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Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T09:23:52Z

Herbst2010:

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====
(ergänzen Sie)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
(ergänzen Sie)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck /overline{ASB}. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks overline{ASB}

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.3 (SoSe 11)

2011-07-09T13:53:42Z

Herbst2010:

Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes

 Wenn in einem Dreieck zwei Innenwinkel kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 15:53, 9. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definition der Woche 7 (SoSe 11)

2011-07-05T09:14:20Z

Herbst2010:

Definieren Sie den Begriff "Halbkreis".
 
Sei k ein Kreis (bzw. die Menge aller Punkte, die von einem Punkt M ein und den selben Abstand haben) und Strecke d eine Kreissehne für die gilt: Mittelpunkt M <math>\in</math> d. 
Die Menge aller Punkte, die von M ein und den selben Abstand haben und Unterhalb der Sehne d liegen, heißt Halbkreis. 

Man könnte jetzt natürlich annehmen: "Was ist mit den ganzen Punkten, die Oberhalb der Sehen liegen." Aber aufgrund der Invarianz denke ich dass es soweit keine Rolle spielt.

Definition Halbkreis: 
Sei k ein Kreis (s.o) mit dem Mittelpunk M und dem Durchmesser d. 
Sei X <math>\in</math> k und X <math>\not\in</math> von d. 
H := {y <math>\in</math> k | <math>\overline {XY}</math> geschnitten d ={} } 
H heißt Halbkreis. 
Je nach Wahl von X ergeben sich zwei verschiedene Halbkreise --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:23, 17. Mai 2011 (CEST) 
Hallo Peterpummel, 
das musst du bitte kurz erklären. ich hab das was du beschrieben hast mal nach bestem Wissen und Gewissen im Geogebra generiert und siehe da - alles andere als ein Halbkreis. 
 

[[Bild:halbkreis.jpg]]

 
ich denke um einen Halbkreis zu generieren, ist es entscheident, im Zentrum des Kreises, also im Mittelpunkt anzufangen, wenn du auf dem Kreis, aus dem dein Halbkreis entstehen soll, einen Punkt legst und daran arbeitest gehst du fehl.

 
sollte ich mich jedoch wahnsinnig geirrt haben, dann gerne eine Verbesserung. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:57, 17. Mai 2011 (CEST)
 

'''STOP: Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil :-) was ich unterschlagen habe war das Y <math>\in</math> k ist, dann macht es Sinn.

Ich lasse aber die Graphik trotzdem drinn, dann können ein paar andere evtl. noch ein wenig knobeln.'''
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Huhu Flo60, 
eine Frage zu deiner Zeichnung, müsste der rote Kreis nicht noch "etwas" näher an d ? :) --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 19:16, 18. Mai 2011 (CEST)

Vielleicht hilft das:--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:39, 23. Mai 2011 (CEST) 
<ggb_applet width="535" height="528" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" /> 
Bewegen Sie mit der Maus den Punkt <math>\ Y</math>.
 
ich kann das ganze nicht anschauen, obgleich ich (für geogebra obligatorisch) java bereits auf meinem rechner installiert habe.
vielleicht kann man einen screenshot oder einen dateidownload anhängen - wäre zwar sicherlich aufwendig aber fänd ich superklasse. dankeschön --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 14:32, 25. Mai 2011 (CEST) 
 
'''Ist diese Definition korrekt?''' Definition : Halbkreis: 
Es sei k ein Kreis mit dem Durchmesser <math>\overline{AB}</math> . Ferner sei X ein belibiger Punkt auf k mit <math>A\neq X, B\neq X</math>. Die Menge aller Punkte Y für die gilt: <math>\overline{XY} \ \cap AB =\lbrace \rbrace</math> heißt Halbkreis von Kreis k.
 --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:14, 5. Jul. 2011 (CEST)

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe 11)

2011-06-08T12:41:16Z

Herbst2010: /* Definition V.2: (Inneres eines Winkels) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> ... versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:13, 8. Jun. 2011 (CEST)
 

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====
[[Bild:Inneres_winkel.png | 400 px]]

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_eines_Winkels.htm Flashapplikation]
==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====

Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man ... (ergänzen Sie) 

Es sei <math>\angle ASB</math> ein Winkel. Dabei ist S der Scheitelpunkt der beiden Strahlen a und b. Unter dem Inneren einem Winkels versteht den Schnitt der beiden Halbebenen SA, B+ und SB, A+. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:39, 8. Jun. 2011 (CEST)

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe 11)

2011-06-08T12:39:52Z

Herbst2010: /* Definition V.2: (Inneres eines Winkels) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> ... versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:13, 8. Jun. 2011 (CEST)
 

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====
[[Bild:Inneres_winkel.png | 400 px]]

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_eines_Winkels.htm Flashapplikation]
==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====

Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man ... (ergänzen Sie) 

Es sei ASB ein Winkel. Dabei ist S der Scheitelpunkt der beiden Strahlen a und b. Unter dem Inneren einem Winkels versteht den Schnitt der beiden Halbebenen SA, B+ und SB, A+. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:39, 8. Jun. 2011 (CEST)

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 9.7 (SoSe 11)

2011-06-08T12:32:20Z

Herbst2010:

Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 9.5 nicht wahr ist.

Die Umkehrung würde lauten: Wenn der Durschnitt zweier Punktmengen konvex ist, dass sind die Punktmengen auch konvex. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:32, 8. Jun. 2011 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 9.6 (SoSe 11)

2011-06-08T12:30:40Z

Herbst2010:

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 9.5.

Wenn der Durschnitt (= Schnittmenge) zweier Mengen nicht konvex ist, dann ist mindestens ein der Punktmenge auch nicht konvex.--[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:30, 8. Jun. 2011 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 8.3 (SoSe 11)

2011-06-08T12:27:27Z

Herbst2010:

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung den Satz aus Aufgabe 7.6).

Voraussetzung: nkomp (A, B, C, D) 
Behauptung: A <math>\neq</math> B <math>\neq</math> C <math>\neq</math> A

Aufgrund der Tatsache, dass wir aus Satz 7.6 wissen, dass keine drei Punkte kollinear sind, wenn vier Punkte (A, B, C, D) nicht komplanar sind, müssen wir nur zeigen, dass keine zwei Punkte identisch sind.

 
Beweis:

Annahme: A = B (o.B.d.A.)
 

{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| 1 || Es exisitert eine Gerade g mit A <math>\in</math> g und B <math>\in</math> g || Axiom I.1
|-
| 2 || A = B || Annahme
|-
| 3 || Für A = B benötigt die Gerade einen weiteren Punkt, um nach den Inzidenzaxiomen existieren zu können => C <math>\in</math> g || Axiom I.2, (2)
|-
| 4 || koll(A, B, C) || (3), Def. kollinear
|-
| 5 || Widerspruch zur Voraussetzung || (4), Satz 7.6, Voraussetzung
|-
| 6 || Annahme ist zu verwerfen || (5)
|}

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:54, 31. Mai 2011 (CEST)

Müsste es nicht bei 5.) komp (A,B,C,D) aus 2.), 4.) und Def. komplanar heißen und somit ein Widerspruch zu der Vor Aufgabe 8.3 sein?--[[Benutzer:Vollyschwamm|Vollyschwamm]] 11:55, 1. Jun. 2011 (CEST)

Nein muss es nicht, denn daraus, dass eine Menge von Punkten kollinear ist, folgt nicht automatisch, dass die Punkte auch in jedem Falle komplanar sind. Natürlich gibt es dann eine Ebene, zu der diese Punkte komplanar sind, wir wissen jedoch nicht, ob das genau die Ebene ist, die wir betrachten. Ich habe das mal im Powerpoint gezeichnet. Eine Ebene ist zwar nicht Dreidimensional und auf den Geraden sind keine Punkte eingezeichnet, jeodch ist sicherlich erkennbar, dass alle Punkte auf der Geraden g komplanar zur Ebene sind, weil g vollständig in E ist, während h die Ebene nur schneidet und aber trotzdem alle Punkte auf h kollinear sind.

[[Bild:Aus_koll_folgt_nicht_automatisch_komp.jpg]]
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:38, 1. Jun. 2011 (CEST)

In Schritt 3 haben Sie angenommen, dass es noch einen weiteren Punkt auf der Geraden geben muss. Das ist korrekt, allerdings muss das nicht zwangsläufig Punkt ''C'' oder ''D'' sein, sondern z.B. auch ein neuer Punkt '''F'''. Denken Sie an dieser Stelle nochmal über Ihren Beweis nach, Sie wissen doch noch etwas mehr über Ihre restlichen Punkte, oder?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:35, 2. Jun. 2011 (CEST)
 
Neuer Versuch: 
Beweis:

Annahme: A = B (o.B.d.A.)
 

{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| 1 || A = B || Annahme
|-
| 2 || Es exisitert eine Gerade g mit A <math>\in</math> g und B <math>\in</math> g und C <math>\in</math> g || Axiom I.1, (1)
|-
| 3 || koll(A, B, C) || (3), Def. kollinear
|-
| 4 || Widerspruch zur Voraussetzung || (4), Satz 7.6, Voraussetzung
|-
| 5 || Annahme ist zu verwerfen || (5)
|}
 
Wenn wir den "Spieß umdrehen" und gleich annehmen, dass A gleich B ist, dann wissen wir auch, dass es eine Gerade gibt, die durch unseren (und nur durch UNSEREN) Punkt C geht. Natürlich gibt es durch die Punkte A und B noch unendlich andere Geraden aber eine geht dann eben durch C und egal ob jetzt C auch noch identisch ist mit A und B oder nicht, das spielt keine Rolle, da wir ja so oder so die Kollinearität der drei Punkt haben, was de facto Widerspruch zu Satz 7.6 ist.
 
Aber macht es wirklich einen Unterschied? Denn ich habe ja bereits oben "irgendeinen Punkt C" in meiner Vorraussetzung und keinen "Punkt C mit (1|1)" und wenn ich oben irgendeinen Punkt C habe, dann habe ich quasi unten auch "irgendeinen" und somit genau den Punkt C. Das ist so ähnlich wie unendlich ist unendlich (Strecke AB mit d <math>\neq</math> 0 hat genauso viele unendliche Punkte wie die Ebene in der sie als Teilmenge (!) enthalten ist) - irgendeiner ist irgendeiner :-) aber wahrscheinlich halt nicht.

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:04, 2. Jun. 2011 (CEST) 
Den Beweis kann ich nachvollziehen, aber den Kommentar bzw. die Erläuterung muss ich mir nochmal zu Gemüte führen :) --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:53, 4. Jun. 2011 (CEST)

Hier noch ein Beweis:
VSS: nkomp (A,B,C,D), A,B,C,D liegen nicht auf einer Ebene
BEH: <math>A\neq B\neq C\neq D\neq A</math>
Annahme: o.B.d.A.
<math>A\equiv B</math>

{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| 1 || A = B || Annahme
|-
| 2 || nkoll (A, C, D) || Satz aus Übung 7, Nr.6|-
| 3 || Die Punkte A, C, D spannen eine Ebene auf || Axiom 1/4
|-
| 4 ||A, C, D <math>\in</math> der Ebene|| (2), (3)
|-
| 5 || Widerspruch zur VSS, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt || (4)
|}
--[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:27, 8. Jun. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe 11)

2011-06-08T12:13:40Z

Herbst2010: /* Definition V.1: (Winkel) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> ... versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:13, 8. Jun. 2011 (CEST)
 

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====
[[Bild:Inneres_winkel.png | 400 px]]

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_eines_Winkels.htm Flashapplikation]
==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====

Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man ... (ergänzen Sie) 

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====

[[Category:Einführung_Geometrie]]