Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Definition der Proportionalität

2012-02-01T21:26:32Z

Gänseblümchen:

Gegeben: Eine Teilmenge F(x) aus einem Kreuzprodukt DXW, bei der jedem Element x der einen Menge D genau ein Element y der anderen Menge W zugeordnet wird F(x): x → y.

* F(x) ist proportional, wenn eine Zahl p (p ungleich 0) existiert für das gilt: F(x) = p ·x oder
* F(x) ist proportional, wenn die zugeorneten Elemente aus D und W immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. --[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 22:12, 1. Feb. 2012 (CET)

Definition der Proportionalität

2012-02-01T21:24:59Z

Gänseblümchen:

Gegeben: Eine Teilmenge F(x) aus einem Kreuzprodukt DXW, bei der jedem Element x der einen Menge D genau ein Element y der anderen Menge W zugeordnet wird F(x): x → y.

* F(x) ist proportional, wenn eine Zahl p (p ungleich 0) existiert für das gilt, dass wenn ein x Element D und f(x) Elemet W existiert es gilt: F(x) = p ·x oder
* F(x) ist proportional, wenn die zugeorneten Elemente aus D und W immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. --[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 22:12, 1. Feb. 2012 (CET)

Definition der Proportionalität

2012-02-01T21:23:45Z

Gänseblümchen:

Gegeben: Eine Teilmenge F(x) aus einem Kreuzprodukt DXW, bei der jedem Element x der einen Menge D genau ein Element y der anderen Menge W zugeordnet wird F(x): x → y.

* F ist proportional, wenn eine Zahl p (p ungleich 0) existiert für das gilt, dass wenn ein x Element D und f(x) Elemet W existiert es gilt: F(x) = p ·x oder
* F ist proportional, wenn die zugeorneten Elemente aus D und W immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. --[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 22:12, 1. Feb. 2012 (CET)

Definition der Proportionalität

2012-02-01T21:18:04Z

Gänseblümchen:

Gegeben: Eine Teilmenge F aus einem Kreuzprodukt DXW, bei der jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet wird F: D1 → W1.

* F ist proportional, wenn eine Zahl p (p ungleich 0) existiert für das gilt, dass wenn ein x Element D und f(x) Elemet W existiert es gilt: f(x) = p ·x oder
* F ist proportional, wenn die zugeorneten Elemente aus D und W immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. --[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 22:12, 1. Feb. 2012 (CET)

Definition der Proportionalität

2012-02-01T21:12:15Z

Gänseblümchen: Die Seite wurde neu angelegt: „Gegeben: Eine Teilmenge T aus einem Kreuzprodukt DXW, bei der jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet wird f: D1 …“

Gegeben: Eine Teilmenge T aus einem Kreuzprodukt DXW, bei der jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet wird f: D1 → W1.

* F ist proportional, wenn eine Zahl p (p ungleich 0) existiert für das gilt, dass wenn ein x Element D und f(x) Elemet W existiert es gilt: f(x) = p ·x oder
* F ist proportional, wenn die zugeorneten Elemente aus D und W immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. --[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 22:12, 1. Feb. 2012 (CET)

Didaktik 08 - 10

2011-12-15T14:27:57Z

Gänseblümchen: /* Informationen */

Das Gast-Wiki im Geo-Wiki:
'''Didaktik der anwendungsbezogenen Mathematik'''
= Ideensammlung =
*[[Auf dem Königsstuhl in Heidelberg]]

*[[Proportionalität am Menschen]]

*[[Spezifische Wärmekapazität von Wasser]]

*[[Windrad]]

*[[Riesenrad]]

= Funktionales Denken =

==Lineare Funktionen==
*[[Beispielaufgaben]]
==Proportionalität==
*[[Größenbereiche]]
*[[Definition der Proportionalität]]
*[[Die Eigenschaften der Proportionalität nach Fricke]]
*[[Beispiele für Proportionale Zusammenhänge]]
==Quadratische Zusammenhänge==
*[[Wurfparabel]]

* [[Klippenspringer]]

*[[Schwimmbad]]

= Was ist, was soll Sachrechnen =
==Sachrechnen==
Folien vom 18.11. als PDF (mit Office 2010 hat es dann doch geklappt.)
{{pdf|Didaktische_Aspekte_des_Sachrechnens_01_(3).pdf‎|Sachrechnen}}

