Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Serie 7 SoSe 2018

2018-06-11T13:34:49Z

Linksblau: /* Aufgabe 7.04 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Definitionen=
==Aufgabe 7.01==
Definieren Sie den Begriff Nebenwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.01 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.02==
Definieren Sie den Begriff Scheitelwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.02 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.03==
Definieren Sie den Begriff Außenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Lösung Aufgabe 7.03 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.04==
Definieren Sie den Begriff Stufenwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.04 SOSE 2018]]
[[Datei:Aufgabe 7.4.jpg|thumb|Aufgabe 7.4]]

==Aufgabe 7.05==
Definieren Sie den Begriff Wechselwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.05 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.06==
Eine Winkelhalbierende ist ein Strahl. Ansonsten ist eine Winkelhalbierende das was ihr Name bereits semantisch verdeutlicht.
Definieren Sie den Begriff der Winkelhalbierenden eines Winkels <math>\angle ASB</math>

[[Lösung Aufgabe 7.06 SOSE 2018]]

=Beweise=

==Aufgabe 7.07==
In der Ebene <math>\varepsilon</math> seien eine Gerade <math>g</math> und ein Punkt <math>P</math> mit <math>P \in g</math> gegeben. 
Beweisen Sie: 
#<math>\exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g </math>
#<math>s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1 </math>

[[Lösung Aufgabe 7.07 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.08==
Formulieren Sie die Aussagen 1 und 2 aus der vorangegangenen Aufgabe 7.7 als einen einzigen Satz kurz und prägnant derart, dass auch Schüler der SI diesen Satz verstehen können.

[[Lösung Aufgabe 7.08 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.09==
Beweisen Sie: 
::Wenn <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> liegt, dann ist <math>\left|\angle ASP \right| \le \left| \angle ASB \right|</math>.

[[Lösung Aufgabe 7.09 SOSE 2018]]
[[Datei:Aufgabe 7.9.jpg|thumb|Aufgabe 7.9]]

==Aufgabe 7.010==
Beweisen Sie: 
::Jeder Winkel hat genau eine Winkelhalbierende.

[[Lösung Aufgabe 7.010 SOSE 2018]]

[[Datei:Aufgabe 7.10.jpg|thumb|Aufgabe 7.10]]


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Serie 7 SoSe 2018

2018-06-11T13:33:54Z

Linksblau: /* Aufgabe 7.010 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Definitionen=
==Aufgabe 7.01==
Definieren Sie den Begriff Nebenwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.01 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.02==
Definieren Sie den Begriff Scheitelwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.02 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.03==
Definieren Sie den Begriff Außenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Lösung Aufgabe 7.03 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.04==
Definieren Sie den Begriff Stufenwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.04 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.05==
Definieren Sie den Begriff Wechselwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.05 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.06==
Eine Winkelhalbierende ist ein Strahl. Ansonsten ist eine Winkelhalbierende das was ihr Name bereits semantisch verdeutlicht.
Definieren Sie den Begriff der Winkelhalbierenden eines Winkels <math>\angle ASB</math>

[[Lösung Aufgabe 7.06 SOSE 2018]]

=Beweise=

==Aufgabe 7.07==
In der Ebene <math>\varepsilon</math> seien eine Gerade <math>g</math> und ein Punkt <math>P</math> mit <math>P \in g</math> gegeben. 
Beweisen Sie: 
#<math>\exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g </math>
#<math>s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1 </math>

[[Lösung Aufgabe 7.07 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.08==
Formulieren Sie die Aussagen 1 und 2 aus der vorangegangenen Aufgabe 7.7 als einen einzigen Satz kurz und prägnant derart, dass auch Schüler der SI diesen Satz verstehen können.

[[Lösung Aufgabe 7.08 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.09==
Beweisen Sie: 
::Wenn <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> liegt, dann ist <math>\left|\angle ASP \right| \le \left| \angle ASB \right|</math>.

