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Drehungen 2010

2010-11-13T15:46:14Z

Frühling:

== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==

<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Konstruktionsbeschreibung ==
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.

Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> ,dann ist <math> \ P \equiv P'</math> (P' ist das Bild)

Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>, dann

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
|-

| (I)
| Konstruiere den Strahl <math>\ ZQ+ </math> an den Strahl <math>\ ZP+ </math> mit dem Winkel <math>\ \alpha</math> so an, dass die positive Orientierung von <math>\alpha</math> für < <math>\ PZP' </math>erhalten bleibt.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
| (II)
| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>\ ZQ+ </math> an <math> \ Z</math> ab und nenne den Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom vom Lineal--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

|-

|}

==Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal==
[[Bild:Schritt 1 VSS.jpg|400px]] 
1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k1 um Z, der durch P geht. 
[[Bild:P1000886.JPG|400px]] 
2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S. 
[[Bild:P1000887.JPG|400px]] 
3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q. 
[[Bild:P1000888.JPG|400px]] 
4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne, 
[[Bild:P1000889.JPG|400px]] 
5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k2 um P. 
[[Bild:P1000890.JPG|400px]] 
6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k1 und k2 benennen wir mit S1 und S2. 
[[Bild:P1000891.JPG|400px]] 
7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein. 
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP+ und ZS2+. 
[[Bild:P1000892.JPG|400px]] 
9) S2 ist P', der Bildpunkt von P. 
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 13:00, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:phhd_mat|phhd_mat]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)

== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:
<math>\forall P \in</math> der Ebene gilt:
# <math> \ P = P'</math> , falls <math>\ P = \ Z</math>
# <math>|\overline{ZP}| = |\overline{ZP'}|</math> und |<math>\angle \ PZP'</math>| = <math>\ |\alpha|</math>, falls <math>\ P \not = Z</math>--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:38, 11. Nov. 2010 (UTC)
Bei 2. würde ich <math>|ZP|=|ZP'|</math> oder <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math> benutzen.
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)

==== Definition verstanden?====
<ggb_applet width="890" height="837" version="3.2" ggbBase64="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" 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<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math>
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, T, W, B_1</math> liegen.
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
- (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math>
</quiz>

== 2 Sätze und der dazugehörige Beweis==
Ich habe mal zwei Beweise angefertigt und stelle sie an dieser Stelle allen zur Verfügung um darüber zu diskutieren. Gibt es Fehler in der Logik, der Schreibweise oder bei den Begründungen? Ich bin mir eben nicht ganz sicher :)

== Satz: Jede Drehung <math>D_{Z,\beta}</math> ist eine Bewegung. ==
<ggb_applet width="547" height="470" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

==Beweis==
Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel <math>\beta</math> 
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 2) <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 3) <math>\angle {PZP'} \cong \angle {QZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 4) <math>|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|</math> 
<math>|\alpha'|= |\alpha|</math> 
| rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da <math>\beta = \angle {PZP'} </math> und <math> \beta' = \angle {QZQ'}</math>
|-
| 5) <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| folgt aus den Schritten 1-4, sws
|-
| 6) <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7) <math>|PQ|=|P'Q'|</math>
| folgt aus Schritt 6, q.e.d
|-

|}
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==

<ggb_applet width="529" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Beweis==
Voraussetzung: <math>\phi </math> ist eine Bewegung, <math>\phi </math> hat genau eine Fixpunkt Z 
Behauptung: <math>\beta \cong \beta'</math>
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1. <math>P \ne P', Q \ne Q'</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
|-
| 2. <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 3. <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 4. <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 5. <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| sss, folgt aus den Schritten 2-4
|-
| 6. <math>\alpha \cong \alpha'</math> <math>|\alpha|= |\alpha'|</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7.<math>|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|</math> <math>|\beta'|=|\beta|</math> <math> \beta' \cong \beta</math>
| rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
|} --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)

Drehungen 2010

2010-11-13T15:45:02Z

Frühling:

Drehungen 2010

2010-11-11T10:50:40Z

Frühling: /* Definition verstanden? */

Definitionen von Studenten

2010-07-27T11:01:51Z

Frühling: /* Def gleichschenkliges Trapez */

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?
Wie wäre das?
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.
 
