Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösungen Serie 8 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-07-02T18:38:20Z

Ferrus: /* Aufgabe 8.5 */

=Aufgabe 8.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

:: a) Gleichschenkliges Dreieck,
:: b) Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: c) Basis eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: d) Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks,

==Lösung==
::a) Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten kongruent sind. 
::b) Die beiden Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, die kongruent zueinander sind, heißen Schenkel. 
::c) Die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks, die zu keiner anderen Seite kongruent ist, heißt Basis.

=Aufgabe 8.2=
[[Datei:Serie08Aufgabe8.2.jpg|thumb|Aufgabe 8.2]]
==Aufgabe==
Satz: Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind kongruent zueinander.

::a) Formulieren Sie den Satz in "wenn...dann...Form".
::b) Beweisen Sie den Satz, ohne den Kongruenzsatz SSS zu verwenden. Hinweis: Die Winkelhalbierende des Innenwinkels, der der Basis gegenüber liegt
::Sollten Sie gar nicht zurechtkommen: http://geometrie.zum.de/images/3/31/Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf
==Lösung==

=Aufgabe 8.3=
[[Datei:Serie08Aufgabe8.3.jpg|thumb|Aufgabe 8.3]]
Definition: Mittelsenkrechte
::Es seien $m$ eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
Wenn <math>g \perp \overline{AB} \land M \in m</math>, dann heißt <math>m</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beweisen Sie:
:Satz: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium)
::Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
::<math>P \in m \Rightarrow \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>

==Lösung==

=Aufgabe 8.4=
[[Datei: Datei:20200702 203215.jpg thumb Serie 8 Aufgaben 3 und 4 |miniatur|[[Datei:20200702 203215.jpg|thumb|Serie 8 Aufgaben 3 und 4]]]]

=Aufgabe 8.5=
[[Datei: Datei:20200702 203226.jpg thumb Serie 8 aufgabe 5 |miniatur|[[Datei:20200702 203226.jpg|thumb|Serie 8 aufgabe 5]]]]

=Aufgabe 8.6=

=Aufgabe 8.7=

=Aufgabe 8.8=

=Aufgabe 8.9=

=Aufgabe 8.10=

[[Kategorie: Einführung S]]

Datei:20200702 203226.jpg

2020-07-02T18:37:58Z

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Lösungen Serie 8 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-07-02T18:36:24Z

Ferrus: /* Aufgabe 8.4 */

=Aufgabe 8.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

:: a) Gleichschenkliges Dreieck,
:: b) Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: c) Basis eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: d) Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks,

==Lösung==
::a) Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten kongruent sind. 
::b) Die beiden Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, die kongruent zueinander sind, heißen Schenkel. 
::c) Die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks, die zu keiner anderen Seite kongruent ist, heißt Basis.

=Aufgabe 8.2=
[[Datei:Serie08Aufgabe8.2.jpg|thumb|Aufgabe 8.2]]
==Aufgabe==
Satz: Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind kongruent zueinander.

::a) Formulieren Sie den Satz in "wenn...dann...Form".
::b) Beweisen Sie den Satz, ohne den Kongruenzsatz SSS zu verwenden. Hinweis: Die Winkelhalbierende des Innenwinkels, der der Basis gegenüber liegt
::Sollten Sie gar nicht zurechtkommen: http://geometrie.zum.de/images/3/31/Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf
==Lösung==

=Aufgabe 8.3=
[[Datei:Serie08Aufgabe8.3.jpg|thumb|Aufgabe 8.3]]
Definition: Mittelsenkrechte
::Es seien $m$ eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
Wenn <math>g \perp \overline{AB} \land M \in m</math>, dann heißt <math>m</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beweisen Sie:
:Satz: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium)
::Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
::<math>P \in m \Rightarrow \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>

==Lösung==

=Aufgabe 8.4=
[[Datei: Datei:20200702 203215.jpg thumb Serie 8 Aufgaben 3 und 4 |miniatur|[[Datei:20200702 203215.jpg|thumb|Serie 8 Aufgaben 3 und 4]]]]

=Aufgabe 8.5=

=Aufgabe 8.6=

=Aufgabe 8.7=

=Aufgabe 8.8=

=Aufgabe 8.9=

=Aufgabe 8.10=

[[Kategorie: Einführung S]]

Datei:20200702 203215.jpg

2020-07-02T18:36:03Z

Ferrus: User created page with UploadWizard

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Lösungen Serie 7 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-21T18:18:09Z

Ferrus: /* Lösung */

=Aufgabe 7.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

# Winkel,
# Scheitel eines Winkels,
# Schenkel eines Winkels,
# Inneres eines Winkels,
# rechter Winkel,
# spitzer Winkel,
# stumpfer Winkel,
# Einschußwinkel (beim Fußball, schießen auf das Tor),
# Supplementärwinkel,
# Nebenwinkel,
# Scheitelwinkel,
# Innenwinkel eines Dreiecks,
# Außenwinkel eines Dreiecks,
# Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) eines Kreises,
# Peripheriewinkel (Umfangswinkel) eines Kreises.