 Def. Sachrechnen (aus Greefrath. 2010. S. 12)
 "Sachrechnen im weiteren Sinne bezeichnet die Auseinandersetzung mit der Umwelt, sowie die Beschäftigung mit wirklichkeitsbezogenen Aufgaben im Mathematikunterricht." --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:24, 27. Nov. 2011 (CET)

==Funktionen des Sachrechnens nach Winter==
===Sachrechnen als Lernstoff===
Die mathematischen Inhalte des Sachrechnens stehen im Vordergrund. Greefrath setzt vorallem den Schwerpunkt auf die Inhalte der Größen, des Prozent- und Zinsrechnens. Allerdings ist der Inhalt stark davon abhängig wie der Mathematikunterricht gestaltet wird. Das Wichtige dabei ist, dass ein realitätsbezogener Kontext vorliegt. (Vgl. Greefrath. 2010. S. 13) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:31, 27. Nov. 2011 (CET)

====Vermittlung von Größenvorstellungen====
=====Längen=====

''Stützpunktvorstellung:''
*1cm: Nagel kleiner Finger / zwei Rechenkästchen im Heft
*20 cm: Handspanne
*100 m: Länge Fussballfeld

''SuS selbst messen lassen, entweder mit Metermaß oder vergleichbarer Einheit, zB Rechenkästchen im Heft:''
*Bleistift
*Klassenzimmer (lang)
*Mäppchen

=====Flächeninhalte=====

''Stützpunktvorstellung:''
*1a: Familienwohnung
*1km2: Industrieareal
*1m2: Tafel

''SuS selbst messen lassen:''
*Wie groß ist der Basketballplatz der Schule?
*SuS schätzen 10m2 Fläche und legen diese mit einem Seil als Begrenzung.

=====Volumina=====
====== <math>1 m^3</math>======
[[Bild:Ster_01.jpg| 500px]] 
[[Bild:Ster_02.jpg| 500px]] 
[[Bild:Ster_03.jpg| 500px]]

=====Zeit=====

''Stützpunktvorstellung:''
*1s = zählen 21,22,23...
*45 min = eine Schulstunde / Halbzeit Fußball

''SuS selbst messen lassen:''
* Zeit abschätzen lassen: Wann sind 10 Sekunden, 20... vergangen?

=====Massen=====

* 1oog: Tafel schokolade

*1kg: Packung Mehl / zwei Senfgläser

*10kg: Eimer Wasser

=====Gewichte=====
''Sützpunktvorstellungen''
*Tafel Schokolade
*Flasche 1l Wasser

''SuS selbst messen lassen''
*verschieden starke Federkraftmesser verwenden --> Mäppchen messen

Frage:Wenn sich (freiwillige)SuS mittels analoger Personenwaage wiegen würde, gehört das dann zum Gewicht oder zur Masse?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 13:23, 15. Dez. 2011 (CET)

=====Geschwindigkeiten=====
''Stützpunktvorstellung''
*Geschwindigkeit eines Autos in der Stadt (50km/h)
*Geschwindigkeit einer Kugel in Öl

''SuS selbst messen lassen''
*Geschwindkeitsmessung einer Kugel im Rohr
*Wie schnell rennt ein SuS 100m, 50m...?
*Wie lange brauchen die SuS für den Nachhauseweg?

=====Dichten=====
''Stützpunktvorstellung''
*Bernstein schwimmt im Meerwasser, Stein sinkt
*Holz treibt auf dem Wasser

''SuS messen lassen''
*Welche Dichte besitzt ein beliebiger Stein? --> Gewicht/Volumen (kg/m³) Überlaufmethode: Wieviel Wasser wird verdrängt = Volumen
*Messgeräte verwenden: Aräometer, Pyknometer

=====Informationen=====
(Byte, GB,

''Stützpunktvorstellung''
*maximale Anzahl an MP3 (Bilder, Filme..) Dateien auf USB-Stick, CD, Festplatte...

''SuS selbst entdecken lassen''
*Wie viele 1GB USB-Sticks kann ich durch eine Terabyte Festplatte ersetzen?
*SuS brennen maximale Anzahl an MP3s auf eine CD, DCD, Blueray
*Wie viele bits stecken hinter einem Byte?

===Sachrechnen als Lernprinzip===
===Sachrechnen als Lernziel===

==Komplexität von Sachrechenaufgaben==
===Simplex===
Unter einem Simplex versteht man eine Struktur vom folgenden Typ:

Zwei Eingabedaten wird durch deren Verknüpfung mittels einer Rechenoperation ein Ausgabedatum zugeordnet.
 
<ggb_applet width="315" height="287" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

===Komplex===
Unter einem Komplex versteht man die Verkettung mehrerer Simplexe. Man unterscheidet linerare und verzweigte Komplexe.