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.
 
ODER:
 
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.
 --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

== Sehnenviereck ==
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert: 
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck. 

Meine Frage: 
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. 
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC) 

"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==

So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!

Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck,

nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)

Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen

== Def gleichschenkliges Trapez ==
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.

Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC) 

zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.

4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)

Beweise von Studenten

2010-07-26T16:31:22Z

Frühling: /* Beweis des Wechselwinkelsatz und seiner Umkehrung */

== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.

# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC) 

Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)

Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)

Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)

Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)

Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)

Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?

 Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)

== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.

VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> 
Beh: <math> a \|b </math> 
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.

Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt? 

'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)

Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)
 
 Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)

Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)

Ihr habt Recht, mein Winkelmaßaxiom ist etwas veraltet, dass kommt davon wenn man sich alles irgendwo zusammensuchen muss :(
Wir dürfen dann also immer davon ausgehen dass Nullwinkel und gestreckte Winkel nicht existieren und bei einem Beweis durch Widerspruch haben wir die Behauptung automatisch bewiesen, wenn wir durch unsere Annahme auf einen Nullwinkel oder einen gestreckten Winkel stoßen? Habe ich das so richtig verstanden???
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:04, 24. Jul. 2010 (UTC)

==Trapez ist Sehnenviereck==
Stimmt folgender Satz:
 "Ein Trapez ist genau dann gleichschenklig, wenn <s>es</s> das Trapez ein Sehnenviereck ist"
 Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig. 

Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC). Verbessert --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:00, 24. Jul. 2010 (UTC) 

 Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)

* Die Formulierung der Implikationen stimmen:
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.
* Das gilt es zu beweisen....

 RE:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:00, 24. Jul. 2010 (UTC)
* Vielen Dank. Habe es oben verbesstert.

==Umkehrung des Satz des Thales==
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.
Im Nachhinein (echt!) habe ich einen weiteren Ansatz im Geowiki gefunden. Mal schaun, ob das auch hinhaut...

===Satz des Thales===
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.
 [[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.

===Umkehrung des Satz des Thales===
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?

Eine analoge Formulierung wäre:
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.
 Noch eine Umformung:
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.

[[Bild:Umkehrung_Thales.png|1000px]]
{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Strahl schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math>
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math>
| Winkeladditionsaxiom
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math>
 180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math>
 90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math>
 <math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math>
| Innenwinkelsumme im Dreieck
Algebraische Umformung
 Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math>
| (IV) (V), Basiswinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math>
| (III) (VI)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ P \equiv M</math>
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math>
| (VII) (VIII)
|}
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 03:45, 24. Jul. 2010 (UTC)

===Umkehrung 2 des Satz des Thales===
Ist ein Periphereiwinkel <math> \gamma </math> über eine Sehne s eines Kreises k ein rechter Winkel, so ist die Sehne s ein Durchmesser des Kreises k.

VSS: <math> \gamma </math> ist Peripheriewinkel des Kreises k, <math> \gamma = 90</math>, <math> \overline{AB} </math> ist Sehne von k 
Beh: <math> M \in \overline{AB} </math> 

Hat jemand eine Idee, ich komm einfach nicht drauf?!?!--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:11, 24. Jul. 2010 (UTC) 

====Vorschlag 1====
Über den [[Der_Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz#Satz:.28Der_Zentri-Peripheriewinkelsatz.29 | Zentri-Peripheriewinkelsatz]] kann ich doch herleiten, dass ein Peripheriewinkel halb so groß ist wie sein Zentriwinkel. Peripheriewinkel sei hier der rechte Winkel, der passende Zentriwinkel hat die Größe 180, da das der Winkel mit den Strahlen <math>\ MA^+</math> und <math>\ MB^+</math> ist...die Dreiecksseite <math>\overline{AB}</math>!!!!
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 10:25, 26. Jul. 2010 (UTC)

=== Beweis des Wechselwinkelsatz und seiner Umkehrung ===

Der Beweis der Umkehrung ist mir klar, da ich alpha als Außenwinkel von beta sehen kann und demzufolge alpha größer als beta sein müsste, wenn die geraden nicht parallel sind, sondern ein Dreieck bilden.

