Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Aufg. 13.5

2011-02-06T14:02:31Z

Halikarnaz:

Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Vor:<math>\triangle {AMP}</math> 
Beh: mab,mbc,mac schneiden sich in einem Punkt P 

1) Für alle Punkte X der mab der Seite <math>\overline {AB}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium 
|<math>{AX}</math>|=|<math>{BX}</math>| 

2)Für alle Punkte X der mac der Seite <math>\overline {AC}</math> gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium 
|<math>{AX}</math>|=|<math>{CX}</math>| 
3) Für den Schnittpunkt P der mab und mac gilt:____________________________2), 1) 
|<math>{AP}</math>|= |<math>{BP}</math>|=|<math>{CP}</math>| 
4)|<math>{CP}</math>|=|<math>{BP}</math>|_____________________Mittelsenkrechtenkriterium 
<math>P \in mbc</math> 
5) P ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten_________________3),4) 
mab, mbc,mac. 
6) P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks__________5) und Def. Umkreis
--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:00, 25. Jan. 2011 (UTC)

Eindeutigkeit: 
Annahme: 
Es gibt zwei Schnittpunkte P1 und P2 der drei Mittelsenkrechten mab, mbc,mac.
Nach I/1 geht durch zwei Punkte genau eine Gerade. Daraus kann man sofort schlussfolgern, dass die Punkte A, B,C kollinear sind. Was wiederum ein Widerspruch zu Nichtkollinearität der Punkte A,B,C in der Voraussetzung ist.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:32, 4. Feb. 2011 (UTC)

Der Beweis ist noch nicht vollständig, es fehlt der Beweis der Eindeutigkeit und dass der Punkt Mittelpunkt des Umkreises ist!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:03, 4. Feb. 2011 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.5

2011-02-06T01:19:09Z

Halikarnaz:

Lösung von Aufg. 13.5

2011-02-06T01:18:44Z

Halikarnaz:

Lösung von Aufg. 14.2

2011-02-03T20:21:37Z

Halikarnaz:

a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.

b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 14.2

2011-02-03T20:18:00Z

Halikarnaz:

Lösung von Aufg. 14.2

2011-02-03T20:13:40Z

Halikarnaz: Die Seite wurde neu angelegt: Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.--~~~~

Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:13, 3. Feb. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 14.1

2011-02-03T20:03:41Z

Halikarnaz: Die Seite wurde neu angelegt: Eine Gerade t, die einen Kreis K in genau einem Punkt B berührt (lat. tangere: berühren), heißt Tangente des Kreises K im Punkt B. --~~~~

Eine Gerade t, die einen Kreis K in genau einem Punkt B berührt (lat. tangere: berühren), heißt Tangente des Kreises K im Punkt B. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:03, 3. Feb. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 13.3

2011-01-26T20:06:57Z

Halikarnaz:

Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

Vor: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> 
Beh: <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> 

1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor 
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 
<math>\angle ASB</math> gefällt 
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2) 
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial 
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck 
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5) 
7) <math>\overline {AP}</math>= <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC)

Vor:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> 
Beh: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> 

1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor. 
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 
<math>\angle ASB</math> gefällt 
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2) 
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial 
5)<math>\angle SAP</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________SsW, 1),3),4) und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber. 
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5) 
7) <math>P \in w</math>, ____________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)

*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11)

2011-01-25T10:31:30Z

Halikarnaz: /* Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel q und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:25, 23. Jan. 2011 (UTC)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

----
 
Voraussetzung: 
# <math>\ a \not\equiv b \not\equiv c</math>
# <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Stufenwinkel
# <math>\alpha \cong \beta</math>
# <math>\ b \cap c</math> = {<math>\ B</math>}
# <math>\ a \cap c</math> = {<math>\ A</math>} 

Behauptung: 
: <math>\ a \| b</math> 

Annahme: 
: <math>a\not\| b</math> 

{| class="wikitable"
|1) <math>a\not\| b</math>
|Annahme
|-
|2) <math>\ a \equiv b</math> oder <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>}
|1), Schnittpunkt von Geraden
|-
|3) <math>\ a \equiv b</math>
|Widerspruch zur 1. Voraussetzung
|-
|4) <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>} <math>\Rightarrow</math> <math>\ a \| c</math> oder <math>\ a \equiv c</math>
|2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
|-
|5) <math>\ a \equiv c</math>
|Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
|-
|6) <math>\ a \| c</math>
|Widerspruch zur 5. Voraussetzung
|}
<math>\Rightarrow</math> Annahme verwerfen <math>\Rightarrow</math> Behauptung stimmt. 
q.e.d.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11)

2011-01-23T13:25:16Z

Halikarnaz: /* Definition X.1: (Stufenwinkel) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel q und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:25, 23. Jan. 2011 (UTC)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====

Übungsaufgabe

Wenn zwei zueinander parallele Geraden p und p* von einer Geraden g geschnitten werden, so bezeichnet man die beiden Winkel <gp und <gp*, die bezüglich der Geraden g in derselben Halbebene, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von p und p* liegen, als entgegengesetzt liegende Winkel. Entgegengesetzt liegende Winkel ergänzen sich zu 180°(diese Eigenschaft folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie).(Umgekehrt kann auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden)--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:22, 23. Jan. 2011 (UTC)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

----
 
Voraussetzung: 
# <math>\ a \not\equiv b \not\equiv c</math>
# <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Stufenwinkel
# <math>\alpha \cong \beta</math>
# <math>\ b \cap c</math> = {<math>\ B</math>}
# <math>\ a \cap c</math> = {<math>\ A</math>} 

Behauptung: 
: <math>\ a \| b</math> 

Annahme: 
: <math>a\not\| b</math> 

{| class="wikitable"
|1) <math>a\not\| b</math>
|Annahme
|-
|2) <math>\ a \equiv b</math> oder <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>}
|1), Schnittpunkt von Geraden
|-
|3) <math>\ a \equiv b</math>
|Widerspruch zur 1. Voraussetzung
|-
|4) <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>} <math>\Rightarrow</math> <math>\ a \| c</math> oder <math>\ a \equiv c</math>
|2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
|-
|5) <math>\ a \equiv c</math>
|Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
|-
|6) <math>\ a \| c</math>
|Widerspruch zur 5. Voraussetzung
|}
<math>\Rightarrow</math> Annahme verwerfen <math>\Rightarrow</math> Behauptung stimmt. 
q.e.d.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11)