==== linearer Komplex ====
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====Verzweigter Komplex====
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==Modellierung==
===Realsituation===
[[Bild:Kabeltrommel.png]] 
Wieviel m Kabel passt auf die Trommel?
===Realmodell===
[[Bild:Kabeltrommel 01.png|500px]]
Schätzung:
*<math>r= 0,05 m</math>
*<math>R_2 = 1 m</math>
*<math>R_1 = 2 m</math>
*<math>L = 2 m</math>
''Lauter Kreise Modell''
[[Bild:Reamodell lauter Kreise.jpg|500px]]
===mathematisches Modell===
====Kalkulationstabelle====
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====Formel====
<math>l= \frac{L}{r}\pi\sum_{i=1}^{10}1+0,05i</math>
===Validierung des mathematischen Modells===
=Übungsaufgaben=
==Körperberechnung==

Größenbereiche

2011-12-15T14:17:27Z

Gänseblümchen: /* Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

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Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET) 
Ich würde in diesem Zusammenhang eher von der Menge anstatt der Masse sprechen.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:03, 11. Dez. 2011 (CET) 
Wäre Menge nicht eher eine Zusammenfassung von Elementen? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 14:00, 13. Dez. 2011 (CET) 

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 
Frage: Ist nur die Relation "kleiner-gleich" eine Ordnungsrelation? Oder können andere Relationen auch Ordnungsrelationen sein?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:19, 24. Nov. 2011 (CET)

=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

 Frage:
 Warum handelt es sich (rein mathematisch betrachtet) bei der Temperatur nicht um einen Größenbereich?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:20, 4. Dez. 2011 (CET) 
Meiner Meinung nach handelt es sich bei der Temperatur um einen Größenbereich, da alle Punkte der Definition erfüllt werden... 
Wo siehst du das Problem, Löwenzahn?--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:09, 11. Dez. 2011 (CET) 
Wenn man davon ausgeht, dass die Temperatur in Kelvin gemessen wird, und es dabei einen absoluten Nullpunkt gibt, dann treten keine negativen Werte auf. Bei der Temperaturmessung in Grad Celsius aber schon. Ich habe gelesen, dass die Temperatur keinen Größenbereich darstellt. Ich meine, damit hat es was zu tun, allerdings fehlt mir grad die exakte Begründung!?!?! Kannst du, Jbo-sax, erklären, weshalb es deiner Meinung nach um einen Größenbereich handelt? Danke - --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 13:46, 13. Dez. 2011 (CET) 
 
Ich behaupte, dass es sich bei Kalvin im Gegensatz zu Celsius um eine Größe handelt. Begründung: Kalvin erfüllt tatsächlich alle Punkte der Definition, weil nur positive Zahlen. Celsius allerdings erfüllt nicht den Punkt der Kommutativität, da Zahlen negativ sein können a-b ist ungleich b-a! --[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 15:17, 15. Dez. 2011 (CET)

Größenbereiche

2011-11-24T16:21:26Z

Gänseblümchen: /* Vergleichen von Größen */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET)

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 
Frage: Ist nur die Relation "kleiner-gleich" eine Ordnungsrelation? Oder können andere Relationen auch Ordnungsrelationen sein?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:19, 24. Nov. 2011 (CET)

=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

Größenbereiche

2011-11-24T16:20:15Z

Gänseblümchen: /* Addition von Größen */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET)

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

Größenbereiche

2011-11-24T16:19:34Z

Gänseblümchen: /* Addition von Größen */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET)

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 
Frage: Ist nur die Relation "kleiner-gleich" eine Ordnungsrelation?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:19, 24. Nov. 2011 (CET)

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

Größenbereiche

2011-11-24T16:18:01Z

Gänseblümchen: /* Geld/Preise */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET)

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

Größenbereiche

2011-11-24T16:09:44Z

Gänseblümchen: /* Volumina */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET)

==Geld/Preise==
=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

Diskussion:Die Eigenschaften der Proportionalität nach Fricke

2011-11-09T11:23:27Z

Gänseblümchen: /* Frage zu Mittelwerteigenschaft */

Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.

