Serie 1 Gruppendefinition SoSe 2017

2017-05-08T08:54:33Z

Lena11: /* Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |
=Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017=
Formulieren Sie die Definition des Begriffs Gruppe unter Verwendung des Begriffs Halbgruppe.

=Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016=
<math>D:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}</math>, <br />
<math>\forall n \in \mathbb{N} : D^n := \underbrace{D \cdot D \cdot \ldots \cdot D}_{n mal}</math>, <br />
<math>M:=\left\{D^i|1 \leq i \leq 8 \right\} </math>. <br />
Beweisen Sie: <math>\left[ M, \cdot \right ]</math> ist eine Gruppe.<br />

[[Lösung von Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016]]

[[TEST Aufgabe 1.2]]

=Aufgabe 1.3. Algebra SoSe 2017=
Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.
# Geben Sie für jede der beiden Gruppen zwei Beispiele an.
# Definieren Sie was man unter der Klein'schen Vierergruppe versteht.
# Definieren Sie die andere der beiden Vierergruppen.

=Aufgabe 1.4 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleichheit gibt es keine weitere Gruppe der Ordnung 4 als die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4.

=Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017=
Bweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements <math>a</math> ist gleich dem Rechtsinversen von <math>a</math>.

=Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Wenn in einer Gruppe <math>G</math> das Element <math>e</math> linksneutral ist, dann ist <math>e</math> in <math>G</math> auch rechtsneutral.

=Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe gibt es genau ein neutrales bzw. Einselement.

=Aufgabe 1.8 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Element genau ein inverses Element.

=Aufgabe 1.9 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: <br />
Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> eine Gruppe ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> ein Monoid, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist.
=Aufgabe 1.10 Algebra SoSe 2017=
Beweisen Sie: Wenn <math>\mathbb{G}:=[G, \odot]</math> ein Monoid ist, in dem die Gleichung <math>a \odot x = b</math> für alle <math>a,b \in G</math> immer lösbar ist, dann ist <math>\mathbb{G}</math> eine Gruppe.


|}
</div>
[[Kategorie:Algebra]]

Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Serie 1 Gruppendefinition SoSe 2017