2011-01-23T13:23:58Z

Halikarnaz: /* Definition X.2: (Wechselwinkel) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====

Übungsaufgabe

Wenn zwei zueinander parallele Geraden p und p* von einer Geraden g geschnitten werden, so bezeichnet man die beiden Winkel <gp und <gp*, die bezüglich der Geraden g in derselben Halbebene, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von p und p* liegen, als entgegengesetzt liegende Winkel. Entgegengesetzt liegende Winkel ergänzen sich zu 180°(diese Eigenschaft folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie).(Umgekehrt kann auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden)--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:22, 23. Jan. 2011 (UTC)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

----
 
Voraussetzung: 
# <math>\ a \not\equiv b \not\equiv c</math>
# <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Stufenwinkel
# <math>\alpha \cong \beta</math>
# <math>\ b \cap c</math> = {<math>\ B</math>}
# <math>\ a \cap c</math> = {<math>\ A</math>} 

Behauptung: 
: <math>\ a \| b</math> 

Annahme: 
: <math>a\not\| b</math> 

{| class="wikitable"
|1) <math>a\not\| b</math>
|Annahme
|-
|2) <math>\ a \equiv b</math> oder <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>}
|1), Schnittpunkt von Geraden
|-
|3) <math>\ a \equiv b</math>
|Widerspruch zur 1. Voraussetzung
|-
|4) <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>} <math>\Rightarrow</math> <math>\ a \| c</math> oder <math>\ a \equiv c</math>
|2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
|-
|5) <math>\ a \equiv c</math>
|Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
|-
|6) <math>\ a \| c</math>
|Widerspruch zur 5. Voraussetzung
|}
<math>\Rightarrow</math> Annahme verwerfen <math>\Rightarrow</math> Behauptung stimmt. 
q.e.d.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11)

2011-01-23T13:22:01Z

Halikarnaz: /* Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====

Übungsaufgabe

Wenn zwei zueinander parallele Geraden p und p* von einer Geraden g geschnitten werden, so bezeichnet man die beiden Winkel <gp und <gp*, die bezüglich der Geraden g in derselben Halbebene, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von p und p* liegen, als entgegengesetzt liegende Winkel. Entgegengesetzt liegende Winkel ergänzen sich zu 180°(diese Eigenschaft folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie).(Umgekehrt kann auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden)--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 13:22, 23. Jan. 2011 (UTC)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

----
 
Voraussetzung: 
# <math>\ a \not\equiv b \not\equiv c</math>
# <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Stufenwinkel
# <math>\alpha \cong \beta</math>
# <math>\ b \cap c</math> = {<math>\ B</math>}
# <math>\ a \cap c</math> = {<math>\ A</math>} 

Behauptung: 
: <math>\ a \| b</math> 

Annahme: 
: <math>a\not\| b</math> 

{| class="wikitable"
|1) <math>a\not\| b</math>
|Annahme
|-
|2) <math>\ a \equiv b</math> oder <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>}
|1), Schnittpunkt von Geraden
|-
|3) <math>\ a \equiv b</math>
|Widerspruch zur 1. Voraussetzung
|-
|4) <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>} <math>\Rightarrow</math> <math>\ a \| c</math> oder <math>\ a \equiv c</math>
|2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
|-
|5) <math>\ a \equiv c</math>
|Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
|-
|6) <math>\ a \| c</math>
|Widerspruch zur 5. Voraussetzung
|}
<math>\Rightarrow</math> Annahme verwerfen <math>\Rightarrow</math> Behauptung stimmt. 
q.e.d.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Dreieckskongruenz (WS10/11)

2010-12-29T01:57:17Z

Halikarnaz: /* Dreieckskongruenz */

== Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz ==
=== Bewegungsgeometrie ===
==== naive Deckungsgleichheit ====
==== Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich ====
=== Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz ===
== Streckenkongruenz ==
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
<quiz display="simple">
{Wie sagt man es richtig?
}
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander.
+ Der Punkt <math>\ A</math> hat zum Punkt <math>\ B</math> denselben Abstand wie der Punkt <math>\ C</math> zum Punkt <math>\ D</math>
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> haben dieselbe Länge.
</quiz>

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: 
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen <math>\ a = 5\operatorname{cm}</math>, <math>\ b = 4\operatorname{cm}</math>, <math>\ c = 3\operatorname{cm}</math>. <math>\ 30</math> Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung <math>\ 30</math> Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

== Das Kongruenzaxiom SWS ==
===== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Der Kongruenzsatz WSW ==
===== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Beweis von Satz VII.4 =====
[[Der fotografierte Beweis]]

===== Die Beweisidee =====
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.

== Der Kongruenzsatz SSS ==
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (WS10/11)

2010-12-15T21:10:41Z

Halikarnaz: /* Definition VI.2 (Winkelhalbierende) */

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

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===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Definition III.1 (Mittelpunkt)
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Definition V.6 (rechter Winkel)
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

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===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====
Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 21:10, 15. Dez. 2010 (UTC)

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
siehe Auftrag der Woche 10.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Tutorium_10
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (WS10/11)

