Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Zusatzaufgabe 11.1 (WS 12 13)

2013-02-08T11:07:47Z

Hakunamatata:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema:
1.Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.

Ein Viereck das bei einer Geradenspiegelung auf sie sich selber abgebildet wird ist ein achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:58, 7. Feb. 2013 (CET) 
2. Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.
Ein Viereck, bei dem eine Diagonale Teilmenge der Symmetrieachse ist heißt Drache.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:58, 7. Feb. 2013 (CET) 
3.Was versteht man unter einer Verschiebung? Definieren Sie formal korrekt.
Eine Verschiebung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa verkettet Sb entsteht für die gilt: a parallel B--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:58, 7. Feb. 2013 (CET) 
4. Definieren Sie den Begriff Punktspiegelung, ohne den Begriff Drehung zu verwenden. 
Eine Punktspiegelung ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa verkettet Sb für die gilt:<math>\ a \perp \ b</math> --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:58, 7. Feb. 2013 (CET) 
*DAnke für die Definitionen Hakunamatata. Bis auf den Satzbau bei der dritten Definition, sind alle gut definiert.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:30, 8. Feb. 2013 (CET)
Habs verbessert.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:07, 8. Feb. 2013 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 11.1 (WS 12 13)

2013-02-07T20:58:59Z

Hakunamatata:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema:
#Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.

Ein Viereck das bei einer Geradenspiegelung auf sie sich selber abgebildet wird ist ein achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:58, 7. Feb. 2013 (CET) 
#Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.
Ein Viereck, bei dem eine Diagonale Teilmenge der Symmetrieachse ist heißt Drache.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:58, 7. Feb. 2013 (CET) 
#Was versteht man unter einer Verschiebung? Definieren Sie formal korrekt.
Eine Verschiebung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa verkettet Sb für die gilt: a parallel B--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:58, 7. Feb. 2013 (CET) 
#Definieren Sie den Begriff Punktspiegelung, ohne den Begriff Drehung zu verwenden. 
Eine Punktspiegelung ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa verkettet Sb für die gilt:<math>\ a \perp \ b</math> --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:58, 7. Feb. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-02-07T17:33:12Z

Hakunamatata:

Was ändert sich, wenn man die Reihenfolge bei der Verkettung zweier Achsenspiegelungen mit einem gemeinsamen Schnittpunkt vertauscht? 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Also ich habe mal versucht es anhand eines Geogebra deutlich zu machen, ob es mir gelungen ist kann ich schlecht sagen!
Hier ist auf jeden Fall der link:

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:Zusatz_10.pdf
* das Problem ist, dass ich aus dem Bild nicht sehen kann, was du wie gespiegelt hast. Hast du denn auch schon ein Fazit aus deiner Applikation? Oder könntest du die Applikation als Geogebradatei einstellen? (Unter Datei> Export>dynamisches Arbeitsblatt., dann Umstellen unter "Export als Webseite" : Zwischenablage: MediaWiki -> siehe im Bild. ) 

alles klar, was muss ich machen, wenn das erledigt ist :-D :-D ?!?!?--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:15, 19. Jan. 2013 (CET)
* Du muss die Übungsseite öffnen und auf bearbeiten gehen. Dann mit STRG + V, die in der Zwischenablage gespreicherte Datei einfügen. Nicht erschrecken, dass gibt dann ein unverständlichen Text, aber das Ergebnis kannst du dann bei Vorschau sehen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:51, 20. Jan. 2013 (CET) 

[[Datei: Applikation einstellen.PNG]] 

Hier kann es jeder alternativ mal selbst versuchen:
http://wikis.zum.de/geowiki/Verkettung_zweier_Geradenspiegelungen_WS_12_13 
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:05, 18. Jan. 2013 (CET)

<ggb_applet width="1339" height="690" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "true" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Perfekt, es hat geklappt.

Zur Erklärung: ich habe zunächst das braune Viereck an DC gespiegelt und das rosane Viereck erhalten, dies wiederum an AB gespiegelt und das schwarze Viereck erhalten.
Bei der anderen Verkettung habe ich zunächst an AB gespiegelt und das grüne Viereck erhalten um dieses bei der zweiten Spiegelung an DC auf das rote Viereck zu spiegel.... Ich hoffe einigermaßen nachvollziehbar....--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:59, 20. Jan. 2013 (CET) 
*Toll! Ich kann deine Konstruktion nachvollziehen. Man kann gut sehen, das je nach Reihenfolge der Verkettung das Bild an verschiedenen Stellen ist. Was ändert sich nun aber konkret? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:09, 21. Jan. 2013 (CET) 

Naja, also im Grunde ändert sich der Winkel mit dem das ganze gespiegelt. Bei der Spiegelung a verkettet b ist der Spiegelwinkel kleiner... meinst du das?!?
* Er ist nicht immer kleiner (je nach Beispiel). Es gibt einen ganz genauen Zusammenhang. Vielleicht messt ihr mal die beiden Drehwinkel aus und vergleicht sie.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:49, 24. Jan. 2013 (CET) 

Also die beiden Drehwinkel ergänzen sich ja zu 180°. Und laut Satz 9.2 wissen wir ja das die Drehung um 2 mal den Drehwinkel statt findet, meinst du das?? 
* Deine Bezeichnung finde ich etwas verwirrend. Als Drehwinkel bezeichnet man den Winkel, umden das Objekt wirklich gedreht wird. Der Schnittwinkel der Geraden ist dann halb so groß - richtig. Die Schnittwinkel ergänzen sich zu 180 -richtig. 
'''Wie sieht es dann bei den Drehwinkeln aus? Was kann man über ihr Maß oder ihre Drehrichtung aussagen?'''--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:13, 7. Feb. 2013 (CET)

Also bei dem größeren Winkel, habe ich erst eine Drehrichtung mit dem Uhrzeigersinn und anschließend gegen den Uhrzeigersinn, bei dem kleineren ist es anders rum..... haha aber ehrlich gesagt blicke ich nicht worauf du hinaus willst :-D :-D --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:33, 7. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 10.5P (WS 12 13)

2013-02-06T19:02:42Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
 

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Punktspiegelung <math> S_a o S_b </math> mit <math> a \cap b = \{S\}</math> und <math> a \perp b</math>)
|-
| Behauptung || <math>g \|| g'' mit g'' = S_a o S_b (g) </math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Wir drehenn a und b bei festem S so, dass <math>a' \|| g </math>|| (Eigenschaft Drehung)
|-
| 2 || <math>S_{a'}(g) = g' \wedge S_{a'}(a')=a'</math> || (1; a ist Fixgerade, Def. Geradenspiegelung)
|-
| 3 ||<math> a' \|| g'</math> || (1,2 Parallelentreue der Geradensp.)
|-
| 4 || <math> g \|| g'</math> || (1,3 Transitivität der Parallelenrelation)
|-
| 5 || <math>g'' = S_b' (g') = g' </math> || (Vor; g´ ist Fixgerade bezüglich Sb)
|-
| 6 || <math> g \|| g''</math> || (4,5)
|}
 
* Ich habe schon mal eine mögliche Beweisführung angegeben. Viel Spaß beim Nachvollziehen und begründen. (Vergesst nicht, euch eine Skizze zu machen, dann fällt das Begründen einfacher)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:48, 28. Jan. 2013 (CET) 

