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Erarbeiten des Begriffs Mittelsenkrechte, Konferenz am 11.05.2020, 12 Uhr Leitideen II

2020-05-18T09:45:32Z

Kleine rock goere: /* Entwurf 4 */

=Entwürfe für Arbeitsblätter zur Erarbeitung des Begriffs ''Mittelsenkrechte''=
==Die Hinweise aus der Sitzung vom 04.05.2020==
===Definition===
Wenn eine Gerade <math>m</math>
# senkrecht auf einer Strecke <math>\overline{AB}</math> steht und
# die Strecke <math>\overline{AB}</math> halbiert,
dann ist <math>m</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
===Beispiele und Gegenbeispiele===
====Definierende Eigenschaften====
# senkrecht stehen <math>\perp</math>
# halbieren <math>\frac{1}{2}</math>
====Gegenbeispiele====
# Typ : <math>\perp \land \not \frac{1}{2}</math>
# Typ : <math>\not \perp \land \frac{1}{2}</math>
# Typ : <math>\not \perp \land \not \frac{1}{2}</math>
dabei: verschiedene Lagen, unterschiedliche optische Eindrücke, "fast schon" ein Beispiel

====Beispiele====
# Typ : <math> \perp \land \frac{1}{2}</math>
Verschiedene Lagen unterschiedliche optische Eindrücke
===Sonstige Hinweise===
# Einfache Benennungen, beachten Sie, dass die Schüler über die Dinge sprechen können müssen.
# Sehr konkrete, einfache Fragestellungen, die für Schüler einfach zu beantworten sind. Die Frage darf nicht missverstanden werden können.
# Farben oder andere Markierungen anstelle von Variablen
# konkret vs. abstrakt
# Identifizieren und Realisieren
==Entwurf 1==
[[Datei:Mittelsenkrechte HK.docx|thumb|AB_Mittelsenkrechte]]

==Entwurf 2==

[[Datei:Arbeitsblatt zum Thema Mittelsenkrechte.pdf|thumb|AB_Mittelsenkrechte|links]]

[[Datei:Mittelsenkrechte AB.jpeg|thumb|Mittelsenkrechte AB]]
[[Datei:Arbeitsblatt Mittelsenkrechte..pdf|thumb|AB Mittelsenkrechte|links]]

[[Datei:AB Mittelsenkrechte LR.pdf|thumb|AB_Mittelsenkrechte]]

==Entwurf 3==
[[Datei:Arbeitsblatt Mittelsenkrechte.pdf|thumb|AB Mittelsenkrechte|links]]

==Entwurf 4==
...
[[Kategorie: Didaktik]]

[[Datei:Arbeitsblatt zur Mittelsenkrechten.pdf|thumb|Arbeitsblatt zur Mittelsenkrechten]]

[[Datei:Mittelsenkrechte SP.pdf|thumb|Erarbeitung Mittelsenkrechte|links]]

[[Datei: [[Datei:Mittelsenkrechte1.jpg|thumb|Arbeitsblatt Seite1]]

[[Datei:Mittelsenkrechte2.jpg|thumb|Arbeitsblatt Seite2]]

[[Datei:Lisa Mittelsenkrechte 1Version2.pdf|miniatur|links]]

Datei:Lisa Mittelsenkrechte 1Version2.pdf

2020-05-18T09:44:41Z

Kleine rock goere: User created page with UploadWizard

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|author=[[User:Kleine rock goere|Lisa]]
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Erarbeiten des Begriffs Mittelsenkrechte, Konferenz am 11.05.2020, 12 Uhr Leitideen II

2020-05-11T10:15:02Z

Kleine rock goere: /* Entwurf 4 */

Datei:Lisa Mittelsenkrechte 1Version1.pdf

2020-05-11T10:13:22Z

Kleine rock goere: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Lisa.Parallelogramm-2.jpg

2020-05-02T13:47:22Z

Kleine rock goere:

{{Information ohne UploadWizard
|Beschreibung = Arbeitsblatt Parallelogramm 1.version
|Quelle = Eigene Arbeit
|Urheber = Lisa Hick
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Vorbereitung auf die erste virtuelle Konferenz am 27. April 2020, 12 Uhr Leitideen II

