Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Dreieckskongruenz (SoSe 11)

2011-07-23T07:50:00Z

Katrin: /* Der Kongruenzsatz SSS */

== Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz ==
=== Bewegungsgeometrie ===
==== naive Deckungsgleichheit ====
==== Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich ====
=== Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz ===
===Videos zur Idee der Kongruenz===
{{#ev:youtube|fs5NeNuGzA8}}
{{#ev:youtube|Wm9xdlvD6Z8}}
{{#ev:youtube|tF-z3vQZZFA}}

== Streckenkongruenz ==
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
<quiz display="simple">
{Wie sagt man es richtig?
}
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander.
+ Der Punkt <math>\ A</math> hat zum Punkt <math>\ B</math> denselben Abstand wie der Punkt <math>\ C</math> zum Punkt <math>\ D</math>
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> haben dieselbe Länge.
</quiz>

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: 
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen <math>\ a = 5\operatorname{cm}</math>, <math>\ b = 4\operatorname{cm}</math>, <math>\ c = 3\operatorname{cm}</math>. <math>\ 30</math> Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung <math>\ 30</math> Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

== Das Kongruenzaxiom SWS ==
===== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Der Kongruenzsatz WSW ==
===== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Beweis von Satz VII.4 =====
======Als Folge von Tafeln ======
[[Der fotografierte Beweis]]
======Video======
{{#ev:youtube|vgACEclZ4aI}}
{{#ev:youtube|gKsqeAUNf8g}}
{{#ev:youtube|VYptKtH_ZkQ}}

===== Die Beweisidee =====
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.

<ggb_applet width="892" height="590" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

== Der Kongruenzsatz SSS ==
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

 Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. 

<math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
<math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
<math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 13:59, 12. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beweisversuch (aber ohne Basiswinkelsatz: geht das so auch?):

Vor. Zwei Dreiecke <math>\overline{ABC} und \overline {DEF}</math>

(1) <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
(2) <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
(3) <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> 

Beh: <math>\overline{ABC} \cong \overline {DEF}</math>

Es genügt zu zeigen: <math>\angle CAB \cong \angle FDE </math> weil SWS bereits als Axiom festgelegt

Annahme: oBdA <math>\angle CAB > \angle FDE</math>

1) Auf <math> EF+ </math> gibt es einen Punkt F* | Ax. v. Lineal
<math>\overline BC \cong \overline EF*</math>

2) F ist Element des Inneren von <math> \angle F*DE </math> und <math> Zw(F*,F,E) </math>

3)<math> \angle FDE </math> ist nicht kongruent zu <math> \angle F*DE </math> | 2) und Folgerung aus dem Winkeladd.ax.

4) <math>\overline ABC \cong \overline DEF* </math> | SWS, Vor (1), Vor.

5) <math>\overline BC \cong \overline EF* </math> | 4)

6) <math>\overline BC ist nicht kongruent zu \overline EF </math> | 5),3)

das ist ein Widerspruch zur Vor.(2) also müssen die beiden Dreiecke kongruent zueinander sein.

Ich komme mit der Schreibweise hier nicht zurecht hoffe man erkennt was ich gemeint hab. 
Die Schlussfolgerungen in den Schritten 5 und 6 ergeben für mich keinen Sinn, da du ja schon in Schritt 1 <math>\overline{EF*}</math> so konstruierst, dass <math>\overline{BC} \cong \overline{EF*}</math> ist!?--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 13:05, 16. Jul. 2011 (CEST)
 Wie ist es denn mit dem SsW-Satz? Können wir den auch beweisen?--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:50, 23. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 3 SS11

2011-07-23T07:33:33Z

Katrin: Die Seite wurde neu angelegt: „== Aufgabe 3 == Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn ein Punkt ''P'' zur Mittelsenkrechten der Strecke gehört, dann hat er zu den Punkten ''A'' und ''B'…“

== Aufgabe 3 ==
Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn ein Punkt ''P'' zur Mittelsenkrechten der Strecke gehört, dann hat er zu den Punkten ''A'' und ''B'' ein und denselben Abstand. 
a) Formulieren Sie die Kontraposition dieser Implikation. 
b) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Implikation. 
a)Wenn ein Punkt P zu den Punkten A und B nicht denselben Abstand hat, dann gehört der Punkt nicht zur Mittelsenkrechten von \overline{AB} 
b) Wenn ein Punkt P zu dem Punkten A und B denselben Abstand hat, dann gehört der Punkt zur Mittelsenkrechten von \overline{AB} 
--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:33, 23. Jul. 2011 (CEST)--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:33, 23. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 2 SS11

2011-07-23T07:29:34Z

Katrin:

== Aufgabe 2 ==
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =\overline{AB} </math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =AB ohne \overline{AB} </math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =\lbrace B,B'\rbrace </math>

d)<math>\ AB \cap BA =AB</math> <br\>

--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:29, 23. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 2 SS11

2011-07-23T07:29:10Z

Katrin: Die Seite wurde neu angelegt: „== Aufgabe 2 == Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen? a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =\o…“

Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe 11)

2011-07-23T07:11:01Z

Katrin: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
|}

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ''Punkt'' in zwei ''Halbgeraden'' eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ''Gerade'' in zwei ''Halbebenen'' eingeteilt.

::Eine Gerade ist ein ''ein''dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein ''zwei''dimensionales Objekt.

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein'' null''dimensionales geometrisches Objekt. 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein ''ein''dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension'' n-1'' .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ''Halbgeraden'' .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ''Halbgeraden''.

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \epsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \epsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Die Menge <math>\ \epsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ''Halbebene'' .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ''Halbebene'' .--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:04, 23. Jul. 2011 (CEST)

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge P\in E \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P||\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in E \}</math>
--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:11, 23. Jul. 2011 (CEST)

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt: 
::Ergänzen Sie selbst.