2010-12-15T21:10:12Z

Halikarnaz: /* Satz VI. 1 \frac{1}{2} */

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Definition III.1 (Mittelpunkt)
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Definition V.6 (rechter Winkel)
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAHS62DwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVfNbts4ED5vn4LQ3bIoxX+AlSJtLwG6G6Du9rA3Shrb3FCkSlKJnbfaF+kzdUhKthy3abct2uaicGY4P9/80cvnu1qQO9CGK5lHNE4iArJUFZebPGrtejSPnl8+W25AbaDQjKyVrpnNoyxOI0dv+eWzP5Zmq+4JE17kHYf7PFozYSAiptHAKrMFsCd01u644Ezvb4p/obTmyAhKrmXTohWrW6SVdfWam/449gYbwe0rfscr0ESoMo+mE3Qd/3sH2vKSiTy6SAIlzaP0ERNJmeNuleYPSlonflS+Rgohhj8A3kwcbTn2gS6hLQWvOJMuGO8HChFyzyu7zaMJnaFK4Jst+npBF0FbqZSuVntjoSa7f0ArhHk2cUDvwylN5+5k0C80OEk8a3jyauBuBdZiWgxhOzgCttG8OjlcmxdKHEmN4tK+ZI1ttc9p1pFWdu8MoC3tHL6SGwEdLUXIt1DeFmq38iDQLKh+u2/8Fe9QsXmphNJEO3gnKNB9i/D1Ms7Tg1TiZRIv0elwSg98uki9hP8W4eulBJfBtS5y2kdNk94MN8QRHIxYiofgBSsAUxuRVnL7uj9gCdx2odJw4a+2LrAHhkVw0El/lM7l+FH5LG9BSxChSCTmtlWtIXeuGIMt70gFJa/xGBgdJMyl6290IFAr2GjoHQ8dFADz3GRYiI/Iy3HvhPPBoK+lxVGA8VgXi+tUi12SR3W8iSNSMeuorhUE1IB9Yn1N+JI6YHMVHYaC8v3dd3LHP6KM7E/Wh68kJpotQ0rfAoLtsduHIXl9N+u1AUt2eTRyDbjH3psO2H+q6hQHJhFPHyT2ZOP0u4w1AFU3AG1X5qRBi75pBunwKBpnjcZTHDGDP+qNj9IY7ZOHoMzfCQ3nRoX3I+uqISD4BSxXvwrLLPPh0OxnYImghdSNaDy5+HHovfhllTjvwqE/A74knnhzSTz9n6VXqrpmsiKS1WjIbwEPGXcLmLDENTNh1NUhYakDNKDV2p7/4b+gs9N0lhA/qg6Ao7S7j860PRTxnFI6m04n6XSxmM8w/eNvTxpN+gVzTFr2ZNKOSelTdVg3dotTXYIxfifa4fZjujyiuuiJQqj7N7AWsPNIBu5g/n8G9jds/wj0VQD9HG32NNgaNfUwseiro/meBkm+pT1CuY6yxVPdcTIeUn/DPTtdfeOYSGg6HL5nb4UnwoX3MsiYsLF5jc/JktsD2sL12rW0uL/B78PztXwL0Lj30I18q5k07l383em+Okt38fXpLn7jdNOLkL1P991ZupN4QRcnf2Gtx1lYDYuYTmfT3znh4+Fjyv9+6H5AXX4EUEsHCGfkVtveAwAAcg0AAFBLAQIUABQACAAIAHS62Dxn5Fbb3gMAAHINAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAGAQAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====
Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

Es seien \ p,\ w und \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt \ S. Die Halbgerade \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels \angle pq, wenn \ w im Inneren von \angle pq liegt und die beiden Winkel \angle pw und \angle wq dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 21:06, 15. Dez. 2010 (UTC)

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
siehe Auftrag der Woche 10.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Tutorium_10
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (WS10/11)

2010-12-15T21:08:26Z

Halikarnaz: /* Satz VI. 1 \frac{1}{2} */

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
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! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Definition III.1 (Mittelpunkt)
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Definition V.6 (rechter Winkel)
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

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===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====
Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

Es seien \ p,\ w und \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt \ S. Die Halbgerade \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels \angle pq, wenn \ w im Inneren von \angle pq liegt und die beiden Winkel \angle pw und \angle wq dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 21:06, 15. Dez. 2010 (UTC)

===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 21:08, 15. Dez. 2010 (UTC)

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
siehe Auftrag der Woche 10.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Tutorium_10
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (WS10/11)

2010-12-15T21:06:59Z

Halikarnaz:

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| Definition III.1 (Mittelpunkt)
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| Definition V.6 (rechter Winkel)
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (ii), (i), Definition V.8 (Relation senkrecht), Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====
Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

Es seien \ p,\ w und \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt \ S. Die Halbgerade \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels \angle pq, wenn \ w im Inneren von \angle pq liegt und die beiden Winkel \angle pw und \angle wq dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 21:06, 15. Dez. 2010 (UTC)

===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
siehe Auftrag der Woche 10.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Tutorium_10
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 7.8

2010-12-11T11:18:27Z

Halikarnaz:

Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht. 

Gegeben sei ein Kreis k und ein Mittelpunkt M.

Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann eine Sehne des Kreises k, wenn <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> 
korrekt--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>, <math>B \in k</math> und durch den Mittelpunkt M geht. 
im letzten Teil fehlt noch was: ... und '''die Strecke <math>\overline {AB}</math>''' durch den Mittelpunkt ''M'' verläuft.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

*Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Kreisdurchmesser, wenn eine Sehne <math>\overline {AB}</math> durch den Mittelpunkt M des Kreises k geht.* --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 11:13, 11. Dez. 2010 (UTC)

Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist dann ein Radius des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:26, 23. Nov. 2010 (UTC)
das ist korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sehne: Wenn A und B zu dem Kreis k gehören, wird die Strecke <math>\overline {AB}</math> Kreissehne genannt. 
... Kreissehne '''des Kreises k''' genannt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Durchmesser:
<math>\overline {AM}</math> + <math>\overline {MB}</math> = <math>\overline {AB}</math>, wenn A und B Element k sind und M der Mittelpunkt des Kreises k ist. 
korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Radius:Eine Strecke <math>\overline {BM}</math> heißt dann Kreisradius, wenn der Punkt B auf dem Kreis k liegt und M der Mittelpunkt ist.
--[[Benutzer:Snoopy 1|Snoopy 1]] 14:29, 1. Dez. 2010 (UTC)
korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Lösung von Aufg. 7.8

2010-12-11T11:15:27Z

Halikarnaz:

Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht. 

Gegeben sei ein Kreis k und ein Mittelpunkt M.

Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann eine Sehne des Kreises k, wenn <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> 
korrekt--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>, <math>B \in k</math> und durch den Mittelpunkt M geht. 
im letzten Teil fehlt noch was: ... und '''die Strecke <math>\overline {AB}</math>''' durch den Mittelpunkt ''M'' verläuft.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

*Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Kreisdurchmesser, wenn die Sehne <math>\overline {AB}</math> durch den Mittelpunkt M des Kreises k geht.* --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 11:13, 11. Dez. 2010 (UTC)

Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist dann ein Radius des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:26, 23. Nov. 2010 (UTC)
das ist korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sehne: Wenn A und B zu dem Kreis k gehören, wird die Strecke <math>\overline {AB}</math> Kreissehne genannt. 
... Kreissehne '''des Kreises k''' genannt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Durchmesser:
<math>\overline {AM}</math> + <math>\overline {MB}</math> = <math>\overline {AB}</math>, wenn A und B Element k sind und M der Mittelpunkt des Kreises k ist. 
korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Radius:Eine Strecke <math>\overline {BM}</math> heißt dann Kreisradius, wenn der Punkt B auf dem Kreis k liegt und M der Mittelpunkt ist.
--[[Benutzer:Snoopy 1|Snoopy 1]] 14:29, 1. Dez. 2010 (UTC)
korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Lösung von Aufg. 7.8

2010-12-11T11:14:19Z

Halikarnaz:

Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht. 

Gegeben sei ein Kreis k und ein Mittelpunkt M.

Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann eine Sehne des Kreises k, wenn <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> 
korrekt--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>, <math>B \in k</math> und durch den Mittelpunkt M geht. 
im letzten Teil fehlt noch was: ... und '''die Strecke <math>\overline {AB}</math>''' durch den Mittelpunkt ''M'' verläuft.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

*Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Kreisdurchmesser, wenn die Sehne durch den Mittelpunkt M des Kreises k geht.* --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 11:13, 11. Dez. 2010 (UTC)

Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist dann ein Radius des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:26, 23. Nov. 2010 (UTC)
das ist korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sehne: Wenn A und B zu dem Kreis k gehören, wird die Strecke <math>\overline {AB}</math> Kreissehne genannt. 
... Kreissehne '''des Kreises k''' genannt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Durchmesser:
<math>\overline {AM}</math> + <math>\overline {MB}</math> = <math>\overline {AB}</math>, wenn A und B Element k sind und M der Mittelpunkt des Kreises k ist. 
korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Radius:Eine Strecke <math>\overline {BM}</math> heißt dann Kreisradius, wenn der Punkt B auf dem Kreis k liegt und M der Mittelpunkt ist.
--[[Benutzer:Snoopy 1|Snoopy 1]] 14:29, 1. Dez. 2010 (UTC)
korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Lösung von Aufg. 7.8

2010-12-11T11:13:23Z

Halikarnaz:

Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht. 

Gegeben sei ein Kreis k und ein Mittelpunkt M.

Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann eine Sehne des Kreises k, wenn <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> 
korrekt--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>, <math>B \in k</math> und durch den Mittelpunkt M geht. 
im letzten Teil fehlt noch was: ... und '''die Strecke <math>\overline {AB}</math>''' durch den Mittelpunkt ''M'' verläuft.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

*Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Kreisdurchmesser, wenn die Sehne durch den Mittelpunkt M des Kreises geht.* --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 11:13, 11. Dez. 2010 (UTC)

Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist dann ein Radius des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:26, 23. Nov. 2010 (UTC)
das ist korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sehne: Wenn A und B zu dem Kreis k gehören, wird die Strecke <math>\overline {AB}</math> Kreissehne genannt. 
... Kreissehne '''des Kreises k''' genannt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Durchmesser:
<math>\overline {AM}</math> + <math>\overline {MB}</math> = <math>\overline {AB}</math>, wenn A und B Element k sind und M der Mittelpunkt des Kreises k ist. 
korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Radius:Eine Strecke <math>\overline {BM}</math> heißt dann Kreisradius, wenn der Punkt B auf dem Kreis k liegt und M der Mittelpunkt ist.
--[[Benutzer:Snoopy 1|Snoopy 1]] 14:29, 1. Dez. 2010 (UTC)
korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:02, 9. Dez. 2010 (UTC)

Lösung von Aufg. 7.3

2010-11-30T23:19:09Z

Halikarnaz:

'''Satz:'''
:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen ''komplanar'' und ''kollinear'' zu verwenden.
# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.
# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
'''Beweis'''
::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> drei Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: ...
'''Annahme:'''
::Es gibt drei der Punkte vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ... 

1) Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden. 

2) Vier Punkte sind nicht komplanar, falls je drei von ihnen nicht kollinear sind. 

Vor: nkomp(A,B,C,D) 
Beh: nkoll(A,B,C) 

Annahme: koll(A,B,C) 

Es gibt eine Gerade g mit <math>A,B,C \in g</math> 

1.Fall: <math>D \in g</math> 

1) koll(A,B,C,D)________________________________laut Annahme 

2) es existiert ein Punkt E mit_________________Axiom I/3 
der Eigenschaft, dass E nicht Element von
g ist

3) Zu je drei nichtkollinearen Punkten___________Axiom I/4 und 2) 
o.B.d.A A,B,C gibt es genau eine Ebene E 

4) mit <math>A,B \in E</math> gilt________________Axiom I/5 und 3) )
auch <math>C,D \in E</math>

5) komp(A,B,C,D)__________________________________4) 

6) Widerspruch zur Voraussetzung nkomp(A,B,C,D) 

7) Annahme ist zu verwerfen 
8) Behauptung stimmt 

****Bei Schritt 3 muss es doch A,B und E heißen, oder? Denn die Punkte A,B,C sind ja nach Annahme kollinear? --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 23:19, 30. Nov. 2010 (UTC)

2. Fall D ist nicht Element g 

1) koll(A,B,C)___________________________laut Annahme 
2) D ist nicht Element g_________________laut Annahme 
3) es existiert genau eine Ebene___________I/4 und 1) und 2) 
E mit <math>A,B,D \in E</math>
4) <math>g \subset E</math>_________________I/5 und 3) 
5) komp(A, B,C,D)_________________________4) 
6) Widerspruch zur Voraussetzung nkomp(A,B,C,D) 
7) Annahme ist zu verwerfen 
8) Behauptung stimmt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 18:25, 23. Nov. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.3