==Lösung==
huhu, das sind vorerst meine ersten Überlegungen. Freue mich auf die Verbesserung. Die Bilder sind komischerweise alle auf die Seite gedreht, ich bitte das zu entschuldigen.(21.06.2020 20:16)
[[Datei: Datei:20200621 200650.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1 |miniatur|[[Datei:20200621 200650.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200658.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2 |miniatur|[[Datei:20200621 200658.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200705.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3 |miniatur|[[Datei:20200621 200705.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200710.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200710.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200715.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200715.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 7 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-21T18:16:40Z

Ferrus: /* Lösung */

=Aufgabe 7.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

# Winkel,
# Scheitel eines Winkels,
# Schenkel eines Winkels,
# Inneres eines Winkels,
# rechter Winkel,
# spitzer Winkel,
# stumpfer Winkel,
# Einschußwinkel (beim Fußball, schießen auf das Tor),
# Supplementärwinkel,
# Nebenwinkel,
# Scheitelwinkel,
# Innenwinkel eines Dreiecks,
# Außenwinkel eines Dreiecks,
# Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) eines Kreises,
# Peripheriewinkel (Umfangswinkel) eines Kreises.

==Lösung==
huhu, das sind vorerst meine ersten Überlegungen. Freue mich auf die Verbesserung. (21.06.2020 20:16)
[[Datei: Datei:20200621 200650.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1 |miniatur|[[Datei:20200621 200650.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200658.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2 |miniatur|[[Datei:20200621 200658.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200705.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3 |miniatur|[[Datei:20200621 200705.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200710.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200710.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200715.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200715.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 7 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-21T18:14:47Z

Ferrus: /* Lösung */

=Aufgabe 7.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

# Winkel,
# Scheitel eines Winkels,
# Schenkel eines Winkels,
# Inneres eines Winkels,
# rechter Winkel,
# spitzer Winkel,
# stumpfer Winkel,
# Einschußwinkel (beim Fußball, schießen auf das Tor),
# Supplementärwinkel,
# Nebenwinkel,
# Scheitelwinkel,
# Innenwinkel eines Dreiecks,
# Außenwinkel eines Dreiecks,
# Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) eines Kreises,
# Peripheriewinkel (Umfangswinkel) eines Kreises.

==Lösung==
[[Datei: Datei:20200621 200650.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1 |miniatur|[[Datei:20200621 200650.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200658.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2 |miniatur|[[Datei:20200621 200658.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200705.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3 |miniatur|[[Datei:20200621 200705.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200710.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200710.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200715.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200715.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Datei:20200621 200715.jpg

2020-06-21T18:12:41Z

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Datei:20200621 200705.jpg

2020-06-21T18:12:40Z

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Datei:20200621 200710.jpg

2020-06-21T18:12:40Z

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Datei:20200621 200650.jpg

2020-06-21T18:12:39Z

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2020-06-21T18:12:38Z

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Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-17T19:15:19Z

Ferrus: /* Lösung */

=Lösung Aufgabe 6.1=
==Aufgabe 6.1==

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

# <math>M_1= \overline{AB} \cap AB^+</math>.
# <math>M_2= \overline{AB} \cup AB^+</math>.
# <math>M_3= \overline{AB} \cap BA^+</math>.
# <math>M_4= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
# <math>M_5= \overline{AB} \cap AB^-</math>.
# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
==Lösung==
<math>M_1= \overline{AB}</math> 
<math>M_2= AB^+</math> 
<math>M_3= \overline {AB}</math> 
<math>M_4= BA^+</math> 
<math>M_5=</math>{A} 
<math>M_6= BA^+</math>

===Lösung von Ferrus===
[[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]]
===Bemerkungen M.G.===
[[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]]

=Lösung Aufgabe 6.2=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>.
==Lösung==
Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert. 
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass <math>\overline {AP}</math> einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene <math>gA^-</math>.

=Lösung Aufgabe 6.3=
==Aufgabe==
Definition: (Dreieck)
::Es gelte <math>\operatorname{nkoll}(A,B,C)</math>. 
::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>. 

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>.

==Lösung==
<math>I(\overline{ABC}):= {P| zw(B,K,C) \cap zw(A,P,K)}

=Lösung Aufgabe 6.4=
==Aufgabe==
Beweisen Sie den folgenden Satz: 

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen) 

::Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

==Lösung==
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ...