Nur was ist mit dem anderen Teil? Meine Voraussetzung wäre ja das a und b parallel sind. Kann ich hier jetzt auch wieder mit der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes argumentieren. Oder muss ich den Scheitelwinkel von beta betrachten, der ein Stufenwinkel zu alpha ist und dann mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes begründen. Oder gibt es hier einen ganz anderen Weg, den ich nicht seh? Wäre lieb, wenn mir jemand kurz antworten könnte. --[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 10:19, 26. Jul. 2010 (UTC)

@ Benutzer:Frühling|Frühling: Du kannst den Wechselwinkelsatz einfach über den Stufenwinkelsatz und den Scheitewinkelsatz beweisen.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:30, 26. Jul. 2010 (UTC) 

Danke--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:31, 26. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen von Studenten

2010-07-26T15:27:46Z

Frühling: /* Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie */

Definitionen von Studenten

2010-07-26T15:27:28Z

Frühling:

Das Euklidische Parallelenaxiom

2010-07-26T10:46:01Z

Frühling: /* Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel */

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander. 

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

Beweis: [[Lösung von Aufgabe 12.10]]

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander. 

Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder? 
Versuch: 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander. 

===== Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel=====
Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder? 
'''Versuch 1:''' 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel <s>kongruent</s> supplementär zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 

Ist das ok? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)

Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)

Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Dann muss es aber im Satz XII.3 ebenfalls supplementär heißen, oder? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 20:44, 23. Jul. 2010 (UTC)

 '''Versuch 2:''' 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel supplementär sind, die Größen sich also auf 180 summieren, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 
 Begründung: Der jeweilige Nebenwinkel des einen Winkels ist entweder Stufenwinkel oder Wechselwinkel bezüglich des anderen Winkels, die wiederum kongruent zueinander sind.
 Winkel <math> \alpha \ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ a </math> und <math> \ c </math>)
 Winkel <math> \beta\ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ b </math> und <math> \ c </math>)
 Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math>
 Wenn <math>a \| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ |\beta| + |\beta'| = 180</math>, gilt auch <math>\ |\alpha| + |\beta| = 180</math>.

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???

Ich denke es ist der Beweis für die Implikation. Da du ja von Parallelen ausgehst und zeigst, dass die Winkel 180 ergeben. Aber oben hast du noch die Umkehrung stehen, das müsste geändert werden.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 10:46, 26. Jul. 2010 (UTC)

'''Beweis Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel'''

Anmerkung: kopiert aus Ruprik "Üben...Üben...Üben..."

VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> 
Beh: <math> a \|b </math> 
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.

'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|} --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:30, 24. Jul. 2010 (UTC)

Das Euklidische Parallelenaxiom

2010-07-26T10:39:53Z

Frühling: /* Satz XII.3 */

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander. 

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

Beweis: [[Lösung von Aufgabe 12.10]]

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander. 

Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder? 
Versuch: 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 

Ist das ok?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:33, 16. Jul. 2010 (UTC)

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander. 

===== Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel=====
Die Umkehrung würde doch auch gehen, oder? 
'''Versuch 1:''' 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel <s>kongruent</s> supplementär zueinander sind, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 

Ist das ok? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:34, 16. Jul. 2010 (UTC)

Sind entgegengesetzt liegende Winkel wirklich kongruent zueinander, überlegen Sie nochmal?! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:48, 19. Jul. 2010 (UTC)

Oh, supplementär... habe es hoffentlich richtig verbessert.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:55, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Dann muss es aber im Satz XII.3 ebenfalls supplementär heißen, oder? --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 20:44, 23. Jul. 2010 (UTC)

 '''Versuch 2:''' 
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei verschiedene Geraden, durch durch eine weitere Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Wenn die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel supplementär sind, die Größen sich also auf 180 summieren, so sind die Geraden <math> \ a </math> und <math> \ b </math> parallel zueinander. 
 Begründung: Der jeweilige Nebenwinkel des einen Winkels ist entweder Stufenwinkel oder Wechselwinkel bezüglich des anderen Winkels, die wiederum kongruent zueinander sind.
 Winkel <math> \alpha \ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ a </math> und <math> \ c </math>)
 Winkel <math> \beta\ </math> (Scheitelpunkt ist Schnittpunkt von <math> \ b </math> und <math> \ c </math>)
 Winkel <math> \beta' \ </math> (Nebenwinkel zu <math> \beta \ </math>) ist Stufenwinkel (analog: Wechselwinkel) zu <math> \beta\ </math>
 Wenn <math>a \| b</math>, dann ist <math>\alpha \cong \beta'</math> und da (wg. Supplementaxiom) gilt, dass <math>\ |\beta| + |\beta'| = 180</math>, gilt auch <math>\ |\alpha| + |\beta| = 180</math>.

 Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 20. Jul. 2010 (UTC): Ist das der Beweis für die Implikation oder die Umkehrung des Satzes zu entgegengesetzt liegende Winkel???

'''Beweis Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel'''

Anmerkung: kopiert aus Ruprik "Üben...Üben...Üben..."

VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> 
Beh: <math> a \|b </math> 
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.

'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|} --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:30, 24. Jul. 2010 (UTC)

Beweise von Studenten

2010-07-26T10:19:13Z

Frühling:

== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.

# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC) 

Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)

Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)

Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)

Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)

Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)

Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?

 Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)

== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.

VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> 
Beh: <math> a \|b </math> 
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.

Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt? 

'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)

Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)
 
 Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)

Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)

Ihr habt Recht, mein Winkelmaßaxiom ist etwas veraltet, dass kommt davon wenn man sich alles irgendwo zusammensuchen muss :(
Wir dürfen dann also immer davon ausgehen dass Nullwinkel und gestreckte Winkel nicht existieren und bei einem Beweis durch Widerspruch haben wir die Behauptung automatisch bewiesen, wenn wir durch unsere Annahme auf einen Nullwinkel oder einen gestreckten Winkel stoßen? Habe ich das so richtig verstanden???
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:04, 24. Jul. 2010 (UTC)

==Trapez ist Sehnenviereck==
Stimmt folgender Satz:
 "Ein Trapez ist genau dann gleichschenklig, wenn <s>es</s> das Trapez ein Sehnenviereck ist"
 Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig. 

Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC). Verbessert --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:00, 24. Jul. 2010 (UTC) 

 Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)

* Die Formulierung der Implikationen stimmen:
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.
* Das gilt es zu beweisen....

 RE:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:00, 24. Jul. 2010 (UTC)
* Vielen Dank. Habe es oben verbesstert.

==Umkehrung des Satz des Thales==
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.
Im Nachhinein (echt!) habe ich einen weiteren Ansatz im Geowiki gefunden. Mal schaun, ob das auch hinhaut...

===Satz des Thales===
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.
 [[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.

===Umkehrung des Satz des Thales===
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?

Eine analoge Formulierung wäre:
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.
 Noch eine Umformung:
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.

[[Bild:Umkehrung_Thales.png|1000px]]
{| class="wikitable"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Strahl schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math>
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math>
| Winkeladditionsaxiom
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math>
 180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math>
 90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math>
 <math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math>
| Innenwinkelsumme im Dreieck
Algebraische Umformung
 Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math>
| (IV) (V), Basiswinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math>
| (III) (VI)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ P \equiv M</math>
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math>
| (VII) (VIII)
|}
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 03:45, 24. Jul. 2010 (UTC)

===Umkehrung 2 des Satz des Thales===
Ist ein Periphereiwinkel <math> \gamma </math> über eine Sehne s eines Kreises k ein rechter Winkel, so ist die Sehne s ein Durchmesser des Kreises k.

VSS: <math> \gamma </math> ist Peripheriewinkel des Kreises k, <math> \gamma = 90</math>, <math> \overline{AB} </math> ist Sehne von k 
Beh: <math> M \in \overline{AB} </math> 

Hat jemand eine Idee, ich komm einfach nicht drauf?!?!--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:11, 24. Jul. 2010 (UTC) 

=== Beweis des Wechselwinkelsatz und seiner Umkehrung ===

Der Beweis der Umkehrung ist mir klar, da ich alpha als Außenwinkel von beta sehen kann und demzufolge alpha größer als beta sein müsste, wenn die geraden nicht parallel sind, sondern ein Dreieck bilden.

