Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Drehungen 2010

2010-11-20T00:02:15Z

Licht20: /* Nacht der Lichter, kommenden Freitag */

== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==

<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Konstruktionsbeschreibung ==
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.

Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> ,dann ist <math> \ P \equiv P'</math> (P' ist das Bild)

Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>, dann

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
|-

| (I)
| Konstruiere den Strahl <math>\ ZQ+ </math> an den Strahl <math>\ ZP+ </math> mit dem Winkel <math>\ \alpha</math> so an, dass die positive Orientierung von <math>\alpha</math> für < <math>\ PZP' </math>erhalten bleibt.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
| (II)
| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>\ ZQ+ </math> an <math> \ Z</math> ab und nenne den Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom vom Lineal--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

|-

|}

==Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal==
[[Bild:Schritt 1 VSS.jpg|400px]] 
1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k1 um Z, der durch P geht. 
[[Bild:P1000886.JPG|400px]] 
2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S. 
[[Bild:P1000887.JPG|400px]] 
3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q. 
[[Bild:P1000888.JPG|400px]] 
4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne, 
[[Bild:P1000889.JPG|400px]] 
5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k2 um P. 
[[Bild:P1000890.JPG|400px]] 
6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k1 und k2 benennen wir mit S1 und S2. 
[[Bild:P1000891.JPG|400px]] 
7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein. 
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP+ und ZS2+. 
[[Bild:P1000892.JPG|400px]] 
9) S2 ist P', der Bildpunkt von P. 
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 13:00, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:phhd_mat|phhd_mat]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)

== Konstruktionsbeschreibung 2: ==
1. Zeichne einen Kreis k1 mit Radius <math>\overline {ZP}</math> um den Mittelpunkt Z. 
2. Zeichne einen Kreis mit Radius <math>\overline {ZP}</math> um den Mittelpunkt S (Scheitelpunkt des Winkels <math>\alpha</math> ). Nenne die Schnittpunkte R und Q. 
3. Zeichne einen Kreis k2 mit Radius <math>\overline {RQ}</math> um den Mittelpunkt P. 
4. Die Kreise k1 und k2 haben zwei Schnittpunkte. Nenne sie P1' und P2'. Zeichne die Strahlen ZP1'+, ZP+ und ZP2'+. Je nach Drehrichtung des Winkels <math>\alpha</math>, ist P1' bzw. P2' der Bildpunkt von P. --morita 11:13, 15. Nov. 2010 (UTC)

== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:
<math>\forall P \in</math> der Ebene gilt:
# <math> \ P = P'</math> , falls <math>\ P = \ Z</math>
# <math>|\ ZP| = |\ ZP'|</math> und |<math>\angle \ PZP'</math>| = <math>\ |\alpha|</math>, falls <math>\ P \not = Z</math> --[[Benutzer:Tja???|Tja???]],[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)

==== Definition verstanden?====
<ggb_applet width="890" height="837" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

 

<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math>
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, T, W, B_1</math> liegen.
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
- (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math>
</quiz>

== 2 Sätze und der dazugehörige Beweis==
Ich habe mal zwei Beweise angefertigt und stelle sie an dieser Stelle allen zur Verfügung um darüber zu diskutieren. Gibt es Fehler in der Logik, der Schreibweise oder bei den Begründungen? Ich bin mir eben nicht ganz sicher :)

== Satz: Jede Drehung <math>D_{Z,\beta}</math> ist eine Bewegung. ==
<ggb_applet width="547" height="470" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