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.4: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe 11)

2011-07-23T07:04:56Z

Katrin:

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAC+LwjwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3V3rbttGFv69fQpCKIp2GzNzv6B2iyipXTduE8PZYrHdbkFJtMxYFlWKSuwUfaN9in2yPTND6kpRoi4xlSAAw+FwNPN955w558xwcvzd/V3PexcmwyjunzSwjxpe2G/HnajfPWmM0usj1fju28+Ou2HcDVtJ4F3HyV2QnjSoTxqmfBR9+9nfjoc38Xsv6Nkqv0Th+5PGddAbhg1vOEjCoDO8CcN0pjwY3Ue9KEgeXrXehu10OHngGjnvD0bwK2kygrL2XeciGua3T+0PDnpR+iJ6F3XCxOvF7ZOG4NB1+NcvYZJG7aB30mDIlZCTBpl7CEXUPL2Jk+hD3E9N9Unj11DiecPoQwhvIlN2/NQO9DgctXtRJwr6ZjC2H1DJ895HnfQGmtQCmgyj7k3qft221o7jpHP1MEzDO+/+X2ES2+74EiGJCVcaSSp4w3twjzDV8EjAaBTFlFMNGEKHoSdM+5ohgSWXEmuJmXlp+TP72+G7qzBNgcuhF9yHE5S7SdSZuTkfNuPepGgQR/30eTBIR4kVBJoVXaUP5ucAucSM8lm/2wuzMgI83YTt21Z8f2WRw9Q1/eZhYF+xHWp1n8e9OPESAwIMoJtdW+5q65iejmshWwfZGlkbptHxc6yJrWGvLXe1tXpR33UtGznOR41R/jPR0DMF0LiR3/Hge0ErBHloeKN+lF7kNyA3t9lQsXvh59FdCxRnWnLGbeJdtXn8dE7mjm/DpB/2nGT1gdtRPBp674wEu9+yHemE7egObt2DDJLA0PUP6IAr7YTdJMw77tTOAWafzkjvXPHx07wTpg9D6Gs7BfsB40nNWIx6p6BaJ407v+s3vE6QmlKjP73wLgTlSq1MWJEaY/OsMbYksTUKufpnzycow+NC+bCSFPQGNwGU+NkAesEDmIjpIdn2foo7swMN+gCYHQVo6sA0YCgZhGEnM4tpJsfeAJq0WjGFt4Vp6N2fNI6wz0ANhdCMYcww0wz01JUrKSiVQlNCCGXQ/gfXtm3CKZixJ7ZbNGPfIbYCu+angR3yFZrgpgjmDjqwlkJIKQXjgmtNlK4GXTu+uwv6Ha8f3EE3LsAyWLwiM8l4ATKy5wXYwOgwGqX5g65rKmtggQVjZMYgdxuzdie9AfXuh0PQZj6B4OkmTHFsqTKXily9ur4ehqkBV2oHpi5jckqOAXSCFBeYUCEIRZzY94lPFJEYI66IoDDXWCqITylBhDAMj7hQnM1b4RI0wj/6rs7Q2cLoDmb3dpRW0YDLT0UDxKykZxpAfSy0AI9AY4KQNlxspwDNaAggxcm6itCqoAit5YpAyhRhdq5czRjanK8pOS8Q6Icl4v/BmnEuucbAEVYCc8pkiaTPD3ddSZ/l67yfgk8AEM2R1XVktRbIel5O1qzmPF/UnHWIEMwyYS4td9kBF9jXGKScEMUUk4wi6sgQPuOaMkop14ghTS0X3JcU7sDyCM4IEpRvog0voh74J8V6gM1gvIBkkM6A/OyLYBAPv/kdVwF78tKjmqtpyLEvmdRgdQBABDbcIc4AW8yUoBCiICIq+iprIHy5GuHLTRC+XI5wVfuyI4i1DxYdIMYaMwouoAOYgCHhmAnCGYMoUG7l0hQi3FyNcHMThJt1k2EQYSQzcK1/nTkqTEokmcZIEcTYVlNmuZFYw0qQTawEqQvCYCWYz4TWglGisEL5LEmljyVCGCuNBBgQyfdnKNawFJVQvqwbylr7UjEIGAXThIDsZpYCcZ8KDTYEwWOpMNufqVjDVlTCuFk3jDGmEGSOA0yQWAsyZeB5cIEQxO4CohixDcSvkvQm7sb9oFcQal4uc9raFTzs9iF52EsCySLH2zjY0pcYiDCGnGKETRJg3w52KWGZlW8vENapQFjnkAgrjoiWBEQwLzCMsWaUY3AWhXhctprL2AorsBV+smxBhEWUJooq8JeQZvoj8LUsfG07qjoLVL2oMsO8qFH4ykxuQAiYPmBi4Vpyls/gPsza8JdKCGKBDr7D+HUFvOECvN9Xgff7+sCrfI441kjB/C0ZyHWWVxe+UAyBU8rgD+VM7RDcn6IkWUiSdZfZmMB5OxUsTf7GAdmbhcwYW5IYztxU6iOttWKUco4Y5/ufzpdpRMfxNsXSDHunVfTitD56AYQIzbhSHEvQD5OCz4Iz6mPElJIEIgrgbJdZs2UYh+UYn1XB+Kw+GGPiUyWIEJwwopHUeWymfA1xmUYamxQPZWyHGL+Oew/g5xT7o6cuTjuDCy1K2P8SQbPtW5zx8Tt29a9d/a69ZxCHrM79uE7kmI/b3YXJmloDmWYQczq93jVttnAVBpcvHg3Drrmb2OHfdzOgYoksGc/GEsmMI8eIUIQppoR0mXLswwQINlZReMaVduKofMo4kRLEkUkkd7ViYeWtZ1azxtYgivuLmxFuw3BgdoG86r9Jgv7QbCFydaY2OazJ0/WBsbQ4WapHmSwfgaruwanU0YJO8XzrxpxW0WzRmxGozLhJ7Suk1eGS1aonWZPdC9lCICXrUVkx51Rp+8KjU7n+0gRZY2WCVnHJJi/VJJ97RMzWCMwJ1loKgpXMdBbmPDq1DYuqnSfNT1djfLrJ+trpVutr+/B+CfE5VlhQs8UUE0UzbeRU+1SC3mAO8YUget/L8merIT/bBPKz+kGumI8pByNl1obHIR3jwpeAqsncmbgD7xvx5mrEm5sYkmbdDAnIONNEaI2FFBwwdnZE+EgBD5wTjSkG0B91FZltYqtZXSB+zFXk0zVQPt1khfN0qxXO/eQqkE844MgYk9p+QmBdHyEBUGxT0EbQd5kmLTPWpZCfbQL5Wf0gZ8TE2MZ1FBBCTBL/hEtfwwOEGVz2P0FWWcivZEyadTMmH2Mhf0vXegNjXRd0D8Kt3sBM18ZiHKBLvYGJrg/cB+dOb2Cc62I8PoYrvWRtJAPCrZCMb8hEIN1qyZLVqXxtY7qVYBwauvWT6Xa64xuzkrIeb8WrKVstA8+wPPNZSb8TuY9SoPqrrPb//vsivIbf6Px69VulVB2tIg8Vll5mYu8tR//xksUKrIRSnAowHVrahT+T15c+WBEMgm+XY5WbHsGaEx8CHooxIpQilENZy/TiihWY3YnqhKxiSb3y/u5deV/00m+8MVF7XwMwIaqZkQmTlDABJssSy7hvJgMC1HIiNSNuwYZRDm4oAT+JgxQogQ+X2O4+iN07XfNqmH9dMa+H2YoN0synwnxdB7O7ofhw+WptxddjrbHNqRdGPPfECvXriAlfMMSYguiZQrjBdrVf8SOszBRuHptxUbrLQseNA8h6eYJrh5FbfZxTiPNpOc6nm+J8ujXOe9kDRpT0tbF2oCFSYLfcyRhMTpTDJEa0yYns9LvJQtTPylE/2xT1s5qiLnzKkTTfnWGGpHROIISZPuPm22Blgh+2yxi+EPVmOerNTVFv1tGmLESXRcGl3MqglAaXBSFmQaBZEG6uFXQWhJ7TrV8vtt6dK5qEotsHpKtcDLS7sLQsKC07/oLwKoJUOSzdCwK7OdqjilvMl7jFMtv/UiVAnR9yzfzi64Mmbt4/Jqws/DxiRCCfwzyPNQIvipZuGKw5cd1DJm5e4VRxOohm+lYlDq05ba1Dpm3tcLQwGuX6cGib9exeb+TN5Uf2ZRyYS+WNnEdYZZtqSw+i2uVxbBBpYk0VFiY4Eiw/UQkJzcG+gmJSIbMtvRs6jFeZTsw6jK+dG3e54PIF5T7Zgiuyi4PFVjpg5+Xe+44+BceTbT4QBOnshDcC5YRpiYgxnVQz55cIn4MthQiWaGpOWyrbYF3lULGPkPtZcWZTsCATV1UCs6u11XdtrjfX7RK+fw5+tvza6wd3LVIvvmC77gcJ0Gr6nQ3pTXifQp/gwUnjiz9GcfpN9/I/f379l/u3fX8WsRReaMy+vR1o5Qtn6+sKL8MuGl4Eb8J/zopZdiTtMEyi67zT7nha0cjlO9sYP0yDJH1t0HVQXXhfe18efQlO4ldPPOTLrzZIL1wuSyxcVk8pXC5LJjzS4Uzm40klpVQwQ0jBtRD5h1QYa6k5o+DSSUlIxfmhWIDJggAfVRDg9fe7VQ+x1xdfVivxLZO1H1ZJ2RJPs3anQh7ZynaeRLs7NPZ89RlpBwcQ3iVAP34q8OwFnZefGjqVlWudpPEPbu48z/cP/eiSti8X5tIs8Upc/RtXO3K137q07u2qibYwlUt2vKuoyGmcPsM95xMX8EmX87l+wuFmjwPaecSTCxeaF656LmCXIx8dEvJoTq2PyCFD//aQoD/6pKT+9pBO58ml/igXe1Zv6Gfn0OdQmMRRZz6R5ma2X3944sFE+sT78Yn38rdxl/JaF1Xi0IsNvZdK2whKprsizrDK1YVs5qC14rgXBhMP4NwOEt4chQss7dFKTCc4JolfnJ2Zg4kohSUYWJ/Oln3+7/hdmBjJ/fNZ86/P1wuy6UyQPdXE68u/Pl8/2t7+y9R6pIGyLMf0WdOSIZbZZyaZMPuGNKfmeCM0c7bsNNZPp/+nF3Of/5dQ3/4fUEsHCM8TtlY4DQAARGoAAFBLAQIUABQACAAIAC+LwjzPE7ZWOA0AAERqAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAcg0AAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
|}

