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Lösung von Zusatzaufgabe 13.1P (SoSe 22)

2022-07-18T09:39:10Z

Kwd077:

Definieren Sie den Begriff: "Achsensymmetrische Figur".
 

[[Kategorie:Geo_P]]
Eine Figur, die durch eine Achsenspiegelung auf sich selbst abgebildet werden kann, nennt man eine achsensymmetrische Figur--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 11:39, 18. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 13.2P (SoSe 22)

2022-07-18T09:34:44Z

Kwd077:

Dargestellt ist hier die Nacheinanderausführung zweier Abbildungen <math> \varphi_{1} , \varphi _{2} </math>, mit <math> \triangle \overline{a'b'c'} = \varphi _{1}( \triangle \overline{abc}) </math> und <math> \triangle \overline{a''b''c''} = \varphi _{2}( \triangle \overline{a'b'c'}) </math>.

[[Bild:verkettung_13_2.jpg]]
 
# wie heißen die beiden Abbildungen <math> \varphi_{1}</math> und <math> \varphi _{2} </math>?
# Zeichnen Sie jeweils für <math> \varphi_{1} </math> und <math> \varphi _{2} </math> die passende Anzahl von Spiegelachsen in die Skizze ein.
# Durch welche Ersatzabbildung kann die Verkettung <math> \varphi_{1} \circ \varphi _{2} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
# Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze ein.

[[Kategorie:Geo_P]]
1.- Geradenspiegleung
- Schubspiegelung
3. 1) Sa ° Sb ° Sc ° Sd = Sa` ° Sb ° Sc ° Sd mit a` parallel zu b und d, und a` senkrecht zu d, eigenschaft Drehung
2) Sa`° Sb ° Sc ° Sd = Sa``° Sb` ° Sc ° Sd mit a`` parallel zu b`, a`` senkrecht zu d, a`` schneidet d im Punkt D, b`= c--> Identität, Abstand
a``zu b` ist gleich dem Abstand a` zu b, Eigenschaft Verschiebung
3 ) Sa`` ° Sd => Punktspiegelung um D um 180 grad --[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 11:34, 18. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 13.1P (SoSe 22)

2022-07-18T08:45:20Z

Kwd077:

Zeigen Sie, dass bei der Verkettung einer Schubspiegelung <math>G_{a,b,c}</math> (<math>a \parallel b \wedge a \perp c</math>) mit einer Spiegelung <math>S_d</math> (<math>d \perp c</math>) eine Punktspiegelung entsteht.
 

[[Kategorie:Geo_P]]
1.Sa ° Sb ° Sc ° Sd = Sa` ° Sb`° Sc ° Sd mit a`parallel zu b`, und a`senkrecht zu c, und b`= d --> Identität, und Abstand a` zu b` = Abstand a zu b
2. Sa`° Sc mit a`senkrecht zu c --> Punktspiegelung--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 10:45, 18. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe 22)

2022-07-05T12:43:26Z

Kwd077:

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 

[[Kategorie:Geo_P]]
man kann dies Verkettung zweier Punktspiegelungen durch eine Translation= Verschiebung oder Drehung ersetzen.
Da man bei vier Achsen nach dem Reduktionssatz immer auf zwei Achsen reduzieren kann, folgt daraus, dass ich bei zwei Achsen entweder eine Drehung oder eine Verschiebung habe.
die Eigenschaften der Verschiebung lauten :
- die Verbindungsstrecken liegen immer senkrecht zu den Spiegelachsen und liegen immer parallel zueinander
- die Verschiebung ist doppelt solange wie der Abstand beider Geraden
- die Verschiebung häng nur vom Abstand der beiden Spiegelachsen zueinander ab, solange diese parallel zueinander liegen.
aus a wird durch Verschiebung nach c a`=c` und gleichzeitig b auf d b`= d, ich erhalte zwei parallele Geraden a` und b`
daraus folgt, dass ich am Ende aus diesen Geraden nochmals durch Verschiebung eine Geradenspiegelung machen kann:
a` verschoben auf b`= a"
die Eigenschaften der Drehung lauten: ich kann die Gerade c so weit drehen, dass sie auf der geraden d zu liegen kommt --> c`=d, a und b müssen dabei gleich weit mit gedreht werden zu a` und b`, um die Winkel zu erhalten. dann kann ich b` soweit drehen, dass es auf auf c` zum liegen kommt--> b" =c`, a` muss wieder gleich weit mitgedreht werden zu a". danach wird a" soweit gedreht, dass es auf b" zu liegen kommt--> a"`= b".
daraus folgt ich habe eine Geradenspiegelung--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 14:43, 5. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 11.4P (SoSe 22)

2022-07-05T11:50:11Z

Kwd077:

#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.
#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.

[[Kategorie:Geo_P]]
2. Voraussetzung: Winkel ABC, P liegt im Inneren des Winkels ABC, P ungleich der Strahlen a und c, P Element Strecke DE mit D Element a
und E Element c
Behauptung: P ist Mittelpunkt der Strecke DE

Beweis:
1. Strecke DE liegt im Inneren des Winkels ABC mit D Element a und E Element c, Begründung: Vor, Definition inneres des Winkels
2. Winkel aAP + Winkel APc = Winkel ABC, Begründung: Vor., 1., Satz IV.1: wenn Punkt P im Inneren des Winkels ABC liegt und auf keinen der Strahlen a und c liegt, dann ist die Größe der beiden Winkel aAP und APc jeweils kleiner als Winkel ABC, zusammen ergibt sich der Winkel ABC --> Addition zweier Teilwinkel
3. Winkel aAP kleiner Winkel ABC, Winkel APc kleiner Winkel ABC, Begründung: 1. 2., Satz IV.1
4. P Element Strecke DE, begründung: Vor., Zwischenrelation Zw( D, P, E), (P/Zw(D,P,E) vereint mit (D,E))
5. P = Mittelpunkt der Strecke DE, Begründung: 4., (P/Zw(D,P,E) vereint mit (D,E)--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:50, 5. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 11.3P (SoSe 22)

2022-07-05T11:01:39Z

Kwd077:

Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? 

[[Kategorie:Geo_P]]
wichtig ist, dass die Parallelität und der Abstand der Geraden a und b immer erhalten bleibt, das heißt, es darf a nur dann gedreht, wenn b gleichzeitig und gleich weit gedreht wird um die Parallelität zu erhalten, aber nur dann, wenn die Strecke PP" ebenfalls mit gedreht wird. Weiter darf a nur dann verschoben werden, wenn gleichzeitig b gleich weit verschoben wird, um den Abstand beider Geraden zueinander zu erhalten. Daraus ergibt sich, dass die absolute Lage irrelevant ist, solange die relative Lage - die Parallelität und der Abstand beider Geraden zueinander - erhalten bleibt.--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:01, 5. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 11.3P (SoSe 20)

2022-07-05T10:53:05Z

Kwd077:

Lösung von Aufgabe 11.3P (SoSe 20)

2022-07-05T10:52:19Z

Kwd077:

Welche wichtige Erkenntnis ergibt sich aus Satz IX.9 für die absolute und relative Lage der beiden Spiegelgeraden? 

