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Beweise zu den Sätze WS10/11

2011-01-18T17:36:59Z

Lialin:

== '''Beweise zu den Sätzen''' ==

'''''Die Beweise auf dieser Seite sind aus dem Skript hier vom WIKI entnommen.'''''

=====Beweis von Satz I.1=====
:Voraussetzung: Es seien g und h zwei Geraden, die nicht identisch sind.
:Fall 1:
:Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Fall 2:
:Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P.
:Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.
:Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben.
:Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.
:Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein.
:Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind.

=====Beweis von Satz I.2=====
:Es seien g und h zwei Geraden.
:Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Es seien dieses die Punkte P und Q.
:Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind.
:Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.
:Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen. 

Dieser Beweis ist nicht schlüssig. Es wird von einer Annahme gesprochen, die nur aufgestellt wird, wenn es sich um einen indirekten Beweis handelt. Bei der Kontraposition wird direkt bewiesen. 
Der weitere gemeinsame Punkt Q ist schon Element der Geraden g und h laut Voraussetung. 
Also der Beweis wird wie folgt geführt. 

Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam. P, Q sind Element der Geraden g und h 
Behauptung: g und h sind identisch 

1) P, Q sind Element von g und h____laut Voraussetzung 
2) Durch die Punkte P und Q geht____Axiom I/1 
genau eine Gerade. 
3) g und h sind identisch__________2) 
Behauptung stimmt q.e.d --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:43, 15. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

=====Beweis von Satz I.3=====
Es existieren mindestents 3 paarweise verschiedene Geraden. 
Voraussetzung: Geraden 
Behauptung: die 3 Geraden g,h,l sind paarweise verschieden 
Beweis: 
(1) Es existiert eine Gerade g mit A Element g und B Element g_____________________ nach Voraussetzung, Axiom I.2 
Es existiert eine Gerade h mit C Element h und D Element h 
(2) nkoll(A,B,C____________________________________________________________________ nach (1), Axiom I.3 
(3) zu zwei beliebig verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die 
beiden Punkte enthält___________________________________________________________nach Axiom I.1 
(4)AB, BC, AC_______________________________________________________________________nach (3) 
 
noch zu zeigen: AB nicht identisch zu BC nicht identisch zu AC nicht identisch zu AB 
Annahme: oBdA: AB=BC 
Die Punkte A,B,C gehören ein und derselben Gerade an => koll(A,B,C) 
Widerspruch zu Beweisschritt (2), Axiom I.3 
=> die Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt 
--[[Benutzer:Snoopy 1|Snoopy 1]] 14:10, 12. Dez. 2010 (UTC)

=====Beweis von Satz V.1=====

'''Hab mich mal an dem Beweis versucht, bin mir aber nicht sicher, ob man das so machen darf...''' 

Satz: Das Innere eines Winkels ist konvex. 

Voraussetzung: <math>\angle </math> pSq , Punkt A und B <math>\in </math> Inneres von <math>\angle </math> pSq 

Behauptung: <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> Inneres von Winkel <math>\angle </math> pSq 

[[Bild:Winkel.png]] 

Beweis: 

(1) Scheitel p des Winkels und Punkt A bilden die Halbebene <math>pA^+</math> 
(Def. Halbebene, Vors.) 
(2) Scheitel q des Winkels und Punkt B bilden die Halbebene <math>qB^+</math> 
(Def.Halbebene, Vors.) 
(3) B <math>\in </math> <math>pA^+</math> 
((1), Def. Inneres eines Winkels) 
(4) A <math>\in </math> <math>qB^+</math> 
((2), Def. Inneres eines Winkels) 
(5) <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> <math>pA^+</math> 
((1), (3), Axiom I.5) 
(6) <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> <math>qB^+</math> 
((2), (4), Axiom I.5) 
(7) <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> <math>pA^+</math> <math>\cap </math> <math>qB^+</math> 
((5), (6)) 
(8) <math>\overline { AB } </math> ist konvex 
((5), (6), (7), Satz IV.3) 
(9) <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> Inneres von Winkel <math>\angle </math> pSq 
((8)) 
(10) Das Innere des Winkels <math>\angle </math> pSq ist konvex. 
((9), Def. konvexe Punktmengen) 
[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 18.36, 18. Jan. 2011 (UTC)

Beweise zu den Sätze WS10/11

2011-01-18T17:21:19Z

Lialin: /* Beweis von Satz V.1 */

Beweise zu den Sätze WS10/11

2011-01-18T17:19:33Z

Lialin:

== '''Beweise zu den Sätzen''' ==

'''''Die Beweise auf dieser Seite sind aus dem Skript hier vom WIKI entnommen.'''''

=====Beweis von Satz I.1=====
:Voraussetzung: Es seien g und h zwei Geraden, die nicht identisch sind.
:Fall 1:
:Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Fall 2:
:Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P.
:Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.
:Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben.
:Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.
:Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein.
:Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind.

=====Beweis von Satz I.2=====
:Es seien g und h zwei Geraden.
:Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Es seien dieses die Punkte P und Q.
:Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind.
:Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.
:Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen. 

Dieser Beweis ist nicht schlüssig. Es wird von einer Annahme gesprochen, die nur aufgestellt wird, wenn es sich um einen indirekten Beweis handelt. Bei der Kontraposition wird direkt bewiesen. 
Der weitere gemeinsame Punkt Q ist schon Element der Geraden g und h laut Voraussetung. 
Also der Beweis wird wie folgt geführt. 

Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam. P, Q sind Element der Geraden g und h 
Behauptung: g und h sind identisch 

1) P, Q sind Element von g und h____laut Voraussetzung 
2) Durch die Punkte P und Q geht____Axiom I/1 
genau eine Gerade. 
3) g und h sind identisch__________2) 
Behauptung stimmt q.e.d --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:43, 15. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

=====Beweis von Satz I.3=====
Es existieren mindestents 3 paarweise verschiedene Geraden. 
Voraussetzung: Geraden 
Behauptung: die 3 Geraden g,h,l sind paarweise verschieden 
Beweis: 
(1) Es existiert eine Gerade g mit A Element g und B Element g_____________________ nach Voraussetzung, Axiom I.2 
Es existiert eine Gerade h mit C Element h und D Element h 
(2) nkoll(A,B,C____________________________________________________________________ nach (1), Axiom I.3 
(3) zu zwei beliebig verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die 
beiden Punkte enthält___________________________________________________________nach Axiom I.1 
(4)AB, BC, AC_______________________________________________________________________nach (3) 
 
noch zu zeigen: AB nicht identisch zu BC nicht identisch zu AC nicht identisch zu AB 
Annahme: oBdA: AB=BC 
Die Punkte A,B,C gehören ein und derselben Gerade an => koll(A,B,C) 
Widerspruch zu Beweisschritt (2), Axiom I.3 
=> die Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt 
--[[Benutzer:Snoopy 1|Snoopy 1]] 14:10, 12. Dez. 2010 (UTC)

=====Beweis von Satz V.1=====

Hab mich mal an dem Beweis versucht, bin mir aber nciht sicher, ob man das so machen darf... 

Satz: Das Innere eines Winkels ist konvex. 

Voraussetzung: <math>\angle </math> pSq , Punkt A und B <math>\in </math> Inneres von <math>\angle </math> pSq 

Behauptung: <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> Inneres von Winkel <math>\angle </math> pSq 

[[Bild:Winkel.png]] 

Beweis: 

(1) Scheitel p des Winkels und Punkt A bilden die Halbebene <math>pA^+</math> 
(Def. Halbebene, Vors.) 
(2) Scheitel q des Winkels und Punkt B bilden die Halbebene <math>qB^+</math> 
(Def.Halbebene, Vors.) 
(3) B <math>\in </math> <math>pA^+</math> 
((1), Def. Inneres eines Winkels) 
(4) A <math>\in </math> <math>qB^+</math> 
((2), Def. Inneres eines Winkels) 
(5) <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> <math>pA^+</math> 
((1), (3), Axiom I.5) 
(6) <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> <math>qB^+</math> 
((2), (4), Axiom I.5) 
(7) <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> <math>pA^+</math> <math>\cap </math> <math>qB^+</math> 
((5), (6)) 
(8) <math>\overline { AB } </math> ist konvex 
((5), (6), (7), Satz IV.3) 
(9) <math>\overline { AB } </math> <math>\subset </math> Inneres von Winkel <math>\angle </math> pSq 
((8)) 
(10) Das Innere des Winkels <math>\angle </math> pSq ist konvex. 
((9), Def. konvexe Punktmengen)

Datei:Winkel.png

2011-01-18T17:18:20Z

Lialin: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = Lialin |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber = Lialin
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Auftrag der Woche 1 WS

2010-10-25T23:26:02Z

Lialin: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */

== Geometrie im Alltag ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie Geometrie im Alltag aufspüren und als Bild in Ihre Benutzerseite stellen. Dies dient auch dazu, dass Sie lernen, das Wiki zu verwenden.

Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===
[[Media:Bild:Fenster eines Berliner Hochhauses.jpg]]

* [[Benutzer:Spannagel]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma
* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko
* [[Benutzer:Jp1234]] - Kirchenfenster in Prag
* [[Benutzer:Paulchen86]] - Paulskirche in Rom
* [[Benutzer:Eled13]] - Rotunde der Grabeskirche in Jerusalem
* [[Benutzer:Schnappi]] - Balkongeländer in HD: mit Stufenwinkel !!!
* [[Benutzer:Bayern2802]] - Glaspyramide / Louvre
* [[Benutzer:Nepomuk]] - Pyramidenfeld in Handschuhsheim
* [[Benutzer:Bulkathos]] - Fächerstadt Karlsruhe
* [[Benutzer:Strubingerj]] - Wanduhr
* [[Benutzer:vollyschwamm]] - Verkehrsschilder
* [[Benutzer:studentxyz]] - Blume im PH-Garten
* [[Benutzer:Jama77]] - GUM - Moskau
* [[Benutzer:Lialin]] - Stangenquadrat auf dem Ponyplatz

Benutzer:Lialin

2010-10-25T23:23:35Z

Lialin: Die Seite wurde neu angelegt: Bild:quadrat.jpg

[[Bild:quadrat.jpg]]

Datei:Quadrat.jpg

2010-10-25T23:17:25Z

Lialin: /* Beschreibung */

== Beschreibung ==

Stangenquadrat auf dem Ponyplatz

{{Information_ohne_UploadWizard
|Urheber = Lialin
}}

== Lizenz: ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Datei:Quadrat.jpg

2010-10-25T23:14:39Z

Lialin: {{Information |Beschreibung = Stangenquadrat auf dem Ponyplatz |Quelle = |Urheber = Lialin |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Stangenquadrat auf dem Ponyplatz
|Quelle =
|Urheber = Lialin
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T23:01:35Z

Lialin: /* Aufgabe 2.7 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel 

Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende. 
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X. 

Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:

1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T22:54:25Z

Lialin: /* Aufgabe 2.6 */

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T22:50:41Z

Lialin: /* Aufgabe 2.4 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T22:50:18Z

Lialin: /* Aufgabe 2.4 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein <viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.

Übung Aufgaben 2

2010-10-25T22:48:28Z

Lialin: /* Aufgabe 2.3 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 
Meiner Meinung nach ist das falsch, wie sollen denn alle Punkte einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den äußeren Punkten haben? --[[Benutzer:Bulkathos|Bulkathos]]
 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind. 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis.

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren.

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X.