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ''Punkt'' in zwei ''Halbgeraden'' eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ''Gerade'' in zwei ''Halbebenen'' eingeteilt.

::Eine Gerade ist ein ''ein''dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein ''zwei''dimensionales Objekt.

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein'' null''dimensionales geometrisches Objekt. 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein ''ein''dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension'' n-1'' .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ''Halbgeraden'' .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ''Halbgeraden''.

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \epsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \epsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Die Menge <math>\ \epsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ''Halbebene'' .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ''Halbebene'' .--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:04, 23. Jul. 2011 (CEST)

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| ... \operatorname{ergaenzen Sie selbst ...} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| ... \operatorname{ergaenzen Sie selbst ...} \}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt: 
::Ergänzen Sie selbst.

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.4: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe 11)

2011-07-23T07:04:17Z

Katrin:

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
|}

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ''Punkt'' in zwei ''Halbgeraden'' eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ''Gerade'' in zwei ''Halbebenen'' eingeteilt.

::Eine Gerade ist ein ''ein''dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein ''zwei''dimensionales Objekt.

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein'' null''dimensionales geometrisches Objekt. 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein ''ein''dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension'' n-1'' .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ''Halbgeraden'' .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ''Halbgeraden''.

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \epsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \epsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Die Menge <math>\ \epsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ''Halbebene'' .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ''Halbebene'' .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| ... \operatorname{ergaenzen Sie selbst ...} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| ... \operatorname{ergaenzen Sie selbst ...} \}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt: 
::Ergänzen Sie selbst.

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.4: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 14.2 (SoSe 11)

2011-07-21T07:47:20Z

Katrin:

Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms: 
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

 Axiome sollen nicht beweisbar sein. Allerdings stellt dieses "Axiom" einen beweisbaren Satz dar. (genau eine). --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:02, 12. Jul. 2011 (CEST) 
Die Antwort geht ist nicht ganz richtig, denn das Axiom lässt sich nicht komplett beweisen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:15, 19. Jul. 2011 (CEST) 

In Aufgabe 1 haben wir bereits die Existenz bewiesen. "genau eine" meint aber Existenz und Eindeutigkeit. Somit hätten wir in unserem Axiom auch die Existenz, da wir diese aber beweisen können ist das Axiom nicht mehr unabhängig.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:47, 21. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 6.6 (SoSe 11)

2011-07-15T07:37:24Z

Katrin:

Es sei <math>\ \mathfrak{F}</math> die Menge der Figuren der Ebene. Auf <math>\ \mathfrak{F}</math> sei eine Äquivalenzrelation <math>\ \Theta</math> definiert. <math>\ \Theta</math> möge <math>\ \mathfrak{F}</math> derart in Klassen einteilen, dass die folgenden Figuren in ein und derselben Klasse liegen:
[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]] 
Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an. 

- sind konvex 
- liegen in der gleichen Ebene wie
[[Category:Einführung_Geometrie]]

- haben den gleichen Flächeninhalt
--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:24, 19. Mai 2011 (CEST)

Die Antwort: "haben den gleichen Flächeninhalt" ist korrekt, die Antwort: "sind konvex" ist problematisch. Erkennen Sie den prinzipiellen Unterschied zwischen den beiden Antworten?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:27, 9. Jun. 2011 (CEST)

konvex wäre doch dann möglich, wenn das Dreieck nicht dabei wäre? Dreicke sind doch immer konvex, dann würde die
Def. von Madita alle Dreiecke mit einschließen...--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:51, 14. Jul. 2011 (CEST) 
Dreiecke sind immer konvex, das ist richtig. Deshalb tritt hier kein Problem auf, dies liegt wo anders. 