=Lösung Aufgabe 6.5=

==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist.
==Lösung==
===Lösung 0===
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....
===eingestellte Lösung 1 ===
[[Bild:Serie06Aufgabe6.5.jpg|600px]]
====Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 17:27, 16. Jun. 2020 (CEST)=====
Schritte 4 und 5 sind unnötig. Der Rest ist nicht zwingend. 
Sie müssen zeigen, dass ein beliebiger Punkt <math>P</math> von <math>\overline{CD}</math> zu <math>\overline{AB}</math> gehört. 
Für die Endpunkte <math>C,D</math> ist das trivial. 
Sei <math>P \in \overline{CD}, A, B \not \equiv P </math>. 
Wir müssen zeigen, dass <math>\operatorname{zw(A,P,B}</math> 
Das haben wir gezeigt, wenn wir 
<math>\begin{matrix}
(*) & |AP|+|PB| & = & |AB|\\
\end{matrix}
</math> 
gezeigt haben. 

Wir kümmern uns zunächst um die Lage der Punkte <math>C</math> und <math>D</math>. 
<math>A, C</math> und <math>D</math> sind drei kollineare paarweise verschiedene Punkte von denen demnach genau einer zwischen den anderen beiden liegt. Sei dieses o.B.d.A. der Punkt <math>C</math>. Über die Punkte und ihre Abstände haben wir nun die folgenden gesicherten Kenntnisse: 

<math>\begin{matrix}
(I) & |AC|+|CB|& = & |AB| & ~ wegen ~ C \in \overline{AB} \\
(II) & |AD|+|DB|& = &|AB| & ~ wegen ~ D \in \overline{AB} \\
(III) & |AC|+|CD|&=& |AD| & ~wegen~ \operatorname{zw}(A,C,D)\\
\end{matrix}
</math> 
Der Punkt <math>D</math> muss nun zwischen <math>C</math> und <math>B</math> liegen. 
Wäre dem nicht so, müsste <math>C</math> zwischen <math>D</math> und <math>C</math> liegen. 
'''Hier müssen Sie jetzt einen Widerspruch finden ...''' 
Wegen <math>\operatorname{zw} (C,D,B)</math> gilt: 

<math>\begin{matrix}
(IV) & |CD|+|DB|& = & |CB| \\
\end{matrix}
</math> 
Jetzt konzentrieren wir uns noch mal auf <math>P</math>: 

<math>\begin{matrix}
(V) & |CP|+|PD|& = & |AB| & ~ wegen ~ P \in \overline{CD} \\
\end{matrix}
</math> 
'''Jetzt versuchen Sie, aus (I) bis (V) (*) zu "basteln". '''

=Lösung Aufgabe 6.6=

==Aufgabe==
Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex) 

:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2. 

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
==Lösung 0==
Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>. 
Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass .....
==1. Lösung, die eingestellt wurde==
[[Bild:Serie06Aufgabe6.6.jpg|600px]]

=Lösung Aufgabe 6.7=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
==Lösung==
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen <math>AB,C^+</math> , <math>BC,A^+</math> und <math>AC,B^+</math>.
Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind 
und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist, 
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

=Lösung Aufgabe 6.8=
==Aufgabe==
Definieren Sie die folgenden Begriffe:

# Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>.
# Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.9=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
==Lösung==
===Definition===
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. 
Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert: 

<math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>.
===Beweis des Satzes===
Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>. 
Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>. 
Wir nehmen an, dass .... 
Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... . 
...

=Lösung Aufgabe 6.10=
==Aufgabe==
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse) 

::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math>

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>.
Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist.
==Lösung==

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-15T15:08:05Z

Ferrus: /* Lösung */

Datei:20200615 170032 (2).jpg

2020-06-15T15:04:57Z

Ferrus: User created page with UploadWizard

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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-15T14:57:26Z

Ferrus: /* Lösung */

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-15T14:04:58Z

Ferrus: /* Lösung */

Datei:20200615 155945.jpg

2020-06-15T14:03:38Z

Ferrus: User created page with UploadWizard

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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-01T18:38:56Z

Ferrus:

[[Datei:Übungsaufgabe Serie 6 Aufgabe 6.02|miniatur|[[Datei:Lösungen 6.02.jpg|thumb|Übungsaufgabe Serie 6 Aufgabe 6.02]]]]

nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

[[Datei:Übungsaufgabe Serie 6 Aufgabe 6.03|miniatur|[[Datei:Aufgaben Serie 6.03.jpg|thumb|Übungsaufgabe Serie 6 Aufgabe 6.03]]]]

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[[Datei: Datei:Aufgaben Serie 6.06.jpg thumb Übungsaufgabe Serie 6 Aufgabe 6.06 |miniatur|[[Datei:Aufgaben Serie 6.06.jpg|thumb|Übungsaufgabe Serie 6 Aufgabe 6.06]]]]

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Lösungen Serie 5 SoSe 2020

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