[[Lösung Aufgabe 7.09 SOSE 2018]]
[[Datei:Aufgabe 7.9.jpg|thumb|Aufgabe 7.9]]

==Aufgabe 7.010==
Beweisen Sie: 
::Jeder Winkel hat genau eine Winkelhalbierende.

[[Lösung Aufgabe 7.010 SOSE 2018]]

[[Datei:Aufgabe 7.10.jpg|thumb|Aufgabe 7.10]]


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Serie 7 SoSe 2018

2018-06-11T13:32:57Z

Linksblau: /* Aufgabe 7.09 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Definitionen=
==Aufgabe 7.01==
Definieren Sie den Begriff Nebenwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.01 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.02==
Definieren Sie den Begriff Scheitelwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.02 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.03==
Definieren Sie den Begriff Außenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Lösung Aufgabe 7.03 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.04==
Definieren Sie den Begriff Stufenwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.04 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.05==
Definieren Sie den Begriff Wechselwinkel.

[[Lösung Aufgabe 7.05 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.06==
Eine Winkelhalbierende ist ein Strahl. Ansonsten ist eine Winkelhalbierende das was ihr Name bereits semantisch verdeutlicht.
Definieren Sie den Begriff der Winkelhalbierenden eines Winkels <math>\angle ASB</math>

[[Lösung Aufgabe 7.06 SOSE 2018]]

=Beweise=

==Aufgabe 7.07==
In der Ebene <math>\varepsilon</math> seien eine Gerade <math>g</math> und ein Punkt <math>P</math> mit <math>P \in g</math> gegeben. 
Beweisen Sie: 
#<math>\exist s \subset \varepsilon: P \in s \wedge s \perp g </math>
#<math>s_1 \subset \varepsilon \wedge P \in s_1 \wedge s \perp g \Rightarrow \neg \exist s_2: s_2 \subset \varepsilon \wedge P \in s_2 \wedge s_2 \perp g \wedge s_2 \not \equiv s_1 </math>

[[Lösung Aufgabe 7.07 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.08==
Formulieren Sie die Aussagen 1 und 2 aus der vorangegangenen Aufgabe 7.7 als einen einzigen Satz kurz und prägnant derart, dass auch Schüler der SI diesen Satz verstehen können.

[[Lösung Aufgabe 7.08 SOSE 2018]]

==Aufgabe 7.09==
Beweisen Sie: 
::Wenn <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> liegt, dann ist <math>\left|\angle ASP \right| \le \left| \angle ASB \right|</math>.

[[Lösung Aufgabe 7.09 SOSE 2018]]
[[Datei:Aufgabe 7.9.jpg|thumb|Aufgabe 7.9]]

==Aufgabe 7.010==
Beweisen Sie: 
::Jeder Winkel hat genau eine Winkelhalbierende.

[[Lösung Aufgabe 7.010 SOSE 2018]]


|}
</div>

[[Category:Einführung_S]]

Datei:Aufgabe 7.10.jpg

2018-06-11T13:31:10Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 7.10}}
|date=2018-06-11 15:30:10
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 7.4.jpg

2018-06-11T13:31:06Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 7.4}}
|date=2018-06-11 15:30:03
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 7.9.jpg

2018-06-11T13:31:05Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 7.9}}
|date=2018-06-11 15:29:43
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:57:35Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.10 SoSe 2018 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

'''Übungsaufgaben zum 01.05.2018''' 

=Aufgabe 3.1 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei <math>C</math> sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck 
(a) den Satz des Pythagoras, 
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, 
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
<math>\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2</math>

=Aufgabe 3.2 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel <math>\gamma</math> sei ein Rechter. 
Beweisen Sie: 
<math>\begin{matrix}
(a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\
(b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}</math> 

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

[[Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG|thumb|Ich weiß es nicht.]]
[[Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG|thumb|Was muss ich hier schreiben]]

