Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Aufgabe 11.4P (SoSe 20)

2020-07-25T09:38:46Z

Kohlhoffj:

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 

Durch eine Verschiebung: Ich kann bei <math>S_a\circ S_b \circ S_c\circ S_d</math> (mit <math>S_a\circ S_b</math> und <math>S_c\circ S_d</math> sind jeweils Punktspiegelungen) die Geraden a und b um ihren Schnittpunkt S so drehen, dass b durch den Schnittpunkt M von c und d geht. Nun drehe ich c und d um M, bis c auf b zu liegen kommt. Durch die Hintereinander-Ausführung der Spiegelungen an b und c mit b=c, fallen b und c als Spiegelachsen weg. Durch die Drehungen gilt: a parallel zu d, womit wir eine Verschiebung <math>S_a\circ S_d</math> erhalten. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 11:38, 25. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.3P (SoSe 20)

2020-07-25T09:26:36Z

Kohlhoffj:

Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? 

Die absolute Lage ist nicht relevant, solange die relative Lage der beiden Geraden zueinander erhalten bleibt (Abstand und Parallelität). Ebenso dürfen die Geraden verschoben, aber nicht gedreht werden. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 11:26, 25. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.2P (SoSe 20)

2020-07-25T09:24:15Z

Kohlhoffj:

Beweisen Sie Satz IX.9: 
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 

Voraussetzung: <math>S_a\circ S_b(P)=P''</math>, mit <math>a| | b</math>

Behauptung: <math>|PP''| =2*|ab| </math>

{| class="wikitable"
|-
! !! Beweisschritt!! Begründung
|-
| 1)|| <math>|Pa| = |P'a| </math>|| Eigenschaft Geradenspiegelung
|-
| 2)|| <math>|P'b| = |P''b| </math>|| Eigenschaft Geradenspiegelung
|-
| 3)|| <math>|P'b| = |P'P|+|Pb| </math>|| Skizze (wenn gezeichnet, ist das klar)
|-
| 4)|| <math>|P'b| = |P'a|+|Pa|+|Pb| </math>|| 1), 3), Skizze
|-
| 5)|| <math>|ab| = |Pa|+|Pb| </math>|| Skizze
|-
| 6)|| <math>|PP''| = |Pb|+|P''b|= |Pb|+|P'b|=|Pb|+2*|Pa|+|Pb|=2*(|Pa|+|Pb|)=2*|ab|</math>|| Skizze, 2), 4), 5)
|}
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 11:24, 25. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20)

2020-07-25T08:58:58Z

Kohlhoffj:

Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 

Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g

Behauptung: g parallel zu g''

Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: <math>a \cap b = S</math> und <math>a \cap g = P</math> und <math>b \cap g = E</math>

{| class="wikitable"
|-
! !! Beweisschritt!! Begründung
|-
| 1)|| <math>S_a\circ S_b(g)=g'' </math>|| Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
|-
| 2)|| <math>S_a\circ S_b(P)=P'' \wedge S_a\circ S_b(E)=E''</math> || Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
|-
| 3)|| <math> |< PSE| = |< P''SE''|=|< ab|</math>|| Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
|-
| 4)|| <math> | PS | = | P''S | \wedge | ES | = | E''S |</math>|| Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
|-
| 5)|| <math>g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E''</math>|| 1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
|-
| 6)|| <math>g| | g''</math>|| 3), 4), 5)
|}
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 10:58, 25. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20)

2020-07-25T08:58:40Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 7.4P (SoSe 20)

2020-07-23T10:38:56Z

Kohlhoffj:

Wir gehen von folgender Definition aus: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat. Außerdem gelte Satz IV.2: Nebenwinkel sind supplementär.
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. 

Voraussetzung: rechter Winkel

Behauptung: Maß 90

Zusatz: Es sei <math> \alpha</math> ein rechter Winkel und <math> \beta</math> ein Nebenwinkel von <math> \alpha</math>.

{| class="wikitable"
|-
! || Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) || <math>\alpha = \beta</math> || Voraussetzung, Zusatz, Def. rechter Winkel
|-
| 2) || <math>\alpha+\beta=180</math> || Zusatz, Def. Nebenwinkel
|-
| 3) || <math>\alpha=90</math> || 1), 2)
|}
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Zuerst musst du bei den Winkeln immer <math>\mid\alpha\mid </math> schreiben, d.h. an die Striche denken,
wenn es um das konkrete Maß geht.
Die Zusätze kannst du auch direkt in die Beweise mit einfügen.

