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Diskussion:Lösung von Aufgabe 3.2

2011-02-02T19:17:33Z

Jp1234:

Sätze WS10/11

2011-01-21T10:09:29Z

Jp1234:

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= Sätze =

== Sätze I ==

===Satz I.1===
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

===Satz I.2 (Kontraposition von Satz I.1)===
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

===Satz I.3 (Existenz von drei Geraden)===
Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=== Satz I.4 ===
(?)

===Satz I.5===
Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

===Satz I.6===
Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

===Satz I.7===
Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

== Sätze II ==

=== Satz II.1 ===
Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

=== Satz II.2 ===
Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

=== Satz II.3 ===
Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.

Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

=== Satz II.4 ===
Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>.

Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

== Sätze III ==

=== Satz III.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) ===
Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

== Sätze IV ==

=== Satz IV.1 ===
Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

=== Satz IV.2 ===
Halbebenen sind konvexe Punktmengen

=== Satz IV.3 ===
Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

== Sätze V ==

=== Satz V.1 ===
Das Innere eines Winkels ist konvex.

=== Satz V.2 ===
Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

=== Satz V.3 (Existenz von rechten Winkeln) ===
Es gibt rechte Winkel.

=== Satz V.4 ===
Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

=== Satz V.5 (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) ===
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

== Sätze VI ==

=== Satz VI.1 (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ===
Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

=== Satz VI.1 1/2 ===
Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

=== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)===
Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

== Sätze VII ==

=== Satz VII.1 ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

=== Satz VII.2 ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

=== Satz VII.3 ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

=== Satz VII.4 (Kongruenzsatz WSW) ===
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>

gelten,
 dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

=== Der Kongruenzsatz SSS ===
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

=== Satz VII.5 Basiswinkelsatz ===
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

=== Satz VII.6 (Mittelsenkrechtenkriterium) ===
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

=== Satz VII.6a ===
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

:(hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.)

=== Satz VII.6b ===
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

:(notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)

== Sätze VIII ==

=== Satz VIII.1 (schwacher Außenwinkelsatz) ===
Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2 ====
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> .

==== Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz ====
In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

==== Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz ====
Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

== Sätze IX ==

=== Satz IX.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ===
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

=== Satz IX.2 (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) ===
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.

<math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

=== Satz IX.3 (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) ===
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.

<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

== Sätze X ==

=== Satz X.1 (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) ===
Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.

== Sätze XI ==

=== Satz XI.1 (Existenz von Parallelen) ===
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.

== Sätze XII ==

=== Satz XII.1 (Stufenwinkelsatz) ===
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.
=== Satz XII.2 (Wechselwinkelsatz) ===
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.

=== Satz XII.3 ===
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.

Definitionen WS10/11

2011-01-21T09:42:58Z

Jp1234:

Hier geht es zu den [[Axiome WS10/11]]

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= Definitionen (1) =

===Definition: (n-stellige Relation)===
Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

===Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)===
Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.

<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn

:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

= Definitionen (2) =

== Definitionen I ==

===Definition I/2 (kollinear)===
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)

Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

===Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)===
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

===Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)===
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

===Definition I/5 (Raum)===
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

===Definition I/6 (komplanar)===
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)

analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar

===Definition I/7 (komplanar für Geraden)=====
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

===Definition I/8 (Geradenparallelität)===
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g || h.

===Definition I/9 (windschief)===
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

===Definition I/10 (parallel für Ebenen)===
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

== Definitionen II ==

=== Definition II.1 (Abstand) ===
Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann.

Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

=== Definition II.2 (Zwischenrelation) ===
Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

=== Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ===
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=== Definition II.4 (Länge einer Strecke) ===
Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=== Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl) ===
Halbgerade <math>AB^+</math>

<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

Halbgerade <math>AB^-</math>

<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

== Definitionen III ==

=== Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke) ===
Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

== Definitionen IV ==

=== Definition IV.1 (offene Halbebene)===
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.
 Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math>

:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math>

=== Definition IV.2 (Halbebene) ===
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

:<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

:<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

===Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)===
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

== Definitionen V ==

=== Definition V.1 (Winkel)===
Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels <math>\ \angle pq</math>. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S

=== Definition V.2 (Inneres eines Winkels) ===
Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.

=== Definition V.3 (Scheitelwinkel) ===

(a) Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.

(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

=== Definition V.4 (Nebenwinkel) ===

(a) Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.

(b) Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

===Definition V.5 (Größe eines Winkels) ===
Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt.
 In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

=== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ===
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

=== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ===
Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

=== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) ===
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math>

=== Definition V.9 (noch mehr Senkrecht) ===
1. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen.

2. Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ CD</math> steht.

3. Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:50, 8. Dez. 2010 (UTC)

== Defintionen VI ==

=== Definition VI.1 (Mittelsenkrechte) ===
Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

:# <math>m \perp AB</math>
:# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

=== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)===
(a) Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.

(b) Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

== Definitionen VII ==

=== Definition VII.1 (Streckenkongruenz) ===
Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.

In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

=== Definition VII.2 (Winkelkongruenz) ===
Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.

In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

=== Definition VII.3 (Dreieckskongruenz) ===
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
gelten,

dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

=== Definition VII.4 (gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel) ===

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.

Ein '''Schenkel''' ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.
 Die dritte Seite nennt man '''Basis''' des gleichschenkligen Dreiecks.
 Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man '''Basiswinkel''' des gleichschenkligen Dreiecks.

== Definitionen VIII ==

=== Definition VIII.1 (Außenwinkel eines Dreiecks) ====
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline {ABC}</math>. Alle Nebenwinkel der Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline {ABC}</math>.

== Definitionen IX ==

=== Definition IX.1 (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge.

Eine Gerade <math>\ h</math> mit <math>\ P</math> <math>\ \in h</math> und <math>\ h \perp g</math> heißt '''Lot/Lotgerade''' vom Punkt <math>\ P</math> auf die Gerade <math>\ g</math> und der Punkt <math>\ L</math> mit {<math>\ L</math>} = <math>\ g \cap h</math> heißt '''Lotfußpunkt''' des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

=== Definition IX.2 (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>.

Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist der Abstand der Punkte <math>\ P</math> und <math>\ L</math>, wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> ist.

== Definitionen X ==

=== Definition X.1 (Stufenwinkel) ===

=== Definition X.2 (Wechselwinkel) ===

=== Definition X.3 (entgegengesetzt liegende Winkel) ===

Definitionen WS10/11

2011-01-21T09:08:24Z

Jp1234:

Axiome WS10/11

2011-01-21T08:54:27Z

Jp1234:

= Axiome =

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== Axiome I: Inzidenzaxiome ==

===Axiom I/0===
Geraden sind Punktmengen.

===Axiom I/1 (Axiom von der Geraden)===
Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

:weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden

:Eine Gerade g, die durch zwei verschiedene Punkte A und B eindeutig bestimmt ist wird auch mit AB bezeichnet.

===Axiom I/2===
Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

===Axiom I/3===
Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

===Axiom I/4===
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

===Axiom I/5===
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

===Axiom I/6===
Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

===Axiom I/7===
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

== Axiome II: Abstandsaxiome ==

=== Axiom II.1 (Abstandsaxiom) ===
Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

=== Axiom II.2 ===
Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Axiom II/3 (Dreiecksungleichung) ===
Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

== Axiome III ==

=== Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) ===
Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

=== Axiom III.2 (Das Axiom von Pasch) ===
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

== Axiome IV ==

=== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ===
Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

=== Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) ===
Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

=== Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom)===
Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

=== Axiom IV.4 (Supplementaxiom) ===
Nebenwinkel sind supplementär.

== Axiome V ==

=== Axiom V (Kongruenzaxiom SWS) ===
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
gelten, 
dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Parallelenaxiom ==

=== Das Euklidische Parallelenaxiom ===
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

Lösung von Aufg. 10.2

2010-12-21T23:35:09Z

Jp1234:

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) 
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... . 

Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn auch die Geraden <math>\ AB</math> und <math>\ CD</math> senkrecht aufeinander stehen. 

Eine Gerade g und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 15:49, 15. Dez. 2010 (UTC)

... wenn es in <math>\epsilon</math> zwei voneinander verschiedene Geraden gibt, die senkrecht zu g stehen. --[[Benutzer:Jp1234|jp1234]] 23:35, 21. Dez. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Auftrag der Woche 1 WS

2010-10-21T17:57:17Z

Jp1234:

== Geometrie im Alltag ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie Geometrie im Alltag aufspüren und als Bild in Ihre Benutzerseite stellen. Dies dient auch dazu, dass Sie lernen, das Wiki zu verwenden.

Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===

* [[Benutzer:Spannagel]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma
* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko
* [[Benutzer:Jp1234]] - Kirchenfenster in Prag
* [[Benutzer:Paulchen86]] - Paulskirche in Rom
* [[Benutzer:Eled13]] - Rotunde der Grabeskirche in Jerusalem
* [[Benutzer:Schnappi]] - Balkongeländer in HD
: mit Stufenwinkel !!!

Lösung von Aufgabe 1.3

2010-10-20T13:55:07Z

Jp1234:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!