2010-07-28T13:40:02Z

Gänseblümchen: /* Woche 8 */

== Wöchentlich ==
=== Woche 1===
19.04.10 bis 25.04.10
* [[Auftrag der Woche 1]]
=== Woche 2===
26.04.10 bis 02.05.10
* [[Auftrag der Woche 2]]
*[[Übungsaufgaben (Übung)]]
*[[Übungsaufgaben (Tutorium)]]
*[[Quiz der Woche 2]]
=== Woche 3===
03.05.10 bis 09.05.10
* [[Auftrag der Woche 3]]
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10.pdf|Übung_3}}
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_3}}
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_3.pdf|Aufgaben_Tutorium_3}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_3.pdf|Lösungen_Tutorium_3}}

=== Woche 4===
10.05.10 bis 16.05.10
* [[Auftrag der Woche 4]]
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10.pdf|Übung_4}}
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_4}}
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_4.pdf|Aufgaben_Tutorium_4}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_4.pdf|Lösungen_Tutorium_4}}

=== Woche 5===
17.05.10 bis 01.06.10
* [[Auftrag der Woche 5]]
* {{pdf|Übungen_5_SoSe10.pdf|Übung_5a (für die Übungen am Di. 18.05.10)}}
* {{pdf|Übungen_5_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung5a}}
* [[Übung_5]] (für die Übungen am Fr. 21.05. und Di. 01.06.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_5.pdf|Aufgaben_Tutorium_5}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_5.pdf|Lösungen_Tutorium_5}}
* [[Quiz der Woche 5]]

Bei Ü5a muss in bei der ersten Aufgabe bei a und b noch ergänzt werden:
"oder keine von beiden".

=== Woche 6===
31.05.10 bis 08.06.10
* [[Auftrag der Woche 6]]
* [[Übung_6]] (für die Übungen am Fr. 04.06. und Di. 08.06.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_6.pdf|Aufgaben_Tutorium_6}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_6.pdf|Lösungen_Tutorium_6}}
* [[Quiz der Woche 6]]
* {{pdf|Lösungen_Übung_6.pdf‎|Lösungen zur Übungsserie 6 im pdf-Format}}--[[Benutzer:Bino37|Bino37]] 11:12, 27. Jun. 2010 (UTC)

=== Woche 7===
07.06.10 bis 15.06.10
* [[Auftrag der Woche 7]]
* [[Übung_7]] (für die Übungen am Fr. 11.06. und Di. 15.06.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_7.pdf|Aufgaben_Tutorium_7}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_7.pdf|Lösungen_Tutorium_7}}
* [[Quiz der Woche 7]]

=== Woche 8===
14.06.10 bis 22.06.10
* [[Auftrag der Woche 8]]
* [[Übung_8]] (für die Übungen am Fr. 18.06. und Di. 22.06.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_8.pdf|Aufgaben_Tutorium_8}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_8.pdf|Lösungen_Tutorium_8}}
Lösung von Tutoriumsaufgabe 8.1. ist falsch! (Siehe Schritt 2)
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:42, 3. Jul. 2010 (UTC)

Warum?
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 13:39, 28. Jul. 2010 (UTC)

* [[Quiz der Woche 8]]

=== Woche 9===
21.06.10 bis 29.06.10
* [[Auftrag der Woche 9]]
* [[Probeklausur]] (für die Übungen am Fr. 25.06. und Di. 29.06.10) (Wir werden an diesen Terminen in der Übung jeweils eine Probeklausur schreiben und diese anschließend besprechen!)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_9.pdf|Aufgaben_Tutorium_9}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_9.pdf|Lösungen_Tutorium_9}}
* [[Quiz der Woche 9]]

=== Woche 10===
28.06.10 bis 06.07.10

* [[Übung_10]] (für die Übungen am Fr. 02.07. und Di. 06.07.10)
* [[Aufgaben_Tutorium_10]]
* [[Quiz der Woche 10]]

=== Woche 11===
05.07.10 bis 13.07.10
* [[Auftrag der Woche 11]]
* [[Übung_11]] (für die Übungen am Fr. 09.07. und Di. 13.07.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_11.pdf|Aufgaben_Tutorium_11}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_11.pdf|Lösungen_Tutorium_11}}
* [[Quiz der Woche 11]]

=== Woche 12===
12.07.10 bis 20.07.10
* [[Auftrag der Woche 12]]
* [[Übung_12]] (für die Übungen am Fr. 16.07. und Di. 20.07.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_12.pdf|Aufgaben_Tutorium_12}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_12.pdf|Lösungen_Tutorium_12}}
* [[Quiz der Woche 12]]

=== Woche 13===
19.07.10 bis 27.07.10
* [[Auftrag der Woche 13]]
* [[Übung_13]] (für die Übungen am Fr. 23.07. und Di. 27.07.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_13.pdf|Aufgaben_Tutorium_13}}
* [[Quiz der Woche 13]]

=== Woche 14===
26.07.10 bis 30.07.10
* [[Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur]]
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_14.pdf|Aufgaben_Tutorium_14}}

Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.