2020-05-02T13:45:28Z

Kleine rock goere: /* Begriffserarbeitung */

* Aufgezählter Listeneintrag
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCCCCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCCCCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Erarbeitung des Begriffs Parallelogramm=
https://wbd.ms/share/v2/aHR0cHM6Ly93aGl0ZWJvYXJkLm1pY3Jvc29mdC5jb20vYXBpL3YxLjAvd2hpdGVib2FyZHMvcmVkZWVtLzZjMmMyZDZjNDQwMzRmODE5N2YyOTJhZjY0ODEyYTg2X2EzNTcwOTZiLTE0YTMtNGQ4Ny1hMWMyLTQ3NWQ0ZDlmMzFkZg==
==Fachliche Grundlagen==
Geben Sie zwei formal korrekte Definitionen des Begriffs ''Parallelogramm'' an.

Def 1) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 2) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 3) Wenn ein Viereck punktsymmetrisch ist, ist es ein Parallelogramm.

[[Datei:Mögliche Definitionen Parallelogramm.png|gerahmt|links]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

==Begriffserarbeitung==
Entwickeln Sie für jede ihrer beiden Definitionen jeweils ein Arbeitsblatt, mit dem die Schüler an den entsprechenden Parallelogrammbegriff herangeführt werden. Gehen Sie von einer 5. Realschulklasse aus.

http://geometrie.zum.de/wiki/Datei:Aufgabe_1_Brehm.docx#filelinks

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

[[Datei:AB1 Ria Ströbel.jpeg|thumb| Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse |links]]

[[Datei:AB2 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse|zentriert]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

[[Datei:Lisa.Parallelogramm-2.jpg|miniatur|links]]

[[Datei:Lisa.Parallelogramm2.version.pdf|thumb|Arbeitsblatt Parallelogramm 2.version|zentriert]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

[[Datei:AB Beigel (2).jpg|thumb|Arbeitsblatt Parallelogramm|links]]

[[Datei:AB Beigel (1).jpg|thumb|Arbeitsblatt Parallelogramm|zentriert]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

[[Datei:AB Parallelogramm Seiten1.pdf|thumb|AB Parallelogramm Seiten]]

[[Datei:AB Parallelogramm Winkel1.pdf|thumb|AB Parallelogramm Winkel|links]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

[[Datei:ArbeitsblattParallelogramm.pdf|thumb|Begriffsherleitung Parallelogramm|zentriert]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

[[Datei:Arbeitsblatt zum Thema Parallelogramme.docx|thumb|parallelogramm]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

[[Datei:Parallelogramme AB.pdf|thumb|Arbeitsblatt]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">


|}
</div>

[[Kategorie: Didaktik]]

Datei:Lisa.Parallelogramm2.version.pdf

2020-05-02T13:42:16Z

Kleine rock goere: User created page with UploadWizard

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|description={{de|1=Arbeitsblatt Parallelogramm 2.version}}
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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Lisa.Parallelogramm2.version-2auf1.pdf

2020-05-02T13:31:14Z

Kleine rock goere: User created page with UploadWizard

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|date=2020-05-02 15:30:50
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|author=[[User:Kleine rock goere|Lisa Hick]]
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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Vorbereitung auf die erste virtuelle Konferenz am 27. April 2020, 12 Uhr Leitideen II

2020-04-25T16:29:37Z

Kleine rock goere: /* Fachliche Grundlagen */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCCCCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCCCCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Erarbeitung des Begriffs Parallelogramm=
==Fachliche Grundlagen==
Geben Sie zwei formal korrekte Definitionen des Begriffs ''Parallelogramm'' an.

Def 1) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 2) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 3) Wenn ein Viereck punktsymmetrisch ist, ist es ein Parallelogramm.

[[Datei:Mögliche Definitionen Parallelogramm.png|gerahmt|links]]

<hr style="border:solid #000000 1px;width:100%;">

==Begriffserarbeitung==
Entwickeln Sie für jede ihrer beiden Definitionen jeweils ein Arbeitsblatt, mit dem die Schüler an den entsprechenden Parallelogrammbegriff herangeführt werden. Gehen Sie von einer 5. Realschulklasse aus.

