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Lustige Plakatwahl 2012

2012-07-11T18:05:01Z

Kopernikus: /* Punkteverteilung */

Spannender als das 'Sammeln von Daten' ist sicherlich die qualitative (und auch quantitative) Plakatanalyse: --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:04, 11. Jul. 2012 (CEST)
 
=Die Kandidaten=

{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Grillen_01.jpg|300px]] || [[Datei:Grillen_02.jpg|300px]] ||[[Datei:Grillen_03.jpg|300px]]
|-
| Plakat 01 || Plakat 02 || Plakat 03
|}

=Qualitative Analyse=
==Was liegt auf dem Grill?==
Plakat Nummer drei scheidet von vorneherein aus, denn dort liegt ja ganz offensichtlich Gemüse drauf - bleiben noch Plakat eins und zwei. Die Wahl fällt nicht ganz leicht - fünf Stück Würstchen sind nicht zu verachten, aber die Fleischstücke auf dem ersten Plakat sind nicht von schlechten Eltern und demnach nicht zu verachten.
===Punkteverteilung===

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| Plakat || Punkte
|-
| Plakat 1 || 1
|-
| Plakat 2 || 3
|-
| Plakat 3 || 0
|}
 
{{Schrift_grün|Aus Gründen der Gleichstellung ist das Ergebnis aus dieser Runde allerdings nur vorläufig - Vegetarier/innen können das Ergebnis noch anfächten :-)}}

==In welches Plakat kann man mehr mathematische Figuren und Formeln interpretieren?==
Plakat Nummer 2 punktet ob der Schriftart erneut - wenn man geschickte Streckenzüge einbaut, erhält man einen ganzen Sack an Dreiecken. Zudem berücksichtigt es die Teilerregelung auf der Menge der ganzen Zahlen: Da man durch 0 nicht teilen kann und unser Zeichen für die Division allgemein als der Doppelpunkt (:) angenommen wird, wurde darauf dezent verzichtet: Anstelle von 18:00 (was ja in Z nicht definiert ist), schreibt man 1800! 
Da allerdings Plakat 3 die Umfangsformel für den Kreis direkt auf dem 'runden' Grill geparkt hat, denke ich, kann man da auch einen Punkt vergeben. 
Plakat 1 müsste eigentlich auch einen Punkt bekommen - der Hintergrund entspricht nämlich in etwa dem Tafelanschrieb einer gewöhnlichen Mathematikstunde meiner Realschulzeit - tja, in Bayern bekommt man halt auch nichts geschenkt :-)))
===Punkteverteilung===
{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| Plakat || Punkte
|-
| Plakat 1 || 1
|-
| Plakat 2 || 3
|-
| Plakat 3 || 1
|}

=Quantitative Analyse=
==Menge an Bier==
Was das anbelangt, schießt sich Plakat 1 quasi eigenhändig ins Nirvana - während auf den Plakaten 2 und 3 jeweils zwei Kästen abgebildet sind, ist auf Plakat eins nur einer. 
Als ob das nicht schon Sache genug wäre, steht oben drüber: 1 Bier = kein Bier! Da wir eine Gleichung haben, können wir beide Seiten erweitern und somit steht dort quasi: 1 Bier{{Schrift_orange|kasten}} = kein Bier{{Schrift_orange|kasten}}. 
Ergo ein Minuspunkt für Plakat 1, jeweils einen Pluspunkt für die anderen beiden.
===Punkteverteilung===
{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| Plakat || Punkte
|-
| Plakat 1 || -1
|-
| Plakat 2 || 3
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| Plakat 3 || 1
|}

=Gesamtergebnis nach 3 Runden=

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
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| Plakat || Punkte
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| Plakat 1 || 1
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| Plakat 2 || 3
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| Plakat 3 || 2
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[[Kategorie: Einführung_S]]
[[Kategorie: Einführung_P]]

Lustige Plakatwahl 2012

2012-07-11T18:03:00Z

Kopernikus: /* Punkteverteilung */

Spannender als das 'Sammeln von Daten' ist sicherlich die qualitative (und auch quantitative) Plakatanalyse:
 
=Die Kandidaten=

{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Grillen_01.jpg|300px]] || [[Datei:Grillen_02.jpg|300px]] ||[[Datei:Grillen_03.jpg|300px]]
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| Plakat 01 || Plakat 02 || Plakat 03
|}

=Qualitative Analyse=
==Was liegt auf dem Grill?==
Plakat Nummer drei scheidet von vorneherein aus, denn dort liegt ja ganz offensichtlich Gemüse drauf - bleiben noch Plakat eins und zwei. Die Wahl fällt nicht ganz leicht - fünf Stück Würstchen sind nicht zu verachten, aber die Fleischstücke auf dem ersten Plakat sind nicht von schlechten Eltern und demnach nicht zu verachten.
===Punkteverteilung===

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
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| Plakat || Punkte
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| Plakat 1 || 1
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| Plakat 2 || 3
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| Plakat 3 || 0
|}
 
{{Schrift_grün|Aus Gründen der Gleichstellung ist das Ergebnis aus dieser Runde allerdings nur vorläufig - Vegetarier/innen können das Ergebnis noch anfächten :-)}}

==In welches Plakat kann man mehr mathematische Figuren und Formeln interpretieren?==
Plakat Nummer 2 punktet ob der Schriftart erneut - wenn man geschickte Streckenzüge einbaut, erhält man einen ganzen Sack an Dreiecken. Zudem berücksichtigt es die Teilerregelung auf der Menge der ganzen Zahlen: Da man durch 0 nicht teilen kann und unser Zeichen für die Division allgemein als der Doppelpunkt (:) angenommen wird, wurde darauf dezent verzichtet: Anstelle von 18:00 (was ja in Z nicht definiert ist), schreibt man 1800! 
Da allerdings Plakat 3 die Umfangsformel für den Kreis direkt auf dem 'runden' Grill geparkt hat, denke ich, kann man da auch einen Punkt vergeben. 
Plakat 1 müsste eigentlich auch einen Punkt bekommen - der Hintergrund entspricht nämlich in etwa dem Tafelanschrieb einer gewöhnlichen Mathematikstunde meiner Realschulzeit - tja, in Bayern bekommt man halt auch nichts geschenkt :-)))
===Punkteverteilung===
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!Überschrift 1!!Überschrift 2
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| Plakat || Punkte
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| Plakat 1 || 1
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| Plakat 2 || 3
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| Plakat 3 || 1
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=Quantitative Analyse=
==Menge an Bier==
Was das anbelangt, schießt sich Plakat 1 quasi eigenhändig ins Nirvana - während auf den Plakaten 2 und 3 jeweils zwei Kästen abgebildet sind, ist auf Plakat eins nur einer. 
Als ob das nicht schon Sache genug wäre, steht oben drüber: 1 Bier = kein Bier! Da wir eine Gleichung haben, können wir beide Seiten erweitern und somit steht dort quasi: 1 Bier{{Schrift_orange|kasten}} = kein Bier{{Schrift_orange|kasten}}. 
Ergo ein Minuspunkt für Plakat 1, jeweils einen Pluspunkt für die anderen beiden.
===Punkteverteilung===
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!Überschrift 1!!Überschrift 2
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| Plakat || Punkte
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| Plakat 1 || -1
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| Plakat 2 || 1
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| Plakat 3 || 1
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=Gesamtergebnis nach 3 Runden=

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| Plakat || Punkte
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| Plakat 1 || 1
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| Plakat 2 || 3
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Lustige Plakatwahl 2012

2012-07-11T18:02:27Z

Kopernikus: /* Punkteverteilung */

Spannender als das 'Sammeln von Daten' ist sicherlich die qualitative (und auch quantitative) Plakatanalyse:
 
=Die Kandidaten=

{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Grillen_01.jpg|300px]] || [[Datei:Grillen_02.jpg|300px]] ||[[Datei:Grillen_03.jpg|300px]]
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| Plakat 01 || Plakat 02 || Plakat 03
|}

=Qualitative Analyse=
==Was liegt auf dem Grill?==
Plakat Nummer drei scheidet von vorneherein aus, denn dort liegt ja ganz offensichtlich Gemüse drauf - bleiben noch Plakat eins und zwei. Die Wahl fällt nicht ganz leicht - fünf Stück Würstchen sind nicht zu verachten, aber die Fleischstücke auf dem ersten Plakat sind nicht von schlechten Eltern und demnach nicht zu verachten.
===Punkteverteilung===

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| Plakat || Punkte
|-
| Plakat 1 || 1
|-
| Plakat 2 || 3
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| Plakat 3 || 0
|}
 
{{Schrift_grün|Aus Gründen der Gleichstellung ist das Ergebnis aus dieser Runde allerdings nur vorläufig - Vegetarier/innen können das Ergebnis noch anfächten :-)}}

==In welches Plakat kann man mehr mathematische Figuren und Formeln interpretieren?==
Plakat Nummer zwei Punktet ob der Schriftart erneut - wenn man geschickte Streckenzüge einbaut, erhält man einen ganzen Sack an Dreiecken. Zudem berücksichtigt es die Teilerregelung auf der Menge der ganzen Zahlen: Da man durch 0 nicht teilen kann und unser Zeichen für die Division allgemein als der Doppelpunkt (:) angenommen wird, wurde darauf dezent verzichtet: Anstelle von 18:00 (was ja in Z nicht definiert ist), schreibt man 1800! 
Da allerdings Plakat 3 die Umfangsformel für den Kreis direkt auf dem 'runden' Grill geparkt hat, denke ich, kann man da auch einen Punkt vergeben. 
Plakat eins müsste eigentlich auch einen Punkt bekommen - der Hintergrund entspricht nämlich in etwa dem Tafelanschrieb einer gewöhnlichen Mathematikstunde meiner Realschulzeit - tja, in Bayern bekommt man halt auch nichts geschenkt :-)))
===Punkteverteilung===
{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
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| Plakat || Punkte
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| Plakat 1 || 1
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| Plakat 2 || 1
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=Quantitative Analyse=
==Menge an Bier==
Was das anbelangt, schießt sich Plakat 1 quasi eigenhändig ins Nirvana - während auf den Plakaten 2 und 3 jeweils zwei Kästen abgebildet sind, ist auf Plakat eins nur einer. 
Als ob das nicht schon Sache genug wäre, steht oben drüber: 1 Bier = kein Bier! Da wir eine Gleichung haben, können wir beide Seiten erweitern und somit steht dort quasi: 1 Bier{{Schrift_orange|kasten}} = kein Bier{{Schrift_orange|kasten}}. 
Ergo ein Minuspunkt für Plakat 1, jeweils einen Pluspunkt für die anderen beiden.
===Punkteverteilung===
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| Plakat || Punkte
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| Plakat 1 || -1
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=Gesamtergebnis nach 3 Runden=

{| class="wikitable sortable"
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Winkelmessung SS 2012

2012-07-05T16:20:20Z

Kopernikus: /* Definition V.10: (senkrecht für Strecken) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt. 

----Einschub: Das Supplementaxiom besagt doch nur, dass Nebenwinkel supplementär sind..!? Nach der Def. supplementär wissen wir erst, dass" zwei Winkel genau dann supplementär heißen, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt."...--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 11:45, 1. Jul. 2012 (CEST) 
----

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

=====Frage zur Def. V.8=====
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

=====Antwort M.G.=====
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-) 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum". --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn die Gerade <math>g</math> senkrecht auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> steht. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ich meine es müsste heißen "...wenn sich die Geraden AB und g schneiden und dabei rechte Winkel entstehen." Eine Strecke kann meines Wissens nach nicht senkrecht auf einer Geraden stehen, sondern nur die Gerade, die durch die beiden Punkte der Strecke eindeutig bestimmt ist.--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:26, 1. Jul. 2012 (CEST) 

''' @ osterhase '''
Glaub ich nicht. 
1. Senkrecht ist bereits Def. 
2. Schneiden müssen sie sich nicht wegen Def. V.8 
3. Es geht hier um eine Strecke und um eine Gerade. (Das war ja gegeben)
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:15, 5. Jul. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> senkrecht aufeinander stehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

Same procedure: Die Gerade AB und die Gerade PQ stehen senkrecht aufeinander, wenn...--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:27, 1. Jul. 2012 (CEST)
 
''' @ osterhase ''' Genau das Gleiche....
Es wir in der Def. gefordert das es sich um zwei Stecken handelt und nicht um Geraden
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:18, 5. Jul. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch <math>P</math> gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math> <math>\varepsilon</math>,
<math>P_2</math> <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90</math> gilt. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)
 
 
... eine Gerade <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegt, eine Gerade <math>s</math> in <math>\alpha</math> liegt und <math> g\perp s</math> gilt.
 
