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Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-31T17:27:32Z

Flobold: /* Schwerpunkt eines Dreiecks */

Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist.
Erstellen Sie das Skript selbst.

{|
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== Seitenhalbierende eines Dreiecks ==
Definition XVI.1 (Seitenhalbierende eines Dreiecks) 
In einem Dreieck sind die Strecken von einem Eckpunkt zu dem Mittelpunkt der, dem jeweiligen Eckpunkt gegenüberliegenden Seite des Dreiecks "Seitenhalbierende eines Dreiecks".
Oder etwas ausführlicher:
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. 

Unter der Seitenhalbierende des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> der Seite <math>\overline{AB}</math> versteht man die Strecke <math>\overline{MC}</math>, wobei M der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.

Unter der Seitenhalbierende des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> der Seite <math>\overline{BC}</math> versteht man die Strecke <math>\overline{MA}</math>, wobei M der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{BC}</math> ist.

Unter der Seitenhalbierende des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> der Seite <math>\overline{AC}</math> versteht man die Strecke <math>\overline{MB}</math>, wobei M der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.
--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 18:24, 31. Jan. 2012 (CET)

 
Satz XVI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden) 
In einem Dreieck existiert zu jeder Seite des Dreiecks genau eine Seitenhalbierende. --[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 18:24, 31. Jan. 2012 (CET)

== Schwerpunkt eines Dreiecks ==

Satz XVI.2: (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks) 
 Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt.--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 18:27, 31. Jan. 2012 (CET) 
 
Definition XVI.2 (Schwerpunkt eines Dreiecks) 

 Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks heißt Schwerpunkt eines Dreiecks. --[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 18:27, 31. Jan. 2012 (CET) 
 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-31T17:24:50Z

Flobold: /* Seitenhalbierende eines Dreiecks */

Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist.
Erstellen Sie das Skript selbst.

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== Seitenhalbierende eines Dreiecks ==
Definition XVI.1 (Seitenhalbierende eines Dreiecks) 
In einem Dreieck sind die Strecken von einem Eckpunkt zu dem Mittelpunkt der, dem jeweiligen Eckpunkt gegenüberliegenden Seite des Dreiecks "Seitenhalbierende eines Dreiecks".
Oder etwas ausführlicher:
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. 

Unter der Seitenhalbierende des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> der Seite <math>\overline{AB}</math> versteht man die Strecke <math>\overline{MC}</math>, wobei M der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.

Unter der Seitenhalbierende des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> der Seite <math>\overline{BC}</math> versteht man die Strecke <math>\overline{MA}</math>, wobei M der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{BC}</math> ist.

Unter der Seitenhalbierende des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> der Seite <math>\overline{AC}</math> versteht man die Strecke <math>\overline{MB}</math>, wobei M der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.
--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 18:24, 31. Jan. 2012 (CET)

 
Satz XVI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden) 
In einem Dreieck existiert zu jeder Seite des Dreiecks genau eine Seitenhalbierende. --[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 18:24, 31. Jan. 2012 (CET)

== Schwerpunkt eines Dreiecks ==

Satz XVI.2: (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks) 
 

Definition XVI.2 (Schwerpunkt eines Dreiecks) 

 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 12.6 WS 11/12

2012-01-15T12:57:42Z

Flobold:

Beweisen Sie: 
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Beweis:
Vor.: <math>\overline{ABC}</math> mit <math>\ \beta , \alpha & \gamma </math>
Beh.: <math>\ | \alpha | < 90 </math>, <math>\ | \beta | < 90 </math>
Ann.: <math>\ | \alpha | = 90 </math>, <math>\ | \beta | = 90 </math>
[[Datei:Bildschirmfoto 2012-01-15 um 13.31.23.png]]

1) M sei Mittelpunkt von Strecke AB / Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts
2) Es existiert P Element MC- mit Abstand MC=MP / Axiom vom Lineal
3) lila Winkel = lila Winkel / Scheitelwinkelsatz
4) Strecke AM kongruent zu MB / (1), Def. Mittelpunkt
5) Strecke CM kongruent zu MP / (2)
6) Dreieck AMC kongruent zu Dreieck BMP / (3), (4), (5), SWS
7) <math>\ | \alpha | =\angle PBM = 90 </math> / (6), Vor.
8) <math>\ | \beta | = | \delta | =90 </math> / Supplementaxiom, Vor.
9) <math>\ | \delta | =\angle PBM = 90 </math> / (7), (8)
10) BC- kongruent zu BP'+ / (9),Winkelkonstruktionsaxiom
11) P ist Element von BC / (10)