[[Datei:AB1 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Ria Ströbel Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse ]]

[[Datei:AB2 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Ria Ströbel Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse]]

http://geometrie.zum.de/wiki/Datei:Aufgabe_1_Brehm.docx#filelinks

[[Datei:Lisa.Parallelogramm-2.jpg|miniatur|links]]


|}
</div>

[[Kategorie: Didaktik]]

Vorbereitung auf die erste virtuelle Konferenz am 27. April 2020, 12 Uhr Leitideen II

2020-04-25T16:25:58Z

Kleine rock goere: /* Begriffserarbeitung */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCCCCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCCCCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Erarbeitung des Begriffs Parallelogramm=
==Fachliche Grundlagen==
Geben Sie zwei formal korrekte Definitionen des Begriffs ''Parallelogramm'' an.

Def 1) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 2) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 3) Wenn ein Viereck punktsymmetrisch ist, ist es ein Parallelogramm.

[[Datei:Mögliche Definitionen Parallelogramm.png|gerahmt|links]]

==Begriffserarbeitung==
Entwickeln Sie für jede ihrer beiden Definitionen jeweils ein Arbeitsblatt, mit dem die Schüler an den entsprechenden Parallelogrammbegriff herangeführt werden. Gehen Sie von einer 5. Realschulklasse aus.

[[Datei:AB1 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Ria Ströbel Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse ]]

[[Datei:AB2 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Ria Ströbel Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse]]

http://geometrie.zum.de/wiki/Datei:Aufgabe_1_Brehm.docx#filelinks

[[Datei:Lisa.Parallelogramm-2.jpg|miniatur|links]]


|}
</div>

[[Kategorie: Didaktik]]

Vorbereitung auf die erste virtuelle Konferenz am 27. April 2020, 12 Uhr Leitideen II

2020-04-25T16:25:32Z

Kleine rock goere: /* Begriffserarbeitung */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCCCCC; align:left;">
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| valign="top" |

=Erarbeitung des Begriffs Parallelogramm=
==Fachliche Grundlagen==
Geben Sie zwei formal korrekte Definitionen des Begriffs ''Parallelogramm'' an.

Def 1) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 2) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 3) Wenn ein Viereck punktsymmetrisch ist, ist es ein Parallelogramm.

[[Datei:Mögliche Definitionen Parallelogramm.png|gerahmt|links]]

==Begriffserarbeitung==
Entwickeln Sie für jede ihrer beiden Definitionen jeweils ein Arbeitsblatt, mit dem die Schüler an den entsprechenden Parallelogrammbegriff herangeführt werden. Gehen Sie von einer 5. Realschulklasse aus.

[[Datei:AB1 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Ria Ströbel Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse ]]

[[Datei:AB2 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Ria Ströbel Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse]]

http://geometrie.zum.de/wiki/Datei:Aufgabe_1_Brehm.docx#filelinks

[[Datei:Lisa.Parallelogramm-2.jpg|gerahmt|links]]


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</div>

[[Kategorie: Didaktik]]

Datei:Lisa.Parallelogramm-2.jpg

2020-04-25T16:24:43Z

Kleine rock goere: {{Information ohne UploadWizard |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information ohne UploadWizard
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}}

Vorbereitung auf die erste virtuelle Konferenz am 27. April 2020, 12 Uhr Leitideen II

2020-04-25T14:44:07Z

Kleine rock goere: /* Fachliche Grundlagen */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCCCCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCCCCC; padding:1em"
| valign="top" |

=Erarbeitung des Begriffs Parallelogramm=
==Fachliche Grundlagen==
Geben Sie zwei formal korrekte Definitionen des Begriffs ''Parallelogramm'' an.

Def 1) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

Def 2) Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm.

[[Datei:Mögliche Definitionen Parallelogramm.png|gerahmt|links]]

==Begriffserarbeitung==
Entwickeln Sie für jede ihrer beiden Definitionen jeweils ein Arbeitsblatt, mit dem die Schüler an den entsprechenden Parallelogrammbegriff herangeführt werden. Gehen Sie von einer 5. Realschulklasse aus.

[[Datei:AB1 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Ria Ströbel Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse ]]

[[Datei:AB2 Ria Ströbel.jpeg|thumb|Ria Ströbel Mathe Arbeitsblatt zum Parallelogramm 5 Klasse]]

http://geometrie.zum.de/wiki/Datei:Aufgabe_1_Brehm.docx#filelinks


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</div>

[[Kategorie: Didaktik]]

Datei:Mögliche Definitionen Parallelogramm.png

2020-04-25T14:42:09Z

Kleine rock goere: User created page with UploadWizard

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|description={{de|1=mögliche Definitionen: Parallelogramm}}
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|author=[[User:Kleine rock goere|Lisa Hick]]
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=={{int:license-header}}==
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Strecken und Halbgeraden SoSe 2017

2017-06-08T14:15:00Z

Kleine rock goere: /* Beweis von Satz II.1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

{{#ev:youtube|cmDchklNwBs}}

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: ...