:Ist die Definition so sinnvoll?
:Mein Gedanke war: Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander verlaufen, dann müssen auch die Ebenen in welchen sie liegen senkrecht zueinander sein.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 19:26, 28. Jun. 2012 (CEST)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-07-05T16:19:14Z

Kopernikus: /* Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt. 

----Einschub: Das Supplementaxiom besagt doch nur, dass Nebenwinkel supplementär sind..!? Nach der Def. supplementär wissen wir erst, dass" zwei Winkel genau dann supplementär heißen, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt."...--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 11:45, 1. Jul. 2012 (CEST) 
----

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

=====Frage zur Def. V.8=====
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

=====Antwort M.G.=====
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-) 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum". --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn die Gerade <math>g</math> senkrecht auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> steht. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ich meine es müsste heißen "...wenn sich die Geraden AB und g schneiden und dabei rechte Winkel entstehen." Eine Strecke kann meines Wissens nach nicht senkrecht auf einer Geraden stehen, sondern nur die Gerade, die durch die beiden Punkte der Strecke eindeutig bestimmt ist.--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:26, 1. Jul. 2012 (CEST) 

''' @ osterhase '''
Glaub ich nicht. 
1. Senkrecht ist bereits Def. 
2. Schneiden müssen sie sich nicht wegen Def. V.8 
3. Es geht hier um eine Strecke und um eine Gerade. (Das war ja gegeben)
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:15, 5. Jul. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> senkrecht aufeinander stehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

Same procedure: Die Gerade AB und die Gerade PQ stehen senkrecht aufeinander, wenn...--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:27, 1. Jul. 2012 (CEST)
 
''' @ osterhase ''' Genau das Gleiche....
Es wir in der Def. gefordert
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:18, 5. Jul. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch <math>P</math> gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math> <math>\varepsilon</math>,
<math>P_2</math> <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90</math> gilt. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)
 
 
... eine Gerade <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegt, eine Gerade <math>s</math> in <math>\alpha</math> liegt und <math> g\perp s</math> gilt.
 
:Ist die Definition so sinnvoll?
:Mein Gedanke war: Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander verlaufen, dann müssen auch die Ebenen in welchen sie liegen senkrecht zueinander sein.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 19:26, 28. Jun. 2012 (CEST)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-07-05T16:18:34Z

Kopernikus: /* Definition V.10: (senkrecht für Strecken) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt. 

----Einschub: Das Supplementaxiom besagt doch nur, dass Nebenwinkel supplementär sind..!? Nach der Def. supplementär wissen wir erst, dass" zwei Winkel genau dann supplementär heißen, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt."...--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 11:45, 1. Jul. 2012 (CEST) 
----

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

=====Frage zur Def. V.8=====
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

=====Antwort M.G.=====
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-) 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum". --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn die Gerade <math>g</math> senkrecht auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> steht. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ich meine es müsste heißen "...wenn sich die Geraden AB und g schneiden und dabei rechte Winkel entstehen." Eine Strecke kann meines Wissens nach nicht senkrecht auf einer Geraden stehen, sondern nur die Gerade, die durch die beiden Punkte der Strecke eindeutig bestimmt ist.--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:26, 1. Jul. 2012 (CEST)

Glaub ich nicht. 
1. Senkrecht ist bereits Def. 
2. Schneiden müssen sie sich nicht wegen Def. V.8 
3. Es geht hier um eine Strecke und um eine Gerade. (Das war ja gegeben)
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:15, 5. Jul. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> senkrecht aufeinander stehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

Same procedure: Die Gerade AB und die Gerade PQ stehen senkrecht aufeinander, wenn...--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:27, 1. Jul. 2012 (CEST)
 
''' @ osterhase ''' Genau das Gleiche....
Es wir in der Def. gefordert
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:18, 5. Jul. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch <math>P</math> gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math> <math>\varepsilon</math>,
<math>P_2</math> <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90</math> gilt. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)
 
 
... eine Gerade <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegt, eine Gerade <math>s</math> in <math>\alpha</math> liegt und <math> g\perp s</math> gilt.
 
:Ist die Definition so sinnvoll?
:Mein Gedanke war: Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander verlaufen, dann müssen auch die Ebenen in welchen sie liegen senkrecht zueinander sein.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 19:26, 28. Jun. 2012 (CEST)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-07-05T16:15:49Z

Kopernikus: /* Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt. 

----Einschub: Das Supplementaxiom besagt doch nur, dass Nebenwinkel supplementär sind..!? Nach der Def. supplementär wissen wir erst, dass" zwei Winkel genau dann supplementär heißen, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt."...--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 11:45, 1. Jul. 2012 (CEST) 
----

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

=====Frage zur Def. V.8=====
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

=====Antwort M.G.=====
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-) 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum". --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn die Gerade <math>g</math> senkrecht auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> steht. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ich meine es müsste heißen "...wenn sich die Geraden AB und g schneiden und dabei rechte Winkel entstehen." Eine Strecke kann meines Wissens nach nicht senkrecht auf einer Geraden stehen, sondern nur die Gerade, die durch die beiden Punkte der Strecke eindeutig bestimmt ist.--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:26, 1. Jul. 2012 (CEST)

Glaub ich nicht. 
1. Senkrecht ist bereits Def. 
2. Schneiden müssen sie sich nicht wegen Def. V.8 
3. Es geht hier um eine Strecke und um eine Gerade. (Das war ja gegeben)
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:15, 5. Jul. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

Same procedure: Die Gerade AB und die Gerade PQ stehen senkrecht aufeinander, wenn...--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 10:27, 1. Jul. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch <math>P</math> gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math> <math>\varepsilon</math>,
<math>P_2</math> <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90</math> gilt. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)
 
 
... eine Gerade <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegt, eine Gerade <math>s</math> in <math>\alpha</math> liegt und <math> g\perp s</math> gilt.
 
:Ist die Definition so sinnvoll?
:Mein Gedanke war: Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander verlaufen, dann müssen auch die Ebenen in welchen sie liegen senkrecht zueinander sein.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 19:26, 28. Jun. 2012 (CEST)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Benutzer Diskussion:osterhase

2012-07-05T15:52:40Z

Kopernikus: Die Seite wurde neu angelegt: „Ich würde mir die Def. V/9 und Def V/10 nochmals anschauen und diese genau lesen. Gruß Kopernikus.“

Zusatzaufgaben 5 S (SoSe 12)

2012-07-03T19:27:38Z

Kopernikus: /* Aufgabe 2 */

== Aufgabe 1==
Beweisen Sie Satz I.5 : Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

[[Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 (SoSe_12)]]

== Aufgabe 2==
Beweisen Sie Satz I.7 : Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte. 
Achtung !!! Das ist nicht der Satz
Das ist nicht Satz I.7 : 
::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei paarweise verschiedene Punkte.

[[Lösung von Zusatzaufgabe 5.2 (SoSe_12)]]

== Aufgabe 3==
Welche Aussagen sind für beliebige Punkte <math>A, B, C, D, E</math> immer wahr? 
a) <math>\operatorname{nkoll}(A, B, C, D) </math> 
b) <math>\operatorname{komp}(A, C, D) </math> 
c) <math>\operatorname{koll}(A, E) </math> 
d) <math>\operatorname{komp}(A, B) </math> 
e) <math>\operatorname{nkomp}(A, B, C, D, E) </math> 
f) <math>\operatorname{komp}(A, B, C, D, E) </math> 

[[Lösung von Zusatzaufgabe 5.3 (SoSe_12)]] 

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufg. 10.3 S

2012-07-03T13:45:24Z

Kopernikus: /* Kopernikus / Just noch ein sailA */

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==
Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

''' Vor: '''
 
1. <math>\ MP</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> 

2. <math>\overline{AB}</math> 
3. <math>\ AB \perp \ \ MP </math> 
 
''' Beh: '''
 
<math>\left| AP \right| =\left| PB \right|</math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\left| AM \right| =\left| BM \right|</math>
| Vor; Def. Mittelsenkrechte.
|-
| 2
| <math>\angle AMP \tilde {=} \angle PMB</math>
| Axiom IV.4, Def. V.7
|-
| 3
| <math>\left| MP \right| =\left| MP \right|</math>
| trivial
|-
| 4
| <math>\overline {AMP} \tilde {=} \overline {BMP}</math>
| SWS, (1),(2),(3)
|-
| 5
| <math>\left| AP \right| =\left| PB \right|</math>
|
|-
|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST) 

 

== Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha ==
Vor.: <math>P \in m_{AB}</math> 
Beh.: <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math> 

(1) <math>\left| AM \right| \tilde {=} \left| MB \right|</math> // Vor., Def. Mittelsenkrechte, Def. Mittelpunkt 
(2) <math>\left| MP \right| =\left| MP \right|</math> // trivial 
(3) <math>\left| \angle AMP \right| = \left| \angle BMP \right|</math> // Vor., Def. Mittelsenkrechte, Def. senkrecht 
(4) <math>\overline{AMP} = \overline{BMP} // (1-3), SWS</math> 
(5) <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math> // (4), Dreieckskongruenz 
qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 12:24, 30. Jun. 2012 (CEST) 
Korrekt!--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:30, 1. Jul. 2012 (CEST)

== Lösungsversuch schokomuffin ==

Vor<math>P \in m</math> : m = Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beh: <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math>

(1) <math>\exists M \in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> // Ex.Eind. Mittelpunkt, Ax II.2

(2) <math>\overline{PM}</math> // Vor

(3) <math>\overline{AP}</math> // Ax. vom Lineal

(4) <math>\overline{BP}</math> // Ax. vom Lineal

(5) <math>\overline{PM} = \overline{MP}</math> // trivial

(6) <math>\left| \angle BMP \right| = \left| \angle AMP \right|</math> // Def. RW, NW, Vor

(7) <math>\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP} </math> // SWS (1), (5), (6)

(8) <math>\left| AP \right| = \left| BP \right|</math> // Def. Dreieckskongurenz, (7)

--[[schokomuffin]] 14:23, 01. Jul. 2012 (CEST) 
*Ich verstehe die Schritte 2,3,4 nicht... warum werden sie gemacht und was sollen sie bedeuten? Außerdem werden sie im Beweis nicht benutzt, was sie überflüssig macht. Ohne diese Schritte finde ich den Beweis gut :) --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:34, 1. Jul. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufg. 10.3 S

2012-07-03T13:44:11Z

Kopernikus: /* Kopernikus / Just noch ein sailA */

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==
Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

''' Vor: '''
 
1. <math>\ MP</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> 
*Eine Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Gerade und kein Strahl. Deshalb <math>\ MP</math> statt <math>\ MP^{+}</math>--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:21, 1. Jul. 2012 (CEST)
2. <math>\overline{AB}</math> 
3. <math>\ AB \perp \ \ MP </math> 
 
''' Beh: '''
 
<math>\left| AP \right| =\left| PB \right|</math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\left| AM \right| =\left| BM \right|</math>
| Vor; Def. Mittelsenkrechte.
|-
| 2
| <math>\angle AMP \tilde {=} \angle PMB</math>
| Axiom IV.4, Def. V.7
|-
| 3
| <math>\left| MP \right| =\left| MP \right|</math>
| trivial
|-
| 4
| <math>\overline {AMP} \tilde {=} \overline {BMP}</math>
| SWS, (1),(2),(3)
|-
| 5
| <math>\left| AP \right| =\left| PB \right|</math>
|
|-
|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST) 

 

== Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha ==
Vor.: <math>P \in m_{AB}</math> 
Beh.: <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math> 

(1) <math>\left| AM \right| \tilde {=} \left| MB \right|</math> // Vor., Def. Mittelsenkrechte, Def. Mittelpunkt 
(2) <math>\left| MP \right| =\left| MP \right|</math> // trivial 
(3) <math>\left| \angle AMP \right| = \left| \angle BMP \right|</math> // Vor., Def. Mittelsenkrechte, Def. senkrecht 
(4) <math>\overline{AMP} = \overline{BMP} // (1-3), SWS</math> 
(5) <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math> // (4), Dreieckskongruenz 
qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 12:24, 30. Jun. 2012 (CEST) 
Korrekt!--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:30, 1. Jul. 2012 (CEST)

== Lösungsversuch schokomuffin ==

Vor<math>P \in m</math> : m = Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beh: <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math>

(1) <math>\exists M \in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> // Ex.Eind. Mittelpunkt, Ax II.2

(2) <math>\overline{PM}</math> // Vor

(3) <math>\overline{AP}</math> // Ax. vom Lineal

(4) <math>\overline{BP}</math> // Ax. vom Lineal

(5) <math>\overline{PM} = \overline{MP}</math> // trivial

(6) <math>\left| \angle BMP \right| = \left| \angle AMP \right|</math> // Def. RW, NW, Vor

(7) <math>\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP} </math> // SWS (1), (5), (6)

(8) <math>\left| AP \right| = \left| BP \right|</math> // Def. Dreieckskongurenz, (7)

--[[schokomuffin]] 14:23, 01. Jul. 2012 (CEST) 
*Ich verstehe die Schritte 2,3,4 nicht... warum werden sie gemacht und was sollen sie bedeuten? Außerdem werden sie im Beweis nicht benutzt, was sie überflüssig macht. Ohne diese Schritte finde ich den Beweis gut :) --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:34, 1. Jul. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufg. 10.2 S

2012-07-03T11:32:30Z

Kopernikus: /* Kopernikus / Just noch ein sailA */

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha: 

Skizze: 
[[Datei:Übung 10.2neu.png]]
 
'''Voraussetzung:''' 
(V1) Punkt P 
(V2) Strecke <math>\overline{AB}</math> 
(V3) <math>\left|PA| = |PB| = \left| d \right|</math> bzw. <math>\overline {PA} \tilde {=} \overline {PB}</math> 
'''Behauptung:''' 
P <math>\in</math> Mittelsenkrechte<math>\overline{AB}</math> 

(1) <math>\exist M\in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> // (V2), Ex. & Eind. Mittelpkt. einer Strecke 
(2) <math>\exists m \in E : \ M,P \in m</math> // (V1), (1), Axiom I.1 
(3) <math>\overline{MP} \tilde {=} \overline{MP}</math> // trivial 
(4) <math>\overline {PA} \tilde {=} \overline {PB}</math> // (V3) 
(5) <math>\overline {AM} \tilde {=} \overline {MB}</math> // (1) 
(6) <math>\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP}</math> // (3-5), SSS 
(7) <math>\angle AMP \tilde {=} \angle BMP </math> // (6) 
(8) <math>\ m \perp \overline{AB}</math> // (7), Def. NW, Def. suppl., Supplementaxiom, Def. rechter Winkel, Def. senkrecht 
(9) <math>P \in m</math> also auch <math>P \in Mittelsenkrechte \overline{AB}</math> // (2) 
qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:58, 27. Jun. 2012 (CEST)

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
 
''' Vor: '''
 
1. <math>\overline{AB}</math> 
2. <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|</math>
 
''' Beh: ''' 
<math>P\in</math> Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) von <math>\overline{AB}</math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|</math>
| Vor.
|-
| 2
| <math>\overline{AM} =\overline{MB}</math>
| Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>
|-
| 3
| <math>\overline{MP} =\overline{PM}</math>
| trivial
|-
| 4
| <math>\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP} </math>
| Kong. Satz SSS, 1,2,3
|-
| 5
| <math>\angle AMP =\angle PMB</math>
| 4, Dreieckskongruenz
|-
| 6
| <math>P\in</math> der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>
| 2,5, Def. VI.1 (Mittelsenkrechte)
|-
| 7
| Beh. stimmt q.e.d
| 6, Beh.
|}
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:50, 28. Jun. 2012 (CEST) 

== ==

<math>\overline{AB}</math>

Lösungsversuch schokomuffin

Vor: <math>|PA| = |PB|</math> 
Beh: <math>P \in</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> 

(1) <math>\exists M \in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> Ex. u. Eind. Mittelpunkt, Ax. II/ 2

(2) <math>\exists g : M \in g \ \wedge P \in g</math> Ax. I/1

(3) <math>\angle BMP = 90</math> Ax. IV/2

(4) <math>\angle AMP = \angle BMP</math> Def. RW, NW, (3)

(5) <math>\ g \perp \ \overline{AB}</math> (4), (3)

(6) g ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> (4), (1)

--[[schokomuffin]] 14:02 01. Jul. 2012 (CEST) 
*Schritt 3 und Schritt 4 kommen mir etwas aus der Luft gegriffen vor. Woher weiß man, dass <math>\angle BMP = 90</math> und <math>\angle AMP = \angle BMP</math> gilt? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 20:12, 1. Jul. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufg. 10.2 S

2012-06-28T13:50:32Z

Kopernikus: table+

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha: 

Skizze: 
[[Datei:Übung 10.2neu.png]]
 
'''Voraussetzung:''' 
(V1) Punkt P 
(V2) Strecke <math>\overline{AB}</math> 
(V3) <math>\left|\overline{PA}\right| = \left|\overline{PB}\right| = \left| d \right|</math> 
'''Behauptung:''' 
P <math>\in</math> Mittelsenkrechte<math>\overline{AB}</math> 

(1) <math>\exist M\in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> // (V2), Ex. & Eind. Mittelpkt. einer Strecke 
(2) <math>\exists m \in E : \ MP</math> // (V1), (1), Axiom I.1 
(3) <math>\overline{MP} = \overline{MP}</math> // trivial 
(4) <math>\left|\overline{PA}\right| = \left|\overline{PB}\right|</math> // (V3) 
(5) <math>\left|\overline{AM}\right| = \left|\overline{MB}\right|</math> // (1) 
(6) <math>\overline{AMP} kongruent \overline{BMP}</math> // (3-5), SSS 
(7) <math>\angle AMP kongruent \angle BMP </math> // (6) 
(8) <math>\ m \perp \overline{AB}</math> // (7), Def. NW, Def. suppl., Supplementaxiom, Def. rechter Winkel, Def. senkrecht 
(9) <math>P \in m</math> also auch <math>P \in Mittelsenkrechte \overline{AB}</math> // (2) 
qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:58, 27. Jun. 2012 (CEST)

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
 
''' Vor: '''
 
1. <math>\overline{AB}</math> 
2. <math>\overline{AP} = \overline{PB}</math>
 
''' Beh: ''' 
<math>P\in</math> der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\overline{AP} =\overline{BP}</math>
| Vor.
|-
| 2
| <math>\overline{AM} =\overline{MB}</math>
| Ex. Eind. der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>
|-
| 3
| <math>\overline{MP} =\overline{PM}</math>
| trivial
|-
| 4
| <math>\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP} </math>
| Kong. Satz SSS, 1,2,3
|-
| 5
| <math>\angle AMP =\angle PMB</math>
| 4, Dreieckskongruenz
|-
| 6
| <math>P\in</math> der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>
| 2,5, Def. VI.1 (Mittelsenkrechte)
|-
| 7
| Beh. stimmt q.e.d
| 6, Beh.
|}
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:50, 28. Jun. 2012 (CEST)
== ==

<math>\overline{AB}</math>

Lösung von Aufg. 10.3 S

2012-06-28T13:21:19Z

Kopernikus: Die Seite wurde neu angelegt: „== Kopernikus / Just noch ein sailA == Beweisen Sie Satz VII.6 b Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> geh…“

Winkelmessung SS 2012

2012-06-26T19:30:43Z

Kopernikus: /* Löschung Def.V.9 Kopernikus */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

'''Frage zur Def. V.8 ''' 
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt P schneidet und zu zwei Geraden die durch P gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal sind. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ... .

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-06-26T19:21:01Z

Kopernikus: /* Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

'''Frage zur Def. V.8 ''' 
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
===== Löschung Def.V.9 Kopernikus =====
'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt P schneidet und zu zwei Geraden die durch P gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal sind. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ... .

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-06-26T18:56:43Z

Kopernikus: /* Definition V.10: (senkrecht für Strecken) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

'''Frage zur Def. V.8 ''' 
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
===== Löschung Def.V.9 Kopernikus =====
'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ... .

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-06-26T18:56:00Z

Kopernikus: /* Definition V.10: (senkrecht für Strecken) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

'''Frage zur Def. V.8 ''' 
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
===== Löschung Def.V.9 Kopernikus =====
'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ... .

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-06-26T18:40:41Z

Kopernikus: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

'''Frage zur Def. V.8 ''' 
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
===== Löschung Def.V.9 Kopernikus =====
'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ... .

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-06-26T18:34:48Z

Kopernikus: /* Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAK210TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VjNcts2ED43T4HhqT2IJvgHckZyxkkvmXHrmSjNoZcOSEIUapJQSdCW/AZ5neQ9klfqAiD1a8tUnHqSmepCcbFcLL5v9+NK45fLskA3rG64qCYWth0LsSoVGa/yidXK2SiyXp6/GOdM5CypKZqJuqRyYnm2ayl7y89f/DRu5uIW0UK7vOfsdmLNaNEwCzWLmtGsmTMmd+y0XfKC03p1lfzNUtlsFkyQN9WihV1k3YItLbNL3vS3Z3rDRcHlr/yGZ6xGhUgnVhhA6vDtPaslT2kxsXzHWNyJ5e4tgslTq3NR8ztRSeW+CT4DC0INv2PwpKNs4zN90DFr04JnnFbqMDoPcELolmdyDimEPoRkPJ9Drr7vmGipEHU2XTWSlWj5J6sFwOxqoFfdXaTvGsgLNgwcvbR9p8OwmymTEmhpEF2yDWB5zbOdmzfNK1FsTAvBK/maLmRba069zjSVK7UB7FWrhC+qvGCdDQPkc5ZeJ2I51SBgz4R+t1roR3RCSf5aFKJGtYI3AIfumpir9lGZrr0c7eNojy6GCrpex7GrPfQ1MVftVfDKpNadHPenxk6/DW+QMigYoRTXhy9owoBaC7UVl5f9DZTA9eao6oHf2zKBHtgugnVM/K1ijs/2ymd8zeqKFaZIKuC2FW2DblQxmr10IhlLeQm3ZgF32Sm6/oAEjDVjec36xE0HGcD06k4h7pnHZ30SKocGck0lSAGcR6qzqE6V0CUTq7Rz20IZlcqqWqFgJYM+kbomdD5rbL58sNSGsEvb72WHfkAIjlzP9Ujs4Ljr40J3cMkr5QP0lXSpxAX7OIjdMPCCKCYxlB9NGlG0kk1TOGh1KVIqtWIZhegaEEc6xlLVTqzbCPowUl9mfMk2PXF/22sRE1qP+rjdeTY+sLxXz9jpKxq0azGn6hwdSQVdwdm2KdDxfhMZ2yFzU99yDmVUsQaqBnpAbrcbrVPVjOZBrzdWUBqaL5CXhYYQEz/w3NgNAAIfvgRKhJk6vFaZPiZaQHZaENalBvVpOD1gVwvGGo2p9fVoOWt92KDlHEXrajZrmFScjlyiGcXuvWA+CAkejEDXI43azbUDV283gtoNLXRnHtdeRkA3bJyC3sWzovefwUNsEq7h8U+DJxVlSasMVbSErS6h+jUmXL3zEXVUhSGKFVQGh1b2C7kJ1QU4QFo10hrI3Hq8t1znKa1/2PiDSzky4kSOUbUBGzB2XGfngyMdILBdA75nB04UDdGT/szsn8o4Nea1xUuYqVIuj7P1lq6GkpUcJ6uGSD3KyQCuHqVqq06fztVzsTGADA1qoXrxTSVhomD6DX04KFwztlAT2lX1rqZVoyZ147M1gDzEqpDwYt8j9sIQCy9zRF3F8z7Br/7CxyneVT7l/jXNpuQlN5fEXE7vN2z6bYS9YRyHdhi7EfYIcXHkE+Lrx+Gd4MR+5PkeDjAJSfwU3dMT9/2QTw3iHb47mH/+eBzy3UEMvIcOYs8+/BwM90OHn6g3FoW4fctmBVtqLAcX+0MSdh/e6XARS38oEYMZO9yrZTUt25js1H1gStyxiY9xEHgecUL4qX0Ked+xto1+/vLhl4flzT1N3tznlbej8kVwGEWhRzyMnSgwgzNwTmISeJGD4ROQiJBvLWAKhG0JO5wKPn86ScA+PSpg0f8CthEw9wDvbLiAZT+SgIF+eTu1HPYCFu9VPlT4KABvpVskwiSIwv6t933q19n2PzH6z8fu39fzfwFQSwcIrEvu1xgFAACvFQAAUEsBAhQAFAAIAAgArbXRPKxL7tcYBQAArxUAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAABSBQAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
===== Löschung Def.V.9 Kopernikus =====
'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ... .

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Übung Aufgaben 9 S (SoSe 12)

2012-06-26T17:43:14Z

Kopernikus: /* Aufgabe 9.6 */

== Aufgabe 9.1 ==
Definieren Sie den Begriff ''Inneres eines Dreiecks''. 
[[Lösung von Aufgabe 9.1_S]]

== Aufgabe 9.2 ==
'''Satz:''' 
'''Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.''' 
a) Formulieren Sie mit "wenn...dann..." 
b) Beweisen Sie den Satz. 
[[Lösung von Aufgabe 9.2_S]]
 

== Aufgabe 9.3 ==
'''Satz:''' 
'''Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math>E</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>E</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.''' 

Beweisen Sie den Satz. 
[[Lösung von Aufgabe 9.3_S]]
 

== Aufgabe 9.4 ==
Warum ist die folgende Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' nicht korrekt?