2010-11-13T02:39:02Z

Halikarnaz:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

Parallelität von Geraden in der Ebene ist reflexiv, symmetrisch und transitiv 
Kongruenz geometrischer Figuren ist reflexiv,symmetrisch und transitiv 
Teilbarkeit in N ist reflexiv aber nicht symmetrisch. Bei der Transitivität bin ich unsicher. Ich denke aber auch die ist gegeben? 
--> ja die Teilbarkeit in N ist transitiv (2 teilt 4 und 4 teilt 8, also auch 2 die 8)
Kleinerrelation in R ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch aber transitiv 
größer- gleich relation ist reflexiv, nicht symmetrisch und transitiv 
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 20:25, 10. Nov. 2010 (UTC)

Ungleichheit ist nicht reflexiv, aber symmetrisch. Bei der Transitivität bin ich mir nicht sicher, aber ich glaube, dass die Transitivität gegeben ist!

@ Sommer80: Kannst du bitte die Lösungen an konkreten Beispielen festmachen -ähnlich wie bei "Teilbarkeit in N ist transitiv (2 teilt 4 und 4 teilt 8, also auch 2 die 8)" ? Danke!--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:39, 13. Nov. 2010 (UTC)

Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen

2010-11-06T20:33:27Z

Halikarnaz: /* Beispiel 3 */

== Ziel der Ausführungen bzw. der Veranstaltung ==
Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind:

#Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?
#Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe?
#Was ist eine Richtung?
#Was ist der Richtungssinn?
#Meint 3. und 4. dasselbe?
#Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen?

Man kann eine ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten:

# Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben.
# Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa <math>\frac{3}{5} + \frac{7}{12}</math> rechnen soll, dann rechne ich halt <math>\frac{36}{60} +\frac{35}{60}</math> und erhalte<math>\frac{71}{60}</math>.
:3. bis 6.
{| class="wikitable"
|-
|[[Bild:Vektorrechnung_01.svg|200px]] || Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa <math>\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}</math> bestimmen soll, dann rechne ich halt <math>\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE}</math> und erhalte <math>\overrightarrow {AE}</math>
|}

Irgendwie bleibt bei näherer Betrachtung der Dinge jedoch ein wenig Unsicherheit, die, je mehr man darüber nachdenkt, immer stärker wird:
Wir haben nicht wirklich die Brüche <math>\frac{3}{5}</math> und <math>\frac{7}{12}</math> addiert, sondern die Brüche <math>\frac{36}{60}</math> und <math>\frac{35}{60}</math>. Irgendwie ist das sicherlich dasselbe, irgendwie aber auch nicht: <math>\frac{3}{5}</math> einer Pizza sind wunderschöne Stücke (Schließlich hat m.g. 10 Jahre das Rezept für seinen Teig optimiert.). <math>\frac{36}{60}</math> derselben Pizza ist Matsch und nicht wirklich genießbar (eventuell noch für zahnlose Hunde).

Irgendwie passt es schon, dass wir anstelle von <math>\overrightarrow {CD}</math> <math>\overrightarrow {BE}</math> zu <math>\overrightarrow {AB}</math> addiert haben. Bei näherer Betrachtung ist der Pfeil <math>\overrightarrow {BE}</math> aber auch ein von <math>\overrightarrow {CD}</math> verschiedener Pfeil unserer Ebene.

Dieses ''Irgendwie'' und ''passt schon'' sollten wir präzieren. Zentraler Punkt dieser Präzisierung sind die Begriffe ''Äquivalenzrelation'' und ''Klasseneinteilung''.

== Klasseneinteilungen ==

=== Beispiele und Gegenbeispiele ===

==== Kleine Bemerkung aus didaktischer Sicht zur Erarbeitung des Begriffs Klasseneinteilung====
Die Ausbildung von Lehrern an einer Hochschule oder Universität läuft häufig Gefahr, sich selbst ad absurdum zu führen. Auf der einen Seite fordert man vom zukünftigen Lehrer, dass dieser sich im Praktikum seines didaktischen Know-How's bedienen möge, während man in den eigenen Lehrveranstaltungen den didaktischen Aspekt stark vernachlässigt.
Nun wird es rein aus Zeitgründen nicht immer möglich sein, sich in einer Hoschschullehrveranstaltung der Methoden eines Unterricht allgeinbildender Schulen zu bedienen, zumindest exemplarisch sollte es jedoch möglich sein, den stark dozierenden Stil der Hochschullehrveranstaltung zu durchbrechen.
Hier und jetzt wollen wir dieses tun:
Der Begriff der Klasseneinteilung soll induktiv erarbeitet werden. Hierzu werden wir verschiedene Beispiele und prägnante Gegenbeispiele bezüglich des Begriffes der Klasseneinteilung untersuchen um dann die Idee des Begriffs ''Klasseneinteilung'' herauszuarbeiten.

==== Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung ====
Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule:
Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat.
In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.

Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“

Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht.

==== Ein Gegenbeispiel für den Begriff der Klasseneinteilung ====
10 Jahre ist Sportsfreund Holzkugel nun Vorsitzender des örtlichen Kegelvereins. Es waren bewegte 10 Jahre. Vor 5 Jahren gelang ihm das, woran schon viele Vorsitzende des Vereins scheiterten: Die Öffnung des Vereins für den Bowlingsport. Die Gegner des Bowling verwiesen immer wieder auf den Namen des Vereins: "Alle Neune Wilhelmsfeld". Schließlich konnte man sich aber doch auf eine Umbennung in "Gut Holz Wilhelmsfeld" einigen, was die Gründung der Sektion Bowling ermöglichte. Heute gehört <math>\frac {1}{3}</math> aller Mitglieder von "Gut Holz Wilhelmsfeld" sowohl der Sektion Kegeln als auch der Sektion Bowling an. Die beiden Sektionen bilden damit keine Klasseneinteilung des Vereins "Gut Holz Wilhelmsfeld".