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/yrfOzfpPVZE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>A</math> und <math>B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d=|AB|</math>.<br /><br />

===== Axiom II.2: =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VJXxjG2MILU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>|AB| = |BA|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<iframe scrolling="no" title="Dreiecksungleichung" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SZJwz3sc/width/640/height/350/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="640px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe>

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/NC7z0jt-jUw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>|AB |+ | BC | \geq | AC |.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>| AB | + | BC | = | AC | </math>
::::<math>| AC | + | CB | = | AB | </math>
::::<math>| BA | + | AC | = | BC | </math><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math> B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math> A</math> und <math> C</math>, wenn <math> | AB | + | BC | = | AC | </math> gilt und der Punkt <math> B</math> sowohl von <math> A</math> als auch von <math> C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} ( C, B, A ) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

:Beweis auch mit Axiom II. 2, da
zu zeigen: ZW(A,B,C) = ZW(C,B,A)
:(1)ZW(A,B,C): |AB| + |BC| = |AC| und
:(2) ZW(C,B,A): |CB| + |BA| = |CA|
:(1)(2) (Axiom II.2: |AB| = |BA|) |CA| = |AC| und somit auch ZW(A,B,C) = ZW(C,B,A)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math> mit <math> A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt liegt genau einer der drei Punkte <math>A, B, C</math> zwischen den beiden anderen.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Wir haben den Beweis in der Übung am 26. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen.
=====Beweis von =====
'''Existenz:'''<br />
: Voraussetzung 1: A ≠ B ≠ C ≠ A (Info: \not\equiv funktioniert nicht, es soll also heißen A nicht äquivalent B usw.)
: Zu zeigen: Es existiert wenigstens ein Punkt, der zwischen den anderen beiden liegt.
: Beweis: wegen koll(A,B,C) greift Axiom II. 3, Teil 2. Es gilt also wenigstens eine der Gleichungen:

: |AB| + |BC| = |AC| (also ZW(A,B,C)) oder
: |AC| + |CB| = |AB| (also ZW(A,C,B)) oder
: |BA| + |AC| = |BC| (also ZW(B,A,C))

'''Eindeutigkeit:'''
: Voraussetzung 2: koll (A,B,C)
: Zu zeigen: Nicht zwei der Punkte können gleichzeitig zwischen den anderen beiden liegen. "Es kann nur einen geben!"
: Annahme: Zw(B,A,C) und Zw(A,C,B) gelten gleichzeitig
: (1) Zw(B,A,C): |BA| + |AC| = |BC|
: (2) Zw(A,C,B): |AC| + |CB| = |AB|
: (3) |BC| = |AB| - |AC|
: (1)(2) |BA| + |AC| = |AB| - |AC|
: 2 · |AC| = 0
: |AC| = 0
: (nach II. 1) A = C
: † Widerspruch zu Voraussetzung 1

(weitere Info: \cdot , \newline , \quad und \neq funktionieren auch nicht, gibt es da andere Alternativ-Codes?)

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. <math> A </math> und <math> B </math> heißen die Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man folgende Punktmenge:

<math>\overline{AB} </math> := {P|Zw (A,P,B)} U {A,B}

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. A und B heißen die Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Unter der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.
|<math>\overline{AB}</math>|:= |AB|

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^{+}</math> (ergänzen Sie)
:: Eine Halbgerade <math>AB^{+}</math> ist die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt :...
<br />
:Definition: Halbgerade <math>AB^{-}</math> (ergänzen Sie)
::Eine Halbgerade <math> AB^{-} </math> ist ...

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math> O</math> ein Punkt der Geraden <math> g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math> g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
Sie müssen Folgendes zeigen:
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cap \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} = \emptyset</math>
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cup \left\{ O \right\} \cup \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}=g</math>
[[Category:Einführung_Geometrie]]


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 2017

2017-06-08T13:43:47Z

Kleine rock goere: /* Beweis von */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

{{#ev:youtube|cmDchklNwBs}}

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: ...

