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Größenbereiche

2011-12-17T18:41:11Z

Jbo-sax: /* Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET) 
Ich würde in diesem Zusammenhang eher von der Menge anstatt der Masse sprechen.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:03, 11. Dez. 2011 (CET) 
Wäre Menge nicht eher eine Zusammenfassung von Elementen? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 14:00, 13. Dez. 2011 (CET) 

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 
Frage: Ist nur die Relation "kleiner-gleich" eine Ordnungsrelation? Oder können andere Relationen auch Ordnungsrelationen sein?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:19, 24. Nov. 2011 (CET)

=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

 Frage:
 Warum handelt es sich (rein mathematisch betrachtet) bei der Temperatur nicht um einen Größenbereich?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:20, 4. Dez. 2011 (CET) 
Meiner Meinung nach handelt es sich bei der Temperatur um einen Größenbereich, da alle Punkte der Definition erfüllt werden... 
Wo siehst du das Problem, Löwenzahn?--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:09, 11. Dez. 2011 (CET) 
Wenn man davon ausgeht, dass die Temperatur in Kelvin gemessen wird, und es dabei einen absoluten Nullpunkt gibt, dann treten keine negativen Werte auf. Bei der Temperaturmessung in Grad Celsius aber schon. Ich habe gelesen, dass die Temperatur keinen Größenbereich darstellt. Ich meine, damit hat es was zu tun, allerdings fehlt mir grad die exakte Begründung!?!?! Kannst du, Jbo-sax, erklären, weshalb es deiner Meinung nach um einen Größenbereich handelt? Danke - --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 13:46, 13. Dez. 2011 (CET) 
 
Ich behaupte, dass es sich bei Kalvin im Gegensatz zu Celsius um eine Größe handelt. Begründung: Kalvin erfüllt tatsächlich alle Punkte der Definition, weil nur positive Zahlen. Celsius allerdings erfüllt nicht den Punkt der Kommutativität, da Zahlen negativ sein können a-b ist ungleich b-a! --[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 15:17, 15. Dez. 2011 (CET) 
 
Hallo Löwenzahn, Gänseblümchen hat bereits meine Begründung geliefert, da nur bei Celsius die Kommutativität und die Assoziativität nicht erfüllt sind, da es auch negative Temperaturen gibt, bei Kelvin hingegen sind meiner Meinung nach alle Punkte erfüllt. 
Ich habe eben noch gelesen, dass Streckenlängen auch nicht die Kommensurabilität erfüllen. Wenn man definiert, dass alle Strecken nach rechts positiv sind und alle Strecken nach links negative Vorzeichen erhalten, bin ich damit einverstanden, da wieder Assoziativität und Kommutativität nicht erfüllt sind. Plädiert man hingegen dafür, dass nur die Beträge der Längen beachtet werden und nicht deren Richtung, so ist die Kommensurabilität meiner Auffassung nach erfüllt, da es dann einen Nullpunkt und demnach nur positive Werte gibt, sodass Assoziativität und Kommutativität erfüllt sind. 
Korrigiert mich bitte, falls ich falsch liegen sollte...--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 19:41, 17. Dez. 2011 (CET)

Größenbereiche

2011-12-11T08:09:32Z

Jbo-sax: /* Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET) 
Ich würde in diesem Zusammenhang eher von der Menge anstatt der Masse sprechen.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:03, 11. Dez. 2011 (CET)

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 
Frage: Ist nur die Relation "kleiner-gleich" eine Ordnungsrelation? Oder können andere Relationen auch Ordnungsrelationen sein?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:19, 24. Nov. 2011 (CET)

=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

 Frage:
 Warum handelt es sich (rein mathematisch betrachtet) bei der Temperatur nicht um einen Größenbereich?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:20, 4. Dez. 2011 (CET) 
Meiner Meinung nach handelt es sich bei der Temperatur um einen Größenbereich, da alle Punkte der Definition erfüllt werden... 
Wo siehst du das Problem, Löwenzahn?--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:09, 11. Dez. 2011 (CET)

Größenbereiche

2011-12-11T08:03:58Z

Jbo-sax: /* Volumina */

=Beispiele=
==Masse==
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die ''träge Masse''.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man ''schwere Masse''.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

{{#ev:youtube|BcbF_gv7fbY}}

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/waage_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 

Letztlich definieren wir auf der Menge <math>\mathbb{K} </math>aller Körper eine Relation ''gleich schwer'':
<math>\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i</math> und <math>K_j</math>halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

==Gewicht==
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt.
Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

{{#ev:youtube|mdrBRWOBOH8}}

==Längen==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
 Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

==Flächeninhalte==
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde. 
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

==Volumina==
Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde.
Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:09, 24. Nov. 2011 (CET) 
Ich würde in diesem Zusammenhang eher von der Menge anstatt der Masse sprechen.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:03, 11. Dez. 2011 (CET)

==Geld/Preise==
Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde.
Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

=Größen als Äquivalenzklassen=
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation ''gleichschwer'' auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

# Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> dann ist auch <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math>
# Wenn <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_2</math> und <math>K_2</math> gleichschwer <math>K_3</math> dann <math>K_1</math> gleichschwer <math>K_3</math>

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

# Repräsentantenebene
# KLassenebene
# Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
=Vergleichen von Größen=
Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

# irreflexiv
# asymmetrisch
# transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
# reflexiv (<math>\forall a \in A: aRa</math>, wobei A eine beliebige Menge sei),
# antisymmetrisch (<math>\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b</math>)und
# transitiv (<math>\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc</math>)
oder gehe ich fehl? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe ''Halbordnung'', ''Ordnung'' etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 
Frage: Ist nur die Relation "kleiner-gleich" eine Ordnungsrelation? Oder können andere Relationen auch Ordnungsrelationen sein?--[[Benutzer:Gänseblümchen|Gänseblümchen]] 17:19, 24. Nov. 2011 (CET)

=Addition von Größen=
Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört.