12) Analog lässt sich zeigen, dass P Element von AB

13) AC kongruent zu BC / (11), (12), Axiom I.1
14) koll(ABC) / 13), Def. koll -> Widerspruch zur Vorrausetzung

--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 13:56, 15. Jan. 2012 (CET)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 12.6 WS 11/12

2012-01-15T12:56:26Z

Flobold:

Beweisen Sie: 
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Beweis:
Vor.: <math>\overline{ABC}</math> mit <math>\ \beta , \alpha & \gamma </math>
Beh.: <math>\ | \alpha | < 90 </math>, <math>\ | \beta | < 90 </math>
Ann.: <math>\ | \alpha | = 90 </math>, <math>\ | \beta | = 90 </math>
[[Datei:Bildschirmfoto 2012-01-15 um 13.31.23.png]]

1) M sei Mittelpunkt von Strecke AB / Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts
2) Es existiert C' Element MC- mit Abstand MC=MC' / Axiom vom Lineal
3) lila Winkel = lila Winkel / Scheitelwinkelsatz
4) Strecke AM kongruent zu MB / (1), Def. Mittelpunkt
5) Strecke CM kongruent zu MC' / (2)
6) Dreieck AMC kongruent zu Dreieck BMC / (3), (4), (5), SWS
7) <math>\ | \alpha | =\angle C'BM = 90 </math> / (6), Vor.
8) <math>\ | \beta | = | \delta | =90 </math> / Supplementaxiom, Vor.
9) <math>\ | \delta | =\angle C'BM = 90 </math> / (7), (8)
10) BC- kongruent zu BC'+ / (9),Winkelkonstruktionsaxiom
11) C' ist Element von BC / (10)

12) Analog lässt sich zeigen, dass C' Element von AB

13) AC kongruent zu BC / (11), (12), Axiom I.1
14) koll(ABC) / 13), Def. koll -> Widerspruch zur Vorrausetzung

--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 13:56, 15. Jan. 2012 (CET)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Datei:Bildschirmfoto 2012-01-15 um 13.31.23.png

2012-01-15T12:41:27Z

Flobold: {{Information |Beschreibung = |Quelle = http://wikis.zum.de/geowiki/Der_schwache_Außenwinkelsatz_WS_11/12 |Urheber = |Datum = 15.1.2012 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle = http://wikis.zum.de/geowiki/Der_schwache_Außenwinkelsatz_WS_11/12
|Urheber =
|Datum = 15.1.2012
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz ==
{{Dateiüberprüfung}}

Inzidenz im Raum WS 11/12)

2012-01-10T09:49:07Z

Flobold: /* Satz I.7: */

=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum ===
==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ====
Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

=====Axiom I/0=====

::Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====

::Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====

::Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====

::Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

=====Axiom I/4=====

::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I/5=====

::Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I/6=====

::Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Definition I/6: (komplanar)=====

::Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Axiom I/7=====

::Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

==== Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome ====
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
::Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
::Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
::In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I/9: (windschief )=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
::Zwei Ebenen ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben. 

Kann ich dann davon ausgehen, dass wenn zwei Ebenen keinen Punkt gemeinsam haben sie dann parallel sind? Steht ja so nicht da.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:09, 5. Dez. 2011 (CET)
Kann ich jetzt davon ausgehen?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:30, 21. Dez. 2011 (CET) Eine gute Frage! Sorry, ich sehe sie erst jetzt. 
* Du vermisst warscheinlich das "genau dann" - das muss aber nur in einem Satz stehen. Deshalb, ja, du kannst davon ausgehen. Das liegt daran, dass es sich hier um eine Definition handelt.So wie: Ein Viereck heißt Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks parallel sind. > Habe ich ein Viereck mit diesen Seiten, weiß ich, dass ich es Parallelogramm nennen darf.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:19, 23. Dez. 2011 (CET)

==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====
=====Satz I.5:=====
::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
::Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
-> Kann ich diesen Satz mit Axiom I.4 beweisen? Also Axiom I.3 sagt aus es gibt drei nicht kollineare Punkte und Axiom I.4 sagt zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, somit enthält die Ebene drei Punkte. Hab ich es damit für jede Ebene bewiesen oder nur für eine einzige?!