==== Identifizieren von Klasseneinteilungen ====
<quiz>
{ Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich nach Ihrer Meinung um eine Klasseneinteilung der angegebenen Grundmenge handelt.}
- Einteilung der Menge aller Dreiecke in gleichseitige, gleichschenklige und in Dreiecke bei denen keine zwei Seiten gleichlang sind.
|| Ein gleichseitiges Dreieck ist gleichzeitig ein gleichschenklig.
+ Einteilung der Menge aller Vierecke in konvexe und konkave Vierecke.
|| Ein beliebiges Viereck ist entweder konvex oder nicht konvex und damit konkav. Es gibt kein Viereck, das weder konvex noch konkav ist. Die Menge aller Vierecke wird damit in genau zwei Klassen eingeteilt. Die eine Menge ist die Menge aller konvexen Vierecke, die andere Menge ist die Menge aller nicht konvexen und damit konkaven Vierecke.
+ Unter <math>\mathcal{M}</math> wollen wir die Menge aller Mengen ohne die leere Menge verstehen. Wir teilen <math>\mathcal{M}</math> nun in unendlich viele Teilmengen ein:<math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,\ ...,\ M_n,\ ... </math>, wobei wir unter <math>M_1\ </math> die Menge aller Mengen mit genau einem Element, unter <math>M_2\ </math> die Menge aller Mengen mit genau zwei Elementen, unter <math>M_n\ </math> die Menge aller Mengen mit genau n Elementen etc. verstehen wollen.
||Jede Menge (außer der leeren Menge) gehört zu genau einer der Teilmengen von <math>\mathcal{M}</math>. Alle Teilmengen vereinigt bilden die Menge <math>\mathcal{M}</math>.
- Herr Markwitz ist Rektor der Wiesengrund-Hauptschule. Früher war die Wiesengrund-Hauptschule zweizügig. Es gibt damit die Klassen 6a, 6b, 7a, 7b, 8a, 8b, 9a und 9b. Im Schuljahr 2009/2010 reichte es dann nicht mehr. Eigentlich dürfte es nur die Klasse 5a geben. In diese Klasse gehen auch alle Schüler des entsprechenden Jahrgangs. Um den Fortbestand seiner Schule zu sichern, greift Rektor Markwitz zu einem Trick. Er führt fiktiv die Klasse 5b, die allerdings keine Schüler hat.
|| Das konnten Sie noch nicht wissen: sollen die Teilmengen einer Menge eine Klasseneinteilung der Grundmenge bilden, do darf keine der Teilmengen leer sein. Läßt Herr Markwitz die fiktive Klasse weg, so hat er natürlich wieder eine saubere Einteilung der Menge aller Schüler seiner Schule in Klassen.

</quiz>

=== Definition des Begriffs Klasseneinteilung ===
Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)
::Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
::<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn

:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist leer
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei verschiedene Teilmengen aus K sind disjunkt
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen aus K ergibt die Menge M.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 21:19, 1. Nov. 2010 (UTC)

Vorschlag --[[Benutzer:Maude001|Maude001]]
:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen eine leere Menge ist.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei der Teilmengen getrennt sind.
:# notwendige Bedingung 3: <math>K</math> die Gesamtheit der Teilmengen von <math>M</math> ist.

:Hinweise von m.g.:
:Die Idee des Begriffs "Klasseneinteilung" ist zu großen Teilen richtig widergespiegelt, die Formulierungen sind aus der Sicht mathematischer Exaktheit optimierungsfähig: Es handelt sich um ein Beispiel einer informellen Definition .
:Am problematischsten ist die dritte Bedingung. Sie meinen hier was anderes, als Sie schreiben. Hineis: Beschäftigen Sie sich noch einmal mit dem Begriff der Potenzmenge. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:00, 1. Mai 2010 (UTC)

Weiterer Vorschlag --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 16:09, 2. Mai 2010 (UTC)

:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.

Ja, das ist jetzt formal korrekt. Interessant wäre noch die Klärung des Begriffs "disjunkt" da dieser Begriff vermutlich vielen Studentinnen und Studenten nicht so geläufig ist. Hat hierfür jemand eine griffige Definition?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 17:34, 2. Mai 2010 (UTC)

disjunkt - getrennt, lückenhaft (lat.)
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]]

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 2. Mai 2010 (UTC)

== Relationen ==

=== Beispiele ===

==== Halt dich senkrecht====

Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein. Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie ''Gerade <math>a</math> steht senkrecht'' ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von <math>a</math> bezüglich einer anderen Geraden <math>b</math> (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass <math>a</math> eine Senkrechte ist. Die Relation Gerade <math>a</math> steht senkrecht auf Gerade <math>b</math> ist zweistellig.

====Eine klassische Dreiecksbeziehung====
Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung. Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern.
==== Beispiel 3 ====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.

Ein Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C, wenn A, B und C auf einer Geraden liegen und entweder A vor B und B vor C oder C vor B und B vor A liegen. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:33, 6. Nov. 2010 (UTC)

==== Beispiel 4====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.
==== Ein Quiz zwischendurch ====
<quiz>
{Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine zweistellige Relation handelt}
+ Eine Ebene <math>\alpha</math> steht senkrecht zu einer Ebene <math>\beta</math>.
|| klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden
- Der Punkt <math>B</math> liegt zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math>.
|| dreistellig
+ Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen.
|| Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen.
</quiz>
=== Die Idee der Relation aus abstrakter Sicht ===

