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Alles klar für die Klausuren: Heidelberger Falttechniken

2013-07-14T09:58:28Z

Illu13: /* Meinung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
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=Was soll das?=
 
Wie jedes Semester gibt es vorab eine kleine Information bezüglich der Klausuraufgaben.
In diesem Semester stehen diese Informationen unter der Bezeichnung '''Heidelberger Falttechniken'''. Selbige sind so zu verstehen, dass mittels Faltungen überprüft werden soll, ob diese oder jene Vierecksart vorliegt. Was könnte es damit bezüglich der Klausuren auf sich haben? Was könnten diese Techniken mit dem Heidelberger Winkelkreuz zu tun haben? Lassen Sie Ihren Gedanken hier freien Lauf!--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:42, 30. Jun. 2013 (CEST) 

=Meinung User ...=
Die verschiedenen Vierecksarten über die Diagonalen definieren.
Beim Heidelberger Winkelkreuz sind die Diagonalen ja bereits vorhanden, das entsprechende Viereck wird mit dem Gummi drum-herum gespannt.

Auch dient der Begriff der Parallelität zur Bestimmung eines Vierecks in beiden Modellen.

=Meinung User ...=

Die Meinung oben passt denke ich ganz gut. Da ich bisher nur allgemeine Definitionen gefunden habe,
hier die notwendigen und hinreichenden Kriterien zu den unterschiedlichen Vierecksarten (nur über Diagonale).
Wer Fehler entdeckt, bitte korrigieren.

Viereck: konkav: die Diagonalen schneiden sich nicht. konvex: die Diagonalen schneiden sich.

Trapez: nicht möglich.

Drachen: eine Diagonale ist Symmetrieachse / die Diagonalen stehen senkrecht und eine, der beiden Diagonalen wird halbiert.

Parallelogramm: die Diagonalen halbieren sich.

Raute: die Diagonalen stehen senkrecht und halbieren sich.

Rechteck: die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.

Quadrat: die Diagonalen sind gleich lang, stehen senkrecht und halbieren sich.--[[Benutzer:Hardhead|Hardhead]] 13:41, 13. Jul. 2013 (CEST)

==Ergänzung --[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 11:58, 14. Jul. 2013 (CEST)==

Man kann beim symmetrischen Trapez vielleicht noch sagen, dass der Schnittpunkt der Diagonalen auf der Symmetrieachse liegt. Die Symmetrieachse kann man ja auch einfach mit den Mittelsenkrechten der parallelen Seiten falten. Ansonsten bin ich deiner Meinung.

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 11:58, 14. Jul. 2013 (CEST)

=Meinung User ...=

=Meinung User ...=


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[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 11.09 SoSe 13

2013-07-11T17:54:16Z

Illu13: /* Lösung IIIu13 */

=Lösung IIIu13=
Gegeben seien der Winkel <math>\alpha = \angle ASB</math>, die Winkelhalbierende w von <math>\alpha</math> und der Punkt P mit <math>\overline{PA} \tilde {=} \overline{PB}</math>

z.z.: P <math>\in</math> w

Beweis:

1) <math>\overline{PA} \tilde {=} \overline{PB}</math> ; (>Voraussetzung)

2) <math>\overline{PS} \tilde {=} \overline{PS}</math> ; (>trivial)

3) Sei m die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> und M der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> ; (>Existenz der Mittelsenkrechten)

4) <math>P\in m</math> ; (>Def. Mittelsenkrechte, (1))

5) <math>\angle PBM \tilde {=} \angle PAM</math> ; (>(1),Basiswinkelsatz)

6) <math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{MB}</math> ; (>(3))

7) <math>\overline{MPB} \tilde {=} \overline{MPA}</math> ; (>(1),(5),(6),sws)

8) <math>\angle APM \tilde {=} \angle BPM</math>; (>(7))

9) <math>\overline{SBP} \tilde {=} \overline{SAP}</math> ; (>(1),(8),(2),sws)

10) <math>\angle ASP \tilde {=} \angle BSP</math>; (>(9))

11) <math>\ SP^{+} </math> ist die Winkelhalbierende w; (>(10), Def. und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

12) <math>P\in w</math>; (>(11))

''Muss ich hier explizit sagen, dass P im Inneren vom Winkel liegt? Darf ich das voraussetzen oder muss ich eine Fallunterscheidung machen?''