=Aufgabe 3.3 SoSe 2018=
Zwischendurch eine Definition: 
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie: 
'''Definition:''' (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden) 
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. 
:::Der Punkt <math>P</math> wird bei der Spiegelung an <math>g</math> auf sich selbst abgebildet, wenn ... 
:::Ansonsten gilt für <math>P</math> und sein Bild <math>P'</math> bei der Spiegelung an <math>g</math> ...
[[Datei:Aufgabe 3.3.JPG|thumb|Aufgabe 3.3]]

=Aufgabe 3.4 SoSe 2018=
Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.
[[Datei:Aufgabe 3.4.JPG|thumb|Aufgabe 3.4]]

=Aufgabe 3.5 SoSe 2018=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von <math>k</math> versteht.
[[Datei:Aufgabe 3.5.JPG|thumb|Aufgabe 3.5]]

=Aufgabe 3.6 SoSe 2018=
[[Datei:Aufgabe 2 06 SoSe 2013 S.png|300px]] 
<math>\overline{ABCD}</math> und <math>\overline{EFGH}</math> seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen. 
Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats <math>\overline{ABCD}</math> bzw.<math>\overline{EFGH}</math> ist gleich. 
[[Datei:Aufgabe 3.6.JPG|thumb|Aufgabe 3.6]]

=Aufgabe 3.7 SoSe 2018=
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit dem Umkreis <math>k</math>. Der Mittelpunkt von <math>k</math> möge ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> sein. Der Winkel <math>\angle CAB</math> habe die Größe <math>25</math>°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:
# <math>|\angle ACM|</math>
# <math>|\angle AMC|</math>
# <math>|\angle CMB|</math>
# <math>|\angle ABC|</math>
# <math>|\angle MCB|</math>
# <math>|\angle ACB|</math>

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:
* Innenwinkelsatz für Dreiecke
* Nebenwinkelsatz
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
[[Datei:Aufgabe 3.7.JPG|thumb|Aufgabe 3.7]]

=Aufgabe 3.8 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: <math>AB \| CD</math>.
[[Datei:Aufgabe 3.8.JPG|thumb|Aufgabe 3.8]]

=Aufgabe 3.9 SoSe 2018=
Die folgende Aussage mögen wahr sein: 
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. 
Wir betrachten den folgenden Satz: 
::Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. 
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. 
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.
[[Datei:Aufgabe 3.9.JPG|thumb|Aufgabe 3.9]]

=Aufgabe 3.10 SoSe 2018=
Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt: 
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]
[[Datei:Aufgabe 3.10.JPG|thumb|Aufgabe 3.10]]

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:56:50Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.9 SoSe 2018 */

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:56:04Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.8 SoSe 2018 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

'''Übungsaufgaben zum 01.05.2018''' 

=Aufgabe 3.1 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei <math>C</math> sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck 
(a) den Satz des Pythagoras, 
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, 
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
<math>\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2</math>

=Aufgabe 3.2 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel <math>\gamma</math> sei ein Rechter. 
Beweisen Sie: 
<math>\begin{matrix}
(a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\
(b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}</math> 

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

[[Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG|thumb|Ich weiß es nicht.]]
[[Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG|thumb|Was muss ich hier schreiben]]

=Aufgabe 3.3 SoSe 2018=
Zwischendurch eine Definition: 
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie: 
'''Definition:''' (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden) 
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. 
:::Der Punkt <math>P</math> wird bei der Spiegelung an <math>g</math> auf sich selbst abgebildet, wenn ... 
:::Ansonsten gilt für <math>P</math> und sein Bild <math>P'</math> bei der Spiegelung an <math>g</math> ...
[[Datei:Aufgabe 3.3.JPG|thumb|Aufgabe 3.3]]

=Aufgabe 3.4 SoSe 2018=
Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.
[[Datei:Aufgabe 3.4.JPG|thumb|Aufgabe 3.4]]

=Aufgabe 3.5 SoSe 2018=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von <math>k</math> versteht.
[[Datei:Aufgabe 3.5.JPG|thumb|Aufgabe 3.5]]