Überlegt euch nochmal den Unterschied der Begriffe Relation und Klasse. 
''Ein Beispiel: 
''Eine Menge an Wäscheklammern lässt sich in Klassen einteilen. Z.B. die Klasse der roten, grünen, blauen... Wäscheklammern.
Sind zwei Wäscheklammern in einer Klasse, so stehen sie in Relation. Diese kann man dann "hat gleiche Farbe wie" nennen.'''' 
Was ist bei "sind konvex" problematisch und wie könnte man es dann sagen? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:01, 14. Jul. 2011 (CEST)
 Eine Figur ist entweder konvex oder konkav. Somit gibt es die Klasse der konvexen und der konkaven Figuren. Aber es wird dabei keine Relation zueinander angegeben wie z.B. "ist konvex wie".--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 09:37, 15. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.1 SS11

2011-07-06T11:45:29Z

Katrin:

Definieren Sie den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks.
Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Hinweis: Die Schenkel eine Winkels sind Strahlen. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind Strecken.

Definition: 
Es seien <math>\ A, B, C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, <math>\overline{ABC}</math> heißt genau dann gleichschenkliges Dreieck wenn folgendes gilt: 
(i) <math>\overline{AB} \equiv \overline{BC}</math> 
Die Seite <math>\overline{AC} </math> heißt Basis, die Winkel <math>\angle CAB</math> und <math>\angle BCA</math> heißen Basiswinkel, die Strecken <math>\overline{AB},\overline{BC}</math> heißen Schenkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:55, 2. Jul. 2011 (CEST)
hier sollten wir nochmal etwas genauer schauen: 1) Was ist, wenn die drei Punkte A,B,C kollinear sind? 2) Den Begriff Dreieck haben wir übrigens schon definiert, den dürfen Sie also als bekannt voraussetzen und verwenden. 3)was ist, wenn z. B. gilt: <math>\overline{AC} \equiv \overline{BC}</math>?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:50, 5. Jul. 2011 (CEST)

Lösungsvorschlag 2:
In einem gleichschenkligen Dreieck sind jeweils zwei Seiten kongruent zueinander, diese zwei Seiten nennt man Schenkel. Die Basis ist die dritte Seite, sie ist nicht kongruent zu den beiden Schenkeln, die an der Basis anliegenden Winkel nennt man Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. --[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 17:29, 3. Jul. 2011 (CEST)
 
Du vergisst bei deiner Aussage, dass gleichseitige auch gleichschenklige Dreiecke sind. --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 15:49, 4. Jul. 2011 (CEST)
Peterpummel, das ist eine wichtige und richtige Anmerkung. Phil86, wie können Sie das gleichseitige Dreieck in
Ihrer Definition mit einschließen?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:50, 5. Jul. 2011 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
 
In einem gleichschenkligen Dreieck sind '''mindestens''' zwei Seiten kongruent zueinander, diese zwei Seiten nennt man Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Die an der Basis anliegenden '''Innen'''winkel nennt man Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. Wenn alle drei Seiten kongruent zueinander sind, dann ist es ein gleichseitiges Dreieck.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 13:45, 6. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe11)

2011-06-18T15:40:15Z

Katrin:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \cong \beta </math>
#<math>\alpha \cong \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\alpha \not\cong \beta \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \cong \beta </math>

 a) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei entstehen die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta </math>. Diese Winkel sind kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel zueinander sind. 
a und b müssen parallel sein, somit ist deine Def. falsch![[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 18:45, 7. Jun. 2011 (CEST) 

 b) Version 1 und 2 können als "genau dann wenn" Aussage zusammengefasst werden
beI 3. fehlt, dass in diesem Fall die Geraden nicht parallel sein dürfen
4. stellt die Kombination aus 1 und 2 dar--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:33, 5. Mai 2011 (CEST) 
Bei welcher Aussage handelt es sich denn um den Stufelwinkelsatz? Ist eine der Aussagen eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:20, 6. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] Liest man die Aufgabe, dann werden auch die Antworten klar!--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:47, 8. Mai 2011 (CEST)

a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an zwei geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:36, 6. Mai 2011 (CEST) 
 
b) 1. ist der Stufenwinkelsatz, 2. die Umkehrung und 4. die Zusammenfassung--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:01, 8. Mai 2011 (CEST) 
Man könnte, wie hier schon beschrieben wurde, 4. als eine "Zusammenfassung" von 1. und 2. beschreiben, also eine Art "Stufenwinkelkriterium". Um was handelt es sich beim 3. Punkt? Flo21 hat weiter oben schon etwas dazu gesagt und vllt. könnte man an dieser Stelle noch einmal darüber diskutieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:56, 13. Mai 2011 (CEST)
 Der 3. Punkt ist die Kontraposition.--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 10:39, 14. Mai 2011 (CEST)
ja, richtig. Ist 3. dann eine äuquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:13, 9. Jun. 2011 (CEST) 

Stimmt es,dass 4. dann keine äquivalente Aussage ist? Ist das so, weil der Stufenwinkelsatz nur ein Satz ist, und keine Äquivalenz? "[[Benutzer:Michi6889|Michi6889]] 17:34, 14. Mai 2011 (CEST)"
Stimmt, denn das Kriterium beinhaltet neben dem Satz auch die Umkehrung und nach Adam Riese ist 2 > 1 (Im Kriterium hast du zwei hinreichende und notwendige Bedingungen, im Satz bzw. der Umkehrung je nur eine) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:39, 14. Mai 2011 (CEST) 
3. ist die Kontraposition zum Stufenwinkelsatz und somit eine äquivalente Aussage.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 17:39, 18. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe11)

2011-06-18T15:39:36Z

Katrin:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \cong \beta </math>
#<math>\alpha \cong \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\alpha \not\cong \beta \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \cong \beta </math>

 a) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei entstehen die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta </math>. Diese Winkel sind kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel zueinander sind. 
a und b müssen parallel sein, somit ist deine Def. falsch![[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 18:45, 7. Jun. 2011 (CEST) 

 b) Version 1 und 2 können als "genau dann wenn" Aussage zusammengefasst werden
beI 3. fehlt, dass in diesem Fall die Geraden nicht parallel sein dürfen
4. stellt die Kombination aus 1 und 2 dar--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:33, 5. Mai 2011 (CEST) 
Bei welcher Aussage handelt es sich denn um den Stufelwinkelsatz? Ist eine der Aussagen eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:20, 6. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] Liest man die Aufgabe, dann werden auch die Antworten klar!--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:47, 8. Mai 2011 (CEST)

a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an zwei geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:36, 6. Mai 2011 (CEST) 
 
b) 1. ist der Stufenwinkelsatz, 2. die Umkehrung und 4. die Zusammenfassung--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:01, 8. Mai 2011 (CEST) 
Man könnte, wie hier schon beschrieben wurde, 4. als eine "Zusammenfassung" von 1. und 2. beschreiben, also eine Art "Stufenwinkelkriterium". Um was handelt es sich beim 3. Punkt? Flo21 hat weiter oben schon etwas dazu gesagt und vllt. könnte man an dieser Stelle noch einmal darüber diskutieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:56, 13. Mai 2011 (CEST)
 Der 3. Punkt ist die Kontraposition.--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 10:39, 14. Mai 2011 (CEST)
ja, richtig. Ist 3. dann eine äuquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:13, 9. Jun. 2011 (CEST) 

