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Lösung von Aufg. 11.4 (WS 11/12)

2012-01-06T13:37:05Z

LGDo12:

Definieren Sie den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks.
Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter. 

Hinweis: Die Schenkel eine Winkels sind Strahlen. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind Strecken.

Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Wenn zwei der drei Strecken von <math>\overline{ABC}</math> kongruent sind, ist <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. 
Diese zwei kongruenten Strecken sind die Schenkel von <math>\overline{ABC}</math>. 
Die Winkel, die genau einen dieser Schenkel als Teilmenge entahlten, heißen Basiswinkel. 
* Diesen Satz sollte man noch etwas präzisieren. Kleiner Tipp: Welche Winkel "gibt" es, wenn man ein Dreieck betrachtet? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:38, 4. Jan. 2012 (CET)
Die Basis ist die Seite von <math>\overline{ABC}</math>, die als Teilmenge in beiden Basiswinkeln enthalten ist. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 12:17, 3. Jan. 2012 (CET) 
 
- Es sei <math>\angle ABC</math> ein Winkel. Wenn A und C zu B jeweils ein und denselben Abstand haben, so ist das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. Die Stecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> nennt man Schenkel von <math>\overline{ABC}</math>. Die Strecke <math>\overline{AC}</math> nennt man Basis von <math>\overline{ABC}</math>. Die Winkel bei A und C heißen Basiswinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und sind <s>stumpfe</s> spitze --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:03, 6. Jan. 2012 (CET)Winkel.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 14:41, 5. Jan. 2012 (CET)
* "Die Winkel bei A und C heißen Basiswinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und sind stumpfe Winkel." Was würde denn passieren, wenn in einem Dreieck zwei Wimkel stumpf sind?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:55, 6. Jan. 2012 (CET) Dann gibt es kein Dreieck, da die Winkelsumme über 180 wäre.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:03, 6. Jan. 2012 (CET) Danke für den Hinweis, ich meinte auch spitze Winkel. Das war ein Tippfehler von mir ;) --[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 14:37, 6. Jan. 2012 (CET)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Auftrag der Woche WS 11/12, Quiz der Woche WS 11/12, Übungsaufgaben WS 11/12 etc.

2012-01-05T14:51:12Z

LGDo12: /* Woche 10 */

=== Woche 1===
17.10.11 bis 21.10.11
* [[Auftrag der Woche 1 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_1 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_1_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_1}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_1_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_1}}

=== Woche 2===
24.10.11 bis 28.10.11
* [[Auftrag der Woche 2 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_2 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_2_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_2}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_2_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_2}}
*[[Quiz_der_Woche_2 (WS_11/12)]]

=== Woche 3===
31.10.11 bis 04.11.11
* [[Auftrag der Woche 3 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_3 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_3_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_3}} --> [[Applikation für Aufg. 2]]
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_3_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_3}}
*[[Quiz_der_Woche_3 (WS_11/12)]]

=== Woche 4===
07.11.11 bis 11.11.11
* [[Definition der Woche 4 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_4 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_4_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_4}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_4_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_4}}
*[[Quiz_der_Woche_4 (WS_11/12)]]

=== Woche 5===
14.11.11 bis 18.11.11
* [[Auftrag der Woche 5 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_5 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_5_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_5}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_5_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_5}}
*[[Quiz_der_Woche_5 (WS_11/12)]]

=== Woche 6===
21.11.11 bis 25.11.11
* [[Auftrag der Woche 6 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_6 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_6_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_6}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_6_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_6}}
*[[Quiz_der_Woche_6 (WS_11/12)]]

=== Woche 7===
28.11.11 bis 02.12.11
* [[Auftrag der Woche 7 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_7 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_7_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_7}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_7_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_7}}
*[[Quiz_der_Woche_7 (WS_11/12)]]

=== Woche 8===
05.12.11 bis 09.12.11
* [[Auftrag der Woche 8 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_8 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_8_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_8}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_8_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_8}}
*[[Quiz_der_Woche_8 (WS_11/12)]]

=== Woche 9===
12.12.11 bis 16.12.11
* [[Auftrag der Woche 9 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_9 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_9_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_9}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_9_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_9}}
*[[Quiz_der_Woche_9 (WS_11/12)]]

=== Woche 10===
19.12.11 bis 23.12.11
* [[Auftrag der Woche 10 (WS_11/12)]]
*[[Probeklausur (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_10_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_10}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_10_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_10}}
*[[Quiz_der_Woche_10 (WS_11/12)]]
 
* Warum wird es auf der Hauptseite nicht angezeigt, wenn man etwas am Auftrag der Woche ändert?--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 15:51, 5. Jan. 2012 (CET)

=== Woche 11===
09.01.12 bis 13.01.12
* [[Auftrag der Woche 11 (WS_11/12)]]
*[[Übung_Aufgaben_11 (WS_11/12)]]
* {{pdf|Tutorium_Aufgaben_11_WS_11_12.pdf|Tutorium_Aufgaben_11}}
* {{pdf|Tutorium_Lösungen_11_WS_11_12.pdf|Tutorium_Lösungen_11}}
*[[Quiz_der_Woche_11 (WS_11/12)]]

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Auftrag der Woche 10 (WS 11/12)

2012-01-05T14:48:28Z

LGDo12:

Entwerfen Sie eigene Klausuraufgaben für Ihre Kommilitoninnen und Kommilitonen und stellen Sie diese hier ein. Schreiben Sie bitte keine Übungs- oder Tutorienaufgaben ab, sondern erfinden Sie wirklich neue eigene Aufgaben. Ordnen Sie Ihre Aufgaben in Schwierigkeitsgrade ein. 
* '''Leichte Aufgaben:''' 
...

* '''Mittelschwere Aufgaben:'''
1. Definiere ein Quadrat, beziehe dich dabei auf Strecken! 
1.b. Definiere das Innere des Quadrates! --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:20, 21. Dez. 2011 (CET)
...

Aus einer alten Probeklausur, wir haben leider die Lösung nicht und sin uneinig, bitte fleißig mit abstimmen!
gRh sei definiert als: Die Geraden g und h haben genau einen Punkt gemeinsam. Welche Aussagen treffen zu?
1. R ist keine Relation in der Menge aller Geraden.
2. R ist eine reflexive Relation in der Menge aller Geraden.
3. R ist eine symmetrische Relation in der Menge aller Geraden.
4. R ist eine transitive Relation in der Menge aller Geraden.

--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 10:13, 28. Dez. 2011 (CET)
* '''Schwere Aufgaben:'''

Beweisen Sie den folgenden Satz: Wenn Alpha ein rechter Peripheriewinkel über der Sehne<math>\overline{AB}</math>
eines Kreises k ist, dann ist <math>\overline{AB}</math> ein Durchmesser des Kreises k.--[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:56, 28. Dez. 2011 (CET)

 
[[Bild:eee.png]]
Dies ist eine Aufgabe aus der letzten ATP.
Wir waren gersten in der Lerngruppe sehr gefrustet, da wir mit der Lösung nichts anfangen konnten, wir haben lange mit dem Aplet von Tutorim 3 experimentiert,
und sind der Meinung, es müsste heißen: <math>k_{1} \theta k_{2}: \Leftrightarrow \left| r_{1} -r_{2} \right| < \left| M_{1} M_{2} \right|< \left| r_{1} +r_{2} \right|</math>
Zu meiner Begründung, der erste Teil, wenn die Kreise nicht ineinander liegen, und die Summe der zwei Radien kleiner ist als der Abstand der beiden Mittelpunkte,
so haben die Kreise keinen Schnittpunkt und sehen somit nicht in Relation. Das Gleich zeichen würde ich auch weg lassen, da es heißt gemeinsame Punkte
und nicht einen gemeinsamen Punkt somit also mindestens zwei. Den hintern Teil mit der Differenz der Radien kann ich nachvollziehen,
wenn die Kreise ineinander liegen. Würde aber das gleich weg lasen.
Wie seht Ihr das?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:10, 3. Jan. 2012 (CET)
Ja genau ist in der Lösung unserer Meinung nach eindeutig Falsch!!! Möchten nicht wissen wie viele arme Komilitonen dewegen unberechtigt durchgefallen sind.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 15:48, 5. Jan. 2012 (CET)

... 
Beweise! Genau dann wenn sich die Diagonalen in einem Viereck halbieren und senkrecht aufeinander stehen, sind alle vier Seiten gleich lang <s>und die vier Innenwinkel rechtwinklig.</s>Korregiere hier, die Winkel müssen nicht rechtwinklig sein.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:29, 3. Jan. 2012 (CET)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:29, 23. Dez. 2011 (CET)

* '''Weihnachtliche Spezialaufgabe:''' Ich mache mal den Anfang:) --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 23:14, 14. Dez. 2011 (CET) :
''Wie fängt man den Weihnachtsmann?'' 
Lösungsvorschläge: 
1. Die geometrische Methode: 
Man stelle einen zylindrischen Käfig im Wald auf eine schneebedeckte Lichtung: 
'''Fall 1:''' Der Weihnachtsmann ist innerhalb des Käfigs. Dieser Fall ist trivial. 
'''Fall 2:''' Der Weihnachtsmann ist außerhalb des Käfigs. Dann stelle man sich in den Käfig und führe eine Inversion* an den Käfigwänden durch. So gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig und man selbst nach draußen. Man achte darauf, dass man sich nicht in die Mitte des Käfigs stellt, da man sonst im Unendlichen verschwindet. 
2. Die Projektionsmethode:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Erde eine Ebene ist. Wir projizieren nun diese Ebene auf eine Gerade, die durch den Käfig läuft, und diese Gerade auf einen Punkt im Käfig. Damit gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig. 
(Quelle und weitere Methoden unter: www.unterhaltungsspiele.com) 
Inversion*: ist eine Spiegelung am Kreis, nicht ganz vergleichbar mit einer Geradenspiegelung, weiters unter: http://de.wikipedia.org/wiki/Inversion_%28Geometrie%29
 Alsoo diese Spezialaufgabe halte ich erst für lösbar, wenn mann mindestens 3 Glühwein .... vorher lohnt sich der Gedanke kaum...--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:17, 21. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 11.4 (WS 11/12)

2012-01-05T13:41:26Z

LGDo12:

Definieren Sie den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks.
Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter. 

