Dreieckskongruenz (SoSe 11)

2011-07-14T06:35:43Z

Franzi: /* Der Kongruenzsatz SSS */

== Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz ==
=== Bewegungsgeometrie ===
==== naive Deckungsgleichheit ====
==== Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich ====
=== Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz ===
===Videos zur Idee der Kongruenz===
{{#ev:youtube|fs5NeNuGzA8}}
{{#ev:youtube|Wm9xdlvD6Z8}}
{{#ev:youtube|tF-z3vQZZFA}}

== Streckenkongruenz ==
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
<quiz display="simple">
{Wie sagt man es richtig?
}
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander.
+ Der Punkt <math>\ A</math> hat zum Punkt <math>\ B</math> denselben Abstand wie der Punkt <math>\ C</math> zum Punkt <math>\ D</math>
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> haben dieselbe Länge.
</quiz>

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: 
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen <math>\ a = 5\operatorname{cm}</math>, <math>\ b = 4\operatorname{cm}</math>, <math>\ c = 3\operatorname{cm}</math>. <math>\ 30</math> Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung <math>\ 30</math> Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

== Das Kongruenzaxiom SWS ==
===== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Der Kongruenzsatz WSW ==
===== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Beweis von Satz VII.4 =====
======Als Folge von Tafeln ======
[[Der fotografierte Beweis]]
======Video======
{{#ev:youtube|vgACEclZ4aI}}
{{#ev:youtube|gKsqeAUNf8g}}
{{#ev:youtube|VYptKtH_ZkQ}}

===== Die Beweisidee =====
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.

<ggb_applet width="892" height="590" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAOVVQSgAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VrLcts2FF03X8FhM9mZJgA+GykZ2c4iM2mTid1Mp5MNREEUa4pUSNCW3MlHxZNld93nm3oBkBKplyVbia2k8oLGgwDuOfcJqfV8PIy1C5blUZq0dWSYusaSIO1FSdjWC94/8PTnzx61QpaGrJtRrZ9mQ8rbOjGwLvqL6Nmjn1r5IL3UaCynvIvYZVvv0zhnupaPMkZ7+YAx3uinxTiKI5pNXnf/YgHPZwNqkZfJqIBdeFZAXzDsvYryqnkoNxzFET+JLqIey7Q4Ddq6Y8PR4b93LONRQOO2bpmqB7d1PDcIXUSMDtIsukoTLqbPFo9pl8UAwCmfxEzTLsQoUUN9mKxpeXTFYFFT9LUOJQYtVgRx1ItoIuSUR4RJmnYZ9figrXs+ht1YFA5ADMt31WpBmma900nO2VAb/8myVBwaCw4mZYs4opXDkWFD25RD9ZZchl2cMs7hwLlGx2yGZZhFvUbjZX6UxrOuURol/JiOeJFJuknZJeVu67BXJg7cScKYlX0gRTBgwXk3HZ9KEBBRS59NRvIVeaBueJzGaaZlAnkbJpTPrnrKOeKk01mmnGPKGeUaYtHpOBLwheWzq56KqihRRyslR5XUyKy2iXJNdAgYQUunwkuS27quFUnEX1UN0I7zUlSkXvitGHbBPOr6MV0T7WrN1uGc+rTOWZawWClJAtwWaZErTVR7yYP0WBANoakGSkiooOt3OIDq7bEwY9XBlXEpwOSoWVfEue7WYXUIcYYczhpw8BIgDxeyCCPmYEDivx7lokeYQcyGDGyES32Q6jTFpaNPfUUqzb4y8HJ8hjAML9UNqUU0Hg0o9FTqH9MJOIG6OHK91/1+zrg2busHFrw1ASOsjf6a9poQ0ASglPKBOY7E8oKsEWOKZ17qtzaC7aS11HiQ8OVyK8fAltzMNHxH166UT5WzlG0JrzDzKEC8AuwG6I6+KXRfCxxsIE+CgwwE3rn2QbuD6vi7gIpUemQZCG8HTpAOhzTpaQkdwlZv0ngSpokEJRJRVaOmMEWNIqFWGsUCMoVHwatx8EIxuHmkpgVqGoUHaetdtWG5zRI21IYV3tOlmv6aD8AtJizPZVDh9fCxmrsaVnXykE0kfTYqI8iMPbQNe6tVLGehaE0PEuxCmuWauEaYLVWxpk4AhNc0OKfULtNp9NtS1w5sw8SmV7fPw40FZh8SNSdXQS8aQrIWRHyqZLFQ/JcJhxDIZEhZjGznjI1ESvE6OctokousU82pRcwNqaL3o3i35wobvvKSB2DyTsUH9rz95aC7mgPvrhwI7GcU3Ml3z0ggRmkg4IhNSQHGhu17xJ9+1tExL9Q909EMkCeLAbKZv+5HhLTEa4ohYS+7Sh9efBfoEMPCFTrelnloM394BxCk2Vz6cKLyghcLeUOxPje4UItVUBa3dM1NQlb4hWZNuQOf4Bo2LlN7hJdkr7OlNxGoVnKVTiGgGWc5lIClxBzabwRXGhuPBOZreZJOIYY6bHmmVyxQ1XlCR2n+9KZkrlHAla/cVxlnquIBbcYXMrDr1z9WWXuYW7qLzYA+WgX00fZAH90D0GuQtA1SYYeb6eKdSpNVSB6vQvJ4eySPHxaS1rxOllm4KPZ2XuOVoqtKb9rADRyXVn31F4P6i3TaEHXgZmwsrwZrtHw3NeHuZHrAlSGkXbZVu7zZ58rwPpVwV/XhEo6QC/5kr8vFm4hBe1I0gnV5plXz+K69hpV5qb45K82oIr/3WZ7kdFbdG375tD4cyC8npuTAbPE+nKeoMDVcxwWlJp6PbA9jqF1u5SpV6EbmYvq/lfPf0HxoFtRiddUZx+nlW9aP2VgieSfY6xG5s0ko//Jpk+g8T0fN7v4n5SZSjht36J1FCq63Av96HnZRvxBiW8T3Pdeu/PmPDvrKpLazyhKub2EJ18stYY4S1//xSDmJck6TYJ6XoFEzLJDQW49+UgxZFgVT1HqLLggjgjzfhj8HE9t28OY3Pmgh+xiPMkBKXLKVG56xMYfwKy9annwoUv40ZMm//4RcuzKufnnyMzKfPn6fXrBMAP535/ij9j5Ik1Cr9SkASv38+FitInduysphK725761SmB3db0X5K3rG/mjS37h9Kr+PJCq3cQ2ncZ+4WlPe0sm6inRV5GLrVSWDVStk2FdM3Xd+fXgwTQ+r7HCr5PDeU/b5Kwdxy9Kkly1wWXJ862ubO1zeIKx+eCSfD+NS3jYs03eQZWKCbd8l6jYZerHvOSYyLds0sU3su1wFnZal1M2Gt8L8+utpmi/V+qtN0H2QRdqBZRCrgff0ZxZ1bkhJAjJdj7iu5znE95BJ1ljovLz3bKHLNaFJfiOLmteEcDtNCPfJGQPdTl0J1PU2lOum07BQS+nBAcYGcn1CfOx5LgYz3h9PvSaL3j6X/rxVFv15MX92COBoE9OFaOdDQrd3+bOzdf58WP/1pPzBcPlj6mf/AVBLBwjN6JMbMAcAAH4tAABQSwECFAAUAAgACADlVUEozeiTGzAHAAB+LQAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAGoHAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