Hallo Anne, liegt hier in deinem 1. Schritt nicht ein Fehler vor?!? Wir haben bei der Punktspiegelung ja unser Achsenkreuz a verkettet mit b. Wie können wir denn dann im ersten Schritt so drehen, dass a zu b parallel ist?!? müssten wir nicht schreiben, dass a parallel zu g ist?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:00, 6. Feb. 2013 (CET) 
und müssen wir nicht eigentliche von a` ausgehen, da wir die Lage verändert haben?!?--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:21, 6. Feb. 2013 (CET)
Ja danke, gut aufgapasst. Ich hab's geändert.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:54, 6. Feb. 2013 (CET) 
Hatte mich nur etwas gewundert ;-); habe mal versucht die einzelnen Schritte zu begründen...--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 20:02, 6. Feb. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-02-06T17:28:27Z

Hakunamatata:

Lösung von Aufgabe 10.5P (WS 12 13)

2013-02-06T17:21:43Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
 

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Punktspiegelung <math> S_a o S_b </math> mit <math> a \cap b = \{S\}</math> und <math> a \perp b</math>)
|-
| Behauptung || <math>g \|| g'' mit g'' = S_a o S_b (g) </math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Wir drehenn a und b bei festem S so, dass <math>a \|| b </math>|| (Begründung 1)
|-
| 2 || <math>S_a(g) = g' \wedge S_a(a)=a</math> || (Begründung 2)
|-
| 3 ||<math> a \|| g'</math> || (Begründung)
|-
| 4 || <math> g \|| g'</math> || (Begründung)
|-
| 5 || <math>g'' = S_b (g') = g' </math> || (Begründung)
|-
| 6 || <math> g \|| g''</math> || (Begründung)
|}
 
* Ich habe schon mal eine mögliche Beweisführung angegeben. Viel Spaß beim Nachvollziehen und begründen. (Vergesst nicht, euch eine Skizze zu machen, dann fällt das Begründen einfacher)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:48, 28. Jan. 2013 (CET) 

Hallo Anne, liegt hier in deinem 1. Schritt nicht ein Fehler vor?!? Wir haben bei der Punktspiegelung ja unser Achsenkreuz a verkettet mit b. Wie können wir denn dann im ersten Schritt so drehen, dass a zu b parallel ist?!? müssten wir nicht schreiben, dass a parallel zu g ist?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:00, 6. Feb. 2013 (CET) 
und müssen wir nicht eigentliche von a` ausgehen, da wir die Lage verändert haben?!?--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:21, 6. Feb. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 10.5P (WS 12 13)

2013-02-06T17:00:59Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
 

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Punktspiegelung <math> S_a o S_b </math> mit <math> a \cap b = \{S\}</math> und <math> a \perp b</math>)
|-
| Behauptung || <math>g \|| g'' mit g'' = S_a o S_b (g) </math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Wir drehenn a und b bei festem S so, dass <math>a \|| b </math>|| (Begründung 1)
|-
| 2 || <math>S_a(g) = g' \wedge S_a(a)=a</math> || (Begründung 2)
|-
| 3 ||<math> a \|| g'</math> || (Begründung)
|-
| 4 || <math> g \|| g'</math> || (Begründung)
|-
| 5 || <math>g'' = S_b (g') = g' </math> || (Begründung)
|-
| 6 || <math> g \|| g''</math> || (Begründung)
|}
 
* Ich habe schon mal eine mögliche Beweisführung angegeben. Viel Spaß beim Nachvollziehen und begründen. (Vergesst nicht, euch eine Skizze zu machen, dann fällt das Begründen einfacher)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:48, 28. Jan. 2013 (CET) 

Hallo Anne, liegt hier in deinem 1. Schritt nicht ein Fehler vor?!? Wir haben bei der Punktspiegelung ja unser Achsenkreuz a verkettet mit b. Wie können wir denn dann im ersten Schritt so drehen, dass a zu b parallel ist?!? müssten wir nicht schreiben, dass a parallel zu g ist?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:00, 6. Feb. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 12 13)

2013-02-05T17:17:05Z

Hakunamatata:

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie! 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Einführung_P]]

* Vorschlag:

Wenn das Dreieck ABC um 90 gedreht wird, dann entsteht ein Dreicek A`B´C´ so, dass die Strecke B´A´ die Strecke AB schneidet und die Strecke A´C´ die Strecke CB. 

Wird das Dreicek um den eingez. Vektor verschoben entsteht ein Dreieck A"B"C" so, dass die Strecke AC die Strecke B"C" schneidet und BC die Strecke B"C". Der zuletzt genannte Schnittpunkt S ist der Punkt der Ebene, der wieder auf seinem ursprünglichem Ort liegt. 

Die Strecken B"C" und BC stehen senkrecht aufeinander und der Abstand SC" ist gleich dem Abstand SC. 

Frage: Um S kann das Dreieck ABC auf das Dreieck A"B"C" gedreht werden und jeder Urpunkt fällt mit seinem Bildpunkt zusammen. 

Tatjana1 
 
 

Ich kann deine Kostruktion irgendwie nicht ganz nachvollziehen, sry! Ich glaube es hat bei der Aufgabe etwas mit der vorherigen Erkenntnis zu tun, die wir in 12.4 erlangt haben... und zwar, dass eine Drehung und eine Verschiebung wieder zu einer Drehung wird. Ich versuche mal meinen Gedankengang ein wenig zu erläutern.

1. Ich habe den Drehpunkt D. Ich erzeuge irgendeine Gerade g1, die durch den Punkt D verläuft. Da ich nun die Erkenntnis habe, dass ich eine Drehung um 90° habe, weiß ich das mein Drehwinkel 45° ist (Satz 9.2). 
2. Anschließend bilde ich eine weitere Gerade g2, die g1 im Punkt D mit dem Drehwinkel 45°. 
3. Anschließend wähle ich zwei zu einander parallele Gerade, wobei eine der Geraden auf g1 oder g2 liegt. (identisch sind) 
4. Auf Grund der Identität kürzen sich die beiden Geraden raus. Wir erhalten einen neuen Drehpunkt mit dem gleichen Drehwinkel von 45°. (Haben wir ja in 12.4 bewiesen, dass eine Drehung + Verschiebung wieder eine Drehung ist)...
5. Dieser neue Punkt, nennen wir ihn Z, ist der Punkt der auf seinem ursprünglichen Ort liegt. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:45, 3. Feb. 2013 (CET)
 
* Tatjana!, in dieser Applikation ist es tatsächlich so, dass der Schnittpunkt von BC und B``C`` fast dem Drehpunkt entspricht. Das ist allerdings Zufall. Verändere ich z.B. die Größe des Dreiecks, stimmt dies nicht mehr. Somit ist deine Konstruktion nicht allgemein gültig und kann auch nicht begründet werden. Deine Erklärungen sind lediglich Begründungen, die sich auf diese Skizze beziehen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:30, 4. Feb. 2013 (CET)
* Hakunamatata, dein Ansatz ist sehr gut. Schritt 1 + 2 kannst du so konstruieren. Mit der Konstruktion der parallelen Geraden musst du dann aufpassen und genau beschreiben. Welchen Abstand müssen sie haben? Wie müssen sie genau liegen? Beides muss genau festgelegt werden, damit eine Verschiebung in genau die Vektorrichtung und Vektorlänge erfolgt! Schritt 4 + 5 kannst du dann in angepasster Form wieder übernehmen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:30, 4. Feb. 2013 (CET)

* Und wieeee falsch das war..!Jetzt habe ich es verstanden!!
Tatjana1 

Also die Verschiebung ist ja immer der doppelte Abstand der beiden parallelen Geraden. Da wir hier den Vektor haben, ist der Abstand halb so groß wie unsere Verschiebung.... Die Gerade muss dann auch senkrecht zu unserer Vektorgeraden liegen, da wir ja sonst nicht die gewünschte Verschiebung um den Vektor hätten?!?! Ist es so richtig?!?--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:17, 5. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 5.5P (WS 12 13)

2013-02-04T18:36:17Z

Hakunamatata:

Wir betrachten die Gerade ''g'' und auf dieser Geraden die Relation Punkt ''A'' liegt links von Punkt ''B'' ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu? 
*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''.
*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''.
*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch.