Zwischen deinem 2) und 3) Schritt kannst du noch die Rechnung einfügen.
Tipp: aus <math>\mid\alpha\mid + \mid\beta\mid wird \mid\alpha\mid+\mid\alpha\mid </math>
Der Beweis kann so beginnen: --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 12:06, 9. Jun. 2020 (CEST)
{| class="wikitable"
|-
! || Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) || <math>\beta</math> sei Nebenwinkel von <math>\alpha</math> || Zu jedem Winkel lässt sich ein Nebenwinkel konstruieren.
|-
| 2) || <math>\beta</math> hat das gleiche Maß wie <math>\alpha</math> || Vor., 1), Def. rechter Winkel
|-
| 3) || <math>\mid\alpha\mid + \mid\beta\mid = 180</math> || 1), Def. Nebenwinkel
|-
| 4) || <math>\mid\alpha\mid+\mid\alpha\mid = 180</math> || 2), 3)
|-
| 5) || <math>\mid\alpha\mid=90</math> || 4)
|} --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 12:38, 23. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.4P (SoSe 20)

2020-07-23T10:38:40Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe 20)

2020-07-23T10:28:46Z

Kohlhoffj:

Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

Es sei das Dreieck ABC. Das Innere des Dreiecks ABC ist die Schnittmenge der Halbebenen ABC+, ACB+ und BCA+. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Korrekt! Vielleicht kannst du das in eine mathematische Schreibweise verpacken. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 11:34, 9. Jun. 2020 (CEST)

Es sei das Dreieck ABC. Das Innere des Dreiecks ABC ist: <math>\overline{AB}C^+ \cup \overline{AC}B^+ \cup \overline{BC}A^+</math> --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 12:28, 23. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.1P (SoSe 20)

2020-07-23T10:28:25Z

Kohlhoffj:

Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. 

Es seien die Punkte A, B, C. Die Vereinigungsmenge der Strecken AB, AC und BC heißt Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Richtig. Nur ein paar kleine Hinweise.
Füge noch ein "Punkte A, B und C seien drei nicht kollineare Punkte."
Ansonsten könnte es eine Gerade geben, die alle Punkte der Menge enthält.
Schreibe am Ende "Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 11:34, 9. Jun. 2020 (CEST)

Es seien A, B und C drei nicht kollineare Punkte. Die Vereinigungsmenge der Strecken <math>\overline{AB}, \overline{AC}, \overline{BC}</math> heißt Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 12:28, 23. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.3P (SoSe 20)

2020-07-23T10:27:53Z

Kohlhoffj:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 
(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit <math>\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> und nutzen Sie den Satz von Pasch) 

Voraussetzung: <math>(\overline {AB} \cap g = \emptyset )\wedge (\overline {BC} \cap g = \emptyset )</math>

Behauptung: <math>\overline {AC} \cap g = \emptyset </math>

Annahme: <math>\overline {AC} \cap g \neq \emptyset </math>

{| class="wikitable"
|-
! || Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) || <math>A \epsilon gA+ \wedge C\epsilon gA-</math> || Annahme, Satz von Pasch
|-
| 2) || <math>A \epsilon gA-</math> || 1), Voraussetzung, Satz von Pasch
|-
| 3) || <math>(\overline {AB} \cap g \neq \emptyset)</math> || 1), 2), Satz von Pasch
|-
| 4) || Widerspruch zur Voraussetzung || 3), Voraussetzung
|}
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Ich kann deinem Beweis leider nicht ganz folgen. Kannst du vielleicht eine Skizze dazu hochladen?
Somit kann ich es besser nachvollziehen!
Und hast du beachtet, dass die Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen (kollineare Punkte)?
Um den Beweis zu führen, nutze den Hinweis. Damit geht es schnell und einfach.
Da brauchst du auch kein Widerspruchbeweis führen, sondern einen direkten Beweis. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 11:52, 9. Jun. 2020 (CEST)

Frage: Wie kann ich + und - "hochstellen"? --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])
Oben in der Leiste bei "Format" ist ein x2. Darauf klicken und dazwischen das einfügen, was
hochgestellt werden soll. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 11:41, 9. Jun. 2020 (CEST)

Voraussetzung: <math>(\overline {AB} \cap g = \emptyset )\wedge (\overline {BC} \cap g = \emptyset )</math>