 Allgemeine Defition für Addition von Größen:
 Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
 z.B.:
 Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
 Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
 
 

=Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen=
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
 
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird): 
 
[[Bild:kommensurabilität_geldwerte.JPG|400px]]
 
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats <math>\sqrt{2}</math> - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet. 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
=Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche=
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

::Es sei <math>\mathbb{G}</math> eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung <math>\oplus</math> und eine Ordnungsrelation <math><</math> definiert sind. Die Struktur <math>(\mathbb{G}, \oplus, <)</math> wird Größenbereich genannt, wenn für alle <math>a, b, c \in \mathbb{G}</math> gilt:

# <math>\oplus</math> ist '''assoziativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c</math>
# <math>\oplus </math> ist '''kommutativ''' auf <math>\mathbb{G}</math>: <math>a \oplus b = b \oplus a</math>
# Für die Relation <math><</math> gilt die '''Trichotomie''': Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: <math>a<b, b<a, a=b</math>
# Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung <math>\oplus</math> und der Ordnungsrelation <math><</math> gilt das '''Lösbarkeitsgesetz''': <math>a

 Frage:
 Warum handelt es sich (rein mathematisch betrachtet) bei der Temperatur nicht um einen Größenbereich?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:20, 4. Dez. 2011 (CET)

Diskussion:Didaktik 08 - 10

2011-11-10T10:02:42Z

Jbo-sax: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Ist es eigentlich eine Proportionalität, wenn man die Punkte gar nicht verbinden kann, es also eigentlich gar keine Funktion mehr ist?''' Beispielsweise…“

Didaktik 08 - 10

2011-11-10T10:01:13Z

Jbo-sax: /* Funktionales Denken */

Das Gast-Wiki im Geo-Wiki:
'''Didaktik der anwendungsbezogenen Mathematik'''
= Ideensammlung =
*[[Auf dem Königsstuhl in Heidelberg]]

*[[Proportionalität am Menschen]]

= Funktionales Denken =

==Proportionalität==
*[[Die Eigenschaften der Proportionalität nach Fricke]]

= Was ist, was soll Sachrechnen =

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (WS10/11)

2011-01-30T13:17:34Z

Jbo-sax: /* Begriff des Sehnenvierecks */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehne des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math> <math>A \in k</math> und <math>B \in k</math> gilt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:02, 30. Jan. 2011 (UTC) . 
...<math>\ A,B \in \ k</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k.
Eine Strecke <math>\overline {AB}</math> ist dann ein Durchmesser des Kreises k, wenn <math>A \in k</math>,<math>B \in k</math> und die Verbindungsstrecke <math>\overline {AB}</math> durch M verläuft.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:05, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {AB}</math> ist ein Durchmesser des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A,B\in \ k</math> und <math>\ M\in \ \overline {AB}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
Gegeben sei ein Kreis k und M der Mittelpunkt von k. Eine Strecke <math>\overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises k, wenn
<math>A \in k</math> gilt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:12, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. <math>\ M </math> ist Mittelpunkt des Kreises <math>\ k</math>. Die Strecke <math> \overline {MA}</math> ist ein Radius des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow </math> <math>\ A\in \ k</math> und <math> \overline {AM} \cong \overline {BM}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:17, 30. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck.

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

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==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

<ggb_applet width="419" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Satz des Thales

2011-01-30T11:24:29Z

Jbo-sax: /* Umkehrungen des Thalessatzes */

=Ein wenig Didaktik=
Hier geben Ihnen die Didaktikspezialisten vom SoSe 10, Tipps zum Satz des Thales

=Satzfindung=

==Induktive Satzfindung==

<ggb_applet width="885" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 12:10, 21. Jul. 2010 (UTC)

==Funktionale Betrachtung==

===Variante 1===
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===Variante 2===

<ggb_applet width="884" height="510" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)

===Variante 3===
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--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)

=Beweisfindung=

==ikonisches/halbikonisches Beweisen==

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Jul. 2010 (UTC)

==Beweisen am Beispiel==
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=induktive Satzfindung der allgemeinen Umkehrung=

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==Satz XVII.1 (Satz des Thales)==
formulieren Sie selbst... 

Es sei <math>\ \alpha</math> ein Winkel und <math>\ k</math> ein Kreis. Ist <math>\ \alpha</math> Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über einem Durchmesser von <math> \ k</math>, so ist <math>\ \alpha</math> ein rechter Winkel.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 11:11, 30. Jan. 2011 (UTC) 

===Umkehrungen des Thalessatzes===
Es sei <math>\ \alpha</math> ein Winkel und <math>\ k</math> ein Kreis.
Der Satz des Thales hat zwei Voraussetzungen:

# <math>\ \alpha</math> ist Peripheriewinkel von <math>\ k</math>
# über einem Durchmesser von <math> \ k</math>.

Die Behauptung des Thalessatzes: <math>\ \alpha</math> ist ein rechter Winkel.

Aus Gründen der Übersicht benennen wir die Voraussetzungen V1 und V2. Für die Behauptung schreiben wir B. 

'''Satz des Thales:''' siehe oben--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 11:24, 30. Jan. 2011 (UTC)
Aus V1 und V2 folgt B. 

''Formulieren Sie hier die möglichen Umkehrungen des Thalessatzes:'' 

'''Die eigentliche Umkehrung:''' 
Ist <math>\ \alpha</math> ein rechter Winkel, so ist er ein Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über einem Durchmesser von <math> \ k</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 11:24, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Aus B folgt V1 und V2.

'''Gemischte Umkehrung 1:''' 
Ist <math>\ \alpha</math> ein rechter Winkel und ein Peripheriewinkel von <math>\ k</math>, so ist er ein Peripheriewinkel über einem Durchmesser von <math> \ k</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 11:24, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Aus B und V1 folgt V2.

'''Gemischte Umkehrung 2:''' 
Ist <math>\ \alpha</math> ein rechter Winkel über einem Durchmesser von <math> \ k</math>, so ist er ein Peripheriewinkel von <math>\ k</math> .--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 11:24, 30. Jan. 2011 (UTC) 
Aus B und V2 folgt V1.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Satz des Thales

2011-01-30T11:11:53Z

Jbo-sax: /* Satz XVII.1 (Satz des Thales) */

=Ein wenig Didaktik=
Hier geben Ihnen die Didaktikspezialisten vom SoSe 10, Tipps zum Satz des Thales

=Satzfindung=

==Induktive Satzfindung==

<ggb_applet width="885" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> --[[Benutzer:Gubbel|Gubbel]] 12:10, 21. Jul. 2010 (UTC)

