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Lösung von Aufgabe 5.5 (WS 11/12)

2011-11-14T21:13:35Z

Hasekm:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

[[Category:Einführung_Geometrie]] 
a) parallel 
b) Die Relation hat folgende Eigenschaften:
* ist reflexiv: <math>\overline{AB} || \overline{AB}</math> 
*ist symmetrisch: <math>\overline{AB} || g \Rightarrow g || \overline{AB}</math> 
* ist transitiv: <math>\overline{AB} || g \ \wedge g || h \Rightarrow \overline{AB} || h</math> 
Also ist es eine Äquivalenzrelation. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:02, 13. Nov. 2011 (CET)

zu a) Punkt A steht genau dann in Relation zu Punkt B, wenn die Strecke <math>\overline{AB</math> keinen Schnittpunkt mit g hat. --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 12:18, 14. Nov. 2011 (CET) 
zu b) begründest du mit der Parallelität? Warum? Steht doch nichts, davon in der Relation?--Anna S 22:13, 14. Nov. 2011 (CET)

Lösung von Aufgabe 5.4 (WS 11/12)

2011-11-14T21:10:23Z

Hasekm:

Gegeben sei eine Gerade ''g'' und ein Punkt ''P'' auf ''g''. Durch diesen Punkt ''P'' wird die Gerade ''g'' in zwei Halbgeraden geteilt. 
a) Warum ist diese Einteilung von ''g'' in die zwei Halbgeraden bezüglich ''P'' keine Klasseneinteilung auf der Menge der Punkte von ''g''? 
b) Geben Sie zwei Klasseneinteilungen auf der Menge der Punkte von ''g'' an, die den Punkt ''P'' und die auf ''g'' durch ''P'' bestimmten Halbgeraden in modifizierter Form verwenden. 
* (a) weil P der Startpunkt beider Halbgerade ist und somit in 2 unterschiedlichen Klassen läge --[[Benutzer:LouStick|LouStick]] 18:36, 9. Nov. 2011 (CET)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Weil P als Punkt in der einen und in der anderen
Halbgeraden liegt und ein Punkt kann nicht in beide Klassen
(in diesem fall die Halbgeraden zugeordnet sein).
Man könnte eine Klasse aufmachen Menge aller Punkte links
von P ohne P und Menge aller Punkte rechts von P mit P.
Glaube ich ;)--Kulturschock 18:46, 14. Nov. 2011 (CET) 
Ja, das Stimmt.

Du könntest, aber noch weitere Klassen bilden.--Anna S 22:10, 14. Nov. 2011 (CET)

Sätze und Beweise WS 11/12

2011-11-14T21:02:51Z

Hasekm:

==Implikationen==
Im [[einführendes Beispiel_WS_11/12|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
Sind die Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden kongruent, so sind diese Geraden parallel zueinander.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 1. Nov. 2011 (CET)

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
*Schneidet man zwei parallele Geradan sind die Wschselwinkel kongruent zueinander und genau dann wenn bei geschnittenen Geraden die Wechselwinkel konguent sind, sind die Geraden parallel.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 1. Nov. 2011 (CET)
**Das lässt sich besser in einem Satz ohne UND aufschreiben. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:44, 3. Nov. 2011 (CET)
*

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

Werden nicht parallele Geraden geschnitten, so sind die Wechselwinkel nicht kongruent.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:37, 1. Nov. 2011 (CET)
 Werden zwei nicht zueinander parallele Geraden geschnitten, so sind die dabei entstehenden Wechselwinkel nicht konkruent zueinander.--Anna S 22:02, 14. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze und Beweise WS 11/12

2011-11-14T21:02:19Z

Hasekm:

==Implikationen==
Im [[einführendes Beispiel_WS_11/12|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
Sind die Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden kongruent, so sind diese Geraden parallel zueinander.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 1. Nov. 2011 (CET)

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
*Schneidet man zwei parallele Geradan sind die Wschselwinkel kongruent zueinander und genau dann wenn bei geschnittenen Geraden die Wechselwinkel konguent sind, sind die Geraden parallel.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:29, 1. Nov. 2011 (CET)
**Das lässt sich besser in einem Satz ohne UND aufschreiben. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:44, 3. Nov. 2011 (CET)
*

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

Werden nicht parallele Geraden geschnitten, so sind die Wechselwinkel nicht kongruent.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:37, 1. Nov. 2011 (CET)
 Werden zwei nicht zueinander paralle Geraden geschnitten, so sind die dabei entstehenden Wechselwinkel nicht konkruent zueinander.--Anna S 22:02, 14. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 14.1

2011-02-06T08:46:18Z

Hasekm:

Eine Gerade t, die einen Kreis K in genau einem Punkt B berührt (lat. tangere: berühren), heißt Tangente des Kreises K im Punkt B. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:03, 3. Feb. 2011 (UTC) 

In einer Definition, darf man nicht "genau dann" verwenden, das impliziert die Existenz und Eindeutigkeit in einem Satz.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 08:46, 6. Feb. 2011 (UTC) 

Gegeben sei ein Kreis k und eine Gerade g. 
Eine Gerade g ist Tangente t des Kreises k, wenn t den Kreis k in genau einem Punkt berührt.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:51, 5. Feb. 2011 (UTC)

Hauptseite SoSe 11

2011-01-02T10:13:05Z

Hasekm: /* Skripte, erstellt durch die Studierenden */

Lösung von Aufg. 6.7

2010-11-17T15:53:54Z

Hasekm:

Es seien <math>\ P_1, P_2, P_3, ..., P_n \ n</math> verschiedene Punkte der Ebene, von denen je drei stets nicht kollinear sind. Wie viele verschiedene Geraden gibt es, die jeweils durch zwei dieser <math>n</math> Punkte gehen?
Hinweis: Es gibt eine Problemlösestrategie: ''Führe einen komplizierten Fall auf einen einfacheren Fall zurück''. Carl Friedrich Gauß hilft auch bei der Lösung dieser Aufgabe.

