http://geometrie.idea-sketch.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Gubbel 2026-08-01T08:21:07Z Benutzerbeiträge MediaWiki 1.43.9 http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Drehungen_(2012_13)&diff=22934 2013-05-05T18:54:34Z

<p>Gubbel: /* Sätze zu Drehungen */</p> <hr /> <div>==Definitionsmöglichkeiten==<br /> '''Definition 1'''&lt;br /&gt;<br /> Unter einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man eine Abbildung &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; der Ebene &lt;math&gt;\epsilon &lt;/math&gt; auf sich, für die gilt:&lt;br \&gt;<br /> 1. Z ist Fixpunkt bezüglich &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;br\&gt;<br /> 2. &lt;math&gt;\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;<br /> 3. &lt;math&gt;\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 2'''&lt;br \&gt;<br /> Unter der Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D1:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt; ist.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 3'''&lt;br \&gt;<br /> Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D2:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;==<br /> Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; eine Drehung der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Drehungen als Bewegungen==<br /> '''Satz 6.1'''&lt;br \&gt;<br /> Jede Drehung ist eine Bewegung.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Sätze zu Drehungen==<br /> '''Satz 6.2'''&lt;br /&gt;<br /> Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; ist die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt; | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> <br /> Der Beweis müsste wie folgt laufen...<br /> <br /> &lt;ggb_applet width=&quot;800&quot; height=&quot;493&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;UEsDBBQACAAIAPajpUIAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAPajpUIAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VvrbttGGv2dPsVAPxa7i5ieO4dZOUVtt9gASVPU2cUifwKKHMmsKVIlKdsK+lCb3h5gHyDPtN/MkBJpSZZlx44cIw4vM5zLOd/lzJDuf305TtG5Lsokzw56xMM9pLMoj5NsdNCbVsM91fv6+Vf9kc5HelCEaJgX47A66HFTM4kPejEZRj4nbE9GPNjjivO9cKDwHh1yEQ8CP4646CF0WSbPsvz7cKzLSRjpk+hUj8OXeRRWtuPTqpo829+/uLjwmq68vBjtj0YD77KMewiGmZUHvfrkGTTXeeiC2eoUY7L/n1cvXfN7SVZWYRbpHjJTmCbPv3rSv0iyOL9AF0lcnR70FIZpnOpkdApzkuZi31SaACATHVXJuS7h0dalnXM1nvRstTAz5U/cGUrn0+mhODlPYl0c9LBHKACQF4nOqrqY1N3sNw30zxN94VoyZ7YT3kNVnqeD0DSCfvkFUUwxemoOxB0oHKR0Rdjdw8wdqDtwdxCuDnePc1eVuzrc1eGsh86TMhmk+qA3DNMSQEuyYQGEza/LapZqO576xmLC5CnMqUzeQ2VmUHQow32Mn5pfgPYpb+BtTZK0eq2K6ZadNl3KYIsu6V26ZE2XZNUsqVgzS3kNuG4MN5kmEa0+oSv7z/4u9cjoFj2667t1KPmDTLG/33hKv3YOVJ6aujWTlR6Xxl1YgERgrJ4gAa4hfTBygUgAB58icAZEBOICLolC0hx9xHwo4IghhUw9wpD1DaHgP+7bxiQS0Ji564NLIgIdcSQYItalOAJHQtYtwUUpgxpCIAEPme4JNU0wibiEK6YQhzEaj/QJVGTwIFxD9xQxgph5mPiISiRNe4QbT5fKDB2apEhiJIlpEJwaHNo5M9RXiJnZyBquJJtMqw5E0ThuTqt8MucCakM4WsQ5F546YfBJPw0HOoXMcGKYROg8TI1H2I6GeVahhkTq7o2KcHKaROWJrip4qkQ/hefhy7DSl99B7bLp29aN8qz8ocirozydjrMSoShP8XzMeUpa53Q+arhgrQLeLhCtAtk691f2m0MJmpYa+s+LsqkexvELU2MRGgDJ11k6Oyx0eDbJk+40+vs2yfT1NEqTOAmzf4Oxml4MLqjJOTZaNTmH+6IZSF7EJ7MSLBhdvtVFDjhy7CmKfd+nMmCEEr+HZq6IKu4xEjCs/AAzxTCkmDIKjfMx7oEXSZ/6UlHBBPjWbE2R61mfzwkKL/VirqPCOHbr4kV5mKeLW3b6R+GkmhZWLUBsLMykvslGqbYmYoMtpOLobJBfnjjbYK6tN7MJXGE3gsHIwo4gNFABMxnVx4E72jpmaPNa2NbBtgZujC2J5+UkoLaGPQ7c0dYC63VDq6dKmmkS3HSTlDag4V7tNk2wMrZvMvs0S6qXzUWVRGf1VIl74PvpeKDnFtRtk3yqNvv7V0ysf6aLTKe1RQOZ03xaOgdtGXuso2QMl66ghiQ0dP0LBuDuxnpU6GbgqVViDjBbitvGunTbNvVdkY9fZOdvwBauDKC/34yyX0ZFMjE2hwaQBc70wqripAwhicTt54wLwtQjkywAnspAA845rU7zwootiClwNJ6X6jHoLFRZ87IWOof5rdVsBk+UD36CsDbPfK58QRgUrzQ1a5RhOjkNja6rJ52GM110YLDtvcrjq+AA9nYG4OMTKwyB3YnWzjDciOFkAg1af+pEKcC7RJfmKQUmPTMnJse/d5rdiVYzW+NlncDs7l6hCuzHAbUEWTYd6yKJ5qB8/GBRg0endQOKNR3eBUrcApLcEMi6XpkaZY3GSWabGYcAC5OmwUEJ2aOCxQVYcLZYXLih1dEXdJpZuphn7MnM6AxzMkwuW2YIlpW8B08KO7NZhI8KEtsZiPfSxriqjmb25J9JHOtsPtyrvK9gHa9ifT1HXbP+ZrfM+jZG7XtcWib2qHcfRt0F7PDxAya8Gi/hYXnvgB09fsC4J13Y3COe+DSIRfl4HGYxyuwS54c8nY3yrLcQ3SE2volCYiwOhdTg6ECaVk05JO8U1BFx1SJXLYQDqNqB67DuZgVFrsOGhHlTt41T6/ltIdommAhmKTYK85YRfYMZlnpkruYDiTYY4vYD3dIUFwZFPSWC9g9vzEtJ3P5h1tj2qPA49VuPqNtnFP1z5h4pnUpMxpM0iZJqbl6p8YQXWQWaUVvRtCwFz7SeGA3+OntThFlptvVcnZbEvCEr4e6wssc83mElqOMk9gK/c1+4GABxgZOltcGjpWKwO1RgQLbjCMQyAX7D6/DLfdZ2If6IWOjG/h/zChYgq0P/xw//+68L62+Xov83fwknefmPTXG+I/bqRz5rQm6nVcIwp8rnlHHJiONYehIzFggfE0F8/okUyg0wP9yM+eH2mB/uFubSA7Q5Y77wGZYBURZz7nGsfMIE8xkVioqHwvxoM+ZH22N+9Bkwfz0clrpyaaQWi/JmlDCP8AAHmPoYU0HrxQwDKUCFJJhgCbyAfzyc7qzhc+pzfkE7XKxUou0Ho/aD4fzCaNObMbpaobao/VJ16o2s956H21WrJOBSUQJqJyBCYVknY0nM60EM5iuxxH6tVaXHIK4rDJoJQg1XX5BW3TVmsCe4JAKihpQB5n7gAg/zRMAYZ1z5VBHp17siwKMIJDVv2TFnAWdfDDGDXSNmj0KexQrCdoCVoljUSwlYSSjCmOI+ZRQiu0u0HGQtnEuTgBUW3H+0xHTz8PHj3/oJPNEszYNPs7nYzcAvgeMr6fety5/HS1k2vj5jGnOZQxvfzhfWbbLfYaeDss7S2QlO5Unl0gWsoQm/p9XblmL02AH/V4iq6O/o44e/rRelx9uL0uPdWggoDyINxVxIzmGdFdB6IcACphTkdcgPgrL7WHzZN7yroX/r8D5eIzM//no94PYN4uLl069XXz5hz4e1DyHSLC99CZpmkyi8jg77Ec9WCWOxRqiDilrJ1R12lMIiWtCjmjiYpvnFj3qY6kuL/U13Jq6JTWsI0ltEKL0jEQoiEPav2PzMvFUKVNs/iEvVYEJKMOITUFwECxIEDx26Tmrts3IhvRyphtdTclVJDXeFFeIptWIHELRt93a9RQ56S/jyfrh4gE3A1aTW3rZu1T3ajtrRrlALyxPe2doQ9XqS0Sv7IJZYWLSIgBBOGYFy8ZhWLV2SXyVFkRerHTdet+/1jtxi5+sd2RWZITwsRPPNCQTNjhi8D3WxGuQ5LBZsvQT2t9uA/O1n21h0X5yQ224sqtU7i/fAwk3i2TuyRMPpdhHtdEciGlh2wDovbkWtpikTbtVovhwgHJPHm6JWyfajrmxfFuy/bSXYf1sW7BRL5YMuU4Ef+Jxhvkmxr+G8+TL09t+PfSpVPv8k9ZaqfPPyab1/ffx9Kz5+38jHo2eD3wMbV7LNpkXtH1tx8scyJ+Y1KfMlaKPAfM8tb0lKJ0GBo30+UtgdF64rXaT9bqrrKMuU/LkVJX9upGTjPsNNKOlohgf3k60p2W9/d23/uqH+07zn/wdQSwcIpkisRT0KAAA3OAAAUEsBAhQAFAAIAAgA9qOlQtY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACAD2o6VCpkisRT0KAAA3OAAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAANQKAAAAAA==&quot; 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Nun spiegelt man an D'Z, wobei &lt;math&gt; \angle &lt;/math&gt; DZD' = 1/2 &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; =&gt; Die blauen Winkel sind kongruent. Diese Überlegung kann analog für B und A durchgeführt werden. Die beliebige Drehung ist somit die NAF von zwei Geradenspiegelungen mit dem Schnittwinkel &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt; &lt;br /&gt; --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 20:54, 5. Mai 2013 (CEST)&lt;br /&gt;<br /> &lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.3'''&lt;br /&gt;<br /> Die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.4'''&lt;br /&gt;<br /> Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;<br /> &lt;u&gt;Tipp:&lt;/u&gt; Beweise den Satz: Die NAF &lt;math&gt; S_h \circ S_g &lt;/math&gt; zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt; für die gilt: g &lt;math&gt; \cap &lt;/math&gt; h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.5'''&lt;br /&gt;<br /> Jede von der Drehung mit 0°&lt; |&lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;| &lt;360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Drehungen_(2012_13)&diff=22933 2013-05-05T18:53:44Z