=Aufgabe 3.6 SoSe 2018=
[[Datei:Aufgabe 2 06 SoSe 2013 S.png|300px]] 
<math>\overline{ABCD}</math> und <math>\overline{EFGH}</math> seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen. 
Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats <math>\overline{ABCD}</math> bzw.<math>\overline{EFGH}</math> ist gleich. 
[[Datei:Aufgabe 3.6.JPG|thumb|Aufgabe 3.6]]

=Aufgabe 3.7 SoSe 2018=
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit dem Umkreis <math>k</math>. Der Mittelpunkt von <math>k</math> möge ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> sein. Der Winkel <math>\angle CAB</math> habe die Größe <math>25</math>°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:
# <math>|\angle ACM|</math>
# <math>|\angle AMC|</math>
# <math>|\angle CMB|</math>
# <math>|\angle ABC|</math>
# <math>|\angle MCB|</math>
# <math>|\angle ACB|</math>

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:
* Innenwinkelsatz für Dreiecke
* Nebenwinkelsatz
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
[[Datei:Aufgabe 3.7.JPG|thumb|Aufgabe 3.7]]

=Aufgabe 3.8 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: <math>AB \| CD</math>.
[[Datei:Aufgabe 3.8.JPG|thumb|Aufgabe 3.8]]

=Aufgabe 3.9 SoSe 2018=
Die folgende Aussage mögen wahr sein: 
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. 
Wir betrachten den folgenden Satz: 
::Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. 
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. 
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.

=Aufgabe 3.10 SoSe 2018=
Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt: 
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:55:04Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.7 SoSe 2018 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

'''Übungsaufgaben zum 01.05.2018''' 

=Aufgabe 3.1 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei <math>C</math> sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck 
(a) den Satz des Pythagoras, 
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, 
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
<math>\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2</math>

=Aufgabe 3.2 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel <math>\gamma</math> sei ein Rechter. 
Beweisen Sie: 
<math>\begin{matrix}
(a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\
(b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}</math> 

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

[[Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG|thumb|Ich weiß es nicht.]]
[[Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG|thumb|Was muss ich hier schreiben]]

=Aufgabe 3.3 SoSe 2018=
Zwischendurch eine Definition: 
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie: 
'''Definition:''' (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden) 
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. 
:::Der Punkt <math>P</math> wird bei der Spiegelung an <math>g</math> auf sich selbst abgebildet, wenn ... 
:::Ansonsten gilt für <math>P</math> und sein Bild <math>P'</math> bei der Spiegelung an <math>g</math> ...
[[Datei:Aufgabe 3.3.JPG|thumb|Aufgabe 3.3]]

=Aufgabe 3.4 SoSe 2018=
Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.
[[Datei:Aufgabe 3.4.JPG|thumb|Aufgabe 3.4]]

=Aufgabe 3.5 SoSe 2018=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von <math>k</math> versteht.
[[Datei:Aufgabe 3.5.JPG|thumb|Aufgabe 3.5]]

=Aufgabe 3.6 SoSe 2018=
[[Datei:Aufgabe 2 06 SoSe 2013 S.png|300px]] 
<math>\overline{ABCD}</math> und <math>\overline{EFGH}</math> seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen. 
Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats <math>\overline{ABCD}</math> bzw.<math>\overline{EFGH}</math> ist gleich. 
[[Datei:Aufgabe 3.6.JPG|thumb|Aufgabe 3.6]]

=Aufgabe 3.7 SoSe 2018=
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit dem Umkreis <math>k</math>. Der Mittelpunkt von <math>k</math> möge ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> sein. Der Winkel <math>\angle CAB</math> habe die Größe <math>25</math>°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:
# <math>|\angle ACM|</math>
# <math>|\angle AMC|</math>
# <math>|\angle CMB|</math>
# <math>|\angle ABC|</math>
# <math>|\angle MCB|</math>
# <math>|\angle ACB|</math>

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:
* Innenwinkelsatz für Dreiecke
* Nebenwinkelsatz
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
[[Datei:Aufgabe 3.7.JPG|thumb|Aufgabe 3.7]]

=Aufgabe 3.8 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: <math>AB \| CD</math>.