==Funktionale Betrachtung==

===Variante 1===
<ggb_applet width="1005" height="544" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAAO77zwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vvdbts4Fr7eeQrCCxQt0KgiRf21SQs7SbvFtttF050Ce7OQZVpWI0seiUqcvMzczAs0nZkXyH2eaQ9JyZYsx7Vst00mF5FFUeTh953vHOpY3n8xHUfojKVZmMQHHazpHcRiPxmEcXDQyflwz+m8eP7TfsCSgPVTDw2TdOzxg46hkY5oz8PnP/1tPxsl58iLZJefQ3Z+0Bl6UcY6KJukzBtkI8Z4rd3Lp2EUeunFu/4n5vNsfkEN8jqe5DALT3No88eDN2FWnj6RE06ikB+FZ+GApShK/IOOZYLp8OlnlvLQ96KDDtVVCznokIWL0GSIq6MkDS+TmIvu88GH0IJQFl4yQISItv0ncqH7LPejcBB6sViMtAM6IXQeDvgI+uq6CWOyMBiBsSYlajg/SdLByUXG2RhN/8vSBOzBpkD6Qp0ZlIqzDAyDGU1dXqqeyWHY2QnjHHjJkDdlc8SCNBzUTl5nvSSaN02SMOaH3oTnqSTVKJpO+IWYAOZKhcHdOIhY0UYA8xHzT/vJ9EShYKihP1xM5C3SoH5wmERJilKBLyw8KI59dZR9hKWzXrrso8sexRhi0Nl17BLZQx776ih7RWGsTCtWjstVY72cJsyQaBAwgi/OFh95fQbcdlAeh/xNeQI+cFosFasb/pWP+yCCqhfMxsS7GnP/yYL/7J+yNGaRcpIYuM2TPENnwhvVXNKQAfPDMZyqC+WKBV3/AQNU64AFKSsNVxJSgFXvUY640Lz/pDRC2JCBrT6HWADr4WItL/P4VJyDM6Ie46nnj3geB0jors9AfjHyYjiB48cwPmWR0DYHXQlMBh6HIUScYBEbM1AVlw4k/W8G5NvOLIQkMhqUui+uzymBy0udSbqdF01GHrSUeom8C7Cxun453ttkwBaQBHTlkkGhEzGA4G/C2KCIh7xwejSBIaWEKuRITDM0Pejs6ZpBQbjiLvHhUt0ueynBiVghZzYKb1CgfAWe3v9wE6C6K94ThLDmOHr1D0u49rBmknZ4+cl4DG6HYm8MEx+GqR8xCVIo8gbydOFVyMMKPYVMzstLvhquGKQBP8gg9GfY+p16BOIjEHrMskyGSV4NiLe7cAWO2xjSN+dnLeMgK7H4DExL0gyhqV5Qd6GrCdFl2TLF0pfFNVw0XeIKN+AKaThF3bJ/t+zVJYJLrGHXqtAMftc1ijm6VHwQ4uiaknf4qIz7JVYLyFQEBefyw2Hor+b931Inddr9Btvd1WzXxdbdIhaZeHupDcMpG6iW+VSVGGNorqVT1ya6QYnhWGQWcGrCMreR0xtwpwVUu0pMbxvgeqvBFZ45w87bUEltY90WSpojTTVKdccluuuYum4R63gPWxJsQ7PIAgWA9R7VHBNTyyImMR3btc022lxw/3AM21s/5Kt5eh1z2F4ARA0JSLI8OIitb4lBhbVeG0n07rYk4EHEWaoIw63+tUzImwSawzaoHv5gVHeX03UHW5aNiWtg13YstQWimmW5lkt1y9INh1Jrq4h0wgLRvsDAofLzboOI/moismK0Eur+3c/wVXc3SBVY01F7KHiepARb1DCITQ2LOgpvV3OpYVNKKLFsB+jZUVSSeEfCL2ZRCHyp+exyythEPDS+iz+kXpyJ6kFdym1J791G+qAd6YP7RDrslDDWCTF0QiHBYNMyIR2ZinlbI1SHAAcu4VDbJirSuZqtgySJqZvYNt1dZaMfxnsh9l6Dd9aOd3afeF8Uuy0ZJ7DDdhxD122KdarbltqAYENzoK8DesfYNS18jziXxafbwrvcxjSJv/m8mnlZIZlRBr3F/WBPXqBtapbrmia1MCaOS037a6wvT8ll6atJu2GuyTteQZSxQJSX+vO06ZaNUZScv2fDiE0lkg1q2BhsErXK97NS30KfjbjpKW6awfjmqhU3V4vc6Jrr2NgyLUN3dWpbtrEZOUqRWG+SQ+8pN6v2lEd3uU609o6SarOy0C7LaMd/LXCIZjjbbKnfJ9zji7I+UrLee3jz+ZGS9nFD2kcPvEmSPWvzrFPeshEB4oEiUIe+Ouzi4R4iii6ivyiWOKY7q0Nigk14iITHd/HMv9VDy7K4WSIhYT5WEB81o+cXVbRcO35+KUrEtQhqOgaET8s1HVeHpzO8fgT1k3gQKleF3u+Kzqdtct+64bXxBc+64dX8HqlvuUiqHIJUrr4mlY0Fc9dkY2qYzqNPreBofCOlLNPLHM+6an5vpZnfv7rncL6BYrbfkNxtxSypHR+V7C0SNlzNV612PLxPtWOQQb34qGo06msWWSomVq3Djh7UWtFyrGhpxKgaRUELioL7RNHt5X0gT+06iUZtE89Jsuk3p2lZnXnYIOVlm1TycrP0gYnK7PJ4x7a++pZb32UoBw2UX7VB+dVfBmVLw2R5jse7r+C/vC01jNoV9Ua7KOptnM13GJaI/Nq9kiocbVW+v2NVvOUkF4nmVYPksB3J4Y4rtz+OZUdzHGw7FLs2yIqYZJZ8gH+y5It8qjm6bVZS0V32CTadpGCJALYA/QObcogecOGg8+CXPOHPxtd/BpGGuvkwgC4xBKwoyuPg6YO/Y/2Z/Ndj5yxg6BB5+RAN2Bj9M2VhpslrH70MTTyYgqUcjUOObj6jHLzwvNoOu9bQH10yoDhQna5eqMmlwXVf42Bhp27u5uXGrT0l417KZZZCKvHpagNpapTcGpG/TgGpUfCRxTHA2xc4c3QepoPH4j3g69/E23ygCQCvxPXmSkMS+OOYnzPx5h9cEHegIL3+8/pXaFDdVOMpIB+z9DFKRNd8HLBTNkq5Nic3YLGXs/SpGAey1pijcIwyFoEroLfe9a/oMn8MYzExpNdXPcQMlbHWZpKszeTygPDpe9FsaWZD+/J1E2q149mo8XwEMJ7k4zEDJWXytc1XijR0BrcVDDearxThYSaoGcNVJScNPRzAeEdeWkoWbufAWsr8Ec/AmzJ+/RsojiPol2mP5CjdKEvQOM8yMAG8SoxQm+yLeJMUfPFUvH/qARwZOJByl4ev45jF5/LN0kyuYtGkZ6jHxOwxGAOGCKX/I4yGTN4u1tUYgaUBE55WtWPAsuL91UwZ82h9DzO29LBvl3IaHmbRhfihXpWpuV29ltOuavOyVqlppvybP1rVaP5YrNFQzcbEcBzXEd+HWo57Bzd1GxdoRFXo21doltFWvN53eOtXrV/alaMXacOaaeu2axnEsl3quFaL0tqarz/hdspYa+tUY8f4Ht/n9ZMkYl48g+HTIpKVeb7P5uTdcJgxLrchZYHENFch63sTqTLZ1mNJv/jFAIuftlv76Z1ae/HqhWWsvfYTfxRBzhsmUcBSsbldXP6T6u8t5G+Mih9ZPf8/UEsHCFrfzszPCQAAljUAAFBLAQIUABQACAAIAAO77zxa387MzwkAAJY1AAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAACQoAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:47, 15. Jul. 2010 (UTC)

===Variante 2===

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--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)

===Variante 3===
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--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 21:12, 14. Jul. 2010 (UTC)

=Beweisfindung=

==ikonisches/halbikonisches Beweisen==

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Jul. 2010 (UTC)

==Beweisen am Beispiel==
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=induktive Satzfindung der allgemeinen Umkehrung=

<ggb_applet width="1209" height="575" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Satz XVII.1 (Satz des Thales)==
formulieren Sie selbst... 

Es sei <math>\ \alpha</math> ein Winkel und <math>\ k</math> ein Kreis. Ist <math>\ \alpha</math> Peripheriewinkel von <math>\ k</math> über einem Durchmesser von <math> \ k</math>, so ist <math>\ \alpha</math> ein rechter Winkel.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 11:11, 30. Jan. 2011 (UTC) 

===Umkehrungen des Thalessatzes===
Es sei <math>\ \alpha</math> ein Winkel und <math>\ k</math> ein Kreis.
Der Satz des Thales hat zwei Voraussetzungen:

# <math>\ \alpha</math> ist Peripheriewinkel von <math>\ k</math>
# über einem Durchmesser von <math> \ k</math>.

Die Behauptung des Thalessatzes: <math>\ \alpha</math> ist ein rechter Winkel.

Aus Gründen der Übersicht benennen wir die Voraussetzungen V1 und V2. Für die Behauptung schreiben wir B.

Satz des Thales:

Aus V1 und V2 folgt B.

Die eigentliche Umkehrung:

Aus B folgt V1 und V2.

Gemischte Umkehrung 1:

Aus B und V1 folgt V2.

Gemischte Umkehrung 2:

Aus B und V2 folgt V1.

Formulieren Sie hier die möglichen Umkehrungen des Thalessatzes:

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.4

2011-01-29T14:08:19Z

Jbo-sax:

Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.

Vor: AF+ und DF+ sind Winkelhalbierende der Winkel <math>\angle BAD</math> und <math>\angle ADC</math>
 

Beh: <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>

1)<math>\angle FAE</math> <math>\cong</math><math>\angle EAD</math>__________________AE+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle BAD</math> und 
<math>\angle EDF</math><math>\cong</math><math>\angle ADF</math>__________________DF+ ist Winkelhalbierende des <math>\angle ADC</math> 

2)<math>\angle FAE</math><math>\cong</math><math>\angle AED</math> und______________Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen 
<math>\angle EDF</math><math>\cong</math><math>\angle AFD</math> 

3)<math>\angle EAD</math> <math>\cong</math><math>\angle AED</math>__________________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz 

4)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math>______3) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes 

5)<math>\angle AFD</math> <math>\cong</math><math>\angle ADF</math>_____________1),2) und Transitivität der Winkelkongruenz 

6)<math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>_____5) und Umkehrung des Basiswinkelsatzes 

7)<math>\triangle {ADP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {DPE}</math>_______WSW,1),3),4) 

analoge Beweisführung für das <math>\triangle {AEF}</math> 
daraus folgt letzendlich die Behauptung <math>\overline {AD}</math><math>\cong</math> <math>\overline {DE}</math><math>\cong</math> <math>\overline {EF}</math><math>\cong</math> <math>\overline {AF}</math>--[[Benutzer:Engel82|Engel82]]11:45, 26. Jan. 2011 (UTC) 

Wow, da muss man ja schon beim Nachvollziehen schauen, dass man den richtigen Winkel erwischt, wie muss das erst beim Aufschreiben gewesen sein?! Hut ab.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:08, 29. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.3

2011-01-29T13:52:58Z

Jbo-sax:

Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

Vor: <math>P \in w</math>, , <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> 
Beh: <math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> 

1)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> __________________Vor 
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 
<math>\angle ASB</math> gefällt 
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90________________2) 
4)<math>\overline {SP}</math>= <math>\overline {SP}</math>___________________trivial 
5)<math>\angle SPA</math><math>\cong</math><math>\angle SPB</math>__________________1), 2) und Innenwinkelsumme im Dreieck 
6)<math>\triangle {ASP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>______________WSW,1), 4),5) 
7) <math>\overline {AP}</math>= <math>\overline {BP}</math>______________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:22, 25. Jan. 2011 (UTC)

Vor:<math>\overline {AP}</math> <math>\cong</math><math>\overline {BP}</math> 
Beh: <math>P \in w</math>, <math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math> 

1)<math>\overline {AP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {BP}</math>___________________Vor. 
2) Lote werden durch P auf die jeweiligen Schenkel des Winkels________________Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 
<math>\angle ASB</math> gefällt 
3)|<math>\angle {SAP}</math>| =|<math>\angle {SBP}</math>| =90_________________2) 
4)<math>\overline {SP}</math><math>\cong</math> <math>\overline {SP}</math>___________________trivial 
5)<math>\triangle {SAP}</math> <math>\cong</math><math>\triangle {SPB}</math>__________________SsW, 1),3),4) und Satz:der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber. 
6)<math>\angle ASP</math> <math>\cong</math><math>\angle PSB</math>_________________________5) 
7) <math>P \in w</math>, ____________________6)--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:33, 25. Jan. 2011 (UTC)

*********** Muss das bei Schritt 5 nicht Dreieck SAP und Dreieck SPB heißen ????! **********************
Stimmt. Danke--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:02, 27. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.1

2011-01-29T13:37:44Z

Jbo-sax:

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke.

Könnte es so gehen?

Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB

Beh.: IαI+IβI+IγI=180

1) IαI+IάI=180_________Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom

2) IβI+IγI=ά___________starker Außenwinkelsatz (oder darf ich den noch gar nicht nehmen???)

3) IαI+IβI+IγI=180_____1),2), Rechnen in R

4) Behauptung stimmt___3)

Ich glaub das geht nicht, weil du den Innenwinkelsatz brauchst, um den starken Außenwinkelsatz zu beweisen! Dann kannst du den starken Außenwinkelsatz nicht in dem Beweis nehmen!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:38, 28. Jan. 2011 (UTC)

Idee 2
VSS : Dreick ABC mit α,β,γ y als Innenwinkel 
Beh: IαI+IβI+IγI=180 

1. Konstruiere eine Parallele zu AB durch C (Satz über die Existenz von Parallelen und Euklidisches Parallelenaxiom) 

2. IαI = Iα´I (Wechselwinkelsatz) 
3. IβI = Iβ´I (Wechselwinkelsatz) 
4. IβI + IγI = I<math>\delta </math>I (Winkeladditionsaxiom) 
5. I<math>\delta </math>I + IαI = 180 ( Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom) 
6. IαI+IβI+IγI=180 (2,3,5, rechnen in R) --[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:28, 26. Jan. 2011 (UTC) 

Sommer80 stimme ich zu, ganz oben stimme ich auch zu und TAB muss ich widersprechen, da ich der Meinung bin, dass man den schwachen Außenwinkelsatz auch ohne die Innenwinkelsumme nur über Wechselwinkel beweisen kann.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:37, 29. Jan. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 11.2

2011-01-29T12:31:58Z

Jbo-sax:

Formulieren Sie den Basiswinkelsatz ([[Dreieckskongruenz#Satz_VII.5:_Basiswinkelsatz|Satz VII.5]]) auf zwei weitere Arten und Weisen. 
Basiswinkelsatz: 
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel zueinander kongruent.

Kontraposition: 
Wenn es keine kongruenten Innenwinkel in einem Dreieck ABC gibt, dann ist das Dreieck nicht gleichschenklig. 
ja richtig, die Kontraposition ist eine äquivalente Aussage--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 25. Jan. 2011 (UTC)

Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind die Basiswinkel zueinander kongruent. 
hier die Konventionaldefinition, auch das ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 25. Jan. 2011 (UTC)

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit <math>\overline{AB}</math> <math>\cong</math> <math>\overline{AC}</math>. 
Es gilt: <math>\angle {ABC}\cong</math> <math>\angle {ABC}</math> --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:22, 11. Jan. 2011 (UTC)
auch so kann man es machen!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 25. Jan. 2011 (UTC) 

Bei der Lösung von Engel82 hat sich in der letzten Zeile ein Fehler eingeschlichen. Der hintere Winkel muss BAC heißen.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 12:31, 29. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (WS10/11)

2011-01-29T10:34:09Z

Jbo-sax: /* Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

Hat ein Punkt zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand, so ist er ein Punkt der Winkelhalbierenden des Winkels.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:26, 29. Jan. 2011 (UTC) 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 
Genau dann wenn ein Punkt zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand hat, ist er ein Punkt der Winkelhalbierenden des Winkels.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:29, 29. Jan. 2011 (UTC) 
Beweis siehe Übungsaufgabe 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 

...wenn sie eine Teilmenge der Tangente t des Kreises ist.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:38, 29. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Es gibt genau einen Inkreis des Dreiecks für den gilt, dass er alle Seiten des Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:34, 29. Jan. 2011 (UTC) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (WS10/11)

2011-01-29T10:29:39Z

Jbo-sax: /* Winkelhalbierendenkriterium */

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (WS10/11)

2011-01-29T10:26:29Z

Jbo-sax: /* Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

Hat ein Punkt zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand, so ist er ein Punkt der Winkelhalbierenden des Winkels.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 10:26, 29. Jan. 2011 (UTC) 

===== Winkelhalbierendenkriterium =====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

Beweis siehe Übungsaufgabe 
===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 

...wenn sie eine Teilmenge der Tangente t des Kreises ist.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:38, 29. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie!

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (WS10/11)

2011-01-29T09:38:03Z

Jbo-sax: /* Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:)
===== Winkelhalbierendenkriterium =====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

Beweis siehe Übungsaufgabe 
===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 

...wenn sie eine Teilmenge der Tangente t des Kreises ist.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 09:38, 29. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie!

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 12.6

2011-01-25T20:22:39Z

Jbo-sax: /* Aufgabe 12.6 */

== Aufgabe 12.6 ==
Beweisen Sie den Stufenwinkelsatz.

Vor: a//b 
Beh: <math>\alpha </math> <math>\cong</math><math>\beta </math> 

Annahme: <math>\alpha </math> ist nicht kongruent zu <math>\beta </math> 

1) Es existiert genau eine Gerade h für die gilt:___________________________WInkelkonstruktionsaxiom 
<math>\alpha1 </math> <math>\cong</math><math>\beta </math> 
2) h//b________________________Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und 1) 
3) Die Gerade b hat zwei Parallelen a und h______________________ Vor. und 2) Widerspruch zum EPA 
4) a=h___________________________2) 
5) Annahme ist zu verwerfen 
6) Behauptung stimmt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:57, 19. Jan. 2011 (UTC) 

Musst du für diesen Beweis nicht erstmal die Umkehrung des Stufenwinkelsatz beweisen...das haben wir ja noch nicht gemacht?!

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Andere Möglichkeit, könnte das gehen?

Vor.: aIIb

Beh.: IαI = IβI

1) aIIb_____________________________Vor.

2) IαI+IάI=180_______________________1), Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel

3) IάI=Iβ’I___________________________Stufenwinkelsatz

4) IβI+Iβ’I=180_______________________1), Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel

5) IαI+I β’I=180______________________2),3),4)

6) IαI=IβI___________________________5)

7) Behauptung stimmt 

Du benutzt in deinem Beweis zum Stufenwinkelsatz ja bereits den Stufenwinkelsatz... 
Ich würde das so machen: 
Vor.: a||b und c schneidet a und b 
Beh.: <math> |\alpha| </math> = <math> |\alpha_1| </math> 

{| class="wikitable"
|-
| 1) <math> a \cap c = {S}</math> und <math> c \cap b = {B}</math> || Vor.
|-
| 2) <math> \overline {SL_b} </math> Lot von S auf b|| Definition Lot, 1)
|-
| 3) <math> \exists L_d </math> <math>\in SL_b^- </math> : <math> \overline {|SL_d|} </math> = <math> \overline {|SL_d|} </math> || Axiom vom Lineal, 2)
|-
| 4) <math> \exists d </math> : <math> d \|a </math> und <math> L_d </math> <math>\in d </math> und <math> d \cap c = {D}</math> || Euklidisches Parallelenaxiom, 3)
|-
| 5) <math> \overline {SL_d} </math> Lot von S auf d || Definition Lot, 4)
|-
| 6) <math> \angle BL_bS </math> <math> \cong </math> <math> \angle DL_dS </math> || 2), 5)
|-
| 7) <math> \angle L_bSB </math> <math> \cong </math> <math> \angle L_dSD </math> || Scheitelwinkelsatz, 1)
|-
| 8) <math> \overline {BL_bS} </math> <math> \cong </math> <math> \overline {DL_dS} </math>|| 3),6),7), SWS-Axiom
|-
| 9) <math> \angle SBL_b </math> <math> \cong </math> <math> \angle SDL_d </math> || 8), Definition Dreieckskongruenz
|-
| 10) <math> \angle \alpha_2 </math> <math> \cong </math> <math> \angle \alpha_1 </math> || 9), Wechselwinkelsatz
|-
| 11) <math> \angle \alpha_1 </math> <math> \cong </math> <math> \angle \alpha </math> || 9),10)
|}
--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 20:22, 25. Jan. 2011 (UTC)

Innenwinkelsatz für Dreiecke und starker Außenwinkelsatz (WS10/11)

2011-01-24T11:03:39Z

Jbo-sax: /* "Der Abreißbeweis" */

== "Der Abreißbeweis" ==
Diskutieren Sie Sinn und Unsinn des folgenden "Beweises":

http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/innenwinkelsumme.swf
 
sinnvoll, da es zu einer Geraden <math>\ AB</math> durch einen Punkt <math> C \in AB</math> genau eine Gerade <math>\ g</math> gibt für die gilt: <math> g \|AB</math>. 
Durch Anwenden des Wechselwinkelsatzes auf die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> erhält man die Winkel <math>\alpha^'</math> und <math>\beta^'</math> und dann mithilfe des Winkeladditionsaxioms und des Supplementaxioms die Gleichung <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 11:03, 24. Jan. 2011 (UTC)
 

== Ein echter Beweis ==
===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

===== Beweis von Satz XII.4 (Innenwinkelsatz für Dreiecke) =====
Übungsaufgabe

===== Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz) =====
:: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel dieses Dreiecks.
===== Beweis von Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz) =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Innenwinkelsatz für Dreiecke und starker Außenwinkelsatz (WS10/11)

2011-01-24T10:58:59Z

Jbo-sax: /* "Der Abreißbeweis" */

== "Der Abreißbeweis" ==
Diskutieren Sie Sinn und Unsinn des folgenden "Beweises":

http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/innenwinkelsumme.swf
 
sinnvoll, da es zu einer Geraden <math>\ AB</math> durch einen Punkt <math> C \in AB</math> genau eine Gerade <math>\ g</math> gibt für die gilt: <math> g \|AB</math>. 
Durch Anwenden des Wechselwinkelsatzes auf die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> erhält man die Winkel <math>\alpha^'</math> und <math>\beta^'</math> und dann mithilfe des Winkeladditionsaxioms und des Supplementaxioms die Gleichung <math> |\alpha^'|+|\beta^'|+|\gamma^'|=180.--~~~~
 

== Ein echter Beweis ==
===== Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)=====
:: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha = \angle CBA</math>, <math>\beta = \angle CBA</math> und <math>\gamma = \angle ACB</math>. Es gilt <math>\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180</math>.

===== Beweis von Satz XII.4 (Innenwinkelsatz für Dreiecke) =====
Übungsaufgabe

===== Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz) =====
:: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel dieses Dreiecks.
===== Beweis von Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz) =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 12.4

2011-01-23T11:37:09Z

Jbo-sax:

== Aufgabe 12.4 ==
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.

Vor: g, P: P kein Element der Geraden g 
Beh: es existiert eine Gerade h, <math>P \in h</math>, g//h 

1) Es existieren zwei Punkte A und B, die auf der Geraden g liegen____________Axiom I/1 
2) Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden__________________________Vor. 
3) Durch zwei Punkte A und P geht genau eine Gerade_____________I/1, 1) und 2) 
4) An PA+ trägt man in der Halbebene PA,B+ einen Winkel der Größe____________Winkelkonstruktionsaxiom 
|<math>\angle {PAB}</math>| an. 
5) Der nicht auf AP liegende Schenkel des ungetragenen Winkels bestimmt eine Gerade, die man h nennt._____4) 
6) h//g__________________nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:54, 19. Jan. 2011 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

*Wenn ich mich nicht irre sagt der Beweis nicht aus das die Gerade h durch den Punkt P laeuft. 
Frage: Wo steht etwas davon, dass |<math>\angle {PAB}</math>|=90 ist? Beziehungsweise wie kommt man dann auf g||h?

Lösung von Aufg. 11.7

2011-01-20T21:31:42Z

Jbo-sax:

Wenden Sie Ihre Gedankengänge aus Aufgabe 11.5 Analog auf den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks an. Inwiefern haben wir es bei dem Basiswinkelsatz und seiner Umkehrung mit einem Kriterium zu tun.
 
 
Implikation: 
Wenn das Dreieck <math> \overline {ABC}</math> gleichschenklig ist, dann sind die Basiswinkel <math>\angle AB^+,BC^+</math> und <math>\angle AB^+,AC^+</math> kongruent.
 
Umkehrung: 
Wenn die Basiswinkel <math>\angle AB^+,BC^+</math> und <math>\angle AB^+,AC^+</math> kongruent sind, dann heißt das Dreieck <math> \overline {ABC}</math> gleichschenkliges Dreieck.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 21:31, 20. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11)

2011-01-20T18:39:01Z

Jbo-sax: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====

Übungsaufgabe

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

----
 
Voraussetzung: 
# <math>\ a \not\equiv b \not\equiv c</math>
# <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Stufenwinkel
# <math>\alpha \cong \beta</math>
# <math>\ b \cap c</math> = {<math>\ B</math>}
# <math>\ a \cap c</math> = {<math>\ A</math>} 

Behauptung: 
: <math>\ a \| b</math> 

Annahme: 
: <math>a\not\| b</math> 

{| class="wikitable"
|1) <math>a\not\| b</math>
|Annahme
|-
|2) <math>\ a \equiv b</math> oder <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>}
|1), Schnittpunkt von Geraden
|-
|3) <math>\ a \equiv b</math>
|Widerspruch zur 1. Voraussetzung
|-
|4) <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>} <math>\Rightarrow</math> <math>\ a \| c</math> oder <math>\ a \equiv c</math>
|2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
|-
|5) <math>\ a \equiv c</math>
|Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
|-
|6) <math>\ a \| c</math>
|Widerspruch zur 5. Voraussetzung
|}
<math>\Rightarrow</math> Annahme verwerfen <math>\Rightarrow</math> Behauptung stimmt. 
q.e.d.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (WS10/11)

2011-01-20T17:25:51Z

Jbo-sax: /* Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
<tt> 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge.
 Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.</tt>--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 17:25, 20. Jan. 2011 (UTC) 

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ... 

<tt>Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist der Abstand der Punkte <math>\ P</math> und <math>\ L</math>, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> ist.</tt>--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 17:23, 20. Jan. 2011 (UTC) 

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (WS10/11)

2011-01-20T17:23:27Z

Jbo-sax: /* Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
<tt> 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge.
 Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 17:14, 20. Jan. 2011 (UTC)
 </tt>

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ... 

<tt>Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist der Abstand der Punkte <math>\ P</math> und <math>\ L</math>, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> ist.</tt>--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 17:23, 20. Jan. 2011 (UTC) 

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (WS10/11)

2011-01-20T17:19:32Z

Jbo-sax: /* Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
<tt> 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge.
 Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 17:14, 20. Jan. 2011 (UTC)
 </tt>

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ...

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (WS10/11)

2011-01-20T17:14:11Z

Jbo-sax: /* Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
 
----
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge.
 Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit
 {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 17:14, 20. Jan. 2011 (UTC)
----
 

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ...

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 8.1

2010-12-07T14:48:58Z

Jbo-sax:

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>. 

Vor: <math>\overline{AB}</math> 
Beh: es existiert <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>;<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>. 

1)<math>\overline{AB}</math>__________________________________laut Vor 
2) es existiert g: <math>A \in g</math> und <math>B \in g</math>_____Axiom I/1 
3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl 
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal 
existiert genau ein Punkt B* für den gilt: 
<math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> 
5) Zw(A,B, B*), da <math>\pi </math> größer als 1 ist gilt:_____________4) 
<math>\overline{AB^{*}}</math> größer als <math>\overline{AB}</math> 
6)<math>\left| AB \right|</math>+ <math>\left|BB^{*}\right|</math> =<math>\left|AB^{*}\right|</math>___________Def. Zw und 5 
7)<math>\overline{AB}</math> für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)<math>\cup</math>(A,B)________________Def. Strecke und 6) 
8)<math>\overline{AB^{*}}</math> für die gilt:(<math>\overline{AB}</math><math>\cup</math> (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke 
9)<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>. 
10)Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)
 
 
Rückfragen zu diesem Beweis: 
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung? 
Wozu dient Schritt 6)? --[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)

Lösung von Aufg. 6.6

2010-11-26T14:21:08Z

Jbo-sax:

Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.

Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden 

2. 
Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar 
Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden 
Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D 
* Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen
--> da wir annehmen, dass die vier Punkte nicht paarweise verschieden sind, bedeutet das, dass 2 Punkte identisch sind. Da es aber egal ist, wlche zwei Punkte das sind, nehmen wir hier einfach C=D an, schreiben aber hinzu: ohne Beschränkung der Allgemeinheit (oBdA)--[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 13:06, 23. Nov. 2010 (UTC)

Beweisschritt Begründung 
1. Es existierte genau eine Gerade g Axiom I/1 
die die Punkte A und B enthält 
2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g Axiom I/3 
3. A,B C sind nicht kollinear 1), 2) 
4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält Axiom I/4 
5. C = D Annahme 
6. D ist Element der Ebene E 5) 
7. A,B,C,D sind komplanar 4), 6) 
Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

 
Vor. nkomp(A,B,C,D) 
Beh. A,B,C,D sind paarweise verschieden 
Ann. oBdA A=B 
 
Beweisschritt [Begründung] 
1. A=B [Annahme] 
2. Es existiert eine Ebene E, die A,C,D enthält. [Axiom I/4] 
3. A,B,C,D liegen in der Ebene. [1), 2)] 
4. komp(A,B,C,D) [3), Definition komplanar] 
5. Widerspruch zur Voraussetzung.

 

----

Vor. nkomp(A,B,C,D) 
Beh. A,B,C,D sind paarweise verschieden 
Ann. oBdA A=B 
 
Beweisschritt [Begründung] 
1. A=B [Annahme] 
2. Es existiert eine Gerade g, die A,C enthält. [Axiom I/1] 
3. koll(A,C) [2), Definition kollinear] 
4. koll(A,B,C) [3),1)] 
5. Es existiert ein Punkt D, sodass nkoll(A,B,C,D) [4),Definition nichtkollinear] 
6. Es existiert eine Ebene E, die A,B,C,D enthält. [5), Axiom I/4] 
7. komp(A,B,C,D) [6), Definition komplanar] 
8. Widerspruch zur Voraussetzung.
--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:21, 26. Nov. 2010 (UTC) 
 

3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar 

4. 
Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D 
Behauptung: A,B,C,D sind komplanar

Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar 

5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar 
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC) 
6. Die Umkehrung stimmt nicht, da alle vier Punkte paarweise verschieden sein können, aber trotzdem Element der Ebene sind.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:04, 17. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Auftrag der Woche WS10/11, Quiz der Woche WS10/11, Übungsaufgaben WS 10/11 etc.

2010-11-25T15:09:05Z

Jbo-sax:

== Wöchentlich ==
=== Woche 1===
18.11.10 bis 22.10.10
* [[Auftrag der Woche 1_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_1]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_1.pdf|Tutorium_Aufgaben_1}}
: [[Lösungen zu Tutorium_Aufgaben_1]]
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_1.pdf|Tutorium_Lösungen_1}}

=== Woche 2===
25.10.10 bis 29.10.10
* [[Auftrag der Woche 2_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_2]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_2.pdf|Tutorium_Aufgaben_2}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_2.pdf|Tutorium_Lösungen_2}}
*[[Quiz der Woche 2_WS]]

=== Woche 3===
01.11.10 bis 05.11.10
* [[Auftrag der Woche 3_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_3]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_3.pdf|Tutorium_Aufgaben_3}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_3.pdf|Tutorium_Lösungen_3}}
: [[Animation zum Lösen von Nr.2 des Tutorium_Aufgaben_3]]

=== Woche 4===
08.11.10 bis 12.11.10
* [[Auftrag der Woche 4_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_4]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_4.pdf|Tutorium_Aufgaben_4}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_4.pdf|Tutorium_Lösungen_4}}

=== Woche 5===
15.11.10 bis 19.11.10
* [[Auftrag der Woche 5_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_5]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_5.pdf|Tutorium_Aufgaben_5}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_5.pdf|Tutorium_Lösungen_5}}
*[[Quiz der Woche 5_WS]]

=== Woche 6===
22.11.10 bis 26.11.10
* [[Auftrag der Woche 6_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_6]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_6.pdf|Tutorium_Aufgaben_6}}
*[[Quiz der Woche 6_WS]]

=== Woche 7===
29.11.10 bis 03.12.10
* [[Auftrag der Woche 7_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_7]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_7.pdf|Tutorium_Aufgaben_7}}
*[[Quiz der Woche 7_WS]]
'''
'''Wäre es möglich, dass auch die Musterlösungen der Übungsaufgaben in Geowiki eingestellt werden, da es sehr mühsam ist, alle Lösungen die von Studierenden eingestellt wurden, durchzuschauen. Weiterhin stehen oftmals keine Kommentare dabei oder es ist eine "endlose" Diskussion, sodass man sich nicht sicher ist, ob die Lösung nun richtig ist, oder nicht. '''
'''Vielen Dank.'''

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 2.1

2010-11-04T11:36:25Z

Jbo-sax:

Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.
Das ist korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:50, 3. Nov. 2010 (UTC)

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Nach Ihrer Definition könnte ich eine Punktmenge nehmen, die z. B. nur aus einem Punkt besteht, der zu den Endpunkten einer Strecke den gleichen Abstand hat. Das wären dann alle Punkte Ihrer Punktmenge. Dieser eine Punkt ist aber sicherlich nicht die Mittelsenkrechte. Korrekt müsste es heißen: Wenn eine Punktmenge alle Punkte enthält, die zu den Endpunkten einer Strecke jeweils den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge Mittelsenkrechte der Strecke. Ist Ihnen der Unterschied klar?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:50, 3. Nov. 2010 (UTC)

 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 
Wir setzen voraus, dass der Begriff senkrecht bereits definiert ist!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:50, 3. Nov. 2010 (UTC)

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010
Die Definition von Sommer80 ist nicht richtig, siehe Anmerkungen oben--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:50, 3. Nov. 2010 (UTC)
----
 
Wenn eine Gerade '''g''' die Strecke <math>\overline{AB}</math> in zwei kongruente Teilstrecken <math>\overline{AM}</math> und <math>\overline{BM}</math> teilt, dann ist '''g''' die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn für einen beliebigen Punkt '''P''' auf der Geraden '''g''' gilt, dass <math>\overline{AP}</math>=<math>\overline{BP}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:33, 1. Nov. 2010 (UTC) 

----

Auftrag der Woche 1 WS

2010-11-03T15:26:10Z

Jbo-sax: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */

== Geometrie im Alltag ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie Geometrie im Alltag aufspüren und als Bild in Ihre Benutzerseite stellen. Dies dient auch dazu, dass Sie lernen, das Wiki zu verwenden.

Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===
[[Media:Bild:Fenster eines Berliner Hochhauses.jpg]]

* [[Benutzer:Spannagel]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma
* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko
* [[Benutzer:Jp1234]] - Kirchenfenster in Prag
* [[Benutzer:Paulchen86]] - Paulskirche in Rom
* [[Benutzer:Eled13]] - Rotunde der Grabeskirche in Jerusalem
* [[Benutzer:Schnappi]] - Balkongeländer in HD: mit Stufenwinkel !!!
* [[Benutzer:Bayern2802]] - Glaspyramide / Louvre
* [[Benutzer:Nepomuk]] - Pyramidenfeld in Handschuhsheim
* [[Benutzer:Bulkathos]] - Fächerstadt Karlsruhe
* [[Benutzer:Strubingerj]] - Wanduhr
* [[Benutzer:vollyschwamm]] - Verkehrsschilder
* [[Benutzer:studentxyz]] - Blume im PH-Garten
* [[Benutzer:Jama77]] - GUM - Moskau
* [[Benutzer:Lialin]] - Stangenquadrat auf dem Ponyplatz
* [[Benutzer:Adores]] - Bemalung eines Didgeridoos
* [[Benutzer:Jbo-sax]] - Kerze in Form eines Tetraeders

Benutzer:Jbo-sax

2010-11-03T15:24:55Z

Jbo-sax: Die Seite wurde neu angelegt: 200px

[[Bild:Tetraeder.jpg|200px]]

Datei:Tetraeder.jpg

2010-11-03T15:22:40Z

Jbo-sax: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = jbo-sax |Datum = 03.11.2010 |Genehmigung = jbo-sax |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber = jbo-sax
|Datum = 03.11.2010
|Genehmigung = jbo-sax
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Lösung von Aufgabe 2.1

2010-11-01T14:33:51Z

Jbo-sax:

Wenn eine Gerade '''g''' die Strecke <math>\overline{AB}</math> in zwei kongruente Teilstrecken <math>\overline{AM}</math> und <math>\overline{BM}</math> teilt, dann ist '''g''' die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn für einen beliebigen Punkt '''P''' auf der Geraden '''g''' gilt, dass <math>\overline{AP}</math>=<math>\overline{BP}</math>.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:33, 1. Nov. 2010 (UTC) 
----
 

Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 

 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010