<p>Gubbel: /* Sätze zu Drehungen */</p> <hr /> <div>==Definitionsmöglichkeiten==<br /> '''Definition 1'''&lt;br /&gt;<br /> Unter einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man eine Abbildung &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; der Ebene &lt;math&gt;\epsilon &lt;/math&gt; auf sich, für die gilt:&lt;br \&gt;<br /> 1. Z ist Fixpunkt bezüglich &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;br\&gt;<br /> 2. &lt;math&gt;\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;<br /> 3. &lt;math&gt;\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 2'''&lt;br \&gt;<br /> Unter der Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D1:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt; ist.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 3'''&lt;br \&gt;<br /> Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D2:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;==<br /> Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; eine Drehung der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Drehungen als Bewegungen==<br /> '''Satz 6.1'''&lt;br \&gt;<br /> Jede Drehung ist eine Bewegung.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Sätze zu Drehungen==<br /> '''Satz 6.2'''&lt;br /&gt;<br /> Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; ist die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt; | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> <br /> Der Beweis müsste wie folgt laufen...<br /> <br /> &lt;ggb_applet width=&quot;800&quot; height=&quot;493&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;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&quot; showResetIcon = &quot;false&quot; showAnimationButton = &quot;true&quot; enableRightClick = &quot;false&quot; errorDialogsActive = &quot;true&quot; enableLabelDrags = &quot;false&quot; showMenuBar = &quot;false&quot; showToolBar = &quot;false&quot; showToolBarHelp = &quot;false&quot; showAlgebraInput = &quot;false&quot; useBrowserForJS = &quot;true&quot; allowRescaling = &quot;true&quot; /&gt;&lt;br /&gt;<br /> <br /> <br /> &lt;br /&gt;<br /> Der Punkt C1 wurde an DZ gespiegelt. =&gt; Die roten Winkel sind kongruent. Nun spiegelt man an D'Z, wobei &lt;math&gt; \angle &lt;/math&gt; DZD' = 1/2 &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; =&gt; Die blauen Winkel sind kongruent. Diese Überlegung kann analog für B und A durchgeführt werden. Die beliebige Drehung ist somit die NAF von zwei Geradenspiegelungen mit dem Schnittwinkel &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt; &lt;br /&gt;<br /> &lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.3'''&lt;br /&gt;<br /> Die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.4'''&lt;br /&gt;<br /> Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;<br /> &lt;u&gt;Tipp:&lt;/u&gt; Beweise den Satz: Die NAF &lt;math&gt; S_h \circ S_g &lt;/math&gt; zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt; für die gilt: g &lt;math&gt; \cap &lt;/math&gt; h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.5'''&lt;br /&gt;<br /> Jede von der Drehung mit 0°&lt; |&lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;| &lt;360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;</div>

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<p>Gubbel: /* Drehungen als Bewegungen */</p> <hr /> <div>==Definitionsmöglichkeiten==<br /> '''Definition 1'''&lt;br /&gt;<br /> Unter einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man eine Abbildung &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; der Ebene &lt;math&gt;\epsilon &lt;/math&gt; auf sich, für die gilt:&lt;br \&gt;<br /> 1. Z ist Fixpunkt bezüglich &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;br\&gt;<br /> 2. &lt;math&gt;\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;<br /> 3. &lt;math&gt;\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 2'''&lt;br \&gt;<br /> Unter der Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D1:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt; ist.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 3'''&lt;br \&gt;<br /> Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D2:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;==<br /> Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; eine Drehung der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Drehungen als Bewegungen==<br /> '''Satz 6.1'''&lt;br \&gt;<br /> Jede Drehung ist eine Bewegung.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Sätze zu Drehungen==<br /> '''Satz 6.2'''&lt;br /&gt;<br /> Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; ist die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt; | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.3'''&lt;br /&gt;<br /> Die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.4'''&lt;br /&gt;<br /> Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;<br /> &lt;u&gt;Tipp:&lt;/u&gt; Beweise den Satz: Die NAF &lt;math&gt; S_h \circ S_g &lt;/math&gt; zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt; für die gilt: g &lt;math&gt; \cap &lt;/math&gt; h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.5'''&lt;br /&gt;<br /> Jede von der Drehung mit 0°&lt; |&lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;| &lt;360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;</div>

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<p>Gubbel: /* Drehungen als Bewegungen */</p> <hr /> <div>==Definitionsmöglichkeiten==<br /> '''Definition 1'''&lt;br /&gt;<br /> Unter einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man eine Abbildung &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; der Ebene &lt;math&gt;\epsilon &lt;/math&gt; auf sich, für die gilt:&lt;br \&gt;<br /> 1. Z ist Fixpunkt bezüglich &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;br\&gt;<br /> 2. &lt;math&gt;\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;<br /> 3. &lt;math&gt;\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 2'''&lt;br \&gt;<br /> Unter der Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D1:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt; ist.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 3'''&lt;br \&gt;<br /> Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D2:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;==<br /> Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; eine Drehung der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Drehungen als Bewegungen==<br /> '''Satz 6.1'''&lt;br \&gt;<br /> Jede Drehung ist eine Bewegung.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> Legt man Definition 1 zugrunde so ergibt sich der Beweis direkt aus der Definition &lt;math&gt;\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;<br /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 20:11, 5. Mai 2013 (CEST)<br /> <br /> ==Sätze zu Drehungen==<br /> '''Satz 6.2'''&lt;br /&gt;<br /> Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; ist die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt; | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.3'''&lt;br /&gt;<br /> Die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.4'''&lt;br /&gt;<br /> Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;<br /> &lt;u&gt;Tipp:&lt;/u&gt; Beweise den Satz: Die NAF &lt;math&gt; S_h \circ S_g &lt;/math&gt; zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt; für die gilt: g &lt;math&gt; \cap &lt;/math&gt; h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.5'''&lt;br /&gt;<br /> Jede von der Drehung mit 0°&lt; |&lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;| &lt;360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;</div>