2010-07-28T13:39:25Z

Gänseblümchen: /* Woche 8 */

== Wöchentlich ==
=== Woche 1===
19.04.10 bis 25.04.10
* [[Auftrag der Woche 1]]
=== Woche 2===
26.04.10 bis 02.05.10
* [[Auftrag der Woche 2]]
*[[Übungsaufgaben (Übung)]]
*[[Übungsaufgaben (Tutorium)]]
*[[Quiz der Woche 2]]
=== Woche 3===
03.05.10 bis 09.05.10
* [[Auftrag der Woche 3]]
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10.pdf|Übung_3}}
* {{pdf|Übungen_3_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_3}}
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_3.pdf|Aufgaben_Tutorium_3}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_3.pdf|Lösungen_Tutorium_3}}

=== Woche 4===
10.05.10 bis 16.05.10
* [[Auftrag der Woche 4]]
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10.pdf|Übung_4}}
* {{pdf|Übungen_4_SoSe10_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung_4}}
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_4.pdf|Aufgaben_Tutorium_4}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_4.pdf|Lösungen_Tutorium_4}}

=== Woche 5===
17.05.10 bis 01.06.10
* [[Auftrag der Woche 5]]
* {{pdf|Übungen_5_SoSe10.pdf|Übung_5a (für die Übungen am Di. 18.05.10)}}
* {{pdf|Übungen_5_Lösungen.pdf|Lösungen_Übung5a}}
* [[Übung_5]] (für die Übungen am Fr. 21.05. und Di. 01.06.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_5.pdf|Aufgaben_Tutorium_5}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_5.pdf|Lösungen_Tutorium_5}}
* [[Quiz der Woche 5]]

Bei Ü5a muss in bei der ersten Aufgabe bei a und b noch ergänzt werden:
"oder keine von beiden".

=== Woche 6===
31.05.10 bis 08.06.10
* [[Auftrag der Woche 6]]
* [[Übung_6]] (für die Übungen am Fr. 04.06. und Di. 08.06.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_6.pdf|Aufgaben_Tutorium_6}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_6.pdf|Lösungen_Tutorium_6}}
* [[Quiz der Woche 6]]
* {{pdf|Lösungen_Übung_6.pdf‎|Lösungen zur Übungsserie 6 im pdf-Format}}--[[Benutzer:Bino37|Bino37]] 11:12, 27. Jun. 2010 (UTC)

=== Woche 7===
07.06.10 bis 15.06.10
* [[Auftrag der Woche 7]]
* [[Übung_7]] (für die Übungen am Fr. 11.06. und Di. 15.06.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_7.pdf|Aufgaben_Tutorium_7}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_7.pdf|Lösungen_Tutorium_7}}
* [[Quiz der Woche 7]]

=== Woche 8===
14.06.10 bis 22.06.10
* [[Auftrag der Woche 8]]
* [[Übung_8]] (für die Übungen am Fr. 18.06. und Di. 22.06.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_8.pdf|Aufgaben_Tutorium_8}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_8.pdf|Lösungen_Tutorium_8}}
Lösung von Tutoriumsaufgabe 8.1. ist falsch! (Siehe Schritt 2)
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:42, 3. Jul. 2010 (UTC)
* [[Quiz der Woche 8]]

Warum?
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 13:39, 28. Jul. 2010 (UTC)

=== Woche 9===
21.06.10 bis 29.06.10
* [[Auftrag der Woche 9]]
* [[Probeklausur]] (für die Übungen am Fr. 25.06. und Di. 29.06.10) (Wir werden an diesen Terminen in der Übung jeweils eine Probeklausur schreiben und diese anschließend besprechen!)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_9.pdf|Aufgaben_Tutorium_9}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_9.pdf|Lösungen_Tutorium_9}}
* [[Quiz der Woche 9]]

=== Woche 10===
28.06.10 bis 06.07.10

* [[Übung_10]] (für die Übungen am Fr. 02.07. und Di. 06.07.10)
* [[Aufgaben_Tutorium_10]]
* [[Quiz der Woche 10]]

=== Woche 11===
05.07.10 bis 13.07.10
* [[Auftrag der Woche 11]]
* [[Übung_11]] (für die Übungen am Fr. 09.07. und Di. 13.07.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_11.pdf|Aufgaben_Tutorium_11}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_11.pdf|Lösungen_Tutorium_11}}
* [[Quiz der Woche 11]]