Die absolute Lage ist nicht relevant, solange die relative Lage der beiden Geraden zueinander erhalten bleibt (Abstand und Parallelität). Ebenso dürfen die Geraden verschoben, aber nicht gedreht werden. --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 11:26, 25. Jul. 2020 (CEST)

[[Kategorie:Geo_P]]
wichtig ist, dass die Parallelität und der Abstand beider Geraden zueinander erhalten bleibt. Daraus ergibt sich für die absolute Lage beider Geraden, dass diese irrelevant ist, solange die relative Lage - Parallelität und gleichbleibender Abstand - erhalten bleibt.--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 12:52, 5. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 11.2P (SoSe 22)

2022-07-05T10:45:08Z

Kwd077:

Beweisen Sie Satz IX.9: 
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Voraussetzung: Spiegelgerade a ist parallel zu Spiegelgeraden b, P" = Sa verkettet mit Sb, Strecke PP" steht senkrecht auf a und senkrecht auf b, a geschnitten Strecke PP" = A, b geschnitten Strecke PP" = B
Behauptung: der Abstand P zu P" ist doppelt so groß wie der Abstand A zu B

Beweis:
1. Drehung des Punktes P um A um 180 Grad auf P`, . Begründung: Voraussetzung, Eigenschaft Drehung
2. Drehung des Punktes P` um B um 180 Grad auf P". Begründung: Voraussetzung, Eigenschaft Drehung
3. der Abstand PP` = der Abstand PA + Abstand AP`= "* Abstand PA, Begründung: 1., Streckentreue, Abstandserhaltung der Geradenspiegelung, PP` ist Fixgerade, Längenerhaltung
4. der Abstand P`P" = der Abstand P`B + der Abstand BP"= 2* Abstand P`B, Begründung: 2., Streckentreue, Abstandserhaltung der Geradenspiegelung, P`P" ist Fixgerade, Länegnerhaltung
5. der Abstand PP" = Abstand PA + Abstand AP`+ Abstand P`B + Abstand BP", Begründung: 4., 3., Streckenaddition
6. der Abstand PP" = 2 * Abstand AP` + 2 * Abstand BP", Begründung: 5., Streckenaddition
7. 2 * Abstand AP` + 2 * Abstand BP" = 2 * Abstand AB, Begründung : 6.
8. Abstand PP" = 2* Abstand AB, Begründung : 7.--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 12:45, 5. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 22)

2022-07-05T09:51:05Z

Kwd077:

Beweisen Sie Satz IX.4:
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Voraussetzung: Punktspiegelung, dh eine Drehung um 180 Grad um S, Sa verkettet mit Sb,a geschnitten b = S, a senkrecht zu b, g ungleich a und b
Behauptung: g" parallel zu g,

Beweis:
1. a und b werden soweit um S gedreht, bis a parallel zu g zum liegen kommt und zu a` wird. Begründung: Eigenschaft der Drehung
2. Sa`(a`) = g´ und Sa´(a`)= a`. Begründung: 1., a ist Fixgerade, Eigenschaft Fixgerade, Definition Geradenspiegelung
3. a´ parallel zu g´ . Begründung: 1., 2., Parallelentreue der Geradenspiegelung
4. g` parallel zu g. Begründung: 1., 2., 3.,
5. g" = Sb`(b`) = g`. Begründung: 4., g` ist Fixgerade bezüglich S(b`), da g´ geschnitten b` = S und b´ senkrecht auf g`, Eigenschaft Fixgerade
6. g" parallel zu g. Begründung: 4., 5.--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 11:51, 5. Jul. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.5P (SoSe 22)

2022-06-27T14:14:57Z

Kwd077:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Vor: Punktspiegelung an Sa, Sb, Sa schneidet Sb in S, P``= Sa verkettet mit Sb(P), a steht senkrecht auf b
Beh: S ist Mittelpunkt von der Strecke PP``

Beweis:
1. a steht senkrecht auf b, a schneidet b in S, begründung: Vor
2. P ist genau dann Element von a, wenn man a senkrecht b um S soweit dreht, bis P au a zu liegen kommt, Begründung: 1., Vor, Eigenschaft Punktspiegelung, Def. Drehung
3. P`=Sa(P)=P, Begründung: 1., 2., Def. Geradenspiegelung
4. P``= Sb(P`), Begründung: 3., Def Fixgerade, da a Fixgerade zu Sb ist
5. Abstand PS = Abstan SP``, Begründung: 4., def Geradenspiegelung, Streckentreue
6. S ist Element von der Strecke PP``, Begründung:2.,3.,4., 5.,Def Drehung, Def Mittelpunkt--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:14, 27. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 22)

2022-06-27T12:11:58Z

Kwd077:

Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math> (siehe GeoGebra-Applet). Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]
<ggb_applet width="536" height="428" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Geo_P]]
Vor: AB ist Spiegelgerade, E ist der Schnittpunkt von AB und C`D
Beh : Einfallswinkel AEC(alpha) ist gleich Ausfallswinkel DEB(beta)

Beweis:
1. C´ist Spiegelpunkt von C an AB, Begründung: Vor, Def Punktspiegelung
2. A`= A, Begründung: Vor., Def: Fixgerade, Fixpunkt, Geradenspiegelung
3. E=E, Begründung: Vor. Def: Fixgerade, Fixpunkt, Schnittpunkt
4. Winkel AEC (alpha)= Winkel AEC`, begründung: 1., 2., 3., Winkeltreue, Winkelmaßerhaltung
5. Winkel AEC`= Winkel DEB, Begründung: 4., Winkeltreue, Winkelmaßerhaltung
6. Winkel AEC = Winkel DEB, Begründung, 4., 5., Scheitelwinkel sind immer gleich groß
7. alpha = beta, Behauptung stimmt--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 14:11, 27. Jun. 2022 (CEST)

Übung Aufgaben 10 (SoSe 22)

2022-06-27T11:34:10Z

Kwd077: /* Aufgabe 10.3 */

==Aufgabe 10.1==
Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wurde durch die Nacheinanderausführung zweier verschiedener Geradenspiegelungen auf das Dreieck <math>\overline{A''B''C''}</math> abgebildet. Konstruieren Sie die beiden Spiegelgeraden. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren] 