Die Halbgerade <math>\ SW^+</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>, wenn <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |</math>.

Eine Skizze genügt. 
[[Lösung von Aufgabe 9.4_S]]

== Aufgabe 9.5 ==
'''Satz:''' 
'''Es sei <math>\ SW^{+} </math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt: 
<math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math> ''' 

Beweisen Sie den Satz. 
[[Lösung von Aufgabe 9.5_S]]
 

== Aufgabe 9.6 ==
Im Skript zur Dreieckskongruenz finden Sie einen Beweis für den Kongruenzsatz WSW ("der fotografierte Beweis"). 
a) Vollziehen Sie diesen Schritt für Schritt nach. 
b) Beschreiben Sie in Ihren eigenen Worten die Idee, die hinter dem Beweis steckt. Formulieren Sie möglichst einfach, wie der Beweis geführt wird. 
[[Der fotografierte Beweis]]
 
[[Lösung von Aufgabe 9.6_S]]
 
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 9.5 S

2012-06-26T17:39:23Z

Kopernikus: /* Beh: */

[[Kategorie:Einführung_S]] 
'''Satz:''' 
'''Es sei <math>\ SW^{+} </math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt: 
<math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math> ''' 

Beweisen Sie den Satz. 
Skizze: 
[[Datei:Aufgabe 9.5.png]]
 Voraussetzung 1: <math>\angle ASB</math>
 Voraussetzung 2: <math>\ SW^{+} </math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>
 Behauptung: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math>

 (1) Da nach Vor. <math>\ SW^{+} </math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> ist, gilt: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right|</math>
 (2) Nach Vor. und Def. Winkelhalbierende muss W im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> liegen.
 (3) Nun wissen wir nach dem Winkeladditionsaxiom und (1), dass gelten muss: <math>\left| \angle ASW \right| + \left| \angle WSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (4) Nach (1) können wir (3) auch folgendermaßen schreiben: <math>\left| \angle ASW \right| + \left| \angle ASW \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (5) Nach (4) und Rechnen in R folgt: <math>2 \left| \angle ASW \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (6) Nach (5),(1) und Rechnen in R folgt: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math>
 Behauptung stimmt.
 qed
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:57, 20. Jun. 2012 (CEST)
 
== Lösung Kopernikus; Just noch ein sailA ==

==== Vor: ====
<math>\angle ASB ; \ SW^{+} </math> ist Winkelhalbierende ;
 
==== Beh: ====
<math>\angle \left| ASW\right| =\angle \left| WSB \right| =\angle \frac{1}{2} \left| ASB \right| </math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\exists \ \angle ASW \wedge \angle WSB</math>
| Vor; Def. VI1.2 (Def. Winkelhalbierende)
|-
| 2
| <math>\left| \angle ASW \right| =\left| \angle WSB \right|</math>
| Def. VI1.2 (Def. Winkelhalbierende)
|-
| 3
| <math>\left| \angle ASW \right| +\left| \angle WSB \right| =\left| \angle ASB \right|</math>
| Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom)
|-
| 4
| <math>\left| \angle ASW \right| +\left| \angle ASW \right| =2*\left| \angle ASW \right|= \left| \angle ASB \right| </math>
| Rechnen in R
|-
| 5
| <math>\left| \angle ASW \right| =\frac{1}{2} *\left| \angle ASB \right|= \left| \angle WSB \right| </math>
| Rechnen in R
|-
| 6
| q.e.d
| Vor; 5
|-

|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:37, 26. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 19:37, 26. Jun. 2012 (CEST) 

== ==

Lösung von Aufgabe 9.5 S

2012-06-26T17:37:22Z

Kopernikus: /* Lösung Kopernikus; Just noch ein sailA */

[[Kategorie:Einführung_S]] 
'''Satz:''' 
'''Es sei <math>\ SW^{+} </math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt: 
<math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math> ''' 

Beweisen Sie den Satz. 
Skizze: 
[[Datei:Aufgabe 9.5.png]]
 Voraussetzung 1: <math>\angle ASB</math>
 Voraussetzung 2: <math>\ SW^{+} </math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>
 Behauptung: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math>

 (1) Da nach Vor. <math>\ SW^{+} </math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> ist, gilt: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right|</math>
 (2) Nach Vor. und Def. Winkelhalbierende muss W im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> liegen.
 (3) Nun wissen wir nach dem Winkeladditionsaxiom und (1), dass gelten muss: <math>\left| \angle ASW \right| + \left| \angle WSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (4) Nach (1) können wir (3) auch folgendermaßen schreiben: <math>\left| \angle ASW \right| + \left| \angle ASW \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (5) Nach (4) und Rechnen in R folgt: <math>2 \left| \angle ASW \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (6) Nach (5),(1) und Rechnen in R folgt: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math>
 Behauptung stimmt.
 qed
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:57, 20. Jun. 2012 (CEST)
 
== Lösung Kopernikus; Just noch ein sailA ==

==== Vor: ====
<math>\angle ASB ; \ SW^{+} </math> ist Winkelhalbierende ;
 
==== Beh: ====
<math>\angle \left| ASW\right| =\angle \left| WSB \right| =\angle \frac{1}{2} \left| ASB \right| </math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\exists \ \angle ASW \wedge \angle WSB</math>
| Vor; Def. VI1.2 (Def. Winkelhalbierende)
|-
| 2
| <math>\left| \angle ASW \right| =\left| \angle WSB \right|</math>
| Def. VI1.2 (Def. Winkelhalbierende)
|-
| 3
| <math>\left| \angle ASW \right| +\left| \angle WSB \right| =\left| \angle ASB \right|</math>
| Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom)
|-
| 4
| <math>\left| \angle ASW \right| +\left| \angle ASW \right| =2*\left| \angle ASW \right|= \left| \angle ASB \right| </math>
| Rechnen in R
|-
| 5
| <math>\left| \angle ASW \right| =\frac{1}{2} *\left| \angle ASW \right|= \left| \angle WSB \right| </math>
| Rechnen in R
|-
| 6
| q.e.d
| Vor; 5
|-

|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:36, 26. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 19:33, 26. Jun. 2012 (CEST) 

== ==

Lösung von Aufgabe 9.5 S

2012-06-26T17:36:39Z

Kopernikus: table+

[[Kategorie:Einführung_S]] 
'''Satz:''' 
'''Es sei <math>\ SW^{+} </math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt: 
<math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math> ''' 

Beweisen Sie den Satz. 
Skizze: 
[[Datei:Aufgabe 9.5.png]]
 Voraussetzung 1: <math>\angle ASB</math>
 Voraussetzung 2: <math>\ SW^{+} </math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>
 Behauptung: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math>

 (1) Da nach Vor. <math>\ SW^{+} </math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> ist, gilt: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right|</math>
 (2) Nach Vor. und Def. Winkelhalbierende muss W im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> liegen.
 (3) Nun wissen wir nach dem Winkeladditionsaxiom und (1), dass gelten muss: <math>\left| \angle ASW \right| + \left| \angle WSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (4) Nach (1) können wir (3) auch folgendermaßen schreiben: <math>\left| \angle ASW \right| + \left| \angle ASW \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (5) Nach (4) und Rechnen in R folgt: <math>2 \left| \angle ASW \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
 (6) Nach (5),(1) und Rechnen in R folgt: <math>\left| \angle ASW \right| = \left| \angle WSB \right| = \frac{1}{2} \left|\angle ASB\right|</math>
 Behauptung stimmt.
 qed
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:57, 20. Jun. 2012 (CEST)
 
=== Lösung Kopernikus; Just noch ein sailA ===

==== Vor: ====
<math>\angle ASB ; \ SW^{+} </math> ist Winkelhalbierende ;
 
==== Beh: ====
<math>\angle \left| ASW\right| =\angle \left| WSB \right| =\angle \frac{1}{2} \left| ASB \right| </math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\exists \ \angle ASW \wedge \angle WSB</math>
| Vor; Def. VI1.2 (Def. Winkelhalbierende)
|-
| 2
| <math>\left| \angle ASW \right| =\left| \angle WSB \right|</math>
| Def. VI1.2 (Def. Winkelhalbierende)
|-
| 3
| <math>\left| \angle ASW \right| +\left| \angle WSB \right| =\left| \angle ASB \right|</math>
| Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom)
|-
| 4
| <math>\left| \angle ASW \right| +\left| \angle ASW \right| =2*\left| \angle ASW \right|= \left| \angle ASB \right| </math>
| Rechnen in R
|-
| 5
| <math>\left| \angle ASW \right| =\frac{1}{2} *\left| \angle ASW \right|= \left| \angle WSB \right| </math>
| Rechnen in R
|-
| 6
| q.e.d
| Vor; 5
|-

|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:36, 26. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 19:33, 26. Jun. 2012 (CEST) 
== ==

Lösung von Aufgabe 9.3 S

2012-06-26T15:01:03Z

Kopernikus: /* Ann: */

==Die Aufgabe==
===Satz===
'''Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math>E</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>E</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.''' 

Beweisen Sie den Satz. 
==Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
[[Datei:Aufgabe 9.3S.png]] Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch! Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden. Fortsetzung folgt... 
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!? 
<math>\Rightarrow</math> die 2 Geraden müssten identisch sein, also Widerspruch zur Annahme! Behauptung stimmt..

--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)
===Bemerkung M.G.===
Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf <math>g, s_1</math> und <math>s_2</math> geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
 

==Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
Annahme: Es gibt 2 Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. 
(1) <math>g\in E</math> // Voraussetzung 
(2) <math>P\in g</math> // Voraussetzung 
(3) <math>\exists s_1 \in E: s_1\cap g = \{P\} \wedge s_1 \perp g</math> //Annahme 
(4) <math>\exists s_2 \in E: s_2\cap g = \{P\} \wedge s_2 \perp g</math> //Annahme 
(5) <math>\exists S_1 \in s_1 \wedge S_2 \in s_2 \wedge P_2 \in g</math>: <math>S_1\neq S_2\neq P_2\neq P\neq S_1</math> // Axiom I.2 
(6) <math>\left|\angle S_1PP_2\right| = 90 \wedge \left|\angle S_2PP_2\right| = 90</math> // Annahme, (3),(4) 
(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl <math>\ PS^{+}</math> zu <math>\ PP_2</math>mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen
<math>\ PS_1^{+}</math> und <math>\ PS_2^{+}</math> identisch sein. 
(8) Widerspruch zur Annahme! // (7) 
(9) Behauptung stimmt! // (8) 
qed 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)
 
===Bemerkungen von M.G. zu Lösungsversuch 2 von Numero6===
Fast perfekt. Sie müssten nur noch explizit annehmen, dass die beiden Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> voneinander verschieden sind. Ansonsten ist es einfacher, von vornherein zu sagen, dass sich alles in der Ebene <math>E</math> abspielt. Dann brauche Sie dass nicht in diversen Schritten zu berücksichtigen. Auch bei Schritt 5 machen Sie sich das Leben unnötig schwer. Sie brauchen die Punkte auf den Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> lediglich zu Zwecken der Bezeichnung. Legen Sie die bereits zu Anfang des Beweises fest:

Annahme: Es ex. zwei verschiedene Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> die senkrecht auf <math>g</math> stehen und die durch den Punkt <math>P</math> gehen. <math>S_1</math> und <math>S_2</math> seien zwei Punkte auf <math>s_1</math> bzw. <math>s_2</math>, die beide in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math> liegen.(Auf eine Begründung, der Existenz dieser Punkte können wir jetzt verzichten. Wir könnten das problemlos erledigen und müssen jetzt nicht mehr bis in den letzten Urschleim der Inzidenz zurückgehen.Analog machen Sie es mit den Punkten, die Sie auf <math>g</math> auswählen, um die Winkel besser bezeichnen zu können.

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:08, 24. Jun. 2012 (CEST)

Danke, guter Tipp--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:28, 25. Jun. 2012 (CEST)

==Lösung von Rittersport==
 '''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E) 
Es gibt einen Punkt <math>K</math>, der nicht auf <math>g</math> liegt. Die Gerade <math>s</math> geht durch <math>K</math> und <math>P</math>. (Axiom I.1) 
Also: <math>g \cap s = \{P\}</math> 
Winkel <math>\angle gPs</math> hat das Maß <math>90</math> (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90) 
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?) 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)
===Bemerkung M.G.===
Sie verwenden einen beliebigen Punkt <math>K</math> außerhalb von <math>g</math>. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte <math>K</math> und <math>P</math> bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden <math>g</math> rechte Winkel bilden? Der Punkt <math>K</math> war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf <math>g</math> liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt <math>K</math> derart gewählt zu haben, dass <math>KP \perp g</math> gilt.

Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte <math>P</math> als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von <math>g</math>, die durch <math>P</math> eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.

Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei <math>PA^+</math> eine der beiden Halbgeraden, die durch <math>P</math> auf <math>g</math> eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...

Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in <math>P</math> auf <math>g</math> senkrecht stehenden Geraden <math>s</math> bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]
'''Fetter Text'''

== Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus ==
 

==== Vor: ====
<math>g\in \ E ; P\in E</math>
 

==== Beh: ====
genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet.
 

==== Ann: ====
es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.<math>h\neq s</math>

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
|'''Existenz'''
|-
| 1
| <math>\exist A:=A \in g</math>
| Axiom I/2
|-
| 2
| <math>\exist Q:=Q \not\in \ g \wedge \ Q\in E</math>
| Axiom I/3
|-
| 3
| <math>\exist \ PB^{+} := \ PB^{+} \in \ \ gQ^{+} \wedge \angle BPA =90</math>
| 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
|-
| 4
| <math>\exists s:=B\in \ s \wedge P \in s</math>
| 3, Axiom I/2
|-
| 5
| <math>\ s \perp \ g</math>
| 3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht.
|-
| '''Eindeutigkeit'''
|-
| 6
| <math>\exist \ PC^{+} := \ PC^{+} \in \ \ gQ^{+} \wedge \angle CPA =90</math>
| 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
|-
| 7
| <math>\exists h:=C\in \ h \wedge P \in h</math>
| 6, Axiom I/2
|-
| 8
| <math>\angle CPA =90 = \angle BPA</math>
| 3,6
|-
| 9
| <math>\ PB^{+} =\ PC^{+}</math>
| 8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion)
|-
| 10
| h=s
| 9
|-
| 11
| Blitz
| 10, Widerspruch zur Ann. <math>h\neq s</math>
|-

|}
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST) 

== ==

Lösung von Aufgabe 9.3 S

2012-06-26T15:00:37Z

Kopernikus: /* Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus */

==Die Aufgabe==
===Satz===
'''Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math>E</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>E</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.''' 

Beweisen Sie den Satz. 
==Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
[[Datei:Aufgabe 9.3S.png]] Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch! Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden. Fortsetzung folgt... 
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!? 
<math>\Rightarrow</math> die 2 Geraden müssten identisch sein, also Widerspruch zur Annahme! Behauptung stimmt..

--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)
===Bemerkung M.G.===
Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf <math>g, s_1</math> und <math>s_2</math> geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
 

==Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
Annahme: Es gibt 2 Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. 
(1) <math>g\in E</math> // Voraussetzung 
(2) <math>P\in g</math> // Voraussetzung 
(3) <math>\exists s_1 \in E: s_1\cap g = \{P\} \wedge s_1 \perp g</math> //Annahme 
(4) <math>\exists s_2 \in E: s_2\cap g = \{P\} \wedge s_2 \perp g</math> //Annahme 
(5) <math>\exists S_1 \in s_1 \wedge S_2 \in s_2 \wedge P_2 \in g</math>: <math>S_1\neq S_2\neq P_2\neq P\neq S_1</math> // Axiom I.2 
(6) <math>\left|\angle S_1PP_2\right| = 90 \wedge \left|\angle S_2PP_2\right| = 90</math> // Annahme, (3),(4) 
(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl <math>\ PS^{+}</math> zu <math>\ PP_2</math>mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen
<math>\ PS_1^{+}</math> und <math>\ PS_2^{+}</math> identisch sein. 
(8) Widerspruch zur Annahme! // (7) 
(9) Behauptung stimmt! // (8) 
qed 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)
 
===Bemerkungen von M.G. zu Lösungsversuch 2 von Numero6===
Fast perfekt. Sie müssten nur noch explizit annehmen, dass die beiden Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> voneinander verschieden sind. Ansonsten ist es einfacher, von vornherein zu sagen, dass sich alles in der Ebene <math>E</math> abspielt. Dann brauche Sie dass nicht in diversen Schritten zu berücksichtigen. Auch bei Schritt 5 machen Sie sich das Leben unnötig schwer. Sie brauchen die Punkte auf den Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> lediglich zu Zwecken der Bezeichnung. Legen Sie die bereits zu Anfang des Beweises fest:

Annahme: Es ex. zwei verschiedene Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> die senkrecht auf <math>g</math> stehen und die durch den Punkt <math>P</math> gehen. <math>S_1</math> und <math>S_2</math> seien zwei Punkte auf <math>s_1</math> bzw. <math>s_2</math>, die beide in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math> liegen.(Auf eine Begründung, der Existenz dieser Punkte können wir jetzt verzichten. Wir könnten das problemlos erledigen und müssen jetzt nicht mehr bis in den letzten Urschleim der Inzidenz zurückgehen.Analog machen Sie es mit den Punkten, die Sie auf <math>g</math> auswählen, um die Winkel besser bezeichnen zu können.

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:08, 24. Jun. 2012 (CEST)

Danke, guter Tipp--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:28, 25. Jun. 2012 (CEST)

==Lösung von Rittersport==
 '''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E) 
Es gibt einen Punkt <math>K</math>, der nicht auf <math>g</math> liegt. Die Gerade <math>s</math> geht durch <math>K</math> und <math>P</math>. (Axiom I.1) 
Also: <math>g \cap s = \{P\}</math> 
Winkel <math>\angle gPs</math> hat das Maß <math>90</math> (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90) 
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?) 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)
===Bemerkung M.G.===
Sie verwenden einen beliebigen Punkt <math>K</math> außerhalb von <math>g</math>. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte <math>K</math> und <math>P</math> bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden <math>g</math> rechte Winkel bilden? Der Punkt <math>K</math> war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf <math>g</math> liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt <math>K</math> derart gewählt zu haben, dass <math>KP \perp g</math> gilt.

Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte <math>P</math> als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von <math>g</math>, die durch <math>P</math> eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.

Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei <math>PA^+</math> eine der beiden Halbgeraden, die durch <math>P</math> auf <math>g</math> eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...

Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in <math>P</math> auf <math>g</math> senkrecht stehenden Geraden <math>s</math> bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]
'''Fetter Text'''

== Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus ==
 

==== Vor: ====
<math>g\in \ E ; P\in E</math>
 

==== Beh: ====
genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet.
 

==== Ann: ====
es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.<math>h\neq s</math>

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
|'''Existenz'''
|-
| 1
| <math>\exist A:=A \in g</math>
| Axiom I/2
|-
| 2
| <math>\exist Q:=Q \not\in \ g \wedge \ Q\in E</math>
| Axiom I/3
|-
| 3
| <math>\exist \ PB^{+} := \ PB^{+} \in \ \ gQ^{+} \wedge \angle BPA =90</math>
| 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
|-
| 4
| <math>\exists s:=B\in \ s \wedge P \in s</math>
| 3, Axiom I/2
|-
| 5
| <math>\ s \perp \ g</math>
| 3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht.
|-
| '''Eindeutigkeit'''
|-
| 6
| <math>\exist \ PC^{+} := \ PC^{+} \in \ \ gQ^{+} \wedge \angle CPA =90</math></math>
| 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
|-
| 7
| <math>\exists h:=C\in \ h \wedge P \in h</math>
| 6, Axiom I/2
|-
| 8
| <math>\angle CPA =90 = \angle BPA</math>
| 3,6
|-
| 9
| <math>\ PB^{+} =\ PC^{+}</math>
| 8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion)
|-
| 10
| h=s
| 9
|-
| 11
| Blitz
| 10, Widerspruch zur Ann. <math>h\neq s</math>
|-

|}
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST) 

== ==

Lösung von Aufgabe 9.3 S

2012-06-26T14:59:25Z

Kopernikus: table+

==Die Aufgabe==
===Satz===
'''Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math>E</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>E</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.''' 

Beweisen Sie den Satz. 
==Lösungsversuch 1 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
[[Datei:Aufgabe 9.3S.png]] Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch! Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden. Fortsetzung folgt... 
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen??
Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!? 
<math>\Rightarrow</math> die 2 Geraden müssten identisch sein, also Widerspruch zur Annahme! Behauptung stimmt..

--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)
===Bemerkung M.G.===
Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf <math>g, s_1</math> und <math>s_2</math> geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)
 

==Lösungsversuch 2 Nummero6/Tchu Tcha Tcha:==
Annahme: Es gibt 2 Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math>, die beide durch <math>P</math> gehen und senkrecht auf <math>g</math> stehen. 
(1) <math>g\in E</math> // Voraussetzung 
(2) <math>P\in g</math> // Voraussetzung 
(3) <math>\exists s_1 \in E: s_1\cap g = \{P\} \wedge s_1 \perp g</math> //Annahme 
(4) <math>\exists s_2 \in E: s_2\cap g = \{P\} \wedge s_2 \perp g</math> //Annahme 
(5) <math>\exists S_1 \in s_1 \wedge S_2 \in s_2 \wedge P_2 \in g</math>: <math>S_1\neq S_2\neq P_2\neq P\neq S_1</math> // Axiom I.2 
(6) <math>\left|\angle S_1PP_2\right| = 90 \wedge \left|\angle S_2PP_2\right| = 90</math> // Annahme, (3),(4) 
(7) Nach dem Winkelkonstruktionsaxiom gibt es genau 1 Strahl <math>\ PS^{+}</math> zu <math>\ PP_2</math>mit der Größe 90. Nach (6) müssen die Strahlen
<math>\ PS_1^{+}</math> und <math>\ PS_2^{+}</math> identisch sein. 
(8) Widerspruch zur Annahme! // (7) 
(9) Behauptung stimmt! // (8) 
qed 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:23, 24. Jun. 2012 (CEST)
 
===Bemerkungen von M.G. zu Lösungsversuch 2 von Numero6===
Fast perfekt. Sie müssten nur noch explizit annehmen, dass die beiden Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> voneinander verschieden sind. Ansonsten ist es einfacher, von vornherein zu sagen, dass sich alles in der Ebene <math>E</math> abspielt. Dann brauche Sie dass nicht in diversen Schritten zu berücksichtigen. Auch bei Schritt 5 machen Sie sich das Leben unnötig schwer. Sie brauchen die Punkte auf den Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> lediglich zu Zwecken der Bezeichnung. Legen Sie die bereits zu Anfang des Beweises fest:

Annahme: Es ex. zwei verschiedene Geraden <math>s_1</math> und <math>s_2</math> die senkrecht auf <math>g</math> stehen und die durch den Punkt <math>P</math> gehen. <math>S_1</math> und <math>S_2</math> seien zwei Punkte auf <math>s_1</math> bzw. <math>s_2</math>, die beide in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math> liegen.(Auf eine Begründung, der Existenz dieser Punkte können wir jetzt verzichten. Wir könnten das problemlos erledigen und müssen jetzt nicht mehr bis in den letzten Urschleim der Inzidenz zurückgehen.Analog machen Sie es mit den Punkten, die Sie auf <math>g</math> auswählen, um die Winkel besser bezeichnen zu können.

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:08, 24. Jun. 2012 (CEST)

Danke, guter Tipp--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:28, 25. Jun. 2012 (CEST)

==Lösung von Rittersport==
 '''Idee:''' (Wir sind in einer Ebene E) 
Es gibt einen Punkt <math>K</math>, der nicht auf <math>g</math> liegt. Die Gerade <math>s</math> geht durch <math>K</math> und <math>P</math>. (Axiom I.1) 
Also: <math>g \cap s = \{P\}</math> 
Winkel <math>\angle gPs</math> hat das Maß <math>90</math> (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90) 
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?) 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)
===Bemerkung M.G.===
Sie verwenden einen beliebigen Punkt <math>K</math> außerhalb von <math>g</math>. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte <math>K</math> und <math>P</math> bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden <math>g</math> rechte Winkel bilden? Der Punkt <math>K</math> war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf <math>g</math> liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt <math>K</math> derart gewählt zu haben, dass <math>KP \perp g</math> gilt.

Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte <math>P</math> als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von <math>g</math>, die durch <math>P</math> eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.

Fangen wir doch einfach mit einer dieser Halbgeraden an: Es sei <math>PA^+</math> eine der beiden Halbgeraden, die durch <math>P</math> auf <math>g</math> eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...

Wenn wir damit fertig sind, haben wir die Existenz einer in <math>P</math> auf <math>g</math> senkrecht stehenden Geraden <math>s</math> bewiesen. Was bleibt ist die Eindeutigkeit. S. oben Tchu Tcha Tcha
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]
'''Fetter Text'''

== Lösung Just noch ein sailA/ Kopernikus ==
 

==== Vor: ====
<math>g\in \ E ; P\in E</math>
 

==== Beh: ====
genau eine Gerade s die senkrecht auf g steht und in P schneidet.
 

