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Diskussion:Hauptseite SoSe 11

2012-02-08T18:00:15Z

Geogeo12:

Diskussion:Hauptseite SoSe 11

2012-02-08T10:29:29Z

Geogeo12:

Lösung von Aufg. 8.1 (WS 11/12)

2012-01-27T17:11:57Z

Geogeo12:

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.

 
Vor.: Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke. 
Beh.: <math>\exists ! \overline{AB*} | \left| AB* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AB*}</math> 
Bew.:Existenz:

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (2) <math>\exists \ AB^{+} : A,B\in \ AB^{+}</math> || Def Strahl
|-
| (3) <math>\exists B* : \left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge B* \in \ AB^{+}</math> || A vom Lineal, (2)
|-
| (4) <math>\left| AB* \right| > \left| AB \right|</math> || (3),da Abstand <math> \pi </math> mal so groß
|-
| (5) <math>\left| AB \right| + \left| BB* \right| = \left| AB* \right|</math> || zw. Relation, (4),(3)
|-
| (6) zw(A,B,B*) || (5)
|-
| <math>\overline{AB} c\overline{AB*}</math> || (6),(2),(3)
|}
 
Ein schöner Beweis. 
zu Schritt 5, Begründung: ''Kann ich nicht ganz nachvollziehen - steht das in der Definition Zwischenrelation?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:29, 4. Dez. 2011 (CET)''
zu Schritt 6 - Jetzt folgerst du daraus die Zwischenrelation, nutz sie vorher (5) aber schon zur Begründung -mh?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:29, 4. Dez. 2011 (CET)
* könnte man schritt 5 nicht so belassen und als begründung einfach anführen, dass die punkte kollinear sind und dementsprechend die dreiecksungleichung anführen?--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 20:15, 5. Dez. 2011 (CET)
* Ja, das würde, denke ich, so gehen. Schritt 6 kann dann mit Definition Zwischenrelation begründet werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:39, 14. Dez. 2011 (CET)

 
Bew.:Eindeutigkeit: 
Ann.: <math>\left(\exists \overline{AB*} | \left| AB* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AB*}\right) \wedge \left( \exists \overline{AC*} | \left| AC* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AC*}\right)\wedge B*\neq C*</math> 

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1) <math>\exists \ AB^{+} : A,B\in \ AB^{+}</math> || Def Strahl
|-
| (2) <math>\exists B* : \left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge B* \in \ AB^{+}</math> || A vom Lineal, (1)
|-
| (3) <math>\exists C* : \left| AC* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge C* \in \ AB^{+}</math> || A vom Lineal, (1)
|-
| (4) <math>\left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge \left| AC* \right| = \pi \left| AB \right|</math> || (2),(3)
|-
| (5) <math>\left| AB* \right| = \left| AC* \right|</math>|| Rechen in R, (4)
|-
| (6) <math> B*\in \ AB^{+} \wedge C*\in \ AB^{+}</math> || (2),(3)
|-
| (7)<math>B* = C* \lightning</math>zur Ann. ,diese ist zu Verwerfen|| A vom Lineal (6),(4)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 13:32, 4. Dez. 2011 (CET)
|}

: Jetzt haben Sie gezeigt, dass es auf dem Strahl <math>AB^{+}</math> genau eine solche Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> gibt... aber evtl. gibt es ja noch welche, die nicht auf dem Strahl liegen? Was wäre dann?--[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 13:58, 10. Dez. 2011 (CET)

Wieso muss an hier die eindeutigkeit beweisen? Ist es notwendig? Denn durch das Axiom vom Lineal sage ich, dass es nur einen genauen Punkt gibt und somit es genau nur eine Strecke gibt..oder? .> Kann man es daher mit Axiom vom Lineal und Def. Strecke einfach begründen ohne ein eindeutigkeitsbeweis durchzuführen? --[[Benutzer:Geogeo12|Geogeo12]] 18:11, 27. Jan. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Winkelmessung WS 11/12