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<p>Gubbel: /* Drehungen als Bewegungen */</p> <hr /> <div>==Definitionsmöglichkeiten==<br /> '''Definition 1'''&lt;br /&gt;<br /> Unter einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man eine Abbildung &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; der Ebene &lt;math&gt;\epsilon &lt;/math&gt; auf sich, für die gilt:&lt;br \&gt;<br /> 1. Z ist Fixpunkt bezüglich &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;&lt;br\&gt;<br /> 2. &lt;math&gt;\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;<br /> 3. &lt;math&gt;\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 2'''&lt;br \&gt;<br /> Unter der Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; um den Punkt Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D1:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt;S_{a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;S_{b}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a \cap b = {Z}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; | \alpha | = 2| \angle (a,b)|&lt;/math&gt; ist.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> '''Definition 3'''&lt;br \&gt;<br /> Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):&lt;br \&gt;<br /> &lt;u&gt;Kriterium D2:&lt;/u&gt; Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt;==<br /> Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D_{Z, \alpha}&lt;/math&gt; eine Drehung der Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> ==Drehungen als Bewegungen==<br /> '''Satz 6.1'''&lt;br \&gt;<br /> Jede Drehung ist eine Bewegung.&lt;br \&gt;&lt;br \&gt;<br /> <br /> Legt man Definition 1 zugrunde so ergibt sich der Beweis direkt aus 2. der Definition &lt;math&gt;\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;A \in \epsilon &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A \not\equiv Z &lt;/math&gt;&lt;br \&gt;<br /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 20:11, 5. Mai 2013 (CEST)<br /> <br /> ==Sätze zu Drehungen==<br /> '''Satz 6.2'''&lt;br /&gt;<br /> Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt; ist die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt; | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.3'''&lt;br /&gt;<br /> Die NAF zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt;, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel &lt;math&gt; \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.4'''&lt;br /&gt;<br /> Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;<br /> &lt;u&gt;Tipp:&lt;/u&gt; Beweise den Satz: Die NAF &lt;math&gt; S_h \circ S_g &lt;/math&gt; zweier Geradenspiegelungen &lt;math&gt; S_g &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; S_h &lt;/math&gt; für die gilt: g &lt;math&gt; \cap &lt;/math&gt; h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> '''Satz 6.5'''&lt;br /&gt;<br /> Jede von der Drehung mit 0°&lt; |&lt;math&gt; \alpha &lt;/math&gt;| &lt;360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;math&gt; \rightarrow &lt;/math&gt; aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;</div>

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<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>Die Längentreue müsste sich direkt aus der Definition der Bewegung ergeben: &quot;Eine Bewegung ist eine Abbildung [...], bei der Streckenlängen erhalten bleiben.&quot;<br /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 19:30, 1. Mai 2013 (CEST)<br /> [[Category:Elementargeometrie]]</div>

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<p>Gubbel: Die Seite wurde neu angelegt: „Die Längentreue müsste sich direkt aus der Definition der Bewegung ergeben: &quot;Eine Bewegung ist eine Abbildung [...], bei der Streckenlängen erhalten bleiben.&quot; …“</p> <hr /> <div>Die Längentreue müsste sich direkt aus der Definition der Bewegung ergeben: &quot;Eine Bewegung ist eine Abbildung [...], bei der Streckenlängen erhalten bleiben.&quot;<br /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 19:30, 1. Mai 2013 (CEST)</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Bewegungen_(2012_13)&diff=22685 2013-05-01T17:02:05Z

<p>Gubbel: /* Injektivität */</p> <hr /> <div>&lt;div style=&quot;margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;&quot;&gt;<br /> {|width=90%| style=&quot;background-color:#FED7D7; padding:1em&quot;<br /> | valign=&quot;top&quot; |<br /> <br /> == Der Begriff der Bewegung ==<br /> === Die Grundideen ===<br /> ====Starrheit und Kopieren====<br /> &lt;ggb_applet width=&quot;712&quot; height=&quot;673&quot; version=&quot;3.2&quot; ggbBase64=&quot;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&quot; framePossible = &quot;false&quot; showResetIcon = &quot;true&quot; showAnimationButton = &quot;true&quot; enableRightClick = &quot;false&quot; errorDialogsActive = &quot;true&quot; enableLabelDrags = &quot;false&quot; showMenuBar = &quot;false&quot; showToolBar = &quot;false&quot; showToolBarHelp = &quot;false&quot; showAlgebraInput = &quot;false&quot; allowRescaling = &quot;true&quot; /&gt;<br /> <br /> ===Abstraktion von den physikalischen Gegebenheiten===<br /> Die Materie scheint schwer genug zu sein. Wir werden unsere Betrachtungen auf eine einzige Ebene ε einschränken.<br /> <br /> Die Lochschablone ist nichts anderes als das Modell unserer Ebene. Leider muss jedes physikalische Modell, mit dem der Schüler auch noch konkret handelnd tätig werden soll, flächenmäßig beschränkt sein.Für den mathematischen Bewegungsbegriff abstrahieren wir von dieser Beschränktheit. Das ist uns eigentlich schon länger klar, soll an dieser Stelle jedoch noch einmal besonders hervorgehoben und betont werden.<br /> <br /> Hinter der Idee des Kopierens steckt nichts anderes als der mathematische Abbildungsbegriff. Jedem Original wird ein Bild zugeordnet.<br /> <br /> Der Definitionsbereich für unsere Abbildungen ist die gesamte Ebene. Ihr Bild ist sie selbst. Jeder Punkt der Ebene ε wird auf genau einen Punkt der Ebene ε abgebildet. Aus mathematischer Sicht ist es egal, ob unser Ebenenmodell aus Plastik oder Glas ist. Aus Gummi dürfte es allerdings nicht sein, denn Gummimatten sind mit Sicherheit nicht starr. Die Starrheit bedeutet nichts weiter, als dass zwei Originalpunkte denselben Abstand haben wie ihre Bildpunkte.<br /> <br /> === Der Begriff der Bewegung ===<br /> ==== Definition ====<br /> =====Definition 1.1: Bewegung=====<br /> ::Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der Streckenlängen erhalten bleiben.&lt;br /&gt;<br /> <br /> === Eigenschaften von Bewegungen ===<br /> ===== Satz 1.1: (Bijektivität von Bewegungen) =====<br /> ::Jede Bewegung ist eine Bijektion.<br /> <br /> ==== Beweis von Satz 1.1 ====<br /> ===== Vorüberlegungen =====<br /> Es sei &lt;math&gt;\ \beta&lt;/math&gt; eine Bewegung, die die Ebene &lt;math&gt; \epsilon&lt;/math&gt; auf sich selbst abbildet.<br /> <br /> Wir haben zu zeigen, dass &lt;math&gt;\ \beta&lt;/math&gt; ein Bijektion ist.&lt;br /&gt;<br /> Hierzu haben wir zu zeigen, dass die Abbildung &lt;math&gt;\ \beta&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;<br /> *[http://de.wikipedia.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t surjektiv]<br /> <br /> und<br /> <br /> *[http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t injektiv]<br /> <br /> ist.<br /> <br /> ===== Surjektivität =====<br /> Die Surjektivität ergibt sich entsprechend der Definition 1.1 (Abbildung &lt;u&gt;auf&lt;/u&gt;)<br /> <br /> ===== Injektivität =====<br /> Alle unsere folgenden Bemerkungen beziehen sich auf ein und dieselbe Ebene &lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;. Wir verzichten deshalb darauf, die Zugehörigkeit der im folgenden verwendeten Punkte zu &lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt; explizit zu betonen. Die gestrichenen Punktbezeichnungen mögen immer das Bild des Punktes mit der entsprechenden ungestrichenen Punktbezeichnung bezüglich der Bewegung &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; kennzeichnen.<br /> <br /> zu zeigen:<br /> <br /> <br /> # Jeder Punkt &lt;math&gt;\ P'&lt;/math&gt; ist das Bild von maximal einem Punkt &lt;math&gt;\ P&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;oder&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> # Je zwei verschiedene Originalpunkte &lt;math&gt;\ P&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ Q&lt;/math&gt; haben nicht dasselbe Bild.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;oder&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> # &lt;math&gt;P \ne Q\Rightarrow P' \ne Q'&lt;/math&gt;<br /> <br /> Wir entscheiden uns dafür, 3. zu zeigen.<br /> <br /> Wir führen den Beweis indirekt. (Ergänzen Sie den Beweis!)<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot; <br /> |- <br /> |&lt;u&gt;Voraussetzung:&lt;/u&gt;|| &lt;math&gt;P \ne Q&lt;/math&gt;<br /> |- <br /> |&lt;u&gt;Behauptung:&lt;/u&gt;||&lt;math&gt; P' \ne Q'&lt;/math&gt;<br /> |-<br /> |&lt;u&gt;Annahme:&lt;/u&gt;||&lt;math&gt;\ P' = Q' &lt;/math&gt;<br /> |}<br /> <br /> <br /> {| class=&quot;wikitable center&quot;<br /> |- style=&quot;background: #DDFFDD;&quot;<br /> ! Nr.<br /> ! Beweisschritt<br /> ! Begründung<br /> |-<br /> | (I)<br /> | &lt;math&gt; d(P,Q) &gt; 0 &lt;/math&gt;<br /> | Vor., Def. Abstand, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)<br /> |-<br /> | (II)<br /> | &lt;math&gt; d(\beta(P), \beta(Q)) = 0 &lt;/math&gt;<br /> |Annahme, Abstandsaxiom --[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)<br /> |-<br /> | (III)<br /> | (I) und (II) widersprechen sich.<br /> | (I), (II), Definition Bewegung --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 19:02, 1. Mai 2013 (CEST) --[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)<br /> |}<br /> <br /> ===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====<br /> :: Die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist eine Bewegung.<br /> ===== Beweis von Satz 1.2 =====<br /> Zunächst ist allgemein bekannt, dass die NAF zweier Abbildungen eine Abbildung ist (s. Algebra I). Es seien &lt;math&gt;\beta_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\beta_2&lt;/math&gt; zwei Bewegungen. &lt;math&gt;\beta_1&lt;/math&gt; bildet die Ebene &lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt;auf sich selbst ab. Hernach wird &lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\beta_2&lt;/math&gt; wiederum auf sich selbst abgebildet. Ergo: &lt;math&gt;\begin{matrix} &amp; \beta_2 \beta_1 &amp; \\ \varepsilon &amp; \longrightarrow &amp; \varepsilon \end{matrix} &lt;/math&gt;.<br /> <br /> Bleibt zu zeigen, dass die NAF zweier Bewegungen auch abstandserhaltend ist.<br /> <br /> [[Bild:Abstandserhaltung_von_NAF.JPG|500px]]<br /> <br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:21, 16. Nov. 2012 (CET)<br /> <br /> ===== Satz 1.3: (Zwischenrelation als Invariante von Bewegungen) =====<br /> ::Die Zwischenrelation ist eine Invariante bei jeder Bewegung.<br /> <br /> ===== Beweis von Satz 1.3 =====<br /> <br /> Es seien &lt;math&gt;\ A, B, C&lt;/math&gt; drei paarweise verschiedene Punkte mit<br /> <br /> (*) &lt;math&gt;\operatorname{Zw}(A, B, C)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> zu zeigen:<br /> <br /> (**) &lt;math&gt;\operatorname{Zw}(A', B', C')&lt;/math&gt;<br /> <br /> Wir übersetzen zunächst (*):<br /> <br /> &lt;math&gt;\ |AB| + |BC| = |AC|&lt;/math&gt;<br /> <br /> entsprechend (**) haben wir zu zeigen, dass &lt;math&gt;\ |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|&lt;/math&gt; gilt.<br /> <br /> Den Rest können Sie alleine ... .<br /> <br /> [[Bild:Invarianz_der_Zw-Relation.JPG|500px]]<br /> <br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:46, 7. Nov. 2012 (CET)<br /> <br /> =====Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen) =====<br /> :: Für eine jede Bewegung &lt;math&gt;\ \beta&lt;/math&gt; gilt:<br /> <br /> ::{| class=&quot;wikitable&quot; <br /> |- <br /> | (a) || Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.<br /> |- <br /> | (b) || Das Bild einer Halbgeraden &lt;math&gt;\ AP^+&lt;/math&gt; ist eine Halgerade mit dem Anfagspunkt &lt;math&gt;\ \beta(A)&lt;/math&gt;.<br /> |-<br /> | (c) || Das Bild einer Strecke &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; ist die Strecke &lt;math&gt;\overline{\beta(A)\beta(B)}&lt;/math&gt;<br /> |-<br /> | (d) || Falls zwei Geraden, Strecken, Halbgeraden oder zwei verschiedene dieser Figuren einen Punkt &lt;math&gt;\ P&lt;/math&gt; gemeinsam haben, so haben die Bildfiguren den Punkt &lt;math&gt;\ \beta(P)&lt;/math&gt; gemeinsam.<br /> |-<br /> | (e) || Jede Halbebene mit einer Randgeraden g auf eine Halbebene mit der Randgeraden β(g).<br /> |-<br /> | (f) || Das Innere eines beliebigen Winkels wird auf das Innere des zugehörigen Bildwinkels abgebildet.<br /> |}<br /> <br /> ===== Beweis von Satz 1.4: =====<br /> :: Die Beweise ergeben sich mehr oder weniger unmittelbar aus Satz 1.3.<br /> ::Fühlen Sie sich frei zu üben.<br /> <br /> '''Beweis von (a)'''<br /> <br /> [[Bild:G_auf_g.JPG|700px]]<br /> <br /> '''Beweis von (b)'''<br /> <br /> [[Bild: AP%2B_auf_AP%2B.JPG|700px]]<br /> <br /> '''Beweis von (c)'''<br /> <br /> [[Bild:Strecke_auf_Strecke.JPG|700px]]<br /> <br /> '''Beweis von (d)'''<br /> <br /> [[Bild:Schnittpunkttreue.JPG|800px]]<br /> <br /> Die anderen Beweise zur Schnittpunkttreue müssten analog verlaufen...<br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:36, 16. Nov. 2012 (CET)<br /> <br /> ===== Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)=====<br /> :: Für jede Bewegung &lt;math&gt;\ \beta&lt;/math&gt; und jeden Winkel &lt;math&gt;\angle ASB&lt;/math&gt; gilt:<br /> :: &lt;math&gt;| \angle ASB| = | \angle \beta(A) \beta(S) \beta(B)|&lt;/math&gt;<br /> <br /> =====Beweis von Satz 1.5:=====<br /> <br /> Abstandserhaltung von &lt;math&gt;\ \beta&lt;/math&gt;und der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.<br /> &lt;br /&gt;<br /> Voraussetzung: &lt;math&gt;\angle ASB&lt;/math&gt;, Bewegung &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)&lt;/math&gt; &lt;br /&gt;<br /> Behauptung: &lt;math&gt;\angle ASB&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)&lt;/math&gt; &lt;br /&gt;<br /> <br /> [[Bild:Winkeltreue.JPG|600px]]<br /> <br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:48, 16. Nov. 2012 (CET)&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> =====Satz 1.6:=====<br /> Jede Bewegung ist durch ein Dreieck &lt;math&gt;\bar{ABC}&lt;/math&gt; und dessen Bild &lt;math&gt;\bar{A'B'C'}&lt;/math&gt; eindeutig bestimmt.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> =====Beweis von Satz 1.6:=====<br /> [[Bild:Satz_1.6.JPG|700px]]&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:22, 12. Dez. 2012 (CET)&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;<br /> &lt;!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---&gt;<br /> |}<br /> &lt;/div&gt;<br /> <br /> [[Kategorie: Elementargeometrie]]</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Das_WIKI_f%C3%BCr_die_Veranstaltung_Elementargeometrie_12_13&diff=21971 2013-02-19T10:19:48Z

<p>Gubbel: /* Kongruenzgeometrie */</p> <hr /> <div>&lt;div style=&quot;margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;&quot;&gt;<br /> {|width=90%| style=&quot;background-color:#FED7D7; padding:1em&quot;<br /> | valign=&quot;top&quot; |<br /> <br /> == Literatur zur Elementargeometrie==<br /> *[[Literatur zur Elementargeometrie]]<br /> ==Offene Fragen zur Elementargeometrie==<br /> * Wir werden wie versprochen einen kleinen Kompaktkurs zur Vorbereitung auf das Staatsexamen durchführen:<br /> :: Dienstag 19.02 und<br /> :: Mittwoch 20.02.<br /> :jeweils von 10 bis 14 Uhr in A 236 --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:46, 14. Feb. 2013 (CET)<br /> <br /> ==Übungsaufgaben und Kontrollfragen zur EG==<br /> *[[Übungsaufgaben EG 2012_13]]<br /> *[[Aufgaben aus alten Klausuren zum Staatsexamen]]<br /> *[[Kontrollfragen]]<br /> <br /> == Skript und mehr ==<br /> === Kongruenzgeometrie===<br /> *[[Bewegungen (2012_13)]]<br /> *[[Geradenspiegelungen (2012_13)]]<br /> *[[Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgerade (2012_13)]]<br /> *[[Die Geradenspiegelung als Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden, (2012_13)]]<br /> *[[Drehungen in der Schule (2012_13) ]]<br /> *[[Drehungen (2012_13)]]<br /> *[[Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen]]<br /> * Drehungen als Geradenspiegelungen<br /> * Verschiebungen<br /> * Klassifizierung aller Bewegungen<br /> * Schubspiegelung<br /> <br /> ===Ähnlichkeitsgeometrie===<br /> * [[Projektionssatz]]<br /> <br /> ===Satzgruppe des Pythagoras===<br /> <br /> <br /> <br /> &lt;!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---&gt;<br /> |}<br /> &lt;/div&gt;<br /> <br /> [[Kategorie: Elementargeometrie]]</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel&diff=18873 2012-11-21T14:01:22Z