Stimmt es,dass 4. dann keine äquivalente Aussage ist? Ist das so, weil der Stufenwinkelsatz nur ein Satz ist, und keine Äquivalenz? "[[Benutzer:Michi6889|Michi6889]] 17:34, 14. Mai 2011 (CEST)"
Stimmt, denn das Kriterium beinhaltet neben dem Satz auch die Umkehrung und nach Adam Riese ist 2 > 1 (Im Kriterium hast du zwei hinreichende und notwendige Bedingungen, im Satz bzw. der Umkehrung je nur eine) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:39, 14. Mai 2011 (CEST)
3. ist die Kontraposition zum Stufenwinkelsatz und somit eine äquivalente Aussage.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 17:39, 18. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.1 (SoSe11)

2011-06-18T15:30:31Z

Katrin:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 
 a) Sind die Basiswinkel in einem Dreieck kongruent zueinander, dann handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:24, 5. Mai 2011 (CEST) 
kann man schon von Basiswinkel sprechen, wenn das gleichschenklige Dreieck an dieser Stelle 
noch nicht definiert ist - was meinen Sie?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:25, 10. Mai 2011 (CEST)
 Ich denke, dass ich die Begriffe nicht verwenden darf, sofern wir nun an dem Punkt angelangt sind, dass ich keinerlei Kenntnisse mehr aus der Schulgeometrie habe. Sind wir noch nicht an diesem Punkt, dann denke ich, dass ich das darf. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 18:59, 10. Mai 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

a) Wenn in einem Dreieck zwei Innenwinkel kongruent zueinander sind, so ist das Dreieck gleichschenklig

b) In einem Dreieck sind zwei Innenwinkel genau dann kongruent zueinander, wenn das Dreieck gleichschenklig ist .....
stimmt das ?--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:31, 6. Mai 2011 (CEST) 
<
b) In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich groß und die Basiswinkel kongruent. --[[Benutzer:Fledermaus|Fledermaus]] 23:25, 9. Mai 2011 (CEST)
ein Kriterium und eine Definition sind zwei verschiedene Dinge. Fledermaus - unterscheidet sich 
ihr Vorschlag von einer (informellen) Definition?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:33, 10. Mai 2011 (CEST)
b) Genau dann, wenn ein Dreieck ein gleichschenkliges ist, hat es zwei kongruente Innenwinkel. Da es sich um das Kriterium handelt muss die Implikation und ihre Umkehrung gelten.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 17:30, 18. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 11)

2011-06-17T12:06:56Z

Katrin:

In welchen Fällen handelt es sich um Definitionen? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# <math>\ n!=(n-1)! \cdot n </math>, falls <math>\ n > 0 </math> <math>\ n!=1 </math>, falls <math>\ n=0 </math> 
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Jedes Dreieck mit einem Umkreis heißt Sehnendreieck.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Jedes Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Punkt vor Strich.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Ein Quadrat ist ein Rechteck.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.
 

1. ist eine Definition ( n-Eck ist der Oberbegriff-muss bekannt sein, Merkmal n= 4); 
2. Definition ( Fakultät); 
3. keine Definition, kann man beweisen; 
4. Definition; 
5. Definition ( gibt es Dreicksschneidende?) Anmerkung: Muss eine Definition immer sinnvoll sein, bzw. muss es etwas auch wirklich geben, wenn man es definiert? Was dies betrifft, sollte man sich auch 4. noch einmal genauer anschauen.--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 13:44, 12. Apr. 2011 (CEST) ; Eine Definition kann auch nicht sinnvoll sein. Das ist in 4 und 5 der Fall, da in 4. z.B. jedes Dreieck ein Sehnendreieck ist.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 14:06, 17. Jun. 2011 (CEST)
6. keine Definition - Existenzaussage ; es ist ein Satz--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST) 
7. falsch - auch ein 5- Eck hat vier Ecken--[[Benutzer:Mathefix|Mathefix]] 11:59, 12. Apr. 2011 (CEST) es ist eine Def., aber eine unsinnige: Bei Def. gibt es kein richtig/falsch, sondern nur sinnvoll oder eben nicht sinnvoll --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST) 
8. Def. 
9. Existenzaussage --> Satz 
10. keine Def. - da "schlägt" undefiniert, umgangsprachlich 
11. Satz des Thales 
12. Def. aber man muss noch klären was kongruent und Nebenwinkel bedeuten 
13. Def. 
14. intuitive Def. (keine formale Def.) 
15. genetische Def. (Konstruktionsvorschrift) 
16. Def. der Mittelsenkrechten 
17. Def--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:31, 13. Apr. 2011 (CEST) 
18. Aussage - wobei: "Wenn ein Viereck vier rechte Innenwinkel hat, dann ist es ein Rechteck" müsste eine Definition sein, oder gehe ich fehl? mathematisch ist es keine korrekte Def., da der Oberbegriff Viereck fehlt --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:31, 13. Apr. 2011 (CEST) 

19. Aussage 
20. Aussage 
21. Definition ( mit unnötigen, beweisbaren Informationen) 
gut gelöst--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:26, 15. Apr. 2011 (CEST)
dem ist Nichts hinzuzufügen - prima!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:59, 10. Mai 2011 (CEST)

Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden SoSe 11

2011-06-16T11:25:46Z

Katrin: /* Beweis von Satz I.3 */

</gallery>=== Was ist ein Punkt? ===

{| style="border-spacing:0;"
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| ''„Man muss jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen können.“''

''David Hilbert (1862-1943)''
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| <div align="right"></div>

|}
Auf die Frage, was denn eine Strecke sei, erhält man oft zur Antwort, es handle sich dabei um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Strecken sind offenbar durch Punkte bestimmt. Was aber ist ein Punkt? Diese Frage bewegte bereits im Altertum die Mathematiker, die damals zumeist auch Philosophen waren:

{| style="border-spacing:0;"
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Plato:

''427 – 347 v.Chr.''