Nur was ist mit dem anderen Teil? Meine Voraussetzung wäre ja das a und b parallel sind. Kann ich hier jetzt auch wieder mit der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes argumentieren. Oder muss ich den Scheitelwinkel von beta betrachten, der ein Stufenwinkel zu alpha ist und dann mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes begründen. Oder gibt es hier einen ganz anderen Weg, den ich nicht seh? Wäre lieb, wenn mir jemand kurz antworten könnte. --[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 10:19, 26. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Lösung von Aufgabe 13.5

2010-07-25T15:44:10Z

Frühling:

Diskussion:Lösung von Aufgabe 13.5

2010-07-25T15:43:49Z

Frühling:

Definitionen von Studenten

2010-07-21T16:33:46Z

Frühling: /* Kontraposition */

Definitionen von Studenten

2010-07-21T16:30:04Z

Frühling: /* Höhe eines Dreiecks */

Lösung von Aufgabe 8.7

2010-07-15T08:39:35Z

Frühling: Änderung 3202 von Frühling (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.

Mal wieder formlos:

1) Das Innere eines Dreiecks ist der Durchschnitt dreier Halbebenen aA+, bB+ und cC+
nach Principella
2) nach Satz IV.2: Halbebenen sind konvexe Punktmengen und
3) nach Satz IV.3: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex
also ist das Innere eines Dreiecks konvex.

Falls das ausreicht, wie muss ich das jetzt schreiben?
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 17:32, 24. Jun. 2010 (UTC)

- Vor.: Dreieck ABC
- Beh:: Das Innere eines Dreiecks ist konvex

- 1. AB,C+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen)
- 2. BC,A+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen)
- 3. AC,B+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen)
- 4. AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschnitten mit AC,B+ ist konvex (Satz: Schnittmenge zweier konvexer Punktmengen ist konvex)
- daraus folgt das Innere eines Dreiecks (AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschitten mit AC,B+) ist konvex.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 08:34, 15. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 8.7

2010-07-15T08:34:59Z

Frühling:

Vor.: Dreieck ABC
Beh:: Das Innere eines Dreiecks ist konvex

1. AB,C+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen)
2. BC,A+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen)
3. AC,B+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen)
4. AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschnitten mit AC,B+ ist konvex (Satz: Schnittmenge zweier konvexer Punktmengen ist konvex)
daraus folgt das Innere eines Dreiecks (AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschitten mit AC,B+) ist konvex.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 08:34, 15. Jul. 2010 (UTC)

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-06-28T15:22:52Z

Frühling:

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:
=====Axiom I/0=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
=====Axiom I/1(Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
=====Axiom I/2=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
=====Axiom I/3=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
=====Axiom I/4=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
=====Axiom I/5=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
=====Axiom I/6=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
=====Axiom I/7=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:
===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

== Definitionen ==
=====Definition I/2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''
=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.
=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.
=====Definition I/5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
=====Definition I/6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)
=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.
=====Definition I/9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.
===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

== Sätze ==
=====Satz I.1=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.
===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
===== Satz II.1 =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
===== Satz II.3 =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
===== Satz II.4 =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.
===== Satz IV.2 =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen
===== Satz IV.3 =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1 =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.
==== Satz V.2 ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.
==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.
==== Satz V.4 : ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat genau eine Mittelsenkrechte.

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-06-28T15:10:50Z

Frühling: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-06-28T15:09:22Z

Frühling: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:
=====Axiom I/0=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
=====Axiom I/1(Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
=====Axiom I/2=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
=====Axiom I/3=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
=====Axiom I/4=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
=====Axiom I/5=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
=====Axiom I/6=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
=====Axiom I/7=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:
===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

== Definitionen ==
=====Definition I/2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''
=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.
=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.
=====Definition I/5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
=====Definition I/6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)
=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.
=====Definition I/9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.
===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

== Sätze ==
=====Satz I.1=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.
===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
===== Satz II.1 =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
===== Satz II.3 =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
===== Satz II.4 =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.
===== Satz IV.2 =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen
===== Satz IV.3 =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1 =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.
==== Satz V.2 ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.
==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.
==== Satz V.4 : ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat genau eine Mittelsenkrechte.

Benutzer:Frühling

2010-04-26T14:41:14Z

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