== Der Kongruenzsatz SSS ==
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

 Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. 

<math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
<math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
<math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 13:59, 12. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beweisversuch (aber ohne Basiswinkelsatz: geht das so auch?):

Vor. Zwei Dreiecke <math>\overline{ABC} und \overline {DEF}</math>

(1) <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
(2) <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
(3) <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> 

Beh: <math>\overline{ABC} \cong \overline {DEF}</math>

Es genügt zu zeigen: <math>\angle CAB \cong \angle FDE </math> weil SWS bereits als Axiom festgelegt

Annahme: oBdA <math>\angle CAB > \angle FDE</math>

1) Auf <math> EF+ </math> gibt es einen Punkt F* | Ax. v. Lineal
<math>\overline BC \cong \overline EF*</math>

2) F ist Element des Inneren von <math> \angle F*DE </math> und <math> Zw(F*,F,E) </math>

3)<math> \angle FDE </math> ist nicht kongruent zu <math> \angle F*DE </math> | 2) und Folgerung aus dem Winkeladd.ax.

4) <math>\overline ABC \cong \overline DEF* </math> | SWS, Vor (1), Vor.

5) <math>\overline BC \cong \overline EF* </math> | 4)

6) <math>\overline BC ist nicht kongruent zu \overline EF </math> | 5),3)

das ist ein Widerspruch zur Vor.(2) also müssen die beiden Dreiecke kongruent zueinander sein.

Ich komme mit der Schreibweise hier nicht zurecht hoffe man erkennt was ich gemeint hab.

Auftrag der Woche 1 (SoSe 11)

2011-04-15T16:37:20Z

Franzi: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */

== Geometrie im Alltag ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie Geometrie im Alltag aufspüren und als Bild in Ihre Benutzerseite stellen. Dies dient auch dazu, dass Sie lernen, das Wiki zu verwenden.

Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===

* [[Benutzer:Spannagel]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma
* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:MMaike]] - Riesenrad auf dem Oktoberfest
* [[Benutzer:Adores]] - Hund Onyx spielt mit Quader (teilweise ausgeklappten Netz eines Quaders)
* [[Benutzer:Andreas]] - Die schöne Parallelität in den Weinbergen von Hohenlohe
* [[Benutzer:Martin]] - Beim Überqueren der Straßenbahnschienen mit dem Fahrrad in einem spitzen Winkel, kann aus dem Fahrrad ganz schnell ein "Fallrad" werden :-)
* [[Benutzer:SeanJohn]] - Zone 30 Schild
* [[Benutzer:bubble]] - Im Urlaub: Salinenfeld
* [[Benutzer:HecklF]] - Trapez im Luftverkehr am FRA
* [[Benutzer:KlaraM]] - Das Richter-Fenster im Kölner Dom
* [[Benutzer:Franzi]] - Muster aus geometrischen Formen auf meiner Teetasse

Benutzer:Franzi

2011-04-15T16:35:20Z

Franzi: Die Seite wurde neu angelegt: „200px“

[[Datei:Muster aus geometrischen Formen auf meiner Teetasse.jpg|200px]]

Datei:Muster aus geometrischen Formen auf meiner Teetasse.jpg

2011-04-15T16:32:00Z

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== Beschreibung ==
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== Lizenz ==
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Auftrag der Woche 1 (SoSe 11)

Benutzer:Franzi

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