2012-01-11T18:38:58Z

Geogeo12: /* Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

bedeutet zwischen 0 und 180, dass die Zahlen 0 und 180 dazugehören oder dass man sie ausschließen kann? Denn es gibt keinen Winkel, der 0 ° hat. Könnte man dann dieses Axiom als Begründung hierfür( kein Winkel ist 0° groß) nehmen? --[[Benutzer:Geogeo12|Geogeo12]] 19:38, 11. Jan. 2012 (CET)

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ====
 
Vor.:<math>P</math> im inneren<math> \angle ASB</math> 
<math>P\not\in \ SB^{+} \wedge P\not\in \ SA^{+}</math> 
Beh.:<math>\left|\angle ASP \right|< \left|\angle ASB\right| \wedge \left|\angle BSP \right|< \left|\angle ASB\right|</math> 

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| (1)<math>P</math> im inneren<math> \angle ASB</math>und <math>P\not\in \ SB^{+} \wedge P\not\in \ SA^{+}</math> || Vor.
|-
| (2)<math>\left|\angle ASP \right|+ \left|\angle PSB\right| =\left|\angle ASB \right|</math> || Winnkeladditionsaxiom
|-
| (3)<math>\left|\angle ASB \right|- \left|\angle ASP\right| =\left|\angle PSB \right|</math> || (2) Rechen in R
|-
| (4)<math>\left|\angle ASP \right|< \left|\angle ASB\right| \wedge \left|\angle BSP \right|< \left|\angle ASB\right| </math> q.e.d. || Winkelmaßaxiom, (3) muss einen reelle Zahl zw. 0 und 180 ergeben und kann somit nicht negativ sein.
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:43, 12. Dez. 2011 (CET)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 11/12

2012-01-11T18:14:04Z

Geogeo12: /* Definition V.3: (Scheitelwinkel) */

= Winkel =
==Übungsblatt==
{{pdf|Uebungsblatt_01.pdf|Das Übungsblatt zur Vorlesung}}
==Videos==
{{#ev:youtube|z53LN9aGMOg}}
{{#ev:youtube|M1pMJcQp9Is}}
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel <math>\angle pq</math> verseht man die Vereinigungsmenge der beiden Stahlen p und q mit dem gemeinsamen Scheitelpunkt S.
<math>\angle pq:= \left\{ {\\ SP^{+} } \right\} \cup \left\{ {\ SQ^{+} } \right\}</math>--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:59, 12. Dez. 2011 (CET)
 

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_Winkel.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe> 
Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====

Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man die Schnittmenge der beiden Halbebenen <math>\ ASB^{+}</math> und <math>\ BSA^{+}</math>--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:03, 12. Dez. 2011 (CET) 

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
 Def.1: Scheitelwinkel sind zwei Winkel, deren Schenkel vereinigt je eine Gerade bilden. 
Def.2: Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Schenkel zwei sich schneidende Geraden bilden.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:11, 12. Dez. 2011 (CET)
: Was heißt denn "Schenkel bilden eine Gerade"? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 14:01, 6. Jan. 2012 (CET) 
: Die Vereinigungsmenge der Punktmenge von zwei Schenkeln ergibt die Menge einer Gerade. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 19:35, 6. Jan. 2012 (CET)

Eine kure Frage: Darf man dann nicht einfach "..., wenn jeweils ein Schenkel von < ASB mit einem Schenkel von < CSD EINE GERADE BILDEN" schreiben?

und ist diese Definition okay: "Zwei Winkel < ASB und < CSD sind Scheitelwinkel, wenn die Vereinigungsmenge der Punktmengen von jeweils einem Schenkel von < ASB mit genau einem Schenkel von < CSD die Menge aller Punkte einer Geraden ergeben." --[[Benutzer:Geogeo12|Geogeo12]] 19:14, 11. Jan. 2012 (CET)

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
 
zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen identischen Schenkel haben und der jeweils andere Schenkel dieser Winkel eine Gerade bildet.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:13, 12. Dez. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]