Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-15T20:51:19Z

Jaena33: /* Arbeitsphase */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden.JPG|thumb|Beispiel]]

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ''Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===
[[Datei:Zentrische Streckung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und zentrischen Streckungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)==
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Kongruenzabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)==
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)==
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Affinitätsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

==Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)==
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-15T20:50:42Z

Jaena33: /* Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden.JPG|thumb|Beispiel]]

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ''Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===
[[Datei:Zentrische Streckung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und zentrischen Streckungen]]

Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Kongruenzabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Affinitätsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-15T20:50:11Z

Jaena33: /* Arbeitsphase */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden.JPG|thumb|Beispiel]]

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ''Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===
[[Datei:Zentrische Streckung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und zentrischen Streckungen]]

Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Kongruenzabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Affinitätsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-15T20:48:08Z

Jaena33: /* Arbeitsphase */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden.JPG|thumb|Beispiel]]

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ''Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===

Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Zentrische Streckung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und zentrischen Streckungen]]

Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Kongruenzabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

[[Datei:Affinitätsabbildung.JPG|thumb|Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

Datei:Zentrische Streckung.JPG

2019-07-15T20:47:01Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und zentrischen Streckungen}}
|date=2019-07-15 22:45:06
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Kongruenzabbildung.JPG

2019-07-15T20:47:01Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen}}
|date=2019-07-15 22:45:04
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Ähnlichkeitsabbildung.JPG

2019-07-15T20:47:00Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen}}
|date=2019-07-15 22:45:04
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Affinitätsabbildung.JPG

2019-07-15T20:47:00Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Arbeitsblatt: Lösung zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen}}
|date=2019-07-15 22:45:05
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-15T20:44:13Z

Jaena33: /* Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden.JPG|thumb|Beispiel]]

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ''Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===

Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Zentrische Streckung|Arbeitsblatt (Lösung) Abbildungsgeometrie und zentrische Streckung]]

Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Kongruenzabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

[[Datei:Affinittabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

Datei:Zentrische Streckungen.JPG

2019-07-15T20:43:14Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Arbeitsblatt (Lösungen) zur Abbildungsgeometrie und zentrische Streckungen}}
|date=2019-07-15 22:40:06
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Ähnlichkeitsabbildungen.JPG

2019-07-15T20:43:13Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Arbeitsblatt (Lösungen) zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen}}
|date=2019-07-15 22:40:04
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Kongruenzabbildungen.JPG

2019-07-15T20:43:13Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Arbeitsblatt (Lösungen) zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen}}
|date=2019-07-15 22:40:06
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Affinitätsabbildungen.JPG

2019-07-15T20:43:12Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Arbeitsblatt (Lösungen) zur Abbildungsgeometrie und Affinitätabbildungen}}
|date=2019-07-15 22:40:05
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Affinität von Seitenhalbierenden.JPG

2019-07-15T20:43:12Z

Jaena33: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Beispiel}}
|date=2019-07-15 22:35:06
|source={{own}}
|author=[[User:Jaena33|Jaena33]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-15T20:33:12Z

Jaena33: /* Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden|miniatur|Beweis zum Satz der Teilverhältnisse]]

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ''Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===

Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Zentrische Streckung|Arbeitsblatt (Lösung) Abbildungsgeometrie und zentrische Streckung]]

Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Kongruenzabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

[[Datei:Affinittabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 10

2019-07-15T20:32:27Z

Jaena33: /* Dokumentation der Sitzung */

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1cDNSwm9YmBfwCMzOM_zXz7KXrFuQi81cJ3TNDY9F8Fs/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 12.07.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==
===Aufwärmübung ===
Als Aufwärmübung hatten wir eine Gerade mit 3 Punkten, von denen zwei nicht auf der Gerade lagen und sich auf der gleichen Seite der Gerade befanden. Der dritte Punkt war ein beliebiger Punkt auf der Gerade. Die Gerade war ein Fluss und die anderen beiden Punkte waren Bob und Alice. Die Frage war nun, welches die kürzeste Strecke von Alice zu Bob ist.

Die ersten Vorschläge waren:
* Der kürzeste Weg ist der, bei dem die Strecke Alice - Fluss und Fluss - Bob den gleichen Abstand haben.