3. und 4. treffen zu.--Würmli 16:34, 4. Feb. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]] 

Ich würde sagen, dass 5 ebenfalls korrekt ist.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 19:36, 4. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Aufg. 6.5P (WS 12/13)

2013-02-04T18:32:47Z

Hakunamatata:

'''Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.4. (Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex. )''' 

Die Teilmengen einer Konkaven Menge sind Konkav. --Würmli 11:54, 4. Feb. 2013 (CET) 
* Das ist nicht die Kontraposition. Sorry, ich verstehe auch gar nicht, wie du jetzt auf Teilmenge kommst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:42, 4. Feb. 2013 (CET) 

Die Kontraposition ist ja :<math>\neg B\Rightarrow \neg A</math> 
Daher: Wenn die Schnittmenge (Durchschnitt) zweier Punktmengen nicht konvex ist, dann ist mindestens eine Punktmenge konkav.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 19:32, 4. Feb. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.3P (WS 12/13)

2013-02-04T18:21:11Z

Hakunamatata:

Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge".

Eine Menge M heißt konvexe Punktmenge wenn die Menge aller Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> Element M sind. Wobei A und B zwei beliebige Punkte von M sind. --Würmli 11:23, 4. Feb. 2013 (CET) 
* Im Grundgedanken richtig. Die Formulierung nicht gut und ungeschickt. Du solltest erst die Punkte A und B nennen ...--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:38, 4. Feb. 2013 (CET)

Eine Menge von Punkten heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte A,B gilt: 
<math>\forall A, B \in M:=</math> <math>\overline{AB}</math> Teilmenge von M--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 19:21, 4. Feb. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.3P (WS 12/13)

2013-02-04T18:20:38Z

Hakunamatata:

Lösung von Aufgabe 4.4 P (WS 12 13)

2013-02-03T19:35:16Z

Hakunamatata:

Handelt es sich im Folgenden um einen Satz oder um eine Definition? 
Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks. 
Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen einer Definition und einem Satz. 

Es handelt sich um einen unkorrekten Satz, da ich beweisen kann, dass der Mittelpunkt eines Umkreises nur bei bestimmten Dreiecken gleich dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten einer Seite des Dreiecks ist. Wäre es eine Definition könnte man keinen Beweis führen. --Würmli 17:15, 3. Feb. 2013 (CET) 

Aber wieso ein unkorrekter Satz?!? Ich würde sagen, dass der Mittelpunkt immer der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von dem Dreieck sind, da dieser Punkt ja zu allen Eckpunkten den selben Abstand hat...--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 20:35, 3. Feb. 2013 (CET) 

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.1 P (WS 12 13)

2013-02-03T19:27:57Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstabelle: 
<math>(\ A \Rightarrow B) \ \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> 

Inwiefern hilft Ihnen diese Äquvalenz, wenn Sie einen geometrischen Satz beweisen wollen? 

[[Category:Einführung_P]]

Im Grunde, sagt die Äquivalenz ja aus, dass sowohl die Implikation und ihre Umkehrung gilt oder?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:34, 3. Feb. 2013 (CET) 

Nein, ich glaube nicht. Das ist ja nicht die Umkehrung, sondern die Kontraposition.
Umkehrung wäre <math>\ B \Rightarrow A</math> . Und die sind ja nicht äquivalent zueinander; die Kontraposition und die Implikation aber schon, laut Wahrheitstabelle.--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 18:24, 3. Feb. 2013 (CET) 

Danke Tobi, habe im späteren Verlauf dann auch bemerkt, dass ich nicht die Umkehrung sondern die Kontraposition meinte :-D!--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 20:27, 3. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 4.1 P (WS 12 13)

2013-02-03T16:34:58Z

Hakunamatata:

Lösung von Zusatzaufgabe 12.3P (WS 12 13)

2013-02-03T14:56:34Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz für Dreiecke.
 
[[Datei:TobiWan_Saw_alleine.jpg|700px]] 
--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 23:12, 30. Jan. 2013 (CET) 

Danke fürs Einstellen! 
Was meinen die Anderen? Könnt ihr den Beweis so nachvollziehen? Stimmt der Beweis?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:17, 31. Jan. 2013 (CET)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Ich habe die gleichen Lösungsschritte wie Tobi und kann es so eigentlich auch gut nachvollziehen!--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:56, 3. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 12.1P (WS 12 13)

2013-02-03T14:52:04Z

Hakunamatata:

Definieren Sie den Begriff: "Achsensymmetrische Figur".
 
Eine Figur, die durch eine Geradenspiegelung auf sich selbst abgebildet wird, heißt achsensymmetrische Figur. --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 23:38, 2. Feb. 2013 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]] 
 
Oder: Wenn es eine Symmetrieachse gibt, die die Figur auf sich selbst abbildet, ist die Figur eine achsensymmetrische Figur.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:52, 3. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 12 13)

2013-02-03T14:47:01Z

Hakunamatata:

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie! 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Einführung_P]]

* Vorschlag:

Wenn das Dreieck ABC um 90 gedreht wird, dann entsteht ein Dreicek A`B´C´ so, dass die Strecke B´A´ die Strecke AB schneidet und die Strecke A´C´ die Strecke CB.

Wird das Dreicek um den eingez. Vektor verschoben entsteht ein Dreieck A"B"C" so, dass die Strecke AC die Strecke B"C" schneidet und BC die Strecke B"C". Der zuletzt genannte Schnittpunkt S ist der Punkt der Ebene, der wieder auf seinem ursprünglichem Ort liegt.

Die Strecken B"C" und BC stehen senkrecht aufeinander und der Abstand SC" ist gleich dem Abstand SC.

Tatjana1 
 
 

Ich kann deine Kostruktion irgendwie nicht ganz nachvollziehen, sry! Ich glaube es hat bei der Aufgabe etwas mit der vorherigen Erkenntnis zu tun, die wir in 12.4 erlangt haben... und zwar, dass eine Drehung und eine Verschiebung wieder zu einer Drehung wird. Ich versuche mal meinen Gedankengang ein wenig zu erläutern.