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/yrfOzfpPVZE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>A</math> und <math>B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d=|AB|</math>.<br /><br />

===== Axiom II.2: =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VJXxjG2MILU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>|AB| = |BA|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<iframe scrolling="no" title="Dreiecksungleichung" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SZJwz3sc/width/640/height/350/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="640px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe>

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/NC7z0jt-jUw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>|AB |+ | BC | \geq | AC |.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>| AB | + | BC | = | AC | </math>
::::<math>| AC | + | CB | = | AB | </math>
::::<math>| BA | + | AC | = | BC | </math><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math> B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math> A</math> und <math> C</math>, wenn <math> | AB | + | BC | = | AC | </math> gilt und der Punkt <math> B</math> sowohl von <math> A</math> als auch von <math> C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} ( C, B, A ) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math> mit <math> A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt liegt genau einer der drei Punkte <math>A, B, C</math> zwischen den beiden anderen.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Wir haben den Beweis in der Übung am 26. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen.
=====Beweis von =====
'''Existenz:'''<br />
: Voraussetzung 1: A ≠ B ≠ C ≠ A (Info: \not\equiv funktioniert nicht, es soll also heißen A nicht äquivalent B usw.)
: Zu zeigen: Es existiert wenigstens ein Punkt, der zwischen den anderen beiden liegt.
: Beweis: wegen koll(A,B,C) greift Axiom II. 3, Teil 2. Es gilt also wenigstens eine der Gleichungen:

: |AB| + |BC| = |AC| (also ZW(A,B,C)) oder
: |AC| + |CB| = |AB| (also ZW(A,C,B)) oder
: |BA| + |AC| = |BC| (also ZW(B,A,C))

'''Eindeutigkeit:'''
: Voraussetzung 2: koll (A,B,C)
: Zu zeigen: Nicht zwei der Punkte können gleichzeitig zwischen den anderen beiden liegen. "Es kann nur einen geben!"
: Annahme: Zw(B,A,C) und Zw(A,C,B) gelten gleichzeitig
: (1) Zw(B,A,C): |BA| + |AC| = |BC|
: (2) Zw(A,C,B): |AC| + |CB| = |AB|
: (3) |BC| = |AB| - |AC|
: (1)(2) |BA| + |AC| = |AB| - |AC|
: 2 · |AC| = 0
: |AC| = 0
: (nach II. 1) A = C
: † Widerspruch zu Voraussetzung 1

(weitere Info: \cdot , \newline , \quad und \neq funktionieren auch nicht, gibt es da andere Alternativ-Codes?)

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. <math> A </math> und <math> B </math> heißen die Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man folgende Punktmenge:

<math>\overline{AB} </math> := {P|Zw (A,P,B)} U {A,B}

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. A und B heißen die Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Unter der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.
|<math>\overline{AB}</math>|:= |AB|

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^{+}</math> (ergänzen Sie)
:: Eine Halbgerade <math>AB^{+}</math> ist die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt :...
<br />
:Definition: Halbgerade <math>AB^{-}</math> (ergänzen Sie)
::Eine Halbgerade <math> AB^{-} </math> ist ...

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math> O</math> ein Punkt der Geraden <math> g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math> g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
Sie müssen Folgendes zeigen:
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cap \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} = \emptyset</math>
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cup \left\{ O \right\} \cup \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}=g</math>
[[Category:Einführung_Geometrie]]


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 2017

2017-06-08T13:28:04Z

Kleine rock goere: /* Beweis von */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

{{#ev:youtube|cmDchklNwBs}}

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: ...

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/yrfOzfpPVZE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>A</math> und <math>B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d=|AB|</math>.<br /><br />

===== Axiom II.2: =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VJXxjG2MILU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>|AB| = |BA|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<iframe scrolling="no" title="Dreiecksungleichung" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SZJwz3sc/width/640/height/350/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="640px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe>

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/NC7z0jt-jUw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>|AB |+ | BC | \geq | AC |.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>| AB | + | BC | = | AC | </math>
::::<math>| AC | + | CB | = | AB | </math>
::::<math>| BA | + | AC | = | BC | </math><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math> B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math> A</math> und <math> C</math>, wenn <math> | AB | + | BC | = | AC | </math> gilt und der Punkt <math> B</math> sowohl von <math> A</math> als auch von <math> C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} ( C, B, A ) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math> mit <math> A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt liegt genau einer der drei Punkte <math>A, B, C</math> zwischen den beiden anderen.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Wir haben den Beweis in der Übung am 26. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen.
=====Beweis von =====
'''Existenz:'''<br />
: Voraussetzung: A ≠ B ≠ C ≠ A (Info: \not\equiv funktioniert nicht, es soll also heißen A nicht äquivalent B usw.)
: Zu zeigen: Es existiert wenigstens ein Punkt, der zwischen den anderen beiden liegt.
: Beweis: wegen koll(A,B,C9 greift Axiom II. 3, Teil 2. Es gilt also wenigstens eine der Gleichungen:

: |AB| + |BC| = |AC| (also ZW(A,B,C)) oder
: |AC| + |CB| = |AB| (also ZW(A,C,B)) oder
: |BA| + |AC| = |BC| (also ZW(B,A,C))

'''Eindeutigkeit:'''

<math>\overline{AB}</math>

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. <math> A </math> und <math> B </math> heißen die Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man folgende Punktmenge:

<math>\overline{AB} </math> := {P|Zw (A,P,B)} U {A,B}

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. A und B heißen die Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Unter der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.
|<math>\overline{AB}</math>|:= |AB|

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^{+}</math> (ergänzen Sie)
:: Eine Halbgerade <math>AB^{+}</math> ist die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt :...
<br />
:Definition: Halbgerade <math>AB^{-}</math> (ergänzen Sie)
::Eine Halbgerade <math> AB^{-} </math> ist ...

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math> O</math> ein Punkt der Geraden <math> g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math> g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
Sie müssen Folgendes zeigen:
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cap \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} = \emptyset</math>
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cup \left\{ O \right\} \cup \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}=g</math>
[[Category:Einführung_Geometrie]]


|}
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[[Kategorie:Einführung_S]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 2017

2017-06-08T12:57:56Z

Kleine rock goere: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

{{#ev:youtube|cmDchklNwBs}}

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: ...

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/yrfOzfpPVZE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>A</math> und <math>B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d=|AB|</math>.<br /><br />

===== Axiom II.2: =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VJXxjG2MILU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>|AB| = |BA|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<iframe scrolling="no" title="Dreiecksungleichung" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SZJwz3sc/width/640/height/350/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="640px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe>

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/NC7z0jt-jUw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>|AB |+ | BC | \geq | AC |.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>| AB | + | BC | = | AC | </math>
::::<math>| AC | + | CB | = | AB | </math>
::::<math>| BA | + | AC | = | BC | </math><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math> B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math> A</math> und <math> C</math>, wenn <math> | AB | + | BC | = | AC | </math> gilt und der Punkt <math> B</math> sowohl von <math> A</math> als auch von <math> C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} ( C, B, A ) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math> mit <math> A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt liegt genau einer der drei Punkte <math>A, B, C</math> zwischen den beiden anderen.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Wir haben den Beweis in der Übung am 26. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen.
=====Beweis von =====
'''Existenz:'''<br />
'''Eindeutigkeit'''

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. <math> A </math> und <math> B </math> heißen die Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man folgende Punktmenge:

<math>\overline{AB} </math> := {P|Zw (A,P,B)} U {A,B}

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. A und B heißen die Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Unter der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.
|<math>\overline{AB}</math>|:= |AB|

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^{+}</math> (ergänzen Sie)
:: Eine Halbgerade <math>AB^{+}</math> ist die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt :...
<br />
:Definition: Halbgerade <math>AB^{-}</math> (ergänzen Sie)
::Eine Halbgerade <math> AB^{-} </math> ist ...

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math> O</math> ein Punkt der Geraden <math> g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math> g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
Sie müssen Folgendes zeigen:
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cap \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} = \emptyset</math>
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cup \left\{ O \right\} \cup \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}=g</math>
[[Category:Einführung_Geometrie]]


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</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 2017

2017-06-08T12:52:38Z

Kleine rock goere: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

{{#ev:youtube|cmDchklNwBs}}

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: ...