<ggb_applet width="649" height="515" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIABV6KEQAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAgIABV6KEQAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vzdctu2Er5OnwLDi3MVSQT/ROVI6URqfpw4beY4p9M5NxmIhChEFMmSlH8yfZy+SV/sLACSIiVKlmRZodxqbIMgFljg28XuR9B2/8fbuY+uaZywMBgouK0qiAZO6LLAGyiLdNKylR9f/tD3aOjRcUzQJIznJB0oRltTlv2g1rZU3pm5A0WdTDSHqnbLwdhtGbo+aY1N3W1NyMRwbU3Hlu0oCN0m7EUQ/kzmNImIQ6+cKZ2Ty9AhqRhzmqbRi07n5uamnWtvh7HX8bxx+zZxFQQzD5KBkl28gOEqnW50Ia6pKu789vFSDt9iQZKSwKEK4qtasJc/POvfsMANb9ANc9PpQLHMroKmlHlTWKalwpo6XCiCtUbUSdk1TaBrqSrWnM4jRYiRgLc/k1fIL5ajIJddM5fGgE9bVw0DG6oqSwWFMaNBmkniTGMnH6t/zeiNHJRfCX3QKQ1Df0z4eOiPP5Cmaip6zgssCw0Ky5JNqryn6rLQZGHIwpQyhuxuSFFDyhhSxtDB2CxhY58OlAnxE8CPBZMYbFfUk/TOp2I+2Y3l2vFzWFPCvoGwzgGVgMN9VX3OvwHl50aOdGmRuKQ1jRdblcr2ks5co2X0dteoPWideq5Tq1ulZtbrtB+Gba4TmyWdoEp8ie91XK0tKiWQR9aobwN2VeNGU+6h0DJOvURD7XWPvsguBr/pahuVdtVT4Nrv5BGonwUdlEy5bLYpUzpPeBjSe8js8WiCkQkhx+pC8DAR7kHR1RAEGYRNZJhQxTayeNlFehcaDKQjG3E5rCMRc0wbfhhdMZiFTBiM3+1CqEMYFBnI1BEWocpAEKCQCHcQ+jQdJEwTmdCJq8caH0K3kGFBTbeRAXPkka6LQVCHjlAH9RrSMdJ5Z9xFmoUsPh42eAS1bD51GFJDlooszAeEYAmBUgZJkLeRzlcD2yoKE1agO6V+lIMkcGRBtEgr2DlzN79Mw6iwoZB2Q2c2LLDOWihJ0rIYpIllKpJpo5KpnvV9MqY+5PMr7ggIXROfRyqhYRIGKcqdQJP3vJhEU+YkVzRNoVeCvpJrcklSevsGpJNct1AtEmifLhyfuYwEv4KX8CH4gKjIpzz+5vnU0LtSixOGsXt1l4DroNv/0TiEoKkBgyh/IJzeySbdxtUmQDpxCHd6c6UTBJq7DU2WVE2vi6WRW1osCHkxK2zBry+SYei7RXMUsiAdkShdxIIcwexivqhXgedTga1IH0AznNk4vL2SoOpyrM93EdRUOYGxNwr9MEawJTXTBIGsHMtSyPCZFVKqkFGFhJpbiblFO+5pQkKUY1kKKTC7nFq2UpyvEqu5GpZIzqZU3Uw4DWcti4Cll3klZc4sWyqWHX5ezMfgbxlu1THxscbsd1ZcrD+jcUB96UgB2HIRLhLp2YV3PusvEvqJpNNXgfsf6sGe/ER4XExhaCm6nLJLHTaHjvJ+Bh7hhv0vTFXedakX03yJvuCjElrRqpbdeu22GOpNHM4vguvP4DUrU+138vX0EydmEXdONIZAPaNL/3NZQiDMu+V+sPgEVuHwiANAphxEBZFFOg1jQTlh2wLBQO//+jMIaAyBEtgm37E+nQPhRKlwS+HZhXleCR7L7YDC8VeII0XikO1L1KC51kWFMxM/mhLOdTMIfHIHEyiDIsb7GLqrUIElxHogNkTSJyJKpTvJ+cJFBMOJXVgyt8A+QbcDpaXxR5E7/lwC5Tf5XCNZPF8q35qVMCjvrlgNnE6idA9ew/PHC58QrtH5w6VmcGlHgssJ53MSuCgQrO1T6N95YaAs+QJR+a5EBHNnQ0TjIEqEFmneDnHRh8SDpZgjxQgU+kAZS4WZmhr7SIW5BYqhqhkkBVIwgwfSRKS5NEto4uIdc10qKE9nu3FLcJati01d2NfEWYpbmhfvY97NPphQj9eKiTj3eOH+E93TD9e9Sc+8qYW1YrADwAef8LnvXgQ80VGRGtZT44zSiHOSX4LPMQkSfqpTzYm7Q0maA2Ue9ls4w/K8kBw3B8kig7byIGc0GspqjvlpHcgqBT2DJKOfMCe/Pi1ev0wmCU0F8bBkItVOhSY+AZpvnoD3mStJ6RQU5yfJXV5L7vJmE8XRpNhEirmS4tCDKI52HIpTtW5jOM7kPj88YT7J95+ak5xeo9PJKpRug6AsUvN5ZOZVKGmToMSrLAfjRoNZTTRvn0CiyZ3ZPEFifveE8FLb9iMk5ktw+pWs/Fam23dr6djbnnL5/imA9Q7c9NWD7yPsePFrC+U8ZLeNw/c7/T2QXRJ5fs3mkc8clu7jlBdPwCnzMGo9ClusccoL6ZRv15xyuodTTpvilDl8+cNJq/uQJLSrU1ZB/sjiOIzrDx29NZhf/YtEYfLv+0h35bVC1uX7evsSdGv5fF354Efw4Fpwh5vAHe4P7rBh4GrtXvVjHfUsYwd0R5vQHe2P7qhh6BrLB4Dqxzjd64gMEvlSoqhoFXxrX1CUOzrljqSo8FcWu1mp/sVFyVxP9dne2c0lH3m+Zae027aNu7aBe10IopqpvW5lp3stfYOfntfpPGkc5Lg+yuJ6uFtYPSu8x43Du1UXcBt8ELMLwyuH4+kmnncw29tkwkd84798uWDL3WA+iLIc64XBLoRwuy2Gh9pi+N1sscOB8Ckp4XZ8R4fiO2oivqUXON+ZI9YwxRq+uBNrrOGONQyyhkc+nE3+fThl89LuMlYYhmr3NLVnm6pqaZakmN84+azGbrtReXgnXtk42NX6hJiTHU4nzxf0cUNB38Awa5knN8I5Us57DhW/4AOI5hfcmNOZxh8s7gfwsHEAN/9wcT+ER41DuDkHjF9whTiKqraC8xbCmHd3qt1JqbokifdbbRtB/HKk35duNjm830n/OXI8OjVsFOh/i0PHRiH+dI8d8/C8fhjzfp8E+r4xibMxh4ibkf2wD7IfGoPs9zsv3Azl5T5QXjYGygYcDb6XkH6QdOxyE4vTpZgvxb5KtjY7iKXpT/mv2fyj/+HQP4d19Uh/bQ7ST/p8btYcnM/9SK5T/icBvJ7/N62X/wdQSwcIz7rzQucIAAD9SwAAUEsBAhQAFAAICAgAFXooRNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICAAVeihEz7rzQucIAAD9SwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAH4JAAAAAA==" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 

[[Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe_22)]]

==Aufgabe 10.2==
Beweisen Sie Satz IX.2: 
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
[[Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe_22)]]

==Aufgabe 10.3==
Das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> soll durch eine Drehung auf das blaue Rechteck abgebildet werden. Konstruieren Sie den Drehpunkt. Wo müssen die beiden Achsen liegen, wenn die Drehung durch eine Verkettung zweier Achsenspiegelungen erzeugt werden soll? Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
 
 

[[Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe_22)]]
1. Schritt: Verbindung der Punkte A und A`zur Strecke AA`, Verbindung der Punkte B und B`zur Strecke BB`
2. Schritt: Konstruktion der Mittelsenktrechten von der Strecken AA` zu a und BB` zu b
3. Schritt: Die Mittelsenkrechten a und b schneiden sich im Punkt S, welcher der Drehpunkt ist--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:34, 27. Jun. 2022 (CEST)

==Aufgabe 10.4==
Beweisen Sie: Bei Spiegelungen, Stöße beim Billard über Bande, etc. gilt stets: Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\beta</math> (siehe GeoGebra-Applet). Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]
<ggb_applet width="536" height="428" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
[[Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe_22)]]

==Aufgabe 10.5==
Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Lösung von Aufgabe 10.5P (SoSe_22)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 22)

2022-06-27T10:29:11Z

Kwd077:

Beweisen Sie Satz IX.2: 
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Beweis: ein Versuch

Vor: P``= Sa verkettet mit Sb(P) mit S = a schneidet b, A Element a. B Element b, A und B sind ungleich S
Beh: Winkel PSP``= 2* Winkel ASB