1. Ich habe den Drehpunkt D. Ich erzeuge irgendeine Gerade g1, die durch den Punkt D verläuft. Da ich nun die Erkenntnis habe, dass ich eine Drehung um 90° habe, weiß ich das mein Drehwinkel 45° ist (Satz 9.2). 
2. Anschließend bilde ich eine weitere Gerade g2, die g1 im Punkt D mit dem Drehwinkel 45°. 
3. Anschließend wähle ich zwei zu einander parallele Gerade, wobei eine der Geraden auf g1 oder g2 liegt. (identisch sind) 
4. Auf Grund der Identität kürzen sich die beiden Geraden raus. Wir erhalten einen neuen Drehpunkt mit dem gleichen Drehwinkel von 45°. (Haben wir ja in 12.4 bewiesen, dass eine Drehung + Verschiebung wieder eine Drehung ist)...
5. Dieser neue Punkt, nennen wir ihn Z, ist der Punkt der auf seinem ursprünglichen Ort liegt. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:45, 3. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 12 13)

2013-02-03T14:46:25Z

Hakunamatata:

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie! 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Einführung_P]]

* Vorschlag:

Wenn das Dreieck ABC um 90 gedreht wird, dann entsteht ein Dreicek A`B´C´ so, dass die Strecke B´A´ die Strecke AB schneidet und die Strecke A´C´ die Strecke CB.

Wird das Dreicek um den eingez. Vektor verschoben entsteht ein Dreieck A"B"C" so, dass die Strecke AC die Strecke B"C" schneidet und BC die Strecke B"C". Der zuletzt genannte Schnittpunkt S ist der Punkt der Ebene, der wieder auf seinem ursprünglichem Ort liegt.

Die Strecken B"C" und BC stehen senkrecht aufeinander und der Abstand SC" ist gleich dem Abstand SC.

Tatjana1 

Ich kann deine Kostruktion irgendwie nicht ganz nachvollziehen, sry! Ich glaube es hat bei der Aufgabe etwas mit der vorherigen Erkenntnis zu tun, die wir in 12.4 erlangt haben... und zwar, dass eine Drehung und eine Verschiebung wieder zu einer Drehung wird. Ich versuche mal meinen Gedankengang ein wenig zu erläutern.

1. Ich habe den Drehpunkt D. Ich erzeuge irgendeine Gerade g1, die durch den Punkt D verläuft. Da ich nun die Erkenntnis habe, dass ich eine Drehung um 90° habe, weiß ich das mein Drehwinkel 45° ist (Satz 9.2). 
2. Anschließend bilde ich eine weitere Gerade g2, die g1 im Punkt D mit dem Drehwinkel 45°. 
3. Anschließend wähle ich zwei zu einander parallele Gerade, wobei eine der Geraden auf g1 oder g2 liegt. (identisch sind) 
4. Auf Grund der Identität kürzen sich die beiden Geraden raus. Wir erhalten einen neuen Drehpunkt mit dem gleichen Drehwinkel von 45°. (Haben wir ja in 12.4 bewiesen, dass eine Drehung + Verschiebung wieder eine Drehung ist)...
5. Dieser neue Punkt, nennen wir ihn Z, ist der Punkt der auf seinem ursprünglichen Ort liegt. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:45, 3. Feb. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 12 13)

2013-02-03T14:45:51Z

Hakunamatata:

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie! 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Einführung_P]]

* Vorschlag:

Wenn das Dreieck ABC um 90 gedreht wird, dann entsteht ein Dreicek A`B´C´ so, dass die Strecke B´A´ die Strecke AB schneidet und die Strecke A´C´ die Strecke CB.

Wird das Dreicek um den eingez. Vektor verschoben entsteht ein Dreieck A"B"C" so, dass die Strecke AC die Strecke B"C" schneidet und BC die Strecke B"C". Der zuletzt genannte Schnittpunkt S ist der Punkt der Ebene, der wieder auf seinem ursprünglichem Ort liegt.

Die Strecken B"C" und BC stehen senkrecht aufeinander und der Abstand SC" ist gleich dem Abstand SC.

Tatjana1

Ich kann deine Kostruktion irgendwie nicht ganz nachvollziehen, sry! Ich glaube es hat bei der Aufgabe etwas mit der vorherigen Erkenntnis zu tun, die wir in 12.4 erlangt haben... und zwar, dass eine Drehung und eine Verschiebung wieder zu einer Drehung wird. Ich versuche mal meinen Gedankengang ein wenig zu erläutern.

1. Ich habe den Drehpunkt D. Ich erzeuge irgendeine Gerade g1, die durch den Punkt D verläuft. Da ich nun die Erkenntnis habe, dass ich eine Drehung um 90° habe, weiß ich das mein Drehwinkel 45° ist (Satz 9.2). 
2. Anschließend bilde ich eine weitere Gerade g2, die g1 im Punkt D mit dem Drehwinkel 45°. 
3. Anschließend wähle ich zwei zu einander parallele Gerade, wobei eine der Geraden auf g1 oder g2 liegt. (identisch sind) 
4. Auf Grund der Identität kürzen sich die beiden Geraden raus. Wir erhalten einen neuen Drehpunkt mit dem gleichen Drehwinkel von 45°. (Haben wir ja in 12.4 bewiesen, dass eine Drehung + Verschiebung wieder eine Drehung ist)...
5. Dieser neue Punkt, nennen wir ihn Z, ist der Punkt der auf seinem ursprünglichen Ort liegt. --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:45, 3. Feb. 2013 (CET)

Beziehungen zwischen Seitenlängen und Innenwinkelgrößen von Dreiecken WS 12 13

2013-01-29T16:09:12Z

Hakunamatata: /* Beweis von Satz XIV.2 */

===== Satz XIV.1: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz XIV.1 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]
[[Bild:Seite_winkel_02.png]] 

[[Datei:TobiWan_003.jpg|600px]] --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 00:25, 29. Jan. 2013 (CET) 

Also im Grunde denke ich das der Ansatz auf jeden fall richtig ist! Ich habe es auch mal versucht... meine ersten vier Schritte entsprechen deiner vorgehensweise.

Dann: 
4. <math>\delta1 = \delta2 </math> '''Begründung:''' deine 4; Basiswinkelsatz 
5. <math>\delta 2</math> ist Außenwinkel von <math>\beta</math> im Dreieck ABB` '''Begründung:''' Def. Außenwinkel 
6. Abstand von <math>\alpha</math> = <math>\delta 1 + \delta 2</math> '''Begründung:''' Mein 4. Schritt 
7. Abstand <math>\delta 1\le Abstand \alpha und Abstand \beta \le \delta 2</math> '''Begründung:''' 6. , schwacher Außenwinkelsatz 
8. <math>\alpha \ge \beta</math> '''Begründung:''' 4,6,7--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:03, 29. Jan. 2013 (CET) 

===== Satz XIV.2: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz XIV.2 =====
Zusatzaufaufgabe 

Hier ist der Link zu meinem Beweis:

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:2013-01-29_17.06.06.jpg--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:09, 29. Jan. 2013 (CET)

Datei:2013-01-29 17.06.06.jpg

2013-01-29T16:08:06Z

Hakunamatata: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Beziehungen zwischen Seitenlängen und Innenwinkelgrößen von Dreiecken WS 12 13