==== Ann: ====
es gibt eine weitere Gerade h die senkrecht auf g steht und g in P schneidet.<math>h\neq s</math>

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
|'''Existenz'''
|-
| 1
| <math>\exist A:=A \in g</math>
| Axiom I/2
|-
| 2
| <math>\exist Q:=Q \not\in \ g \wedge \ Q\in E</math>
| Axiom I/3
|-
| 3
| <math>\exist \ PB^{+} := \ PB^{+} \in \ \ gQ^{+} \wedge \angle BPA =90</math>
| 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
|-
| 4
| <math>\exists s:=B\in \ s \wedge P \in s</math>
| 3, Axiom I/2
|-
| 5
| <math>\ s \perp \ g</math>
| 3,4,nach Konstruktion, Def. senkrecht.
|-
| '''Eindeutigkeit'''
|-
| 6
| <math> <math>\exist \ PC^{+} := \ PC^{+} \in \ \ gQ^{+} \wedge \angle CPA =90</math></math>
| 2,Axion IV/1(Winkelmaßaxiom), Axiom IV/2(Winkelkonstruktionsaxiom),
|-
| 7
| <math>\exists h:=C\in \ h \wedge P \in h</math>
| 6, Axiom I/2
|-
| 8
| <math>\angle CPA =90 = \angle BPA</math>
| 3,6
|-
| 9
| <math>\ PB^{+} =\ PC^{+}</math>
| 8, Axiom IV/2 (Winkelkonstruktionsaxion)
|-
| 10
| h=s
| 9
|-
| 11
| Blitz
| 10, Widerspruch zur Ann. <math>h\neq s</math>
|-

|}
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 26. Jun. 2012 (CEST) 
== ==

Lösung von Aufgabe 9.2 S

2012-06-25T15:06:55Z

Kopernikus: /* Kopernikus / Just noch ein sailA */

'''Satz:''' 
'''Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.''' 
a) Formulieren Sie mit "wenn...dann..." 
b) Beweisen Sie den Satz. 
 
a) "Wenn ein Winkel ein rechter Winkel ist, dann hat er das Maß 90."--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:34, 20. Jun. 2012 (CEST) 

b) 
direkter Beweis: 
Nach der Definition Rechter Winkel gilt: Wenn ein Winkel dieselbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel. 
also: Rechter Winkel, nur wenn gilt: <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> (1) // (NW1 steht hier für NebenWinkel1...) 
Nach dem Supplementaxiom (IV.4) wissen wir: Nebenwinkel sind supplementär. 
also können wir durch die Def. supplementär folgern, dass <math>\left| NW1 \right|</math> + <math>\left| NW2 \right|</math>=180 (2) gelten muss. 

Da nach (1) gilt <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> können wir (2) auch so schreiben: 
<math>\left| NW1 \right|</math> + <math>\left| NW1 \right|</math>=180 
nach Rechnen in R folgt: <math>2 \left| NW1 \right|</math>=180 
nach Rechnen in R folgt weiter: <math>\left| NW1 \right|</math>=90 
<math>\Rightarrow</math> nach (1) gilt außerdem: <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> 
Jeder rechte Winkel muss das Maß 90 haben. 
qed. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:21, 20. Jun. 2012 (CEST)
korrekter Beweis --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:39, 23. Jun. 2012 (CEST)
Wenn Sie die Idizes tief stellen wollen; Der Unterstrich hilft: NW_1
<math>NW_1</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==
 
==='''(a) Vorschlag 1''' ===
 
Wenn ein Winkel ein rechter ist, dann hat er das Maß 90.
 
==='''(b) Vorschlag 1''' ===
 
Vor: <math>\angle ABC</math> ist rechter Winkel
 
Beh.:<math>\left| \angle ABC \right| = 90</math>
 
Direkter Beweis
 
{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\angle ABC</math> ist rechter Winkel
| Vor.
|-
| 2
| <math>\exists \angle CBD =:\left| \angle ABC \right| =\left| \angle CBD \right|</math>
| 1, Def. rechter Winkel
|-
| 3
| <math>\left| \angle ABC \right| +\left| \angle CBD \right| =180</math>
| 2,Axiom IV/7(Supplimentaxiom), Def. V/7 Supplimentärwinkel
|-
| 4
| <math>\left| \angle ABC \right| +\left| \angle ABC \right| =\left| \angle ABC \right| +\left| \angle CBA \right| =180</math>
| 2,3
|-
| 5
| <math>\left| \angle ABC \right| = 90 =\left| \angle CBA \right|</math>
| Rechnen in R
|-
| 6
| q.e.d
| 5, Vor.
|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:00, 25. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 25. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.2 S

2012-06-25T15:03:46Z

Kopernikus: /* Kopernikus / Just noch ein sailA */

'''Satz:''' 
'''Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.''' 
a) Formulieren Sie mit "wenn...dann..." 
b) Beweisen Sie den Satz. 
 
a) "Wenn ein Winkel ein rechter Winkel ist, dann hat er das Maß 90."--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:34, 20. Jun. 2012 (CEST) 

b) 
direkter Beweis: 
Nach der Definition Rechter Winkel gilt: Wenn ein Winkel dieselbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel. 
also: Rechter Winkel, nur wenn gilt: <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> (1) // (NW1 steht hier für NebenWinkel1...) 
Nach dem Supplementaxiom (IV.4) wissen wir: Nebenwinkel sind supplementär. 
also können wir durch die Def. supplementär folgern, dass <math>\left| NW1 \right|</math> + <math>\left| NW2 \right|</math>=180 (2) gelten muss. 

Da nach (1) gilt <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> können wir (2) auch so schreiben: 
<math>\left| NW1 \right|</math> + <math>\left| NW1 \right|</math>=180 
nach Rechnen in R folgt: <math>2 \left| NW1 \right|</math>=180 
nach Rechnen in R folgt weiter: <math>\left| NW1 \right|</math>=90 
<math>\Rightarrow</math> nach (1) gilt außerdem: <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> 
Jeder rechte Winkel muss das Maß 90 haben. 
qed. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:21, 20. Jun. 2012 (CEST)
korrekter Beweis --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:39, 23. Jun. 2012 (CEST)
Wenn Sie die Idizes tief stellen wollen; Der Unterstrich hilft: NW_1
<math>NW_1</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==
 
==='''(a) Vorschlag 1''' ===
 
Wenn ein Winkel ein rechter ist, dann hat er das Maß 90.
 
==='''(b) Vorschlag 1''' ===
{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\angle ABC</math> ist rechter Winkel
| Vor.
|-
| 2
| <math>\exists \angle CBD =:\left| \angle ABC \right| =\left| \angle CBD \right|</math>
| 1, Def. rechter Winkel
|-
| 3
| <math>\left| \angle ABC \right| +\left| \angle CBD \right| =180</math>
| 2,Axiom IV/7(Supplimentaxiom), Def. V/7 Supplimentärwinkel
|-
| 4
| <math>\left| \angle ABC \right| +\left| \angle ABC \right| =\left| \angle ABC \right| +\left| \angle CBA \right| =180</math>
| 2,3
|-
| 5
| <math>\left| \angle ABC \right| = 90 =\left| \angle CBA \right|</math>
| Rechnen in R
|-
| 6
| q.e.d
| 5, Vor.
|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:00, 25. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 25. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.2 S

2012-06-25T15:00:52Z

Kopernikus: table+

'''Satz:''' 
'''Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.''' 
a) Formulieren Sie mit "wenn...dann..." 
b) Beweisen Sie den Satz. 
 
a) "Wenn ein Winkel ein rechter Winkel ist, dann hat er das Maß 90."--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:34, 20. Jun. 2012 (CEST) 

b) 
direkter Beweis: 
Nach der Definition Rechter Winkel gilt: Wenn ein Winkel dieselbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel. 
also: Rechter Winkel, nur wenn gilt: <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> (1) // (NW1 steht hier für NebenWinkel1...) 
Nach dem Supplementaxiom (IV.4) wissen wir: Nebenwinkel sind supplementär. 
also können wir durch die Def. supplementär folgern, dass <math>\left| NW1 \right|</math> + <math>\left| NW2 \right|</math>=180 (2) gelten muss. 

Da nach (1) gilt <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> können wir (2) auch so schreiben: 
<math>\left| NW1 \right|</math> + <math>\left| NW1 \right|</math>=180 
nach Rechnen in R folgt: <math>2 \left| NW1 \right|</math>=180 
nach Rechnen in R folgt weiter: <math>\left| NW1 \right|</math>=90 
<math>\Rightarrow</math> nach (1) gilt außerdem: <math>\left| NW1 \right|</math> = <math>\left| NW2 \right|</math> 
Jeder rechte Winkel muss das Maß 90 haben. 
qed. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:21, 20. Jun. 2012 (CEST)
korrekter Beweis --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:39, 23. Jun. 2012 (CEST)
Wenn Sie die Idizes tief stellen wollen; Der Unterstrich hilft: NW_1
<math>NW_1</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==
 
==='''Vorschlag 1''' ===

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\angle ABC</math> ist rechter Winkel
| Vor.
|-
| 2
| <math>\exists \angle CBD =:\left| \angle ABC \right| =\left| \angle CBD \right|</math>
| 1, Def. rechter Winkel
|-
| 3
| <math>\left| \angle ABC \right| +\left| \angle CBD \right| =180</math>
| 2,Axiom IV/7(Supplimentaxiom), Def. V/7 Supplimentärwinkel
|-
| 4
| <math>\left| \angle ABC \right| +\left| \angle ABC \right| =\left| \angle ABC \right| +\left| \angle CBA \right| =180</math>
| 2,3
|-
| 5
| <math>\left| \angle ABC \right| = 90 =\left| \angle CBA \right|</math>
| Rechnen in R
|-
| 6
| q.e.d
| 5, Vor.
|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:00, 25. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 17:00, 25. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-23T15:31:01Z

Kopernikus: /* Satz II.2: */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zum Lösungsvorschlag von H20''' --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear 
'''Definition II/3 "Vorschlag Kopernikus" Def. Strecke)'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST) sagt auch nnichts über kollinear.
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)
 
== Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion==
Sie führen eine sehr gute Diskussion. Zunächst dazu, ob aus <math>\operatorname(Zw) (A, B, C) </math> gefolgert werden kann, dass gilt <math>\operatorname{koll}(A, B, C) </math>. Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz 
<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C) </math> leicht beweisen. Tipp: Schauen Sie das Axiom Dreiecksungleichung nochmal genau an! 
Die Lösung von oz44oz fängt sehr gut an und ist gut aufgeschrieben. Ich sehe aber ein Problem: Wie können Sie aus Schritt 5 den Schritt 6 begründen? Sie stecken hier ziemlich viel "Hintergrundwissen" rein, was Sie aus der Anschauung gewinnen, also z.B. aus einer Skizze. Für einen formalen Beweis reicht das leider nicht. 
Also konkret: Sie behaupten in Schritt 5 und 6 einfach, dass <math> \left| PB \right| + \left| BC \right| = \left| PC \right| </math> ist. Warum sollte das so sein? Wenn Sie es hier schaffen, sauber zu begründen (d.h. die fehlenden Beweis- und Begründungsschritte einzufügen), sind wir ein gutes Stück weiter.
 
'''Frage an Fr. Buchner''' 
"Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz 
<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C) </math> leicht beweisen. 
Vielleicht hat man mich falsch verstanden." Ich kann doch nur weil ich was vielleicht beweisen darf einfach so annehmen und mit dazu in die Vor. stecken ...oder doch??? Und wenn nicht muss ich das sagen, dass ich die wegen des Satzes weiß.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:02, 23. Mai 2012 (CEST)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
Ist trivial....der Leser überzeugt sich davon...
Aber ich würde es auf jedenfall vermerken, dass ich mich auf den Satz berufe....die Frage ist jedoch, darf ich was annehmen, nur weil es trivial ist? Wo ziehe ich die Grenze was trivial ist und was nicht? Zitat aus der Vorlesung von m.g. in seinem Studium war viel trivial was nicht gleich ersichtlich ist." Ich brauche ein Axiom um zu zweigen, dass für :Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>. das ist für mich auch trivial.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:29, 23. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-23T15:29:20Z

Kopernikus: /* Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zum Lösungsvorschlag von H20''' --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear 
'''Definition II/3 "Vorschlag Kopernikus" Def. Strecke)'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST) sagt auch nnichts über kollinear.
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)
 
== Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion==
Sie führen eine sehr gute Diskussion. Zunächst dazu, ob aus <math>\operatorname(Zw) (A, B, C) </math> gefolgert werden kann, dass gilt <math>\operatorname{koll}(A, B, C) </math>. Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz 
<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C) </math> leicht beweisen. Tipp: Schauen Sie das Axiom Dreiecksungleichung nochmal genau an! 
Die Lösung von oz44oz fängt sehr gut an und ist gut aufgeschrieben. Ich sehe aber ein Problem: Wie können Sie aus Schritt 5 den Schritt 6 begründen? Sie stecken hier ziemlich viel "Hintergrundwissen" rein, was Sie aus der Anschauung gewinnen, also z.B. aus einer Skizze. Für einen formalen Beweis reicht das leider nicht. 
Also konkret: Sie behaupten in Schritt 5 und 6 einfach, dass <math> \left| PB \right| + \left| BC \right| = \left| PC \right| </math> ist. Warum sollte das so sein? Wenn Sie es hier schaffen, sauber zu begründen (d.h. die fehlenden Beweis- und Begründungsschritte einzufügen), sind wir ein gutes Stück weiter.
 