Daraufhin gab es einen Hinweis: Angenommen wir wollen von Alice zu Bob. Was wäre dort die kürzeste Strecke? - Die direkte Verbindung
* Alice soll den Mittelpunkt eines Kreises darstellen. Die Strecke Alice - Bob bildet den Radius. Der Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade Fluss schneiden, soll den Punkt auf der Gerade darstellen - Frage: Wenn es zwei Schnittpunkte gibt, welches ist der richtige Punkt? Gibt es eine kürzere Verbindung?
* Man zieht eine Senkrechte von Bob zum Fluss. Der Schnittpunkt mit der Geraden stellt den Punkt dar, wo man den Fluss überqueren soll. Auch hier: Gibt es eine kürzere Verbindung?

'''Lösung:'''

Man spiegelt den Punkt Bob an der Gerade Fluss (Fluss = Spiegelgerade). Anschließend zieht man eine direkte Verbindung von Alice zum Spiegelpunkt Bob'. Der Schnittpunkt der Strecke Alice - Bob' mit der Geraden Fluss ist der dritte Punkt. Anschließend wird zurückgespiegelt. Der kürzeste Weg ist dann von Alice zum Schnittpunkt der Strecke Alice-Bob' zu Bob.

=== Abbildungsgeometrischer Zugang ===
Die Geometrischen Abbildungen in der Euklidischen Anschauungsebene sind Längentreue Abbildungen, aus denen Winkeltreue Abbildungen und Geradentreue Abbildungen folgen. Aus den Winkeltreuen Abbildungen lassen sich die Streckenverhältnistreuen Abbildungen ableiten und aus den Geradentreuen Abbildungen, die Parallelentreue und die Teilverhältnistreuen Abbildungen.

Bei den Winkeltreuen und Streckenverhältnistreuen Abbildungen geht es insbesondere um:
* zentrische Streckungen
* Strahlensätze
* Teilung/Vervielfältigung von Strecken

Bei den Längentreuen Abbildungenn unterscheidet man zwischen ,,eigentlichen Bewegungen'', wie die Verschiebung und die Drehung und den ,,uneigentlichen Bewegungen'', wie den Spiegelungen und den Schubspiegelungen. Dabei spielen die umeigentlichen Bewegungen wie Spiegelung und Schubspiegelung schon in der Grundschule eine Rolle. Die Klassifikation von geometrischen Figuren durch Deckabbildungen ist zur heutigen Zeit verschwunden in den Schulen.

==== Begriffe der Abbildungsgeometrie in der Schule ====
In der Schule unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und Affinen Abbildungen.

Zu den Kongruenzabbildungen gehören:
* Verschiebungen (z.B. Vektoren)
* Drehungen (z.B. Winkel)
* Spiegelungen
* Symmetrie (z.B. Achsen- und Punktsymmetrie)
* Haus der Vierecke (Deckabbildungen)

Zu den Ähnlichkeitsabbildungen gehören:
* zentrische Streckung (Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich durch eine zentrische Streckung verändern)
* erster und zweiter Strahlensatz (Der erste und zweite Strahlensatz kann in der Schule nicht gut bewiesen werden, da man intuitiv die Strahlensätze beispielsweise beim Beweis der zentrischen Streckung schon benutzt, ohne sie zuvor zu beweisen)
* Strecken teilen und vervielfältigen

Die Affinen Abbildungen sind kein Thema mehr in der Schule. Es werden nur noch teilweise Teilverhältnisse thematisiert.

Beispiel: Sätze über Teilverhältnisse.

Man kann die Seitenhalbierenden eines Dreiecks bilden und sieht, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden. Diese Ähnlichkeit der beiden Dreiecke kann man nutzen, um das Verhältnis 2:1 zu zeigen. Dreieck ABD ist ähnlich zu Dreieck AFE, weil sie im rechten Winkel und einem zweiten Winkel übereinstimmen (Winkelsummensatz: Wenn zwei Winkel gleich sein, ist der dritte ebenso identisch). Die Ähnlichkeit ist definiert über zwei, bzw. drei gleiche Winkel. Durch die Affinität der Seitenhalbierenden, kann man dies in jedem Dreieck erzeugen.

[[Datei:Affinität von Seitenhalbierenden|miniatur|Beweis zum Satz der Teilverhältnisse]]

=== Zusammenfassung: Gründe für die Abbildungsgeometrie===

* Universelle mathematische Idee: Abbildung und Gruppen
* Funktionales Denken: Dynamische und elementarkinematische Denkweise
* Anschaulichkeit und Handlungsbezogenheit: SuS-Aktivitäten möglich(er)
* ,,Strukturverwandschaft'' mit allgemeinen Denkhandlungen
* Globale Ordnung: durchgängiges Prinzip beim Geometrietreiben
* Lokale Ordnung: Abbildungsbeweise auf verschiedenen Stufen der Strenge möglich

=== Arbeitsphase===

Bearbeitungsauftrag (Zentrische Streckungen)
# Beschreiben Sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P für den Fall, dass Abbildungsverhalten durch einen Punkt und seinen Bildpunkt vorgegeben ist.
# Beschreiben sie die Konstruktion einer zentrischen Streckung angewendet auf den Punkt P mit rationalem Streckfaktor k =n/m

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Hilfsgerade g durch Z zeichnen
* beliebiges r auf g m-mal abtragen
* m-ten Schnittpunkt Q mit P verbinden
* Parallele durch n-ten Schnittpunkt (R) zu PQ zeichnen
* Schnittpunkt von ZP und Parallele n ist Bildpunkt P'

[[Datei:Zentrische Streckung|Arbeitsblatt (Lösung) Abbildungsgeometrie und zentrische Streckung]]

Bearbeitungsauftrag (Kongruenzabbildungen)
# Zeigen Sie, dass eine Kongruenzabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Kreis1 um B mit Radius BP
* Kreis2 um A mit Radius AP
* Schnittpunkt von K1 und K2{P1, P2}
* Wähle P nun so, wie das Verhalten von C zur Strecke AB ist.

[[Datei:Kongruenzabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Kongruenzabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Ähnlichkeitsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Ähnlichkeitsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt von P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

'''Konstruktionsbeschreibung:'''
* Dreieck ABC in Dreieck A'B'C' abtragen -> B ist Element der Strecke A'B', C ist Element der Strecke A'C' und A = A'
* Gerade durch A' und P und Gerade durch C und P
* Parallele zur Strecke CP durch C' ist g
* Schnittpunkt von g und der Strecke A'P ist P'

Alternativ kann man auch den Winkeln PAB und PBA in das Dreieck A'B'C' abtragen. Der Schnittpunkt ist dann P'

[[Datei:Ähnlichkeitsabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Ähnlichkeitsabbildungen]]

Bearbeitungsauftrag (Affinitätsabbildung)
# Zeigen Sie, dass eine Affinitätsabbildung bereits durch ihr Verhalten auf einem Dreieck eindeutig bestimmt ist. Konstruieren Sie dazu den Bildpunkt P.
# Funktioniert Ihre Konstruktionsbeschreibung auch, wenn P an einem anderen Ort liegt? (Innerhalb des Dreiecks, auf dem Dreieck)

[[Datei:Affinittabbildung|Arbeitsblatt (Lösung) zur Abbildungsgeometrie und Affinitätsabbildungen]]

== Nachbereitungsauftrag ==

Lesen Sie in Bender (1982) [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion] die Seiten 17 bis 18 (Abschnitt 2.6 ''Zusammenfassung der Begründung'' und Abschnitt 3 ''Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?'' bis ''Argument A'').

# Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Vorteile Sie in dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.
# Skizzieren Sie einen möglichen Themenausschnitt/SuS-Aktivität/…, von der Sie sich gut vorstellen könnten, diese mit einem abbildungsgeometrischen Zugang später selber zu unterrichten.

=== Ergebnisse des Nachbereitungsauftrags ===

==== ====

== Literaturhinweise ==

* Bender (1982). [http://digital.ub.uni-paderborn.de/hsx/content/titleinfo/42141 Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion]. In ''Zentralblatt für Didaktik der Mathematik''.
* Graumann et al. (1996). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338831 Tendenzen der Geometriedidaktik der letzten 20 Jahre]. In ''Journal für Mathematik-Didaktik''.
* Filler (2016). [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0158-z Weg von Euklid ⋅ und wieder zurück?]. In ''Mathematische Semesterberichte''.
* Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].
* Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-06T07:59:14Z

Jaena33: /* Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

==== Reaktion von Jana ====
Ich würde ebenfalls zuerst den Schüler für die richtige Antwort loben und anschließend interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Zudem würde ich ihm nahebringen, dass er trotz richtiger Antwort, seine Lösung durch die Zirkelvariante kontrolliert und damit Übung auch auf diesem Weg bekommt. Ich würde hinzufügen, dass es in der Zukunft nicht immer nur um die Ergebnisse der S Schüler, sondern auch um den Weg zur Lösung gehen würde und deshalb wichtig ist auch die herkömmliche Methode zu beherrschen, da er sonst bei komplexeren Aufgaben eventuell vor Schwierigkeiten steht.

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
||

||
[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp

Eigenes Werkzeug: https://www.geogebra.org/classic/zkkysctm
||
https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
||
[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
[[Datei:A1.jpg|thumb|Zirkel und Lineal]]
||
[[Datei:B.jpg|thumb|Geodreieck]]
||
[[Datei:C.jpg|thumb|Falten]]
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
||
https://ggbm.at/snqcdzrw
||
https://ggbm.at/xx8a48hw
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
(Nicht möglich.)
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
(Nicht möglich.)
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
(Nicht möglich.)
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
#Zeichne die Strecke MP.
#Konstruiere die Mittelsenkrechte mAP zu den Punkten M und P. Der Schnittpunkt der Strecke AP mit der Mittelsenkrechten mAP wird als MMP bezeichnet.
#Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt MMP und Radius AMMP. Die zwei Schnittpunkte der zwei Kreise sind nach dem Satz des Thales die Berührpunkte der Tangenten B und B'.
#Zeichne die Gerade durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne den Strahl SMP, welcher bei M beginnt und durch P geht.
# Zeichne einen Kreis k an P mit Radius der Strecke MP. Der Schnittpunkt des Kreises k mit dem Strahl SMP wird mit 2P gekennzeichnet.
# Konstruiere die Mittelsenkrechte mM2P. Diese entspricht der gesuchten Tangente tP.
||
Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Messe die Strecke AP.
# Berechne die Strecke BP = B'P mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
# Messe die Strecke BP bzw. B'P am Punkt P ab, s.d. Punkt B bzw. B' auf der Kreislinie liegt.
# Verlängere die Strecke BP und B’P zu Geraden durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne die Strecke MP und verlängere sie gegebenenfalls.
# Lege die Strecke MP auf die Mittellinie des Geodreiecks (das Lot des Geodreiecks) und zeichne die Tangente tP durch den Punkt P an der Zeichenkante ab.
||
Ausgangskonfiguration (?): Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Falte die Verbindungslinie durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte A auf P (Origami-Axiom 3). Der Schnittpunkt der Faltkanten wird mit MMP bezeichnet.
# Falte P auf die Kreislinie, s.d. die Faltkante durch M' geht [2x] (abgewandeltes Origami-Axiom 4). Die zu P entsprechenden Punkt auf dem Kreis sind die Berührpunkte B und B'.
# Falte die Gerade durch B und P bzw. durch B' und P.

Ausgangskonfiguration 2: Mittelpunkt M und der Kreispunkt P ist gegeben.
# Falte die Verbindungslinie lAP durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte die Verbindungslinie lAP auf sich selbst durch den Punkt P (Origami-Axiom 5). Die neue Faltlinie entspricht der Tangente tP durch den Punkt P.

|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

|-
! Planskizze
||
Bild
||
Bild
||
Bild
|-
! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

Benutzer:Jaena33

2017-12-12T09:31:16Z

Jaena33:

[[Übung 00]]
:
[[Die zyklische Gruppe Ordnung 4]]

Übung 00

2017-11-28T10:31:02Z

Jaena33: /* Potenz eines Gruppenelementes */

=Potenz eines Gruppenelementes=
Es sei <math>[G, \oplus]</math>. 
Ferner sei <math>g \in G</math> 
<math>g^4:=g \oplus g \oplus g \oplus g </math> 
<math>g^n:= \underbrace {g \oplus g \oplus \ldots \oplus g}_{n-mal}</math>

Benutzer:Jaena33

2017-11-28T10:17:04Z

Jaena33: Die Seite wurde neu angelegt: „Übung 00“

[[Übung 00]]