Also hier ist den Autoren von wer wird Millionär ein Fehler unterlaufen. Der Kandidat hätte zwei Antwortmöglichkeiten gehabt, denn sowohl das Trapez als auch das Parallogramm sind Rechtecke.
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 15:57, 18. Okt. 2010 (UTC)

Kann meinem Vorredner nur recht geben. Gab damals auch richtig Stunk und einige Mathedozenten meldeten sich bei der Redaktion.--[[Benutzer:Ove Eggert|Ove Eggert]] 18:15, 18. Okt. 2010 (UTC)

Ich glaube, da ist euch ein Fehler in der Formulierung unterlaufen, denn ein Trapez und ein Parallelogramm sind nicht gleich Rechteck. Aber anders herum stimmt es - ein Rechteck ist ein Trapez und ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Schnappi|Schnappi]] 21:34, 18. Okt. 2010 (UTC)

Die Hierarchie geht folgerndermassen:
Wobei die unten stehenden Mengen jeweils Teilmengen der oberen sind:

Trapez
|
Parallelogramm
| |
Rhombus Rechteck
| |
Quadrat

Somit ist jedes Rechteck ein Parallelogramm und ein Trapez, nicht jedes Rechteck ist jedoch ein Quadrat oder ein Rhombus.--[[Benutzer:Ridcully1975|Ridcully1975]] 08:49, 19. Okt. 2010 (UTC)

: Ich würde sagen, jedes Rechteck ist auch ein Trapez, ein Parallelogramm und auch eine Raute. Die Frage hätte also lauten können: "''Nicht'' jedes Rechteck ist... --[[Benutzer:Jp1234|Jp1234]] 16:13, 19. Okt. 2010 (UTC)
:: Quatsch --[[Benutzer:Jp1234|jp1234]] 13:55, 20. Okt. 2010 (UTC)

Ein Rechteck wird doch so definiert, dass alle Innenwinkel 90° betragen. Also müsste es doch heißen "Jedes Rechteck ist ein Quadrat"--[[Benutzer:SelOWö|SelOWö]] 13:08, 20. Okt. 2010 (UTC)

: Ein Quadrat ist definiert durch die Innenwinkel (alle 90°) und dadurch, dass alle Seiten gleich lang sind.
: Bei einem Rechteck hingegen müssen die Innenwinkel (90°) und nur gegenüberliegende Seiten gleich lang sein, nicht jedes Rechteck ist also ein Quadrat. Aber jedes Quadrat ist ein Rechteck--[[Benutzer:Ridcully1975|Ridcully1975]] 13:41, 20. Okt. 2010 (UTC)

Lösungen zu Tutorium Aufgaben 1

2010-10-19T18:18:12Z

Jp1234:

1. A Teilmenge B 
: Zu korrigieren in A = B, siehe Diskussion --[[Benutzer:Jp1234|Jp1234]] 18:18, 19. Okt. 2010 (UTC)
2. M1 = M2 = M4 = leer, M3 = M6 = {-2}, M5 = {+wurzel2, -wurzel2} 
3. M2 = M3 Teilmenge M1 
4. N2 Teilmenge N1 = N3 
--[[Benutzer:Jp1234|Jp1234]] 16:23, 19. Okt. 2010 (UTC)

Diskussion:Lösungen zu Tutorium Aufgaben 1

2010-10-19T18:17:01Z

Jp1234:

Lösungen zu Tutorium Aufgaben 1

2010-10-19T16:26:31Z

Jp1234:

1. A Teilmenge B 
2. M1 = M2 = M4 = leer, M3 = M6 = {-2}, M5 = {+wurzel2, -wurzel2} 
3. M2 = M3 Teilmenge M1 
4. N2 Teilmenge N1 = N3 
--[[Benutzer:Jp1234|Jp1234]] 16:23, 19. Okt. 2010 (UTC)

Lösungen zu Tutorium Aufgaben 1

2010-10-19T16:23:27Z

Jp1234: Die Seite wurde neu angelegt: 1. A Teilmenge B 2. M1 = M2 = M4 = leer, M3 = M6 = {-2}, M5 = {+wurzel2, -wurzel2} 3. M2 Teilmenge M2 = M3 4. N2 = N3 Teilmenge N1 --~~~~

1. A Teilmenge B 
2. M1 = M2 = M4 = leer, M3 = M6 = {-2}, M5 = {+wurzel2, -wurzel2} 
3. M2 Teilmenge M2 = M3 
4. N2 = N3 Teilmenge N1 
--[[Benutzer:Jp1234|Jp1234]] 16:23, 19. Okt. 2010 (UTC)

Auftrag der Woche WS10/11, Quiz der Woche WS10/11, Übungsaufgaben WS 10/11 etc.