Behauptung: <math>\overline {AC} \cap g = \emptyset </math>

Zusatz: Es sei ein Punkt D mit: <math>\overline {AD} \cap g \neq \emptyset </math>

{| class="wikitable"
|-
! || Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) || <math>\overline {BD}\cap g \neq \emptyset</math> || Zusatz, Vor., Satz von Pasch, Existenz des Dreiecks <math>\overline {ABD} </math>
|-
| 2) || <math>\overline {CD}\cap g \neq \emptyset</math> || 1), Vor., Satz von Pasch, Existens des Dreiecks <math>\overline {BCD}</math>
|-
| 3) || <math>A, B, C \epsilon gD^-</math> || Zusatz, 1), 2), Def. Halbebene
|-
| 4) || <math>\overline {AC}\cap g = \emptyset</math> || 3), Def. Halbebene
|} --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 12:27, 23. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.3P (SoSe 20)

2020-07-23T10:27:30Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe 20)

2020-07-23T10:06:28Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 7.1P (SoSe 20)

2020-07-23T09:56:27Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe 20)

2020-07-22T15:10:07Z

Kohlhoffj:

Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen_und_der_Satz_von_Pasch_WS_18_19#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen. 
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...'''

M ist konvex, wenn gilt: <math>(A \epsilon M) \wedge (B \epsilon M) \Rightarrow (Strecke AB \epsilon M)</math> --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Den ersten Teil kannst du zusammenfassen mit einem Quantor ("für alle").
<math> \overline {AB} \in M</math> ist nicht korrekt. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 18:57, 28. Mai 2020 (CEST)

M ist konvex, wenn gilt: <math>\forall A,B \epsilon M : (\overline {AB} \subseteq M)</math> --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 17:10, 22. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 20)

2020-07-22T15:05:11Z

Kohlhoffj:

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

Es seien eine Gerade g und zwei Punkte A und B, wobei A,B Elemente von g sind. A teilt g in zwei Halbgeraden. Die Halbgerade, die B nicht enthält ist die Halbgerade <math>\ AB^-</math>.--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 17:05, 22. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.4 (SoSe 20)

2020-07-19T14:00:41Z

Kohlhoffj:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

a) Kontraposition: Wenn zwei Geraden g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, sind sie identisch. 
b) Voraussetzung: g und h sind identisch, Behauptung: g und h haben höchstens einen Punkt gemeinsam, Annahme: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam. 
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 16:00, 19. Jul. 2020 (CEST)

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.3 (SoSe 20)

2020-07-19T13:55:53Z

Kohlhoffj:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\left|\alpha \right|\not= \left| \beta \right| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

#äquivalent, da genau der Stufenwinkelsatz dargestellt wurde
#wahr, aber nicht äquivalent zu Stufenwinkelsatz, weil es die Umkehrung davon ist
#äquivalent, da es die Kontraposition des Stufenwinkelsatzes darstellt
#wahr, aber nicht äquivalent, da die Umkehrung enthalten ist
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 15:55, 19. Jul. 2020 (CEST)

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.4 (SoSe 20)

2020-07-19T13:36:00Z

Kohlhoffj:

Überlegen Sie: Lässt sich das Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer Zusammenhänge definieren? Wenn ja, wie? 

Wenn ein Viereck punktsymetrisch bzgl. seines Diagonalenschnittpunkts ist, dann ist dieses Viereck eine Raute--[[Benutzer:Durutti|Durutti]] ([[Benutzer Diskussion:Durutti|Diskussion]]) 14:45, 13. Mai 2020 (CEST)

Ja. Aber die Frage ist, ob ein Parallelogramm mit Hilfe punktsymmetrischer
Zusammenhänge definiert werden kann. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 10:03, 14. Mai 2020 (CEST)

Ein Viereck, das punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen ist, heißt Parallelogramm. (Raute bräuchte (meines Erachtens) mehr als das zur Definition.)--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 15:36, 19. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (SoSe 20)

2020-07-19T13:14:53Z

Kohlhoffj:

* Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck. Real,wegen formaler Definition
* Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. Real
* Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. Genetisch
* Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. Keine Definition, weil es nicht eindeutig ist
* Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.Konventional, weil eine Wenn...dann Bedingung vorhanden ist
* Es gibt Sehnenvierecke. Keine Def., weil die Aussage nichts difiniert
* Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
* Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. Reale
* Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. Konventional
* Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. genetisch
* Es seien a und b zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf a und b jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. Genetisch, weil es eine Konstruktionsvorschrift ist
* Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. Real
* Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. Real
* Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. Real
* Jedes Quadrat ist ein Rechteck. Keine Definition
* Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. Real