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.3 (WS 11/12)

2011-11-01T13:21:00Z

Flobold:

Wir gehen von folgender Definition aus: 
Eine Winkelhalbierende eines Winkels <math>\angle (p,q)</math> ist ein Strahl ''l'', der im Inneren des Winkels <math>\angle (p,q)</math> liegt, den Scheitel des Winkels <math>\angle (p,q)</math> als Anfangspunkt besitzt und diesen Winkel in zwei gleich große Winkel <math>\angle (p,l)</math> und <math>\angle (l,q)</math> unterteilt. 
Außerdem sei folgende genetische Definition gegeben: 
*Gegeben sei ein Winkel <math>\angle (p,q)</math>.
*Man konstruiere auf den beiden Schenkeln des Winkels <math>\angle (p,q)</math> zwei Punkte ''P'' und ''Q'', die vom Scheitel ''S'' des Winkels <math>\angle (p,q)</math> gleich weit entfernt sind.
*Man konstruiere die Strecke <math>\overline{PQ}</math>.
*Man konstruiere den Mittelpunkt ''M'' der Strecke <math>\overline{PQ}</math>.
*Man konstruiere den Strahl ''w'' mit dem Anfangspunkt ''S'', der durch den Punkt ''M'' verläuft.
*Dieser Strahl ''w'' ist die Winkelhalbierende. 
Beweisen Sie, dass durch diese Konstruktionsvorschrift tatsächlich die Winkelhalbierende entsprechend der angegebenen Definition entsteht. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

* Wenn man die Konstruktionsvorschrift befolgt und eine Winkelhalbierende erhält, ist die Konstruktionsvorschrift dann bewiesen?
--[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 18:06, 28. Okt. 2011 (CEST)

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) <math>\overline{SP}</math> = <math>\overline{SQ}</math> || Voraussetzung
|-
| (2) <math>\overline{PM}</math> = <math>\overline{QM}</math> || Konstruktionsvorschrift
|-
| (3) <math>\overline{SM}</math> = <math>\overline{SM}</math> || Konstruktionsvorschrift
|-
| (4) <math>\triangle {SPM} \tilde = \triangle {SQM}</math> || SSS,(1),(2),(3)
|-
| (5) <math>\angle {PSM} \tilde = \angle {QSM}</math> || (4)
|} 
--Mathenerds 10:40, 29. Okt. 2011 (CEST) 

=== weiterer Lösungsversuch ===
* An dieser Stelle bitte ich den Autor einige Dinge näher zu erläutern, um eventuelle Missverständnisse zu vermeiden. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 14:40, 31. Okt. 2011 (CET)
[[Bild:Winkelhalb.png|200px]]

Voraussetzungen:

<math> \overline{SP} \tilde {=} \overline{SQ}</math>

<math>\overline{QP} =c</math> Was bedeutet c bzw c1 oder c2? Sind hier reelle Zahlen gemeint? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 14:40, 31. Okt. 2011 (CET)

<math>\overline{QM} = \overline{PM}</math>

<math>\overline{QM} =c1</math>

<math> \overline{PM} =c2</math>

<math>c1 + c2 = c</math>

Behauptung:

<math>\angle l,p = \angle l,q</math>

Beweis:

<math>\overline{SP} = \overline{SQ}\ \wedge \angle p,q \Rightarrow \angle c,p = \angle c,q</math> SWS Dreiecksatz berachtes Dreick: S,P,Q 
Was soll hier gemeint sein? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 14:40, 31. Okt. 2011 (CET)
* Ich betrachte hier das Dreieck S,P,Q und stelle fest, dass die Srecken S,Q und S,P der Voraussetzung nach gleich lang sind,
ebenfalls ist der Winkel q,p gegeben, daraus folgere ich, dass der Winkel c,p und der Winkel c,q konguent sein müssen.
Da wenn bei einem Dreieck zwei aneinanderliegende Seiten und der dazwischenligende Winkel geben ist,
die restlichen Winkel und die weitere Seite auch feststehen. Bei dem Sonderfall, dass die zwei Seiten,
wie hier auch noch gleich lang sind müssen die Winkel auch konguent sein.