Hinweis: Die Schenkel eine Winkels sind Strahlen. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind Strecken.

Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Wenn zwei der drei Strecken von <math>\overline{ABC}</math> kongruent sind, ist <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. 
Diese zwei kongruenten Strecken sind die Schenkel von <math>\overline{ABC}</math>. 
Die Winkel, die genau einen dieser Schenkel als Teilmenge entahlten, heißen Basiswinkel. 
* Diesen Satz sollte man noch etwas präzisieren. Kleiner Tipp: Welche Winkel "gibt" es, wenn man ein Dreieck betrachtet? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:38, 4. Jan. 2012 (CET)
Die Basis ist die Seite von <math>\overline{ABC}</math>, die als Teilmenge in beiden Basiswinkeln enthalten ist. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 12:17, 3. Jan. 2012 (CET) 
 
- Es sei <math>\angle ABC</math> ein Winkel. Wenn A und C zu B jeweils ein und denselben Abstand haben, so ist das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. Die Stecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> nennt man Schenkel von <math>\overline{ABC}</math>. Die Strecke <math>\overline{AC}</math> nennt man Basis von <math>\overline{ABC}</math>. Die Winkel bei A und C heißen Basiswinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und sind stumpfe Winkel.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 14:41, 5. Jan. 2012 (CET)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 11.4 (WS 11/12)

2012-01-05T13:41:07Z

LGDo12:

Definieren Sie den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks.
Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter. 

Hinweis: Die Schenkel eine Winkels sind Strahlen. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind Strecken.

Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Wenn zwei der drei Strecken von <math>\overline{ABC}</math> kongruent sind, ist <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. 
Diese zwei kongruenten Strecken sind die Schenkel von <math>\overline{ABC}</math>. 
Die Winkel, die genau einen dieser Schenkel als Teilmenge entahlten, heißen Basiswinkel. 
* Diesen Satz sollte man noch etwas präzisieren. Kleiner Tipp: Welche Winkel "gibt" es, wenn man ein Dreieck betrachtet? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:38, 4. Jan. 2012 (CET)
Die Basis ist die Seite von <math>\overline{ABC}</math>, die als Teilmenge in beiden Basiswinkeln enthalten ist. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 12:17, 3. Jan. 2012 (CET) 
 
- Es sei <math>\angle ABC</math> ein Winkel. Wenn A und C zu B jeweils ein und denselben Abstand haben, so ist das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. Die Stecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> nennt man Schenkel von <math>\overline{ABC}</math>. Die Strecke <math>\overline{AC}</math> nennt man Basis von <math>\overline{ABC}</math>. Die Winkel bei A und C heißen Basiswinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und sind stumpfe Winkel.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 14:41, 5. Jan. 2012 (CET)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.6 (WS 11/12)

2011-11-17T12:35:45Z

LGDo12:

'''Satz:'''
:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen ''komplanar'' und ''kollinear'' zu verwenden.
# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.
# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
'''Beweis'''
::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: ...
'''Annahme:'''
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

 
zu 1. Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden. 
zu 2. Liegen vier Punkte nicht in einer Ebene gilt für drei davon, dass sie nicht auf einer Geraden liegen. 
zu 3.
'''Beweis'''
Voraussetzung::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: o.B.d.A. : A, B, C nicht kollinear
'''Annahme:'''
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte A,B,C sein.

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1)koll(A,B,C) || Annahme
|-
| (2)Es existiert eine Gerdade g mit A,B,C Element g || (1) Defninition koll
|-
| (3) Zwei Punkte der Geraden und der Punkt D liegen in einer Ebene || Axiom I/4
|-
| (4) Die drei Punkte der Geraden gehören ebenfalls zu dieser Ebene || Axiom I/5
|-
| (5) komp(A,B,C,D) || (2)(3)(4)
|-
| Wiederspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist zu verwerfen.
|}
--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:35, 17. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-11-17T12:07:18Z

LGDo12:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung
|-
| koil(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.6 (WS 11/12)

2011-11-10T12:50:27Z

LGDo12:

Es sei <math>\ \mathfrak{F}</math> die Menge der Figuren der Ebene. Auf <math>\ \mathfrak{F}</math> sei eine Äquivalenzrelation <math>\ \Theta</math> definiert. <math>\ \Theta</math> möge <math>\ \mathfrak{F}</math> derart in Klassen einteilen, dass die folgenden Figuren in ein und derselben Klasse liegen:
[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]] 
Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an. 

* alle Elemente der Klasse haben denselben Flächeninhalt --[[Benutzer:Pinky*|Pinky*]] 21:40, 8. Nov. 2011 (CET)

* oder alle Elemente gehören der Klasse n-Ecke mit n<5 an --[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:50, 10. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]