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Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen/Nummer_5/Aufgabe_6&diff=18870 2012-11-21T14:00:04Z

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Nov. 2012 (CET)</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen/Nummer_5/Aufgabe_4&diff=18866 2012-11-21T13:57:11Z

<p>Gubbel: Die Seite wurde neu angelegt: „Drehen und Spiegeln &lt;ggb_applet width=&quot;1012&quot; height=&quot;562&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;UEsDBBQACAgIAKN7c0EAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuy…“</p> <hr /> <div>Drehen und Spiegeln<br /> <br /> &lt;ggb_applet width=&quot;1012&quot; height=&quot;562&quot; version=&quot;4.0&quot; 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Nov. 2012 (CET)</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Aufgabe_4&diff=18865 2012-11-21T13:56:58Z

<p>Gubbel: Die Seite wurde geleert.</p> <hr /> <div></div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen/Nummer_5/Aufgabe_3&diff=18864 2012-11-21T13:56:33Z

<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>===kommutativ?===<br /> <br /> So wohl eher nicht...<br /> <br /> &lt;ggb_applet width=&quot;1048&quot; height=&quot;609&quot; version=&quot;4.0&quot; 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Nov. 2012 (CET)<br /> &lt;br /&gt;<br /> ...so irgendwie auch nicht...<br /> &lt;br /&gt;<br /> &lt;ggb_applet width=&quot;960&quot; height=&quot;562&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;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Nov. 2012 (CET)&lt;br /&gt;<br /> ...aber so!&lt;br /&gt;<br /> &lt;br /&gt;<br /> <br /> &lt;ggb_applet width=&quot;952&quot; height=&quot;562&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;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&quot; framePossible = &quot;false&quot; showResetIcon = &quot;true&quot; showAnimationButton = &quot;true&quot; enableRightClick = &quot;false&quot; errorDialogsActive = &quot;true&quot; enableLabelDrags = &quot;true&quot; showMenuBar = &quot;false&quot; showToolBar = &quot;false&quot; showToolBarHelp = &quot;false&quot; showAlgebraInput = &quot;false&quot; useBrowserForJS = &quot;true&quot; allowRescaling = &quot;true&quot; /&gt;&lt;br /&gt;--[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 15:57, 19. Nov. 2012 (CET)<br /> &lt;br /&gt;<br /> Also gilt jetzt kommutativ oder nicht??? ;)</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Aufgabe_3&diff=18863 2012-11-21T13:56:28Z