2010-10-19T16:22:11Z

Jp1234:

== Wöchentlich ==
=== Woche 1===
18.11.10 bis 22.10.10
* [[Auftrag der Woche 1_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_1]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_1.pdf|Tutorium_Aufgaben_1}}
: [[Lösungen zu Tutorium_Aufgaben_1]]

=== Woche 2===
25.10.10 bis 29.10.10
* [[Auftrag der Woche 2_WS]]
*[[Übung_Aufgaben_2]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_2.pdf|Tutorium_Aufgaben_2}}
*[[Quiz der Woche 2_WS]]

Lösung von Aufgabe 1.3

2010-10-19T16:13:40Z

Jp1234:

Lösung von Aufgabe 1.2

2010-10-19T16:08:43Z

Jp1234:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt: 
Viereck, Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

Viereck: Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4 
Trapez: Das Viereck ist dann ein Trapez, wenn zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind 
Drache: Das ist ein Viereck mit einer Diagonalen als Symmetrieachse 
Raute: das ist ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten 
Rechteck: Das ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind 
Quadrat Ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 16:02, 18. Okt. 2010 (UTC)

Ein Viereck ist ein n-Eck mit vier Eckpunkten. 
Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten. 
Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit je zwei zueinander parallelen Seiten und dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren. 
Ein Drache ist ein Viereck mit je zwei gleich langen Seiten und die Diagonalen liegen senkrecht aufeinander. 
Eine Raute ist ein Drachenviereck mit gleich langen Seiten. 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwinkel. 
Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier zueinander gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Abukabar|Abukabar]] 17:29, 18. Okt. 2010 (UTC)

Ein '''Viereck''' ist ein geschlossener Streckenzug aus vier Strecken. 
Ein '''Trapez''' ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. 
Ein '''Parallelogramm''' ist ein Viereck dessen gegenüberliegende Seiten jeweils parallel sind. 
Ein '''Drachen''' ist ein Viereck, bei dem je zwei nebeneinander liegende Seiten gleichlang sind. 
Eine '''Raute''' ist ein Drachen mit vier gleichlangen Seiten. 
Ein '''Rechteck''' ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. 
Ein '''Quadrat''' ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten. 
--[[Benutzer:Jp1234|Jp1234]] 16:08, 19. Okt. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 1.1

2010-10-19T16:02:00Z

Jp1234:

In welchen Fällen handelt es sich um Definitionen? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# <math>\ n!=(n-1)! \cdot n </math>, falls <math>\ n > 0 </math> <math>\ n!=1 </math>, falls <math>\ n=0 </math> 
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Jedes Dreieck mit einem Umkreis heißt Sehnendreieck.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Jedes Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Fakultät schlägt jede Potenz.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Ein Quadrat ist ein Rechteck.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck

1. Ist eine Realdefintion. n.eck ist der Oberbegriff und n=4 ist ein Merkmal
2. Definition
3. Stufenwinkelsatz- also beweisbar
4. Defintion
5. Definition, allerdings gibt es keinen Dreieckschneider
6. Satz
7. falsche Aussage, denn auch ein Fünfeck hat vier Ecken
8. Definition
9. Existenzaussage
10.keine Definition
11.Satz des Thales
12.Definition
13.Definition
14.keine Definition
15.Definition
16.Definition
17.Definition
18.keine Definition, denn Oberbegriff fehlt
19.keine Definiton, denn Eigenschaft fehlt
20 keine Definiton
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 16:21, 18. Okt. 2010 (UTC)

Definitionen: Nr. 1, 2, 4, 5 (Nonsens), 8, 12, 14, 16, 17 
Sätze: 3, 7 (falsch), 11 (so falsch), 13 (wahr?), 18 (wahr), 19 (wahr), 20 (wahr) 
Behauptungen/Aussagen: 6 (wahr), 9 (wahr) 
Sonstiges: 10 (Merksatz), 15 (Konstruktionsbeschreibung) 
Zu Nr. 13: Ist auch ein gestreckter Winkel zu seinem Nebenwinkel kongruent? 
--[[Benutzer:Jp1234|Jp1234]] 16:02, 19. Okt. 2010 (UTC)

Auftrag der Woche 1 WS

2010-10-19T15:40:29Z

Jp1234:

Benutzer:Jp1234

2010-10-19T15:39:45Z

Jp1234: Die Seite wurde neu angelegt: Geometrisch konstruiertes Kirchenfenster; Prag, Veitsdom 400px

Geometrisch konstruiertes Kirchenfenster; Prag, Veitsdom

[[Bild:Bild_064a.jpg|400px]]

Datei:Bild 064a.jpg

2010-10-19T15:37:21Z

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