''„Ein Punkt ist der Anfang einer Linie.“''

|-
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Aristoteles:

''384 – 322 v.Chr.''

''„Ein Punkt ist eine unteilbare Einheit, die eine Position besitzt.''“

|-
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Euklid:

''um 365 bis ca. 300 v. Chr.''

''„Was keine Teile hat ist ein Punkt.''“

|}
Bei allem Respekt vor den Leistungen dieser Herren, ihre „Definitionen“ des Begriffes Punkt schaffen dem Erkenntnissuchenden nur für einen kurzen Moment Erleichterung. Danach quält ihn erneut die Gewissheit, eigentlich nichts zu wissen.

* Was ist eine Linie?
* Was ist der Anfang von etwas von dem ich nicht weiß, was es ist?
* Was meint Aristoteles mit seiner Einheit?
* Wenn ich schon nicht weiß, was mit Einheit gemeint ist, wie soll ich dann begreifen, was eine unteilbare Einheit ist?
* Wer oder was zum Teufel hat keine Teile?

Betrachten wir doch einfach solche Objekte, mit deren Definition wir „weniger“ Schwierigkeiten haben.

* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit 4 gleichlangen Seiten.
* Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwinkel.
* Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit zwei Paaren paralleler Seiten.
* Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
* Ein Viereck ist die Vereinigungsmenge von vier Strecken, wobei je drei der Endpunkte dieser Strecken nicht auf ein und derselben Geraden liegen.

Aus Gründen der Vollständigkeit wäre jetzt zu klären, was eine Strecke ist. Damit sind wir auf demselben Stand, wie zu Anfang dieser Ausführungen. Für den Begriff der Strecke brauchen wir wieder den Begriff des Punktes. Die Herren Plato, Aristoteles und Euklid waren diesbezüglich sehr bemüht aber letztlich nicht wirklich hilfreich. Irgendwann muss die Sache einmal „auf den Punkt gebracht“ werden:

Punkte, Geraden und Ebenen lassen sich nicht wie Quadrate und Kreise definieren. Trotzdem haben wir gewisse Vorstellungen von ihren Eigenschaften: ''Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.'' In diesem Sinne erfahren die abstrakten Grundbegriffe eine Präzisierung. Beweisen kann man die Eigenschaften der Grundobjekte freilich nicht. Es sind unbeweisbare Grundtatsachen bzw. Grundannahmen. Der Mathematiker formuliert sie als Forderungen und nennt diese dann ''Axiome''.

=== Axiome und undefinierte Grundbegriffe ===
Die Bezeichnung Geometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie Erdvermessung. Geometrie kann damit zunächst als die Lehre vom uns umgebenden Anschauungsraum verstanden werden.

Schon wieder so ein verwaschener Begriff: Anschauung. Da legen wir doch gleich noch eins nach: ''gesunder Menschenverstand''. Dann war noch vom Raum die Rede und schon ergibt sich eine Assoziationskette: Johannes Kepler, Galileo Galilei, „Und sie bewegt sich doch!“, Inquisition, Rehabilitation 1992.

Eine gewisse Skepsis erscheint im Zusammenhang mit ''Anschauung'' angebracht. Damit sind wir in der Zwickmühle. Zum einen müssen wir unsere Grundannahmen der Anschauung entnehmen. Zum anderen wissen wir um damit verbundene eventuelle Unzulänglichkeiten. Die Geometer versuchen die Unabwägbarkeiten zu minimieren:

* Als Axiome werden nur sehr einfache, plausible Aussagen zugelassen, von deren Richtigkeit man mal wohl „hundertprozentig“ überzeugt sein kann.
* Die Anzahl der unbewiesenen Grundannahmen wird so gering wie möglich gewählt. Gleiches gilt für die undefinierten Grundbegriffe.
* Alle weiteren Elemente der Geometrie werden rein deduktiv aus den Axiomen und Grundbegriffen abgeleitet.

Ein Schema soll diesen Ansatz demonstrieren:

[[Bild:Axiomatik_00.jpg]]

Euklid kommt die Ehre zu, als erster auf diese Weise die Geometrie des Anschauungsraumes begründet zu haben. Sich vor den Leistungen Euklids verneigend spricht man von Euklidische Geometrie.

Bis zu einer im modernen Sinne durchgängig korrekten axiomatischen Begründung der Euklidischen Geometrie sollten seit Euklid jedoch noch 2300 Jahre vergehen. 1899 stellte David Hilbert in seiner Arbeit ''„Grundlagen der Geometrie“'' das erste logisch völlig exakte Axiomensystem der Euklidischen Geometrie auf. Die „Grundlagen der Geometrie“ waren im übrigen eine Festschrift aus Anlass der Enthüllung des Gauß‑Weber-Denkmals in Göttingen.

Besser als der Meister kann man die Dinge wohl nicht erläutern:

''„Erklärung:Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen. Die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit A, B, C…;die Dinge des zweiten Systems nennen wir Geraden und bezeichnen sie mit a, b, c…;die Dinge des dritten Systems nennen wir Ebenen und bezeichnen sie mit <math>\alpha, \beta, \gamma, ...</math>; …Wir denken die Punkte Geraden und Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie ‚liegen‘, ‚zwischen‘, ‚parallel‘, ‚kongruent‘, ‚stetig‘; die genaue und vollständige Beschreibung erfolgt durch die Axiome der Geometrie.“''

''(Hilbert, S. 2)''

Auch wenn der Anschauungsraum bei der Formulierung der Axiome und der Festlegung der undefinierten Grundbegriffe Pate stand, löst sich die Theorie dann von der Anschauung. Geometrie wird zu einem eigenständigen komplexen System. In gewisser Weise haben die Mathematiker „Gott gespielt“ und eine eigene Welt erschaffen. Diese Welt ist relativ überschaubar. Sie beruht auf 5 Axiomengruppen und beinhaltet alles, was man rein deduktiv aus diesen mit den Mitteln der mathematischen Logik ableiten kann.
=== Geometrie in der Ebene ===
==== Punkte und Geraden ====
Wir gehen von einer nichtleeren Menge <math> \ \Epsilon</math> aus, die Ebene genannt wird. Die Elemente von <math> \ \Epsilon</math> heißen Punkte und werden mit <math> \ A, B, C</math>… bezeichnet. Ferner möge eine weitere nichtleere Menge <math>\ G</math> existieren, deren Elemente wir Geraden nennen und mit <math>\ a, b, c</math>… bezeichnen wollen.
Unsere erste Vorstellung von Geraden ist, dass diese aus Punkten bestehen:

=====AXIOM I/0=====
::Geraden sind Punktmengen.

Die weiteren Eigenschaften von Punkten und Geraden werden durch die folgenden (Inzidenz)Axiome festgelegt.