Beweis:
1. S Element a und S Element b, Begründung: Vor
2. A Element a und B Element b, A und B ungleich S, Begründung: Vor
3. P Element Halbebene a+, Begründung: Vor., Def. Halbebene
4. P``ist Bildpunkt von P, Begründung: 1., 2., 3., Def. Verkettung von Abbildungen
5. Abstand SP ist gleich dem Abstand SP``, Begründung: 4., Def. Verkettung von Abb., Satz IX.1: jeder Punkt P liegt mit seinem Bildpunkt P``= Sa verkettet SB(P) um einen Kreis K um S
6. Strecke SP sowie Strecke SP``= Radius von K, Begründung: 5., Streckentreue,
7. Winkel PSP``= 180 Grad, Begründung: 4., 5., 6., Def. Winkel: ein Winkel besteht aus zwei Strahlen SP+ und SP``+, Scheitelpunkt des Winkels ist S
8. Winkel ASB + Winkel ASB`= 180 Grad, Begründung: 1., 2., Definition Supplementärwinkel: Winkel heißen supplementär, wenn sie zusammen 180 Grad ergeben
9. Winkel ASB = 90 Grad, Begründung: 8., Def. Punktspiegelung und Geradenspiegelung
10. Winkel PSP``= 2* Winkel ASB, Begründung: 9., Definition Drehung : eine Drehung ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit S als Schnittpunkt
11. Behauptung stimmt--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 12:29, 27. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.5P (SoSe 22)

2022-06-22T10:01:55Z

Kwd077:

''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math>
 Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung. Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Kontraposition: P ist kein Element von m, daraus folgt Abstand AP ist nicht gleich dem Abstand PB

Vor: Abstand AP ist gleich dem Abstand PB, m ist Mittelsenkrechte von der Strecke AB
Beh: P ist Element von m
Annahme: P ist kein Element von m

Beweis:
1. Strecke BP schneidet m ergibt leere Menge, Begründung : Annahme
2. Strecke AP schneidet m ergibt den Punkt R, Begründung: 1., (Skizze auf welcher ich den Punkt P in die Halbebene von Punkt B gezeichnet habe)
3. Abstand AR ist gleich dem Abstand RB, Begründung: 2., Mittelsenkrechtenkriterium
4. Abstand AB + Abstand BP > Abstand AP, Begründung: 3., Dreiecksungleichung(die Summe der Strecke AB + BC ist immer > AC)
5. Abstand AR + Abstand BR > Abstand AB, Begründung: Dreiecksungleichung
6. m schneidet Strecke AP und Strecke Strecke AB, Begründung: 2., Satz von Pasch
7. Abstand AR + Abstand RP = Abstand AP, Begründung 2., Zwischenrelation
8. Abstand AP ist ungleich dem Abstand AB , Begründung: 4., 5., 7.
9. Widerspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 12:01, 22. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.4P (SoSe 22)

2022-06-22T08:43:30Z

Kwd077:

#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 

[[Kategorie:Geo_P]]
1. Parallelentreue einer Geradenspiegelung besagt, dass bei der Spiegelung zweier paralleler Geraden AB und CD an der Spiegelgerade g auch deren Bildgeraden A`B` und C`D` parallel sind. Sg(AB)=A`B`, Sg(CD)=C`D`

2. Beweis der Parallelentreue durch Widerspruchsbeweis (indirekter Beweis):
Vor: zwei parallele Geraden AB und CD gespielgelt an Sg zu A`B` und C`D`. Sg(AB)=A`B`, Sg(CD)=C`D`
Beh: A`B` ist parallel zu C`D`
Annahme: A`B` ist nicht parallel zu C`D`, sondern die zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt S`

Beweis:
1. A`B` schneidet C`D`, Begründung: Annahme
2. Es entsteht ein Schnittpunkt S`, Begründung: 1., Annahme
3. Die Spiegelung des Schnittpunktes S` an Sg zu S: Sg(S`) = S, Begründung: 2., Def. Geradenspiegelung, die besagt, dass die Spiegelgerade die Mittelsenkrechte zu der Strecke S`S ist
4. S= AB schneidet CD , Begründung: 3.,
5. AB ist nicht parallel zu CD, Begründung: 4.
6. Widerspruch zur Voraussetzung, dh die Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt, Begründung: Voraussetzung--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 10:43, 22. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 22)

2022-06-21T14:43:23Z

Kwd077:

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.
 

[[Kategorie:Geo_P]]
Halbgeradentreue:bei einer Geradenspiegelung Sg wird eine Halbgerade AB auf eine Halbgerade A`B`abgebildet. dabei gilt: Sg(A)0 A`, Sg(B)=B`
Eigenschaft der Geradenspielgelung: winkelmaßerhaltend
Winkeltreue der Geradenspiegelung: Bei der Geradenspiegelung Sg wird ein Winkel ABC auf einen Winkel A`B`C`abgebildet. dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.
Def Winkel : ein Winkel ABC besteht aus den Halbgeraden AB+ und AC+

Vor: Winkel ABC , Sg(A)= A`,Sg(B)=B`, Sg(C)=C`
Beh: Winkel ABC = Winkel A`B`C`

Beweis:
1. WInkel ABC = AB+ vereinigt AC+, Begründung: Def. Winkel, Vor.
2. Sg (AB+)= A`B`+, Begründung: Vor., Halbgeradentreue
3. Sg (AC+)=A`C`+, Begründung: Vor., Halbgeradentreue
4. Winkel A`B`C`= A`B`+ vereinigt A`C`+, Begründung: 2.,3., Def: Winkel
5. Sg (Winkel ABC) = Sg (Winkel A`B`C`), Begründung: 1.,2.,3.,4., winkelmaßerhaltend
6. Winkel ABC = Winkel A`B`C`, Begründung: 5., winkelmaßerhaltend--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:43, 21. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.2P (SoSe 22)

2022-06-21T14:17:56Z

Kwd077:

Beweisen Sie die Geradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung.
 

[[Kategorie:Geo_P]]
Eigenschaft der Geraden: eine unendliche Punktmenge, Vereinigungsmenge der Halbgeraden AB+ und AB-

Halbgeradentreue: Bei der Geradenspielgelung wird eine Halbgerade AB+ auf eine Halbgerade AB- abgebildet, dabei gilt : Sg(A) = A`, Sg(B)=B`

Vor: Geradenspiegelung der Gerade AB auf A`B`: Sg(A)=A`und Sg(B)=B`, P Element AB
Beh: AB=A`B`, P`Element A`B`

Beweis:
1. P Element AB, Begründung: Eigenschaft Gerade, Vor
2. AB vereinigt AB+ und AB-, Begründung: Vor., Eigenschaft Gerade
3. P Element AB+ und P Element AB-, Begründung: 1., 2., Eigenschaft der Geraden
4. Sg(AB+)= A`B`, Begründung: Halbgeradentreue
5. Sg(AB-)=A`B`-, Begründung: Halbgeradentreue
6. A`B`= A`B`+ vereinigt A`B`-, Begründung: 4., 5., Eigenschaft Def.,
7. Sg(AB) = A`B`, Begründung:2., 6.,
8. P´Element A`B`, Begründung:7., Eigenschaft Gerade, --[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:17, 21. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 22)

2022-06-21T13:32:53Z

Kwd077:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
 

[[Kategorie:Geo_P]]
Def Halbgerade AB+: die Halbgerade AB+ besteht aus der Strecke AB vereinigt mit der Menge aller Punkte P für die gilt: zwischen (A,B,P)