==Beweis==
Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel <math>\beta</math> 
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 2) <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 3) <math>\angle {PZP'} \cong \angle {QZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 4) <math>|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|</math> 
<math>|\alpha'|= |\alpha|</math> 
| rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da <math>\beta = \angle {PZP'} </math> und <math> \beta' = \angle {QZQ'}</math>
|-
| 5) <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| folgt aus den Schritten 1-4, sws
|-
| 6) <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7) <math>|PQ|=|P'Q'|</math>
| folgt aus Schritt 6, q.e.d
|-

|}
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==

<ggb_applet width="529" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Beweis==
Voraussetzung: <math>\phi </math> ist eine Bewegung, <math>\phi </math> hat genau eine Fixpunkt Z 
Behauptung: <math>\beta \cong \beta'</math>
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1. <math>P \ne P', Q \ne Q'</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
|-
| 2. <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 3. <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 4. <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 5. <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| sss, folgt aus den Schritten 2-4
|-
| 6. <math>\alpha \cong \alpha'</math> <math>|\alpha|= |\alpha'|</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7.<math>|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|</math> <math>|\beta'|=|\beta|</math> <math> \beta' \cong \beta</math>
| rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
|} --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Elementargeometrie]]

Drehungen 2010

2010-11-16T11:31:02Z

Licht20: /* Nacht der Lichter, kommenden Freitag */

== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==

<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFOMaj0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1VjNcts2ED43T4HhoTfLAH8kaiolIyeXzKSxJ0pz8KUDkZCEmiRoALQlv1XyIHmmLgCSon4re9JMezHJBbBYfN+3u5BHb1Z5hh6YVFwUY4/0sIdYkYiUF4uxV+n5Rey9ef1qtGBiwWaSormQOdVjL+j5nrFX/PWrX0ZqKR4RzeyUL5w9jr05zRTzkColo6laMqa37LRa8YxTub6e/cUSrTYDzsn7oqxgFy0rsCV5+oGr5vPSblhmXL/jDzxlEmUiGXv9CEKHty9Map7QbOyF2Fn8sefvDIIpMKNLIfmTKLSZvnE+BwtCij8xWImdLRGFupFCvxVZlRcKoURkuA1QZKTz7nfeg/Zk8BF2BqLujo13AQOoUgx2EVI1sw2610W2vgIs70rBC60OLf5IH/iCaiDyikq7qHFQZnR9VWltKN5Y3jH4Ayc0nJewfnuG8TrVrBx7sdlmdGmpHrEqyXjKaWHotEwATAg98lQvx94gigBUxhdLYCuMwiZAIdPpWmmWo9Utk8IQYrdd11/hwHwpYAYgj7Ad6n5ZN+xhyrQGYSpEV2wjmYXk6dbHe3Ulso3JIvaWlrqSVtVBbZrqtdkA9pIm4EmxyFht8+H8S5bczcRqamVAAuf687q0S2xAs4XlCUlzHjj4on7O3NPOMZG2s7Cdg+2M2odx2o6ToW9n2OfMPe2sjBcutPrkpDk1wc02XCFjwF7NfH34jM4YiNtDVcH1h+YDkuCuPipxCz5W+YzJLV21PsmP8jm63JHP6I7JgmW1ioHbSlQKPZh0dHvZQFKW8Bw+3UANCTV0/QEBOGvKFpI1gbsa4gCzo7grxB3z6LIJwmYSxJqYHILzaHMWU6s01Imxl/cWPQ+lVBurSYWM5QwqhbaasJJqsbnx2rIobIVr0qoe36AMwwf1YZVEs3JJwdKkACQs1Lvukay/30W6fVBaAGD2FMqmMO4ZSkrG0rrG61rHthDYrOjgbWFSaGVqgx9CKo69C9Ib9D305JbbWS6HTPbbnYOaYAfKHjyWrvb4379afGBh1QTei6I4wlHQx/0gJnGTPyqzJT7nhYMB5RTi6vf8OIBJAR6QwTCKITQ6U1CaNZsmoIPig0js+RvY6/oE3o2PlUmc0FYZ8BWblzlfsU3JONwXXkYnwU3Cb+gkZ9JJdtNfLyHLCqaULWO6W42oTDpsHBUCJoMwCvyhH5HhMISX6JAyyCFlHGd3W/y3P1X81/O5YtpweuH3LaNk8O/lxqztwc5ptw03WYNrZdnnc1ImEXlOixQVNIcIPtG1BZKbuxCi2ACLKDHFxYFX6WaAOk/1+j16JHhqwKfeUUX5O4o6zmAHkGMU4pdXr3MwdvVo3ZQoQPlis885h2P3hZujXM/iOVwpE65bbDPD/ftCQwdjtiPsN6Y7xkpzI7guPktaKHM33o74BLlCQyPZ4ffG8QvVEVHf0L3L882vtBTqtz/Jab53elG7aI/U7YZ+hNV+aGk1j5l7vJTYbmOJA9+Po36IwxDHQeS6DO4FOIrg4jgcBJE/DPAze842xvZGdxjiW4fwFp5bSH//dhrinX727ex+9tN7yN4V8kRSbPUQs2l9n8rE4yc2z9jKQnq2xo8WsKOw359fyO5/RCH751Z0fh3bNKLY1f+Tbei8RrKfDuuDyfO/q39vuUz2kvNof0tOywLu7TxpOU3OEAb5z7a48+KGn9iseICohVQIrXB9dVnj5tbRWFakVgZak9r0RDoVFa5Ckq/QpJk/aWZNoDxexD1CIth8EtR+J2HjbhJ1JberJrhPJXzOk9MiaNW1o4PE6eD+WP9zwy/ogS+6mP64/ndOzu8mdxgfaY3R81rjZffHrf1/Tv0vvdd/A1BLBwg1X25kcQUAAAQUAABQSwECFAAUAAgACABTjGo9NV9uZHEFAAAEFAAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAKsFAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Konstruktionsbeschreibung ==
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.

Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> ,dann ist <math> \ P \equiv P'</math> (P' ist das Bild)

Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>, dann

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
|-

| (I)
| Konstruiere den Strahl <math>\ ZQ+ </math> an den Strahl <math>\ ZP+ </math> mit dem Winkel <math>\ \alpha</math> so an, dass die positive Orientierung von <math>\alpha</math> für < <math>\ PZP' </math>erhalten bleibt.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
| (II)
| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>\ ZQ+ </math> an <math> \ Z</math> ab und nenne den Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom vom Lineal--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

|-

|}

==Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal==
[[Bild:Schritt 1 VSS.jpg|400px]] 
1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k1 um Z, der durch P geht. 
[[Bild:P1000886.JPG|400px]] 
2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S. 
[[Bild:P1000887.JPG|400px]] 
3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q. 
[[Bild:P1000888.JPG|400px]] 
4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne, 
[[Bild:P1000889.JPG|400px]] 
5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k2 um P. 
[[Bild:P1000890.JPG|400px]] 
6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k1 und k2 benennen wir mit S1 und S2. 
[[Bild:P1000891.JPG|400px]] 
7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein. 
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP+ und ZS2+. 
[[Bild:P1000892.JPG|400px]] 
9) S2 ist P', der Bildpunkt von P. 
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 13:00, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:phhd_mat|phhd_mat]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)

== Konstruktionsbeschreibung 2: ==
1. Zeichne einen Kreis k1 mit Radius <math>\overline {ZP}</math> um den Mittelpunkt Z. 
2. Zeichne einen Kreis mit Radius <math>\overline {ZP}</math> um den Mittelpunkt S (Scheitelpunkt des Winkels <math>\alpha</math> ). Nenne die Schnittpunkte R und Q. 
3. Zeichne einen Kreis k2 mit Radius <math>\overline {RQ}</math> um den Mittelpunkt P. 
4. Die Kreise k1 und k2 haben zwei Schnittpunkte. Nenne sie P1' und P2'. Zeichne die Strahlen ZP1'+, ZP+ und ZP2'+. Je nach Drehrichtung des Winkels <math>\alpha</math>, ist P1' bzw. P2' der Bildpunkt von P. --morita 11:13, 15. Nov. 2010 (UTC)

== Nacht der Lichter, kommenden Freitag ==

[[Bild:Nacht der Lichter.JPG|400px]]

== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:
<math>\forall P \in</math> der Ebene gilt:
# <math> \ P = P'</math> , falls <math>\ P = \ Z</math>
# <math>|\ ZP| = |\ ZP'|</math> und |<math>\angle \ PZP'</math>| = <math>\ |\alpha|</math>, falls <math>\ P \not = Z</math> --[[Benutzer:Tja???|Tja???]],[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)

==== Definition verstanden?====
<ggb_applet width="890" height="837" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

 

<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math>
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, T, W, B_1</math> liegen.
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
- (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math>
</quiz>

== 2 Sätze und der dazugehörige Beweis==
Ich habe mal zwei Beweise angefertigt und stelle sie an dieser Stelle allen zur Verfügung um darüber zu diskutieren. Gibt es Fehler in der Logik, der Schreibweise oder bei den Begründungen? Ich bin mir eben nicht ganz sicher :)

== Satz: Jede Drehung <math>D_{Z,\beta}</math> ist eine Bewegung. ==
<ggb_applet width="547" height="470" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

==Beweis==
Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel <math>\beta</math> 
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 2) <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 3) <math>\angle {PZP'} \cong \angle {QZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 4) <math>|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|</math> 
<math>|\alpha'|= |\alpha|</math> 
| rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da <math>\beta = \angle {PZP'} </math> und <math> \beta' = \angle {QZQ'}</math>
|-
| 5) <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| folgt aus den Schritten 1-4, sws
|-
| 6) <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7) <math>|PQ|=|P'Q'|</math>
| folgt aus Schritt 6, q.e.d
|-

|}
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==

<ggb_applet width="529" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Beweis==
Voraussetzung: <math>\phi </math> ist eine Bewegung, <math>\phi </math> hat genau eine Fixpunkt Z 
Behauptung: <math>\beta \cong \beta'</math>
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1. <math>P \ne P', Q \ne Q'</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
|-
| 2. <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 3. <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 4. <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 5. <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| sss, folgt aus den Schritten 2-4
|-
| 6. <math>\alpha \cong \alpha'</math> <math>|\alpha|= |\alpha'|</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7.<math>|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|</math> <math>|\beta'|=|\beta|</math> <math> \beta' \cong \beta</math>
| rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
|} --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)

Datei:Nacht der Lichter.JPG

2010-11-16T11:28:13Z

Licht20: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Drehungen 2010

2010-11-16T11:24:38Z

Licht20: /* Konstruktionsbeschreibung 2: */

== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==

<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Konstruktionsbeschreibung ==
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.

Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> ,dann ist <math> \ P \equiv P'</math> (P' ist das Bild)

Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>, dann

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
|-

| (I)
| Konstruiere den Strahl <math>\ ZQ+ </math> an den Strahl <math>\ ZP+ </math> mit dem Winkel <math>\ \alpha</math> so an, dass die positive Orientierung von <math>\alpha</math> für < <math>\ PZP' </math>erhalten bleibt.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
| (II)
| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>\ ZQ+ </math> an <math> \ Z</math> ab und nenne den Punkt <math>\ P'</math>.
| Axiom vom Lineal--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

|-

|}

==Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal==
[[Bild:Schritt 1 VSS.jpg|400px]] 
1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k1 um Z, der durch P geht. 
[[Bild:P1000886.JPG|400px]] 
2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S. 
[[Bild:P1000887.JPG|400px]] 
3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q. 
[[Bild:P1000888.JPG|400px]] 
4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne, 
[[Bild:P1000889.JPG|400px]] 
5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k2 um P. 
[[Bild:P1000890.JPG|400px]] 
6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k1 und k2 benennen wir mit S1 und S2. 
[[Bild:P1000891.JPG|400px]] 
7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein. 
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP+ und ZS2+. 
[[Bild:P1000892.JPG|400px]] 
9) S2 ist P', der Bildpunkt von P. 
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 13:00, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:phhd_mat|phhd_mat]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)

== Konstruktionsbeschreibung 2: ==
1. Zeichne einen Kreis k1 mit Radius <math>\overline {ZP}</math> um den Mittelpunkt Z. 
2. Zeichne einen Kreis mit Radius <math>\overline {ZP}</math> um den Mittelpunkt S (Scheitelpunkt des Winkels <math>\alpha</math> ). Nenne die Schnittpunkte R und Q. 
3. Zeichne einen Kreis k2 mit Radius <math>\overline {RQ}</math> um den Mittelpunkt P. 
4. Die Kreise k1 und k2 haben zwei Schnittpunkte. Nenne sie P1' und P2'. Zeichne die Strahlen ZP1'+, ZP+ und ZP2'+. Je nach Drehrichtung des Winkels <math>\alpha</math>, ist P1' bzw. P2' der Bildpunkt von P. --morita 11:13, 15. Nov. 2010 (UTC)

== Nacht der Lichter, kommenden Freitag ==

== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:
<math>\forall P \in</math> der Ebene gilt:
# <math> \ P = P'</math> , falls <math>\ P = \ Z</math>
# <math>|\ ZP| = |\ ZP'|</math> und |<math>\angle \ PZP'</math>| = <math>\ |\alpha|</math>, falls <math>\ P \not = Z</math> --[[Benutzer:Tja???|Tja???]],[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 22:44, 11. Nov. 2010 (UTC)

==== Definition verstanden?====
<ggb_applet width="890" height="837" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

 

<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math>
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, T, W, B_1</math> liegen.
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
- (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math>
</quiz>

== 2 Sätze und der dazugehörige Beweis==
Ich habe mal zwei Beweise angefertigt und stelle sie an dieser Stelle allen zur Verfügung um darüber zu diskutieren. Gibt es Fehler in der Logik, der Schreibweise oder bei den Begründungen? Ich bin mir eben nicht ganz sicher :)

== Satz: Jede Drehung <math>D_{Z,\beta}</math> ist eine Bewegung. ==
<ggb_applet width="547" height="470" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

==Beweis==
Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel <math>\beta</math> 
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 2) <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 3) <math>\angle {PZP'} \cong \angle {QZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
|-
| 4) <math>|\alpha'|=|\beta'|+|\alpha - \beta|</math> 
<math>|\alpha'|= |\alpha|</math> 
| rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da <math>\beta = \angle {PZP'} </math> und <math> \beta' = \angle {QZQ'}</math>
|-
| 5) <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| folgt aus den Schritten 1-4, sws
|-
| 6) <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7) <math>|PQ|=|P'Q'|</math>
| folgt aus Schritt 6, q.e.d
|-

|}
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

==Satz: Wenn eine Bewegung <math>\phi</math> genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist <math>\phi</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.==

<ggb_applet width="529" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Beweis==
Voraussetzung: <math>\phi </math> ist eine Bewegung, <math>\phi </math> hat genau eine Fixpunkt Z 
Behauptung: <math>\beta \cong \beta'</math>
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1. <math>P \ne P', Q \ne Q'</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
|-
| 2. <math>\overline {ZP} \cong \overline {ZP'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 3. <math>\overline {ZQ} \cong \overline {ZQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 4. <math>\overline {PQ} \cong \overline {P'Q'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
|-
| 5. <math>\triangle {ZPQ} \cong \triangle {ZP'Q'}</math>
| sss, folgt aus den Schritten 2-4
|-
| 6. <math>\alpha \cong \alpha'</math> <math>|\alpha|= |\alpha'|</math>
| folgt aus Schritt 5
|-
| 7.<math>|\beta'|=|\alpha'|+|\beta|-|\alpha|</math> <math>|\beta'|=|\beta|</math> <math> \beta' \cong \beta</math>
| rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6
|} --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)