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck. - Real
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent. - keine Definition
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören. - konventional, wegen "falls"
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke. - keine Definition
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck. - real
# Es gibt Sehnenvierecke. - keine Definition
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter. - keine Definition
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. - real
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter. - keine Definition, weil "Rechter" nicht unbedingt "rechter Winkel" ist
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute. - keine Definition
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez. - genetisch
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. - real
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke. - real
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel. - keine Definition
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck. - keine Definition
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind. - real
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 15:14, 19. Jul. 2020 (CEST)

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 20

2020-07-05T13:40:06Z

Kohlhoffj:

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 
 

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Geo_P]]

Beweis:

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 20

2020-06-17T10:20:53Z

Kohlhoffj: /* Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

[[Datei:Konstruktion_Geradenspiegelung_mit_Zirkel_und_Lineal_(ohne_Geodreieck).jpg]]
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 12:17, 17. Jun. 2020 (CEST)

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 
 

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Geo_P]]

Beweis:

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 20

2020-06-17T10:19:48Z

Kohlhoffj: /* Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

[[Medium:Konstruktion_Geradenspiegelung_mit_Zirkel_und_Lineal_(ohne_Geodreieck).ogg]]
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 12:17, 17. Jun. 2020 (CEST)

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 
 

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Geo_P]]

Beweis:

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 20

2020-06-17T10:17:41Z

Kohlhoffj: /* Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

[[Datei:Konstruktion Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal (ohne Geodreieck).jpg|thumb|grün ist gegeben, die Zahlen geben an, in welcher Reihenfolge konstruiert wurde]]
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 12:17, 17. Jun. 2020 (CEST)

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 
 

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Geo_P]]

Beweis:

Datei:Konstruktion Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal (ohne Geodreieck).jpg

2020-06-17T10:11:40Z

Kohlhoffj: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Aufg. 7.4P (SoSe 20)

2020-06-08T16:11:05Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 7.3P (SoSe 20)

2020-06-08T15:58:43Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe 20)

2020-06-08T15:47:01Z

Kohlhoffj:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Voraussetzung: zwei konvexe Punktmengen

Behauptung: Durchschnitt dieser Mengen ist konvex

Zusatz: Es seien die Punkte A und B, mit <math>(A \epsilon M,N) \wedge (B \epsilon M,N)</math>.

{| class="wikitable"
|-
! || Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) || <math>(A,B \epsilon M,N)</math> || Zusatz
|-
| 2) || <math>(A,B \epsilon M)</math> || 1)
|-
| 3) || <math>(Strecke AB \epsilon M)</math> || 2), Voraussetzung
|-
| 4) || <math>(A,B \epsilon N)</math> || 1)
|-
| 5) || <math>(Strecke AB \epsilon N)</math> || 4), Voraussetzung
|-
| 6) || <math>(Strecke AB \epsilon (N \cap M))</math> || 3), 5)
|-
| 7) || <math>(A,B \epsilon (N \cap M)\Rightarrow (Strecke AB \epsilon (N \cap M)))</math> || 1)-6) (Zusammenfassung der Folgerungen)
|-
| 8) || <math>(N \cap M)</math> ist konvex || 7), Definition konvex
|}
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Grundsätzlich ist der Beweis (mit ein paar kleinen Ausnahmen) richtig geführt,
nur etwas zu umständlich.
Als ersten Schritt bestimmst du, dass A und B zwei beliebige Punkte in <math>M \cap N</math> seien.
Dann musst du beachten, dass <math> \overline {AB} \in N</math> nicht korrekt ist.
Ein Element ist immer ein einzelnes Objekt einer Menge. Hier hast du eine Strecke
mit mehreren Elementen. Da heißt es dann immer <math> \overline {AB} </math> ist '''Teilmenge von''' N. (<math> \overline {AB} \subseteq N )</math>
Nachdem du bewiesen hast, dass <math> \overline {AB} </math> Teilmenge von M und N ist,
reicht es zu sagen, dass <math> \overline {AB} \subseteq M \cap N)</math>. Damit ist bewiesen, dass <math> M \cap N </math>
konvex ist. Vielleicht kannst du den Beweis erneut führen.
Außerdem wäre es super, wenn du immer die "alten" Sachen stehen lässt und das Verbesserte unter die Kommentare
schreiben würdest. Danke. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 21:38, 28. Mai 2020 (CEST)

Voraussetzung: zwei konvexe Punktmengen

Behauptung: Durchschnitt dieser Mengen ist konvex

Zusatz: Es seien die Punkte A und B, mit <math>(A,B \epsilon M \cap N)</math>.