Vor: Geradenspiegelung der Halbgeraden AB+ an der Geraden g zur Halbgerade A`B`+, Sg(A)=A`, Sg(B)=B`
Beh: Halbgerade AB+= Halbgerade A`B`+ und P` Element A`B`+

Beweis:
1. P Element AB+, Begründung: - Vor., Def. Halbgerade
2. Zw (ABP), Begründung:-1), Def. Halbgerade, Def. Zwischenrelation
3. Abstand AB + Abstand BP = Abstand AP, Begründung: -2), Def. Zwischenrelation
4. Abstand A`B`+ Abstand A`P`= Abstand A`P`, Begründung: -3), Def. Zwischenrelation, -Streckentreue, - Def. Geradenspielgelung, Def. Abstandserhaltung
5. Zw (A`B`P`), Begründung: -4.), -Def. Zwischenrelation
6. P´Element A`B`+, Begründung: -5), Def. Halbgerade--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 15:32, 21. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 8.4P (SoSe 22)

2022-06-14T11:54:44Z

Kwd077:

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Datei:Baum.png|300px]]

[[Kategorie:Geo_P]]
1. Schritt: Spiegelung des Punktes C an Strecke AB zu C`
2. Schritt: Verbindung von C zu B zu Strecke CB und Verbindung von C` zu B zu Strecke C`B, da C´ der Spiegelpunkt von C ist und laut der Längentreue die Strecke C`A die gleiche Länge besitzt wie CA, ist folglich die Stecke C`B gleichlang wie CB, daraus folgt, dass ich ein gleichschenkliges Dreieck erhalte aus CC`B
3. Schritt: da ein gleichschenkliges Dreieck einen Umkreis besitzt, brauch ich den Kreismittelpunkt von diesem Dreieck, diesen erhalte ich durch die Konstruktion der Mittelsenkrechten von Strecke CB und der Strecke C`B, welche beide die Strecke AB in einem Punkt S schneiden. Dieser Punkt S ist der Kreismittelpunkt, die Strecken SB, SC und SC` sind jeweils gleichlang und gleichzeitig der Radius des Kreises. Daraus folgt, dass der Punkt S genau die Stelle sein muss, an welchem der Baum angesägt wird, um auf Punkt C mit der Spitze zum liegen zu kommen, da der Punkt C auf dem Umkreis des Dreiecks CC`B liegt und B nur dann dort landet, wenn es dieselbe Streckenlänge ist von S zu C wie von S zu B--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:54, 14. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 8.2P (SoSe 22)

2022-06-14T11:14:01Z

Kwd077:

Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden. Tipp: [[Spiegel|Hier]] finden Sie eine hilfreiche GeoGebra-Applikation.

[[Kategorie:Geo_P]]
ich nehme als höchsten Punkt des Körpers den Scheitelpunkt und bezeichne ihn als SCH, als zweiten Punkt nehme ich die Augen und bezeichne in als AU, als dritten Punkt nehme ich als tiefsten Punkt des Körpers die Füße und bezeichne den Punkt mit FÜ. Alle Punkte am Körper sollen senkrecht zueinander stehen, zusätzlich nehme ich eine parallele senkrechte Spiegelgerade zu der Körperstrecke SCH, AU, FÜ
der erste Schritt ist die Spiegelung des Punktes SCH an der Spiegelgerade zu SCH`
der zweite Schritt ist die Verbindungsstrecke zwischen Punkt AU und SCH` herzustellen, wobei es einen Schnittpunkt mit der Spiegelgeraden gibt, welchen ich mit S1 bezeichne
der dritte Schritt ist die Spiegelung des Punktes FÜ an der Spiegelgeraden zu FÜ`
der vierte Schritt. ist die Verbindungsstrecke zwischen Punkt AU und FÜ` herzustellen, wobei es wieder einen Schnittpunkt mit der Spiegelgeraden gibt, welchen ich mit S2 bezeichne.
die Stecke S1,S2 ist die Höhe des Spiegels, welche in Abhängigkeit von der Entfernung der Strecke SCH,AU,FÜ, also des Körpers vom Spiegel variiert, je weiter der Körper vom Spiegel entfernt ist, desto kleiner kann die Spiegelhöhe S1,S2 ausfallen, je näher der Körper am Spiegel steht, desto größer muss die Spiegelhöhe S1,S2 ausfallen um den gesamten Körper anschauen zu können.
die Höhe der Oberkannte des Spiegels muss folglich am Schnittpunkt S1 angebracht werden, welche wiederum abhängig von der Entfernung des Körpers zum Spiegel ist--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:14, 14. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 8.3P (SoSe 22)

2022-06-13T14:11:59Z

Kwd077:

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Geo_P]]
ich spiegle den Punkt A an der Bande auf A`, verbinde A`mit B, erhalte dadurch den Schnittpunkt C, welches der erste Weg von A zur Bande ist, also Streck AC. dann spiegel ich C am Eckpunkt nach oben zu C`, verbinde dann C` mit B zur Strecke C`B, wodurch ich wieder einen Schnittpunkt B mit der oberen Bande erhalte, der weitere Weg der Kugel A ist daher von C nach D und dann von D nach B
Strecke AC + Strecke CD + Strecke DB ist der Weg der Kugel A über zwei Banden zu B--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:11, 13. Jun. 2022 (CEST)

Datei:Lösung von Aufgabe 8.3P (SoSe 22).pdf

2022-06-13T14:05:54Z

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Lösung von Aufgabe 8.1P (SoSe 22)

2022-06-13T13:48:57Z

Kwd077:

Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion. Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

 

[[Kategorie:Geo_P]]
der kürzeste Weg für die Feuerwehr zum Bach und dann zum brennenden Haus ist der Weg über einen Punkt C auf der Geraden g und dann von Punkt C zu Punkt B. Punkt C auf g erhalte ich durch die Spiegelung des Punktes A auf A` an der Geraden g und wenn ich dann A` dann mit dem Punkt B verbinde, und dessen Schnittpunkt als C benenne.
Begründung: die kürzeste Verbindung zwischen B und A` ist die Strecke BA`
aufgrund der Längentreue der Geradenspiegelung Sg, welche besagt, dass die Länge der Strecke A`C genauso lang ist wie die Länge der Strecke AC, da der Punkt A` bei der Spiegelung an g den gleichen Abstand zu g hat wie Punkt A zu g
daraus folgt : Strecke AC + Strecke BC = Strecke BA`--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 15:48, 13. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Zusatzaufg.7.3P (SoSe 22)

2022-06-02T15:34:13Z

Kwd077:

Beweisen Sie: Das Innere eines Dreiecks ist konvex. 