=====AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)=====
::Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

Axiom I/1 liefert eine weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden. Eine Gerade ''g'', die durch zwei verschiedene Punkte ''A'' und ''B ''eindeutig bestimmt ist wird auch mit ''AB'' bezeichnet.

=====AXIOM I/2=====
::Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

Für die weitere Formulierung von Axiomen ist es sinnvoll, den Begriff ''kollinear'' zu definieren.

=====Definition I/2: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====AXIOM I/3=====
::Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

==== Folgerungen aus den Axiomen der ebenen Inzidenzgeometrie ====
Viel wurde noch nicht axiomatisch gefordert. Dementsprechend werden wir auch noch nicht viele interessante Aussagen aus den Axiomen ableiten können. Wegen der geringen Anzahl von Axiomen ist es jedoch recht einfach, die Idee des axiomatischen Arbeitens zu verdeutlichen.

Folgende Sätze lassen sich aus den Axiomen I/0 bis I/3 ableiten.

=====Satz I.1=====
::Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Beweis von Satz I.1=====

:Voraussetzung: Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden, die nicht identisch sind.

:Fall 1:

:Die Geraden ''g'' und ''h'' haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

:Fall 2:

:Die Geraden ''g'' und ''h'' schneiden sich in einem Punkt ''P''.

:Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.

:Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden ''g'' und ''h ''einen weiteren von ''P'' verschiedenen Punkt ''Q'' gemeinsam haben.

:Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte ''P'' und ''Q'' verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.

:Die Gerade ''g'' geht durch ''P ''und ''Q'' und die Gerade ''h ''geht durch ''P ''und ''Q''. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch ''P'' und ''Q'' geht, müssen die beiden Geraden ''g ''und ''h'' identisch sein. Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass ''g ''und ''h'' nicht identisch sind.

:Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt ''Q'' der beiden Geraden ''g'' und ''h'' existiert, ist damit zu verwerfen.

Die Aussage des Satzes I.1 ist eine Implikation, d.h. sie hat die folgende Form:Wenn Aussage ''A'' so Aussage ''B''.

Denselben Wahrheitswert wie eine Implikation hat die sogenannte Kontraposition der Implikation:

Wenn nicht Aussage ''B'' so nicht Aussage ''A''.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
::Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
::Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

Da eine Implikation und ihre Kontraposition im Wahrheitsgehalt übereinstimmen und Satz I.2 die Kontraposition von Satz I.1 ist, bräuchten wir nach dem Beweis von Satz I.1 den Satz I.2 nicht mehr zu beweisen.

Zur Übung und auch aus dem Grund, dass man Satz I.2 direkt beweisen kann, soll Satz I.2 noch einmal bewiesen werden.

=====Beweis von Satz I.2=====

:Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden.

:Voraussetzung: ''g'' und ''h'' haben mehr als einen Punkt gemeinsam.

:Es seien dieses die Punkte ''P'' und ''Q''.

:Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden ''g'' und ''h'' identisch sind.

:Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
::Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Beweis von Satz I.3=====
versuchen Sie es selbst ... .

[[Category:Einführung_Geometrie]]

zz: Es existieren mindestens 3 paarweise verschiedene Graden

nach Axiom I/3 existieren A,B,C mit nkoll (A,B,C)

g := AB, h := BC, t := CA,

nach AI/1 sind diese Graden g,h,t eindeutig und durch die Verschiedenheit der Punkte auch verschieden.

Anzumerken wäre noch, dass die Punkte A,B,C p.w. verschieden sind, aber das ist trivial.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 19:53, 17. Mai 2011 (CEST)

Ist das wirklich trivial? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:34, 17. Mai 2011 (CEST)

Wären sie nicht p.w. verschieden, dann wären zwei Punkte (o.B.d.A seien es A,B) gleich =>(nach Axiom I/1) es gibt eine Grade ,die die Punkte A, C beeinhaltet. => koll(A,B,C) Widerspruch => sie sind p.w. verschieden. Aber was ist schon trivial?^^--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 02:06, 19. Mai 2011 (CEST)

Darüber habe ich mir (aus unerfindlichen Gründen oft beim S-Bahn fahren, da hat man ja Zeit) lange den Kopf zerbrochen, denn das oben wäre eigentlich ein direkter Beweis und irgendwie "zu" trivial.
Ist es nicht klug das Ding irgendwie durch einen Widerspruch zu beweisen?

Ich versuche mich mal:

Vor.: es ex. 3 paarweise verschiedene Punkte A, B, C für die gilt nkoll(A, B, C) 
Behaupt.: es existieren min. 3 paarweise verschiedene Geraden 
Annahme: Es existieren weniger als 3 paarweise verschieden Geraden 

1) Gerade AB - aus A I/1 und Voraussetzung 
2) Gerade BC - aus A I/1 und Voraussetzung 
3) Gerade AC - aus A I/1 und Voraussetzung 
4) Gerade AB ist identisch zu BC - Annahme (Anmerkung: Hier könnte man auch zwei andere Geraden nehmen, ist egal) 
5) A, B und C sind kollinear => Wiederspruch zur Voraussetzung (paarweise verschiedene Punkte) 
6) Annahme ist zu verwerfen

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:36, 20. Mai 2011 (CEST)
kann das bitte ein dozent oder tutor überprüfen??? --[[Benutzer:Liviana|liviana]] 14:51, 13. Jun. 2011 (CEST) 
Der Beweis ist (fast) korrekt. Ich würde nur lieber gar nichts voraussetzen und den Beweis (Schritt 1) mit der Flo60s Voraussetzung (Existenz dreier nkoll Punkte)beginnen. 
(Außerdem kann man Schritt 1-3 auch zu einem zusammenfügen.)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:17, 14. Jun. 2011 (CEST)

Wie ist denn die Begründung für 5)? Zum einen 4.) - aber gibt es noch ein Axiom oder einen Satz? --[[Benutzer:AnnM88|AnnM88]] 13:22, 15. Jun. 2011 (CEST)
Ist das dann nicht noch die Definition von kollinear? --[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 13:25, 16. Jun. 2011 (CEST)

Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal (SoSe 11)

2011-06-14T08:33:10Z

Katrin: /* Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) */

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

<ggb_applet width="598" height="267" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... zu den Endpunkten A und B den gleichen Abstand hat und <math>M \in \overline{AB}</math> ,dann heißt <math>\ M</math> Mittelpunkt.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 10:32, 14. Jun. 2011 (CEST)
Üben Sie sich und ergänzen Sie.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:34, 26. Mai 2011 (CEST)

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

{{#ev:youtube|5KkJuWgNNeY}}

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Abstandsaxiom A/1
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 
Die Frage ist doch zunächst, ob es in der Prüfung Extrapunkte oder Punktabzug gibt, wenn man statt "Eindeutigkeitsbeweis" "Highlanderbeweis" schreibt? :-)
 