<math>\overline{MS} = \overline{MS} \wedge \overline{SP} = \overline{SQ} \wedge \overline{MP} = \overline{MQ} \Rightarrow \angle s,p = \angle s,q</math> SSS Dreiecksatz betrachtete Dreicke S,M,P und S,Q,P

Somit muss die Halbgerade l die Winkelschneidende sein.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
== Noch ein Versuch ==

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) Dreieck SQM ist rechtwinklig || Satz des Tales
|-
| (2) Dreieck SMP ist rechtwinklig || Satz des Tales
|-
| (3) <math>\overline{SP} = \overline{SQ}</math> und <math>\overline{PM} = \overline{MQ}</math> || Konstruktionsvorschrift
|-
| (4) sin(<math>\angle p,l</math>) = <math>\overline{MQ}</math> : <math>\overline{SP}</math>|| Trigonometrie , (1)
|-
| (5) sin(<math>\angle q,l</math>) = <math>\overline{PM}</math> : <math>\overline{SP}</math>|| Trigonometrie , (2)
|-
| (6) sin(<math>\angle q,l</math>) = <math>\overline{PM}</math> : <math>\overline{SP}</math> = <math>\overline{MQ}</math> : <math>\overline{SP}</math>|| (3) und (5)
|-
| (7) sin(<math>\angle q,l</math>) = sin(<math>\angle p,l</math>) || (6) und (4)
|-
| (8) <math>\angle q,l</math> = <math>\angle p,l</math> || (7)
|}
--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 14:21, 1. Nov. 2011 (CET)

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 11/12)

2011-11-01T12:53:24Z

Flobold:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
# Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
# Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm.
# Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden.
# Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
 

----
 

[[Category:Einführung_Geometrie]]
* 1: Korrekt, da dies nur für Parallelogramme zutrifft. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:43, 28. Okt. 2011 (CEST)
* An dieser Stelle greife ich einmal die Argumentation von Punkt 2 auf: In einem Quadrat halbieren sich die Diagonalen auch und bei der Raute halbieren sich die Diagonalen auch gegenseitig. Ist es nun eine korrekte Definition, auch wenn sie die Rauten und Quadrate nicht ausschließt? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:14, 29. Okt. 2011 (CEST) 
** Ich denke schon, dass es eine korrekte Definition ist, da Rauten, Rechtecke und Quadrate auch spezielle Parallelogramme sind. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 11:56, 29. Okt. 2011 (CEST)
** Aber bei einem beliebigen Drachenviereck halbieren sich die Diagonalen auch und das ist dann sicher kein Prallelogramm.--[[Benutzer:BeaBer|BeaBer]] 22:33, 31. Okt. 2011 (CET)
*** @BeaBer Im beliebigen Drachenviereck wird nur eine Diagonale von der anderen halbiert. Im Parallelogramm dagegen, halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 08:50, 1. Nov. 2011 (CET)
*** Stimmt, ich nehme alles zurück.--[[Benutzer:BeaBer|BeaBer]] 10:29, 1. Nov. 2011 (CET)
* 2: Laut der Definition kann es ein Parallelogramm sein, aber auch eine Raute. (also nicht eindeutig) --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:45, 28. Okt. 2011 (CEST) 
* Bei dieser Def. kann es '''ein''' Parallelogramm sein, aber die Frage ist vielmehr: Kann es '''ein beliebiges''' Parallelogramm sein oder wird mit der Def. nur ein bestimmtes Parallelogramm beschrieben? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:14, 29. Okt. 2011 (CEST) 
* Bei dieser Definition erhält man nur ein bestimmtes Parallelogramm, nämlich die Raute. Dies liegt daran, dass man für den Drachen bereits definiert hat, dass dessen Diagonalen orthogonal zueinander stehen. Ein Paralellogramm mit orthogonalen Diagonalen ist jedoch immer eine Raute. --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 11:26, 29. Okt. 2011 (CEST)
* 3: Korrekt. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:55, 28. Okt. 2011 (CEST) 
* 4: Ist nicht korrekt, da ein gleichschenkliges Trapez auch zwei zueinander kongruente Seiten hat. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:55, 28. Okt. 2011 (CEST) 
 

1. Nein nicht korrekt, keine eindeutige Definition für Parallelogramme ( könnte auch eine Raute sein) 
* Muss die Def. Parallelogramm die Rauten ausschließen? Man bedenke, dass eine Raute ein spezielles Parallelogramm ist. Somit muss die Def. Parallelogramm ja auch auf die Raute zutreffen, denn sonst wäre eine Raute kein Parallelogramm. :) --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:14, 29. Okt. 2011 (CEST) 
2. Nein, Darf man für das Parallelogramm den Oberbegriff Drachen verwenden ( Haus der Vierecke) ?? 
3. Falsch, Es gibt --> Existenzaussage 
4. Nein, es wäre so ein gleichschenkliges Trapez --> Bei Parallelogrammen müssten die Seiten auch parallel sein 10:25, 29. Okt. 2011 (CEST)mathenerds 
*aber kongruent bedeutet doch deckungsgleich oder? bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Seiten zwar gleichlang aber nicht kongruent, sprich ein Trapez mit zwei kongruenten Seiten ist ein Parallelogramm, denn wenn zwei Seiten kongruent sind, so sind es die anderen auch!!! Mies erklärt aber ich hoff ihr versteht mich. --[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 13:53, 1. Nov. 2011 (CET)

