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Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11)

2011-05-05T17:36:40Z

Klemens:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

Ich mache mal einen Anfang: 
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden 
Beh.: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c
 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden || Vor.
|-
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt || Axiom I/0
|-
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist || 2), Parallelenaxiom
|-
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a|| Def. Schnittpkt von Geraden
|-
||| Widerspruch zur Vor.
|}
 b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
Diese Eigenschaft, dass '''wenn a zu b und b zu c in Relation steht dann auch a zu c in Relation steht'''nennt man '''Transitivität'''.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 19:36, 5. Mai 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe11)

2011-04-20T21:34:21Z

Klemens:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
1. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 
'''Lösung:''' Es handelt sich hierbei um keine korrekte Definition. Bei einem Drachen halbieren sich auch die Diagonalen aber nicht jeder Drachen ist ein Parallelogramm.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
2. Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm. 
'''Lösung:'''Müsste eine korrekte Konventionaldefinition sein?[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
3. Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Definition. Der Begriff Parallelogramm wird nicht eindeutig abgegrenzt.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
4. Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Realdefinition.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.6 (SoSe11)

2011-04-20T21:14:21Z

Klemens:

'''Aufgabe:''' Geben Sie das kartesische Produkt <math>\ M\times{M}</math> der Menge <math>\ M\ = \lbrace {1,2,3} \rbrace</math> an. '''Lösung:''' <math>\ M\times{M}</math> ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} (Das kartesische Produkt ist die Kombination von jedem Element der einen, mit jedem Element der anderen Menge.)[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:14, 20. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (SoSe11)

2011-04-20T20:24:23Z

Klemens:

'''Aufgabe:''' Handelt es sich im Folgenden um einen Satz oder um eine Definition? 
Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks. 
Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen einer Definition und einem Satz. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]
'''Lösung:''' Es handelt sich hierbei um einen Satz. Es ist beweisbar, dass der Mittelpunkt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist. '''Allgemein:''' Eine Definition betimmt einen Begriff. Sie ist werder richtig noch falsch, sondern sinnvoll oder nicht sinnvoll. Ein Satz dagegen ist eine Aussage, die eindeutig beweisbar ist und auf Axiomen oder vorher aufgestellten Sätzen aufbaut.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 22:24, 20. Apr. 2011 (CEST)