{| class="wikitable"
|-
! || Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) || <math>(A,B \epsilon M,N)</math> || Zusatz
|-
| 3) || <math>(\overline {AB} \subseteq M)</math> || 1), Voraussetzung
|-
| 4) || <math>(\overline {AB} \subseteq N)</math> || 1), Voraussetzung
|-
| 5) || <math>(\overline {AB} \subseteq M \cap N)</math> || 3), 4)
|-
| 6) || <math>(M \cap N)</math> ist konvex || 4), Definition konvex
|}
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe 20)

2020-06-08T15:23:12Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 7.1P (SoSe 20)

2020-06-08T15:18:13Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 20)

2020-06-08T15:17:05Z

Kohlhoffj:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 

Ein Dreieck, dessen Seiten alle kongruent zueinander sind, heißt gleichseitiges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Genauer wäre es, wenn du "drei Seiten" schreibst.--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 13:31, 22. Mai 2020 (CEST)

Ein Dreieck, dessen drei Seiten alle kongruent zueinander sind, heißt gleichseitiges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Ein Dreieck, bei dem zwei Seiten kongruent zueinander sind, heißt gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Kontraposition: Dreieck nicht gleichschenklig, Voraussetzung: drei kongruente Seiten (gleichseitig), Behauptung: keine zwei kongruenten Seiten (nicht gleichschenklig) 
=> keine zwei kongruenten Seiten 
=> keine drei kongruenten Seiten 
=> nicht gleichseitig
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Die Voraussetzung ist nicht korrekt. Vielleicht notierst du die komplette Kontraposition als Satz.
So kann man die Voraussetzung und Behauptung sofort herauslesen. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 18:26, 28. Mai 2020 (CEST)

Kontraposition: Jedes nicht gleichschenklige Dreieck ist auch nicht gleichseitig. Voraussetzung: keine zwei kongruenten Seiten (nicht gleichschenklig), Behauptung: keine drei kongruenten Seiten (nicht gleichseitig) 
=> keine zwei kongruenten Seiten 
=> keine drei kongruenten Seiten 
=> nicht gleichseitig
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe 20)

2020-05-28T18:10:57Z

Kohlhoffj:

Beweisen Sie den Satz von Pasch. 

Voraussetzung: g schneidet die Strecke AC und A, C sind nicht Element von g

Behauptung: g schneidet entweder die Strecke AB oder die Strecke BC

Annahme: g schneidet weder die Strecke AB, noch die Strecke BC

{| class="wikitable"
|-
! !! Beweisschritt !! Begründung
|-
| 1) || <math>Strecke AB \cap g= \emptyset </math> || Annahme
|-
| 2) || <math>A,B \epsilon gA + </math> || 1), Def. Halbebenen
|-
| 3) || <math>Strecke BC \cap g= \emptyset </math> || Annahme
|-
| 4) || <math>C \epsilon gA + </math> || 2), 3), Def. Halbebenen
|-
| 5) || <math>Strecke AC \cap g= \emptyset </math> || 2), 4), Def. Halbebenen
|-
| 6) || Widerspruch zu Voraussetzung || 5), Voraussetzung
|}
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe 20)

2020-05-28T17:43:58Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe 20)

2020-05-28T14:14:41Z

Kohlhoffj:

a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3. 
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

a) Kontraposition: Wenn der Durchschnitt zweier Mengen nicht konvex ist, ist mindestens eine der Mengen nicht konvex. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe 20)

2020-05-28T14:11:05Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 20)

2020-05-28T14:10:38Z

Kohlhoffj:

Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält.
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AC}</math> oder die Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

a) Wenn g keine der Strecken AC oder AB schneidet, schneidet g auch nicht die Strecke BC. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Ersetze "keine" durch "weder". --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 13:43, 22. Mai 2020 (CEST)

a) Wenn g weder die Strecke AC, noch die Strecke AB schneidet, schneidet g auch nicht die Strecke BC. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

b) g schneidet BC und nicht AC oder AB.--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Strecke <math>\overline{AC}</math> und Strecke <math>\overline{AB}</math> werden nicht geschnitten ist korrekt.
Jedoch fehlt hier noch ein Fall, der berücksichtigt werden muss. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 13:43, 22. Mai 2020 (CEST)

b) g schneidet BC und nicht AC oder AB und BC ist nicht Element von g. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe 20)