[[Kategorie:Geo_P]]
ich weiß : das Innere des Dreiecks ist die Schnittmenge dreier Halbebenen
nach Satz IV.2 sind Halbebenen konvexe Punktmengen
nach Satz IV.3 ist die Schnittmenge zweier konvexer Punktmengen ebenfalls konvex
daraus folgt, dass die Schnittmenge, welche entsteht aus der Schnittmenge der dritten Halbebene mit den beiden anderen ebenfalls eine
konvexe Punktmenge ergibt
Vor: das Innere des Dreieck ist die Schnittmenge dreier Halbebenen
Beh: das Innere des Dreiecks ist konvex

Beweis: 1. es gibt drei Halbebenen a, b und c, welche sich schneiden und die Schnittmange das Innere des Dreiecks ergibt , Begründung: Vor,
2. Halbebenen sind konvexe Punktmengen, Begründung: Satz IV.2
3. Halbebene a geschnitten b ergibt konvexe Punktmenge, Begründung: Satz IV.3, Vor
4. Halbebene c geschnitten Schnittmenge a und b ergibt konvexe Punktmenge, Begründung: Satz IV.3, Vor
5. Innere des Dreiecks ist konvexe Punktmenge, Begründung: wegen 4. , Vor , Satz IV.2 und Satz IV.3--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 17:34, 2. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Zusatzaufg. 7.2P (SoSe 22)

2022-06-02T14:59:47Z

Kwd077:

Beweisen Sie: Halbebenen sind konvexe Punktmengen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
ich stütze mich bei dem Beweis einmal auf die Definition der offene Halbebene und dann auf die Definition der geschlossenen Halbebene

Beweis für die offene Halbebene, dass diese eine konvexe Punktmenge ist
Vor: Halbebene gP+ ist offen
Beh: Halbebene gP+ ist konvex

Beweis: 1. ich nehme eine Punkt P der in der offenen Halbebene gP+ liegt, Begründung: Definition Halbebene
2. ich nehme einen Punkt Q der ebenfalls in gP+ liegt, Begründung: Definition Halbebene
3. Strecke QP geschnitten Gerade g ergibt leere Menge, Begründung: Definition offene Halbebene, Voraussetzung, wegen 2.
4. ich nehme einen weiteren Punkt R in gP+, der kolinear zu Q und P ist, Begründung: offene Halbebene, Voraussetzung, wegen 3.
5. Strecke RP und QP geschnitten mit g ergibt leere Menge, Begründung: offene Halbebene, Voraussetzung, wegen 4.
6. alle Punkte auf der Strecke QP gehören zu gP+, Begründung: wegen 2.,3.,4. 5.
7. gP+ ist konvex, Begründung: wegen 6.

Beweis für die geschlossene Halbebene, dass diese ebenfalls eine konvexe Punktmenge ist
Vor: Trägergerade g vereint mit gP+ ergibt geschlossene Halbebene
Beh: geschlossene Halbebene ist konvex

Beweis: 1. es liegen zwei Punkte auf der Trägergeraden g: A und B, Begründung: Definition Gerade
2. Punkte A und B sind jeweils die Schnittpunkte der Trägergeraden mit der Halbebene, Begründung: Definition Halbebene, Voraussetzung
3. Strecke AB liegt komplett in der Halbebene, Begründung:wegen 2., Voraussetzung, Definition (geschlossene) Halbebene
4. Strecke AB gehört zu gP+, Begründung: wegen 2., 3. Definition (geschlossene) Halbebene
5. geschlossene Halbebene ist konvex, Begründung: wegen 2., 3., 4. udn wegen Beweis offener Halbebene--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:59, 2. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Zusatzaufg. 7.1P (SoSe 22)

2022-06-02T11:53:38Z

Kwd077:

Definieren Sie den Begriff: „Konkave Punktmenge“ ohne den Begriff „konvex“ zu gebrauchen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Eine Punktmenge M heißt konkav wenn gilt, dass mit je zwei Punkten A und B dieser Menge die gesamte Strecke AB zu M gehört--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:53, 2. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufg. 7.4P (SoSe 22)

2022-06-02T11:40:32Z

Kwd077:

Wir gehen von folgender Definition aus: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat. Außerdem gelte Satz IV.2: Nebenwinkel sind supplementär.
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Vor: Winkel alpha und Winkel beta sind Nebenwinkel und gleich groß, alpha und beta sind supplementär, dh in der Summe sind sie 180 Grad
Beh: alpha ist 90 Grad

Beweis: 1. beta ist Nebenwinkel von alpha. Begründung: Voraussetzung
2. alpha und beta sind zusammen 180 Grad, Begründung: Voraussetzung, Satz IV.2: Nebenwinkel sind supplementär
3. Winkel beta ist 90 grad, Begründung: wegen 2., Voraussetzung
4. Winkel alpha und beta sind gleich groß, Begründung: wegen 3., 2., Voraussetzung
5. Winkel alpha ist 90 Grad, Begründung: wegen 4., 3., 2. Voraussetzung--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:40, 2. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufg. 7.3P (SoSe 22)

2022-06-02T09:35:07Z

Kwd077:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 
(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit <math>\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> und nutzen Sie den Satz von Pasch) 

[[Kategorie:Geo_P]]
Voraussetzung :drei paarweise verschiedene und kolineare Punkte A,B und C in einer Ebene E. Strecke AB geschnitten g und Strecke BC geschnitten g ergibt leere Menge, Gerade g teilt die Ebene E in zwei Halbebenen
Behauptung: Stecke AC geschnitten g ergibt leere Menge

ich brauche hier einen Punkt D, der auf der anderen Halbebene liegt, in dem nicht die Punkte A,B, C liegen und verbinde dann die Punkte ABD, BCD und ACD zu jeweils einem Dreieck, welche alle die Gerade g schneiden und somit die Strecke AD, BD und CD geschnitten g keine leere Menge ergeben.
Beweisschritt : 1. Strecke AB geschnitten g ergibt leere Menge, Begründung: Voraussetzung
2. Strecke BC geschnitten g ergibt leere Menge, Begründung: Voraussetzung
3. g teilt die Ebene in zwei Halbebenen ; Begründung : Vorausseztung
4. Punkt D liegt auf der anderen Halbebene und ist nicht kolinear zu A,B,C, Begründung: wegen 3., Definition Ebene,
5. Strecke AD geschnitten g ergibt keine leere Menge, Begründung : wegen 3.,4. und Satz von Pasch, Def. Halbenene
6. Strecke BD geschnitten g ergibt keine leere Menge, Begründung : wegen 3., 4. und Satz von Pasch, Def Halbebene
7. Strecke CD geschnitten g ergibt keine leere Menge, Begründung: wegen 3., 4. und Satz von Pasch, Def Halbebene
8. Strecke AC geschnitten g ergibt leere Menge, Begründung: wegen Voraussetzung, 3., 4. , 5., 6. 7.--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 11:35, 2. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe 22)

2022-06-02T08:47:57Z

Kwd077:

Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Das Innere des Dreiecks ist der Schnittmenge der Halbgeraden ACB+, BCA+ und ABC+, wobei die Punkte A, B und C nicht kolinear sind--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 10:47, 2. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufg. 7.1P (SoSe 22)

2022-06-02T08:29:45Z

Kwd077:

Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]
Ein Dreieck ist die Vereinigungsmenge der Strecken AB, BC und AC, wobei die Punkte A, B und C nicht kolinear sind--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 10:29, 2. Jun. 2022 (CEST)

Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe 22)

2022-05-23T14:51:13Z

Kwd077:

Beweisen Sie den Satz von Pasch.

[[Kategorie:Geo_P]]
ich versuch es mal ohne Garantie:
Satz von Pasch: Gegeben sei ein Dreieck ABC. Ferner sei eine Gerade g, die durch keinen der Eckpunkte A,B, C geht. Wenn g eine der Seiten des Dreiecks ABC schneidet, dann schneidet g genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC.

das Dreieck ABC liegt in einer Ebene, wenn man das jetzt einzeichnet, so wie es im Satz von Pasch steht, dann teilt die Gerade g dieses Dreieck in der Ebene in zwei unterschiedliche Hälften, welche sich dann auf verschiedenen Halbebenen befinden.

Voraussetzung: die Gerade g schneidet eine Seite des Dreieck ABC
Behauptung: die Gerade g schneidet dann genau noch eine weitere Seite des Dreiecks ABC
Annahme: 1.Dreieck ABC liegt in einer Ebene, 2.und g geschnitten ABC ergibt keine leere Menge, dh g teilt ABC in zwei Halbebenen, 3. g geht durch keinen der Eckpunkte A,B,,C
Beweis. Begründung
1. das Dreieck ABC liegt in einer Ebene. Annahme 1.
2. die Gerade g geschnitten ABC ergibt keine leere Menge. Annahme 2.
3. die Gerade g geht durch keinen der Eckpunkte A,B,C. Annahme 3.
4. die Gerade g schneidet eine der Seiten des Dreiecks ABC. wegen 2. und 3., Voraussetzung, und Annahme 2.
5. die gerade g teilt das Dreieck ABC in zwei Halbebenen wegen 4., Annahme 1., Annahme2., Annahme 3.
5. die Gerade g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC wegen 5., wegen Behauptung, und Annahme 3.--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:51, 23. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe 22)

2022-05-23T11:34:13Z

Kwd077:

a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3.
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

[[Kategorie:Geo_P]]
a) wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex ist, dann sind die beiden Punktmengen nicht konvex
b) wenn man eine Schnittmenge zweier nicht konvexer Punktmengen zeichnet, sieht man, dass die Schnittmenge trotzdem konvex ist, da es sich ansonsten nicht um eine Schnittmenge beider Punktmengen handeln würde--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:34, 23. Mai 2022 (CEST)

Übung Aufgaben 6 (SoSe 22)

2022-05-23T11:23:54Z

Kwd077: /* Aufgabe 6.3 */

Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe 22)

2022-05-23T11:23:27Z

Kwd077:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

[[Kategorie:Geo_P]]
gegeben sind Punktmenge 1: M1, Punktmenge 2: M2, zwei Punkte P und Q, die jeweils in der Schnittmenge von M1 und M2 liegen
Voraussetzung: zwei konvexe Punktmengen M1 und M2, die sich schneiden und deren Schnittmange betrachtet wird
Behauptung: die Schnittmenge von M1 und M2 ist konvex, das heißt die Strecke PQ ist Teilmenge von der Schnittmenge von M1 und M2
Beweis: Begründung:
1. P ist Element von M1 und Q ist Element von M1. wegen Vor: P und Q sind in der Schnittmenge von M1 und M2, daher auch in M1
2. P ist Element von M2 und Q ist Element von M2. wegen Vor: P und Q sind in der Schnittmenge von M1 und M2, daher auch in M2
3. die Strecke PQ ist eine Teilmenge von M1. wegen 1., wegen Vor: M1 ist konvex
4. die Strecke PQ ist eine Teilmenge von M2. wegen 2., wegen Vor: M2 ist konvex
5. Die Strecke PQ ist eine Teilmenge von der wegen 3. und 4., wegen Definition Schnittmange: die Menge aller Elemente, die sowohl zu
Schnittmenge von M1 und M2. M1 als auch zu M2 gehören, heißt Schnittmenge der Menge M1 und M2--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:23, 23. Mai 2022 (CEST)

Übung Aufgaben 6 (SoSe 22)

2022-05-23T11:22:25Z

Kwd077: /* Aufgabe 6.3 */

==Aufgabe 6.1==
Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

[[Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe_22)]]

==Aufgabe 6.2==
Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen_und_der_Satz_von_Pasch_WS_20_21#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen. 
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...'''

[[Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe_22)]]

== Aufgabe 6.3 ==
Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

[[Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe_22)]]
gegeben sind Punktmenge 1: M1, Punktmenge 2: M2, zwei Punkte P und Q, die jeweils in der Schnittmenge von M1 und M2 liegen
Voraussetzung: zwei konvexe Punktmengen M1 und M2, die sich schneiden und deren Schnittmange betrachtet wird
Behauptung: die Schnittmenge von M1 und M2 ist konvex, das heißt die Strecke PQ ist Teilmenge von der Schnittmenge von M1 und M2
Beweis: Begründung:
1. P ist Element von M1 und Q ist Element von M1. wegen Vor: P und Q sind in der Schnittmenge von M1 und M2, daher auch in M1
2. P ist Element von M2 und Q ist Element von M2. wegen Vor: P und Q sind in der Schnittmenge von M1 und M2, daher auch in M2
3. die Strecke PQ ist eine Teilmenge von M1. wegen 1., wegen Vor: M1 ist konvex
4. die Strecke PQ ist eine Teilmenge von M2. wegen 2., wegen Vor: M2 ist konvex
5. Die Strecke PQ ist eine Teilmenge von der wegen 3. und 4., wegen Definition Schnittmange: die Menge aller Elemente, die sowohl zu
Schnittmenge von M1 und M2. M1 als auch zu M2 gehören, heißt Schnittmenge der Menge M1 und M2--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:22, 23. Mai 2022 (CEST)

== Aufgabe 6.4 ==
a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3. 
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

[[Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe_22)]]

== Aufgabe 6.5 ==
Beweisen Sie den Satz von Pasch. 

[[Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe_22)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 22)

2022-05-23T10:16:17Z

Kwd077:

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade \ AB^- an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

[[Kategorie:Geo_P]]
Es seinen zwei verschiedene Punkte A und B. Eine Strecke, welche am Punkt A beginnt und durch den Punkt B hindurch verläuft, nennt man Halbgerade--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 12:16, 23. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 22)

2022-05-20T19:01:39Z

Kwd077:

a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 
c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 

[[Kategorie:Geo_P]]

a) Menge aller konvexen Drachenvierecke: Menge aller Drachen D, Menge aller Rauten R und Menge aller Quadrate Q
b)MxM= {(D,D), (D,R), (D,Q), (R,R), (R,Q), (R,D), (Q,Q), (Q,R), (Q,D)}
c) Relation: (D,D), (Q,Q), (R,R), (D,Q), (R,Q)
d) reflexiv ja, da in der Relation alle Elemente A in Relation zu sich selbst stehen
symmetrisch ja, da in der Relation A in Relation zu B steht
transitiv: würde sagen ja--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 13:45, 16. Mai 2022 (CEST)

Beachte: der Drache ist keine Teilmenge des Quadrats, wie auch das Rechteck, somit steht nur das Quadrat mit dem Drachen in Relation nicht aber andersrum. Zudem fehlt noch ein Viereckspaar in deiner Relation.--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 15:11, 19. Mai 2022 (CEST)
zu c) Relation : (D,D), (Q,Q), (R,R), (Q,D), (D,R)--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 21:01, 20. Mai 2022 (CEST)
(D,R) war falsch, ich wollte (Q,R)--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 21:01, 20. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 22)

2022-05-20T19:01:01Z

Kwd077:

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 22)

2022-05-20T18:56:22Z

Kwd077:

Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält.
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AC}</math> oder die Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

[[Kategorie:Geo_P]]

a) durch das Drehen und verneinen der Behauptung und Voraussetzung :
wenn die Strecke g die Strecke AC oder die Strecke AB nicht schneidet, so schneidet sie auch nicht die Strecke BC

b) Gegenteil der Behauptung unter Voraussetzung der Voraussetzung:
wenn g die Strecke BC nicht schneidet, so schneidet sie entweder die Strecke AC oder die Strecke AB--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 12:23, 16. Mai 2022 (CEST)

Beachte: du hast bei B das gegenteil der Voraussetzung nicht der Behauptung gebildet.--[[Benutzer:Matze2000|Matze2000]] ([[Benutzer Diskussion:Matze2000|Diskussion]]) 15:07, 19. Mai 2022 (CEST)

dann : wenn b nicht die Strecke AB oder die Strecke AC schneidet, so schneidet sie die Strecke BC--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 20:56, 20. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.6 P (SoSe 22)

2022-05-16T14:44:15Z

Kwd077:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

[[Kategorie:Geo_P]]
a) zwei Punkte A und B stehen genau dann in Relation zu einander, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet
anschaulich: Gerade g ist eine Bundesstrasse, Strecke AB eine Fahrradstrecke, die bei einem Baum A beginnt an einem Baum B endet. die Bäume A und B stehen dabei jeweils rechts von der Bundesstraße, sodass die Fahrradstrecke die Bundesstrasse zu keinem Zeitpunkt schneiden kann.

b) reflexiv ja: weil die Bundesstrasse Gerade G geschnitten mit sich selbst die Bundesstasse Gerade G ergibt, bzw die Fahrrad-Strecke AB geschnitten mit sich selbst AB ergibt und dadurch beide zu sich selbst in Relation stehen
symmetrisch ja, da Bundesstrasse G geschnitten mit Fahrrad-Strecke AB leere Menge ergibt und umgekehrt genauso
transitiv ja: Bundesstrasse G geschnitten mit Fahrrad-Strecke Ab ergibt leere Menge, Fahrrad-Strecke AB geschnitten mit Fahhrad-Strecke CD ergibt dann leere Menge, wenn die Bäume C und D jeweils wieder rechts von der Bundesstrasse stehen und zeitgleich parallel verläuft zur Fahrrad-Strecke AB ergibt daraus folgt, dass die Bundesstrasse G geschnitten zur Fahrrad-Strecke CD ebenfalls eine leere Menge ergibt--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:44, 16. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.5 P (SoSe 22)

2022-05-16T14:05:14Z

Kwd077:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

[[Kategorie:Geo_P]]

reflexiv ja, da die Gerade g geschnitten mit sich selbst die Gerade g ergibt, daher gibt es keine leere Menge
symmetrisch ja, weil die Gerade g geschnitten mit der Geraden h und die Gerade h geschnitten mit der Geraden g keine leere Menge ergibt
transitiv: ist nur dann nicht der Fall, wenn eine dritte Gerade i die Gerade h schneidet, aber die Gerade g nicht schneidet, also wenn gilt :
g schneidet h, h schneidet i und g schneidet nicht i, dann ist sie nicht transitiv--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:05, 16. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 22)

2022-05-16T13:35:25Z

Kwd077:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

[[Kategorie:Geo_P]]

- Parallelität von Geraden der Ebene: reflexiv, symmetrisch und transitiv
- Kongruenz geometrischer Figuren: reflexiv, symmetrisch und transitiv
- Teilbarkeit in R: reflexiv ja , da zb 2 teilt 2, 4 teilt 4
symmetrisch nein, da 2 teilt 4, aber 4 teilt nicht 2
transitiv ja, da 2 teilt 4, 4 teilt 8, und 2 teilt 8
- Kleinerrelation in R: reflexiv nein, weil 2 nicht kleiner 2
symmetrisch nein, weil 2 kleiner 4 aber 4 nicht kleiner 2
transitiv ja , weil 2 kleiner 4, 4 kleiner 8, und 2 kleiner 8
- Größergleichrelation in R: reflexiv ja, da 2 größergleich 2
symmetrisch nein, da 2 nicht größergleich 4
transitiv nein, da 2 nicht größergleich 4, 4 nicht größergleich 8 und 2 nicht größergleich 8
- Ungleichheit in R: reflexiv nein, weil 2 nicht ungleich 2
symmetrisch ja, weil 2 ungleich 4 und 4 ungleich 2
transitiv ja, weil 2 ungleich 4, 4 ungleich 8 und 2 ungleich 8--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 15:35, 16. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 22)

2022-05-16T11:45:15Z

Kwd077:

Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 22)

2022-05-16T10:55:03Z

Kwd077:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 
b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

[[Kategorie:Geo_P]]
a) Definition gleichseitiges Dreieck: ein Dreieck, dessen drei Seiten gleich lang sind, nennt man gleichseitiges Dreieck.
Definition gleichschenkliges Dreieck: ein Dreieck, bei dem mindestens 2 Seiten gleich lang sind, nennt man gleichschenkliges Dreieck.

b) Beweis durch Kontraposition:

jedes nicht gleichschenklige Dreieck ist auch kein gleichseitiges Dreieck:

Vor: kein gleichschenkliges Dreieck
Beh: kein gleichseitiges Dreieck

Beweis. Begründung
1. kein gleichschenkliges Dreieck. Voraussetzung, Definition gleichschenkliges Dreieck
2. kein gleichseitiges Dreieck. Behauptung, Definition gleichseitiges Dreieck
3. Dreieck ABC ist nicht gleichschenklig gefolgert aus 2., Definition gleichschenkliges Dreieck--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 12:55, 16. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 22)

2022-05-16T10:23:42Z

Kwd077:

Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält.
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AC}</math> oder die Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

[[Kategorie:Geo_P]]
a) durch das Drehen und verneinen der Behauptung und Voraussetzung :
wenn die Strecke g die Strecke AC oder die Strecke AB nicht schneidet, so schneidet sie auch nicht die Strecke BC

b) Gegenteil der Behauptung unter Voraussetzung der Voraussetzung:
wenn g die Strecke BC nicht schneidet, so schneidet sie entweder die Strecke AC oder die Strecke AB--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 12:23, 16. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Aufgabe 4.5 (SoSe 22)

2022-05-10T14:32:54Z

Kwd077:

Vergleichen Sie die Wahrheitswerte von 

<math>(\ A \Rightarrow B) </math> und <math>(\ A \wedge \neg B)</math>. 

Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Ihrer Wahrheitstabelle und dem indirekten Beweis durch Widerspruch. 

[[Category:Geo_P]]
beim Vergleichen der Wahrheitstabelle kommt nicht identisch raus, den Zusammenhang zwischen der Wahrheitstabelle und dem indirekten Beweis kann man dadurch erklären, dass durch den indirekten Beweis mit Widerspruch die Wahrheitswerte in Widerspruch gestellt werden und dadurch das Ergebnis der Wahrheitstabelle durch Widerspruch nochmals bestätigt und bewiesen wird--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:32, 10. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.3 P (SoSe 22)

2022-05-10T14:25:34Z

Kwd077:

Es seine A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 

[[Category:Geo_P]]
zu zeigen ist, dass die Punktmenge von A gleich der Punktmenge von B ist, wenn Punktmenge A und B identisch, dann sind A und B identisch--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:25, 10. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.2P (SoSe 22)

2022-05-10T14:21:40Z

Kwd077:

Geben Sie eine genetische Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an. 

[[Category:Geo_P]]
Gegeben ist ein Winkel. Dieser Winkel besitzt einen Scheitelpunkt. Wenn man nun eine Gerade durch dieses Scheitelpunkt zeichnet und darauf achtet, dass zwei gleich große Winkel dadurch entstehen, so nennt man diese Gerade eine Winkelhalbierende--[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:21, 10. Mai 2022 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.1P (SoSe 22)

2022-05-10T14:19:35Z

Kwd077:

Geben Sie eine exakte Realdefinition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 

[[Category:Geo_P]]
eine Gerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels geht und dieses in zwei gleich große Winkel teilt, nennt man Winkelhalbierende.

Gerade, Scheitelpunkt, Winkel --[[Benutzer:Kwd077|Kwd077]] ([[Benutzer Diskussion:Kwd077|Diskussion]]) 16:19, 10. Mai 2022 (CEST)