 
Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes:
 
Voraussetzung: <math>\exists \,M</math> <math>\in</math> <math>\overline{AB}: |AM| = |BM|</math> 
Behauptung: "Es kann nur einen geben": <math>\exists ! M \in \overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
 
Annahme: <math>\exists M_1 \ und \ M_2: |AM_1| = |M_1B| \ und \ |AM_2| = |M_2B|</math>
 

{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| 1 || <math>\exists</math> d: d = <math>\overline{AB}</math> || Axiom II.1; Voraussetzung
|-
| 2 || <math>\exists</math> d*: d* = <math>\frac{d}{2}</math> || Rechnen in R; (1)
|-
| 3 || <math>d* = |AM_1| = |M_1B| </math> und <math> d* = |AM_2| = |M_2B| </math> || Existenzbeweis Mittelpunkt, Def. Mittelpunkt, Annahme, (2)
|-
| 4 || <math> |AM_1| = |AM_2| </math>|| (3), Transitivität der Gleichrelation
|-
| 5 || <math>M_1 = M_2</math> || (4); Axiom II.1
|-
| 6 || Für <math>M_1 = M_2</math> existiert genau ein Mittelpunkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> || (5)
|}
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 18:13, 4. Jun. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

In Schritt 3 schreibst du <math> d* = |AM_2| </math>. Warum sollte das für <math>M_2</math> gelten? Gehst du nicht hier schon davon aus, dass <math>M_1=M_2</math>? Steht in der Annahme oder der Def. Mittelpunkt, dass es <math>\frac{d}{2} =|AM_2|</math> sein muss?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:19, 6. Jun. 2011 (CEST)
 
Ja und zwar genau im vorherigen Beweis, wenn ich den Mittelpunkt M festlege mit |AM|=d*. WENN das hier nicht für jeden x-beliebigen Mittelpunkt und dem Axiom vom Abstand gilt, sondern nur für einen einzigen Mittelpunkt, dann bräuchte ich den Highlanderbeweis ja gar nicht erst durchzuführen. So hab ich mir das gedacht, scheinbar gehe ich fehl. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:20, 7. Jun. 2011 (CEST)
 vielleicht kann ja die anne die richtige Lösung auf die Diskussionsseite schreiben, weil sonst wart ich hier zwei wochen auf den eindeutigkeitsbeweis und warte und warte und warte - auch in der lerngruppe ham wir uns da schon gedanken drüber gemacht, aber wenn man sich mal in eine richtung verrannt hat, dann ist es ohnehin schwierig da den kopf wieder frei zu bekommen :-) 
Ich (--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:26, 11. Jun. 2011 (CEST))stelle hier keine Lösungen rein (denn ich habe nicht DIE Lösung und das ist auch gar nicht meine Aufgabe). Ich weiß schon, dass das sehr nervig sein kann, aber ich kann euch mal einen anderen Ansatz vorschlagen.
Voraussetzung: <math>\exists \,M</math> <math>\in</math> <math>\overline{AB}: |AM| = |BM|</math> 
Behauptung: "Es kann nur einen geben": <math>\exists ! M \in \overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
 
Annahme: <math>\exists \ M_2. \ M_2 </math> verschieden zu <math>\ M_1</math>, <math> \ M_2</math> ist Mittelpunkt von <math> \overline{AB}</math>
 
{| class="wikitable"
|-
| Nummer || Beweisschritt || Begründung
|-
| 1 || <math>M_2 \in \overline{AB}</math> || Annahme, Def. Mittelpunkt (na ja, im Wiki steht leider noch keine Definition, auf die man sich berufen kann)
|-
| 2 || <math>\overline{AB} = \overline{AM_2}+ \overline{M_2B}</math> || (1), Zwischenrelation, Axiom Dreiecksungleichung
|-
| 3 || <math>\left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right|</math> || Voraussetzung, (2)
|-
| 4 || <math>\overline{AM_2} = \frac{\overline{AB}}{2}</math> || Rechnen in R;(1);(2);(3)
|-
| 5 || <math> \overline{AM_1} = \frac{\overline{AB}}{2}</math> || Existenzbeweis Mittelpunkt
|-
| 6 || |AM_2| = |AM_1| || (5), Axiom II.1
|-
| 7 || M1 = M2 || (6)
|}
Eure Aufgabe ist den Beweis zu vervollständigen (und gegebenenfalls zu kritisieren!)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:26, 11. Jun. 2011 (CEST)

Recht viel besser scheint mir das aber auch nicht zu sein :-) vorher habe ich es ja auch so hingedreht, dass es passt und jetzt halt wieder (?) Wir sollten es einfach als Axiom annehmen, dass es einen Mittelpunkt gibt und der Käse ist gegessen und die Welt ist schön :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 14:08, 12. Jun. 2011 (CEST)
 
 
Nochmal ein letzer Versuch (unabhängig, ob das vorherige stimmt oder nicht), ansonsten werde ich in der Tat die Geometrie umschreiben und das Axiom von Flo60 einführen, das da heißen wird: Jede Strecke \overline{AB} besitzt genau einen Punkt M für den gilt: |AM| = |MB|.
 
 
Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math> 
Behauptung: <math>\exists M \in \overline{AB} : |AM|=|MB|</math>
 
Beweisteil II: Es kann nur einen geben.
 
 
Annahme: <math>\exists S \in \overline{AB} : S \neq M \wedge |AS|=|SB|</math>
 

{| class="wikitable"
|-
| 1 || |AM| = |BM| = <math>\frac{\overline{AB}}{2}</math> || Existenzbeweis
|-
| 2 || |AS| <math>\neq</math> |AM| || Annahme (<math>S \neq M</math>)
|-
| 3 || |AS| und |SB| sind ungleich <math>\frac{\overline{AB}}{2}</math> || (1) (2) Annahme (<math>|AS| = |SB|</math>)
|-
| 4 || nkoll(A, S, B) || (3) Annahme (<math>|AS| = |SB|</math>)
|-
| 5 || für nkoll(A, S, B) gilt: <math>S \not\in \overline{AB}</math> || (4), Axiom II.3
|-
| 6 || Wiederspruch zu <math>S \in \overline{AB}</math> || (5), Def. Mittelpunkt
|-
| 7 || Annahme ist zu verwerfen || (6)
|}
 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 13:42, 13. Jun. 2011 (CEST)

Benutzer:Katrin

2011-04-11T18:31:12Z

Katrin: Die Seite wurde neu angelegt: „Bild:CD.JPG“

[[Bild:CD.JPG]]

Datei:CD.JPG

2011-04-11T18:09:31Z

Katrin: {{Information |Beschreibung = CD |Quelle = Katrin |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = CD
|Quelle = Katrin
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}