2013-01-29T16:03:20Z

Hakunamatata: /* Beweis von Satz XIV.1 */

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-01-26T15:59:31Z

Hakunamatata: /* Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\ SD^{+} \cup \ SC^{+} = \ SA^{+} \cup \ SB^{+}</math> || 1.), Def. Vereinigungsmenge
|-
| 3.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 2.), Def. Winkel
|-
| 4. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 5.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 4.), 3.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET) 

*Danke für den Beweis TobiWan. Schritt 3-5 sind richtig. Allerdings stimmt Schritt 1 nicht. Warum sollten die Strahlen identisch sein? Das sind sie in meiner Skizze nach deiner Voraussetzung nicht. Ich habe eine Ahnung, was du gemeint hast - aber den Fehler findest du oder andere bestimmt. Was möchtest du mit Schritt 2 sagen??--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
* Sonst würde ich mit der Voraussetzung allgemeiner beginnen: Es seine <math> \angle ASB</math> und <math> \angle CSD</math> zwei Scheitelwinkel. (Alles weitere folgt dann im Beweis.) Aber deine Voraussetzung ist schon auch in Ordnung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
 

Wir haben es uns gerade noch einmal genauer angeschaut. Wir müssen in der Voraussetzung noch erwähnen, dass gilt: Zw (BSD) und Zw (ASC)
 

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C; Zw (BSD) und Zw (ASC)
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 1.), Def. Winkel
|-
| 3. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 4.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 3.), 2.)
|}--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 16:26, 26. Jan. 2013 (CET)

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

Vor: Geraden g,h,k || g parallel h <math>\wedge</math> k nicht parallel g 
<math>\ g \cap k </math> = {A} <math> \wedge </math> <math>\ h \cap k</math> = {B} 
Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math> 
Beh: <math>\alpha </math>=<math>\beta</math> 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> \overline{AB} = \overline{AS} + \overline{SB}</math> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> || Mittelpunkt einer Strecke, Vor.
|-
| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B || Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)
|-
| 3. D(S,180)S=S ^D(S,180)k=k || Def Fixpunkt, Fixgerade, Satz IX.5
|-
| 4. D(S,180)<math>\alpha</math> =<math>\beta</math> || winkelmaßerhaltend, winkeltreue, Vor., 2.),3.),
|-
| 5. <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> || 4.)
|} --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 16:34, 19. Jan. 2013 (CET) 

Sehr schöner Beweis. Stimmt auch bis auf zwei (ich nehme an) Schreibfehler: Die Behauptung muss lauten <math>|\alpha | =|\beta | </math> oder <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>, denn die Wechselwinkel sind ja nicht identisch. In Schritt 1 gilt <math> | \overline{AB}| =| \overline{AS}| +| \overline{SB}|</math>, denn Strecken lassen sich nicht addieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:54, 25. Jan. 2013 (CET)

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

[[Datei:Hakunamatata_2013-01-26_16.49.41.jpg]]

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====

Datei:Hakunamatata 2013-01-26 16.49.41.jpg

2013-01-26T15:58:18Z

Hakunamatata: {{Information |Beschreibung = Stufenwinkelsatz |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Stufenwinkelsatz
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = [[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]]
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Datei:2013-01-26 16.49.41.jpg

2013-01-26T15:55:19Z

Hakunamatata: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-01-26T15:26:05Z

Hakunamatata: /* Satz IX.6 : */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\ SD^{+} \cup \ SC^{+} = \ SA^{+} \cup \ SB^{+}</math> || 1.), Def. Vereinigungsmenge
|-
| 3.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 2.), Def. Winkel
|-
| 4. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 5.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 4.), 3.)
|}
 --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET) 

*Danke für den Beweis TobiWan. Schritt 3-5 sind richtig. Allerdings stimmt Schritt 1 nicht. Warum sollten die Strahlen identisch sein? Das sind sie in meiner Skizze nach deiner Voraussetzung nicht. Ich habe eine Ahnung, was du gemeint hast - aber den Fehler findest du oder andere bestimmt. Was möchtest du mit Schritt 2 sagen??--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
* Sonst würde ich mit der Voraussetzung allgemeiner beginnen: Es seine <math> \angle ASB</math> und <math> \angle CSD</math> zwei Scheitelwinkel. (Alles weitere folgt dann im Beweis.) Aber deine Voraussetzung ist schon auch in Ordnung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
 

Wir haben es uns gerade noch einmal genauer angeschaut. Wir müssen in der Voraussetzung noch erwähnen, dass gilt: Zw (BSD) und Zw (ASC)
 

{| class="wikitable sortable"
! !!
|-
| Vor.: || Geraden g,h mit <math>\ g \cap h</math>={S} A,C <math>\in</math> g <math>\ \wedge</math> B,D <math>\in</math> h 
es gilt: D(S,180)D = B <math> \wedge</math> D(S,180)A = C; Zw (BSD) und Zw (ASC)
|-
| Beh: || <math>\angle DSC</math> <math>\tilde {=} \angle ASB</math>
|}
 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1.<math>\ SD^{+} = \ SB^{+}</math>^<math> \ SC^{+} = \ SA^{+}</math> || Def. Halbgerade, Vor.
|-
| 2.<math>\angle DSC =\angle ASB </math> || 1.), Def. Winkel
|-
| 3. <math>\left|\angle DSC \right| =\left|\angle ASB \right|</math> || winkelmaßerhaltend
|-
| 4.<math>\angle DSC \tilde {=} \angle ASB</math> || 3.), 2.)
|}--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 16:26, 26. Jan. 2013 (CET)

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

Vor: Geraden g,h,k || g parallel h <math>\wedge</math> k nicht parallel g 
<math>\ g \cap k </math> = {A} <math> \wedge </math> <math>\ h \cap k</math> = {B} 
Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math> 
Beh: <math>\alpha </math>=<math>\beta</math> 

{| class="wikitable sortable"
!Beweisschritte!!Begründung
|-
| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> \overline{AB} = \overline{AS} + \overline{SB}</math> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> || Mittelpunkt einer Strecke, Vor.
|-
| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B || Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)
|-
| 3. D(S,180)S=S ^D(S,180)k=k || Def Fixpunkt, Fixgerade, Satz IX.5
|-
| 4. D(S,180)<math>\alpha</math> =<math>\beta</math> || winkelmaßerhaltend, winkeltreue, Vor., 2.),3.),
|-
| 5. <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> || 4.)
|} --[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 16:34, 19. Jan. 2013 (CET) 

Sehr schöner Beweis. Stimmt auch bis auf zwei (ich nehme an) Schreibfehler: Die Behauptung muss lauten <math>|\alpha | =|\beta | </math> oder <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>, denn die Wechselwinkel sind ja nicht identisch. In Schritt 1 gilt <math> | \overline{AB}| =| \overline{AS}| +| \overline{SB}|</math>, denn Strecken lassen sich nicht addieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:54, 25. Jan. 2013 (CET)

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====

Lösung von Aufgabe 11.1P (WS 12 13)

2013-01-24T17:36:54Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie Satz IX.1: 
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Also ich habe mir mal mit ein paar Leuten Gedanken zu der Aufgabe gemacht, ich hoffe es kann einigermaßen gelesen werden.
http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:2013-01-24_18.31.37.jpg --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:36, 24. Jan. 2013 (CET)