====Jeder mit Jeder?====
Von Anfang an war Kommissar Schätzerle dieses Dorf, dass man weder dem Ländle noch dem Nachbarn Bayern so recht zuordnen kann, nicht ganz geheuer gewesen. Ist nun der schöne Anton der Vater von der Lisa oder doch Stavros, der Grieche, der irgendwann im Dorf auftauchte und seitdem bei der feschen Wirtin wohnt. Wer ist eigentlich der Vater vom Klaus, den man hier immer noch politisch unkorrekt den Dorfdeppen nennt. Und was ist mit Dorothea, deren Zeugung mit Sicherheit nicht die unbefleckte Empfängnis war, alle im Dorf aber so tun, als wenn es so gewesen wäre. Eins wurde Schätzerle immer klarer: Er konnte den aktuellen Fall nur lösen, indem er alle Vaterschaften des Ortes gnadenlos aufklärte. An die DNS aller in Frage kommender Männer heranzukommen war leicht. Ein abendlicher Besuch bei der feschen Wirtin reichte aus. Schwieriger war es bei den Kindern. Um das Gerichtsverfahren nicht zu gefährden, sei dem Chronisten diesbezügliches Stillschweigen gestattet. Wie auch immer, irgendwann hatte sich Schätzerle auch die noch fehlende DNS von Maria besorgt und schickte alles den Kollegen in Stuttgart zum Zwecke des DNA-Abgleichs. Mit der Bitte um Kennzeichnung jeweiliger Vaterschaften durch ein Ausrufezeichen schickte er die folgende tabellarische Übersicht mit: 

{| class="wikitable center"
|-
!
! der schöne Anton
! Stavros, der Grieche
! der Pfarrer
! der Gärtner
|-
| Lisa
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Klaus
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Dorothea
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Maria
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Karl - Theodor
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Hans
| ?
| ?
| ?
| ?
|}
Das LKA Stuttgart schickte die Tabelle in folgender Form zurück:
{| class="wikitable center"
|-
!
! der schöne Anton
! Stavros, der Grieche
! der Pfarrer
! der Gärtner
|-
| Lisa
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|-
| Klaus
| '''!'''
| ?
| ?
| ?
|-
| Dorothea
| ?
| ?
| '''!'''
| ?
|-
| Maria
| ?
| '''!'''
| ?
| ?
|-
| Karl - Theodor
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|-
| Hans
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|}
Der einzige, der sich über das Ergebnis aus Stuttgart freute, war der schöne Anton. Es hielt sich nämlich hartnäckig das Gerücht, dass der Anton zwar recht nett anzusehen sei, andererseits aber struntzdumm und vom Gebrauch der Anabolika, naja sie wissen schon ... .
Für Schätzerle wurde allerdings klar: Der Mörder war wieder der Gärtner.
==== Du hast den Farbfilm vergessen ... ====
Wir wollen davon ausgehen, dass Sie diesen Text an einem Computermonitor <math>M</math> lesen. Ferner möge es sich bei <math>M</math> um einen Monitor handeln, der <math>\quad 256^3=16.777.216</math> verschiedene Farben darstellen kann. Weil Bilder, für deren Darstellung auf dem Bildschirm <math>16.777.216</math> verschiedene Farben zur Verfügung stehen, recht natürlich auf das menschliche Auge wirken, bezeichnet man die Farbtiefe von <math>256^3</math> Farben auch als ''True Color''.
Da das Display von <math>M</math> selbst leuchtet, erfolgt die Farbdarstellung auf ihm entsprechend des Prinzips der ''additiven Farbmischung'': Die Farbe eines jeden Pixels wird durch das Mischen der drei Grundfarben ''Rot'', ''Grün'' und ''Blau'' generiert (RGB).
Für jede der drei Farben stehen jeweils 256 verschiedene Farbtiefen zur Verfügung, d.h. im Farbraum von <math>M</math> gibt es 256 verschiedene Rottöne, 256 verschiedene Grüntöne und schließlich 256 verschiedene Blautöne. Jeder der Farbtöne wird durch eine natürliche Zahl <math>f</math> mit <math>0 \le f \le 255</math> codiert. Der Code einer beliebigen Farbe des Farbraumes von <math> M </math> ist damit ein geordnetes Tripel <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math>, wobei <math> f_r, \quad f_g </math> und <math> \quad f_b </math> jeweils natürliche Zahlen zwischen <math>\quad 0</math> und <math> \quad 255 </math> sind und die jeweilige Farbtiefe der Grundfarben Rot, Grün und Blau codieren.
Das folgende Bild ist ein Screenshot einer Excelapplikation [http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/Medieninformatik/Bildbearbeitung/excel/farbumrechnung.xls] zur Verdeutlichung des Prinzips der Generierung von RGB-Farben. Zur Zeit des Screenshots war <math>\left( \ 92, 198, 57 \right) </math> das geordnete Tripel, welches der Füllfarbe des Rechtecks zuzuordnen ist.

[[Bild:RGB_00.jpg]]

Aus der abstrakten Sicht des Mathematikers ist unser RGB-Farbraum das Kreuzprodukt <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>, wobei unter <math> \mathcal{F}</math> die Menge der natürlichen Zahlen von 0 bis 255 zu verstehen ist.

Nun möge es sich zugetragen haben, dass wir des Auftrages zur Generierung eines computergestützten Videos anheischig wurden. Als Auftraggeber zeichnet niemand geringeres als Nina Hagen zuständig. Zum 55. Geburtstag der Punk-Diva soll ''Du hast den Farbfilm vergessen (mein Michael)'' als Video fröhliche Urständ feiern.

Was liegt bei dem Titel ''Du hast den Farbfilm vergessen'' näher, als ein Video in Schwarz/Weiß oder genauer ausgedrückt ein Video , das nur Grautöne verwendet. Der RGB-Farbraum enthält auch Grautöne. Diesbezüglich definieren wir uns eine dreistellige Relation mit dem Namen <math>\ grau</math> auf der Menge aller geordneten Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>: Die Komponenten <math> f_r, \quad f_g </math> und <math> \quad f_b </math> eines Tripels <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> mögen genau dann in der Relation <math>\ grau</math> zueinander stehen, wenn das Tripel <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> der Code für einen Grauwert ist.

Es wäre interessant zu untersuchen, welche Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> so beschaffen sind, dass ihre jeweiligen Komponenten in der Relation <math>\ grau</math> zueinander stehen. Bei dieser Formulierung bricht man sich fast die Zunge. Formulieren wir doch einfacher: Wir wollen untersuchen, welche geordneten Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> zur Relation <math>\ grau</math> gehören.