@ mathenerds zu 1.: Eine Raute ist doch immer auch ein spezielles Parallelogramm. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 10:57, 29. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.4 (WS 11 12)

2011-10-23T08:36:43Z

Flobold:

Kommentieren Sie den folgenden Definitionsversuch:

Definition: (gleichschenkliges Dreieck)
::Es gibt Dreiecke, die zwei einander kongruente Innenwinkel haben. Diese Dreiecke heißen gleichschenklige Dreiecke.

Das wäre doch eher eine Behauptung, die man beweisen müsste.
Wäre eine mögliche Definition:
Jedes Dreieck, das zwei kongruente Innenwinkel hat, heißt gleichschenkliges Dreieck.--[[Benutzer:Lindi 88|Lindi 88]] 17:02, 18. Okt. 2011 (CEST)

Hier müssen wir bei der Formulierung aufpassen. Gleichschenklige Dreiecke haben zwei zueinander kongruente Innenwinkel, das ist richtig. Allerdings haben gleichseitige Dreiecke ebenfalls zwei kongruente Innenwinkel. Man müsste sagen, Dreiecke, die genau zwei kongruente Innenwinkel haben, heißen gleichschenklige Dreiecke. Die Definition oben ist in meinen Augen eine Existenzaussage und keine Definition. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:42, 18. Okt. 2011 (CEST)

@ Schambes: naja...aber gleichseitige Dreiecke sind ja nunmal auch gleichschenklige. Ist die Definition von Lindi88 dann nicht doch richtig? Oder ist sie dann zu ungenau? (Lottta, 19.10.11.)

* Wenn ein Behauptung beweisbar ist, und somit richtig, ist es dann keine Definition? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
** Die zwei kongruenten Innenwinkel bedingen ja zwei gleich lange Seiten bei einem Dreieck und somit ist das gleichschenklige Dreieck ja Definiert. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
[[Category:Einführung_Geometrie]]
@ Lottta: gleichseitige Dreiecke sind gleichschenklige Dreiecke, das ist absolut richtig. Ich habe grade einen Fehler bei mir hier entdeckt. Es müsste heißen: Dreicke die mindestens 2 zueinander kongruente Innenwinkel haben, heißen gleichschenklige Dreiecke. Ich habe mich vielleicht auch ein bischen undeutlich ausgedrückt bei meinem ersten Post hier. Aufpassen mit der Formulierung müssten wir bei der Aufgabe. Zur Definition von Lindi habe ich auch nichts gesagt ;) ich würde nur es nur soweit verbessern in dem ich das "mindestens" noch hinzufüge, also: Jedes Dreieck, das mindestens 2 kongruente Innenwinkel hat, heißt gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 11:28, 21. Okt. 2011 (CEST)
* Dieses "mindestens" braucht es aber gar nicht, denn wenn es drei kongruente Innenwinkel hat so sind auch zwei davon kongruent und in beiden Fällen handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck, nur dass im einen Fall noch die Bedingung für ein gleichseitiges Dreieck erfüllt wird oder? Ich finde es bei dieser Definition eher verwunderlich (was nicht heißt, dass sie falsch ist!!!), dass ein gleichschenkliges Dreieck mit Hilfe der Innenwinkel und nicht mit Hilfe der Schenkel definiert wird -> könnte doch für Laien verwirrend sein oder? --[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 10:36, 23. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 11 12)

2011-10-23T08:27:32Z

Flobold:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt: 
Viereck, Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

Viereck: Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4.

'''Trapez''': Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 23:06, 17. Okt. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Raute: Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, dann ist es eine Raute.

Wäre die folgende Defintion auch richtig, wenn Parallelogramm definiert wäre?
Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute.