Datei:2013-01-24 18.31.37.jpg

2013-01-24T17:35:23Z

Hakunamatata: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Lösung von Aufgabe 10.1P (WS 12 13)

2013-01-23T15:24:56Z

Hakunamatata:

Definieren Sie den Begriff "Gleichschenkliges Dreieck". Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Ein Dreieck mit zwei kongruenten Seiten, heißt gleichschenkliges Dreieck. Die kongruenten Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite ist die Basis. 
Die Winkel, bei der die Basis Teilmenge der Schenkel sind, heißen Basiswinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 20:42, 16. Jan. 2013 (CET)
*Diese Definition ist fast korrekt. Winkel ist zu ungenau - der könnte an verschiedenen Stellen liegen. Es muss nur eine Vorsilbe ergänzt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:25, 21. Jan. 2013 (CET)
Ist es dann richtig, wenn ich Sage: die Innenwinkel, bei der die Basis....--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 16:24, 23. Jan. 2013 (CET)
Ein Dreieck heißt gleichschenkliges Dreieck, wenn zwei seiner Seiten kongruent zueinander sind. Die beide zueinander kongruenten Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte Seite ist die Basis.
Die Winkel, die zwischen der Basis und den Schenkeln aufgespannt werden, bezeichnet man als Basiswinkel. --[[Benutzer:Kaeseknilch|Kaeseknilch]] 17:13, 20. Jan. 2013 (CET)

Im Grund ist es glaube ich nicht verkehrt, aber was bedeutet aufgespannt?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:40, 20. Jan. 2013 (CET)

Warum ich es nochmal anders geschrieben habe, war, weil mir dein 3. Satz mit der Teilmenge der Schenkel nicht in den Kopf ging, bzw. irgendwie komisch/nicht richtig vorkam.

Also den Ausdruck kenn ich aus der Schule und den gibt es auch bei Ebenen..Da heißt es doch auch "3 Punkte spannen eine Ebene auf". ?! (hoffe ich erinner mich richtig)--[[Benutzer:Kaeseknilch|Kaeseknilch]] 18:42, 20. Jan. 2013 (CET) 
*Also "mit dem Aufspannen" ist nicht geeignet. Das "mit der Teilmenge" ist mathmatisch formal korrekt - für die Schule taugt es aber eher nicht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:25, 21. Jan. 2013 (CET)

Basiswinkel:
::Die Basiswinkel lassen sich einfacher definieren, wenn man sie über ihre Scheitelpunkte beschreibt: Basiswinkel sind die Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks, deren Scheitel jeweils ein Endpunkt der Basis ist.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:37, 21. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-22T18:50:25Z

Hakunamatata:

Lösung von Aufgabe 10.1P (WS 12 13)

2013-01-20T16:40:39Z

Hakunamatata:

Lösung von Zusatzaufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-20T11:59:35Z

Hakunamatata:

Lösung von Zusatzaufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-20T11:54:45Z

Hakunamatata:

Winkelmaß, Rechte Winkel WS 12 13

2013-01-20T11:51:40Z

Hakunamatata: /* Definition IV.4 : (Rechter Winkel) */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

==== Definition IV.6 : (Winkelmaß)====
::Jedem Winkel <math>\ \alpha</math> kann genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180 zugeordnet werden. Diese Zahl wird als Größe oder als Maß des Winkels <math>\ \alpha</math> bezeichnet. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

Wie aus der Schule bekannt, lassen sich Winkelgrößen addieren oder auch subtrahieren:

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAIe40TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VlLcuM2EF1nToHiIpspU/yTqkie8kw2rprErpEzi+wgEpIQ8zckaEu+QU6RM/hzDh0iJ0kDICVS9Ee07Bm5KlyYJgA2Gu/1625Jgw/zKEQXJMtpEg8VXdUURGI/CWg8HSoFmxx4yofDd4MpSaZknGE0SbIIs6FiqobCxwt6+O6nQT5LLhEOxZKvlFwOlQkOc6KgPM0IDvIZIawxjos5DSnOFifjv4jP8vWENHIcpwXswrICxvwo+Ezz6rEnNkxDyn6lFzQgGQoTf6g4NrgO/30lGaM+DoeKpckRY6gYG5MwZPLZWZLRqyRmfPna+ARGEMrpFYE3NT426ImDDkjhhzSgOOaHEX7AIoQuacBm4IJjgUlCpzPw1bI0ac1PkiwYLXJGIjT/k2QJzLkc54V8MDSLP+XgFuxna2Kq/iSskIsRYQxYyRGekzVe04wGjYfj/GMSrofShMbsE05ZkQlKzXJoxBZ8A9gr4/4exdOQlGM6ID4j/vk4mY8EBropTZ8tUvGKcGg8/ZSESYYyjq4NC8r7WN7FGu7papUm1mhiRWmDG13N631DrBD3sbyLVSGNpWvlyfXq1LpWbUNzxAc4jBCJq8OHeEyAWQUVMWWfqweIgPP1UfkLvxfRGCRQj4GVTf2lbA56G9EzOCdZTEIZIzFwWyRFji54LMq9hCMB8WkEj3JCL73jdP0BDsjRgEwzUjkuBSQBE7ONONwYHvQqJ7gPOfjqM8gEcB7Gz8KFykAkQyVSp6qCAsz4KFdCSCICMmEiJkRIrbA5UlY5IRHyroRczq9Rhul740NEEg7TGYaRSgIhXoDY60cS9k4mk5wwNB8qB7oH0gF5ebXp35KgiQOOAU9xSJBkyu1zxlJCJNmsDHKUwn5CMjUyBIY538tVbbHXgalqjoKuZO4Ui6S+eGIQ25ol+RKwJ6Ab/SjoTF0cR3deHzpdNQ2JnaFyrb8Udh9/WNjJUNBeHzpb1SV0uup5Wv3Su+HoJ1GE4wDFOIJ9RfYX6FFedxHWuIgR1nlAImxwbCVwBavml7fSZmmpxY1IUSvsYTV/H5wpKlyAe9PTXMPwXMeydLNfVvZn8adrVWFZ86dvyZ9hyWi0H+NvXYTYDHJ9THJI7caaOEly5q8x5y6VGTlMLr+QSUjmAmg5XSsLD7DyBS82OBlJTtpk4Me5yMBShSJWtj7Ow1TUgvMhLWlbK6mF9TreDyxVpnST33mAu6plGrW4b/UIj5yHfIvlmlxWahpBF+lTtoIz5NI7jhnUbSLqYLscnxOS8j7oJD7LcJzzdnhnPo9afI6353P8lvgEUVrNtCXTmaPqK349R3P7q8vbZ34fq0an37UavVK98VTN2qgyC5G6N1jcpfg8KIvTliz87WXhv7AsoDsOqMQTlp+Uq5fX6D1a3qB///4HyYL42gkREqFTSsY12hwYlurqrrPPounaerTDYHndqfW4brceNnw6Nx3HtXUA0bE6tB67xEH3JuUF2hB3xy7kPoJOn+oNbzoRdNMmyHT7rqvZtmlDl2h5fed/hup1Z55mYJefsTz+GZkzyAAwUR71529Fwn6RfxXUa1HA4AWl+fb3AHjnVJgznLFTXmCQbChs2b0bqtP4GP40XEYF181z4DLeKFxO+fGx73VDyyzRkhAtr4clVltAZe7cCb0cAAeg537z8qr4sbohYjURuemAiLVfiBglAlo3AOxKQLfPEZC9RxiALOxmUJR9rtExpzjNmLjtEBPOHuEBMdHs+zXNrhBxm0C53QByN9LI+066cfcLI6f5FZxVplbT3IylbRFa3tVLOPRF9whpo3e62/Z7tV27C69y7e45avfeeLk0H/m2tY5dr/4rivjdsPzh9PA/UEsHCMM6q7lzBQAAah0AAFBLAQIUABQACAAIAIe40TzDOqu5cwUAAGodAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAArQUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz IV.1 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz IV.1 ====
Für diesen Beweis benötigen wir spezielle Winkelaxiome, auf die wir an dieser Stelle aber verzichten wollen.