2020-05-28T14:07:57Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe 20)

2020-05-28T14:02:56Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 20)

2020-05-28T13:56:09Z

Kohlhoffj:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Ein Dreieck, dessen Seiten alle kongruent zueinander sind, heißt gleichseitiges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Genauer wäre es, wenn du "drei Seiten" schreibst.--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 13:31, 22. Mai 2020 (CEST)

Ein Dreieck, dessen drei Seiten alle kongruent zueinander sind, heißt gleichseitiges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Ein Dreieck, bei dem zwei Seiten kongruent zueinander sind, heißt gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Kontraposition: Dreieck nicht gleichschenklig, Voraussetzung: drei kongruente Seiten (gleichseitig), Behauptung: keine zwei kongruenten Seiten (nicht gleichschenklig)
=> keine zwei kongruenten Seiten
=> keine drei kongruenten Seiten
=> nicht gleichseitig
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Das ist korrekt. Super wäre es, wenn du die Voraussetzung, Behauptung und Kontraposition
nennen würdest, bevor der Beweis geführt wird.
Kontraposition: ...
Voraussetzung: ...
Behauptung: ...
Dann folgt der Beweis. --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 13:31, 22. Mai 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.5 P (SoSe 20)

2020-05-21T11:07:08Z

Kohlhoffj:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

g geschnitten g gleich g (ungleich leere Menge) => reflexiv --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

wenn g geschnitten h ungleich leere Menge ist, ist auch h geschnitten g ungleich leere Menge => symmetrisch --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

es sei: g={2} und h={2,4} und d={4} => g geschnitten h = {2}; h geschnitten d = {4} und g geschnitten d = {} => nicht transitiv --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:56:48Z

Kohlhoffj:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

r=reflexiv, s=symmetrisch, t=transitiv
*Parallelität von Geraden der Ebene: r, s, t
*Kongruenz geometrischer Figuren: r, s, t
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>: r, nicht s, t
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>: nicht r, nicht s, t
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>: r, nicht s, t
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>: nicht r, s, nicht t
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:47:18Z

Kohlhoffj:

a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 
c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 

a) M = {Drachen (D), Raute (R), Quadrat (Q)} --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

b) M x M = {(D,D); (D,R); (D,Q); (R,D); (R,R); (R,Q); (Q,D); (Q,R); (Q,Q)} --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

c) R = {(D,D); (R,D); (R,R); (Q,D); (Q,R); (Q,Q)} --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

d) R ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:47:01Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:32:05Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:31:45Z

Kohlhoffj:

Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:27:36Z

Kohlhoffj:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Ein Dreieck, dessen Seiten alle kongruent zueinander sind, heißt gleichseitiges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Ein Dreieck, bei dem zwei Seiten kongruent zueinander sind, heißt gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Kontraposition: Dreieck nicht gleichschenklig
=> keine zwei kongruenten Seiten
=> keine drei kongruenten Seiten
=> nicht gleichseitig
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:26:16Z

Kohlhoffj:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Ein Dreieck, dessen Seiten alle kongruent zueinander sind, heißt gleichseitiges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Ein Dreieck, bei dem zwei Seiten kongruent zueinander sind, heißt gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Annahme: Dreieck nicht gleichschenklig
=> keine zwei kongruenten Seiten
=> keine drei kongruenten Seiten
=> nicht gleichseitig
--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:20:55Z

Kohlhoffj:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

Ein Dreieck, dessen Seiten alle kongruent zueinander sind, heißt gleichseitiges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

Ein Dreieck, bei dem zwei Seiten kongruent zueinander sind, heißt gleichschenkliges Dreieck. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]])

[[Kategorie:Geo_P]]

Diskussion:Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:20:01Z

Kohlhoffj: Die Seite wurde geleert.

Diskussion:Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:18:13Z

Kohlhoffj:

Diskussion:Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 20)

2020-05-21T10:17:33Z

Kohlhoffj: Die Seite wurde neu angelegt: „Ein Dreieck, dessen Seiten alle kongruent zueinander sind, heißt gleichseitiges Dreieck.“