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/yrfOzfpPVZE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>A</math> und <math>B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> zugeordnet werden kann. <br />Schreibweise: <math>d=|AB|</math>.<br /><br />

===== Axiom II.2: =====
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VJXxjG2MILU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>|AB| = |BA|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<iframe scrolling="no" title="Dreiecksungleichung" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SZJwz3sc/width/640/height/350/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="640px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe>

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/NC7z0jt-jUw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>|AB |+ | BC | \geq | AC |.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>| AB | + | BC | = | AC | </math>
::::<math>| AC | + | CB | = | AB | </math>
::::<math>| BA | + | AC | = | BC | </math><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math> B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math> A</math> und <math> C</math>, wenn <math> | AB | + | BC | = | AC | </math> gilt und der Punkt <math> B</math> sowohl von <math> A</math> als auch von <math> C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} ( C, B, A ) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} ( A, B, C ) </math> folgt <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} ( A, B, C ) </math> mit <math> A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt liegt genau einer der drei Punkte <math>A, B, C</math> zwischen den beiden anderen.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Wir haben den Beweis in der Übung am 26. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen.
=====Beweis von =====
'''Existenz:'''<br />
'''Eindeutigkeit'''

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)...

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. A und B heißen die Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Unter der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.
|<math>\overline{AB}</math>|:= |AB|

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^{+}</math> (ergänzen Sie)
:: Eine Halbgerade <math>AB^{+}</math> ist die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt :...
<br />
:Definition: Halbgerade <math>AB^{-}</math> (ergänzen Sie)
::Eine Halbgerade <math> AB^{-} </math> ist ...

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math> O</math> ein Punkt der Geraden <math> g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math> g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
Sie müssen Folgendes zeigen:
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cap \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} = \emptyset</math>
#<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cup \left\{ O \right\} \cup \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}=g</math>
[[Category:Einführung_Geometrie]]


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</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 4.06 S SoSe 17

2017-05-18T16:01:17Z

Kleine rock goere: /* Lösung 1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
==Aufgabe 4.06==
Sie dürfen davon ausgehen, dass für jedes Dreieck gilt: Der größeren zweier Seiten liegt der größere Innenwinkel gegenüber.<br />
(o.B.d.A.: <math>a>b \Rightarrow |\alpha| > |\beta|</math>)
Formulieren Sie die Umkehrung dieser Seiten-Winkel-Beziehung und beweisen Sie diese Umkehrung mittels eines Widerspruchsbeweises.<br />
(Der Basiswinkelsatz sei auch schon bewiesen.)<br />
==Lösung 1==

Umkehrung: |α| > |β| => a > b

Beweis durch Widerspruch:

V: |α| > |β|

B: a > b

A1: a < b

A2: a = b

....

==Lösung 2==

</div>
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 4.04 S SoSe 17

2017-05-18T15:55:58Z

Kleine rock goere: /* Lösung 2 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
==Aufgabe 4.04==
Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass <math>A = B</math> ?<br />
==Lösung 1==
A=B, wenn durch A und B unendlich viele nicht identische Geraden gehen und A und B gemeinsam keine Strecke begrenzen.

==Lösung 2==

</div>
[[Category:Einführung_S]]

Alle Punkte aus A müssen in B liegen und umgekehrt.

Lösung von Aufgabe 4.03 S SoSe 17

2017-05-18T15:52:43Z

Kleine rock goere: /* Lösung 1 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
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| valign="top" |
==Aufgabe 4.03==
a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).<br />
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?<br />
#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math><br />
==Lösung 1==
1. Stufenwinkelsatz: Es seinen zwei Parallelen geschnitten durch eine Gerade. Winkel α ist an der selben Stelle, also am Stufenwinkel, der Parallele kongruent.

2. Umkehrung Stufenwinkelsatz

==Lösung 2==

</div>
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 4.07 S SoSe 17

2017-05-18T15:16:38Z

Kleine rock goere: /* Lösung 2 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
==Aufgabe 4.07==
Definieren Sie den Begriff der Parallelität für Geraden.
(Hinweis: Der Mathematiker hat sehr großes Interesse daran, dass die Relation parallel auf der Menge aller Geraden reflexiv ist, d.h. dass jede Gerade zu sich selbst parallel ist.)<br />
==Lösung 1==
Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie keinen oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben. In dem Fall, dass sie unendlich viele Punkte gemeinsam haben sind sie zu sich selbst parallel.

==Lösung 2==

</div>
[[Category:Einführung_S]]

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie komplanar und entweder identisch oder schnittpunktfrei sind.