Ich denke, dass deine Definition unter der Vorraussetzung, dass wir Parallelogramm bereits definiert haben, richtig ist ;) --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:26, 18. Okt. 2011 (CEST)

'''Parallelogramm''': Ein Viereck, dessen gegenüberliegenede Seiten jeweils parallel sind, heißt Parallelogramm. 
'''Drachen''': Ein Viereck mit zwei paar gleichlangen, benachbarten Seiten, heißt Drachen. 
*Kann man Drache nicht auch so definieren: Ein Viereck dessen Diagonalen (Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken) sich im rechten Winkel schneiden heißt Drache. ?--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 10:27, 23. Okt. 2011 (CEST)
'''Raute''': Ein Drachen mit drei kongruenten Seiten, heißt Raute. 
'''Rechteck''': Wenn ein Parallelogramm einen rechten Innenwinkel besitzt, dann heißt es Rechteck. 
'''Quadrat''': Eine Raute mit einem rechten Innenwinkel, heißt Quadrat.
Ein Rechteck mit drei kongruenten Seiten, heißt Quadrat. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:26, 18. Okt. 2011 (CEST) 

* Ist eine Fläche die aus vier Ecken besteht, welche nicht nur mit Geraden verbunden sind auch ein Viereck? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 

* Wie meinst du das, welche nicht nur mit Geraden verbunden sind? --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 22:08, 19. Okt. 2011 (CEST) 
* Na ja, wenn zwei Punkte mit einem Bogen verbunden sind, oder mit einem Halbkreis und dennoch Vier Ecken vorhanden sind --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
** Gute Frage! Was ist eigentlich ein Viereck? Was ist eigentlich ein n-Eck? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 01:19, 21. Okt. 2011 (CEST)
*** Diese Frage habe ich mir auch schon gestellt. Eigentlich muss man zuerst definieren, was ein n-Eck ist, was gar nicht so leicht ist. Ich bin davon ausgegangen jetzt, dass wir wissen, was ein n-Eck ist.
@ RicRic: diese Vierecke gibt es auch würde ich behaupten, denn wer weiß schon, was eine Gerade ist ;) --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 11:33, 21. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 11 12)

2011-10-23T08:27:09Z

Flobold:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt: 
Viereck, Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

Viereck: Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4.

'''Trapez''': Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 23:06, 17. Okt. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Raute: Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, dann ist es eine Raute.

Wäre die folgende Defintion auch richtig, wenn Parallelogramm definiert wäre?
Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute.

Ich denke, dass deine Definition unter der Vorraussetzung, dass wir Parallelogramm bereits definiert haben, richtig ist ;) --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:26, 18. Okt. 2011 (CEST)

'''Parallelogramm''': Ein Viereck, dessen gegenüberliegenede Seiten jeweils parallel sind, heißt Parallelogramm. 
'''Drachen''': Ein Viereck mit zwei paar gleichlangen, benachbarten Seiten, heißt Drachen. 
*Kann man Drache nicht auch so definieren: Ein Viereck dessen Diagonalen (Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken) sich im rechten Winkel schneiden heißt Drache. --[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 10:27, 23. Okt. 2011 (CEST)
'''Raute''': Ein Drachen mit drei kongruenten Seiten, heißt Raute. 
'''Rechteck''': Wenn ein Parallelogramm einen rechten Innenwinkel besitzt, dann heißt es Rechteck. 
'''Quadrat''': Eine Raute mit einem rechten Innenwinkel, heißt Quadrat.
Ein Rechteck mit drei kongruenten Seiten, heißt Quadrat. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:26, 18. Okt. 2011 (CEST) 

* Ist eine Fläche die aus vier Ecken besteht, welche nicht nur mit Geraden verbunden sind auch ein Viereck? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 

* Wie meinst du das, welche nicht nur mit Geraden verbunden sind? --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 22:08, 19. Okt. 2011 (CEST) 
* Na ja, wenn zwei Punkte mit einem Bogen verbunden sind, oder mit einem Halbkreis und dennoch Vier Ecken vorhanden sind --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
** Gute Frage! Was ist eigentlich ein Viereck? Was ist eigentlich ein n-Eck? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 01:19, 21. Okt. 2011 (CEST)
*** Diese Frage habe ich mir auch schon gestellt. Eigentlich muss man zuerst definieren, was ein n-Eck ist, was gar nicht so leicht ist. Ich bin davon ausgegangen jetzt, dass wir wissen, was ein n-Eck ist.
@ RicRic: diese Vierecke gibt es auch würde ich behaupten, denn wer weiß schon, was eine Gerade ist ;) --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 11:33, 21. Okt. 2011 (CEST)