Also es gibt genau 6 Geraden, diese bilden zusammen einen Tetraeder.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 15:53, 17. Nov. 2010 (UTC) 

Im Praktikum haben wir eine analoge Aufgabe einmal mit Schülern einer 7. Hauptschulklasse gelöst.
Formulieren Sie obige Aufgabe für Schüler dieser Schulstufe.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Hauptseite SoSe 11

2010-11-15T21:31:20Z

Hasekm: /* Hinweise */

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltung im Wintersemester 2010/11 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

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= Einführung in die Geometrie =
== Wöchentlich ==
* [[Auftrag der Woche_WS10/11, Quiz der Woche_WS10/11, Übungsaufgaben_WS_10/11 etc.‎]]

== Skripte, erstellt durch die Studierenden ==
*[[Axiome WS10/11]]
*[[Definitionen WS10/11]]
*[[Sätze WS10/11]]
*[[Beweise zu den Sätze WS10/11]]

== Materialien für das Studium ==
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* [[Einführendes Beispiel]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}
* [[Definitionen in der Mathematik]]
* [[Definitionen zum Haus der Vierecke]]
* [[Begriffe für die Geometrie]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise]]
*[[Äquivalenzrelationen_und_Klasseneinteilungen]]
*[[Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen]]
*[[Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden (WS10/11)]]

== Vorlesungsvideos ==

== Üben... Üben... Üben...==

|}

= Elementargeometrie =
== Skript und mehr ==
=== Kapitel 1: Kongruenzgeometrie ===
*[[Bewegungen (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen]]
*[[Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)]]
*[[Drehungen 2010]]

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== Übungsaufgaben ==

*[[Übungsaufgaben zur Elementargeometrie im WS 2010/11]]

*[[Elementargeometrie|alte Übungen zur Vorbereitung aufs Staatsexamen im Anschluss an das SS 2010]]

</div>


| width="50%" style="vertical-align:top" |
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| valign="top" |

==Hinweise==
'''Veranstaltungsangebot:''' 
=== Einführung in die Geometrie ===
'''Jäger der verlorenen Party 
Wie ihr bestimmt schon alle wisst, findet dieses Jahr keine PH-Party statt. Aber ihr müsst nicht verzweifeln..... 
es gibt Rettung.
Nämlich die Party der Fakultät III am Do den 18.11.2010 
Karten: Die von 12-14 Uhr im Hof der Neuen oder im TP Die 12-14 Uhr oder Do 10-12 Uhr.
ALSO LOS!!!!!!!!!!!'''

Vorlesungen:

{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Do. || 14-16 Uhr ||A108 ||(Buchner)
|-
| Fr. || 12-14 Uhr ||H002 ||(Gieding)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 12-14 Uhr ||A206 ||(Salah)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Henrich)
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||B109 ||(Zähringer)
|}

=== Elementargeometrie ===
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||H002 ||(Gieding)
|}
Übungen:
{| class="wikitable"
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||A236 ||(Gieding)
|
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A236 ||(Gieding)
|}
Erste Übung: 04.11.2010 
([[Frühere Hinweise|mehr]])

==Hier gibt's was Neues==
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([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert==
<dpl>
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([[Diskussionen|mehr]]) ([[Statistik]])

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Lösung von Aufgabe 3.2

2010-10-31T12:05:13Z

Hasekm: Die Seite wurde neu angelegt: zu 1. es ist ein Oberbegriff vorhanden, wir schließen die Raute nicht aus, immerhin ist sie ein ganz spezielles Parallelogramm also ist es eine korrekte Def. ahja we...

zu 1.

es ist ein Oberbegriff vorhanden, wir schließen die Raute nicht aus, immerhin ist sie ein ganz spezielles Parallelogramm also ist es eine korrekte Def.
ahja weder richtig noch falsch auch nicht beweisbar.

zu 2.

durch die Def. wird eine Raute definiert, zwar ist die Raute ein ganz spezielles Parallelogramm, aber nicht alle Parallelogramme sind Rauten. Es ist auch komisch, dass nicht mit einem Oberbegriff definiert wird.

zu 3.

Ist korrekt, Trapez ist Obergriff von Parallelogramm, Trapeze haben schon ein paar sich gegenüberliegede parallele Seiten und die weiter mit noch ein paar paralleler Seiten ergänzt werden => Parallelogramm.

zu 4.

zueinander kongruenten Seiten??? Was soll das heißen? ungenau??!!!

Lösung von Aufgabe 3.1

2010-10-29T19:07:29Z

Hasekm:

Lösungsvorschlag: 
Hierbei handelt es sich um einen Satz. Der Unterschied zw. Satz und Definition: Ein Satz lässt sich beweisen, er kann wahr oder falsch sein, bei einer Definition ist dies nicht der Fall. Eine Definition ist höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 16:11, 26. Okt. 2010 (UTC) 

Also ich glaube es handelt sich bei der Aussage um eine Definition über den Mittelpunkts eines Umkreises eines Dreiecks. Ein Satz zum Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks, da müsste man die Existens und Eindeutuigkeit beweisen, dass bei der oberen Aussage nicht der Fall ist. 

Ein Umkreis besitzt genau einen Mittelpunkt. So oder so ähnlich. Stimmt meine Vermutung, oder bin ich komplett falsch?
--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 19:07, 29. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T20:23:56Z

Hasekm: /* Aufgabe 2.3 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis.

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T20:23:43Z

Hasekm: /* Aufgabe 2.4 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Inkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis.

