Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Hauptseite SoSe 11

2011-07-28T23:03:44Z

Haegar:

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2011 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"
| valign="top" |
= Einführung in die Geometrie =
== Haben wir nicht, bekommen wir auch nicht rein==
{{wpd|Nürnberger_Trichter}}
== Wöchentlich ==
* [[Auftrag der Woche_SoSe_11, Quiz der Woche_SoSe_11, Übungsaufgaben_SoSe_11 etc.‎]]

== Skripte, erstellt durch die Studierenden ==

== Materialien für das Studium ==
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* [[Einführendes Beispiel_SoSe_11]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}} [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_11]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_11]]
*[[Äquivalenzrelationen_und_Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Einige grundlegende Bemerkungen zum Geometrieunterricht_SoSe_11]]
*[[Eigenschaften von Geraden_So_Se_11]]
*[[Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden_SoSe_11]]
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik_SoSe_11]]
*[[Inzidenz im Raum (SoSe_11)]]
*[[Strecken (SoSe_11)]]
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe_11)]]
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe_11)]]
*[[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe_11)]]
*[[Winkelmessung (SoSe_11)]]
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe_11)]]
*[[Dreieckskongruenz (SoSe_11)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_11)]]
*[[Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe_11)]]
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks (SoSe_11)]]
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe_11)]]
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe_11)]]
*[[Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe_11)]]
*Sätze über Dreiecke
:*[[Innenwinkelsatz für Dreiecke und starker Außenwinkelsatz (SoSe_11)]]
:*Dreieckstransversalen
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks (SoSe_11)]]
:::*[[Tangentenkriterium]]
::*[[Die Höhen eines Dreiecks (SoSe_11)]]
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe_11)]]
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks (SoSe_11)]]
*Sätze am Kreis
:*[[Der Satz des Thales (SoSe_11)]]
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (SoSe_11)]]
:*[[Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe_11)]]

== Videos ==
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]

== Üben... Üben... Üben...==
[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]

== Die Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen ==
{{pdf|TP_Modul2_Sommersemester_10_L.pdf|Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen}}

 Ist die TP ohne Lösungen noch vorhanden und könte diese online gestellt werden? Danke schon mal. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:51, 21. Jul. 2011 (CEST)

== Die Teilprüfungsklausur WS_10/11 mit Lösungen ==
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung.pdf|Klausur}}
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung_Lösungen.pdf|mit Lösungen}}
|}

Wann wird denn die Teilprüfungsklausur SoSe 2011 endlich hochgelanden? 
Am 28.07.2011 um 11.50 h --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:23, 28. Jul. 2011 (CEST)
== Die Teilprüfungsklausur SoSe 11 mit Lösungen==
{{pdf|Klausur_zur_Teilprüfung_SS_11.pdf|Klausur}}
{{pdf|Klausur_zur_Teilprüfung_SS_11_Loesungen.pdf| mit Lösungen}}

= Didaktik der Geometrie=
* [[Hinweise und Literatur]]
===Kapitel 1: Erarbeiten geometrischer Begriffe===
* [[Erarbeitung der Begriffe Kreis und Prisma (15.04.2011)]]
* [[Erarbeitung der Begriffe senkrecht, Pyramide, Geradenspiegelung (29.04.2011)]]
* [[Arten der Begriffserarbeitung (06.05.2011)]]
* [[Haus der Vierecke (15.07.2011)]]

===Kapitel 2: Argumentieren, Begründen, Beweisen===
*[[Der_Satz_des_Thales_(SoSe_11)]]
*[[Zentri-Peripheriewinkelsatz]]
*[[Satz des Pythagoras]]
*[[Satz über die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten im Tangentenviereck]]
*[[Höhensatz mit "Beweisapplikation"]]
*[[Kathetensatz mit PPT-"Beweis"]]
*[["Beweisidee" Satz des Tangentensatzes]]

===Kapitel 3: Konstruieren===
* [[Konstruktion eines Sehnen-Tangenten-Viereck]]
* [[Äußere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]
* [[Innere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]

===Körperdarstellungen===

*[[Vertretungsveranstaltung,Ausgewählte Kapitel (Spannagel)]]