=Aufgabe 3.9 SoSe 2018=
Die folgende Aussage mögen wahr sein: 
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. 
Wir betrachten den folgenden Satz: 
::Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. 
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. 
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.

=Aufgabe 3.10 SoSe 2018=
Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt: 
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:54:19Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.6 SoSe 2018 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

'''Übungsaufgaben zum 01.05.2018''' 

=Aufgabe 3.1 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei <math>C</math> sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck 
(a) den Satz des Pythagoras, 
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, 
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
<math>\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2</math>

=Aufgabe 3.2 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel <math>\gamma</math> sei ein Rechter. 
Beweisen Sie: 
<math>\begin{matrix}
(a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\
(b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}</math> 

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

[[Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG|thumb|Ich weiß es nicht.]]
[[Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG|thumb|Was muss ich hier schreiben]]

=Aufgabe 3.3 SoSe 2018=
Zwischendurch eine Definition: 
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie: 
'''Definition:''' (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden) 
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. 
:::Der Punkt <math>P</math> wird bei der Spiegelung an <math>g</math> auf sich selbst abgebildet, wenn ... 
:::Ansonsten gilt für <math>P</math> und sein Bild <math>P'</math> bei der Spiegelung an <math>g</math> ...
[[Datei:Aufgabe 3.3.JPG|thumb|Aufgabe 3.3]]

=Aufgabe 3.4 SoSe 2018=
Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.
[[Datei:Aufgabe 3.4.JPG|thumb|Aufgabe 3.4]]

=Aufgabe 3.5 SoSe 2018=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von <math>k</math> versteht.
[[Datei:Aufgabe 3.5.JPG|thumb|Aufgabe 3.5]]

=Aufgabe 3.6 SoSe 2018=
[[Datei:Aufgabe 2 06 SoSe 2013 S.png|300px]] 
<math>\overline{ABCD}</math> und <math>\overline{EFGH}</math> seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen. 
Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats <math>\overline{ABCD}</math> bzw.<math>\overline{EFGH}</math> ist gleich. 
[[Datei:Aufgabe 3.6.JPG|thumb|Aufgabe 3.6]]

=Aufgabe 3.7 SoSe 2018=
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit dem Umkreis <math>k</math>. Der Mittelpunkt von <math>k</math> möge ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> sein. Der Winkel <math>\angle CAB</math> habe die Größe <math>25</math>°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:
# <math>|\angle ACM|</math>
# <math>|\angle AMC|</math>
# <math>|\angle CMB|</math>
# <math>|\angle ABC|</math>
# <math>|\angle MCB|</math>
# <math>|\angle ACB|</math>

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:
* Innenwinkelsatz für Dreiecke
* Nebenwinkelsatz
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke

=Aufgabe 3.8 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: <math>AB \| CD</math>.

=Aufgabe 3.9 SoSe 2018=
Die folgende Aussage mögen wahr sein: 
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. 
Wir betrachten den folgenden Satz: 
::Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. 
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. 
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.

=Aufgabe 3.10 SoSe 2018=
Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt: 
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:53:36Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.5 SoSe 2018 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

'''Übungsaufgaben zum 01.05.2018''' 

=Aufgabe 3.1 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei <math>C</math> sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck 
(a) den Satz des Pythagoras, 
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, 
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
<math>\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2</math>

=Aufgabe 3.2 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel <math>\gamma</math> sei ein Rechter. 
Beweisen Sie: 
<math>\begin{matrix}
(a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\
(b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}</math> 

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

[[Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG|thumb|Ich weiß es nicht.]]
[[Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG|thumb|Was muss ich hier schreiben]]