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T20:22:44Z

Hasekm: /* Aufgabe 2.3 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Inkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T20:08:24Z

Hasekm: /* Aufgabe 2.1 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T20:03:12Z

Hasekm: /* Aufgabe 2.5 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist?

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks

2010-07-22T13:24:26Z

Hasekm: /* Winkelhalbierendekriterium */

=== Definition Winkelhalbierende: ===
Ein Winkelhalbierende eines Winkels <ASB ist ein Strahl SP+, der im Inneren des Winkels <ASB liegt und den Winkel <ASB halbiert.
 

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:49, 19. Jul. 2010 (UTC): Der Begriff Winkelhalbierende wurde bereits definiert: [[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Definition_VI.2|Definition_VI.2]]. Analog zum Begriff der [[Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks#Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks)|Mittelsenkrechten eines Dreiecks]] (Die Definition war am Freitag noch nicht im Skript.) müsste es hier darum gehen, zu definieren, was unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu verstehen ist. (Ist trivial, wäre aber formal nötig.)

=== Definition Winkelhalbierende eines Dreiecks: ===
Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierende der Innenwinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:36, 19. Jul. 2010 (UTC)

=== Winkelhalbierendekriterium ===
 
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand haben.
 

In meinem Axiomensystem(--[[Benutzer:Principella|Principella]] 02:38, 22. Jul. 2010 (UTC)):
 
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.
 
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:01, 19. Jul. 2010 (UTC): Was zu beweisen wäre. 

Frage --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:20, 21. Jul. 2010 (UTC): Ist das nicht Aufgabe 13.5? "Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> wenn er zu den Schneklen von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]]
Also es handelt sich um zwei Teilaussagen: 

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels ein und denselben Abstand. Kann mit Hilfe des Lots bewiesen werden. 

Wenn ein Punkt P zu dem Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierende des Winkels. 

Alles unter der Voraussetzung P ist im Innere des Winkels.
Meine Frage, kann ich im zweiten Teil, nach dem ich mit Hilfe eines Widerspruchs von einem Punkt Q, für den gibt, dass er ein und denselben Abstand zu den Schenkeln hat, aber nicht auf der WH liegt, ein Lot auf die beiden Schenkel fällen. So entstehen zwei Dreiecke,die kongruent sind. Kann ich das über über Seite-Seite-Winkel beweisen?

=== Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ===
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich genau in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Inkreismittelpunkt.
 
Alternativ: Jedes Dreieck besitzt genau einen Inkreis.

--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 12:53, 18. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:45, 19. Jul. 2010 (UTC): Was unter dem Inkreis eines Dreiecks zu verstehen ist, wird definiert. Jeder Kreis hat genau einen Mittelpunkt. Könnte man jetzt nicht beweisen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt ist? Einfach nur noch mal über die Wortwahl "heißt" nachdenken.

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition Inkreis =====
Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:25, 18. Jul. 2010 (UTC)

Hab ein schönes Bild hierzu gemalt :)
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:IMAG0040.JPG
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:07, 18. Jul. 2010 (UTC)

Ist "berühren" nicht was anderes als "schneiden"?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:55, 19. Jul. 2010 (UTC)
Wie ist denn die Definition von "berühren"?
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben....(aus wiki)
Wäre dann die Definition nicht doch korrekt?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:58, 19. Jul. 2010 (UTC) 

In meinem Matheduden steht sinngemäß das Gleiche wie in Wiki, [[Benutzer:Vankman|Vankman]]. Dann ist die Zeichnung von [[Benutzer:Principella|Principella]] für die Def. Inkreis kein Gegenbeispiel, da es sich ja um Schnittpunkte handelt, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:55, 19. Jul. 2010 (UTC)

"Berühren" haben WIR nicht definiert, aber die Definition von "Schneiden" war, wenn zwei Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben. Herr Schnirch hat zum Thema außerdem gesagt: "Eine Gerade schneidet auch sich selbst, denn unsere Definition von "sich schneiden" besagt nur dass die Gerade einen gemeinsamen Punkt mit sich selbst haben muss und das hat sie"...
Nach dieser Aussage schneidet der Innkreis eines Dreiecks auch die Seiten dieses Dreiecks, denn er hat einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam. Er schneidet sie aber auch wenn der Fall (siehe Bild) eintritt. Wir müssen also den Begriff "berühren" definieren um den Fall ausschließen zu können.
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:52, 19. Jul. 2010 (UTC)

 Auch wir haben bisher den Begriff "berühren" noch nicht korrekt definiert, insofern dürfte man ihn ja nicht verwenden, da hast du recht [[Benutzer:Principella|Principella]]. Also müssten wir erst "berühren" klären, oder die Definition anders aufschreiben. 
Idee 1: Def Innkreis: Ein Kreis k ist bezüglich eines Dreiecks ABC Innkreis, wenn die Geraden AB, BC, AC Tangenten von k sind. (Tangenten hatten wir schon ganz zu beginn definiert, oder?) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:08, 20. Jul. 2010 (UTC)
Hört sich gut an :) --[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:06, 20. Jul. 2010 (UTC)
Joa da bin ich auch dabei!--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 09:35, 22. Jul. 2010 (UTC)

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks

2010-07-22T13:24:08Z

Hasekm: /* Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks */

=== Definition Winkelhalbierende: ===
Ein Winkelhalbierende eines Winkels <ASB ist ein Strahl SP+, der im Inneren des Winkels <ASB liegt und den Winkel <ASB halbiert.
 

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:49, 19. Jul. 2010 (UTC): Der Begriff Winkelhalbierende wurde bereits definiert: [[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Definition_VI.2|Definition_VI.2]]. Analog zum Begriff der [[Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks#Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks)|Mittelsenkrechten eines Dreiecks]] (Die Definition war am Freitag noch nicht im Skript.) müsste es hier darum gehen, zu definieren, was unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu verstehen ist. (Ist trivial, wäre aber formal nötig.)

=== Definition Winkelhalbierende eines Dreiecks: ===
Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierende der Innenwinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:36, 19. Jul. 2010 (UTC)

=== Winkelhalbierendekriterium ===
 
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand haben.
 

In meinem Axiomensystem(--[[Benutzer:Principella|Principella]] 02:38, 22. Jul. 2010 (UTC)):
 
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand (ungleich Null) haben.
 
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:01, 19. Jul. 2010 (UTC): Was zu beweisen wäre. 

Frage --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:20, 21. Jul. 2010 (UTC): Ist das nicht Aufgabe 13.5? "Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> wenn er zu den Schneklen von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

=== Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ===
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich genau in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Inkreismittelpunkt.
 
Alternativ: Jedes Dreieck besitzt genau einen Inkreis.

--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 12:53, 18. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:45, 19. Jul. 2010 (UTC): Was unter dem Inkreis eines Dreiecks zu verstehen ist, wird definiert. Jeder Kreis hat genau einen Mittelpunkt. Könnte man jetzt nicht beweisen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt ist? Einfach nur noch mal über die Wortwahl "heißt" nachdenken.

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition Inkreis =====
Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:25, 18. Jul. 2010 (UTC)

Hab ein schönes Bild hierzu gemalt :)
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:IMAG0040.JPG
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:07, 18. Jul. 2010 (UTC)

Ist "berühren" nicht was anderes als "schneiden"?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:55, 19. Jul. 2010 (UTC)
Wie ist denn die Definition von "berühren"?
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben....(aus wiki)
Wäre dann die Definition nicht doch korrekt?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:58, 19. Jul. 2010 (UTC) 

In meinem Matheduden steht sinngemäß das Gleiche wie in Wiki, [[Benutzer:Vankman|Vankman]]. Dann ist die Zeichnung von [[Benutzer:Principella|Principella]] für die Def. Inkreis kein Gegenbeispiel, da es sich ja um Schnittpunkte handelt, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:55, 19. Jul. 2010 (UTC)

"Berühren" haben WIR nicht definiert, aber die Definition von "Schneiden" war, wenn zwei Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben. Herr Schnirch hat zum Thema außerdem gesagt: "Eine Gerade schneidet auch sich selbst, denn unsere Definition von "sich schneiden" besagt nur dass die Gerade einen gemeinsamen Punkt mit sich selbst haben muss und das hat sie"...
Nach dieser Aussage schneidet der Innkreis eines Dreiecks auch die Seiten dieses Dreiecks, denn er hat einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam. Er schneidet sie aber auch wenn der Fall (siehe Bild) eintritt. Wir müssen also den Begriff "berühren" definieren um den Fall ausschließen zu können.
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:52, 19. Jul. 2010 (UTC)

 Auch wir haben bisher den Begriff "berühren" noch nicht korrekt definiert, insofern dürfte man ihn ja nicht verwenden, da hast du recht [[Benutzer:Principella|Principella]]. Also müssten wir erst "berühren" klären, oder die Definition anders aufschreiben. 
Idee 1: Def Innkreis: Ein Kreis k ist bezüglich eines Dreiecks ABC Innkreis, wenn die Geraden AB, BC, AC Tangenten von k sind. (Tangenten hatten wir schon ganz zu beginn definiert, oder?) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:08, 20. Jul. 2010 (UTC)
Hört sich gut an :) --[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:06, 20. Jul. 2010 (UTC)
Joa da bin ich auch dabei!--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 09:35, 22. Jul. 2010 (UTC)

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks

2010-07-21T20:43:39Z

Hasekm: /* Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks */

=== Definition Winkelhalbierende: ===
Ein Winkelhalbierende eines Winkels <ASB ist ein Strahl SP+, der im Inneren des Winkels <ASB liegt und den Winkel <ASB halbiert.
 

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:49, 19. Jul. 2010 (UTC): Der Begriff Winkelhalbierende wurde bereits definiert: [[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Definition_VI.2|Definition_VI.2]]. Analog zum Begriff der [[Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks#Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks)|Mittelsenkrechten eines Dreiecks]] (Die Definition war am Freitag noch nicht im Skript.) müsste es hier darum gehen, zu definieren, was unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu verstehen ist. (Ist trivial, wäre aber formal nötig.)

=== Definition Winkelhalbierende eines Dreiecks: ===
Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierende der Innenwinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:36, 19. Jul. 2010 (UTC)

=== Winkelhalbierendekriterium ===
 
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand haben.
 

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:01, 19. Jul. 2010 (UTC): Was zu beweisen wäre. 

Frage --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:20, 21. Jul. 2010 (UTC): Ist das nicht Aufgabe 13.5? "Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> wenn er zu den Schneklen von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

=== Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ===
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich genau in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Inkreismittelpunkt.
 
Alternativ: Jedes Dreieck besitzt genau einen Inkreis.

--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 12:53, 18. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:45, 19. Jul. 2010 (UTC): Was unter dem Inkreis eines Dreiecks zu verstehen ist, wird definiert. Jeder Kreis hat genau einen Mittelpunkt. Könnte man jetzt nicht beweisen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt ist? Einfach nur noch mal über die Wortwahl "heißt" nachdenken.

--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]]
Also es handelt sich um zwei Teilaussagen: 

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels ein und denselben Abstand. Kann mit Hilfe des Lots bewiesen werden. 

Wenn ein Punkt P zu dem Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierende des Winkels. 

