</math> Zw(A'P'B') || (4), Def. Zw
|-
| 6 P<math>\in</math>A'B'+ || (5)
|}
 --[[Benutzer:Zitrone|Zitrone]] 12:50, 24. Jun. 2012 (CEST) 

ich glaube, bei 2, 4 und 5 müsste ein "oder" statt des "und"-zeichens stehen, oder?--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 00:53, 26. Jun. 2012 (CEST) Richtig, es muss oder heißen. Sonst aber schon gut, nur dass deine Definition der Halbgeraden nicht ganz vollständig ist >siehe Honeydukes Vorschlag.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:52, 26. Jun. 2012 (CEST) 

==Idee PippiLotta==
Habe das etwas anders gemacht und zwar bin ich gleich am Anfang auf die Definition Halbgerade AB+ und dann auf die Spiegelung von A und B eingegangen und habe dann die Definition der Halbgerade A´B´+ erstellt. Dadurch wäre es dann klar, das P´<math>\in</math> A´B´+ ist.
Geht das so auch? --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 13:48, 25. Jun. 2012 (CEST) 
Da bin ich mir nicht so sicher. Das müsste ich genau mit Begründungen sehen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:52, 26. Jun. 2012 (CEST)
==Vorschlag Studentin==
mein vorschlag (von dem ich nicht weiß, wie ich ihn verständlich niederschreiben soll): 
der punkt p soll ja element der halbgeraden ab+ sein (laut vorraussetzung) 
da wir die streckentreue nutzen sollen, würde ich ab+ in folgende zwei strecken teilen: 
1. p ist also element der strecke ab oder 2. für p gilt, dass die strecke ap b als element hat 
damit habe ich laut halbgeradendef. die halbgerade in zwei strecken geteilt, von denen ich weiß, dass sie streckentreu abgebildet werden. 
der gespiegelte punkt p' ist also element der beiden gespiegelten strecken. 
dann wieder der schritt zurüch zur halbgeraden: die beiden gespiegelten strecken kann man wieder lt halbgeradendef. als halbgerade' (a'b'+) zusammenfassen. 
eigentlich nicht wirklich was anderes als zitrone oder honeydukes idee, nur dass ich nicht (wörtlich) die zw.-rel. genutzt habe, sondern das element, dass zwischen den beiden punkten steht als element der strecke aufgefasst habe. 
(bin gespannt, ob mich jmd. versteht...)
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 01:24, 26. Jun. 2012 (CEST) Das ist genauso richtig, denn es gibt eben verschiedene Möglichkeiten die Halbgerade zu definieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:52, 26. Jun. 2012 (CEST) 
==Vorschlag Honeydukes==

Ich habe es so gemacht:

Ich muss zeigen, dass P Element von A´B`+ ist.
Zuerst habe ich AB+ definiert AB+: {P für die gilt: Zw(ABP)} und {P für die gilt: Zw (APB)} und {A,B}.

Wir hätten dann vier Fälle: 
1) P=A 
2) P=B 
3) Zw(APB) 
4) Zw (ABP) 

1), 2) und 3) haben wir schon bewiesen: Streckentreue (Ich denke es ist wichtig, entweder die drei Beweise zu führen, oder sich auf die Streckentreue zu berufen!)
Bleibt also noch der Beweis zu 4), der geht dann ähnlich dem von 3).

--[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 14:35, 25. Jun. 2012 (CEST) 
3)und 4) lässt sich z.B. wie es User Zitrone gemacht hat, beweisen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

Wo kann ich die Definition Geradenspiegelung finden, wenn wir sie doch immer bei den Begründungen benutzen?--[[Benutzer:Geogeogeo|Geogeogeo]] 10:34, 28. Jun. 2012 (CEST)

schau mal hier unter "Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung LaTeX: S_g)":
http://wikis.zum.de/geowiki/Die_Geradenspiegelung_und_Ihre_Eigenschaften_SoSe_12
--[[Benutzer:fahrtwind|fahrtwind]] 10:34, 28. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 12)

2012-06-26T18:13:10Z

Fahrtwind:

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 12)

2012-06-26T18:10:43Z

Fahrtwind: