http://geometrie.idea-sketch.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=HeinzvaneugenGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2026-08-04T10:23:54ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.43.9http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_14.4&diff=3873Lösung von Aufgabe 14.42010-07-28T02:13:34Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Aufgabenstellung ==<br />
<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.<br />
===Versuch 1===<br />
==== Voraussetzung ====<br />
*Viereck <math>\overline{ABCD}</math><br />
*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex. <br />
::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.<br />
*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math><br />
*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math><br />
::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math><br />
::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.<br />
<br />
[[Bild:Skizze_Übung_14_4.png|Skizze]]<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\overline{ADC} \cong \overline{ABC}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SSS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{DC} \cong \overline{BC}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{AC} \equiv \overline{AC}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math><br />
| (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math> <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>S \in w_a</math> <br />
| (II), <math>S \in \overline{AC}</math> (VSS)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\overline{ADS} \cong \overline{ABS}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SWS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)<br />
<br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>|BS| \cong |DS|</math><br />
| (IV)<br />
|}<br />
<br />
Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===Versuch 2===<br />
<br />
==== Voraussetzung ====<br />
Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
Strecke AC halbiert die Strecke DB<br />
<br />
==== Beweis ====<br />
Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben. <br />
<br />Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B. <br />
<br />Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB. <br />
<br />Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.<br />
<br />
<br />
Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von [[Benutzer:Sefamerve|Sefamerve]] an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Zusatz-Aufgabe ==<br />
Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!<br />
<br />
'''Möglichkeit 1:''' Aufgabenteil 1 mithilfe der Lösung von [[Benutzer:Sefamerve|Sefamerve]]) angehen, denn in der Beweisführung wird genau damit argumentiert, dass <math>\ AC</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{DB}</math> sei und die ist ja lt. Definition senkrecht zu <math>\overline{DB}</math>.<br />
<br />
'''Möglichkeit 2:''' tbc</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_14.4&diff=3872Lösung von Aufgabe 14.42010-07-28T02:04:39Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Aufgabenstellung ==<br />
<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.<br />
===Versuch 1===<br />
==== Voraussetzung ====<br />
*Viereck <math>\overline{ABCD}</math><br />
*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex. <br />
::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.<br />
*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math><br />
*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math><br />
::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math><br />
::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.<br />
<br />
[[Bild:Skizze_Übung_14_4.png|Skizze]]<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\overline{ADC} \cong \overline{ABC}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SSS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{DC} \cong \overline{BC}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{AC} \equiv \overline{AC}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math><br />
| (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math> <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>S \in w_a</math> <br />
| (II), <math>S \in \overline{AC}</math> (VSS)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\overline{ADS} \cong \overline{ABS}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SWS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)<br />
<br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>|BS| \cong |DS|</math><br />
| (IV)<br />
|}<br />
<br />
Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===Versuch 2===<br />
<br />
==== Voraussetzung ====<br />
Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
Strecke AC halbiert die Strecke DB<br />
<br />
==== Beweis ====<br />
Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben. <br />
<br />Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B. <br />
<br />Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB. <br />
<br />Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.<br />
<br />
Siehe: Diskussion!<br />
<br />
Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von [[Benutzer:Sefamerve|Sefamerve]] an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Zusatz-Aufgabe ==<br />
Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Datei:Skizze_%C3%9Cbung_14_4.png&diff=3871Datei:Skizze Übung 14 4.png2010-07-28T02:00:01Z<p>Heinzvaneugen: hat eine neue Version von „Bild:Skizze Übung 14 4.png“ hochgeladen: {{Information
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = Skizze zu Übungsaufgabe 14.4<br />
|Quelle = <br />
|Urheber = heinzvaneugen<br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz: ==<br />
{{Bild-frei}}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Datei:Skizze_%C3%9Cbung_14_4.png&diff=3870Datei:Skizze Übung 14 4.png2010-07-28T01:56:47Z<p>Heinzvaneugen: hat eine neue Version von „Bild:Skizze Übung 14 4.png“ hochgeladen: {{Information
|Beschreibung =
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<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
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|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz: ==<br />
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|Beschreibung = Skizze zu Übungsaufgabe 14.4
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<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
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|Quelle = <br />
|Urheber = heinzvaneugen<br />
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|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz: ==<br />
{{Bild-frei}}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_14.4&diff=3868Lösung von Aufgabe 14.42010-07-28T01:51:53Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Aufgabenstellung ==<br />
<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.<br />
===Versuch 1===<br />
==== Voraussetzung ====<br />
*Viereck <math>\overline{ABCD}</math><br />
*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex. <br />
::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.<br />
*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math><br />
*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math><br />
::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math><br />
::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.<br />
<br />
[[Bild:Skizze_Übung_14_4.png|Skizze]]<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\overline{ADC} \cong \overline{ABC}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SSS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{DC} \cong \overline{BC}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{AC} \equiv \overline{AC}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math><br />
| (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math> <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>S \in w_a</math> <br />
| (II), <math>S \in \overline{AC}</math> (VSS)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\overline{ADS} \cong \overline{ABS}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SWS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)<br />
<br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>|BS| \cong |DS|</math><br />
| (IV)<br />
|}<br />
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Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===Versuch 2===<br />
<br />
==== Voraussetzung ====<br />
Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
Strecke AC halbiert die Strecke DB<br />
<br />
==== Beweis ====<br />
Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben. <br />
<br />Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B. <br />
<br />Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB. <br />
<br />Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.<br />
<br />
<br />
Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von [[Benutzer:Sefamerve|Sefamerve]] an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Zusatz-Aufgabe ==<br />
Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_14.4&diff=3867Lösung von Aufgabe 14.42010-07-28T01:50:43Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Aufgabenstellung ==<br />
<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.<br />
===Versuch 1===<br />
==== Voraussetzung ====<br />
*Viereck <math>\overline{ABCD}</math><br />
*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex. <br />
::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.<br />
*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math><br />
*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math><br />
::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math><br />
::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.<br />
<br />
[[Bild:Skizze_Übung_14_4.png|Skizze]]<br />
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{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\overline{ADC} \cong \overline{ABC}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SSS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{DC} \cong \overline{BC}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{AC} \equiv \overline{AC}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math><br />
| (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math> <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>S \in w_a</math> <br />
| (II), <math>S \in \overline{AC}</math> (VSS)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\overline{ADS} \cong \overline{ABS}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SWS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)<br />
<br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>|BS| \cong |DS|</math><br />
| (IV)<br />
|}<br />
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Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===Versuch 2===<br />
<br />
==== Voraussetzung ====<br />
Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
Strecke AC halbiert die Strecke DB<br />
<br />
==== Beweis ====<br />
Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben. <br />
<br />Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B. <br />
<br />Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB. <br />
<br />Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.<br />
<br />
<br />
Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von [[Sefamerve]] an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
== Zusatz-Aufgabe ==<br />
Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_14.4&diff=3866Lösung von Aufgabe 14.42010-07-28T01:48:45Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Aufgabenstellung ==<br />
<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.<br />
===Versuch 1===<br />
==== Voraussetzung ====<br />
*Viereck <math>\overline{ABCD}</math><br />
*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex. <br />
::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.<br />
*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math><br />
*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math><br />
::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math><br />
::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.<br />
<br />
[[Bild:Skizze_Übung_14_4.png|Skizze]]<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\overline{ADC} \cong \overline{ABC}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SSS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{DC} \cong \overline{BC}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{AC} \equiv \overline{AC}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math><br />
| (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math> <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>S \in w_a</math> <br />
| (II), <math>S \in \overline{AC}</math> (VSS)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\overline{ADS} \cong \overline{ABS}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SWS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)<br />
<br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>|BS| \cong |DS|</math><br />
| (IV)<br />
|}<br />
<br />
Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!<br />
<br />
<br />
===Versuch 2===<br />
<br />
==== Voraussetzung ====<br />
Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
Strecke AC halbiert die Strecke DB<br />
<br />
==== Beweis ====<br />
Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben. <br />
<br />Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B. <br />
<br />Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB. <br />
<br />Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.<br />
<br />
<br />
<br />
== Zusatz-Aufgabe ==<br />
Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_14.4&diff=3865Lösung von Aufgabe 14.42010-07-28T01:48:16Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Aufgabenstellung ==<br />
<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.<br />
===Versuch 1===<br />
==== Voraussetzung ====<br />
*Viereck <math>\overline{ABCD}</math><br />
*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex. <br />
::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.<br />
*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math><br />
*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math><br />
::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math><br />
::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.<br />
<br />
[[Bild:Skizze_Übung_14_4.png|Skizze]]<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\overline{ADC} \cong \overline{ABC}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SSS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{DC} \cong \overline{BC}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{AC} \equiv \overline{AC}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math><br />
| (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math> <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>S \in w_a</math> <br />
| (II), <math>S \in \overline{AC}</math> (VSS)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\overline{ADS} \cong \overline{ABS}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SWS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)<br />
<br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>|BS| \cong |DS|</math><br />
| (IV)<br />
|}<br />
<br />
Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!<br />
<br />
<br />
===Versuch 2===<br />
<br />
==== Voraussetzung ====<br />
Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
Strecke AC halbiert die Strecke DB<br />
<br />
==== Beweis ====<br />
Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben. <br />
<br />Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.<br />
<br />
<br />
<br />
== Zusatz-Aufgabe ==<br />
Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_14.4&diff=3864Lösung von Aufgabe 14.42010-07-28T01:37:44Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>=== Aufgabenstellung 1 ===<br />
<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.<br />
<br />
==== Voraussetzung ====<br />
*Viereck <math>\overline{ABCD}</math><br />
*Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): <math>\overline{ABCD}</math> ist konvex. <br />
::Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.<br />
*Es gilt (oBdA): <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}</math><br />
*nach Skizze: <math>\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}</math><br />
::An sich müsste bewiesen werden, dass <math>\overline{AC}</math> und <math>\ \overline{DB}</math> sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass <math>\ D</math> und <math>\ B</math> in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden <math>\ AC </math> liegen.<br />
<br />
==== Behauptung====<br />
<math>|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|</math><br />
::Erklärung zu dieser Behauptung: wenn <math>\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}</math> (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.<br />
<br />
[[Bild:Skizze_Übung_14_4.png|Skizze]]<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\overline{ADC} \cong \overline{ABC}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SSS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{DC} \cong \overline{BC}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\overline{AC} \equiv \overline{AC}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>w_a \in \overline{AC}</math> (<math>\ w_a</math> ist Winkelhalbierende des Winkels <math>\ \alpha</math><br />
| (I), Dreieckskongruenz: <math>\ \alpha_1 \cong \alpha_2</math> <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>S \in w_a</math> <br />
| (II), <math>S \in \overline{AC}</math> (VSS)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\overline{ADS} \cong \overline{ABS}</math><br />
| Dreieckskongruenz durch SWS<br />
<br /><math>\overline{AB} \cong \overline{AD}</math> nach VSS<br />
<br /><math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math> (I)<br />
<br /><math>\overline{AS} \equiv \overline{AS}</math> trivial<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math>|BS| \cong |DS|</math><br />
| (IV)<br />
|}<br />
<br />
Die Diagonale <math>\ \overline{DB}</math> wird durch die Diagonale <math>\ \overline{AC}</math> halbiert!<br />
<br />
<br />
<br />
=== Zusatz-Aufgabe ===<br />
====Versuch 1====<br />
'''Voraussetzung:''' Strecke AD kongrent zu Strecke DC und Strecke AB kongruent zu Strecke BC<br />
<br />'''Behauptung:''' Strecke DB halbiert die Strecke AC<br />
<br />
'''Beweis:'''<br /> Betrachte die Mittelsenkrechte von AC. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten A und C <br />jeweils denselben Abstand haben. <br />Laut Voraussetzung gilt, dass D denselben Abstand zu A und C hat, ferner hat B denselben Abstand<br />zu A und C. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun D und B zu der Mittelsenkrechte der Strecke AC. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke DB die Strecke AC halbiert.</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Diskussion:Quiz_der_Woche_12&diff=3861Diskussion:Quiz der Woche 122010-07-28T00:37:02Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_14.4&diff=3860Lösung von Aufgabe 14.42010-07-28T00:35:15Z<p>Heinzvaneugen: Die Seite wurde neu angelegt: ==== Aufgabenstellung 1 ==== Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten...</p>
<hr />
<div>==== Aufgabenstellung 1 ====<br />
<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck \overline{ABCD} ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von \overline{ABCD}.<br />
<br />
==== Zusatz-Aufgabe ====</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Diskussion:Quiz_der_Woche_12&diff=3859Diskussion:Quiz der Woche 122010-07-28T00:05:20Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Satz_des_Thales&diff=3773Satz des Thales2010-07-26T10:29:01Z<p>Heinzvaneugen: /* Umkehrung 2: Satz des Thales */</p>
<hr />
<div>=Ein wenig Didaktik=<br />
Hier geben Ihnen die Didaktikspezialisten Tipps zum Satz des Thales<br />
<br />
=Satzfindung=<br />
<br />
==Induktive Satzfindung==<br />
<br />
<ggb_applet width="885" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 12:10, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Funktionale Betrachtung==<br />
<br />
<br />
===Variante 1===<br />
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<br />
<br />
===Variante 2===<br />
<br />
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--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
===Variante 3===<br />
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--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=Beweisfindung=<br />
<br />
<br />
==ikonisches/halbikonisches Beweisen==<br />
<br />
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Jul. 2010 (UTC)<br />
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==Beweisen am Beispiel==<br />
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<br />
=induktive Satzfindung der allgemeinen Umkehrung=<br />
<br />
<ggb_applet width="1209" height="575" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
Nimmt man statt eines Rechtecks ein Parallelogramm, so lässt sich die Umkehrung des Periphriewinkelsatzes finden:<br /><br />
Die Scheitel kongruente Winkel, deren Schenkel die Eckpunkte einer Strecke AB enthalten, liegen auf einem Kreis, der AB als Sehne hat.--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 09:39, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=Beweisführung=<br />
<br />
==Satz des Thales==<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei k ein Kreis mit einem Durchmesser <math> \overline {AB} </math>. Jeder Peripheriewinkel von k über <math> \overline {AB} </math> ist ein rechter Winkel.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ein Versuch den Satz des Thales mit dem EP zu beweisen:<br />
<br />
<ggb_applet width="1280" height="648" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
Vor: Dreieck ABC, A,B und C element von k, Kreis K<br /><br />
Beh: y= 90<br /><br />
<br />
1) Konstruieren eine Parallele zu AB durch C (Nach dem EP)<br /><br />
2)Der Winkel < ACE ist Kongruent zu alpha (Wechselwinkelsatz)<br /><br />
3)Delta ist kongruent zu Betha (Wechselwinkelsatz)<br /><br />
4)Winkel < ACM ist Kongruent zu alpha (Basiswinkelsatz)<br /><br />
5) Winkel < MCB ist kongruent zu Betha (Basiswinkelsatz)<br /><br />
6) <ACE+<ACM+<MCB+<BCD= 180<br /><br />
7)alpha+alpha+betha+Betha= 180 (einsetzten der Kongruenzen)<br /><br />
8) 2*(alpha+betha)= 180 (rechenen in R)<br /><br />
9) alpha+betha=90 (rechenen in R)<br /><br />
10) Y=90<br /><br />
q.e.d<br /><br />
<br />
==Umkehrung 1: Satz des Thales==<br />
===Umkehrung Satz des Thales===<br />
Ist <math> \overline {ABC} </math> ein Dreieck mit einem rechten WInkel bei <math> C </math>, so liegt der Punkt <math> C </math> auf dem Thaleskreis, wobei <math> \overline {ABC} </math> einen Durchmesser des Kreises <math> k </math>bildet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Umkehrung 2: Satz des Thales==<br />
===Umkehrung Satz des Thales===<br />
<br />
<br />Ist ein Peripheriewinkel <math>\gamma </math> über einer Sehne <math> s </math> eines Kreises <math> k </math> ein rechter Winkel, so ist die Sehne s ein Durchmesser des Kreises <math> k </math>.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:07, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />Ein [[Beweise_von_Studenten#Umkehrung_des_Satz_des_Thales | Versuch eines Beweises]] besser: zwei Beweis-Ideen, eine über Winkelkonstruktion, die andere via Zentri-Peripheriewinkelsatz...<br />
<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 10:29, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===Kommentar zu den Umkehrungen des Thalesstzes--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:43, 23. Jul. 2010 (UTC)===<br />
Es sei <math>\ \alpha</math> ein Winkel und <math>\ k</math> ein Kreis.<br />
Der Satz des Thales hat zwei Voraussetzungen:<br />
<br />
# <math>\ \alpha</math> ist Peripheriewinkel von <math>\ k</math><br />
# über einem Durchmesser von <math> \ k</math>.<br />
<br />
Die Behauptung des Thalessatzes: <math>\ \alpha</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />
Aus Gründen der Übersicht benenne ich die Voraussetzungen V1 und V2. Für die Behauptung schreibe ich B.<br />
<br />
Satz des Thales:<br />
<br />
Aus V1 und V2 folgt B.<br />
<br />
Die eigentliche Umkehrung:<br />
<br />
Aus B folgt V1 und V2.<br />
<br />
Gemischte Umkehrung 1:<br />
<br />
Aus B und V1 folgt V2.<br />
<br />
Gemischte Umkehrung 2:<br />
<br />
Aus B und V2 folgt V1.<br />
<br />
<br /><br />Also fehlt uns noch die<br />
<br />
==== Eigentliche Umkehrung des Satz von Thales ====<br />
Mein Vorschlag: <br />Es sei ein Dreieck <math> \overline {ABC} </math> mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ist <math>\ \gamma</math> ein rechter Winkel, so ist <math> \ c</math> identisch mit einem Durchmesser des Umkreises des Dreiecks.<br />
<br />--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 08:38, 25. Jul. 2010 (UTC)</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3772Beweise von Studenten2010-07-26T10:25:12Z<p>Heinzvaneugen: /* Umkehrung 2 des Satz des Thales */</p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ihr habt Recht, mein Winkelmaßaxiom ist etwas veraltet, dass kommt davon wenn man sich alles irgendwo zusammensuchen muss :( <br />
Wir dürfen dann also immer davon ausgehen dass Nullwinkel und gestreckte Winkel nicht existieren und bei einem Beweis durch Widerspruch haben wir die Behauptung automatisch bewiesen, wenn wir durch unsere Annahme auf einen Nullwinkel oder einen gestreckten Winkel stoßen? Habe ich das so richtig verstanden???<br />
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:04, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn <s>es</s> das Trapez ein Sehnenviereck ist" <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC). Verbessert --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:00, 24. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />RE:--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 09:00, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
* Vielen Dank. Habe es oben verbesstert.<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich einen weiteren Ansatz im Geowiki gefunden. Mal schaun, ob das auch hinhaut...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
Eine analoge Formulierung wäre:<br />
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.<br />
<br />Noch eine Umformung:<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.<br />
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.<br />
<br />
[[Bild:Umkehrung_Thales.png|1000px]]<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Strahl schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.<br />
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math><br />
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...<br />
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Winkeladditionsaxiom<br />
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math><br />
<br />180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math><br />
<br />90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math><br />
<br /><math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck<br />
Algebraische Umformung<br />
<br />Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math><br />
| (IV) (V), Basiswinkelsatz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math><br />
| (III) (VI)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math>\ P \equiv M</math><br />
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math><br />
| (VII) (VIII) <br />
|}<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 03:45, 24. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
===Umkehrung 2 des Satz des Thales===<br />
Ist ein Periphereiwinkel <math> \gamma </math> über eine Sehne s eines Kreises k ein rechter Winkel, so ist die Sehne s ein Durchmesser des Kreises k.<br />
<br />
VSS: <math> \gamma </math> ist Peripheriewinkel des Kreises k, <math> \gamma = 90</math>, <math> \overline{AB} </math> ist Sehne von k<br /><br />
Beh: <math> M \in \overline{AB} </math><br /><br />
<br />
Hat jemand eine Idee, ich komm einfach nicht drauf?!?!--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:11, 24. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
====Vorschlag 1====<br />
Über den [[Der_Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz#Satz:.28Der_Zentri-Peripheriewinkelsatz.29 | Zentri-Peripheriewinkelsatz]] kann ich doch herleiten, dass ein Peripheriewinkel halb so groß ist wie sein Zentriwinkel. Peripheriewinkel sei hier der rechte Winkel, der passende Zentriwinkel hat die Größe 180, da das der Winkel mit den Strahlen <math>\ MA^+</math> und <math>\ MB^+</math> ist...die Dreiecksseite <math>\overline{AB}</math>!!!!<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 10:25, 26. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
=== Beweis des Wechselwinkelsatz und seiner Umkehrung ===<br />
<br />
Der Beweis der Umkehrung ist mir klar, da ich alpha als Außenwinkel von beta sehen kann und demzufolge alpha größer als beta sein müsste, wenn die geraden nicht parallel sind, sondern ein Dreieck bilden.<br />
<br />
Nur was ist mit dem anderen Teil? Meine Voraussetzung wäre ja das a und b parallel sind. Kann ich hier jetzt auch wieder mit der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes argumentieren. Oder muss ich den Scheitelwinkel von beta betrachten, der ein Stufenwinkel zu alpha ist und dann mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes begründen. Oder gibt es hier einen ganz anderen Weg, den ich nicht seh? Wäre lieb, wenn mir jemand kurz antworten könnte. --[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 10:19, 26. Jul. 2010 (UTC)</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_13.6&diff=3688Lösung von Aufgabe 13.62010-07-24T04:03:20Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>=== Aufgabenstellung: ===<br />
Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen. Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.<br />
<br />
=== Skizze: ===<br />
Anstatt einer Faltung kann man in diesem Applet die Punkte <math>\ B'</math> (auf <math>\ D</math>) und <math>\ C'</math> (auf <math>\ A</math>) bewegen. Man stelle sich die Faltung über die (gestrichelte) Winkelhalbierende jeweils analog vor.<br />
<br />
<br />
<ggb_applet width="1000" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
=== Beweis: ===<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
* Parallelogramm <math>\overline{ABCD}</math><br />
* Ein Parallelogramm sei ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten<br />
* Die parallelen Seiten sind gleich groß (Das kann bewiesen werden: Beweis Teil 2)<br />
<br />
<u>Behauptung:</u><br />
* Konstruktion einer Raute aus Parallelogramm<br />
* Eine Raute sei ein Viereck bei dem alle vier Seiten gleich groß sind.<br />
* Die gegenüberliegenden Seiten (die Seiten, die keinen Eckpunkt gemeinsam haben) sind parallel zueinander (Auch das kann beweisen werden: Beweis Teil 3)<br />
<br />
<u>Formloser Beweis:</u><br />
<br />Wenn Frau Schultze-Kröttendörfer eine Seite, die kürzer ist als ihre Nachbarseite (eine Seite mit gemeinsamen Endpunkt) auf die (längere) Nachbarseite faltet (die Winkelhalbierende des Winkels am gemeinsamen Punkt sei die Faltlinie), so erhält man (wenn diese Faltung mit der selben kurzen Seite zweimal stattfindet) zwei Punkte auf den langen Seiten. Diese Punkte verbindet man und erhält eine "neue" kurze Seite, die wiederum parallel zur ersten kurzen Seite ist. Durch die Faltung haben wir auf der langen Seite einen Punkt, der vom (mit der gefalteten Seite gemeinsamen) Eckpunkt so weit entfernt ist, wie der zweite Eckpunkt der gefalteten Seite. Klingt kompliziert, einfach gesprochen: die langen Seiten sind so lang wie die kurze Seite (durch Faltung). Die beiden kurzen Seiten sind weiterhin parallel zueinander (siehe Beweis Teil 3) und ohnehin gleich lang. Wir haben vier gleichlange Seiten erhalten!<br />
<br />-- Kleine Anmerkung: was ist, wenn es keine längeren / kürzeren Seiten gibt, wenn also selbst nicht zueinander parallele Seiten gleich lang sind? .... --<br />
<br />
<br />
=== Beweis Teil 2: ===<br />
Die parallelen Seiten in einem Parallelogramm sind gleich groß.<br />
<br />Äquivalente Behauptung: der Abstand aller Punkte der Geraden <math>\ g</math> zu einer zu <math>\ g</math> parallelen Geraden <math>\ h</math> ist gleich groß.<br />
# Ist die zweite Behauptung tatsächlig äquivalent zur ersten Behauptung?<br />
# Der Beweis an sich!<br />
<br />
=== Beweis Teil 3: ===<br />
Die gegenüberliegenden Seiten einer Raute sind parallel zueinander.<br />
<br />Äquivalente Behauptung: Wenn die Punkte <math>\ P</math> und <math>\ Q</math> zueinander den selben Abstand haben wie <math>\ P'</math> und <math>\ Q'</math>, so sind die Geraden <math>\ PP'</math> und <math>\ QQ'</math> parallel, wenn die Halbebenen <math>\ PP'Q^+</math> und <math>\ PP'Q'^+</math> identisch sind.<br />
# Ist die zweite Behauptung tatsächlig äquivalent zur ersten Behauptung?<br />
# Der Beweis an sich!<br />
# Warum der ganze Mist?<br />
<br />
# tbc<br />
# to be continued<br />
# Hier sei auf den Unterschied von Definitionen (Festlegungen, die sinnvoll und sinnlos sein können) und Sätzen verwiesen. Bei den Übungsklausuren kamen immer wieder Transfer-Aufgaben, die sich um ein Parallelogramm oder ein Trapez oder eine Raute drehten. Da ist es oftmals einfacher, wenn man sich vor Augen führt, was definiert ist und was wir beweisen können (letzteres läuft auf "SÄTZE" hinaus und wird in Wikipedia zu den Definitionen gezählt...).</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3687Beweise von Studenten2010-07-24T03:48:13Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich einen weiteren Ansatz im Geowiki gefunden. Mal schaun, ob das auch hinhaut...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
Eine analoge Formulierung wäre:<br />
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.<br />
<br />Noch eine Umformung:<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.<br />
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.<br />
<br />
[[Bild:Umkehrung_Thales.png|1000px]]<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Strahl schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.<br />
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math><br />
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...<br />
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Winkeladditionsaxiom<br />
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math><br />
<br />180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math><br />
<br />90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math><br />
<br /><math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck<br />
Algebraische Umformung<br />
<br />Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math><br />
| (IV) (V), Basiswinkelsatz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math><br />
| (III) (VI)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math>\ P \equiv M</math><br />
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math><br />
| (VII) (VIII) <br />
|}<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 03:45, 24. Jul. 2010 (UTC)</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3686Beweise von Studenten2010-07-24T03:45:38Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich einen weiteren Ansatz auch im Geowiki gefunden. Mal schaun, ob das auch hinhaut...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
Eine analoge Formulierung wäre:<br />
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.<br />
<br />Noch eine Umformung:<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.<br />
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.<br />
<br />
[[Bild:Umkehrung_Thales.png|1000px]]<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Winkel schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.<br />
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math><br />
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...<br />
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Winkeladditionsaxiom<br />
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math><br />
<br />180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math><br />
<br />90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math><br />
<br /><math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck<br />
Algebraische Umformung<br />
<br />Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math><br />
| (IV) (V), Basiswinkelsatz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math><br />
| (III) (VI)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math>\ P \equiv M</math><br />
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math><br />
| (VII) (VIII) <br />
|}<br />
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 03:45, 24. Jul. 2010 (UTC)</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3685Beweise von Studenten2010-07-24T03:44:57Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich einen weiteren Ansatz auch im Geowiki gefunden. Mal schaun, ob das auch hinhaut...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
Eine analoge Formulierung wäre:<br />
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.<br />
<br />Noch eine Umformung:<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.<br />
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.<br />
<br />
[[Bild:Umkehrung_Thales.png|1000px]]<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Winkel schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.<br />
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math><br />
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...<br />
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Winkeladditionsaxiom<br />
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math><br />
<br />180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math><br />
<br />90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math><br />
<br /><math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck<br />
Algebraische Umformung<br />
<br />Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math><br />
| (IV) (V), Basiswinkelsatz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math><br />
| (III) (VI)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math>\ P \equiv M</math><br />
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math><br />
| (VII) (VIII) <br />
|}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Datei:Umkehrung_Thales.png&diff=3684Datei:Umkehrung Thales.png2010-07-24T03:40:35Z<p>Heinzvaneugen: {{Information
|Beschreibung = Skizze zur Umkehrung des Satz des Thales
|Quelle =
|Urheber = heinzvaneugen
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>== Beschreibung ==<br />
{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = Skizze zur Umkehrung des Satz des Thales<br />
|Quelle = <br />
|Urheber = heinzvaneugen<br />
|Datum = <br />
|Genehmigung = <br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}<br />
== Lizenz: ==<br />
{{Bild-frei}}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3683Beweise von Studenten2010-07-24T03:39:18Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich einen weiteren Ansatz auch im Geowiki gefunden. Mal schaun, ob das auch hinhaut...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
Eine analoge Formulierung wäre:<br />
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.<br />
<br />Noch eine Umformung:<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.<br />
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.<br />
<br />
[[Bild:Umkehrung_Thales.png]]<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Winkel schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.<br />
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math><br />
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...<br />
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Winkeladditionsaxiom<br />
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math><br />
<br />180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math><br />
<br />90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math><br />
<br /><math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck<br />
Algebraische Umformung<br />
<br />Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math><br />
| (IV) (V), Basiswinkelsatz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math><br />
| (III) (VI)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math>\ P \equal M</math><br />
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math><br />
| (VII) (VIII) <br />
|}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3682Beweise von Studenten2010-07-24T03:32:20Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich den Ansatz auch im Geowiki gefunden...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
Eine analoge Formulierung wäre:<br />
Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math> um den Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>(<math>\ M_c</math>). <math>\overline {AB}</math> sei ein Durchmesser des Kreises.<br />
<br />Noch eine Umformung:<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Wenn (oBdA) der Winkel <math>\ |\gamma|</math> = 90, dann gilt <math>\overline {MA} \cong \overline {MB} \cong \overline {MC}</math>.<br />
Kurze Erklärung: Der Radius des Kreises <math>\ k</math> läßt sich ausdrücken als <math>\overline {MA} \cong \overline {MB}</math>. Wenn <math>\overline {MC}</math> dazu kongruent ist, so liegen alle drei Punkte auf <math>\ k</math>.<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Man trägt am Scheitelpunkt <math>\ C</math> den Winkel <math>\ \alpha</math> an den Strahl <math>\ CA^+</math> an.<br />
| Winkelkonstruktionsaxiom<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Der aus der Winkelkonstruktion entstehende Winkel schneidet die Seite <math>\overline {AB}</math>. Dieser Punkt sei P.<br />
| Existenz eines Schnittpunktes nach "Geschichten aus dem Inneren..."<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\overline {ACP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck mit <math>\overline {AP} \cong \overline {CP}</math><br />
| Basiswinkelsatz, da <math>\ \alpha \cong \alpha'</math> und somit Basiswinkel sind<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\ |\gamma'| = \ |\gamma| - |\alpha|</math> daraus folgt...<br />
<math>\ |\gamma'| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Winkeladditionsaxiom<br />
Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| 180 = <math>\ |\beta| + |\gamma| + |\alpha|</math><br />
<br />180 = <math>\ |\beta| + 90 + |\alpha|</math><br />
<br />90 = <math>\ |\beta| + |\alpha|</math><br />
<br /><math>\ |\beta| = 90 - |\alpha|</math><br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck<br />
Algebraische Umformung<br />
<br />Umformung nach VSS <math>\ |\gamma|</math> = 90<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math>\overline {BCP}</math> ist ein gleichschenkliges Dreieck <math>\overline {BP} \cong \overline {CP}</math><br />
| (IV) (V), Basiswinkelsatz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math>\overline {AP} \cong \overline {CP} \cong \overline {BP}</math><br />
| (III) (VI)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math>\ P \equal M</math><br />
| (VII): <math>\overline {AP} \cong \overline {BP}</math>, Eindeutigkeit des Mittelpunktes<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <math>\overline {AM} \cong \overline {CM} \cong \overline {BM}</math><br />
| (VII) (VIII) <br />
|}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3681Beweise von Studenten2010-07-24T02:49:39Z<p>Heinzvaneugen: /* Umkehrung des Satz des Thales */</p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich den Ansatz auch im Geowiki gefunden...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
::Dreieck <math>\overline {ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
::(oBdA) <math>\ |\gamma| = </math>90<br />
::<math>\ M_c</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math><br />
::Kreis <math>\ k</math> sei der Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M_c</math>, <math>\overline{AB}</math> sei ein Durchmesser von <math>\ k</math><br />
<u>Behauptung:</u><br />
::<math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
<br />
Soweit ist die Umkehrung noch zur erkennen. Um die Skizze verständlich zu machen (und den Beweis zu verkürzen), gehe ich von einem '''Lemma''' aus, das besagt:<br />
::Es gilt (nach VSS)<math>\overline{M_CA} \cong \overline{M_cB}</math>. <br />
::Wenn <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math>, liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math>.<br />
Lemma und Behauptung sind äquivalente Aussagen: trivial - wenn <math>\ C</math> zu <math>\ M_c</math> den selben Abstand hat wie (zB) <math>\ A</math> zu <math>\ M_c</math>, dann liegt <math>\ C</math> mit <math>\ A</math> auf dem selben Kreis <math>\ k</math> um <math>\ M_c</math>.<br />
<br />Man muss also "nur" das Lemma beweisen!<br />
<br />
Weiterhin gehe ich von einer Hilfskonstruktion aus, die im Applet dargestellt wird. <br />
# VSS: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>, <math>\ |\gamma| = </math>90, Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>:<math>\ M_c</math><br />
# LEMMA (zu zeigen): <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math><br />
# BEH: <math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{AB}</math> durch <math>\ C</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{CM_c}</math> durch <math>\ B</math><br />
# ohne Beweise auszuführen stellt man fest: <math>\gamma_1 \cong \gamma'_1</math> (<math>\angle M_cCB \cong \angle M_c'BC</math>: Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\beta \cong \beta'</math> (<math>\angle CBM_c \cong \angle BCM_c'</math>: Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\epsilon_1 \cong \epsilon'_1</math> und <math>\epsilon_2 \cong \epsilon'_2</math> (Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\delta_1 \cong \delta_2</math> (Scheitelwinkel an S) <br />
<br />
Nach dieser Leichtigkeit nun der eigentliche Beweis:<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math>\overline{BCM_c'} \cong \overline{BCM_c}</math><br />
| WSW, Dreieckskongruenz:<br />
<br />W - <math>\beta \cong \beta'</math> (VSS, Hilfskonstruktion)<br />
<br />S - <math>\ |BC| \cong |BC|</math> (trivial)<br />
<br />W - <math>\gamma_1 \cong \gamma'_1</math> (VSS, Hilfskonstruktion)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math>\overline{BM_c'} \cong \overline{CM_c}</math> und <math>\overline{CM_c'} \cong \overline{BM_c}</math><br />
| (I), Dreieckskongruenz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math>\overline{BM_c'M_c} \cong \overline{CM_c'M_c}</math><br />
| WSW, Dreieckskongruenz:<br />
<br />W - <math>\epsilon'_2 \cong \epsilon_2</math> (VSS, Hilfskonstruktion)<br />
<br />S - <math>\ |M_c'M_c| \cong |M_c'M_c|</math> (trivial)<br />
<br />W - <math>\epsilon'_1 \cong \epsilon_1</math> (VSS, Hilfskonstruktion)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math>\overline{BM_c'} \cong \overline{CM_c}</math> und <math>\overline{CM_c'} \cong \overline{BM_c}</math><br />
| (III), Dreieckskongruenz<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <br />
|<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(X)<br />
|<br />
| <br />
|}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3680Beweise von Studenten2010-07-24T00:54:52Z<p>Heinzvaneugen: /* Umkehrung des Satz des Thales */</p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich den Ansatz auch im Geowiki gefunden...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
::Dreieck <math>\overline {ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
::(oBdA) <math>\ |\gamma| = </math>90<br />
::<math>\ M_c</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math><br />
::Kreis <math>\ k</math> sei der Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M_c</math>, <math>\overline{AB}</math> sei ein Durchmesser von <math>\ k</math><br />
<u>Behauptung:</u><br />
::<math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
<br />
Soweit ist die Umkehrung noch zur erkennen. Um die Skizze verständlich zu machen (und den Beweis zu verkürzen), gehe ich von einem '''Lemma''' aus, das besagt:<br />
::Es gilt (nach VSS)<math>\overline{M_CA} \cong \overline{M_cB}</math>. <br />
::Wenn <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math>, liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math>.<br />
Lemma und Behauptung sind äquivalente Aussagen: trivial - wenn <math>\ C</math> zu <math>\ M_c</math> den selben Abstand hat wie (zB) <math>\ A</math> zu <math>\ M_c</math>, dann liegt <math>\ C</math> mit <math>\ A</math> auf dem selben Kreis <math>\ k</math> um <math>\ M_c</math>.<br />
<br />Man muss also "nur" das Lemma beweisen!<br />
<br />
Weiterhin gehe ich von einer Hilfskonstruktion aus, die im Applet dargestellt wird. <br />
# VSS: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>, <math>\ |\gamma| = </math>90, Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>:<math>\ M_c</math><br />
# LEMMA (zu zeigen): <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math><br />
# BEH: <math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{AB}</math> durch <math>\ C</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{CM_c}</math> durch <math>\ B</math><br />
# ohne Beweise auszuführen stellt man fest: <math>\gamma_1 \cong \gamma'_1</math> (<math>\angle M_cCB \cong \angle M_c'BC</math>: Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\beta \cong \beta'</math> (<math>\angle CBM_c \cong \angle BCM_c'</math>: Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\epsilon_1 \cong \epsilon'_1</math> und <math>\epsilon_2 \cong \epsilon'_2</math> (Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\delta_1 \cong \delta_2</math> (Scheitelwinkel an S) <br />
<br />
Nach dieser Leichtigkeit nun der eigentliche Beweis:<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Im Dreieck <math>\overline{M_cSB}</math> gilt <math>\ |\epsilon'_1| + |\delta_1| + |\beta|</math> = 180<br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck, nach VSS und Hilfskonstruktion (Skizze)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Im Dreieck <math>\overline{M_cBM_c'}</math> gilt <math>\ |\epsilon'_1| + |\epsilon_2| + |\gamma'_1| + |\beta|</math> = 180<br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck, nach VSS und Hilfskonstruktion (Skizze)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IIIa)<br />
| <math>\ |\epsilon'_1| + |\delta_1| + |\beta|</math> = <math>\ |\epsilon'_1| + |\epsilon_2| + |\gamma'_1| + |\beta|</math><br />
| (I) = (II)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IIIb)<br />
| <math>\ |\epsilon'_1| + |\delta_1|</math> = <math>\ |\epsilon'_1| + |\epsilon_2| + |\gamma'_1|</math><br />
| (IIIa) ohne <math>\ \beta</math>, da<math>\ \beta \equiv \beta</math><br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IIIc)<br />
| <math>\ |\delta_1|</math> = <math>\ |\epsilon_2| + |\gamma'_1|</math><br />
| (IIIb) ohne <math>\ \epsilon'_1</math>, da<math>\ \epsilon'_1 \equiv \epsilon'_1</math><br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IIId)<br />
| <math>\ |\delta_1|</math> = <math>\ |\epsilon_2| + |\gamma'_1|</math> = |Nebenwinkel von <math>\ |\delta_1|</math><br />
| Dreieck <math>\overline{M_cSC}</math><br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <br />
|<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(X)<br />
|<br />
| <br />
|}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3679Beweise von Studenten2010-07-24T00:11:59Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich den Ansatz auch im Geowiki gefunden...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
::Dreieck <math>\overline {ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
::(oBdA) <math>\ |\gamma| = </math>90<br />
::<math>\ M_c</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math><br />
::Kreis <math>\ k</math> sei der Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M_c</math>, <math>\overline{AB}</math> sei ein Durchmesser von <math>\ k</math><br />
<u>Behauptung:</u><br />
::<math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
<br />
Soweit ist die Umkehrung noch zur erkennen. Um die Skizze verständlich zu machen (und den Beweis zu verkürzen), gehe ich von einem '''Lemma''' aus, das besagt:<br />
::Es gilt (nach VSS)<math>\overline{M_CA} \cong \overline{M_cB}</math>. <br />
::Wenn <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math>, liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math>.<br />
Lemma und Behauptung sind äquivalente Aussagen: trivial - wenn <math>\ C</math> zu <math>\ M_c</math> den selben Abstand hat wie (zB) <math>\ A</math> zu <math>\ M_c</math>, dann liegt <math>\ C</math> mit <math>\ A</math> auf dem selben Kreis <math>\ k</math> um <math>\ M_c</math>.<br />
<br />Man muss also "nur" das Lemma beweisen!<br />
<br />
Weiterhin gehe ich von einer Hilfskonstruktion aus, die im Applet dargestellt wird. <br />
# VSS: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>, <math>\ |\gamma| = </math>90, Mittelpunkt von <math>\overline {AB}</math>:<math>\ M_c</math><br />
# LEMMA (zu zeigen): <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math><br />
# BEH: <math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{AB}</math> durch <math>\ C</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{CM_c}</math> durch <math>\ B</math><br />
# ohne Beweise auszuführen stellt man fest: <math>\gamma_1 \cong \gamma'_1</math> (<math>\angle M_cCB \cong \angle M_c'BC</math>: Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\beta \cong \beta'</math> (<math>\angle CBM_c \cong \angle BCM_c'</math>: Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\epsilon_1 \cong \epsilon'_1</math> und <math>\epsilon_2 \cong \epsilon'_2</math> (Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\delta_1 \cong \delta_2</math> (Nebenwinkel) und <br />
<br />
Nach dieser Leichtigkeit nun der eigentliche Beweis:<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| Im Dreieck <math>\overline{M_cCM_c'}</math> gilt <math>\ |\epsilon'_2| + |\gamma_1| + |\beta'| + |\epsilon_1|</math> = 180<br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck, nach VSS und Hilfskonstruktion (Skizze)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| Im Dreieck <math>\overline{CM_c'B}</math> gilt <math>\ |\beta'| + |\epsilon_1| + |\epsilon_2| + |\gamma'_1|</math> = 180<br />
| Innenwinkelsumme im Dreieck, nach VSS und Hilfskonstruktion (Skizze)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IIIa)<br />
| <math>\ |\epsilon'_2| + |\gamma_1| + |\beta'| + |\epsilon_1|</math> = <math>\ |\beta'| + |\epsilon_1| + |\epsilon_2| + |\gamma'_1|</math><br />
| (I) = (II)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IIIb)<br />
| <math>\ |\epsilon'_2| + |\beta'| + |\epsilon_1|</math> = <math>\ |\beta'| + |\epsilon_1| + |\epsilon_2|</math><br />
| <math>\ \gamma_1 \cong \gamma'_1</math><br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IIIc)<br />
| <math>\ |\epsilon'_2| + |\epsilon_1|</math> = <math>\ |\epsilon_1| + |\epsilon_2|</math><br />
| <math>\ \beta' \equiv \beta'</math><br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IIId)<br />
| <math>\ 2|\epsilon_2| + |\epsilon_1|</math> = <math>\ |\epsilon_1| + |\epsilon_2|</math><br />
| <math>\ \epsilon'_2 \cong \epsilon_2</math> und <math>\ \epsilon_1 \equiv \epsilon_1</math><br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <br />
|<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(X)<br />
|<br />
| <br />
|}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3678Beweise von Studenten2010-07-23T23:21:52Z<p>Heinzvaneugen: /* Umkehrung des Satz des Thales */</p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich den Ansatz auch im Geowiki gefunden...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
::Dreieck <math>\overline {ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
::(oBdA) <math>\ |\gamma| = </math>90<br />
::<math>\ M_c</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math><br />
::Kreis <math>\ k</math> sei der Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M_c</math>, <math>\overline{AB}</math> sei ein Durchmesser von <math>\ k</math><br />
<u>Behauptung:</u><br />
::<math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
<br />
Soweit ist die Umkehrung noch zur erkennen. Um die Skizze verständlich zu machen (und den Beweis zu verkürzen), gehe ich von einem '''Lemma''' aus, das besagt:<br />
::Es gilt (nach VSS)<math>\overline{M_CA} \cong \overline{M_cB}</math>. <br />
::Wenn <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math>, liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math>.<br />
Lemma und Behauptung sind äquivalente Aussagen: trivial - wenn <math>\ C</math> zu <math>\ M_c</math> den selben Abstand hat wie (zB) <math>\ A</math> zu <math>\ M_c</math>, dann liegt <math>\ C</math> mit <math>\ A</math> auf dem selben Kreis <math>\ k</math> um <math>\ M_c</math>.<br />
<br />
Weiterhin gehe ich von einer Hilfskonstruktion aus, die im Applet dargestellt wird. <br />
# VSS: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>, <math>\ |\gamma| = </math>90, <math>\ M_c</math><br />
# BEH: <math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{AB}</math> durch <math>\ C</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{CM_c}</math> durch <math>\ B</math><br />
# ohne Beweise auszuführen stellt man fest: <math>\gamma_1 \cong \gamma'_1</math> (<math>\angle M_cCB \cong \angle M_c'BC</math>: Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\beta \cong \beta'</math> (<math>\angle CBM_c \cong \angle BCM_c'</math>: Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\epsilon_1 \cong \epsilon'_1</math> und <math>\epsilon_2 \cong \epsilon'_2</math> (Wechselwinkel an Parallelen)<br />
# ...<math>\delta_1 \cong \delta_2</math> (Scheitelwinkel)<br />
<br />
Nach dieser Leichtigkeit nun der eigentliche Beweis:<br />
{| class="wikitable"<br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <br />
| <br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <br />
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! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
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! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
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! style="background: #FFDDDD;"|(IX)<br />
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|<br />
| <br />
|}</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3677Beweise von Studenten2010-07-23T22:51:01Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich den Ansatz auch im Geowiki gefunden...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
::Dreieck <math>\overline {ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
::(oBdA) <math>\ |\gamma| = </math>90<br />
::<math>\ M_c</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math><br />
::Kreis <math>\ k</math> sei der Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M_c</math>, <math>\overline{AB}</math> sei ein Durchmesser von <math>\ k</math><br />
<u>Behauptung:</u><br />
::<math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
<br />
Soweit ist die Umkehrung noch zur erkennen. Um die Skizze verständlich zu machen (und den Beweis zu verkürzen), gehe ich von einem '''Lemma''' aus, das besagt:<br />
::Es gilt (nach VSS)<math>\overline{M_CA} \cong \overline{M_cB}</math>. <br />
::Wenn <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math>, liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math>.<br />
Beweis des Lemmas: trivial - wenn <math>\ C</math> zu <math>\ M_c</math> den selben Abstand hat wie (zB) <math>\ A</math> zu <math>\ M_c</math>, dann liegt <math>\ C</math> mit <math>\ A</math> auf dem selben Kreis <math>\ k</math> um <math>\ M_c</math>.<br />
<br />
Weiterhin gehe ich von einer Hilfskonstruktion aus, die im Applet dargestellt wird.<br />
# VSS: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>, <math>\ |\gamma| = </math>90, <math>\ M_c</math><br />
# BEH: <math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{AB}</math> durch <math>\ C</math><br />
# Parallele zu <math>\overline{AC}</math> durch <math>\ B</math><br />
# ohne Beweise auszuführen sind folgende Winkel kongruent: <math>\epsilon_1</math><br />
#</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3676Beweise von Studenten2010-07-23T22:01:22Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich den Ansatz auch im Geowiki gefunden...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
::Dreieck <math>\overline {ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
::(oBdA) <math>\ |\gamma| = </math>90<br />
::<math>\ M_c</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math><br />
::Kreis <math>\ k</math> sei der Kreis mit dem Mittelpunkt <math>\ M_c</math>, <math>\overline{AB}</math> sei ein Durchmesser von <math>\ k</math><br />
<u>Behauptung:</u><br />
::<math>\ C</math> liegt auf Kreis <math>\ k</math><br />
<br />
Soweit ist die Umkehrung noch zur erkennen. Um die Skizze verständlich zu machen (und den Beweis zu verkürzen), gehe ich von einem '''Lemma''' aus, das besagt:<br />
::Es gilt (nach VSS)<math>\overline{M_CA} \cong \overline{M_cB}</math>. <br />
::Wenn <math>\overline{M_cA} \cong \overline{M_cB} \cong \overline{M_cC}</math>, liegt <math>\ C</math> auf dem Kreis <math>\ k</math>.<br />
Beweis des Lemmas: trivial - wenn <math>\ C</math> zu <math>\ M_c</math> den selben Abstand hat wie (zB) <math>\ A</math> zu <math>\ M_c</math>, dann liegt <math>\ C</math> mit <math>\ A</math> auf dem selben Kreis <math>\ k</math> um <math>\ M_c</math>.<br />
<br />
Weiterhin gehe ich von einer Hilfskonstruktion aus, die im Applet dargestellt wird.<br />
# Dreieck <math>\overline {ABC}</math>, <math>\ |\gamma| = </math>90<br />
# Element 2<br />
# Element 3</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Beweise_von_Studenten&diff=3668Beweise von Studenten2010-07-23T20:30:54Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==<br />
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.<br />
<br />
# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />
Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder?<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?<br />
<br />
<br />Ich würde sagen, dass ist durch die Definition Rechteck gewährleistet.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:58, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==<br />
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.<br />
<br />
VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> <br /><br />
Beh: <math> a \|b </math><br /><br />
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.<br />
<br />
Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt?<br /><br />
<br />
'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math><br />
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math><br />
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| = 0 </math>, wodurch die Geraden identisch wären, was in Widerspruch zur Existenz der entgegengesetzt liegenden Winkel ist. Außerdem gibt es keine Nullwinkel oder gestreckte Winkel --> ANN falsch --> Beh gilt<br />
|}<br />
<br />
Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Meinen Berechnungen zufolge wäre <math> |\gamma| = 0 </math>, was kein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom wäre. Ihr könntet aber daraus folgern dass die beiden Geraden identisch sein müssen und dies ist Widerspruch zur Voraussetzung (= die Existenz der entgegengesetzten Winkel)--[[Benutzer:Principella|Principella]] 20:44, 20. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br /><br />
<br />Ich würde auch sagen, dass <math> |\gamma| = 0 </math>, jedoch wäre das für mich schon ein Widerspruch, da es bei uns weder Nullwinkel, noch gestreckte Winkel gibt. Habe außerdem den Beweis in 4 Fälle aufgeteilt (für jede mögliche Lage, wobei jeweils 2 fast analog ablaufen wegen Scheitelwinkel etc). Würden die beiden Fälle oben reichen?--[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]] 08:47, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Stimmt... <math> |\gamma| = 0 </math>, ich finde auch beide Argumentationen gut---> habe es oben in der Tabelle verbessert. @[[Benutzer:&quot;chris&quot;07|&quot;chris&quot;07]], welche beiden Fälle hast du denn noch unterschieden?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 08:57, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==Trapez ist Sehnenviereck==<br />
Stimmt folgender Satz: <br />
<br />"Ein Trapez ist <u>genau dann </u> gleichschenklig, wenn es ein Sehnenviereck ist"? <br />
<br />Das würde doch die Implikation und Umkehrung enthalten (also Äquivalenz, bzw. Kriterium):<br />
# Wenn ein Trapez gleichschenklig ist, dann ist es ein Sehnenviereck.<br />
# Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br /><br />
<br />
Stimmt die Formulierung??--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 23. Jul. 2010 (UTC)<br /><br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 20:30, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
* Die Formulierung der Implikationen stimmen: <br />
:Aussage <math>\ a</math> (VSS): Gleichschenkliges Trapez<br />
:Aussage <math>\ b</math> (Beh.): Ein Trapez mit Umkreis / Das Trapez ist ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Hin) <math>\ a \rightarrow \ b</math>: Wenn Trapez gleichschenklig, dann ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Implikation (Rück) <math>\ b \rightarrow \ a</math>: Wenn ein Trapez ein Sehnenviereck ist, dann ist es gleichschenklig.<br />
* Aus der total bescheuert klingenden Aussage <math>\ b</math> kann man den "Fehler" der Äquivalenz entdecken.<br />
::Äquivalenz <math>\ a \leftrightarrow \ b</math> Genau dann, wenn ein Trapez gleichschenklig ist, ist das Trapez ein Sehnenviereck.<br />
::Warum so kleinlich? Die "Rück"-Richtung der oberen Äquivalenz wäre (genau genommen): Wenn ein Sehnenviereck, dann gleichschenkliges Trapez.<br />
::Es muss also (zB durch copy und paste) die Aussage <math>\ a</math> und die Aussage <math>\ b</math> beliebig austauschbar sein. Wenn also das "es" im Satz durch "das Trapez" ersetzt wird, ist man ausm Schneider.<br />
* Das gilt es zu beweisen....<br />
<br />
<br />
==Umkehrung des Satz des Thales==<br />
Nur als kleine Anmerkung vorneweg: Sorry an alle, denen ich sagte, dass es doch totaaal einfach wäre, von wegen über Innenwinkelsumme der Dreiecke usw. So einfach geht es leider nicht. Aber ich habe eine Lösung gefunden, die nicht über Widerspruchsbeweis und den Zusammenhang Seitenlänge und Größe des gegenüber liegenden Winkels den Beweis führt.<br />
Im Nachhinein (echt!) habe ich den Ansatz auch im Geowiki gefunden...<br />
<br />
===Satz des Thales===<br />
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis mit einem Durchmesser <math>\overline {AB}</math>. Jeder Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über <math>\overline {AB}</math> ist ein rechter Winkel.<br />
<br />[[Satz_des_Thales | Hier]] kann man sich prima Illustrationen ansehen.<br />
<br />
===Umkehrung des Satz des Thales===<br />
Wenn in einem Dreieck <math>\overline {ABC}</math> ein Innenwinkel ein rechter Winkel ist, so liegt der Scheitelpunkt dieses Innenwinkels auf einem Kreis <math>\ k</math>, wobei die gegenüberliegende Dreiecksseite ein Durchmesser des Kreises <math>\ k</math> ist.<br />
*Stimmt die Umkehrung so? Kompliziert aber zweckmäßig, oder?<br />
<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
::Dreieck <math>\overline {ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
::(oBdA) <math>\ |\gamma| = </math>90<br />
<u>Behauptung:</u></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_13.2&diff=3664Lösung von Aufgabe 13.22010-07-23T19:13:58Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====<br />
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. <br />Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.<br />
<br />
<br />
== Versuch 1 ==<br />
VSS: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>, mit Innenwinkel <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math><br /><br />
Beh: <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math><br />
<br />
{| class="wikitable "<br />
|+ Beweis <br />
! Nr.<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(I)<br />
| <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math> <br />
| (Euklidisches Parallelenaxiom)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(II)<br />
| <math> \beta \ </math> und <math> \beta' \ </math> sind Stufenwinkel<br />
| (I), (Def. Stufenwinkel)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(III)<br />
| <math> \alpha \ </math> und <math> \alpha' \ </math> sind Stufenwinkel<br />
| (I), (Def. Stufenwinkel)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)<br />
| <math> \gamma \ </math> und <math> \gamma' \ </math> sind Scheitelwinkel<br />
| (I), (Def. Scheitelwinkel)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(V)<br />
| <math> \alpha \cong \alpha^{'} </math>, <math> \beta \cong \beta^{'} </math> <br />
| (I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)<br />
| <math> \gamma \cong \gamma^{'} </math> <br />
| (I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)<br />
| <math> \ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180 </math> <br />
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)<br />
|-<br />
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)<br />
| <math> \ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180 </math> <br />
| (VII), (V), (VI)<br />
|}<br />
-> Beh. wahr qed <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Zum Thema EP ==<br />
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu <math>g</math> gehörenden Punkt <math>P</math> höchstens eine Gerade <math>h</math> geben kann, die zu <math>g</math> parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?<br />
<br />
<br />Vorschlag--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.<br />
<br />Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?<br />
<br />
<br />Überlegung --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur <u>eine</u> Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?<br />
<br />
<br />Re: --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC): Fast. Man müsste mit der EINDEUTIGKEIT der Parallelen, die das EP aussagt (höchstens) belegen, dass <math>\ d</math> DIE EINZIGE Parallele zu <math>\ AB</math> durch <math>\ C</math> ist. <math> \exist d: C \in d, d\|AB </math> geht, die Begründung sagt aber an, dass man das anders "sprechen" muss: es existiert GENAU EINE Parallele usw. Ganz ordentlich müsste man die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nennen, mit der die EXISTENZ einer Parallelen (...es gibt mindestens eine Parallele...) bewiesen werden kann.<br />
<br />
== Sind DREI "Neben-" Winkel supplementär? ==<br />
<br />Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht.<br />
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Re: Die Begründung ist problematisch, das kann besser mit Winkeladdition erklärt werden. Oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Weitere Fragen ==<br />
<br />Habe den Beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_13.6&diff=3635Lösung von Aufgabe 13.62010-07-22T17:24:34Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>=== Aufgabenstellung: ===<br />
Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen. Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.<br />
<br />
=== Skizze: ===<br />
Anstatt einer Faltung kann man in diesem Applet die Punkte <math>\ B'</math> (auf <math>\ D</math>) und <math>\ C'</math> (auf <math>\ A</math>) bewegen. Man stelle sich die Faltung über die (gestrichelte) Winkelhalbierende jeweils analog vor.<br />
<br />
<br />
<ggb_applet width="1000" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
=== Beweis: ===<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
* Parallelogramm <math>\overline{ABCD}</math><br />
* Ein Parallelogramm sei ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten<br />
* Die parallelen Seiten sind gleich groß (Das kann bewiesen werden: Beweis Teil 2)<br />
<br />
<u>Behauptung:</u><br />
* Konstruktion einer Raute aus Parallelogramm<br />
* Eine Raute sei ein Viereck bei dem alle vier Seiten gleich groß sind.<br />
* Die gegenüberliegenden Seiten (die Seiten, die keinen Eckpunkt gemeinsam haben) sind parallel zueinander (Auch das kann beweisen werden: Beweis Teil 3)<br />
<br />
<u>Formloser Beweis:</u><br />
<br />Wenn Frau Schultze-Kröttendörfer eine Seite, die kürzer ist als ihre Nachbarseite (eine Seite mit gemeinsamen Endpunkt) auf die (längere) Nachbarseite faltet (die Winkelhalbierende des Winkels am gemeinsamen Punkt sei die Faltlinie), so erhält man (wenn diese Faltung mit der selben kurzen Seite zweimal stattfindet) zwei Punkte auf den langen Seiten. Diese Punkte verbindet man und erhält eine "neue" kurze Seite, die wiederum parallel zur ersten kurzen Seite ist. Durch die Faltung haben wir auf der langen Seite einen Punkt, der vom (mit der gefalteten Seite gemeinsamen) Eckpunkt so weit entfernt ist, wie der zweite Eckpunkt der gefalteten Seite. Klingt kompliziert, einfach gesprochen: die langen Seiten sind so lang wie die kurze Seite (durch Faltung). Die beiden kurzen Seiten sind weiterhin parallel zueinander (siehe Beweis Teil 3) und ohnehin gleich lang. Wir haben vier gleichlange Seiten erhalten!<br />
<br />-- Kleine Anmerkung: was ist, wenn es keine längeren / kürzeren Seiten gibt, wenn also selbst nicht zueinander parallele Seiten gleich lang sind? .... --<br />
<br />
<br />
=== Beweis Teil 2: ===<br />
Die parallelen Seiten in einem Parallelogramm sind gleich groß.<br />
<br />Analoge Behauptung: der Abstand aller Punkte der Geraden <math>\ g</math> zu einer zu <math>\ g</math> parallelen Geraden <math>\ h</math> ist gleich groß.<br />
<br />
<br />
=== Beweis Teil 3: ===<br />
Die gegenüberliegenden Seiten einer Raute sind parallel zueinander.<br />
<br />Analoge Behauptung: Wenn die Punkte <math>\ P</math> und <math>\ Q</math> zueinander den selben Abstand haben wie <math>\ P'</math> und <math>\ Q'</math>, so sind die Geraden <math>\ PP'</math> und <math>\ QQ'</math> parallel, wenn die Halbebenen <math>\ PP'Q^+</math> und <math>\ PP'Q'^+</math> identisch sind.</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=L%C3%B6sung_von_Aufgabe_13.6&diff=3630Lösung von Aufgabe 13.62010-07-22T16:05:03Z<p>Heinzvaneugen: Die Seite wurde neu angelegt: === Aufgabenstellung: === Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, ...</p>
<hr />
<div>=== Aufgabenstellung: ===<br />
Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen. Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.<br />
<br />
=== Skizze: ===<br />
Anstatt einer Faltung kann man in diesem Applet die Punkte <math>\ B'</math> (auf <math>\ D</math>) und <math>\ C'</math> (auf <math>\ A</math>) bewegen. Man stelle sich die Faltung über die (gestrichelte) Winkelhalbierende jeweils analog vor.<br />
<br />
<br />
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<br />
=== Beweis: ===<br />
<u>Voraussetzung:</u><br />
* Parallelogramm <math>\overline{ABCD}</math><br />
* Ein Parallelogramm sei ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten<br />
* Die parallelen Seiten sind gleich groß (Das kann bewiesen werden: Beweis Teil 2)<br />
<br />
<u>Behauptung:</u><br />
* Konstruktion einer Raute aus Parallelogramm<br />
* Eine Raute sei ein Viereck bei dem alle vier Seiten gleich groß sind.<br />
* Die gegenüberliegenden Seiten (die Seiten, die keinen Endpunkt gemeinsam haben) sind parallel zueinander (Auch das kann beweisen werden: Beweis Teil 3)<br />
<br />
<u>Formloser Beweis:</u><br />
<br />Wenn Frau Schultze-Kröttendörfer eine Seite, die kürzer ist als ihre Nachbarseite (eine Seite mit gemeinsamen Endpunkt) auf die (längere) Nachbarseite faltet (die Winkelhalbierende des Winkels am gemeinsamen Punkt sei die Faltlinie), so erhält man (wenn diese Faltung mit der selben kurzen Seite zweimal stattfindet) zwei Punkte auf den langen Seiten. Diese Punkte verbindet man und erhält eine "neue" kurze Seite, die wiederum parallel zur ersten kurzen Seite ist.<br />
--Kleine Anmerkung: was ist, wenn es keine längeren / kürzeren Seiten gibt also selbst nicht parallele Seiten gleich lang sind? .... --</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks&diff=3622Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks2010-07-22T15:04:47Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Umkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks) =====<br />
::Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks.<br />
<br />
===== Definition XIII.2 : (Umkreis eines Dreiecks) =====<br />
::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
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<br />
===== Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====<br />
::Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt.<br />
<br />
'''Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks'''<br />
<br />Man muss also beweisen, dass es...<br />
::(1) einen Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten gibt<br />
::(2) GENAU einen Schnittpunkt gibt<br />
<br />
Dies findet jedoch nicht in diesen zwei Schritten wie üblich statt, da andere Grundvoraussetzungen geklärt werden müssen.<br />
Zur besseren Veranschaulichung sei die Vorgehensweise:<br />
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)<br />
::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten<br />
::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten<br />
<br />
Etwas formloser nun ohne Voraussetzung und Behauptung:<br />
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)<br />
:::(I) Die drei Eckpunkte des Dreiecks sind nicht kollinear (Konstruktion eines Dreiecks)<br />
:::(II) Daraus resultieren drei Geraden <math>\ AB, BC, AC</math>, die paarweise nicht identisch sind (I)<br />
:::(III) "Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam." (Satz I.1)<br />
:::(III)a Keine Seite eines Dreiecks kann parallel zu einer zweiten Seite des Dreiecks sein.<br />
:::(IV) Die Senkrechten auf zwei nicht-identischen, nicht-parallen Geraden schneiden sich (da nur die Senkrechten von parallelen Geraden schnittpunktfrei sind --> die Senkrechte zur Senkrechten einer Gerade ist die Parallele zur Geraden)<br />
<br />
<br />
::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten<br />
:::(I) Alle Punkte <math>P_\mathrm{mb} \in m_b</math> haben selben Abstand zu <math>\ A</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
:::(II) Alle Punkte <math>P_\mathrm{ma} \in m_a</math> haben selben Abstand zu <math>\ B</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
:::(III) <math>\ m_b</math> und <math>\ m_a</math> schneiden sich in <math>\ S</math> (Existenz des Schnittpunktes nach Teil (a) bewiesen)<br />
:::(IV) Da <math>S \in m_b \wedge S \in m_a</math> gilt <math>\ |AS| = |CS|</math> und <math>\ |BS| = |CS|</math><br />
<br />
::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten<br />
:::(I) Es gilt <math>\ |AS| = |CS|</math> und <math>\ |BS| = |CS|</math> nach (b)(IV)<br />
:::(II) Es gilt auch <math>\ |AS| = |BS|</math> nach (I) (Transitivität, Umformung)<br />
:::(III) Es gilt somit auch: <math>S \in m_c</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
<br />
Es existiert genau ein Schnittpunkt!<br />
<br />
Muss man die Eindeutigkeit jetzt noch beweisen? Und wenn nicht: warum nicht? <br />
<br />Noch eine Bonus-Frage: Wieso ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:00, 22. Jul. 2010 (UTC)</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks&diff=3621Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks2010-07-22T15:03:48Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Umkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks) =====<br />
::Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks.<br />
<br />
===== Definition XIII.2 : (Umkreis eines Dreiecks) =====<br />
::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
<ggb_applet width="594" height="534" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
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===== Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====<br />
::Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt.<br />
<br />
'''Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks'''<br />
<br />Man muss also beweisen, dass es...<br />
::(1) einen Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten gibt<br />
::(2) GENAU einen Schnittpunkt gibt<br />
<br />
Dies findet jedoch nicht in diesen zwei Schritten wie üblich statt, da andere Grundvoraussetzungen geklärt werden müssen.<br />
Zur besseren Veranschaulichung sei die Vorgehensweise:<br />
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)<br />
::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten<br />
::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten<br />
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Etwas formloser nun ohne Voraussetzung und Behauptung:<br />
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)<br />
:::(I) Die drei Eckpunkte des Dreiecks sind nicht kollinear (Konstruktion eines Dreiecks)<br />
:::(II) Daraus resultieren drei Geraden <math>\ AB, BC, AC</math>, die paarweise nicht identisch sind (I)<br />
:::(III) "Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam." (Satz I.1)<br />
:::(III)a Keine Seite eines Dreiecks kann parallel zu einer zweiten Seite des Dreiecks sein.<br />
:::(IV) Die Senkrechten auf zwei nicht-identischen, nicht-parallen Geraden schneiden sich (da nur die Senkrechten von parallelen Geraden schnittpunktfrei sind --> die Senkrechte zur Senkrechten einer Gerade ist die Parallele zur Geraden)<br />
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::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten<br />
:::(I) Alle Punkte <math>P_\mathrm{mb} \in m_b</math> haben selben Abstand zu <math>\ A</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
:::(II) Alle Punkte <math>P_\mathrm{ma} \in m_a</math> haben selben Abstand zu <math>\ B</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
:::(III) <math>\ m_b</math> und <math>\ m_a</math> schneiden sich in <math>\ S</math> (Existenz des Schnittpunktes nach Teil (a) bewiesen)<br />
:::(IV) Da <math>S \in m_b \wedge S \in m_a</math> gilt <math>|AS| = |CS|</math> und <math>|BS| = |CS|</math><br />
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::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten<br />
:::(I) Es gilt <math>|AS| = |CS|</math> und <math>|BS| = |CS|</math> nach (b)(IV)<br />
:::(II) Es gilt auch <math>|AS| = |BS|</math> nach (I) (Transitivität, Umformung)<br />
:::(III) Es gilt somit auch: <math>S \in m_c</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
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Es existiert genau ein Schnittpunkt!<br />
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Muss man die Eindeutigkeit jetzt noch beweisen? Und wenn nicht: warum nicht? <br />
<br />Noch eine Bonus-Frage: Wieso ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:00, 22. Jul. 2010 (UTC)</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Umkreis_und_die_Mittelsenkrechten_eines_Dreiecks&diff=3620Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks2010-07-22T15:00:58Z<p>Heinzvaneugen: </p>
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<div>== Umkreis eines Dreiecks ==<br />
===== Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks) =====<br />
::Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks.<br />
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===== Definition XIII.2 : (Umkreis eines Dreiecks) =====<br />
::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br />
<br />
<ggb_applet width="594" height="534" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
===== Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====<br />
::Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt.<br />
<br />
'''Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks'''<br />
<br />Man muss also beweisen, dass es...<br />
::(1) einen Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten gibt<br />
::(2) GENAU einen Schnittpunkt gibt<br />
<br />
Dies findet jedoch nicht in diesen zwei Schritten wie üblich statt, da andere Grundvoraussetzungen geklärt werden müssen.<br />
Zur besseren Veranschaulichung sei die Vorgehensweise:<br />
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)<br />
::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten<br />
::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten<br />
<br />
Etwas formloser nun ohne Voraussetzung und Behauptung:<br />
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)<br />
:::(I) Die drei Eckpunkte des Dreiecks sind nicht kollinear (Konstruktion eines Dreiecks)<br />
:::(II) Daraus resultieren drei Geraden <math>\ AB, BC, AC</math>, die paarweise nicht identisch sind (I)<br />
:::(III) "Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam." (Satz I.1)<br />
:::(III)a Keine Seite eines Dreiecks kann parallel zu einer zweiten Seite des Dreiecks sein.<br />
:::(IV) Die Senkrechten auf zwei nicht-identischen, nicht-parallen Geraden schneiden sich (da nur die Senkrechten von parallelen Geraden schnittpunktfrei sind --> die Senkrechte zur Senkrechten einer Gerade ist die Parallele zur Geraden)<br />
<br />
<br />
::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten<br />
:::(I) Alle Punkte <math>P_\mathrm{mb} \in m_b</math> haben selben Abstand zu <math>\ A</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
:::(II) Alle Punkte <math>P_\mathrm{ma} \in m_a</math> haben selben Abstand zu <math>\ B</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
:::(III) <math>\ m_b</math> und <math>\ m_a</math> schneiden sich in <math>\ S</math> (Existenz des Schnittpunktes nach Teil (a) bewiesen)<br />
:::(IV) Da <math>S \in m_b \wedge S \in m_a</math> gilt <math>|AS| = |CS|</math> und <math>|BS| = |CS|</math><br />
<br />
::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten<br />
:::(I) Es gilt <math>|AS| = |CS|</math> und <math>|BS| = |CS|</math> nach (b)(IV)<br />
:::(II) Es gilt auch <math>|AS| = |BS|</math> nach (I) (Transitivität, Umformung)<br />
:::(III) Es gilt somit auch: <math>S \in m_c</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)<br />
<br />
Es existiert genau ein Schnittpunkt!<br />
<br />
Muss man die Eindeutigkeit jetzt noch beweisen? Und wenn nicht: warum nicht? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:00, 22. Jul. 2010 (UTC)</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Schwerpunkt_und_die_Seitenhalbierenden_eines_Dreiecks&diff=3617Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T13:40:08Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist.<br />
Erstellen Sie das Skript selbst.<br />
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|}<br />
<br />
== Seitenhalbierende eines Dreiecks ==<br />
==== Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks ====<br />
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==== Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende ====<br />
Es existiert zu jeder Seite eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> genau eine Seitenhalbierende. <br />
===== Teil 1: Existenz =====<br />
Voraussetzung: Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
<br />Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade <math>\ s_a</math> zwischen dem Mittelpunkt der Seite <math>\ a</math> und dem Punkt <math>\ A</math>.<br />
:(1) Es existiert (genau) ein Punkt <math>\ M_a</math>: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke <math>\overline {BC}</math>).<br />
::Begründung - Satz III.1: (Existenz '''und Eindeutigkeit''' des Mittelpunkte einer Strecke)<br />
:(2) Es existiert (genau) eine Gerade <math>\ s_a</math>, die durch die Punkte <math>\ M_a</math> und <math>\ A</math> geht.<br />
::Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es '''genau''' eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. "<br />
<br />
===== Teil 2: Eindeutigkeit=====<br />
Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz '''und Eindeutigkeit''' sprechen, ist mit dem Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Schwerpunkt eines Dreiecks ==<br />
<br />
=== Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks ===<br />
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Beweis - erst mit Strahlensätze möglich, oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:23, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
==== Definition Schwerpunkt eines Dreiecks ====<br />
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Diskussion:Der_Schwerpunkt_und_die_Seitenhalbierenden_eines_Dreiecks&diff=3616Diskussion:Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T13:39:33Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Aufgaben_zur_Vorbereitung_auf_die_Klausur&diff=3611Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur2010-07-22T13:26:06Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>== Aufgabe 14.1 ==<br />
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. <math>\ l_c</math> sei die Lotgerade des Lotes von <math>\ C</math> auf <math>\ AB</math>. <math>\ l_a</math> sei die Lotgerade des Lotes von <math>\ A</math> auf <math>\ BC</math> und <math>\ l_b</math> sei die Lotgerade des Lotes von <math>\ B</math> auf <math>\ AC</math>. Man beweise: <math>\ l_c, l_a </math> und <math>\ l_b</math> haben genau einen Punkt gemeinsam.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 14.1]]<br />
<br />
== Aufgabe 14.2 ==<br />
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt aus dem Inneren des Winkels <math>\ \alpha</math>. Man beweise: <math>\ P</math> ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden <math>\ w</math> von <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math> \ \alpha</math> jeweils ein und denselben Abstand hat.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 14.2]]<br />
<br />
== Aufgabe 14.3 ==<br />
Das Euklidische Parallelenaxiom findet man in einigen Lehrbüchern in der folgenden Formulierung: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P \in \ g \land h \| g</math>. Warum genügt diese Formulierung des Euklidischen Parallelenaxioms nicht den Anforderungen, die an Axiome zu stellen sind?<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 14.3]]<br />
<br />
== Aufgabe 14.4 ==<br />
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.<br />
<br />
Man beweise: Wenn ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von <math>\overline{ABCD}</math>.<br />
<br />
[[Lösung von Aufgabe 14.4]]</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Diskussion:Der_Schwerpunkt_und_die_Seitenhalbierenden_eines_Dreiecks&diff=3608Diskussion:Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T13:24:01Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Schwerpunkt_und_die_Seitenhalbierenden_eines_Dreiecks&diff=3607Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks2010-07-22T13:23:47Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist.<br />
Erstellen Sie das Skript selbst.<br />
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<br />
== Seitenhalbierende eines Dreiecks ==<br />
==== Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks ====<br />
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==== Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende ====<br />
Es existiert zu jeder Seite eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> genau eine Seitenhalbierende. <br />
===== Teil 1: Existenz =====<br />
Voraussetzung: Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
<br />Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade <math>\ s_a</math> zwischen dem Mittelpunkt der Seite <math>\ a</math> und dem Punkt <math>\ A</math>.<br />
:(1) Es existiert (genau) ein Punkt <math>\ M_a</math>: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke <math>\overline {BC}</math>).<br />
::Begründung - Satz III.1: (Existenz '''und Eindeutigkeit''' des Mittelpunkte einer Strecke)<br />
:(2) Es existiert (genau) eine Gerade <math>\ s_a</math>, die durch die Punkte <math>\ M_a</math> und <math>\ A</math> geht.<br />
::Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es '''genau''' eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. "<br />
<br />
===== Teil 2: Eindeutigkeit=====<br />
Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz '''und Eindeutigkeit''' sprechen, ist mit dem Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Schwerpunkt eines Dreiecks ==<br />
<br />
=== Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks ===<br />
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
Beweis - erst mit Strahlensätze möglich, oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:23, 22. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
<br />
==== Definition Schwerpunkt eines Dreiecks ====<br />
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Hauptseite_SS10&diff=3551Hauptseite SS102010-07-21T18:38:10Z<p>Heinzvaneugen: Änderung 3541 von DeFloGe (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.</p>
<hr />
<div> __NOTOC__<br />
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist zunächst die Plattform für die Geometrie-Veranstaltung im Sommersemester 2010 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Anschließend wird es auch für andere Projekte geöffnet.<br />
{| width="100%"<br />
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"><br />
<br />
{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"<br />
| valign="top" |<br />
<br />
== Wöchentlich ==<br />
* [[Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.]]<br />
<br />
== Skript, erstellt durch die Studierenden==<br />
*[[Einführung]]<br />
*[[Definitionen]]<br />
*[[Relationen]]<br />
*[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]<br />
<br />
== Materialien für das Studium ==<br />
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}<br />
* {{pdf|Definieren.pdf|Definieren}}<br />
* [[Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen]]<br />
* {{pdf|Kurzzusammenfassung_Mengen_Relationen_Äquivalenzklassen.pdf|Kurzzusammenfassung: Mengen, Relationen, Äquivalenzklassen}}<br />
* [[Eigentlich ganz einfach und doch so kompliziert: Punkte, Geraden, Ebenen]]<br />
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik]]<br />
*[[Inzidenz im Raum]]<br />
*[[Strecken]]<br />
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal]]<br />
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch]]<br />
*[[Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel]]<br />
*[[Winkelmessung]]<br />
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende]]<br />
*[[Dreieckskongruenz]]<br />
*[[Der Basiswinkelsatz]]<br />
*[[Der schwache Außenwinkelsatz]]<br />
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade]]<br />
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks]]<br />
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes]]<br />
*[[Existenz von Parallelen]]<br />
*[[Das Euklidische Parallelenaxiom]]<br />
*Sätze über Dreiecke<br />
:*[[Der Innenwinkelsatz für Dreiecke]]<br />
:*[[Der starke Außenwinkelsatz]]<br />
:*Dreieckstransversalen<br />
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks]]<br />
::*[[Die Höhen eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
*Sätze am Kreis<br />
:*[[Satz des Thales]]<br />
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck]]<br />
:*[[Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Der Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Kreistangente und Berührungsradius]]<br />
:*[[Der Sehnentangentenwinkelsatz]]<br />
<br />
== Vorlesungsvideos ==<br />
*[[ Videos zur Vorlesung]]<br />
<br />
== Üben... Üben... Üben...==<br />
*[[ Definitionen von Studenten ]]<br />
*[[ Beweise von Studenten ]]<br />
|}<br />
<br />
== Elementargeometrie ==<br />
Dieser Teil des Wiki dient zunächst der Vorbereitung auf die Prüfung zum ersten Staatsexamen in Mathematik, was den Teil zur Geometrie betrifft. Im Wintersemester wir hier das Wiki zur Lehrveransatltung ''Elementargeometrie'' entstehen.<br />
<br />
<br />
*[[Elementargeometrie|Zu den Seiten zur Elementargeometrie]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
<!-- rechte Spalte --><br />
| width="50%" style="vertical-align:top" |<br />
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"><br />
<br />
{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"<br />
| valign="top" |<br />
<br />
==Hinweise==<br />
<br />
* Die Rubrik "Üben... Üben... Üben..." soll denjenigen Studenten/Innen, die das Bedürfnis haben, Definitionen oder Sätze etc. von ihren Komilitonen überprüfen oder diskutieren zu lassen, die Möglichkeit bieten, diese ins Wiki einzustellen. Mir würde es sehr viel Helfen, eigene Versionen von Definition/Beweisideen mit Euch zu besprechen, vielleicht geht es Euch ja genauso. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:27, 19. Jul. 2010 (UTC) <br />
*In ein paar Seiten ist das Bild "Dozenten.jpg" eingebaut, damit sei die Hilfe eines Dozenten erbeten. Man kann die Datei beobachten und unter der eigenen Beobachtungsseite sehen, wo die Datei benutzt wird. Bei Lösung des Problems können die Dozenten das Bild entfernen. Etwaige Diskussionen sind unter dem passenden Reiter "Diskussion" besser aufgehoben. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:47, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
*Ich habe einen [http://cspannagel.wordpress.com/2010/06/19/ein-wiki-fur-eine-geometrieveranstaltung/ Weblog-Artikel] zum Einsatz dieses Wikis geschrieben. Ich würde mich freuen, wenn Sie dort mit uns über das Konzept diskutieren würden! --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 21:39, 19. Jun. 2010 (UTC) <br />
* zusätzliche Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur: Ab dem 17.06. findet jeden Donnerstag eine zusätzlich Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur statt. Zeit: 12.00 bis 14.00 Uhr, Raum A206. Die Übung wird von zwei Studierenden durchgeführt, die die Klausur bereits erfolgreich bestanden haben. In der Übung werden Convertibles mit dem Programm Classroompresenter eingesetzt (In A206 funktioniert das). Ich werde auch anwesend sein und den Übungsbetrieb unterstützen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:53, 14. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
* In der Rubrik: "Skript, erstellt durch die Studierenden" wurde ein Kapitel "[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]" eingefügt. Sie haben die Möglichkeit, hier einen Glossar wichtiger Begriffe zu erstellen. Fühlen Sie sich frei die angegebenen Überschriften bei Bedarf zu verändern und anzupassen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 2. Jun. 2010 (UTC)<br />
*[[Frühere Hinweise]]<br />
<br />
==Hier gibt's was Neues==<br />
<dpl> <br />
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<br />
==Hier wird diskutiert==<br />
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</dpl><br />
<br />
([[Statistik]])<br />
<br />
|}<br />
<br />
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|}<br />
<br />
<br />
<!-- In der Wiki-Family --><br />
[[wikis:Hauptseite|Wiki-Family-Portal]]<br />
[[asbk:Hauptseite]]<br />
[[bimedia:Hauptseite]]<br />
[[dmuw:Hauptseite]]<br />
[[dsd:Hauptseite]]<br />
<!--[[geometrie:Hauptseite]]--><br />
[[grundschulwiki:Hauptseite]]<br />
[[austausch:Hauptseite]]<br />
[[gsw:Hauptseite]]<br />
[[hsp:Hauptseite]]<br />
[[ibk:Hauptseite]]<br />
[[kas:Hauptseite]]<br />
[[medienvielfalt:Hauptseite]]<br />
[[rmg:Hauptseite]]<br />
[[vielfalt-lernen:Hauptseite]]<br />
[[zum-wiki:Hauptseite]]</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Hauptseite_SS10&diff=3550Hauptseite SS102010-07-21T18:37:54Z<p>Heinzvaneugen: Änderung 3542 von DeFloGe (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.</p>
<hr />
<div> __NOTOC__<br />
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist zunächst die Plattform für die Geometrie-Veranstaltung im Sommersemester 2010 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Anschließend wird es auch für andere Projekte geöffnet.<br />
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{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"<br />
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== Wöchentlich ==<br />
* [[Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.]]<br />
<br />
== Skript, erstellt durch die Studierenden==<br />
*[[Einführung]]<br />
*[[Definitionen]]<br />
*[[Relationen]]<br />
*[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]<br />
<br />
== Materialien für das Studium ==<br />
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}<br />
* {{pdf|Definieren.pdf|Definieren}}<br />
* [[Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen]]<br />
* {{pdf|Kurzzusammenfassung_Mengen_Relationen_Äquivalenzklassen.pdf|Kurzzusammenfassung: Mengen, Relationen, Äquivalenzklassen}}<br />
* [[Eigentlich ganz einfach und doch so kompliziert: Punkte, Geraden, Ebenen]]<br />
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik]]<br />
*[[Inzidenz im Raum]]<br />
*[[Strecken]]<br />
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal]]<br />
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch]]<br />
*[[Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel]]<br />
*[[Winkelmessung]]<br />
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende]]<br />
*[[Dreieckskongruenz]]<br />
*[[Der Basiswinkelsatz]]<br />
*[[Der schwache Außenwinkelsatz]]<br />
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade]]<br />
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks]]<br />
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes]]<br />
*[[Existenz von Parallelen]]<br />
*[[Das Euklidische Parallelenaxiom]]<br />
*Sätze über Dreiecke<br />
:*[[Der Innenwinkelsatz für Dreiecke]]<br />
:*[[Der starke Außenwinkelsatz]]<br />
:*Dreieckstransversalen<br />
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks]]<br />
::*[[Die Höhen eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
*Sätze am Kreis<br />
:*[[Satz des Thales]]<br />
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck]]<br />
:*[[Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Der Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Kreistangente und Berührungsradius]]<br />
:*[[Der Sehnentangentenwinkelsatz]]<br />
<br />
== Vorlesungsvideos ==<br />
*[[ Videos zur Vorlesung]]<br />
<br />
== Üben... Üben... Üben...==<br />
*[[ Definitionen von Studenten ]]<br />
*[[ Beweise von Studenten ]]<br />
|}<br />
<br />
== Elementargeometrie ==<br />
Dieser Teil des Wiki dient zunächst der Vorbereitung auf die Prüfung zum ersten Staatsexamen in Mathematik, was den Teil zur Geometrie betrifft. Im Wintersemester wir hier das Wiki zur Lehrveransatltung ''Elementargeometrie'' entstehen.<br />
<br />
<br />
*[[Elementargeometrie|Zu den Seiten zur Elementargeometrie]]<br />
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==Hinweise==<br />
<br />
* Die Rubrik "Üben... Üben... Üben..." soll denjenigen Studenten/Innen, die das Bedürfnis haben, Definitionen oder Sätze etc. von ihren Komilitonen überprüfen oder diskutieren zu lassen, die Möglichkeit bieten, diese ins Wiki einzustellen. Mir würde es sehr viel Helfen, eigene Versionen von Definition/Beweisideen mit Euch zu besprechen, vielleicht geht es Euch ja genauso. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:27, 19. Jul. 2010 (UTC) <br />
*In ein paar Seiten ist das Bild "Dozenten.jpg" eingebaut, damit sei die Hilfe eines Dozenten erbeten. Man kann die Datei beobachten und unter der eigenen Beobachtungsseite sehen, wo die Datei benutzt wird. Bei Lösung des Problems können die Dozenten das Bild entfernen. Etwaige Diskussionen sind unter dem passenden Reiter "Diskussion" besser aufgehoben. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:47, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
*Ich habe einen [http://cspannagel.wordpress.com/2010/06/19/ein-wiki-fur-eine-geometrieveranstaltung/ Weblog-Artikel] zum Einsatz dieses Wikis geschrieben. Ich würde mich freuen, wenn Sie dort mit uns über das Konzept diskutieren würden! --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 21:39, 19. Jun. 2010 (UTC) <br />
* zusätzliche Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur: Ab dem 17.06. findet jeden Donnerstag eine zusätzlich Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur statt. Zeit: 12.00 bis 14.00 Uhr, Raum A206. Die Übung wird von zwei Studierenden durchgeführt, die die Klausur bereits erfolgreich bestanden haben. In der Übung werden Convertibles mit dem Programm Classroompresenter eingesetzt (In A206 funktioniert das). Ich werde auch anwesend sein und den Übungsbetrieb unterstützen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:53, 14. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
* In der Rubrik: "Skript, erstellt durch die Studierenden" wurde ein Kapitel "[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]" eingefügt. Sie haben die Möglichkeit, hier einen Glossar wichtiger Begriffe zu erstellen. Fühlen Sie sich frei die angegebenen Überschriften bei Bedarf zu verändern und anzupassen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 2. Jun. 2010 (UTC)<br />
*[[Frühere Hinweise]]<br />
<br />
Ich suche meine schriftl. Matheübungen. Ich war am Dienstag 14-16 Uhr in der Übung. Hat dort jmd meine Übungsblätter gesehen?<br />
<br />
==Hier wird diskutiert==<br />
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namespace=Diskussion<br />
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addpagecounter=true<br />
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([[Statistik]])<br />
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<!-- In der Wiki-Family --><br />
[[wikis:Hauptseite|Wiki-Family-Portal]]<br />
[[asbk:Hauptseite]]<br />
[[bimedia:Hauptseite]]<br />
[[dmuw:Hauptseite]]<br />
[[dsd:Hauptseite]]<br />
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[[kas:Hauptseite]]<br />
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[[rmg:Hauptseite]]<br />
[[vielfalt-lernen:Hauptseite]]<br />
[[zum-wiki:Hauptseite]]</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Hauptseite_SS10&diff=3549Hauptseite SS102010-07-21T18:37:07Z<p>Heinzvaneugen: Änderung 3543 von DeFloGe (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.</p>
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Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist zunächst die Plattform für die Geometrie-Veranstaltung im Sommersemester 2010 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Anschließend wird es auch für andere Projekte geöffnet.<br />
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== Wöchentlich ==<br />
* [[Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.]]<br />
<br />
== Skript, erstellt durch die Studierenden==<br />
*[[Einführung]]<br />
*[[Definitionen]]<br />
*[[Relationen]]<br />
*[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]<br />
<br />
== Materialien für das Studium ==<br />
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}<br />
* {{pdf|Definieren.pdf|Definieren}}<br />
* [[Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen]]<br />
* {{pdf|Kurzzusammenfassung_Mengen_Relationen_Äquivalenzklassen.pdf|Kurzzusammenfassung: Mengen, Relationen, Äquivalenzklassen}}<br />
* [[Eigentlich ganz einfach und doch so kompliziert: Punkte, Geraden, Ebenen]]<br />
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik]]<br />
*[[Inzidenz im Raum]]<br />
*[[Strecken]]<br />
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal]]<br />
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch]]<br />
*[[Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel]]<br />
*[[Winkelmessung]]<br />
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende]]<br />
*[[Dreieckskongruenz]]<br />
*[[Der Basiswinkelsatz]]<br />
*[[Der schwache Außenwinkelsatz]]<br />
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade]]<br />
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks]]<br />
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes]]<br />
*[[Existenz von Parallelen]]<br />
*[[Das Euklidische Parallelenaxiom]]<br />
*Sätze über Dreiecke<br />
:*[[Der Innenwinkelsatz für Dreiecke]]<br />
:*[[Der starke Außenwinkelsatz]]<br />
:*Dreieckstransversalen<br />
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks]]<br />
::*[[Die Höhen eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
*Sätze am Kreis<br />
:*[[Satz des Thales]]<br />
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck]]<br />
:*[[Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Der Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Kreistangente und Berührungsradius]]<br />
:*[[Der Sehnentangentenwinkelsatz]]<br />
<br />
== Vorlesungsvideos ==<br />
*[[ Videos zur Vorlesung]]<br />
<br />
== Üben... Üben... Üben...==<br />
*[[ Definitionen von Studenten ]]<br />
*[[ Beweise von Studenten ]]<br />
|}<br />
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== Elementargeometrie ==<br />
Dieser Teil des Wiki dient zunächst der Vorbereitung auf die Prüfung zum ersten Staatsexamen in Mathematik, was den Teil zur Geometrie betrifft. Im Wintersemester wir hier das Wiki zur Lehrveransatltung ''Elementargeometrie'' entstehen.<br />
<br />
<br />
*[[Elementargeometrie|Zu den Seiten zur Elementargeometrie]]<br />
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==Hinweise==<br />
<br />
* Die Rubrik "Üben... Üben... Üben..." soll denjenigen Studenten/Innen, die das Bedürfnis haben, Definitionen oder Sätze etc. von ihren Komilitonen überprüfen oder diskutieren zu lassen, die Möglichkeit bieten, diese ins Wiki einzustellen. Mir würde es sehr viel Helfen, eigene Versionen von Definition/Beweisideen mit Euch zu besprechen, vielleicht geht es Euch ja genauso. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:27, 19. Jul. 2010 (UTC) <br />
*In ein paar Seiten ist das Bild "Dozenten.jpg" eingebaut, damit sei die Hilfe eines Dozenten erbeten. Man kann die Datei beobachten und unter der eigenen Beobachtungsseite sehen, wo die Datei benutzt wird. Bei Lösung des Problems können die Dozenten das Bild entfernen. Etwaige Diskussionen sind unter dem passenden Reiter "Diskussion" besser aufgehoben. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:47, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
*Ich habe einen [http://cspannagel.wordpress.com/2010/06/19/ein-wiki-fur-eine-geometrieveranstaltung/ Weblog-Artikel] zum Einsatz dieses Wikis geschrieben. Ich würde mich freuen, wenn Sie dort mit uns über das Konzept diskutieren würden! --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 21:39, 19. Jun. 2010 (UTC) <br />
* zusätzliche Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur: Ab dem 17.06. findet jeden Donnerstag eine zusätzlich Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur statt. Zeit: 12.00 bis 14.00 Uhr, Raum A206. Die Übung wird von zwei Studierenden durchgeführt, die die Klausur bereits erfolgreich bestanden haben. In der Übung werden Convertibles mit dem Programm Classroompresenter eingesetzt (In A206 funktioniert das). Ich werde auch anwesend sein und den Übungsbetrieb unterstützen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:53, 14. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
* In der Rubrik: "Skript, erstellt durch die Studierenden" wurde ein Kapitel "[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]" eingefügt. Sie haben die Möglichkeit, hier einen Glossar wichtiger Begriffe zu erstellen. Fühlen Sie sich frei die angegebenen Überschriften bei Bedarf zu verändern und anzupassen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 2. Jun. 2010 (UTC)<br />
*[[Frühere Hinweise]]<br />
<br />
==Hier wird diskutiert==<br />
<dpl> <br />
namespace=Diskussion<br />
addeditdate=true<br />
addpagecounter=true<br />
ordermethod=lastedit<br />
order=descending<br />
count=8<br />
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,<br />
userdateformat= d.m.y, G:i - <br />
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([[Statistik]])<br />
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<!-- In der Wiki-Family --><br />
[[wikis:Hauptseite|Wiki-Family-Portal]]<br />
[[asbk:Hauptseite]]<br />
[[bimedia:Hauptseite]]<br />
[[dmuw:Hauptseite]]<br />
[[dsd:Hauptseite]]<br />
<!--[[geometrie:Hauptseite]]--><br />
[[grundschulwiki:Hauptseite]]<br />
[[austausch:Hauptseite]]<br />
[[gsw:Hauptseite]]<br />
[[hsp:Hauptseite]]<br />
[[ibk:Hauptseite]]<br />
[[kas:Hauptseite]]<br />
[[medienvielfalt:Hauptseite]]<br />
[[rmg:Hauptseite]]<br />
[[vielfalt-lernen:Hauptseite]]<br />
[[zum-wiki:Hauptseite]]</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Hauptseite_SS10&diff=3548Hauptseite SS102010-07-21T18:35:50Z<p>Heinzvaneugen: Änderung 3547 von Heinzvaneugen (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.</p>
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Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist zunächst die Plattform für die Geometrie-Veranstaltung im Sommersemester 2010 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Anschließend wird es auch für andere Projekte geöffnet.<br />
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== Wöchentlich ==<br />
* [[Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.]]<br />
<br />
== Skript, erstellt durch die Studierenden==<br />
*[[Einführung]]<br />
*[[Definitionen]]<br />
*[[Relationen]]<br />
*[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]<br />
<br />
== Materialien für das Studium ==<br />
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}<br />
* {{pdf|Definieren.pdf|Definieren}}<br />
* [[Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen]]<br />
* {{pdf|Kurzzusammenfassung_Mengen_Relationen_Äquivalenzklassen.pdf|Kurzzusammenfassung: Mengen, Relationen, Äquivalenzklassen}}<br />
* [[Eigentlich ganz einfach und doch so kompliziert: Punkte, Geraden, Ebenen]]<br />
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik]]<br />
*[[Inzidenz im Raum]]<br />
*[[Strecken]]<br />
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal]]<br />
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch]]<br />
*[[Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel]]<br />
*[[Winkelmessung]]<br />
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende]]<br />
*[[Dreieckskongruenz]]<br />
*[[Der Basiswinkelsatz]]<br />
*[[Der schwache Außenwinkelsatz]]<br />
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade]]<br />
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks]]<br />
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes]]<br />
*[[Existenz von Parallelen]]<br />
*[[Das Euklidische Parallelenaxiom]]<br />
*Sätze über Dreiecke<br />
:*[[Der Innenwinkelsatz für Dreiecke]]<br />
:*[[Der starke Außenwinkelsatz]]<br />
:*Dreieckstransversalen<br />
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks]]<br />
::*[[Die Höhen eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
*Sätze am Kreis<br />
:*[[Satz des Thales]]<br />
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck]]<br />
:*[[Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Der Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Kreistangente und Berührungsradius]]<br />
:*[[Der Sehnentangentenwinkelsatz]]<br />
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== Vorlesungsvideos ==<br />
*[[ Videos zur Vorlesung]]<br />
<br />
== Üben... Üben... Üben...==<br />
*[[ Definitionen von Studenten ]]<br />
*[[ Beweise von Studenten ]]<br />
|}<br />
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== Elementargeometrie ==<br />
Dieser Teil des Wiki dient zunächst der Vorbereitung auf die Prüfung zum ersten Staatsexamen in Mathematik, was den Teil zur Geometrie betrifft. Im Wintersemester wir hier das Wiki zur Lehrveransatltung ''Elementargeometrie'' entstehen.<br />
<br />
<br />
*[[Elementargeometrie|Zu den Seiten zur Elementargeometrie]]<br />
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==Hinweise==<br />
<br />
* Die Rubrik "Üben... Üben... Üben..." soll denjenigen Studenten/Innen, die das Bedürfnis haben, Definitionen oder Sätze etc. von ihren Komilitonen überprüfen oder diskutieren zu lassen, die Möglichkeit bieten, diese ins Wiki einzustellen. Mir würde es sehr viel Helfen, eigene Versionen von Definition/Beweisideen mit Euch zu besprechen, vielleicht geht es Euch ja genauso. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:27, 19. Jul. 2010 (UTC) <br />
*In ein paar Seiten ist das Bild "Dozenten.jpg" eingebaut, damit sei die Hilfe eines Dozenten erbeten. Man kann die Datei beobachten und unter der eigenen Beobachtungsseite sehen, wo die Datei benutzt wird. Bei Lösung des Problems können die Dozenten das Bild entfernen. Etwaige Diskussionen sind unter dem passenden Reiter "Diskussion" besser aufgehoben. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:47, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
*Ich habe einen [http://cspannagel.wordpress.com/2010/06/19/ein-wiki-fur-eine-geometrieveranstaltung/ Weblog-Artikel] zum Einsatz dieses Wikis geschrieben. Ich würde mich freuen, wenn Sie dort mit uns über das Konzept diskutieren würden! --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 21:39, 19. Jun. 2010 (UTC) <br />
* zusätzliche Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur: Ab dem 17.06. findet jeden Donnerstag eine zusätzlich Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur statt. Zeit: 12.00 bis 14.00 Uhr, Raum A206. Die Übung wird von zwei Studierenden durchgeführt, die die Klausur bereits erfolgreich bestanden haben. In der Übung werden Convertibles mit dem Programm Classroompresenter eingesetzt (In A206 funktioniert das). Ich werde auch anwesend sein und den Übungsbetrieb unterstützen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:53, 14. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
* In der Rubrik: "Skript, erstellt durch die Studierenden" wurde ein Kapitel "[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]" eingefügt. Sie haben die Möglichkeit, hier einen Glossar wichtiger Begriffe zu erstellen. Fühlen Sie sich frei die angegebenen Überschriften bei Bedarf zu verändern und anzupassen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 2. Jun. 2010 (UTC)<br />
*[[Frühere Hinweise]]<br />
<br />
==Hier wird diskutiert==<br />
Ich suche meine schriftl. Matheübungen. Ich war am Dienstag 14-16 Uhr in der Übung. Hat dort jmd meine Übungsblätter gesehen?</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Hauptseite_SS10&diff=3547Hauptseite SS102010-07-21T18:35:05Z<p>Heinzvaneugen: Änderung 3546 von Heinzvaneugen (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.</p>
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Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist zunächst die Plattform für die Geometrie-Veranstaltung im Sommersemester 2010 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Anschließend wird es auch für andere Projekte geöffnet.<br />
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== Wöchentlich ==<br />
* [[Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.]]<br />
<br />
== Skript, erstellt durch die Studierenden==<br />
*[[Einführung]]<br />
*[[Definitionen]]<br />
*[[Relationen]]<br />
*[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]<br />
<br />
== Materialien für das Studium ==<br />
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}<br />
* {{pdf|Definieren.pdf|Definieren}}<br />
* [[Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen]]<br />
* {{pdf|Kurzzusammenfassung_Mengen_Relationen_Äquivalenzklassen.pdf|Kurzzusammenfassung: Mengen, Relationen, Äquivalenzklassen}}<br />
* [[Eigentlich ganz einfach und doch so kompliziert: Punkte, Geraden, Ebenen]]<br />
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik]]<br />
*[[Inzidenz im Raum]]<br />
*[[Strecken]]<br />
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal]]<br />
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch]]<br />
*[[Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel]]<br />
*[[Winkelmessung]]<br />
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende]]<br />
*[[Dreieckskongruenz]]<br />
*[[Der Basiswinkelsatz]]<br />
*[[Der schwache Außenwinkelsatz]]<br />
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade]]<br />
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*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes]]<br />
*[[Existenz von Parallelen]]<br />
*[[Das Euklidische Parallelenaxiom]]<br />
*Sätze über Dreiecke<br />
:*[[Der Innenwinkelsatz für Dreiecke]]<br />
:*[[Der starke Außenwinkelsatz]]<br />
:*Dreieckstransversalen<br />
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks]]<br />
::*[[Die Höhen eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
*Sätze am Kreis<br />
:*[[Satz des Thales]]<br />
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck]]<br />
:*[[Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Der Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Kreistangente und Berührungsradius]]<br />
:*[[Der Sehnentangentenwinkelsatz]]<br />
<br />
== Vorlesungsvideos ==<br />
*[[ Videos zur Vorlesung]]<br />
<br />
== Üben... Üben... Üben...==<br />
*[[ Definitionen von Studenten ]]<br />
*[[ Beweise von Studenten ]]<br />
|}<br />
<br />
== Elementargeometrie ==<br />
Dieser Teil des Wiki dient zunächst der Vorbereitung auf die Prüfung zum ersten Staatsexamen in Mathematik, was den Teil zur Geometrie betrifft. Im Wintersemester wir hier das Wiki zur Lehrveransatltung ''Elementargeometrie'' entstehen.<br />
<br />
<br />
*[[Elementargeometrie|Zu den Seiten zur Elementargeometrie]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
<!-- rechte Spalte --><br />
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"><br />
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{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"<br />
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<br />
==Hinweise==<br />
<br />
* Die Rubrik "Üben... Üben... Üben..." soll denjenigen Studenten/Innen, die das Bedürfnis haben, Definitionen oder Sätze etc. von ihren Komilitonen überprüfen oder diskutieren zu lassen, die Möglichkeit bieten, diese ins Wiki einzustellen. Mir würde es sehr viel Helfen, eigene Versionen von Definition/Beweisideen mit Euch zu besprechen, vielleicht geht es Euch ja genauso. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:27, 19. Jul. 2010 (UTC) <br />
*In ein paar Seiten ist das Bild "Dozenten.jpg" eingebaut, damit sei die Hilfe eines Dozenten erbeten. Man kann die Datei beobachten und unter der eigenen Beobachtungsseite sehen, wo die Datei benutzt wird. Bei Lösung des Problems können die Dozenten das Bild entfernen. Etwaige Diskussionen sind unter dem passenden Reiter "Diskussion" besser aufgehoben. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:47, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
*Ich habe einen [http://cspannagel.wordpress.com/2010/06/19/ein-wiki-fur-eine-geometrieveranstaltung/ Weblog-Artikel] zum Einsatz dieses Wikis geschrieben. Ich würde mich freuen, wenn Sie dort mit uns über das Konzept diskutieren würden! --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 21:39, 19. Jun. 2010 (UTC) <br />
* zusätzliche Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur: Ab dem 17.06. findet jeden Donnerstag eine zusätzlich Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur statt. Zeit: 12.00 bis 14.00 Uhr, Raum A206. Die Übung wird von zwei Studierenden durchgeführt, die die Klausur bereits erfolgreich bestanden haben. In der Übung werden Convertibles mit dem Programm Classroompresenter eingesetzt (In A206 funktioniert das). Ich werde auch anwesend sein und den Übungsbetrieb unterstützen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:53, 14. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
* In der Rubrik: "Skript, erstellt durch die Studierenden" wurde ein Kapitel "[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]" eingefügt. Sie haben die Möglichkeit, hier einen Glossar wichtiger Begriffe zu erstellen. Fühlen Sie sich frei die angegebenen Überschriften bei Bedarf zu verändern und anzupassen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 2. Jun. 2010 (UTC)<br />
*[[Frühere Hinweise]]<br />
<br />
==Hier wird diskutiert==</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Hauptseite_SS10&diff=3546Hauptseite SS102010-07-21T18:34:51Z<p>Heinzvaneugen: Änderung 3544 von DeFloGe (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.</p>
<hr />
<div> __NOTOC__<br />
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist zunächst die Plattform für die Geometrie-Veranstaltung im Sommersemester 2010 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg. Anschließend wird es auch für andere Projekte geöffnet.<br />
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"><br />
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{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"<br />
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<br />
== Wöchentlich ==<br />
* [[Auftrag der Woche, Quiz der Woche, Übungsaufgaben etc.]]<br />
<br />
== Skript, erstellt durch die Studierenden==<br />
*[[Einführung]]<br />
*[[Definitionen]]<br />
*[[Relationen]]<br />
*[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]<br />
<br />
== Materialien für das Studium ==<br />
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}<br />
* {{pdf|Definieren.pdf|Definieren}}<br />
* [[Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen]]<br />
* {{pdf|Kurzzusammenfassung_Mengen_Relationen_Äquivalenzklassen.pdf|Kurzzusammenfassung: Mengen, Relationen, Äquivalenzklassen}}<br />
* [[Eigentlich ganz einfach und doch so kompliziert: Punkte, Geraden, Ebenen]]<br />
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik]]<br />
*[[Inzidenz im Raum]]<br />
*[[Strecken]]<br />
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal]]<br />
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch]]<br />
*[[Winkel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel]]<br />
*[[Winkelmessung]]<br />
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende]]<br />
*[[Dreieckskongruenz]]<br />
*[[Der Basiswinkelsatz]]<br />
*[[Der schwache Außenwinkelsatz]]<br />
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade]]<br />
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks]]<br />
*[[Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes]]<br />
*[[Existenz von Parallelen]]<br />
*[[Das Euklidische Parallelenaxiom]]<br />
*Sätze über Dreiecke<br />
:*[[Der Innenwinkelsatz für Dreiecke]]<br />
:*[[Der starke Außenwinkelsatz]]<br />
:*Dreieckstransversalen<br />
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks]]<br />
::*[[Die Höhen eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks]]<br />
*Sätze am Kreis<br />
:*[[Satz des Thales]]<br />
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck]]<br />
:*[[Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Der Peripheriewinkelsatz]]<br />
:*[[Kreistangente und Berührungsradius]]<br />
:*[[Der Sehnentangentenwinkelsatz]]<br />
<br />
== Vorlesungsvideos ==<br />
*[[ Videos zur Vorlesung]]<br />
<br />
== Üben... Üben... Üben...==<br />
*[[ Definitionen von Studenten ]]<br />
*[[ Beweise von Studenten ]]<br />
|}<br />
<br />
== Elementargeometrie ==<br />
Dieser Teil des Wiki dient zunächst der Vorbereitung auf die Prüfung zum ersten Staatsexamen in Mathematik, was den Teil zur Geometrie betrifft. Im Wintersemester wir hier das Wiki zur Lehrveransatltung ''Elementargeometrie'' entstehen.<br />
<br />
<br />
*[[Elementargeometrie|Zu den Seiten zur Elementargeometrie]]<br />
</div><br />
<br />
<br />
<!-- rechte Spalte --><br />
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;"><br />
<br />
{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"<br />
| valign="top" |<br />
<br />
==Hinweise==<br />
<br />
* Die Rubrik "Üben... Üben... Üben..." soll denjenigen Studenten/Innen, die das Bedürfnis haben, Definitionen oder Sätze etc. von ihren Komilitonen überprüfen oder diskutieren zu lassen, die Möglichkeit bieten, diese ins Wiki einzustellen. Mir würde es sehr viel Helfen, eigene Versionen von Definition/Beweisideen mit Euch zu besprechen, vielleicht geht es Euch ja genauso. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:27, 19. Jul. 2010 (UTC) <br />
*In ein paar Seiten ist das Bild "Dozenten.jpg" eingebaut, damit sei die Hilfe eines Dozenten erbeten. Man kann die Datei beobachten und unter der eigenen Beobachtungsseite sehen, wo die Datei benutzt wird. Bei Lösung des Problems können die Dozenten das Bild entfernen. Etwaige Diskussionen sind unter dem passenden Reiter "Diskussion" besser aufgehoben. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 12:47, 23. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />[[Bild:Dozenten.jpg]]<br />
*Ich habe einen [http://cspannagel.wordpress.com/2010/06/19/ein-wiki-fur-eine-geometrieveranstaltung/ Weblog-Artikel] zum Einsatz dieses Wikis geschrieben. Ich würde mich freuen, wenn Sie dort mit uns über das Konzept diskutieren würden! --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 21:39, 19. Jun. 2010 (UTC) <br />
* zusätzliche Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur: Ab dem 17.06. findet jeden Donnerstag eine zusätzlich Übung zur expliziten Vorbereitung auf die Klausur statt. Zeit: 12.00 bis 14.00 Uhr, Raum A206. Die Übung wird von zwei Studierenden durchgeführt, die die Klausur bereits erfolgreich bestanden haben. In der Übung werden Convertibles mit dem Programm Classroompresenter eingesetzt (In A206 funktioniert das). Ich werde auch anwesend sein und den Übungsbetrieb unterstützen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 03:53, 14. Jun. 2010 (UTC)<br />
<br />
* In der Rubrik: "Skript, erstellt durch die Studierenden" wurde ein Kapitel "[[Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar]]" eingefügt. Sie haben die Möglichkeit, hier einen Glossar wichtiger Begriffe zu erstellen. Fühlen Sie sich frei die angegebenen Überschriften bei Bedarf zu verändern und anzupassen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 2. Jun. 2010 (UTC)<br />
*[[Frühere Hinweise]]<br />
<br />
==Hier wird diskutiert==<br />
Ich suche meine schriftl. Matheübungen. Ich war am Dienstag 14-16 Uhr in der Übung. Hat dort jmd meine Übungsblätter gesehen?</div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Diskussion:L%C3%B6sung_von_Aufgabe_13.1&diff=3545Diskussion:Lösung von Aufgabe 13.12010-07-21T17:56:49Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Schwerpunkt_und_die_Seitenhalbierenden_eines_Dreiecks&diff=3538Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks2010-07-21T15:40:48Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist.<br />
Erstellen Sie das Skript selbst.<br />
<br />
{| <br />
|- <br />
! [[Bild:Schwerpunkt_00.jpg|450 px]]<br />
! [[Bild:Schwerpunkt_01.jpg|450 px]]<br />
|-<br />
| [[Bild:Schwerpunkt_03.jpg|450 px]]<br />
| [[Bild:Schwerpunkt_04.jpg|450 px]]<br />
|-<br />
| [[Bild:Schwerpunkt_05.jpg|450 px]]<br />
| [[Bild:Schwerpunkt_6.jpg|450 px]]<br />
|-<br />
<br />
|}<br />
<br />
== Seitenhalbierende eines Dreiecks ==<br />
==== Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks ====<br />
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==== Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende ====<br />
Es existiert zu jeder Seite eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> genau eine Seitenhalbierende. <br />
===== Teil 1: Existenz =====<br />
Voraussetzung: Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
<br />Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade <math>\ s_a</math> zwischen dem Mittelpunkt der Seite <math>\ a</math> und dem Punkt <math>\ A</math>.<br />
:(1) Es existiert (genau) ein Punkt <math>\ M_a</math>: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke <math>\overline {BC}</math>).<br />
::Begründung - Satz III.1: (Existenz '''und Eindeutigkeit''' des Mittelpunkte einer Strecke)<br />
:(2) Es existiert (genau) eine Gerade <math>\ s_a</math>, die durch die Punkte <math>\ M_a</math> und <math>\ A</math> geht.<br />
::Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es '''genau''' eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. "<br />
<br />
===== Teil 2: Eindeutigkeit=====<br />
Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz '''und Eindeutigkeit''' sprechen, ist mit dem Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Schwerpunkt eines Dreiecks ==<br />
<br />
=== Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks ===<br />
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in (genau?) einem Punkt.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==== Definition Schwerpunkt eines Dreiecks ====<br />
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Diskussion:Der_Schwerpunkt_und_die_Seitenhalbierenden_eines_Dreiecks&diff=3536Diskussion:Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks2010-07-21T15:32:12Z<p>Heinzvaneugen: Die Seite wurde neu angelegt: Aus der Skript-Seite wurden Fragen / Kommentare in die Diskussion hier eingefügt... == Seitenhalbierende eines Dreiecks == ==== Definition Seitenhalbierende eines Drei...</p>
<hr />
<div></div>Heinzvaneugenhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Der_Schwerpunkt_und_die_Seitenhalbierenden_eines_Dreiecks&diff=3535Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks2010-07-21T15:32:06Z<p>Heinzvaneugen: </p>
<hr />
<div>Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist.<br />
Erstellen Sie das Skript selbst.<br />
<br />
{| <br />
|- <br />
! [[Bild:Schwerpunkt_00.jpg|450 px]]<br />
! [[Bild:Schwerpunkt_01.jpg|450 px]]<br />
|-<br />
| [[Bild:Schwerpunkt_03.jpg|450 px]]<br />
| [[Bild:Schwerpunkt_04.jpg|450 px]]<br />
|-<br />
| [[Bild:Schwerpunkt_05.jpg|450 px]]<br />
| [[Bild:Schwerpunkt_6.jpg|450 px]]<br />
|-<br />
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|}<br />
<br />
== Seitenhalbierende eines Dreiecks ==<br />
==== Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks ====<br />
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks ABC und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==== Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende ====<br />
===== Teil 1: Existenz =====<br />
Voraussetzung: Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen<br />
<br />Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade <math>\ s_a</math> zwischen dem Mittelpunkt der Seite <math>\ a</math> und dem Punkt <math>\ A</math>.<br />
::(1) Es existiert (genau) ein Punkt <math>\ M_a</math>: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke <math>\overline {BC}</math>).<br />
:::Begründung - Satz III.1: (Existenz '''und Eindeutigkeit''' des Mittelpunkte einer Strecke)<br />
::(2) Es existiert (genau) eine Gerade <math>\ s_a</math>, die durch die Punkte <math>\ M_a</math> und <math>\ A</math> geht.<br />
:::Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es '''genau''' eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. "<br />
<br />
===== Teil 2: Eindeutigkeit=====<br />
Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz '''und Eindeutigkeit''' sprechen, ist mit obigen Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
== Schwerpunkt eines Dreiecks ==<br />
<br />
=== Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks ===<br />
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in (genau?) einem Punkt.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />
<br />
==== Definition Schwerpunkt eines Dreiecks ====<br />
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /></div>Heinzvaneugen