=== Woche 12===
12.07.10 bis 20.07.10
* [[Auftrag der Woche 12]]
* [[Übung_12]] (für die Übungen am Fr. 16.07. und Di. 20.07.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_12.pdf|Aufgaben_Tutorium_12}}
* {{pdf|Lösungen_Tutorium_12.pdf|Lösungen_Tutorium_12}}
* [[Quiz der Woche 12]]

=== Woche 13===
19.07.10 bis 27.07.10
* [[Auftrag der Woche 13]]
* [[Übung_13]] (für die Übungen am Fr. 23.07. und Di. 27.07.10)
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_13.pdf|Aufgaben_Tutorium_13}}
* [[Quiz der Woche 13]]

=== Woche 14===
26.07.10 bis 30.07.10
* [[Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur]]
* {{pdf|Aufgaben_Tutorium_14.pdf|Aufgaben_Tutorium_14}}

Definitionen

2010-07-28T09:43:39Z

Gänseblümchen: /* Definition VII.4 : (Peripheriewinkel) */

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)
::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Fehlt dann bei der Definition von gQ- nicht die Trägergerade g? g gehört doch im Falle der geschlossenen Halbebenen zu beiden HE dazu?

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:10, 28. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Schenkel haben und die anderen 2 Schenkel eine Gerade bilden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:14, 28. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VII.4 : (Peripheriewinkel) =====
Ein Winkel heißt Peripheriewinkel, wenn der Scheitel des Winkel Element eines Kreises ist, und die beiden Schenkel den Kreis jeweils in genau einem Punkt schneiden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:42, 28. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen

2010-07-28T09:42:46Z

Gänseblümchen: /* Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) */

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)
::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Fehlt dann bei der Definition von gQ- nicht die Trägergerade g? g gehört doch im Falle der geschlossenen Halbebenen zu beiden HE dazu?

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:10, 28. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Schenkel haben und die anderen 2 Schenkel eine Gerade bilden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:14, 28. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VII.4 : (Peripheriewinkel) =====
Ein Winkel heißt peripheriewinkel, wenn der scheitel des winkel element eines kreises ist, und die beiden schenkel den kreis jeweils in genau einem punkt schneiden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:42, 28. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen

2010-07-28T09:19:37Z

Gänseblümchen: /* Definition V.3: (Scheitelwinkel) */

Definitionen

2010-07-28T09:14:36Z

Gänseblümchen: /* Definition V.4: (Nebenwinkel) */

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)
::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Fehlt dann bei der Definition von gQ- nicht die Trägergerade g? g gehört doch im Falle der geschlossenen Halbebenen zu beiden HE dazu?

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Scheitel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:10, 28. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Schenkel haben und die anderen 2 Schenkel eine Gerade bilden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:14, 28. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen

2010-07-28T09:10:50Z

Gänseblümchen: /* Definition V.3: (Scheitelwinkel) */

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)
::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Fehlt dann bei der Definition von gQ- nicht die Trägergerade g? g gehört doch im Falle der geschlossenen Halbebenen zu beiden HE dazu?

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Scheitel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 09:10, 28. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen von Studenten

2010-07-27T21:34:58Z

Gänseblümchen:

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?
Wie wäre das?
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.
 
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.
 
ODER:
 
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.
 --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

== Sehnenviereck ==
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert: 
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck. 

Meine Frage: 
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. 
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC) 

"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==

So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!

Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck,

nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)

Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen

== Def gleichschenkliges Trapez ==
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.

Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC) 

zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.

4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)

== Def geschlossene Halbebene ==
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)
_______________________________________________________________________________________________________________________
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.

Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)

Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>gQ^{-}</math> .
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen von Studenten

2010-07-27T21:32:19Z

Gänseblümchen:

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?
Wie wäre das?
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.
 
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.
 
ODER:
 
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.
 --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

== Sehnenviereck ==
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert: 
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck. 

Meine Frage: 
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. 
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC) 

"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==

So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!

Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck,

nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)

Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen

== Def gleichschenkliges Trapez ==
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.

Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC) 

zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.

4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)

== Def geschlossene Halbebene ==
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)
_______________________________________________________________________________________________________________________
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.

Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)

Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alle Punkte von g auch Element der Halbebene <math>\gQ^{-}</math>.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen von Studenten

2010-07-27T21:30:59Z

Gänseblümchen:

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?
Wie wäre das?
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.
 
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.
 