Für diese Untersuchung stellen wir uns ausnahmsweise ganz dumm und gehen mittels einer ''Brutal Force''- Methode vor:
Beginnend mit dem Tripel <math> \ (0, 0, 0) </math> danach die Tripel <math> \ (0, 0, 1) </math> und <math> \ (0, 0, 2) </math> testend probieren wir systematisch alle <math>256^3</math> Tripel bis zum Tripel <math> \ (255, 255, 255) </math> aus, ob sie der Code für einen Grauwert sind oder nicht, bzw. zu unserer Relation <math>\ grau</math> gehören oder nicht. Aus allen potentiell möglichen Tripeln haben wir die Tripel herausgesucht, die zu unserer Relation <math>\ grau</math> gehören. Anders ausgedrückt: Auf der Suche nach allen geordneten Tripeln, die einen Grauwert codieren, haben wir eine Teilmenge unserer Grundmenge <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> gebildet. Diese Teilmenge ist letztlich unsere Relation.

Die Untersuchungen ergaben (Der Leser überzeuge sich mittels [http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/Medieninformatik/Bildbearbeitung/excel/farbumrechnung.xls].), dass immer dann ein Grauwert codiert wird, wenn die Komponenten des geordneten Tripels <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> identisch sind: <math> \ (0, 0, 0) </math>, <math> \ (1, 1, 1) </math>, ..., <math> \ (255, 255, 255) </math>. Unsere Relation <math>\ grau</math> ist damit eine Teilmenge aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>, die 256 geordnete Tripel enthält.

Als Quintessenz unserer Überlegungen können wir unser Relation <math>\ grau</math> wie folgt präzisieren:

# Definition: (<math>\ grau</math>) <math> grau := \left\{ \left( f_r, f_g, f_b \right)|\left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b \right\}</math> oder
# Definition: (<math>\ grau</math>) <math>\left( f_r, f_g, f_b \right)\in grau :\Longleftrightarrow \left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b</math>

==== Alles verstanden? ====
Hier ein kleines Quiz zur Überprüfung Ihres Verständnisses für den Abschnitt mit dem Farbfilm.

Wir legen den folgenden Überlegungen ein kartesisches <math>\ x - y - z-</math>Koordinatensystem zugrunde. Jedem Farbwert <math> \left( f_r, f_g, f_b \right)</math> wird genau ein Punkt <math>\ P</math> des <math>\mathbb{R}^3</math> zugeordnet, wobei die <math>\ x-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Rotwert <math>\ f_r</math>, die <math>\ y-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Grünwert <math>\ f_g</math> und die <math>\ z-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Blauwert <math>\ f_b</math> entsprechen.[http://www.math.hu-berlin.de/~filler/3D/videos/farbwurfel.html] Wir wollen die Menge dieser Punkte als RGB-Farbraum bezeichnen. Alle die Punkte, die einem Grauwert entsprechen, sollen im folgenden die Grauwerte genannt werden.

<quiz>
{Welche der folgenden Aussagen ist richtig?}
- Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum ein Würfel <math>\ W </math> mit der Kantenlänge <math>\ 255 LE</math>.
|| Unter einem Würfel würden wir nur die Vereinigungsmenge der Seitenflächen verstehen.
- Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum das Innere von <math>\ W </math>.
|| Schon der Würfel und natürlich auch sein Inneres beinhalten unendlich (überabzählbar) viele Punkte. Die <math>\ 256^3</math> Punkte dieser menge, deren Koordinaten natürliche Zahlen zwischen 0 und 255 sind dagegen nur eine endliche Teilmenge der menge der Punkte des Würfelinneren.
+Bezüglich unseres Koordinatensystems liegt der RGB-Farbraum im Inneren von <math>\ W </math>.
|| Nach den Bemerkungen zu den vorangegangenen Fragen dürfte das klar sein.
- Die Grauwerte sind eine Raumdiagonale von <math>\ W </math>.
|| Können 256 Punkte eine Diagonale sein?
+ Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen <math>\overline{AG}</math> von <math>\ W </math>, wobei <math>A=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> und <math>G=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 255 \end{pmatrix} </math> gilt.
|| korrekt
- Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen <math>\overline{CE}</math> von <math>\ W </math>, wobei <math>C=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix} </math> und <math>E=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix} </math> gilt.
|| Da die Endpunkte dieser diagonalen keine Grauwerte repräsentieren ... .
+ Die Relation <math>\ grau</math> aus dem vorangegangenen Abschnitt läßt sich grafisch als eine Menge von Punkten darstellen, die auf der Raumdiagonalen <math>\overline{AG}</math> von <math>\ W </math> liegen.
|| Für diese Erkenntnis wurde dieses Quiz organisiert.
</quiz>
==== Definition des Begriffs der Relation ====
Definition: (n-stellige Relation)
:::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

Übung Aufgaben 2

2010-10-26T02:43:00Z

Halikarnaz: /* Aufgabe 2.6 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Viereck, dessen Winkelhalbierende sich alle in einem Punkt schneiden, heißt Tangentenviereck. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:21, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel 

Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende. 
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)

Eine Winkelhalbierende eines Winkels ist die Gerade, die durch den Scheitelpunkt des Winkels geht und diesen in zwei gleich große Teile teilt. Begriffe: Schenkel, Symmetrieachse. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:43, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X. 

Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:

1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-26T02:26:17Z

Halikarnaz: /* Aufgabe 2.4 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Viereck, dessen Winkelhalbierende sich alle in einem Punkt schneiden, heißt Tangentenviereck. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:21, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel 

Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende. 
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X. 

Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:

1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-26T02:21:24Z

Halikarnaz: /* Aufgabe 2.4 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Viereck, dessen Winkelhalbierende sich alle in einem Punkt schneiden, heißt Tangentenviereck. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:21, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel 

Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende. 
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X. 

Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:

1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-26T02:09:15Z

Halikarnaz: /* Aufgabe 2.3 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel 

Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende. 
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X. 

Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:

1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-26T02:08:10Z

Halikarnaz: /* Aufgabe 2.4 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel 

Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende. 
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X. 

Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:

1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-26T02:06:10Z

Halikarnaz: /* Aufgabe 2.4 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:06, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel 

Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende. 
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X. 

Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:

1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)