'''Frage an Fr. Buchner''' 
"Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz 
<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C) </math> leicht beweisen. 
Vielleicht hat man mich falsch verstanden." Ich kann doch nur weil ich was vielleicht beweisen darf einfach so annehmen und mit dazu in die Vor. stecken ...oder doch??? Und wenn nicht muss ich das sagen, dass ich die wegen des Satzes weiß.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:02, 23. Mai 2012 (CEST)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
Ist trivial....der Leser überzeugt sich davon...
Aber ich würde es auf jedenfall vermerken, dass ich mich auf den Satz berufe....die Frage ist jedoch, darf ich was annehmen, nur weil es trivial ist? Wo ziehe ich die Grenze was trivial ist und was nicht? Wer sag mir was trivial ist und was nicht? Zitat aus der Vorlesung von m.g. in seinem Studium war viel trivial was nicht gleich ersichtlich ist." Ich brauche ein Axiom um zu zweigen, dass für :Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>. das ist für mich auch trivial.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:29, 23. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-23T15:04:54Z

Kopernikus: /* Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion */

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-23T15:03:32Z

Kopernikus: /* Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zum Lösungsvorschlag von H20''' --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear 
'''Definition II/3 "Vorschlag Kopernikus" Def. Strecke)'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST) sagt auch nnichts über kollinear.
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)
 
== Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion==
Sie führen eine sehr gute Diskussion. Zunächst dazu, ob aus <math>\operatorname(Zw) (A, B, C) </math> gefolgert werden kann, dass gilt <math>\operatorname{koll}(A, B, C) </math>. Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz 
<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C) </math> leicht beweisen. Tipp: Schauen Sie das Axiom Dreiecksungleichung nochmal genau an! 
Die Lösung von oz44oz fängt sehr gut an und ist gut aufgeschrieben. Ich sehe aber ein Problem: Wie können Sie aus Schritt 5 den Schritt 6 begründen? Sie stecken hier ziemlich viel "Hintergrundwissen" rein, was Sie aus der Anschauung gewinnen, also z.B. aus einer Skizze. Für einen formalen Beweis reicht das leider nicht. 
Also konkret: Sie behaupten in Schritt 5 und 6 einfach, dass <math> \left| PB \right| + \left| BC \right| = \left| PC \right| </math> ist. Warum sollte das so sein? Wenn Sie es hier schaffen, sauber zu begründen (d.h. die fehlenden Beweis- und Begründungsschritte einzufügen), sind wir ein gutes Stück weiter.
 
=== @Buchner === 
Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz 
<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C) </math> leicht beweisen.
Vielleicht hat man mich falsch verstanden. Ich kann doch nur weil ich was vielleicht beweisen darf einfach so annehmen und mit dazu in die Vor. stecken ...oder doch??? Und wenn nicht muss ich das sagen, dass ich die wegen des Satzes weiß.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:02, 23. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-23T15:02:34Z

Kopernikus: /* Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zum Lösungsvorschlag von H20''' --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear 
'''Definition II/3 "Vorschlag Kopernikus" Def. Strecke)'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST) sagt auch nnichts über kollinear.
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)
 
== Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion==
Sie führen eine sehr gute Diskussion. Zunächst dazu, ob aus <math>\operatorname(Zw) (A, B, C) </math> gefolgert werden kann, dass gilt <math>\operatorname{koll}(A, B, C) </math>. Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz 
<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C) </math> leicht beweisen. Tipp: Schauen Sie das Axiom Dreiecksungleichung nochmal genau an! 
Die Lösung von oz44oz fängt sehr gut an und ist gut aufgeschrieben. Ich sehe aber ein Problem: Wie können Sie aus Schritt 5 den Schritt 6 begründen? Sie stecken hier ziemlich viel "Hintergrundwissen" rein, was Sie aus der Anschauung gewinnen, also z.B. aus einer Skizze. Für einen formalen Beweis reicht das leider nicht. 
Also konkret: Sie behaupten in Schritt 5 und 6 einfach, dass <math> \left| PB \right| + \left| BC \right| = \left| PC \right| </math> ist. Warum sollte das so sein? Wenn Sie es hier schaffen, sauber zu begründen (d.h. die fehlenden Beweis- und Begründungsschritte einzufügen), sind wir ein gutes Stück weiter.
 
====@Buchner==== 
Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz 
<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C) </math> leicht beweisen.
Vielleicht hat man mich falsch verstanden. Ich kann doch nur weil ich was vielleicht beweisen darf einfach so annehmen und mit dazu in die Vor. stecken ...oder doch??? Und wenn nicht muss ich das sagen, dass ich die wegen des Satzes weiß.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 17:02, 23. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-22T16:48:34Z

Kopernikus: /* Lösungsvorschlag (oz44oz) */

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-22T16:47:21Z

Kopernikus: /* Lösungsvorschlag (oz44oz) */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zum Lösungsvorschlag von H20''' --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear 
'''(2.1 Vorschlag Kopernikus Def. Strecke)'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST) sagt auch nnichts über kollinear.
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-22T16:44:08Z

Kopernikus: /* Lösungsvorschlag (oz44oz) */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zum Lösungsvorschlag von H20''' --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-22T16:43:27Z

Kopernikus: /* Lösungsvorschlag (oz44oz) */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zue obigem Lösungsvorschlag von H20''' --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-22T16:42:28Z

Kopernikus: /* Lösungsvorschlag (oz44oz) */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zue obigem Lösungsvorschlag von H20'''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-22T16:40:39Z

Kopernikus: /* Lösungsvorschlag (oz44oz) */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
|-
| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
|}
 
Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zur Lösung von @H20'''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:40, 22. Mai 2012 (CEST) 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

2012-05-22T16:39:39Z

Kopernikus: /* Lösungsvorschlag (oz44oz) */

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: 
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math> <math>\overline{AC} </math>

[[Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)]]
 

===Lösung von RitterSport===
====Version a====

{| class="wikitable"
!Schritt!!Aktion
|-
| (1) || Zw (A,B,C)
|-
| (2) || VxE<math>\overline{AB} </math>.xE<math>\overline{AC} </math> UND (VxE<math>\overline{AC} </math>.xE<math>\overline{AB} </math> ODER xnichtE<math>\overline{AB} </math>)
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| (3) || <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math>
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Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^ 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)
 
====Version b====
Wäre Folgendes möglich? 
Wegen Axiom I/1: <math>\overline{AC} </math> 
Wegen Zw (A,B,C): |<math>\overline{AB} </math>| + |<math>\overline{BC} </math>| = |<math>\overline{AC} </math>| 
Somit ist <math>\overline{AB} </math> c <math>\overline{AC} </math> 
Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

===Hinweise von M.G. zu LaTex===
Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags <pre> <math> </math> </pre>.
Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln:
Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

===Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport===
Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien <math>A, B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt <math>B</math> zwischen den beiden anderen Punkten, also <math>A</math> und <math>B</math>, liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke <math>\overline{AB}</math> eine Teilmenge der Strecke <math>\overline{AC}</math> ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun <math>P</math> ein beliebiger Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Weil <math>P</math> zur Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt <math>P</math> zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das <math>P</math> auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass <math>B</math> zwischen <math>A</math> und <math>C</math> liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

----------------------------------
Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)
[[Category:Einführung_S]]

== Lösungsvorschlag (oz44oz) ==

[[Datei:Aufgabe 5.2.jpg|600px]]

--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

[[Datei:5.2.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)
 
'''Frage zur Lösung von @H20 von Kopernikus''' 
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist 
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung.
Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC) 

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC). 

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-( 
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

'''Definition I/2: (kollinear)'''
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)'' 
es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte. 

''' Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)'''
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob 
::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
''' Definition II.2: (Zwischenrelation) '''
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) 
</math>sagt nichts über kollinear
Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-) --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12

2012-05-22T13:57:10Z

Kopernikus: /* Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



[[Aus der Vorlesung vom 15.05.2012]]

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe 5.1

= Der Begriff der Strecke=
==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
 
===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST) 
'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' 
::Elemente, die gut an Ihrer Definition sind: 
::- zwei verschiedene Punkte 
::- Punktmenge 
::- Elemente, die zwischen A und B liegen 
::Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
 

===== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) =====

'''(2.1 Vorschlag Kopernikus Strecke)'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

'''(2.2 Vorschlag Kopernikus Endpunkte)''' ::(Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)'''
::Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)
 
'''(2.3. Vorschlag Kopernikus Stecke und Endpunkte ) '''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12

2012-05-22T13:54:50Z

Kopernikus: /* Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



[[Aus der Vorlesung vom 15.05.2012]]

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe 5.1

= Der Begriff der Strecke=
==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
 
===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST) 
'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' 
::Elemente, die gut an Ihrer Definition sind: 
::- zwei verschiedene Punkte 
::- Punktmenge 
::- Elemente, die zwischen A und B liegen 
::Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
 

===== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) =====

'''(2.1 Vorschlag Kopernikus Strecke'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

'''(2.2 Vorschlag Kopernikus Endpunkte)''' (Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)'''
::Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)
 
'''(2.3. Vorschlag Kopernikus Stecke und Endpunkte ) '''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12

2012-05-22T13:52:58Z

Kopernikus: /* Der Begriff der Strecke */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



[[Aus der Vorlesung vom 15.05.2012]]

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe 5.1

= Der Begriff der Strecke=
==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
 
===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST) 
'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' 
::Elemente, die gut an Ihrer Definition sind: 
::- zwei verschiedene Punkte 
::- Punktmenge 
::- Elemente, die zwischen A und B liegen 
::Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
 

===== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) =====

'''(2.1 Vorschlag Kopernikus Strecke'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

'''(2.2 Vorschlag Kopernikus Endpunkte)''' (Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)'''
::Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)
 
'''(2.3. Vorschlag Kopernikus Stecke und Endpunkte ) '''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12

2012-05-22T13:51:06Z

Kopernikus: /* Der Begriff der Strecke */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



[[Aus der Vorlesung vom 15.05.2012]]

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe 5.1

= Der Begriff der Strecke=
==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
 
===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST) 
'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' 
::Elemente, die gut an Ihrer Definition sind: 
- zwei verschiedene Punkte 
- Punktmenge 
- Elemente, die zwischen A und B liegen 
Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
 

===== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) =====

'''(2.1 Vorschlag Kopernikus Strecke'''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.
 --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

'''(2.2 Vorschlag Kopernikus Endpunkte)''' (Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)'''
::Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>. 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)
 
'''(2.3. Vorschlag Kopernikus Stecke und Endpunkte ) '''
::Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte. --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12

2012-05-22T13:49:38Z

Kopernikus: /* Der Begriff der Strecke */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



[[Aus der Vorlesung vom 15.05.2012]]