<p>Gubbel: Die Seite wurde geleert.</p> <hr /> <div></div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen/Nummer_5/Aufgabe_2&diff=18862 2012-11-21T13:54:21Z

<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>===NAF Spiegelungen mit a geschnitten b = S===<br /> <br /> &lt;ggb_applet width=&quot;960&quot; height=&quot;562&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;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Nov. 2012 (CET)<br /> <br /> ===NAF Spiegelungen mit a parallel b bzw. a=b===<br /> <br /> Bewege Punkt C und sieh was passiert :)<br /> <br /> &lt;ggb_applet width=&quot;960&quot; height=&quot;562&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;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&quot; 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Nov. 2012 (CET)<br /> <br /> ===NAF Spiegelung mit a und b senkrecht===<br /> <br /> Was da wohl passiert ist?<br /> <br /> &lt;ggb_applet width=&quot;952&quot; height=&quot;562&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;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&quot; framePossible = &quot;false&quot; showResetIcon = &quot;true&quot; showAnimationButton = &quot;true&quot; enableRightClick = &quot;false&quot; errorDialogsActive = &quot;true&quot; enableLabelDrags = &quot;true&quot; showMenuBar = &quot;false&quot; showToolBar = &quot;false&quot; showToolBarHelp = &quot;false&quot; showAlgebraInput = &quot;false&quot; useBrowserForJS = &quot;true&quot; allowRescaling = &quot;true&quot; /&gt;<br /> &lt;br /&gt;--[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 15:56, 19. Nov. 2012 (CET)</div>

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Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Parallelogramm_aus_Seitenmitten_des_Vierecks&diff=18858 2012-11-21T13:15:49Z

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Nov. 2012 (CET)<br /> &lt;br /&gt;Das ist ja spannend. Das heißt, mit Ausnahme der überschlagenen Vierecke, bei denen alle Seitenmittelpunkte kollinear sind, ergibt sich immer ein Parallelogramm. Tolle Applikation!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:33, 16. Nov. 2012 (CET)</div>

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<p>Gubbel: Die Seite wurde neu angelegt: „&lt;ggb_applet width=&quot;968&quot; height=&quot;746&quot; version=&quot;4.0&quot; ggbBase64=&quot;UEsDBBQACAgIAG5ScEEAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKi…“</p> <hr /> <div>&lt;ggb_applet width=&quot;968&quot; height=&quot;746&quot; version=&quot;4.0&quot; 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Nov. 2012 (CET)</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen/Nummer_4&diff=18856 2012-11-21T13:14:03Z

<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 4/Parallelogramm aus Seitenmitten des Vierecks|Parallelogramm aus Seitenmitten des Vierecks]]</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen/Nummer_4&diff=18855 2012-11-21T13:13:06Z

<p>Gubbel: Die Seite wurde neu angelegt: „Nummer 4“</p> <hr /> <div>[[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 4|Nummer 4]]</div>

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<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 4|Nummer 4]]<br /> <br /> [[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für Entdeckerinnen/Nummer 5|Nummer 5]]</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen&diff=18853 2012-11-21T13:07:39Z

<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für Entdeckerinnen/Nummer 5|Nummer 5]]<br /> <br /> [[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 4|Nummer 4]]</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen/Nummer_5/Aufgabe_3&diff=18852 2012-11-21T12:42:49Z

<p>Gubbel: Die Seite wurde neu angelegt: „test“</p> <hr /> <div>test</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_Entdeckerinnen/Nummer_5&diff=18851 2012-11-21T12:42:36Z

<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 5/Aufgabe 2|Aufgabe 2]]<br /> <br /> [[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 5/Aufgabe 3|Aufgabe 3]]<br /> <br /> [[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 5/Aufgabe 4|Aufgabe 4]]<br /> <br /> [[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 5/Aufgabe 5|Aufgabe 5]]<br /> <br /> [[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 5/Aufgabe 6|Aufgabe 6]]</div>

Gubbel http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Gubbel/Aufgaben_f%C3%BCr_EntdeckerInnen/Nummer_5/Aufgabe_2&diff=18850 2012-11-21T12:41:15Z

<p>Gubbel: Die Seite wurde geleert.</p> <hr /> <div></div>

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<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 5/Aufgabe 2|Aufgabe 2]]</div>

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<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 5/Aufgabe 2|Aufgabe 2]]<br /> <br /> [[Benutzer: Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen/Nummer 5/Aufgabe 2|Aufgabe 2]]</div>

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<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für Entdeckerinnen/Nummer 5|Nummer 5]]</div>

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<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Verschiedenes meinerseits zur Elementargeometrie]]<br /> <br /> [[Aufgaben für Entdeckerinnen]]<br /> <br /> [[Benutzer:Gubbel/Aufgaben für EntdeckerInnen|Aufgaben für EntdeckerInnen]]</div>

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<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Verschiedenes meinerseits zur Elementargeometrie]]<br /> <br /> [[Aufgaben für Entdeckerinnen]]<br /> <br /> [[/Gubbel|Aufgaben für EntdeckerInnen]]</div>

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<p>Gubbel: </p> <hr /> <div>[[Verschiedenes meinerseits zur Elementargeometrie]]<br /> <br /> [[Aufgaben für Entdeckerinnen]]<br /> <br /> [[{{/Gubbel|Aufgaben für Entdeckerinnen}}]]</div>

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