ODER:
 
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.
 --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

== Sehnenviereck ==
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert: 
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck. 

Meine Frage: 
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. 
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC) 

"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==

So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!

Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck,

nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)

Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen

== Def gleichschenkliges Trapez ==
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.

Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC) 

zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.

4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)

== Def geschlossene Halbebene ==
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch die Gerade g dazu, also: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)
_______________________________________________________________________________________________________________________
Def geschlossene Halbebene: <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
Ich formuliere es mal mit Worten, damit man es besser versteht:
<math>\ gQ^{-}</math> ist die Menge aller Punkte für die gilt: Die Strecke <math>\overline {PQ}</math> und die Trägergerade g haben einen Punkt gemeinsam.

Mit dieser Definition sind alle Punkte inbegriffen, für die diese "Eigenschaft" zutrifft und egal welchen Punkt P der Geraden g ich mit Q verbinde, die entsprechende Strecke <math>\overline {PQ}</math> hat immer einen Schnittpunkt mit g und zwar P selbst. Die "Eigenschaft" trifft also auch zu wenn P auf g liegt.
Du kannst die Punkte der geschlossenen Halbebene mit g nochmal vereinigen, am Resultat verändert sich nichts, aber du hattest die Punkte von g mit dieser Definition eigentlich schon dabei...
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:59, 27. Jul. 2010 (UTC)

Vielen Dank Principella, es ist mir klar geworden, warum ich nicht nochmal mit g vereinigen muss --> Die Ps können ja auch direkt auf der Geraden g liegen, somit gibt es auch einen Schnittpunkt (=Berührpunkt) PQ mit g, damit sind alles Punkte von g auch Element der Halbebene gQ^{-}.
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 21:30, 27. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen von Studenten

2010-07-27T19:05:57Z

Gänseblümchen:

Definitionen von Studenten

2010-07-27T19:01:46Z

Gänseblümchen:

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?
Wie wäre das?
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.
 
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.
 
ODER:
 
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.
 --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

== Sehnenviereck ==
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert: 
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck. 

Meine Frage: 
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. 
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC) 

"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==

So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!

Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck,

nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)

Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen

== Def gleichschenkliges Trapez ==
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.

Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC) 

zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.

4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)

== Def geschlossene Halbebene ==
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
So steht es im Wikiskript. Das ist so aber nicht korrekt, oder? Es müsste noch dazu:
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)

Definitionen von Studenten

2010-07-27T19:00:14Z

Gänseblümchen:

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

Fehlt an der ersten Definintion nicht, dass a und b parallel zueinander sind?
Wie wäre das?
Es seien AB und CD zueinander parallele Geraden, die von AC geschnitten werden. Dann wären o.B.d.A. folgende Winkel Stufenwinkel zueinander: AC-, AB+ zu CA+, CD+
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:51, 24. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.
 
Es sei g eine Gerade durch einen Durchmesser eines Kreises k.
Ein (geschlossener) Halbkreis ist die Schnittmenge einer Halbebenen bezüglich g und dem Kreis k.
 
ODER:
 
Die Menger aller Punkt des Kreis k, die bezüglich der Geraden g (, die durch ein Durchmesser des Kreises k festgelegt ist,) in ein und der selben Halbebenen liegen, heißt Halbkreis.
 --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:34, 23. Jul. 2010 (UTC)

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

== Sehnenviereck ==
Wir haben am Freitag bei *m.g.* das Sehnenviereck wie folgt definiert: 
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises k sind, ist ein Sehnenviereck. 

Meine Frage: 
Kann ich daraus auch die Definition machen: Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. 
Und dann davon ausgehen, dass "Jedes Sehnenviereck einen Umkreis hat", oder müsste man das erst beweisen. Bzw, Frage an die Dozenten: Kann ich in der Klausur davon ausgehen dass wir es bewiesen haben (falls nötig)?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:52, 25. Jul. 2010 (UTC) 

"Jedes Sehnenviereck hat einen Umkreis" wäre ja ein Satz, der zu beweißen wäre aus der Definition des Sehnenvierecks heraus, die du gegeben hast mit: "Ein Viereckt mit einem Umkreis heißt Sehnenviereckt." --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Absolute Geometrie/ euklidische Geometrie ==

So ich versuche jetzt mal zuzuordnen welche Sätze zur Absoluten und welche zur eukldischen Geometrie gehören. Bitte ergänzt und verbessert!

Absolute Geometrie: WSW- Kongruenzsatz, SSS- Kongruenzsatz, Basiswinkelsatz und seine Umkehrung, Mittelsenkrechtenkriterium, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, schwacher Außenwinkelsatz, Winkel- Seiten- Beziehung,Satz über Schnittpunkt der Mittelsenkrechten/ Höhen(?), Winkelhalbierendekriterium, Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden im Dreieck,

nur zur euklidischen Geometrie: Stufenwinkelsatz und seine Umkehrung, Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung, Satz über entgegengesetzt liegende Winkel und seine Umkehrung, starker Außenwinkelsatz, Satz über Existenz von Parallelen, Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck, Satz des Thales, Zentri- Periperiewinkelsatz, Satz über gegenüberliegende Seiten im Sehnenviereck
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:27, 26. Jul. 2010 (UTC)

Korrektur:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 26. Jul. 2010 (UTC) also Umkehrung Stufenwinkelsatz, Wechselwinkelsatz und entgegengesetzt liegende Winkel sind absolute Geometrie, genauso der Satz über die Existenz von Parallelen

== Def gleichschenkliges Trapez ==
# Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander nicht gegenüberliegenden Winkel, heißt gleichschenkliges Trapez.
# Ein Trapez mit zwei zueinander kongruenten Seiten, die nicht parallel sind, heißt gleichschenkliges Trapez.

Bitte um Kommentar--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 07:15, 27. Jul. 2010 (UTC) 

zu 2. Ein Trapez in dem jeweils die zwei Winkel kongruent zueinander sind, die an einer der Parallelen anliegen heißt gleichschenkliges Trapez.

4. Ein Trapez das eine Symmetrieachse durch die beiden Mittelpunkte der Parallelen besitzt heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 11:01, 27. Jul. 2010 (UTC)

== Def geschlossene Halbebene ==
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 19:00, 27. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 6.2

2010-06-06T12:16:26Z

Gänseblümchen:

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine beliebige Ebene und <math>\ A, B, C, D</math> die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte <math>\ A, B, C, D</math> mit <math>\ \Epsilon</math> auftreten können.

Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear. Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. <math>\ A, B, C</math><math>\in</math> Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. <math>\ D</math>) Elemente der Ebene <math>\ \Epsilon</math>.
 Begründung:
 Axiom I/4
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)

 Axiom I/5
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

 Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also <math>\ A, B, C, D</math> <math>\in</math> Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.

{| class="wikitable"
|-
| Fall ||Bsp/Ausprägung||Zusatz||nKomp
|-
| DREI Punkte liegen in <math>\ \Epsilon</math> (sind Elemente von...)|| <math>\ A, B, C</math> <math>\in \Epsilon</math> || mögliche Tripel: <math>\Epsilon</math>1(A,B,C) <math>\Epsilon</math>2(A,B,D) <math>\Epsilon</math>3(A,C,D) <math>\Epsilon</math>4 (B,C,D) || <math>\Epsilon</math>1(D) <math>\Epsilon</math>2(C) <math>\Epsilon</math>3(B) <math>\Epsilon</math>4 (A)
|-
| VIER Punkte sind komplanar||<math>\ A, B, C, D</math> <math>\in \Epsilon</math> ||alle Punkte liegen "auf" / "in" Ebene <math>\Epsilon</math> ||keine Punkt nKomp
|}
Mehr Fälle gibt es nach der Vorraussetzung nicht, oder?
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 
 
Du hast was falsch verstanden, [[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]].
Die Voraussetzung ist, dass die Punkte nicht '''komplanar''' sind. Damit sind auf jeden Fall ''keine'' drei Punkte davon kollinear. 
Der höchstmögliche Fall ist also, dass '''drei''' Punkte in der Ebene liegen. 
Außerdem ist zu beachten, dass <math>\ \Epsilon</math> eine ''beliebige'' Ebene ist. Die Punkte können z.B. alle miteinander weit entfernt von der Ebene liegen. Oder die Ebene geht "zwischendurch". Das wäre zweimal der gleiche Fall, nämlich dass '''kein''' Punkt in der Ebene liegt. 
Die beiden verbleibenden Fälle liegen jetzt wahrscheinlich auf der Hand... 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 10:45, 5. Jun. 2010 (UTC) 

Also wenn ich die Erklärung von Sternchen richtig verstanden habe, dann gibt es vier Fälle: 
1) komp(A,B,C) 
2) komp (A,B) 
3) komp (A) 
4) nkomp (A,B,C,D) 
Stimmt das so, und ist die Schreibweise korrekt? 
--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 12:16, 6. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 6.2

2010-06-06T12:13:57Z

Gänseblümchen: