Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T18:09:07Z

Jessy*: /* Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren */

Datei:LA zu einem Vektor2.JPG

2013-01-18T18:08:18Z

Jessy*: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T18:05:55Z

Jessy*: /* Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren */

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T18:03:32Z

Jessy*: /* Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren */

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T18:00:58Z

Jessy*: /* Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren */

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T17:58:02Z

Jessy*: /* Lineare Abhängigkeit */

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T17:54:09Z

Jessy*: /* Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren */

Datei:LUA zu einem Vektor.JPG

2013-01-18T17:53:10Z

Jessy*: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T17:52:58Z

Jessy*: /* Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren */

Datei:LA zu einem Vektor.JPG

2013-01-18T17:50:12Z

Jessy*: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T17:36:10Z

Jessy*: /* Lineare Abhängigkeit */

Linearkombinationen 2012 13

2013-01-18T17:27:01Z

Jessy*: /* Linearkombinationen */

Erzeugendensystem 2012 13

2013-01-18T16:14:10Z

Jessy*: /* Erzeugendensystem, Basis und Hülle */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Beispiel 1=
<ggb_applet width="1269" height="851" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Experimentieren Sie: Wann ist die Menge <math>\left{\vec{a}, \vec{b}\right}</math> ein Erzeugendensystem für den <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf)
=Beispiel 2=
<ggb_applet width="843" height="581" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
=Erzeugendensystem, Basis und Hülle=
'''Def.(lineare Hülle)''' 
Lineare Hülle der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist die Menge der Linearkombinationen von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> 
Das bedeutet, die lineare Hülle der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> enthält alle Vektoren, die man mithilfe der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> darstellen kann. 
'''Def.(Erzeugendensystem)''' 
Eine Menge von Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist. 
Das heißt, wenn man mit den Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ein Erzeugendensystem von V. 
Die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> kann linear abhängig sein. 
'''Def.(Basis)''' 
Eine Basis des Vektorraumes V ist ein minimales Erzeugendensystem. 
Das bedeutet, dass die Menge der Vektoren, welche das Erzeugendensystem bilden linear unabhängig ist. 

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 17:12, 18. Jan. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Erzeugendensystem 2012 13

2013-01-18T16:12:40Z

Jessy*: /* Erzeugendensystem, Basis und Hülle */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Beispiel 1=
<ggb_applet width="1269" height="851" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Experimentieren Sie: Wann ist die Menge <math>\left{\vec{a}, \vec{b}\right}</math> ein Erzeugendensystem für den <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf)
=Beispiel 2=
<ggb_applet width="843" height="581" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
=Erzeugendensystem, Basis und Hülle=
'''Def.(lineare Hülle)''' 
Lineare Hülle der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist die Menge der Linearkombinationen von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> 
Das bedeutet, die lineare Hülle der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> enthält alle Vektoren, die man mithilfe der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> darstellen kann. 
'''Def.(Erzeugendensystem)''' 
Eine Menge von Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ist. 
Das heißt, wenn man mit den Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren <math> \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} </math> ein Erzeugendensystem von V. 
'''Def.(Basis)''' 
Eine Basis des Vektorraumes V ist ein minimales Erzeugendensystem. 
Das bedeutet, dass die Menge der Vektoren, welche das Erzeugendensystem bilden linear unabhängig ist. 

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 17:12, 18. Jan. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Erzeugendensystem 2012 13

2013-01-18T16:02:30Z

Jessy*: /* Beispiel 2 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Beispiel 1=
<ggb_applet width="1269" height="851" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Experimentieren Sie: Wann ist die Menge <math>\left{\vec{a}, \vec{b}\right}</math> ein Erzeugendensystem für den <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf)
=Beispiel 2=
<ggb_applet width="843" height="581" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
=Erzeugendensystem, Basis und Hülle=

[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Projektionssatz

2013-01-16T08:50:04Z

Jessy*:

'''Def.(Parallelprojektion einer Ebene auf eine Gerade der Ebene):''' 
Es seien <math> \varepsilon </math> eine Ebene und b eine Gerdae dieser Ebene. Ferner sei r eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon </math>, die nicht parallel zu b ist. 
Unter der Parallelprojektion von <math> \varepsilon </math> auf b mit der Richtung r versteht man eine Abbildung <math> \varphi </math> der Punkte der Ebene <math> \varepsilon </math> auf b mit folgenden Eigenschaften: 
<math> \forall P \in \varepsilon : \varphi (P) = s \cap b </math> mit <math> P \in s \wedge s\parallel r </math> 

=== Projektionssatz: ===
Es seien a und b zwei Geraden, die sich in Z schneiden. Auf a ist eine Folge von Punkten festgelegt mit: <math> |ZA_1| = |A_1A_2| = ... = |A_nA_{n+1}| </math> 
<math> B1,B_2, ... B_n </math> seien die Bilder von <math> A_1, A_2, ..., A_n </math> bei einer Parallelprojektion. 
Es gilt: <math> |ZB_1| = |B_1B_2| = ... = |B_nB_{n+1}|</math> 
[[Bild:Projektionssatz.JPG]] 

=== Beweis des Projektionssatzes ===

Projektionssatz

2013-01-16T08:40:16Z

Jessy*:

Es seien a und b zwei Geraden, die sich in Z schneiden. Auf a ist eine Folge von Punkten festgelegt mit: <math> |ZA_1| = |A_1A_2| = ... = |A_nA_{n+1}| </math> 
<math> B1,B_2, ... B_n </math> seien die Bilder von <math> A_1, A_2, ..., A_n </math> bei einer Parallelprojektion. 
Es gilt: <math> |ZB_1| = |B_1B_2| = ... = |B_nB_{n+1}|</math> 
[[Bild:Projektionssatz.JPG]] 

=== Beweis des Projektionssatzes ===

Projektionssatz

2013-01-16T08:39:15Z

Jessy*:

Datei:Projektionssatz.JPG

2013-01-16T08:36:14Z

Jessy*: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Projektionssatz

2013-01-16T08:29:50Z

Jessy*: Die Seite wurde neu angelegt: „Es seien a und b zwei Geraden, die sich in Z schneiden. Auf a ist eine Folge von Punkten festgelegt mit: <math> |ZA_1| = |A_1A_2| = ... = |A_nA_{n+1}| </math><br …“

Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12 13

2013-01-16T08:24:38Z

Jessy*: /* Ähnlichkeitsgeometrie */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

== Literatur zur Elementargeometrie==
*[[Literatur zur Elementargeometrie]]
==Offene Fragen zur Elementargeometrie==

==Übungsaufgaben und Kontrollfragen zur EG==
*[[Übungsaufgaben EG 2012_13]]
*[[Aufgaben aus alten Klausuren zum Staatsexamen]]
*[[Kontrollfragen]]

== Skript und mehr ==
=== Kongruenzgeometrie===
*[[Bewegungen (2012_13)]]
*[[Geradenspiegelungen (2012_13)]]
*[[Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgerade (2012_13)]]
*[[Die Geradenspiegelung als Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden, (2012_13)]]
*[[Drehungen in der Schule (2012_13) ]]
*[[Drehungen (2012_13)]]
* Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen
* Drehungen als Geradenspiegelungen
* Verschiebungen
* Klassifizierung aller Bewegungen
* Schubspiegelung

===Ähnlichkeitsgeometrie===
* [[Projektionssatz]]

===Satzgruppe des Pythagoras===


|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie 12 13

2013-01-16T08:23:45Z

Jessy*: /* Ähnlichkeitsgeometrie */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

== Literatur zur Elementargeometrie==
*[[Literatur zur Elementargeometrie]]
==Offene Fragen zur Elementargeometrie==

==Übungsaufgaben und Kontrollfragen zur EG==
*[[Übungsaufgaben EG 2012_13]]
*[[Aufgaben aus alten Klausuren zum Staatsexamen]]
*[[Kontrollfragen]]

== Skript und mehr ==
=== Kongruenzgeometrie===
*[[Bewegungen (2012_13)]]
*[[Geradenspiegelungen (2012_13)]]
*[[Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgerade (2012_13)]]
*[[Die Geradenspiegelung als Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden, (2012_13)]]
*[[Drehungen in der Schule (2012_13) ]]
*[[Drehungen (2012_13)]]
* Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen
* Drehungen als Geradenspiegelungen
* Verschiebungen
* Klassifizierung aller Bewegungen
* Schubspiegelung

===Ähnlichkeitsgeometrie===
* Projektionssatz

===Satzgruppe des Pythagoras===


|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:21:03Z

Jessy*: /* Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Definition=
{{Definition|(lineare Abbildung) Es seien <math>\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)</math> und <math>\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)</math> zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung <math>\varphi: V_1 \rightarrow V_2</math> heißt lineare Abbildung wenn gilt: <math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:</math> (H) <math>\varphi</math> ist homogen: <math>\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)</math> (A) <math>\varphi</math> ist additiv: <math>\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)</math> }}
=Beispiele=
==senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene==
<math>\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> 
<math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung 
==Drehung==

'''
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ====
'''
Drehung der kanonischen Basisvektoren 
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]] 
Drehung anderer Vektoren: 
<math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math> 
<math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht. 
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Drehungsmatrix: 
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}</math> 

==== Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: ====
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
<math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})
</math> 
Beweis zur Additivität: 
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) =
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})</math>

==Geradenspiegelung==
==== Spiegelung an der x-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
'''Spiegelung an der x-Achse als lineare Abbildung:''' 
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
Beweis zur Addidtivität: 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der y-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
'''Spiegelung an der y-Achse als lineare Abbildung:''' 
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
Beweis zur Addidtivität: 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
'''Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden als lineare Abbildung:''' 
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
Beweis zur Addidtivität: 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:16, 16. Jan. 2013 (CET) 

==Zentrische Streckung==

=Isomorphe Vektorräume=
{{Definition|Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. }}


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:20:33Z

Jessy*: /* Spiegelung an der y-Achse: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Definition=
{{Definition|(lineare Abbildung) Es seien <math>\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)</math> und <math>\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)</math> zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung <math>\varphi: V_1 \rightarrow V_2</math> heißt lineare Abbildung wenn gilt: <math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:</math> (H) <math>\varphi</math> ist homogen: <math>\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)</math> (A) <math>\varphi</math> ist additiv: <math>\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)</math> }}
=Beispiele=
==senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene==
<math>\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> 
<math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung 
==Drehung==

'''
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ====
'''
Drehung der kanonischen Basisvektoren 
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]] 
Drehung anderer Vektoren: 
<math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math> 
<math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht. 
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Drehungsmatrix: 
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}</math> 

==== Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: ====
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
<math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})
</math> 
Beweis zur Additivität: 
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) =
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})</math>

==Geradenspiegelung==
==== Spiegelung an der x-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
'''Spiegelung an der x-Achse als lineare Abbildung:''' 
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
Beweis zur Addidtivität: 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der y-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
'''Spiegelung an der y-Achse als lineare Abbildung:''' 
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
Beweis zur Addidtivität: 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:16, 16. Jan. 2013 (CET) 

==Zentrische Streckung==

=Isomorphe Vektorräume=
{{Definition|Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. }}


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:19:41Z

Jessy*: /* Spiegelung an der x-Achse: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Definition=
{{Definition|(lineare Abbildung) Es seien <math>\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)</math> und <math>\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)</math> zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung <math>\varphi: V_1 \rightarrow V_2</math> heißt lineare Abbildung wenn gilt: <math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:</math> (H) <math>\varphi</math> ist homogen: <math>\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)</math> (A) <math>\varphi</math> ist additiv: <math>\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)</math> }}
=Beispiele=
==senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene==
<math>\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> 
<math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung 
==Drehung==

'''
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ====
'''
Drehung der kanonischen Basisvektoren 
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]] 
Drehung anderer Vektoren: 
<math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math> 
<math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht. 
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Drehungsmatrix: 
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}</math> 

==== Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: ====
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
<math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})
</math> 
Beweis zur Additivität: 
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) =
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})</math>

==Geradenspiegelung==
==== Spiegelung an der x-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
'''Spiegelung an der x-Achse als lineare Abbildung:''' 
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
Beweis zur Addidtivität: 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der y-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:16, 16. Jan. 2013 (CET) 

==Zentrische Streckung==

=Isomorphe Vektorräume=
{{Definition|Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. }}


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:16:09Z

Jessy*: /* Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Definition=
{{Definition|(lineare Abbildung) Es seien <math>\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)</math> und <math>\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)</math> zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung <math>\varphi: V_1 \rightarrow V_2</math> heißt lineare Abbildung wenn gilt: <math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:</math> (H) <math>\varphi</math> ist homogen: <math>\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)</math> (A) <math>\varphi</math> ist additiv: <math>\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)</math> }}
=Beispiele=
==senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene==
<math>\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> 
<math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung 
==Drehung==

'''
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ====
'''
Drehung der kanonischen Basisvektoren 
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]] 
Drehung anderer Vektoren: 
<math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math> 
<math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht. 
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Drehungsmatrix: 
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}</math> 

==== Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: ====
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
<math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})
</math> 
Beweis zur Additivität: 
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) =
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})</math>

==Geradenspiegelung==
==== Spiegelung an der x-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der y-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:16, 16. Jan. 2013 (CET) 

==Zentrische Streckung==

=Isomorphe Vektorräume=
{{Definition|Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. }}


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:15:56Z

Jessy*: /* Spiegelung an der y-Achse: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Definition=
{{Definition|(lineare Abbildung) Es seien <math>\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)</math> und <math>\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)</math> zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung <math>\varphi: V_1 \rightarrow V_2</math> heißt lineare Abbildung wenn gilt: <math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:</math> (H) <math>\varphi</math> ist homogen: <math>\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)</math> (A) <math>\varphi</math> ist additiv: <math>\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)</math> }}
=Beispiele=
==senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene==
<math>\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> 
<math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung 
==Drehung==

'''
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ====
'''
Drehung der kanonischen Basisvektoren 
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]] 
Drehung anderer Vektoren: 
<math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math> 
<math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht. 
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Drehungsmatrix: 
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}</math> 

==== Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: ====
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
<math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})
</math> 
Beweis zur Additivität: 
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) =
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})</math>

==Geradenspiegelung==
==== Spiegelung an der x-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der y-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==Zentrische Streckung==

=Isomorphe Vektorräume=
{{Definition|Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. }}


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:15:41Z

Jessy*: /* Spiegelung an der x-Achse: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Definition=
{{Definition|(lineare Abbildung) Es seien <math>\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)</math> und <math>\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)</math> zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung <math>\varphi: V_1 \rightarrow V_2</math> heißt lineare Abbildung wenn gilt: <math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:</math> (H) <math>\varphi</math> ist homogen: <math>\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)</math> (A) <math>\varphi</math> ist additiv: <math>\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)</math> }}
=Beispiele=
==senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene==
<math>\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> 
<math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung 
==Drehung==

'''
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ====
'''
Drehung der kanonischen Basisvektoren 
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]] 
Drehung anderer Vektoren: 
<math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math> 
<math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht. 
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Drehungsmatrix: 
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}</math> 

==== Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: ====
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
<math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})
</math> 
Beweis zur Additivität: 
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) =
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})</math>

==Geradenspiegelung==
==== Spiegelung an der x-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET) 

==== Spiegelung an der y-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==Zentrische Streckung==

=Isomorphe Vektorräume=
{{Definition|Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. }}


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:15:05Z

Jessy*: /* Spiegelung an der y-Achse: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Definition=
{{Definition|(lineare Abbildung) Es seien <math>\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)</math> und <math>\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)</math> zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung <math>\varphi: V_1 \rightarrow V_2</math> heißt lineare Abbildung wenn gilt: <math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:</math> (H) <math>\varphi</math> ist homogen: <math>\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)</math> (A) <math>\varphi</math> ist additiv: <math>\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)</math> }}
=Beispiele=
==senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene==
<math>\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> 
<math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung 
==Drehung==

'''
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ====
'''
Drehung der kanonischen Basisvektoren 
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]] 
Drehung anderer Vektoren: 
<math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math> 
<math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht. 
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Drehungsmatrix: 
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}</math> 

==== Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: ====
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
<math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})
</math> 
Beweis zur Additivität: 
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) =
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})</math>

==Geradenspiegelung==
==== Spiegelung an der x-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==== Spiegelung an der y-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==Zentrische Streckung==

=Isomorphe Vektorräume=
{{Definition|Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. }}


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:14:51Z

Jessy*: /* Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Definition=
{{Definition|(lineare Abbildung) Es seien <math>\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)</math> und <math>\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)</math> zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung <math>\varphi: V_1 \rightarrow V_2</math> heißt lineare Abbildung wenn gilt: <math>\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:</math> (H) <math>\varphi</math> ist homogen: <math>\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)</math> (A) <math>\varphi</math> ist additiv: <math>\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)</math> }}
=Beispiele=
==senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene==
<math>\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2</math> 
<math>\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
Man beweise: <math>\varphi</math> ist lineare Abbildung 
==Drehung==

'''
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ====
'''
Drehung der kanonischen Basisvektoren 
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
[[Bild:Drehung_kanonische_Basis.JPG|300px]] 
Drehung anderer Vektoren: 
<math> \vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )</math> 
<math> \vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Bsp.: <math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} </math> wird an O um <math> \alpha </math> gedreht. 
<math> \vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}</math> 
Drehungsmatrix: 
<math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}</math> 

==== Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: ====
Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung. 
Zu zeigen: 
(H) <math> \varphi </math> ist homogen 
(A) <math> \varphi </math> ist additiv 
Beweis zur Homogenität: 
<math> \varphi ( \lambda \cdot \vec{x}) =
\varphi \begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \\ \lambda \cdot x_2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \lambda \cdot x_1 \cdot cos \alpha -( \lambda \cdot x_2) \cdot sin \alpha\\ \lambda \cdot x_1 \cdot sin \alpha + \lambda \cdot x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \lambda \cdot (x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha) \\ \lambda \cdot (x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha) \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha - x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\lambda \cdot \varphi ( \vec{x})
</math> 
Beweis zur Additivität: 
<math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) =
\varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} =
\varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y})</math>

==Geradenspiegelung==
==== Spiegelung an der x-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==== Spiegelung an der y-Achse: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse: 
<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> 
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> 
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math> 
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden: 
<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 
<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math> 

==Zentrische Streckung==

=Isomorphe Vektorräume=
{{Definition|Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können. }}


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:12:52Z

Jessy*: /* Spiegelung an der y-Achse: */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:11:34Z

Jessy*: /* Spiegelung an der x-Achse: */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:06:09Z

Jessy*: /* Spiegelung an der x-Achse: */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-16T08:02:03Z

Jessy*: /* Geradenspiegelung */

Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

2013-01-15T14:54:11Z

Jessy*: /* Gruppeneigenschaften */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#B9D0F0; padding:1em"
| valign="top" |


=Gruppeneigenschaften=
Eine Verknüpfung <math>\odot</math> bzw. einer Operation auf einer Menge M ist eine '''Gruppe''', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: 
'''1. Abgeschlossenheit:''' die Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist abgeschlossen: Verknüpft man ein Element der Menge mit einem anderen Element der Menge, erhält man wiederum ein Element der Menge 
<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b \in M</math> 
'''2. Assoziativität:''' die Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist assoziativ 
<math> \quad \quad \forall a,b,c \in M: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math> 
'''3. Neutrales Element:''' Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e 
<math> \quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math> 
'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element aus M gibt es ein Inverses Element 
<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element 
Erfüllt eine Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M hingegen nicht alle Punkte, aber mindestnes die Abgeschlossenheit und die Assoziativität, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''. 
Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe''' 
'''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal 
<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b = b \odot a</math> 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 11:38, 12. Dez. 2012 (CET)

Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:14, 12. Dez. 2012 (CET): 
Vielen Dank für Ihre Bemühungen. bezüglich der Abgeschlossenheit muss ein wenig korrigiert werden: 
Man spricht nicht davon, dass die Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist, sondern dass die Verknüpfung auf der Menge abgeschlossen ist also nicht aus der Menge hinausführt. 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 15:54, 15. Jan. 2013 (CET) Stimmt es nun so?

=Beispiele für endliche Gruppen=
==Restklassen modulo 4==
<math>\mathbb{Z}_4:=\left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \right\}</math> 
mit 
<math>\overline{0}:=\left\{..., -8, -4, 0, 4, 8, ...\right\}</math> (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen), 
<math>\overline{1}:=\left\{..., -7, -3, 1, 5, 9, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen), 
<math>\overline{2}:=\left\{..., -6, -2, 2, 6, 10, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen), 
<math>\overline{3}:=\left\{..., -5, -1, 3, 7, 11, ...\right\}</math> (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen), 

Wir definieren auf <math>\mathbb{Z}_4</math> eine Verknüpfung <math>\oplus</math> wie folgt: 
<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a}\oplus \overline{b} := \overline{a+b}</math>

Die Struktur <math>\left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right)</math> ist eine Gruppe:
#Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> abgeschlossen, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} \in \mathbb{Z}_4</math>,
#Die Verknüpfung <math>\oplus</math> ist auf der Menge <math>\mathbb{Z}_4</math> assoziativ, d.h. <math>\forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in \mathbb{Z}_4: \left(\overline{a} \oplus \overline{b} \right) \oplus \overline{c}= \overline{a} \oplus \left( \overline{b} \oplus \overline{c} \right)</math>,
#<math>\mathbb{Z}_4</math> hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse <math>\overline{0}</math>, d.h. <math> \forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{0}= \overline{0} \oplus \overline{a} = \overline{a}</math>, 
#Zu jedem Element aus <math>\mathbb{Z}_4</math> gibt es ein inverses Element, d.h. <math>\forall \overline{a} \in \mathbb{Z}_4 \exist \left(-\overline{a}\right): \overline{a} \oplus \left(-\overline{a}\right) = \left(-\overline{a}\right) \oplus \overline{a} = \overline{0} </math>.

Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:

<ggb_applet width="155" height="176" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.

Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe <math>\left(\mathbb{Z}_4, \oplus\right)</math>: 
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist: 
*<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>. 
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt. 
==Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats==
Hierbei verstehen wir unter <math>D_Q</math> die Menge aller Drehungen die das Quadrat <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden: 
<math>D_Q:=\left\{D_{0}, D_{90}, D_{180}, D_{270}\right\}</math> 
Die Verknüpfung sei die NAF. 
Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel: 
[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.3JPG.JPG| 200px]] 
'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:''' 
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle 
2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ 
3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math> 
4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{90} \cdot D_{270} = D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}</math> 
5. Kommutativ: Drehungen sind immer kommutativ 
Es handelt sich also sogar um eine abelsche Gruppe. 
Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe. 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 16:26, 11. Dez. 2012 (CET) 

==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks==
[[Bild:Decvkabbildungen_Rechteck.png| 300px]] 
Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen: 
<math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math> 
Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel: 
[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.4.JPG| 200px]] 
'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:''' 
1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle 
2. Assoziativität: Gegeben 
3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math> 
4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math> 
Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch '''Kleinsche Vierergruppe''' genannt. 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:17, 12. Dez. 2012 (CET) 


[[Kategorie:Linalg]]

|}
</div>

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-14T18:00:49Z

Jessy*: /* Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: */

Bewegungen (2012 13)

2013-01-09T11:14:38Z

Jessy*: /* Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Begriff der Bewegung ==
=== Die Grundideen ===
====Starrheit und Kopieren====
<ggb_applet width="712" height="673" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===Abstraktion von den physikalischen Gegebenheiten===
Die Materie scheint schwer genug zu sein. Wir werden unsere Betrachtungen auf eine einzige Ebene ε einschränken.

Die Lochschablone ist nichts anderes als das Modell unserer Ebene. Leider muss jedes physikalische Modell, mit dem der Schüler auch noch konkret handelnd tätig werden soll, flächenmäßig beschränkt sein.Für den mathematischen Bewegungsbegriff abstrahieren wir von dieser Beschränktheit. Das ist uns eigentlich schon länger klar, soll an dieser Stelle jedoch noch einmal besonders hervorgehoben und betont werden.

Hinter der Idee des Kopierens steckt nichts anderes als der mathematische Abbildungsbegriff. Jedem Original wird ein Bild zugeordnet.

Der Definitionsbereich für unsere Abbildungen ist die gesamte Ebene. Ihr Bild ist sie selbst. Jeder Punkt der Ebene ε wird auf genau einen Punkt der Ebene ε abgebildet. Aus mathematischer Sicht ist es egal, ob unser Ebenenmodell aus Plastik oder Glas ist. Aus Gummi dürfte es allerdings nicht sein, denn Gummimatten sind mit Sicherheit nicht starr. Die Starrheit bedeutet nichts weiter, als dass zwei Originalpunkte denselben Abstand haben wie ihre Bildpunkte.

=== Der Begriff der Bewegung ===
==== Definition ====
=====Definition 1.1: Bewegung=====
::Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. 

=== Eigenschaften von Bewegungen ===
===== Satz 1.1: (Bijektivität von Bewegungen) =====
::Jede Bewegung ist eine Bijektion.

==== Beweis von Satz 1.1 ====
===== Vorüberlegungen =====
Es sei <math>\ \beta</math> eine Bewegung, die die Ebene <math> \epsilon</math> auf sich selbst abbildet.

Wir haben zu zeigen, dass <math>\ \beta</math> ein Bijektion ist. 
Hierzu haben wir zu zeigen, dass die Abbildung <math>\ \beta</math> 
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t surjektiv]

und

*[http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t injektiv]

ist.

===== Surjektivität =====
Die Surjektivität ergibt sich entsprechend der Definition 1.1 (Abbildung auf)

===== Injektivität =====
Alle unsere folgenden Bemerkungen beziehen sich auf ein und dieselbe Ebene <math>\varepsilon</math>. Wir verzichten deshalb darauf, die Zugehörigkeit der im folgenden verwendeten Punkte zu <math>\varepsilon</math> explizit zu betonen. Die gestrichenen Punktbezeichnungen mögen immer das Bild des Punktes mit der entsprechenden ungestrichenen Punktbezeichnung bezüglich der Bewegung <math>\beta</math> kennzeichnen.

zu zeigen:

# Jeder Punkt <math>\ P'</math> ist das Bild von maximal einem Punkt <math>\ P</math>. oder 
# Je zwei verschiedene Originalpunkte <math>\ P</math> und <math>\ Q</math> haben nicht dasselbe Bild. oder 
# <math>P \ne Q\Rightarrow P' \ne Q'</math>

Wir entscheiden uns dafür, 3. zu zeigen.

Wir führen den Beweis indirekt. (Ergänzen Sie den Beweis!)

{| class="wikitable"
|-
|Voraussetzung:|| <math>P \ne Q</math>
|-
|Behauptung:||<math> P' \ne Q'</math>
|-
|Annahme:||<math>\ P' = Q' </math>
|}

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (I)
| <math> d(P,Q) > 0 </math>
| Vor., Def. Abstand, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| (II)
| <math> d(\beta(P), \beta(Q)) = 0 </math>
|Annahme, Abstandsaxiom --[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| (III)
| (I) und (II) widersprechen sich.
| (I), (II)--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 16:17, 10. Nov. 2012 (CET)
|}

===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====
:: Die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist eine Bewegung.
===== Beweis von Satz 1.2 =====
Zunächst ist allgemein bekannt, dass die NAF zweier Abbildungen eine Abbildung ist (s. Algebra I). Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen. <math>\beta_1</math> bildet die Ebene <math>\varepsilon</math>auf sich selbst ab. Hernach wird <math>\varepsilon</math> durch <math>\beta_2</math> wiederum auf sich selbst abgebildet. Ergo: <math>\begin{matrix} & \beta_2 \beta_1 & \\ \varepsilon & \longrightarrow & \varepsilon \end{matrix} </math>.

Bleibt zu zeigen, dass die NAF zweier Bewegungen auch abstandserhaltend ist.

[[Bild:Abstandserhaltung_von_NAF.JPG|500px]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:21, 16. Nov. 2012 (CET)

===== Satz 1.3: (Zwischenrelation als Invariante von Bewegungen) =====
::Die Zwischenrelation ist eine Invariante bei jeder Bewegung.

===== Beweis von Satz 1.3 =====

Es seien <math>\ A, B, C</math> drei paarweise verschiedene Punkte mit

(*) <math>\operatorname{Zw}(A, B, C)</math>.

zu zeigen:

(**) <math>\operatorname{Zw}(A', B', C')</math>

Wir übersetzen zunächst (*):

<math>\ |AB| + |BC| = |AC|</math>

entsprechend (**) haben wir zu zeigen, dass <math>\ |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|</math> gilt.

Den Rest können Sie alleine ... .

[[Bild:Invarianz_der_Zw-Relation.JPG|500px]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:46, 7. Nov. 2012 (CET)

=====Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen) =====
:: Für eine jede Bewegung <math>\ \beta</math> gilt:

::{| class="wikitable"
|-
| (a) || Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.
|-
| (b) || Das Bild einer Halbgeraden <math>\ AP^+</math> ist eine Halgerade mit dem Anfagspunkt <math>\ \beta(A)</math>.
|-
| (c) || Das Bild einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Strecke <math>\overline{\beta(A)\beta(B)}</math>
|-
| (d) || Falls zwei Geraden, Strecken, Halbgeraden oder zwei verschiedene dieser Figuren einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam haben, so haben die Bildfiguren den Punkt <math>\ \beta(P)</math> gemeinsam.
|-
| (e) || Jede Halbebene mit einer Randgeraden g auf eine Halbebene mit der Randgeraden β(g).
|-
| (f) || Das Innere eines beliebigen Winkels wird auf das Innere des zugehörigen Bildwinkels abgebildet.
|}

===== Beweis von Satz 1.4: =====
:: Die Beweise ergeben sich mehr oder weniger unmittelbar aus Satz 1.3.
::Fühlen Sie sich frei zu üben.

'''Beweis von (a)'''

[[Bild:G_auf_g.JPG|700px]]

'''Beweis von (b)'''

[[Bild: AP%2B_auf_AP%2B.JPG|700px]]

'''Beweis von (c)'''

[[Bild:Strecke_auf_Strecke.JPG|700px]]

'''Beweis von (d)'''

[[Bild:Schnittpunkttreue.JPG|800px]]

Die anderen Beweise zur Schnittpunkttreue müssten analog verlaufen...
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:36, 16. Nov. 2012 (CET)

===== Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)=====
:: Für jede Bewegung <math>\ \beta</math> und jeden Winkel <math>\angle ASB</math> gilt:
:: <math>| \angle ASB| = | \angle \beta(A) \beta(S) \beta(B)|</math>

=====Beweis von Satz 1.5:=====

Abstandserhaltung von <math>\ \beta</math>und der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.
 
Voraussetzung: <math>\angle ASB</math>, Bewegung <math>\beta</math>, <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> 
Behauptung: <math>\angle ASB</math> = <math>\angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)</math> 

[[Bild:Winkeltreue.JPG|600px]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:48, 16. Nov. 2012 (CET) 
=====Satz 1.6:=====
Jede Bewegung ist durch ein Dreieck <math>\bar{ABC}</math> und dessen Bild <math>\bar{A'B'C'}</math> eindeutig bestimmt. 
=====Beweis von Satz 1.6:=====
[[Bild:Satz_1.6.JPG|700px]] 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:22, 12. Dez. 2012 (CET) 

|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Drehungen (2012 13)

2013-01-09T11:10:59Z

Jessy*: /* Definitionsmöglichkeiten */

==Definitionsmöglichkeiten==
'''Definition 1''' 
Unter einer Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math> um den Punkt Z mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> versteht man eine Abbildung <math>\varphi</math> der Ebene <math>\epsilon </math> auf sich, für die gilt: 
1. Z ist Fixpunkt bezüglich <math>\varphi</math><br\>
2. <math>\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|</math> mit <math>A \in \epsilon </math> und <math>A \not\equiv Z </math> 
3. <math>\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha</math> mit <math>A \in \epsilon </math> und <math>A \not\equiv Z </math> 
Die Definition entstand aus Vorüberlegungen. 
'''Definition 2''' 
Unter der Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math> um den Punkt Z mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_{a}</math> und <math>S_{b}</math> mit <math>a \cap b = {Z}</math> und <math> | \alpha | = 2| \angle (a,b)|</math> 
Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde: 
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math>, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_{a}</math> und <math>S_{b}</math> mit <math>a \cap b = {Z}</math> und <math> | \alpha | = 2| \angle (a,b)|</math> ist. 
'''Definition 3''' 
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt. 
Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.): 
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt. 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET) 

==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math>==
Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene <math> \epsilon</math> und <math>D_{Z, \alpha}</math> eine Drehung der Ebene <math> \epsilon</math> mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha</math>. 

==Drehungen als Bewegungen==
'''Satz 6.1''' 
Jede Drehung ist eine Bewegung. 
==Sätze zu Drehungen==
'''Satz 6.2''' 
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel <math> \alpha </math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel <math> \beta </math> gilt: <math> | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|</math> 
'''Satz 6.3''' 
Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)</math> 
<math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1. 
'''Satz 6.4''' 
Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt. 
Tipp: Beweise den Satz: Die NAF <math> S_h \circ S_g </math> zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math> für die gilt: g <math> \cap </math> h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt. 
'''Satz 6.5''' 
Jede von der Drehung mit 0°< |<math> \alpha </math>| <360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt. 
<math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.

Drehungen (2012 13)

2013-01-09T11:07:29Z

Jessy*: /* Sätze zu Drehungen */

==Definitionsmöglichkeiten==
'''Definition 1''' 
Unter einer Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math> um den Punkt Z mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> versteht man eine Abbildung <math>\varphi</math> der Ebene <math>\epsilon </math> auf sich, für die gilt: 
1. Z ist Fixpunkt bezüglich <math>\varphi</math><br\>
2. <math>\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|</math> mit <math>A \in \epsilon </math> und <math>A \not\equiv Z </math> 
3. <math>\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha</math> mit <math>A \in \epsilon </math> und <math>A \not\equiv Z </math> 
Die Definition entstand aus Vorüberlegungen. 
'''Definition 2''' 
Unter der Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math> um den Punkt Z mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_{a}</math> und <math>S_{b}</math> mit <math>a \cap b = {Z}</math> und <math> | \alpha | = 2| \angle (a,b)|</math> 
Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde: 
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math>, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_{a}</math> und <math>S_{b}</math> mit <math>a \cap b = {Z}</math> und <math> | \alpha | = 2| \angle (a,b)|</math> ist. 
'''Definition 3''' 
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt. 
Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.): 
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt. 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET) 

==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math>==
Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene <math> \epsilon</math> und <math>D_{Z, \alpha}</math> eine Drehung der Ebene <math> \epsilon</math> mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha</math>. 

==Drehungen als Bewegungen==
'''Satz 6.1''' 
Jede Drehung ist eine Bewegung. 
==Sätze zu Drehungen==
'''Satz 6.2''' 
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel <math> \alpha </math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel <math> \beta </math> gilt: <math> | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|</math> 
'''Satz 6.3''' 
Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)</math> 
<math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1. 
'''Satz 6.4''' 
Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt. 
Tipp: Beweise den Satz: Die NAF <math> S_h \circ S_g </math> zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math> für die gilt: g <math> \cap </math> h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt. 
'''Satz 6.5''' 
Jede von der Drehung mit 0°< |<math> \alpha </math>| <360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt. 
<math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.

Drehungen (2012 13)

2013-01-09T10:58:22Z

Jessy*: /* Sätze zu Drehungen */

==Definitionsmöglichkeiten==
'''Definition 1''' 
Unter einer Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math> um den Punkt Z mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> versteht man eine Abbildung <math>\varphi</math> der Ebene <math>\epsilon </math> auf sich, für die gilt: 
1. Z ist Fixpunkt bezüglich <math>\varphi</math><br\>
2. <math>\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|</math> mit <math>A \in \epsilon </math> und <math>A \not\equiv Z </math> 
3. <math>\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha</math> mit <math>A \in \epsilon </math> und <math>A \not\equiv Z </math> 
Die Definition entstand aus Vorüberlegungen. 
'''Definition 2''' 
Unter der Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math> um den Punkt Z mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_{a}</math> und <math>S_{b}</math> mit <math>a \cap b = {Z}</math> und <math> | \alpha | = 2| \angle (a,b)|</math> 
Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde: 
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math>, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_{a}</math> und <math>S_{b}</math> mit <math>a \cap b = {Z}</math> und <math> | \alpha | = 2| \angle (a,b)|</math> ist. 
'''Definition 3''' 
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt. 
Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.): 
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt. 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET) 

==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math>==
Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene <math> \epsilon</math> und <math>D_{Z, \alpha}</math> eine Drehung der Ebene <math> \epsilon</math> mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha</math>. 

==Drehungen als Bewegungen==
'''Satz 6.1''' 
Jede Drehung ist eine Bewegung. 
==Sätze zu Drehungen==
'''Satz 6.2''' 
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel <math> \alpha </math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel <math> \beta </math> gilt: <math> | \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|</math> 
'''Satz 6.3''' 
Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)</math> 
<math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.

Drehungen (2012 13)

2013-01-09T10:57:33Z

Jessy*: /* Sätze zu Drehungen */

==Definitionsmöglichkeiten==
'''Definition 1''' 
Unter einer Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math> um den Punkt Z mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> versteht man eine Abbildung <math>\varphi</math> der Ebene <math>\epsilon </math> auf sich, für die gilt: 
1. Z ist Fixpunkt bezüglich <math>\varphi</math><br\>
2. <math>\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|</math> mit <math>A \in \epsilon </math> und <math>A \not\equiv Z </math> 
3. <math>\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha</math> mit <math>A \in \epsilon </math> und <math>A \not\equiv Z </math> 
Die Definition entstand aus Vorüberlegungen. 
'''Definition 2''' 
Unter der Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math> um den Punkt Z mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_{a}</math> und <math>S_{b}</math> mit <math>a \cap b = {Z}</math> und <math> | \alpha | = 2| \angle (a,b)|</math> 
Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde: 
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math>, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_{a}</math> und <math>S_{b}</math> mit <math>a \cap b = {Z}</math> und <math> | \alpha | = 2| \angle (a,b)|</math> ist. 
'''Definition 3''' 
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt. 
Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.): 
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt. 
--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 13:48, 12. Dez. 2012 (CET) 

==Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung <math>D_{Z, \alpha}</math>==
Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene <math> \epsilon</math> und <math>D_{Z, \alpha}</math> eine Drehung der Ebene <math> \epsilon</math> mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha</math>. 

==Drehungen als Bewegungen==
'''Satz 6.1''' 
Jede Drehung ist eine Bewegung. 
==Sätze zu Drehungen==
'''Satz 6.2''' 
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel <math> \alpha </math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel <math> \beta </math> gilt: <math> \beta = | \frac{ \alpha}{2}|</math> 
'''Satz 6.3''' 
Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)</math> 
<math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.

Drehungen (2012 13)

2013-01-09T10:45:35Z

Jessy*: /* Drehungen als Bewegungen */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-08T16:29:34Z

Jessy*: /* Drehung als lineare Abbildung: */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-08T16:28:53Z

Jessy*: /* Drehung als lineare Abbildung: */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-08T16:17:53Z

Jessy*: /* Drehung */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-08T16:17:17Z

Jessy*: /* Drehung */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-08T15:57:27Z

Jessy*: /* Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-08T15:47:29Z

Jessy*: /* Drehung */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-08T14:21:42Z

Jessy*: /* Drehung */

Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

2013-01-08T14:19:46Z

Jessy*: /* Drehung */