=Aufgabe 3.3 SoSe 2018=
Zwischendurch eine Definition: 
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie: 
'''Definition:''' (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden) 
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. 
:::Der Punkt <math>P</math> wird bei der Spiegelung an <math>g</math> auf sich selbst abgebildet, wenn ... 
:::Ansonsten gilt für <math>P</math> und sein Bild <math>P'</math> bei der Spiegelung an <math>g</math> ...
[[Datei:Aufgabe 3.3.JPG|thumb|Aufgabe 3.3]]

=Aufgabe 3.4 SoSe 2018=
Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.
[[Datei:Aufgabe 3.4.JPG|thumb|Aufgabe 3.4]]

=Aufgabe 3.5 SoSe 2018=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von <math>k</math> versteht.
[[Datei:Aufgabe 3.5.JPG|thumb|Aufgabe 3.5]]

=Aufgabe 3.6 SoSe 2018=
[[Datei:Aufgabe 2 06 SoSe 2013 S.png|300px]] 
<math>\overline{ABCD}</math> und <math>\overline{EFGH}</math> seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen. 
Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats <math>\overline{ABCD}</math> bzw.<math>\overline{EFGH}</math> ist gleich. 

=Aufgabe 3.7 SoSe 2018=
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit dem Umkreis <math>k</math>. Der Mittelpunkt von <math>k</math> möge ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> sein. Der Winkel <math>\angle CAB</math> habe die Größe <math>25</math>°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:
# <math>|\angle ACM|</math>
# <math>|\angle AMC|</math>
# <math>|\angle CMB|</math>
# <math>|\angle ABC|</math>
# <math>|\angle MCB|</math>
# <math>|\angle ACB|</math>

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:
* Innenwinkelsatz für Dreiecke
* Nebenwinkelsatz
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke

=Aufgabe 3.8 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: <math>AB \| CD</math>.

=Aufgabe 3.9 SoSe 2018=
Die folgende Aussage mögen wahr sein: 
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. 
Wir betrachten den folgenden Satz: 
::Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. 
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. 
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.

=Aufgabe 3.10 SoSe 2018=
Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt: 
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:52:53Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.4 SoSe 2018 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

'''Übungsaufgaben zum 01.05.2018''' 

=Aufgabe 3.1 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei <math>C</math> sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck 
(a) den Satz des Pythagoras, 
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, 
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
<math>\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2</math>

=Aufgabe 3.2 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel <math>\gamma</math> sei ein Rechter. 
Beweisen Sie: 
<math>\begin{matrix}
(a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\
(b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}</math> 

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

[[Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG|thumb|Ich weiß es nicht.]]
[[Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG|thumb|Was muss ich hier schreiben]]

=Aufgabe 3.3 SoSe 2018=
Zwischendurch eine Definition: 
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie: 
'''Definition:''' (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden) 
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. 
:::Der Punkt <math>P</math> wird bei der Spiegelung an <math>g</math> auf sich selbst abgebildet, wenn ... 
:::Ansonsten gilt für <math>P</math> und sein Bild <math>P'</math> bei der Spiegelung an <math>g</math> ...
[[Datei:Aufgabe 3.3.JPG|thumb|Aufgabe 3.3]]

=Aufgabe 3.4 SoSe 2018=
Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.
[[Datei:Aufgabe 3.4.JPG|thumb|Aufgabe 3.4]]

=Aufgabe 3.5 SoSe 2018=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von <math>k</math> versteht.

=Aufgabe 3.6 SoSe 2018=
[[Datei:Aufgabe 2 06 SoSe 2013 S.png|300px]] 
<math>\overline{ABCD}</math> und <math>\overline{EFGH}</math> seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen. 
Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats <math>\overline{ABCD}</math> bzw.<math>\overline{EFGH}</math> ist gleich. 