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 23:02, 10. Jul. 2013 (CEST)

==Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:12, 11. Jul. 2013 (CEST)==
Wir gehen davon aus, das <math>P</math> zu den Schenkeln von <math>\alpha= \angle ASB</math> ein und denselben Abstand hat. Das bedeutet nicht, dass <math>\overline{PA} \tilde= \overline{PB}</math> gilt.

===Bemerkung --[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 19:54, 11. Jul. 2013 (CEST)===

Ich habe A und B gleich so gewählt, dass sie die Lotfußpunkte von P zu den Schenkeln sind. Darf ich den Beweis auf diese Art führen, wenn ich statt A und B die Lotfußpunkte L und U wähle, die nicht identisch mit A und B sind?

[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 11.09 SoSe 13

2013-07-10T21:05:31Z

Illu13:

Gegeben seien der Winkel <math>\alpha = \angle ASB</math>, die Winkelhalbierende w von <math>\alpha</math> und der Punkt P mit <math>\overline{PA} \tilde {=} \overline{PB}</math>

z.z.: P <math>\in</math> w

Beweis:

1) <math>\overline{PA} \tilde {=} \overline{PB}</math> ; (>Voraussetzung)

2) <math>\overline{PS} \tilde {=} \overline{PS}</math> ; (>trivial)

3) Sei m die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> und M der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> ; (>Existenz der Mittelsenkrechten)

4) <math>P\in m</math> ; (>Def. Mittelsenkrechte, (1))

5) <math>\angle PBM \tilde {=} \angle PAM</math> ; (>(1),Basiswinkelsatz)

6) <math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{MB}</math> ; (>(3))

7) <math>\overline{MPB} \tilde {=} \overline{MPA}</math> ; (>(1),(5),(6),sws)

8) <math>\angle APM \tilde {=} \angle BPM</math>; (>(7))

9) <math>\overline{SBP} \tilde {=} \overline{SAP}</math> ; (>(1),(8),(2),sws)

10) <math>\angle ASP \tilde {=} \angle BSP</math>; (>(9))

11) <math>\ SP^{+} </math> ist die Winkelhalbierende w; (>(10), Def. und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

12) <math>P\in w</math>; (>(11))

''Muss ich hier explizit sagen, dass P im Inneren vom Winkel liegt? Darf ich das voraussetzen oder muss ich eine Fallunterscheidung machen?''

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 23:02, 10. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 11.09 SoSe 13

2013-07-10T21:02:17Z

Illu13: Die Seite wurde neu angelegt: „Gegeben seien der Winkel <math>\alpha = \angle ASB</math>, die Winkelhalbierende w von <math>\alpha</math> und der Punkt P mit <math>\overline{PA} \tilde {=} \ov…“

Lösung von Aufgabe 8.10 S SoSe 13

2013-06-21T14:08:45Z

Illu13: Die Seite wurde neu angelegt: „Darf ich aus <math>B \in \ gA^{+}</math> direkt folgern, dass <math>A \in \ gB^{+}</math> gilt, oder muss ich das zuerst begründen? --~~~~ [[Kategorie: Einfü…“

Darf ich aus <math>B \in \ gA^{+}</math> direkt folgern, dass <math>A \in \ gB^{+}</math> gilt, oder muss ich das zuerst begründen?

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 16:08, 21. Jun. 2013 (CEST)

[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 8.04 S SoSe 13

2013-06-19T21:07:40Z

Illu13: Die Seite wurde neu angelegt: „z.z.: M1 konvex <math>\wedge</math> M2 konvex <math>\Rightarrow</math> M1 <math>\cap</math> M2 konvex Beweis: Wir nehmen an, dass die Punkte A und …“

z.z.: M1 konvex <math>\wedge</math> M2 konvex <math>\Rightarrow</math> M1 <math>\cap</math> M2 konvex

Beweis: Wir nehmen an, dass die Punkte A und B im Durchschnitt der beiden Mengen liegt, d.h.:

<math>A \in M1 \cap M2</math> und <math> B \in M1 \cap M2</math>

<math>\Rightarrow A \in M1 \wedge B\in M1</math> und <math>A \in M2 \wedge B\in M2</math>

<math>\Rightarrow \overline{AB} \in M1</math> und <math> \overline{AB} \in M2</math>, denn laut unserer Voraussetzung sind M1 und M2 konvex (s. auch Definition IV.4).

<math>\Rightarrow \overline{AB} \in M1 \cap M2</math>

<math>\Rightarrow M1 \cap M2</math> ist konvex (Def.IV.4). q.e.d.

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 23:07, 19. Jun. 2013 (CEST)
[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 8.03 S SoSe 13

2013-06-19T20:32:01Z

Illu13:

Ich würde mal folgendes behaupten:
1. Punkt / Halbgerade
2. Gerade/ Halbebene
3. Eindimensional
4. Zweidimensional

zu 5., 6., 7. bin ich mir nicht sicher aber ich versuche es dennoch:

5. eindimensional
6. eindimensional
7. n-1 (Wobei es bei der Geraden mit dem Punkt als Trenner keinen Sinn machen würde, da es dann keine Dimension hätte,wenn ich richtig liegen würde.)

[Hoffentlich könnt ihr mir zeigen wo mein Gedankenfehler liegt. Hoffentlich ist nicht alles hierbei Falsch.]--[[Benutzer:Laleoba|Laleoba]] 22:43, 18. Jun. 2013 (CEST)

Du hast recht. Das liegt glaub daran, dass ein Punkt keine Dimension hat, denn ein Punkt hat ja auch keine Richtung. Und tatsächlich habe ich "nulldimensional" zunächst googeln müssen, bevor ich es auf mein Blatt geschrieben habe! :D

Somit würde die letzte Aussage also stimmen. Die anderen Lücken habe ich auch so.

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 13:09, 19. Jun. 2013 (CEST)

[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 8.07 S SoSe 13

2013-06-19T20:31:08Z

Illu13:

Geht es hier darum, um das Innere vom konvexen Viereck allgemein zu definieren oder muss man unbedingt eine Vereinigungsmenge angeben? Ich dachte da nämlich eher an eine Schnittmenge:

Innere von <math>\overline{ABCD}</math> := Innere vom Winkel <math> \left| \angle ABC \right| \ \cap </math> Innere vom Winkel <math> \left| \angle CDA\right|</math>

Vorausgesetzt natürlich, dass die Begriffe "Winkel" und "Innere eines Winkels" bereits definiert sind (s. Skript zu "Winkel").

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 13:27, 19. Jun. 2013 (CEST)

[[Kategorie: Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 8.07 S SoSe 13

2013-06-19T11:27:08Z

Illu13: Die Seite wurde neu angelegt: „Geht es hier darum, um das Innere vom konvexen Viereck allgemein zu definieren oder muss man unbedingt eine Vereinigungsmenge angeben? Ich dachte da nämli…“

Lösung von Aufgabe 8.03 S SoSe 13

2013-06-19T11:09:48Z

Illu13:

Lösung von Aufgabe 7.09 S SoSe 13

2013-06-13T20:38:13Z

Illu13: Die Seite wurde neu angelegt: „Gegeben seien die Geraden a,b,c in einer Ebene mit <math>a\neq b\neq c\neq a</math> (sie sind nicht identisch). Desweiteren gilt: <math>\ a \cap b = \{C\} \wedge…“

Gegeben seien die Geraden a,b,c in einer Ebene mit <math>a\neq b\neq c\neq a</math> (sie sind nicht identisch).

Desweiteren gilt: <math>\ a \cap b = \{C\} \wedge \ b \cap c = \{A\} \wedge \ a \cap c = \{B\}</math>

Unter einem Dreieck versteht man die Menge <math>\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>.

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 22:38, 13. Jun. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 7.08 S SoSe 13

2013-06-13T20:23:16Z

Illu13:

Teilt man einen Kreis durch eine Gerade,welche durch seinen Mittelpunkt geht, so entstehen zwei kongruente Halbkreise.
Man kann den Halbkreis auch als Kreisausschnitt sehen,der einen Winkel von 180° besitzt, und als Sehne den Durchmesser besitzt. --[[Benutzer:Laleoba|Laleoba]] 12:24, 13. Jun. 2013 (CEST)

Alternative:

Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und g eine Gerade durch M (<math>M\in g</math> ). Die Schnittpunkte von der Geraden mit dem Kreis seien S und S' (<math>\ g \cap k</math> = {S,S'}).
Desweiteren sei Punkt A <math>\in</math> k gegeben mit A <math>\not\in</math> g.

<math>\ 1.Halbkreis := \{P\in k|\overline{AP} \cap g \neq \phi \}
</math>
<math>\ 2.Halbkreis := \{Q\in k|\overline{AQ} \cap g = \phi \} \cup \{S,S'\}
</math>

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 22:23, 13. Jun. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.07 S SoSe 13

2013-06-06T19:07:11Z

Illu13: /* Lösung User ... */

Lösung von Aufgabe 6.04 S SoSe 13

2013-06-06T18:22:45Z

Illu13: /* Lösung User ... */

Lösung von Aufgabe 5.10 S SoSe 13

2013-05-30T22:24:05Z

Illu13: /* Lösung User ... */

Lösung von Aufgabe 5.06 S SoSe 13

2013-05-30T21:41:30Z

Illu13: /* Lösung User ... */

Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13

2013-05-30T20:40:37Z

Illu13: /* Lösung User --Illu13 22:32, 30. Mai 2013 (CEST) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=80%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

== Aufgabe 5.04 ==
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
 

 

==Lösung User --[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)==

1. Es seien A, B und C drei Punkte. Wenn A, B und C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.

2. Annahme: A, B und C sind nicht paarweise verschieden

Annahme impliziert: mind. 2 Punkte sind identisch

Widerspruch zur Voraussetzung, dass A, B und C kollinear sind

3. Wenn A, B und C kollinear sind, dann sind sie nicht paarweise verschieden.

4. koll(A, B, C) impliziert: es gibt eine Gerade g, mit der alle drei Punkte inzidieren

A, B und C sind deshalb nicht paarweise verschieden.

5. A, B und C sind paarweise verschieden, wenn sie nicht kollinear sind.

6. Ja

--[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)
===Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:12, 28. Mai 2013 (CEST)===
1. korrekt 
2. Der Ansatz geht in Ordnung, es bedarf einer genaueren Begründung. 
3. korrekt 
4. wie bei 2. 
5. Das ist nicht die Umkehrung.(auch wenn es zunächst so aussieht) 
6. Folgefehler, da 5. nicht korrekt gelöst.

==Lösung User --[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 22:40, 30. Mai 2013 (CEST)==

zu 2.

Annahme: Drei Punkte A,B,C sind nicht paarweise verschieden.

<math>\Rightarrow</math> <math>\ A = B \vee A = C \vee B = C </math>

1. Fall: A = B = C trivial.

2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B <math>\neq</math> C)

<math>\Rightarrow</math> (Axiom I/2) <math>\exists</math>Gerade g: A <math>\in</math> g <math>\wedge</math> C <math>\in</math> g (Gerade {A,C}) und <math>\exists</math>Gerade h: B <math>\in</math> h <math>\wedge</math> C <math>\in</math> h (Gerade {B,C})

Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. <math>\Rightarrow</math> koll(A,B,C) <math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d.

zu 4.

Annahme: Drei Punkte A,B,C sind paarweise verschieden.

<math>\Rightarrow</math> (Axiom I/3) Die Punkte A,B,C indizieren nicht gemeinsam mit der selben Geraden.

<math>\Rightarrow</math> nkoll(A,B,C), was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

zu 5.

Wenn drei Punkte paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.

zu 6.

Stimmt nicht, da alle Punkte auf derselben Geraden liegen könnten. (Dies wäre übrigens ein Sonderfall für den Beweis oben (s.4.).)

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 22:40, 30. Mai 2013 (CEST)

==Lösung User ...==

zurück zu [[Serie 5 SoSe 2013]]

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</div>
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13

2013-05-30T20:32:29Z

Illu13: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=80%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

== Aufgabe 5.04 ==
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
 

 

==Lösung User --[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)==

1. Es seien A, B und C drei Punkte. Wenn A, B und C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.

2. Annahme: A, B und C sind nicht paarweise verschieden

Annahme impliziert: mind. 2 Punkte sind identisch

Widerspruch zur Voraussetzung, dass A, B und C kollinear sind

3. Wenn A, B und C kollinear sind, dann sind sie nicht paarweise verschieden.

4. koll(A, B, C) impliziert: es gibt eine Gerade g, mit der alle drei Punkte inzidieren

A, B und C sind deshalb nicht paarweise verschieden.

5. A, B und C sind paarweise verschieden, wenn sie nicht kollinear sind.

6. Ja

--[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)
===Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:12, 28. Mai 2013 (CEST)===
1. korrekt 
2. Der Ansatz geht in Ordnung, es bedarf einer genaueren Begründung. 
3. korrekt 
4. wie bei 2. 
5. Das ist nicht die Umkehrung.(auch wenn es zunächst so aussieht) 
6. Folgefehler, da 5. nicht korrekt gelöst.

==Lösung User --[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 22:32, 30. Mai 2013 (CEST)==

zu 2.

Annahme: Drei Punkte A,B,C sind nicht paarweise verschieden.

<math>\Rightarrow</math> <math>\ A = B \vee A = C \vee B = C </math>

1. Fall: A = B = C trivial.

2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B <math>\neq</math> C)

<math>\Rightarrow</math> (Axiom I/2) <math>\exists</math>Gerade g: A <math>\in</math> g <math>\wedge</math> C <math>\in</math> g (Gerade {A,C}) und <math>\exists</math>Gerade h: B <math>\in</math> h <math>\wedge</math> C <math>\in</math> h (Gerade {B,C})

Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. <math>\Rightarrow</math> koll(A,B,C) <math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d.

zu 4.

Annahme: Drei Punkte A,B,C sind paarweise verschieden.

<math>\Rightarrow</math> (Axiom I/3) Die Punkte A,B,C indizieren nicht gemeinsam mit der selben Geraden.

<math>\Rightarrow</math> nkoll(A,B,C), was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 22:32, 30. Mai 2013 (CEST)

==Lösung User ...==

zurück zu [[Serie 5 SoSe 2013]]

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[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13

2013-05-30T20:03:24Z

Illu13: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=80%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

== Aufgabe 5.04 ==
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
 

 

==Lösung User --[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)==

1. Es seien A, B und C drei Punkte. Wenn A, B und C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.

2. Annahme: A, B und C sind nicht paarweise verschieden

Annahme impliziert: mind. 2 Punkte sind identisch

Widerspruch zur Voraussetzung, dass A, B und C kollinear sind

3. Wenn A, B und C kollinear sind, dann sind sie nicht paarweise verschieden.

4. koll(A, B, C) impliziert: es gibt eine Gerade g, mit der alle drei Punkte inzidieren

A, B und C sind deshalb nicht paarweise verschieden.

5. A, B und C sind paarweise verschieden, wenn sie nicht kollinear sind.

6. Ja

--[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)
===Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:12, 28. Mai 2013 (CEST)===
1. korrekt 
2. Der Ansatz geht in Ordnung, es bedarf einer genaueren Begründung. 
3. korrekt 
4. wie bei 2. 
5. Das ist nicht die Umkehrung.(auch wenn es zunächst so aussieht) 
6. Folgefehler, da 5. nicht korrekt gelöst.

==Lösung User ...==

zu 2.

Annahme: Drei Punkte A,B,C sind nicht paarweise verschieden.

<math>\Rightarrow</math> <math>\ A = B \vee A = C \vee B = C </math>

1. Fall: A = B = C trivial.

2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B <math>\neq</math> C)

<math>\Rightarrow</math> (Axiom I/2) <math>\exists</math>Gerade g: A <math>\in</math> g <math>\wedge</math> C <math>\in</math> g (Gerade {A,C}) und <math>\exists</math>Gerade h: B <math>\in</math> h <math>\wedge</math> C <math>\in</math> h (Gerade {B,C})

Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. <math>\Rightarrow</math> koll(A,B,C) <math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d.

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 21:48, 30. Mai 2013 (CEST)

==Lösung User ...==

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</div>
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13

2013-05-30T19:48:45Z

Illu13: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=80%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
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== Aufgabe 5.04 ==
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
 

 

==Lösung User --[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)==

1. Es seien A, B und C drei Punkte. Wenn A, B und C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.

2. Annahme: A, B und C sind nicht paarweise verschieden

Annahme impliziert: mind. 2 Punkte sind identisch

Widerspruch zur Voraussetzung, dass A, B und C kollinear sind

3. Wenn A, B und C kollinear sind, dann sind sie nicht paarweise verschieden.

4. koll(A, B, C) impliziert: es gibt eine Gerade g, mit der alle drei Punkte inzidieren

A, B und C sind deshalb nicht paarweise verschieden.

5. A, B und C sind paarweise verschieden, wenn sie nicht kollinear sind.

6. Ja

--[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:37, 28. Mai 2013 (CEST)
===Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:12, 28. Mai 2013 (CEST)===
1. korrekt 
2. Der Ansatz geht in Ordnung, es bedarf einer genaueren Begründung. 
3. korrekt 
4. wie bei 2. 
5. Das ist nicht die Umkehrung.(auch wenn es zunächst so aussieht) 
6. Folgefehler, da 5. nicht korrekt gelöst.

==Lösung User ...==

zu 2.

Annahme: Drei Punkte A,B,C sind nicht paarweise verschieden.

<math>\Rightarrow</math> <math>\ A = B \vee A = C \vee B = C </math>

1. Fall: A = B = C <math>\Rightarrow</math> Widerspruch zu Axiom I/2
<math>\Rightarrow</math> nkoll(A,B,C)
<math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung

2. Fall: nur zwei der drei Punkte sind identisch (o.B.d.A. A = B <math>\neq</math> C)

<math>\Rightarrow</math> (Axiom I/2) <math>\exists</math>Gerade g: A <math>\in</math> g <math>\wedge</math> C <math>\in</math> g (Gerade {A,C})
<math>\exists</math>Gerade h: B <math>\in</math> h <math>\wedge</math> C <math>\in</math> h (Gerade {B,C})

Da wir A = B angenommen haben, folgt daraus g = h. Das ist aber ein Widerspruch zu Axiom I.1.

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 21:48, 30. Mai 2013 (CEST)

==Lösung User ...==

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[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 5.01 S SoSe 13

2013-05-29T14:45:25Z

Illu13: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=80%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

==Aufgabe 5.01==
Wir betrachten das folgende Modell <math>\mathbb{M}:=(\mathbb{P}, \mathbb{G}, \operatorname{inz})</math> für die Inzidenzgeometrie: 
Modellpunkte <math>\mathbb{P}</math>: 
<math>\mathbb{P} := \{A,B,C,D\}</math> 
Modellgeraden <math>\mathbb{G}</math>: 
<math>\mathbb{G} = \{\{A,B\}, \{A,C\}, \{A,D\}, \{B,C\}, \{B,D\}}</math> 
Inzidenz <math>\operatorname{inz}</math>: Elementbeziehung: Ein Punkt <math>P</math> inzidiert mit einer Geraden <math>g</math> , wenn er zu <math>g</math> gehört: <math>P \operatorname{inz} g :\Leftrightarrow P \in g</math>
 
a) Warum ist <math>\mathbb{M}</math> kein Modell für die ebene Inzidenzgeometrie? 
b) Ergänzen Sie <math>\mathbb{M}</math> derart, dass alle Axiome der ebenen Inzidenz erfüllt sind.
 

 

==Lösung User ...==

1. In Axiom I/1 heißt es „Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit diesen beiden Punkten inzidiert“. Bei G ist die Gerade G = {C,D} nicht genannt. Entweder C und D sind identisch oder das Modell ist unvollständig. Sind C und D identisch, so ist das Modell in der Ebene.

Was mir noch nicht ganz klar ist: Woher weiß ich, ob die Punkte in der Ebene oder im Raum angeordnet sind? Die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie beziehen sich ja auf drei Punkte, aber hier sind es ja vier Punkte, sie können also in der Ebene oder im Raum angeordnet werden?!?

2. G = { {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D} {C,D} }

--[[Benutzer:Userin24|Userin24]] 20:19, 28. Mai 2013 (CEST)

Heißt es nicht "ebene Inzidenzgeometrie", gerade weil sich alles in einer Ebene abspielt? ^^

Ich stimme der Lösung von "Userin24" zu. Desweiteren habe ich mich gefragt, ob die Punkte A,D,C theoretisch nicht auf einer Geraden liegen könnten, weil die Gerade {C,D} nicht angegeben ist. Würde das dann nicht auch dem Axiom I/3 widersprechen?

--[[Benutzer:Illu13|Illu13]] 16:36, 29. Mai 2013 (CEST)

==Lösung User ...==

==Lösung User ...==

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Lösung von Aufgabe 5.01 S SoSe 13

2013-05-29T14:36:40Z

Illu13: /* Lösung User ... */