== Rechte Winkel ==

==== Definition IV.2 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition IV.3 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Satz IV.2: ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz IV.3a : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz IV.3a : ====
:: Übungsaufgabe 

==== Satz IV.3b : ====
::Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.

==== Beweis von Satz IV.3b : ====
:: Übungsaufgabe 

Wir haben somit in der Aussage, das Maß 90 zu haben, eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür gefunden, ein rechter Winkel zu sein und damit ein Kriterium für einen rechten Winkel gefunden. Dieses Kriterium eignet sich somit als neue Definition des Begriffs "rechter Winkel":

==== Definition IV.4 : (Rechter Winkel) ====
Ein Winkel, der genau das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat, heißt rechter Winkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:45, 18. Jan. 2013 (CET)

 
* Diese Defniniton steht schon oben! Hier ist eine neue Definition gesucht, die sich aus dem Kriterium (steht darüber) ableiten lässt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:08, 20. Jan. 2013 (CET)

Dann könnte ich ja einfach sagen: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. ?!?!--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:51, 20. Jan. 2013 (CET)

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition IV.5 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition IV.6 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... Ergänzen Sie:

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-19T17:15:24Z

Hakunamatata:

Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-19T17:09:06Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln den Basiswinkelsatz. 

Voraussetzung: gleichschenkliges Dreieck mit <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
Behauptung: <math>\left| Beta \right|</math> = <math>\left| Alpha \right|</math>

[[Kategorie:Einführung_P]]
{| class="wikitable sortable"

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beobachtung
|-
| 1) <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
| Vor.
|-
| 2) m ist Mittelsenkrechte von AB; C <math>\in</math> m
| 1; Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3) Sm (A) = B
| 2; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4) Sm (C) = C
| Def. Fixpunkt
|-
| 5) <math>\left| AM \right|</math> = <math>\left| MB \right|</math>
| Def. Mittelsenkrechte
|-
| 6) Winkel CAM = <math>\alpha</math>; Winkel CBM =<math>\beta</math>
| Def. Winkel
|-
| 7) Sm (<math>\alpha</math>) = <math>\beta</math>
| 5; winkelmaßerhaltung
|}

--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:47, 16. Jan. 2013 (CET) 
Zwei Anmerkungen dazu: 
* Warum folgt aus Schritt 1) C <math>\in</math> m?
* '''Da du bestimmte Schritte zur Begründung weiterer Schritte nicht verwendet hast, brauchst du sie auch nicht. Oder doch?''' Für welche Schritte? Bitte ergänzt die Nummern, oder die Schritte können weg gelassen werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:03, 17. Jan. 2013 (CET)

Bei meinem ersten Schritt fehlt etwas ;-) So jetzt ist es ergänzt.
Wissen wir nicht, dass der Punkt c Element m ist, dadurch das wir ein gleichschenkliges Dreieck haben?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:39, 17. Jan. 2013 (CET) 
*Ja richtig. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:47, 18. Jan. 2013 (CET)

Also passt es jetzt so?? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 18:09, 19. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-18T15:43:14Z

Hakunamatata:

Datei:Zusatz 10.pdf

2013-01-18T15:40:01Z

Hakunamatata: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Datei:Zusatz 10.png

2013-01-18T15:38:59Z

Hakunamatata: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Datei:Zusatz 10.2.ggb

2013-01-18T15:38:07Z

Hakunamatata: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Winkelmaß, Rechte Winkel WS 12 13

2013-01-18T14:45:05Z

Hakunamatata: /* Definition IV.4 : (Rechter Winkel) */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

==== Definition IV.6 : (Winkelmaß)====
::Jedem Winkel <math>\ \alpha</math> kann genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180 zugeordnet werden. Diese Zahl wird als Größe oder als Maß des Winkels <math>\ \alpha</math> bezeichnet. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

Wie aus der Schule bekannt, lassen sich Winkelgrößen addieren oder auch subtrahieren:

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz IV.1 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz IV.1 ====
Für diesen Beweis benötigen wir spezielle Winkelaxiome, auf die wir an dieser Stelle aber verzichten wollen.

== Rechte Winkel ==

==== Definition IV.2 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition IV.3 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Satz IV.2: ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz IV.3a : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz IV.3a : ====
:: Übungsaufgabe 

==== Satz IV.3b : ====
::Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.

==== Beweis von Satz IV.3b : ====
:: Übungsaufgabe 

Wir haben somit in der Aussage, das Maß 90 zu haben, eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür gefunden, ein rechter Winkel zu sein und damit ein Kriterium für einen rechten Winkel gefunden. Dieses Kriterium eignet sich somit als neue Definition des Begriffs "rechter Winkel":

==== Definition IV.4 : (Rechter Winkel) ====
Ein Winkel, der genau das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat, heißt rechter Winkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:45, 18. Jan. 2013 (CET)

 

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition IV.5 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition IV.6 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... Ergänzen Sie:

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

[[Category:Einführung_P]]

Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13

2013-01-18T14:25:42Z

Hakunamatata: /* Definition IX.2 (Drehung): */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis:

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====

Winkel, Innere eines Winkels, Scheitelwinkel, Nebenwinkel WS 12 13

2013-01-18T13:45:13Z

Hakunamatata: /* Definition III.4: (Nebenwinkel) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition III.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel verseht man ... ergänzen Sie

 Ein Winkel ∢BAC (∢pq) ist die Vereinigungsmenge zweier Strahlen AB+ (p) und AC+ (q) mit dem gemeinsamen Anfangspunkt A (Scheitelpunkt: S).--[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 19:52, 6. Jan. 2013 (CET) (aus der VL)

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_Winkel.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe> 
Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) =====

Unter dem Inneren eines Winkels ... ergänzen Sie 
Unter dem Inneren eines Winkels ∢ASB versteht man die Schnittmenge der beiden Halbebenen ASB+ und BSA+.
Zum Inneren gehören auch die Schenkel.