= Elementargeometrie =
== Skript und mehr ==
=== Kapitel 1: Kongruenzgeometrie ===
*[[Bewegungen (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen]]
*[[Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)]]
*[[Drehungen 2010]]
*[[Verschiebungen 2010]]
*[[Drehungen und Verschiebungen als Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen (2010)]]
*[[Klassifizierung aller Bewegungen in der ebenen Geometrie]]
*[[Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)]]
=== Kapitel 2: Ähnlichkeitsgeometrie ===
*[[Projektionen und Strahlensätze 2010]]

== Übungsaufgaben ==

*[[Prüfungsschwerpunkt Ws 2010/2011]]
*[[Übungsaufgaben zur Elementargeometrie im WS 2010/11]]

*[[Elementargeometrie|alte Übungen zur Vorbereitung aufs Staatsexamen im Anschluss an das SS 2010]]
= Spielecke =
*[[Test]]
*[[Spieltester gesucht]]
*[[Rollkurven]]
* Rotationskörper
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/rotationskoerper_01.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe>

</div>


| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"
| valign="top" |

==Hinweise==
Bitte beachten Sie: Die Mo-Vorlesung findet ab sofort im Raum H001 (statt H002) statt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:27, 31. Mai 2011 (CEST) 
Da das Tutorium am Freitag nicht mehr stattfinden wird, wurde ich gefragt, ob wir einen anderen Termin finden können. Ich biete deshalb an, dass wir uns am Dienstag um 12:00 Uhr vor A206 treffen.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:43, 24. Jul. 2011 (CEST) Danke dir für das heutige Tutorium! --[[Benutzer:Bayer04|Bayer04]] 18:39, 26. Jul. 2011 (CEST)

Die Übung am Donnerstag, 28.7., von 16 bis 18 Uhr bei Klara Buchner findet diese Woche nicht mehr statt.--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 12:45, 26. Jul. 2011 (CEST)

==Viel Glück==
Für die ATP viel Erfolg mit Metallica!
{{#ev:youtube|AAWl2-Il_6A}}
 
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:08, 28. Jul. 2011 (CEST) 
 Vielen Dank! (cooles Stück) ;-) --[[Benutzer:Haegar|Haegar]] 01:03, 29. Jul. 2011 (CEST)
 

'''Veranstaltungsangebot:'''

=== Einführung in die Geometrie ===

Vorlesungen:

{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||A108 ||(Reichelt)
|-
| Mo. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Reichelt)
|-
| Mi. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 12-14 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Henrich)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Smuda)
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||A206 ||(Zähringer)
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||B109 ||(Gaß) (neuer Termin)
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A206 ||(Jäckle)

|}

=== Elementargeometrie ===
Die Elementargeometrie findet wieder Wintersemester statt.

=== Didaktik der Geometrie===

{| class="wikitable"
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A 106 ||(Gieding)
|}

([[Frühere Hinweise|mehr]])

==Hier gibt's was Neues zur "Einführung in die Geometrie"==
<dpl>
namespace=Issue
category=Einführung_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Einführung in die Geometrie"==
<dpl>
namespace=Diskussion
category=Einführung_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

([[Diskussionen|mehr]]) ([[Statistik]])

==Hier gibt's was Neues zur "Didaktik der Geometrie"==
<dpl>
namespace=Issue
category=Didaktik_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

([[Neuigkeiten zu Elementargeometrie|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Didaktik der Geometrie"==
<dpl>
namespace=Diskussion
category=Category:Didaktik_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

([[Diskussionen zu Elementargeometrie|mehr]]) ([[Statistik]])

|}

</div>
|}


[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Diskussion:Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe 11)

2011-07-22T17:10:35Z

Haegar:

Diskussion:Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-07-22T11:10:28Z

Haegar: Die Seite wurde geleert.

Diskussion:Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-07-22T10:54:54Z

Haegar:

Diskussion:Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-07-22T10:50:13Z

Haegar: Die Seite wurde neu angelegt: „Mir ist Axiom 1/6 unklar: Wie können 2 Ebenen genau 2 Punkte gemeinsam haben? Kann mir jemand weiterhelfen?“

Diskussion:Spieltester gesucht

2011-05-23T09:25:56Z

Haegar:

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-10T09:58:12Z

Haegar:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
<s>Behauptung:</s> Annahme: a ist nicht parralel zu c 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
|}
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)||
|-
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
|-
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
|-
| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) 
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)
 Meine Lösung zu a) sieht so aus: Nach der Vorraussetzung schneiden sich die Geraden a und c in einem beliebigen Punkt A. Die Gerade b jedoch ist parallel zu a und zu c. Nach dem Parallelenaxiom gibt es aber in A höchstens eine Gerade die parallel zu b ist. => Widerspruch. Ist das verständlich? 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-10T09:32:19Z

Haegar:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
<s>Behauptung:</s> Annahme: a ist nicht parralel zu c 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
|}
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)||
|-
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
|-
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
|-
| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) Irgendwie kann ich euch hier nicht folgen und komme selbst auch nicht weiter. Mich stört, dass bei dem Parallelenaxiom "höchstens" steht. Könnte das nicht "genau eine" heißen? 
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-10T09:30:07Z

Haegar:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt (welche Gerade ist hier gemeint?) die Gerade a || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a (hm... ich verstehe die Beweisführung bzw. dieses Argument an dieser Stelle nicht und warum ist das ein Widerspruch zur Annahme? Vllt. wäre eine Skizze an dieser Stelle nicht schlecht.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:42, 6. Mai 2011 (CEST)Und wie füge ich eine Skizze ein? Wie füge ich die ganzen mathematischen Zeichen ein? Ich habe nur von oben kopiert. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:55, 8. Mai 2011 (CEST)
 
Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
<s>Behauptung:</s> Annahme: a ist nicht parralel zu c 
zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || B ε b || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (5) || B ε c || Festlegung, Schnittpunkt b, c
|-
| (6) || b nicht parallel zu c || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ b \| c </math> (du schreibst bei z.z., dass b die Gerade c schneidet. In diesem Beweisschritt erwähnst du, dass b nicht parallel zu c sein soll --> somit schneiden sie sich doch wieder und du hast keinen Widerspruch. Oder?)--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
|}
So wie ich das sehe, hast du die Aufgabe nicht erfüllt. Der Beweis soll durch Widerspruch geführt werden. D.h. du benötigst erst die Vor. dann die Behauptung und dazu die Annahme. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)
somit wäre aus meiner sicht bewiesen, dass a auch parallel zu c ist. Falls dieser Beweis so stimmt:
Wie gehe ich mit folgenden Punkten um:
 
{| class="wikitable"
|-
| Das hab ich geschrieben || das gefällt mir daran überhaupt nicht || so wäre es richtig
|-
| zu zeigen: b schneidet c, B ist Schnittpunkt der Geraden b und der Geraden c || das kann irgendwie nicht sein, weil das möchte ich eigentlich gar nicht zeigen. ich möchte vielmehr zeigen, dass a grad nicht parallel zu c ist, aber das ist ja meine Behauptung - irgendwie doppelt gemoppelt, oder? außerdem habe ich gar nicht gezeigt, dass b c schneidet (du solltest evtl vorab schreiben, dass sich 2 Geraden schneiden und dadurch ein Schnittpunkt entsteht. Eine Gerade ist in einem Axiom festgelegt, dass sie eine Menge von Punkten darstellt.) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST)||
|-
| "Festlegung, Schnittpunkt b, c" in Beweisschritt 4 und 5 || ich glaube, dass man das irgendwie anders schreiben sollte - das scheint mir aber wenig professionell ||
|}
Dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:05, 7. Mai 2011 (CEST)
 

vielleicht ist aber auch das einfacher und bedeutend klüger:
 

Voraussetzung: a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden, <math>\ a \| b </math>, <math>\ b \| c </math> 
Behauptung: a schneidet c 
zu zeigen: a ist nicht parralel zu b (bzw. b ist nicht parallel zu c)

 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) || a, b, c sind paarweise verschiedene Geraden || Vor.
|-
| (2) || <math>\ a \| b </math> || Vor.
|-
| (3) || <math>\ b \| c </math> || Vor.
|-
| (4) || A ε a || Schnittpunkt a, c
|-
| (5) || A ε c || Schnittpunkt a, c
|-
| (6) || a nicht parallel zu b || Parallelaxiom, (4), (5), Wiederspruch zur Annahme, dass <math>\ a \| b </math>
|}
 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:27, 7. Mai 2011 (CEST) Dein zweite Variante ist m.E. überflüssig. Du führst den Beweis praktisch 2 Mal. Du kannst auch schreiben oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 20:15, 8. Mai 2011 (CEST) 
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)
 Irgendwie kann ich euch hier nicht folgen und komme selbst auch nicht weiter. Mich stört, dass bei dem Parallelenaxiom "höchstens" steht. Könnte das nicht "genau eine" heißen?

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe11)

2011-05-10T09:09:18Z

Haegar:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, so sind sie supplementär. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
 a) Wenn zwei Winkel nicht Nebenwinkel sind, so sind sie nicht supplementär. 
b) Es gibt zwei Winkel, die Nebenwinkel sind und nicht supplementär zueinander sind.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:44, 5. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

a) Wenn zwei Winkel nicht supplementär sind, so sind sie keine Nebenwinkel.

b) Die Winkel sind nicht suplämenter. --[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:22, 6. Mai 2011 (CEST)

 a)In diesem Fall würde ich in a) Engel81 zustimmen da bei einer Kontraposition aus "nicht B" "nicht A" folgt. Anstelle von: aus A folgt B. und in b) Flo 21. Das hätte ich genauso formuliert.

Lösung von Aufgabe 5.3 (SoSe11)

2011-05-10T09:01:04Z

Haegar:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Antwort: 
a) Wenn zwei Geraden höchstens einen gemeinsamen Punkt haben, sind sie nicht identisch. 
b) Annahme: Es gibt Geraden, die nicht identisch sind und dennoch mehr als einen gemeinsamen Punkt haben. 
--[[Benutzer:Bubble|Bubble]] 13:46, 5. Mai 2011 (CEST)

 a) Wenn zwei Geraden g und h identisch sind, dann haben sie mindestens einen Punkt gemeinsam. 
b) Es gibt zwei Geraden, die nicht identisch sind und mehr als einen Punkt gemeinsam haben. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:42, 5. Mai 2011 (CEST) 
Was ist nun bei a) richtig, oder stimmen beide Antworten? Wie wird der Begriff "Kontraposition" verstanden bzw. wie ist er definiert?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:32, 6. Mai 2011 (CEST) An den lieben Tutor: Treffe doch bitte die Aussage, ob jmd recht hat oder nicht und verbessere gegebenenfalls. Deine Antworten sind max. bedingt hilfreich. So bringt mich das WIKI nicht weiter, es behindert mich. Schließlich merkt man sich so evtl falsche Sachen. Danke. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:50, 8. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] 
Ich würde mich Flo21 anschließen. Die Antwort von Bubble ist die Umkehrung und nicht die Kontraposition. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:08, 8. Mai 2011 (CEST) 
Ich bin der Meinung, dass man sich zu den Aussagen von anderen auch Gedanken machen sollte und diese dann diskutiert. Wenn es aber erwünscht wird, dass die Antworten mit RICHTIG oder FALSCH gekennzeichnet werden, dann werde ich mit einem Dozenten besprechen, wann und wie dies geschehen soll. Dies sollte aber auch nicht auf dieser Seite stehen, sondern auf einer allgemeinen Diskusionsseite. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 20:27, 9. Mai 2011 (CEST)
 Ich schließe mich auch FLo 21 an, würde aber zu a) hinufügen wollen, dass die Geraden mehr als einen Punkt bzw. mindestens zwei Punkte gemeinsam haben. Wie Flo 21 auch in b) formuliert. -> Welche Version davon ist richtig? Oder macht dies keinen Unterschied?

Zu der Aussage <math>\ (\ A \Rightarrow B)</math> lautet die Kontraposition <math>(\neg B \Rightarrow \neg A)</math>. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 20:59, 9. Mai 2011 (CEST)