Alles unter der Voraussetzung P ist im Innere des Winkels.
Meine Frage, kann ich im zweiten Teil, nach dem ich mit Hilfe eines Widerspruchs von einem Punkt Q, für den gibt, dass er ein und denselben Abstand zu den Schenkeln hat, aber nicht auf der WH liegt, ein Lot auf die beiden Schenkel fällen. So entstehen zwei Dreiecke,die kongruent sind. Kann ich das über über Seite-Seite-Winkel beweisen?

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition Inkreis =====
Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:25, 18. Jul. 2010 (UTC)

Hab ein schönes Bild hierzu gemalt :)
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:IMAG0040.JPG
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:07, 18. Jul. 2010 (UTC)

Ist "berühren" nicht was anderes als "schneiden"?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:55, 19. Jul. 2010 (UTC)
Wie ist denn die Definition von "berühren"?
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben....(aus wiki)
Wäre dann die Definition nicht doch korrekt?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:58, 19. Jul. 2010 (UTC) 

In meinem Matheduden steht sinngemäß das Gleiche wie in Wiki, [[Benutzer:Vankman|Vankman]]. Dann ist die Zeichnung von [[Benutzer:Principella|Principella]] für die Def. Inkreis kein Gegenbeispiel, da es sich ja um Schnittpunkte handelt, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:55, 19. Jul. 2010 (UTC)

"Berühren" haben WIR nicht definiert, aber die Definition von "Schneiden" war, wenn zwei Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben. Herr Schnirch hat zum Thema außerdem gesagt: "Eine Gerade schneidet auch sich selbst, denn unsere Definition von "sich schneiden" besagt nur dass die Gerade einen gemeinsamen Punkt mit sich selbst haben muss und das hat sie"...
Nach dieser Aussage schneidet der Innkreis eines Dreiecks auch die Seiten dieses Dreiecks, denn er hat einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam. Er schneidet sie aber auch wenn der Fall (siehe Bild) eintritt. Wir müssen also den Begriff "berühren" definieren um den Fall ausschließen zu können.
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:52, 19. Jul. 2010 (UTC)

 Auch wir haben bisher den Begriff "berühren" noch nicht korrekt definiert, insofern dürfte man ihn ja nicht verwenden, da hast du recht [[Benutzer:Principella|Principella]]. Also müssten wir erst "berühren" klären, oder die Definition anders aufschreiben. 
Idee 1: Def Innkreis: Ein Kreis k ist bezüglich eines Dreiecks ABC Innkreis, wenn die Geraden AB, BC, AC Tangenten von k sind. (Tangenten hatten wir schon ganz zu beginn definiert, oder?) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:08, 20. Jul. 2010 (UTC)
Hört sich gut an :) --[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:06, 20. Jul. 2010 (UTC)

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks

2010-07-21T20:37:09Z

Hasekm: /* Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks */

=== Definition Winkelhalbierende: ===
Ein Winkelhalbierende eines Winkels <ASB ist ein Strahl SP+, der im Inneren des Winkels <ASB liegt und den Winkel <ASB halbiert.
 

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:49, 19. Jul. 2010 (UTC): Der Begriff Winkelhalbierende wurde bereits definiert: [[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Definition_VI.2|Definition_VI.2]]. Analog zum Begriff der [[Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks#Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks)|Mittelsenkrechten eines Dreiecks]] (Die Definition war am Freitag noch nicht im Skript.) müsste es hier darum gehen, zu definieren, was unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks zu verstehen ist. (Ist trivial, wäre aber formal nötig.)

=== Definition Winkelhalbierende eines Dreiecks: ===
Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierende der Innenwinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:36, 19. Jul. 2010 (UTC)

=== Winkelhalbierendekriterium ===
 
Eine Punktmenge ist genau dann Winkelhalbierende eines Winkels <ASB, wenn sie alle Punkte enthält, die im Inneren des Winkels liegen und die zu den Schenkeln SA+ und SB+ den gleichen Abstand haben.
 

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:01, 19. Jul. 2010 (UTC): Was zu beweisen wäre. 

Frage --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:20, 21. Jul. 2010 (UTC): Ist das nicht Aufgabe 13.5? "Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> wenn er zu den Schneklen von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

=== Satz über die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ===
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich genau in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Inkreismittelpunkt.
 
Alternativ: Jedes Dreieck besitzt genau einen Inkreis.

--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 12:53, 18. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:45, 19. Jul. 2010 (UTC): Was unter dem Inkreis eines Dreiecks zu verstehen ist, wird definiert. Jeder Kreis hat genau einen Mittelpunkt. Könnte man jetzt nicht beweisen, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt ist? Einfach nur noch mal über die Wortwahl "heißt" nachdenken.

--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]]
Also es handelt sich um zwei Teilaussagen: 

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels ein und denselben Abstand. Kann mit Hilfe des Lots bewiesen werden. 

Wenn ein Punkt P zu dem Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierende des Winkels. 

Alles unter der Voraussetzung P ist im Innere des Winkels.
Meine Frage, kann ich im zweiten Teil die Kongruenz der Teildreiecke über Seite-Seite-Winkel beweisen?

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition Inkreis =====
Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:25, 18. Jul. 2010 (UTC)

Hab ein schönes Bild hierzu gemalt :)
http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:IMAG0040.JPG
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 22:07, 18. Jul. 2010 (UTC)

Ist "berühren" nicht was anderes als "schneiden"?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:55, 19. Jul. 2010 (UTC)
Wie ist denn die Definition von "berühren"?
Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben....(aus wiki)
Wäre dann die Definition nicht doch korrekt?--[[Benutzer:Vankman|Vankman]] 16:58, 19. Jul. 2010 (UTC) 

In meinem Matheduden steht sinngemäß das Gleiche wie in Wiki, [[Benutzer:Vankman|Vankman]]. Dann ist die Zeichnung von [[Benutzer:Principella|Principella]] für die Def. Inkreis kein Gegenbeispiel, da es sich ja um Schnittpunkte handelt, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:55, 19. Jul. 2010 (UTC)

"Berühren" haben WIR nicht definiert, aber die Definition von "Schneiden" war, wenn zwei Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben. Herr Schnirch hat zum Thema außerdem gesagt: "Eine Gerade schneidet auch sich selbst, denn unsere Definition von "sich schneiden" besagt nur dass die Gerade einen gemeinsamen Punkt mit sich selbst haben muss und das hat sie"...
Nach dieser Aussage schneidet der Innkreis eines Dreiecks auch die Seiten dieses Dreiecks, denn er hat einen Punkt mit jeder Seite gemeinsam. Er schneidet sie aber auch wenn der Fall (siehe Bild) eintritt. Wir müssen also den Begriff "berühren" definieren um den Fall ausschließen zu können.
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:52, 19. Jul. 2010 (UTC)

 Auch wir haben bisher den Begriff "berühren" noch nicht korrekt definiert, insofern dürfte man ihn ja nicht verwenden, da hast du recht [[Benutzer:Principella|Principella]]. Also müssten wir erst "berühren" klären, oder die Definition anders aufschreiben. 
Idee 1: Def Innkreis: Ein Kreis k ist bezüglich eines Dreiecks ABC Innkreis, wenn die Geraden AB, BC, AC Tangenten von k sind. (Tangenten hatten wir schon ganz zu beginn definiert, oder?) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:08, 20. Jul. 2010 (UTC)
Hört sich gut an :) --[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:06, 20. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.2

2010-07-14T23:12:36Z

Hasekm:

== Aufgabenstellung ==
Beweisen Sie: 
[[Der_schwache_Außenwinkelsatz| Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz]] 
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

== Lösung 1 ==
Definition spitzer Winkel: Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel. Definition korrekt? (Diskussion)
 Voraussetzung: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>
 Behauptung:
 Der Einfachheit halber werden die Winkel mit <math>\alpha \ \beta \ \gamma</math> bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann <math>\alpha' \ \beta' \ \gamma'</math>. Es gilt entweder....
::(1) <math>|\alpha| \ < 90 \land |\beta| \ < 90</math>
::oder (2) <math>|\beta| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90</math>
::oder (3) <math>|\alpha| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90</math>
 Indirekter Beweis.
 Annahme: Es gilt entweder....
::(1) <math>|\alpha| \ \ge 90 \land |\beta| \ \ge 90</math>
::oder (2) <math>|\beta| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90</math>
::oder (3) <math>|\alpha| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90</math>
Anmerkung: Man muss natürlich aus <math>\ < </math>in der Behauptung <math>\ \ge</math> in der Annahme machen, denn spitze Winkel sind KLEINER ALS rechte Winkel. Rechte Winkel selbst zählen somit nicht zur möglichen Menge der spitzen Winkel. In der zu widerlegenden Annahme geht man somit von allen möglichen Fällen aus, also auch von dem Fall, dass zwei rechte Winkel in einem Dreieck möglich sind. Somit ist eine Umformulierung des Korollars: "In jedem Dreieck gibt es höchstens einen rechten Winkel." Dies wird durch den Beweis gleich mit bewiesen! (Oder doch nicht? --> Diskussion)
 [[Bild:Skizze_Übung_12_2.png]]
{| class="wikitable "
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es gilt: <math>|\alpha| \ < |\beta'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\beta'|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\beta| \ + |\beta'| = 180</math>
| Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\ |\beta'| = 180 - |\beta|</math>
| (II) Algebraische Umformung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>|\alpha| \ < 180 - |\beta|</math> und <math>|\gamma| \ < 180 - |\beta|</math>
| (I), (III)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math> und <math>|\gamma| + |\beta| \ < 180</math>
| (IV) Algebraische Umformung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Wenn <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math> gilt, muss (1) <math>|\alpha| \ \ge 90</math> und <math>|\beta| \ \ge 90</math> verworfen werden.
| Annahme, (V)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| Wenn <math>|\gamma| + |\beta| \ < 180</math> gilt, muss (2) <math>|\beta| \ \ge 90</math> und <math>|\gamma| \ \ge 90</math> verworfen werden.
| Annahme, (V)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| Es gilt: <math>|\beta| \ < |\alpha'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\alpha'|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| Wenn <math>|\alpha| + |\gamma| \ < 180</math> gilt, muss (3) <math>|\alpha| \ \ge 90</math> und <math>|\gamma| \ \ge 90</math> verworfen werden.
| Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (VII)
|}
 Annahme muss verworfen werden.
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 21:48, 11. Jul. 2010 (UTC)

Versuch:

Voraussetzung: Es sei ein Dreierck <math>\overline {ABC}</math> 
Behauptung: es seien mindesten zwei Innenwinkel spitze Winkel 

Annahme: es sei höchsten ein Winkel ein spitzer Winkel 

alpha < 90 nach Definition Spitzer Winkel
somit sind beta und gamma beide größer gleich 90 (Maß) nach Annahme

so bleiben für schwachen Winkelsatz die Möglichkeiten:

beta + beta' aus dem folgt entweder ist beta > bata' oder |beta = beta'
analog gilt das auch für gamma nach Komplementäraxiom Nebenwinkel.

zu müsste es doch zum Widerspruch kommen oder??? nach schwachen Außenwinkelsatz?????

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-07-14T08:55:35Z

Hasekm:

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

::[[Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4]] wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

Ich würde sagen es gibt 4 Fälle zu unterscheiden, denn A,B und C könnten auch auf der Ebene E1 liegen..
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:24, 10. Jun. 2010

== '''Fünf''' ==

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt C, der auf dem Strahl AB+ liegt
und für den gilt: |AC| = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) C ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und C sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

:Ich find's klasse. Vor allem, wie du auf den Punkt B gekommen bist. Das ist bestechend einfach.
:Das was danach kommt, find ich auch logisch. Nur hab ich gedacht: Ein bisschen abgewandelt wäre das vielleicht schon der Beweis, dass eine Ebene unendlich viele (oder überabzählbar viele? Ich hab keine Ahnung.) Punkte enthält. Du hast es ja mit Axiom III/1 begründet und der Satz heißt Satz I/7. Das legt die Vermutung nahe, dass man es mit den Axiomen I/0 bis I/7 beweisen kann. Ob das so ist - keine Ahnung. Aber ich finde deine Argumentation einwandfrei.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 16:03, 10. Jun. 2010 (UTC)

Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)

== Neuer Versuch ==

Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E 

Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.

Beweis:

Fälle:

1. A,B,C liegen in der Ebene E 
2. Genau zwei der drei Punkte liegen in der Ebene E (o.B.d.A. seien das Punkt A und Punkt B) 
3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A) 
4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E. 
 
Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.
 
 
Untersuchung von Fall 1: 
 
Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4 
 
Untersuchung von Fall 2: 
 
Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar. 
 
Untersuchung von Fall 3: 
 
Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:
Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.
Dies mache ich indirekt, indem ich ganz einfach annehme sie seien idetisch =). Somit haben die Ebenen Z und Y die folgenden Punkte gemeinsam: A,D und E=F. Demnach sind die beiden Ebenen nach Axiom I/4 identisch, da es heißt 3 nkoll => genau eine Ebene. Widerspruch zum Axiom I/7. Somit eine Ebene mit drei Punkten, sogar zwei. 
 
Untersuchung von Fall 4: 
 
Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D. 
 
Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-07-14T08:55:17Z

Hasekm:

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-07-14T08:54:56Z

Hasekm:

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-07-14T08:51:00Z

Hasekm:

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-07-14T08:46:49Z

Hasekm:

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

::[[Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4]] wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

Ich würde sagen es gibt 4 Fälle zu unterscheiden, denn A,B und C könnten auch auf der Ebene E1 liegen..
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:24, 10. Jun. 2010

== '''Fünf''' ==

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt C, der auf dem Strahl AB+ liegt
und für den gilt: |AC| = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) C ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und C sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

:Ich find's klasse. Vor allem, wie du auf den Punkt B gekommen bist. Das ist bestechend einfach.
:Das was danach kommt, find ich auch logisch. Nur hab ich gedacht: Ein bisschen abgewandelt wäre das vielleicht schon der Beweis, dass eine Ebene unendlich viele (oder überabzählbar viele? Ich hab keine Ahnung.) Punkte enthält. Du hast es ja mit Axiom III/1 begründet und der Satz heißt Satz I/7. Das legt die Vermutung nahe, dass man es mit den Axiomen I/0 bis I/7 beweisen kann. Ob das so ist - keine Ahnung. Aber ich finde deine Argumentation einwandfrei.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 16:03, 10. Jun. 2010 (UTC)

Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)

== Neuer Versuch ==

Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E

Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.

Beweis:

Fälle:
1. A,B und C liegen in der ebene E
2. Genau zwei der drei Punte liegen in E (o.B.d.A)
3. Genau einer der drei Punkte liegt in E (o.B.d.A)
4. Keiner der drei Punkte liegt in E

1. A,B,C liegen in der Ebene E
2. Genau zwei der drei Punkte liegen in der Ebene E (o.B.d.A. seien das Punkt A und Punkt B)
3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)
4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.

Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.

Untersuchung von Fall 1:

Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4

Untersuchung von Fall 2:

Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar.

Untersuchung von Fall 3:

Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:
Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.
Dies mache ich indirekt, indem ich ganz einfach annehme sie seien idetisch =). Somit haben die Ebenen Z und Y die folgenden Punkte gemeinsam: A,D und E=F. Demnach sind die beiden Ebenen nach Axiom I/4 identisch, da es heißt 3 nkoll => genau eine Ebene. Widerspruch zum Axiom I/7. Somit eine Ebene mit drei Punkten, sogar zwei.

Untersuchung von Fall 4:

Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.

Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-07-14T08:46:09Z

Hasekm:

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

::[[Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4]] wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

Ich würde sagen es gibt 4 Fälle zu unterscheiden, denn A,B und C könnten auch auf der Ebene E1 liegen..
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:24, 10. Jun. 2010

== '''Fünf''' ==

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt C, der auf dem Strahl AB+ liegt
und für den gilt: |AC| = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) C ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und C sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

:Ich find's klasse. Vor allem, wie du auf den Punkt B gekommen bist. Das ist bestechend einfach.
:Das was danach kommt, find ich auch logisch. Nur hab ich gedacht: Ein bisschen abgewandelt wäre das vielleicht schon der Beweis, dass eine Ebene unendlich viele (oder überabzählbar viele? Ich hab keine Ahnung.) Punkte enthält. Du hast es ja mit Axiom III/1 begründet und der Satz heißt Satz I/7. Das legt die Vermutung nahe, dass man es mit den Axiomen I/0 bis I/7 beweisen kann. Ob das so ist - keine Ahnung. Aber ich finde deine Argumentation einwandfrei.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 16:03, 10. Jun. 2010 (UTC)

Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)

== Neuer Versuch ==

Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E

Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.

Beweis:

Fälle:
1. A,B und C liegen in der ebene E
2. Genau zwei der drei Punte liegen in E (o.B.d.A)
3. Genau einer der drei Punkte liegt in E (o.B.d.A)
4. Keiner der drei Punkte liegt in E

1. A,B,C liegen in der Ebene E
2. Genau zwei der drei Punkte liegen in der Ebene E (o.B.d.A. seien das Punkt A und Punkt B)
3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)
4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.
Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.

Untersuchung von Fall 1:

Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4

Untersuchung von Fall 2:

Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar.

Untersuchung von Fall 3:

Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:
Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.
Dies mache ich indirekt, indem ich ganz einfach annehme sie seien idetisch =). Somit haben die Ebenen Z und Y die folgenden Punkte gemeinsam: A,D und E=F. Demnach sind die beiden Ebenen nach Axiom I/4 identisch, da es heißt 3 nkoll => genau eine Ebene. Widerspruch zum Axiom I/7. Somit eine Ebene mit drei Punkten, sogar zwei.

Untersuchung von Fall 4:

Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.

Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-07-14T08:42:28Z

Hasekm:

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

::[[Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4]] wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

Ich würde sagen es gibt 4 Fälle zu unterscheiden, denn A,B und C könnten auch auf der Ebene E1 liegen..
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:24, 10. Jun. 2010

== '''Fünf''' ==

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt C, der auf dem Strahl AB+ liegt
und für den gilt: |AC| = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) C ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und C sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

:Ich find's klasse. Vor allem, wie du auf den Punkt B gekommen bist. Das ist bestechend einfach.
:Das was danach kommt, find ich auch logisch. Nur hab ich gedacht: Ein bisschen abgewandelt wäre das vielleicht schon der Beweis, dass eine Ebene unendlich viele (oder überabzählbar viele? Ich hab keine Ahnung.) Punkte enthält. Du hast es ja mit Axiom III/1 begründet und der Satz heißt Satz I/7. Das legt die Vermutung nahe, dass man es mit den Axiomen I/0 bis I/7 beweisen kann. Ob das so ist - keine Ahnung. Aber ich finde deine Argumentation einwandfrei.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 16:03, 10. Jun. 2010 (UTC)

Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)

== Neuer Versuch ==

Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E
Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.

Beweis:

Fälle:

1. A,B,C liegen in der Ebene E
2. Genau zwei der drei Punkte liegen in der Ebene E (o.B.d.A. seien das Punkt A und Punkt B)
3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)
4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.
Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.

Untersuchung von Fall 1:
Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4

Untersuchung von Fall 2:
Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar.

Untersuchung von Fall 3:
Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:
Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.
Dies mache ich indirekt, indem ich ganz einfach annehme sie seien idetisch =). Somit haben die Ebenen Z und Y die folgenden Punkte gemeinsam: A,D und E=F. Demnach sind die beiden Ebenen nach Axiom I/4 identisch, da es heißt 3 nkoll => genau eine Ebene. Widerspruch zum Axiom I/7. Somit eine Ebene mit drei Punkten, sogar zwei.

Untersuchung von Fall 4:
Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.

Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-07-14T08:41:00Z

Hasekm:

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

::[[Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4]] wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

Ich würde sagen es gibt 4 Fälle zu unterscheiden, denn A,B und C könnten auch auf der Ebene E1 liegen..
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:24, 10. Jun. 2010

== '''Fünf''' ==

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt C, der auf dem Strahl AB+ liegt
und für den gilt: |AC| = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) C ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und C sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--[[Benutzer:TheGeosi|TheGeosi]] 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

:Ich find's klasse. Vor allem, wie du auf den Punkt B gekommen bist. Das ist bestechend einfach.
:Das was danach kommt, find ich auch logisch. Nur hab ich gedacht: Ein bisschen abgewandelt wäre das vielleicht schon der Beweis, dass eine Ebene unendlich viele (oder überabzählbar viele? Ich hab keine Ahnung.) Punkte enthält. Du hast es ja mit Axiom III/1 begründet und der Satz heißt Satz I/7. Das legt die Vermutung nahe, dass man es mit den Axiomen I/0 bis I/7 beweisen kann. Ob das so ist - keine Ahnung. Aber ich finde deine Argumentation einwandfrei.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 16:03, 10. Jun. 2010 (UTC)

Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E
Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.

Beweis:

nkomp(A,B,C,D) wenigsten einer der vier gehört nicht zu E, da sie sonst alle komplanar wären. o.B.d.A.

Fälle:

1. A,B,C liegen in der Ebene E
2. Genau zwei der drei Punkte liegen in der Ebene E (o.B.d.A. seien das Punkt A und Punkt B)
3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)
4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.
Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.

Untersuchung von Fall 1:
Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4

Untersuchung von Fall 2:
Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar.

Untersuchung von Fall 3:
Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:
Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.
Dies mache ich indirekt, indem ich ganz einfach annehme sie seien idetisch =). Somit haben die Ebenen Z und Y die folgenden Punkte gemeinsam: A,D und E=F. Demnach sind die beiden Ebenen nach Axiom I/4 identisch, da es heißt 3 nkoll => genau eine Ebene. Widerspruch zum Axiom I/7. Somit eine Ebene mit drei Punkten, sogar zwei.

Untersuchung von Fall 4:
Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.

Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????

Diskussion:Lösung von Aufgabe 6

2010-06-15T20:02:17Z

Hasekm:

Benutzer:Hasekm

2010-04-19T14:09:54Z

Hasekm:

Ein Bild meiner Küchenuhr, wie ihr sehen könnt ist diese rund. [[Bild:IMG_0441.JPG|200px]]

Benutzer:Hasekm

2010-04-19T14:02:48Z

Hasekm:

Ein Bild meiner Küchenuhr, wie ihr sehen könnt ist diese rund. {{Bild:IMG_0441.JPG}}

Benutzer:Hasekm

2010-04-19T13:59:34Z

Hasekm: Die Seite wurde neu angelegt: {{Bild:IMG_0441.JPG}}

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2010-04-19T13:55:14Z

Hasekm: {{Information |Beschreibung = runde Küchenuhr |Quelle = |Urheber = Ich |Datum = 19.04.2010 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

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