Schreibweise: Inneres des Winkels ∢ ASB := ASB+ ∩ BSA+

--[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 16:55, 4. Jan. 2013 (CET)
*Sehr gut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:16, 5. Jan. 2013 (CET)

===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::trivial entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
Die Winkel ∢ ASB und ∢ CSD sind Scheitelwinkel, wenn jeweils ein Schenkel von ∢ ASB
mit einem Schenkel von ∢ CSD eine Gerade bildet. --[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 16:40, 4. Jan. 2013 (CET)(aus der VL)

Die Winkel ∢ SA+, SB+ und SA-, SB- sind ein Paar von Scheitelwinkel
--[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 17:12, 4. Jan. 2013 (CET) (aus der VL)

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
Hier sind Beispiele aus der Classroompresenter-Übung vom 20.04.12. Kommentieren Sie die Definitionsversuche! 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_046.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_036.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}

 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_064.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_035.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}
 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_069.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_042.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:'''
|'''Ihr Kommentar:'''
|}
 

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:'''

[[Category:Einführung_P]]
Nebenwinkel sind Winkel, die einen gemeinsamen Schenkel haben, die sich um 180˚ ergänzen und auf einer Geraden liegen. --[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 16:58, 4. Jan. 2013 (CET)
*Schon nicht schlecht, aber noch nicht eindeutig formuliert.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:20, 5. Jan. 2013 (CET)

Habe ich so aus der VL? --> Zwei Winkel mit genau einem gemeinsamen Schenkel, die sich um 180 Grad ergänzen und auf einer Geraden liegen heißen Nebenwinkel. Ist das dann korrekt? Wegen dem "zwei Winkel"? Oder warum? --[[Benutzer:RM2208|RM2208]] 19:55, 6. Jan. 2013 (CET)
*Also mir ist dieses "180 Grad ergänzen" irgendwie zu ungenau. Was ergänzt sich? Und was genau liegt auf einer Geraden? Die Winkel, der gemeinsame Schenkel, oder was genau?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:13, 6. Jan. 2013 (CET)

Also ich würde einfach sagen; Zwei Winkel <math>\angle ABC und \angle DEF</math> bilden ein Paar von Nebenwinkeln, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden. Somit habe ich die 180 Grad nicht enthalten und meiner Meinung nach müsste das ganze so passsen ;-)--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:45, 18. Jan. 2013 (CET)--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 14:45, 18. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-17T16:41:06Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln den Basiswinkelsatz. 

Voraussetzung: gleichschenkliges Dreieck mit <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
Behauptung: <math>\left| Beta \right|</math> = <math>\left| Alpha \right|</math>

[[Kategorie:Einführung_P]]
{| class="wikitable sortable"

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beobachtung
|-
| 1) <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
| Vor.
|-
| 2) m ist Mittelsenkrechte von AB; C <math>\in</math> m
| 1; Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3) Sm (A) = B
| 2; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4) Sm (C) = C
| Def. Fixpunkt
|-
| 5) <math>\left| AM \right|</math> = <math>\left| MB \right|</math>
| Def. Mittelsenkrechte
|-
| 6) Winkel CAM = <math>\alpha</math>; Winkel CBM =<math>\beta</math>
| Def. Winkel
|-
| 7) Sm (<math>\alpha</math>) = <math>\beta</math>
| 5; winkelmaßerhaltung
|}

--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:47, 16. Jan. 2013 (CET) 
Zwei Anmerkungen dazu: 
* Warum folgt aus Schritt 1) C <math>\in</math> m?
* Da du bestimmte Schritte zur Begründung weiterer Schritte nicht verwendet hast, brauchst du sie auch nicht. Oder doch? Für welche Schritte? Bitte ergänzt die Nummern, oder die Schritte können weg gelassen werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:03, 17. Jan. 2013 (CET)

Bei meinem ersten Schritt fehlt etwas ;-) So jetzt ist es ergänzt.
Wissen wir nicht, dass der Punkt c Element m ist, dadurch das wir ein gleichschenkliges Dreieck haben?!? --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:39, 17. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-17T16:39:21Z

Hakunamatata:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln den Basiswinkelsatz. 

Voraussetzung: gleichschenkliges Dreieck mit <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
Behauptung: <math>\left| Beta \right|</math> = <math>\left| Alpha \right|</math>

[[Kategorie:Einführung_P]]
{| class="wikitable sortable"

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beobachtung
|-
| 1) <math>\left| AC \right|</math> = <math>\left| BC \right|</math>
| Vor.
|-
| 2) m ist Mittelsenkrechte von AB; C <math>\in</math> m
| 1; Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3) Sm (A) = B
| 2; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4) Sm (C) = C
| Def. Fixpunkt
|-
| 5) <math>\left| AM \right|</math> = <math>\left| MB \right|</math>
| Def. Mittelsenkrechte
|-
| 6) Winkel CAM = <math>\alpha</math>; Winkel CBM =<math>\beta</math>
| Def. Winkel
|-
| 7) Sm (<math>\alpha</math>) = <math>\beta</math>
| 5; winkelmaßerhaltung
|}

--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 21:47, 16. Jan. 2013 (CET) 
Zwei Anmerkungen dazu: 
* Warum folgt aus Schritt 1) C <math>\in</math> m?
* Da du bestimmte Schritte zur Begründung weiterer Schritte nicht verwendet hast, brauchst du sie auch nicht. Oder doch? Für welche Schritte? Bitte ergänzt die Nummern, oder die Schritte können weg gelassen werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:03, 17. Jan. 2013 (CET)

Bei meinem ersten Schritt fehlt etwas ;-) So jetzt ist es ergänzt --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 17:39, 17. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2P (WS 12 13)

2013-01-16T21:01:57Z

Hakunamatata:

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun über '''drei''' Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

Wie kann ich hier ein Bild hochladen??--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 13:10, 9. Jan. 2013 (CET) 
*Am linken Rand unter Werkzeuge - Datei hochladen, steht die Anleitung. Oder auf diesen Link klicken: http://wikis.zum.de/geowiki/Spezial:Hochladen --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:54, 10. Jan. 2013 (CET)
 

Viele Danke, Anne. http://wikis.zum.de/geowiki/images/7/7e/2013-01-09_13.05.03.jpg --[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 12:22, 11. Jan. 2013 (CET)
*Sehr schöne und richtige Konstruktion. 
*Und wer übernimmt die Begründung?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:53, 13. Jan. 2013 (CET)

1. <math>S_g(\overline{AE}) </math> = <math>\overline{A'E}</math> 
2. <math>\left| A'E \right|</math> + <math>\left| ED \right|</math> = <math>\left| A'D \right|</math> 
3. <math>S_h(\overline{A'D}) </math> = <math>\overline{A''D}</math> 
4. <math>S_k(\overline{BC}) </math> = <math>\overline{B'C}</math> 
5. <math>\overline{A''B'} </math> = <math>\overline{A''D}</math> + <math>\overline{DC}</math> + <math>\overline{CB'}</math> 

Ich glaube bei 5. müssen jeweils noch die Betragsstriche hinzugefügt werden.
--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 15:08, 14. Jan. 2013 (CET)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Ich glaube im Grunde ist der Ansatz nicht verkehrt, bei der Billiardtischaufgabe geht es aber denke ich Primär um Feststellung " einfallswinkel = Außfallswinkel" hier kommt es uns ja nicht auf die kürzeste Strecke an, wie bei der "Feuerwehraufgabe"--[[Benutzer:Hakunamatata|Hakunamatata]] 22:01, 16. Jan. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-16T20:47:49Z

Hakunamatata:

Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-16T20:47:15Z

Hakunamatata:

Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 12 13)

2013-01-16T20:46:59Z

Hakunamatata: table+ table+ table+ table+