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAJd6uDwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s5Vltc5tGEP7c/IobPnTaSYM53mmlZATOB884SWfsZjpNMp0TnKWrEShwOHLi/vfu3SEEQraR3bSuqy/AsuztPs++HGj0YrVI0QUtSpZnYw3rhoZoFucJy2ZjreJnz3ztxfMnoxnNZ3RaEHSWFwvCx5qlm5qQV+z5k29G5Tz/hEgqVd4y+mmsnZG0pBoqlwUlSTmnlHfkpFqxlJHi8s30DxrzcnNDGTnKlhWswosKZPEiOWbl+vJALrhMGT9kFyyhBUrzeKx5tqeJs7e04Cwm6VizDUNKzLFmOkbnJogscXeeF+xznnGhvjF+BhKESvaZwpOGkI0OZKAjWsUpSxjJRDDSD1BC6BNL+BzQM31hk7LZHJz1bVOZi/O8SE4uS04XaPUbLXLQxK5A+rK+cnxxVYJjsKJjyFvtK2mGXpxQzoGXEpEV3SA2K1jSuTgqwzzdiJY5y3hElrwqJKlWLTrhl2IBWKsQDk+yWUprmQmYz2l8Ps1XJxIFbCnTp5dL+Yh0aDqL8jQvUCHwdUChPk7VUeoITxstQ+oYUqO2IYw293FgSg15nKqj1EpZplyrI8frqLGxXoaVSAgEjJCLTfApmVLgVkNVxvjx+gJy4LwOFasHXleLKRRBOwsam/jvsjk62Mqf0TktMpqqJMmA2yqvSnQhslGtJR1JaMwWcKlu1JAQQdcv4ICSJnRW0LXjqoQUYPKu0U7ELfHoYO2E8KEEX2MOvQDi4SIWUaocymSsLfSZrqGEcCEVtZDSBYVC4TInZEo12Ex+x1rTF3JZ4tvwtQIEhZ05IrOJpMs5Acm6DFJyCSXfDksafJUn3WBJBqDJSKDwlsKAoGVJqWKU15mMlmBQ1kXLIQlUiVZj7RnWHReqEc4c3fI19Fk1Sammykh0ALmwVXOscLkFofCxIIQt3TIbhOz9EIrzxYJkCcrIAtY6oTMhl7gwMQAQMVQuIYIVZAqNiq9vEmWxttPDvKwtriElWred8DlUbUbLUvY83u5uHWLUHBrOi3F3Vlq5B8/CDGv/LJWL2NZ9lYteoAf9LnlDWPRjpnRK1avYAiZpzHiDbCq4Pso4dC4qO0G/IZ1TuhST4E12WpCsFFsCpdNqdNdQ/LMsgi7BpMdqdDOr3UqK+nXUoWvT0dtsYVNNLHl8GJXk6b4X+J5vmNh2se9aTVU5tmtagW/52DI927lPjQ0jYLIPAZPHQoChB4aBbcvBputagW37DQOeZfmuhw3gxxbEfG0Cwn0ICB8LAY4OPc4ODNN0HRv7gd3gD/nv2qZnOb7tuPcaMofwJkGymG5PmXrG9CfMVOgnk1sYyaoFLVi8mTTNY8IeOFbV7tk6Fn0cO6YfOI5pDh8k+E6BhSqw6LrAwlua7TWBhdF2YKZoX9ClcOA72LUd3/naoU1uCW1yt9AmvdBcPfACzwk86L4edr3gHpHd7MLE2l7b0XdtSLo7xd0FfqNLA0ob37+0m9f86/cHN+MR9vDw/td4RD08sPnYAVktC9jKCvvrIoFNLUjH2rcfq5z/dDUJr9SZfLQLIKer1k7FvO2daz+g9hqSN8cUbsUURgNjCh9uTNE2T0Njih5KTN0x9Ipl2xPI+jGy+rtnd7+5A/rXNf09yvVOpRS6HYqeDsw594HwsyPn1gG9Iqt3kp4P6BkChFE/pl5z7fHg/VM8HHZ5GA/j4fDh8vByHdDERU9RNAj/lz38N8PtaxNwCrjCZr1NwvuUnvEr9EVdQRTfvYY28G7y4fvmPJTnSuFP9F5+SL9CaIze/4CaxzavAjsw6PBZO/Fvfn5i5TE5pb92oQNMp2WeVpyexAWl2XEeq4EvPwC6WH2UUt+hBsAc7QtztBPm3ShHw1C+7avRw0NZfQ4yrQHFJyIMB6Ec3g3lcBjK4X8PZfXJwXSDbZQP2v+OyH8E679En/8FUEsHCPM2QCGgBQAARB0AAFBLAQIUABQACAAIAJd6uDzzNkAhoAUAAEQdAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAA2gUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe 5.1

= Der Begriff der Strecke=
==== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
 
===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST) 
'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' 
Elemente, die gut an Ihrer Definition sind: 
- zwei verschiedene Punkte 
- Punktmenge 
- Elemente, die zwischen A und B liegen 
Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
 

===== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) =====

'''(2.1 Vorschlag Kopernikus Strecke'''
Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.
 --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

'''(2.2 Vorschlag Kopernikus Endpunkte)''' (Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)'''
Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>. 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)
 
'''(2.3. Vorschlag Kopernikus Stecke und Endpunkte ) '''
Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte. --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12

2012-05-22T13:47:29Z

Kopernikus: /* Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



[[Aus der Vorlesung vom 15.05.2012]]

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe 5.1

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
 
===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST) 
'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' 
Elemente, die gut an Ihrer Definition sind: 
- zwei verschiedene Punkte 
- Punktmenge 
- Elemente, die zwischen A und B liegen 
Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
 

==== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) ====

'''(2.1 Vorschlag Kopernikus Strecke'''
Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.
 --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

'''(2.2 Vorschlag Kopernikus Endpunkte)''' (Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)'''
Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>. 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)
 
'''(2.3. Vorschlag Kopernikus Stecke und Endpunkte ) '''
Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte. --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAOKcuTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrrbts2FP69PgWhBUWL1Y6oq43aLZK02wpkS7BkwVAMK2iJlrnIkitRvrTo/+09Nuy9+iQ7JCXbsh3VTlLn0uaPLJI6PPy+85E8ZFrPx/0QDWmSsjhqa7iua4hGXuyzKGhrGe/WGtrzZw9aAY0D2kkI6sZJn/C2ZtYNTZRn7NmDb1ppLx4hEsomZ4yO2lqXhCnVUDpIKPHTHqW8VE6yMQsZSSZHnT+px9NZhTLyKhpk0AtPMijz+v4hS4vXXdnhIGT8BRsynyYojL225tjgOvw6owlnHgnbmqWrEqOtGQuVUGSK2l6csHdxxEXzmfEulCCUsncUvtRFWWtXDrRFMy9kPiORGIz0AxohNGI+7wF6RkPYpCzogbMNy1DmvDhO/JNJymkfjV/TJBb+GALpSf5mueItBcegR1uXVfNv0gwdnlDOgZcUkTGdIRYkzC+QEr9fpftx6E+rBzGL+AEZ8CyRnJp50QmfCPvQVSL83YuCkOZlBkDeo955Jx6fSBCwqUyfTgbyE+lPJziIwzhBiRiODQ3yZ0c9ZRvh6LSVLtvoskVuQxid1uOmIVvIZ0c9ZauQRcq1fOC4GDTWi25YikSBQBFCcTr4kHQoUKuhLGL8sHiBEDjPh4rVBz9n/Q5oYD4Ipjbxddls7S6ET+ucJhENVYxEQG0WZykaimBUfUlHfOqxPryqihwSIuj6FRxQpT4NElo4rhSkAJO1+nwcLhS3dgsnhA8p+OpxmApgPFyMRSiVg0raWr8e1DXkEy5KhRRC2qegEy5jQobUFJs9bTopxFLfRXzm9TOUoXplfMhIIuGgR6CkUEBIJqD2+SFJe0fdbko5Gre1GrZAOeI5V/1T7JdxIBHgKQcJkhwI+4KxAaV+PgHyPMzRAHqUopmjQ6KYit7Mup53Z9SbGnqnvpaNlMLE3CA7dnP6FWSfAG//xsDT1WjMbYBn15tOAZ7e2Aw9L+73SeSjiPShq0OYHSRkTKwZiOgi/hDBAkkFU8aLikCZyg0sESEmminOgVaee3gPJB7RFBRtz4a5e1Wy9EtQ5TYldNiuYmqGdU2vN3Bz/q8hv4ewNRTyOrChu3MNFifeisHTt5Fqk6rpj/VhbfYYr2btWMZ8mbZgia/jar7Kwjm+lHCwodYu+by8eBQjNWsb2nHrlm6bpuXojYZj6NJjOevVHdfCuGE6puFYrms6V9HVGSAYJ6uVdbzEVFbN1FAZK6jILtaWUaWt8hJ8neKqkI9VN50VcOO6YdiNBnZMxzVtw3BMifaso3VGN7cm5/LxSMJpCnuEfPgc3qVYEB0PBAGXJm15OhxuRNrwLpGm5raJsLE8990ATVCagGkh/hyIkaaaZmgXDbUFyHc/RcboLpGB61bTarquo9uuazmOo/ZNkPVYkCUZuulaNrZN/LKG3etnp2LrQKOA9xbUMlqSSadaJlHWpwnzpqB2pEFAIsvxWDH8tTHHnw4kLw8k0kkfjR6vip1FD70te+jnHo7X9M/fsn+ndMxx7uPDt1nMn74ePTp+gvaeoP3HqkBb9prDV1rZxLobEEi1fKZ2AtD6KG/so4chf4qmwT8/OhvL4YnHhpuUJV122Zj6qmTmEUsPySn9bbFYHoWkQE63GIs6FoGdRS61PFuA4IvDjNMTDxLR6DD21EZHTsW2mokNazkPWkmFsUgF8HC8GRXGlan4+Pe/ggn08a//kHj7B+FVvBRHHzkx4nFveTFX8LIP1GzAi3l1iQQgkS+IivKKdUIDUb7uBo9Ur1xpbq1An1y8qWiunfKWUpZVHEpVgZ78LWrrcyXDi7BUJcOSmVDkda8iTpOUypO25QO/c0oH4qT1KDpNSJSKE/dyzF0cHr+QybqhQatDIwFLBaN0K2GxJWl/6ZGwnLp314+E7rYi4TPsg+YOa/Lzs1pzZaCYS4GyKtWfrD4YEGHj1M2Gg23dtjBkNk3nNkfN6pXeKq30e/t/1NZf4q2vu+CqJR6vu9uySxzs/B4PaSJi6P3e/ocdRLIu2kHAzPvvPqCd9dmxr8jOTSzet54qp0zVJWhxvu6Lr4UJt5yigGJokEUBoiCcBP1AE+LTCMDY23/4Ldafsgj5jKIOZaL4RxJ2grzJjuJwB2WwpCpGax82INS98i1e9cmbsz2ajLVpWsFSxX3NwTJE5dPJuTXtsledlTBV3sesfRtTk1c3cjugV963mJuA8+KegWNcJzgv7wc4WP8c4Hx/z8DZWFaLF83hJIijhWToQCVDL+BhiHhCxBTILaZGZwzMeudYtfbeYNXelz/gCyp/WDCEN7g6ixrkbhQkTC1fmBpUXuNclFCVbrZtc37dXzoTv9J6cnE0Lh4qCdRuZJAbhu383aGeXx2qyDM2uo3afgpXCb9/5+AvhI9xjn/NuNMM0DvHQG1JAZtdyN4yArp3joBCArWpBizrdjOwO//fo/IfpvP/GH/2P1BLBwj3i9pEKgcAAGMuAABQSwECFAAUAAgACADinLk894vaRCoHAABjLgAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAGQHAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12

2012-05-22T13:40:58Z

Kopernikus: /* Der Begriff der Strecke */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



[[Aus der Vorlesung vom 15.05.2012]]

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe 5.1

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
 
===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST) 
'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' 
Elemente, die gut an Ihrer Definition sind: 
- zwei verschiedene Punkte 
- Punktmenge 
- Elemente, die zwischen A und B liegen 
Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
 

===== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) =====

'''Definition II.3 - (2.1 Vorschlag Kopernikus der Strecke)'''
Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.
 --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

''' Definition II.3 - (2.2 Vorschlag Kopernikus der Endpunkte)''' (Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)======
Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>. 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)
 
''' Definition II.3 - (2.3. Vorschlag Kopernikus der Stecke und der Endpunkte) '''
Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte. --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Abstand, Anordnung, Strecke SoSe12

2012-05-22T13:38:48Z

Kopernikus: /* Der Begriff der Strecke */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



[[Aus der Vorlesung vom 15.05.2012]]

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>. 

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt: 

::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe 5.1

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
 
===== Definition II.3 - (1. Vorschlag Kopernikus Strecke, der Endpunkte) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Punktmenge. Wenn alle Elemente dieser Menge zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte einer Strecke.--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 19:04, 20. Mai 2012 (CEST) 
'''Anmerkung von Buchner zur Definition von Kopernikus''' 
Elemente, die gut an Ihrer Definition sind: 
- zwei verschiedene Punkte 
- Punktmenge 
- Elemente, die zwischen A und B liegen 
Was in Ihrere Definition nicht klar wird ist: Was ist denn jetzt eine Strecke? Sie haben Strecke nicht definiert, sondern nur Endpunkte einer Strecke. Das wäre erst der zweite Schritt. Versuchen Sie (oder jemand anderes), Schritt eins nachzuholen (das muss explizit dastehen, also z.B. "Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist...")--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 17:21, 21. Mai 2012 (CEST)
 

===== Definition II.3 - (Vorschlag Kopernikus zweiter Versuch) =====

====== Definition II.3 - (2.1 Vorschlag Kopernikus der Strecke) ======
Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.
 --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

====== Definition II.3 - (2.2 Vorschlag Kopernikus der Endpunkte) (Achtung !!! Strecke muss hierbei bereits Def. sein)======
Es sei <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte einer Strecke. Wenn alle Punkte dieser Strecke <math>\overline{AB} </math> zwischen A und B liegen, dann sind A und B Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB} </math>. 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)
 
====== Definition II.3 - (2.3. Vorschlag Kopernikus der Stecke und der Endpunkte) ======
Die Strecke <math>\overline{AB} </math> ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen. A und B sind hierbei die Endpunkte. --[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 14:01, 22. Mai 2012 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie)


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

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