=Aufgabe 3.7 SoSe 2018=
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit dem Umkreis <math>k</math>. Der Mittelpunkt von <math>k</math> möge ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> sein. Der Winkel <math>\angle CAB</math> habe die Größe <math>25</math>°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:
# <math>|\angle ACM|</math>
# <math>|\angle AMC|</math>
# <math>|\angle CMB|</math>
# <math>|\angle ABC|</math>
# <math>|\angle MCB|</math>
# <math>|\angle ACB|</math>

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:
* Innenwinkelsatz für Dreiecke
* Nebenwinkelsatz
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke

=Aufgabe 3.8 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: <math>AB \| CD</math>.

=Aufgabe 3.9 SoSe 2018=
Die folgende Aussage mögen wahr sein: 
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. 
Wir betrachten den folgenden Satz: 
::Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. 
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. 
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.

=Aufgabe 3.10 SoSe 2018=
Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt: 
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:52:02Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.3 SoSe 2018 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

'''Übungsaufgaben zum 01.05.2018''' 

=Aufgabe 3.1 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei <math>C</math> sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck 
(a) den Satz des Pythagoras, 
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, 
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
<math>\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2</math>

=Aufgabe 3.2 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel <math>\gamma</math> sei ein Rechter. 
Beweisen Sie: 
<math>\begin{matrix}
(a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\
(b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}</math> 

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

[[Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG|thumb|Ich weiß es nicht.]]
[[Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG|thumb|Was muss ich hier schreiben]]

=Aufgabe 3.3 SoSe 2018=
Zwischendurch eine Definition: 
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie: 
'''Definition:''' (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden) 
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. 
:::Der Punkt <math>P</math> wird bei der Spiegelung an <math>g</math> auf sich selbst abgebildet, wenn ... 
:::Ansonsten gilt für <math>P</math> und sein Bild <math>P'</math> bei der Spiegelung an <math>g</math> ...
[[Datei:Aufgabe 3.3.JPG|thumb|Aufgabe 3.3]]

=Aufgabe 3.4 SoSe 2018=
Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.

=Aufgabe 3.5 SoSe 2018=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von <math>k</math> versteht.

=Aufgabe 3.6 SoSe 2018=
[[Datei:Aufgabe 2 06 SoSe 2013 S.png|300px]] 
<math>\overline{ABCD}</math> und <math>\overline{EFGH}</math> seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen. 
Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats <math>\overline{ABCD}</math> bzw.<math>\overline{EFGH}</math> ist gleich. 

=Aufgabe 3.7 SoSe 2018=
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit dem Umkreis <math>k</math>. Der Mittelpunkt von <math>k</math> möge ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> sein. Der Winkel <math>\angle CAB</math> habe die Größe <math>25</math>°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:
# <math>|\angle ACM|</math>
# <math>|\angle AMC|</math>
# <math>|\angle CMB|</math>
# <math>|\angle ABC|</math>
# <math>|\angle MCB|</math>
# <math>|\angle ACB|</math>

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:
* Innenwinkelsatz für Dreiecke
* Nebenwinkelsatz
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke

=Aufgabe 3.8 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: <math>AB \| CD</math>.

=Aufgabe 3.9 SoSe 2018=
Die folgende Aussage mögen wahr sein: 
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. 
Wir betrachten den folgenden Satz: 
::Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. 
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. 
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.

=Aufgabe 3.10 SoSe 2018=
Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt: 
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:Aufgabe 3.10.JPG

2018-06-09T15:50:46Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 3.10}}
|date=2018-06-09 17:48:50
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.9.JPG

2018-06-09T15:50:46Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 3.9}}
|date=2018-06-09 17:48:23
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.8.JPG

2018-06-09T15:50:45Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 3.8}}
|date=2018-06-09 17:48:28
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.7.JPG

2018-06-09T15:50:45Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 3.7}}
|date=2018-06-09 17:48:24
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.6.JPG

2018-06-09T15:50:44Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 3.6}}
|date=2018-06-09 17:47:13
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.5.JPG

2018-06-09T15:50:44Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 3.5}}
|date=2018-06-09 17:46:11
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.4.JPG

2018-06-09T15:50:43Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 3.4}}
|date=2018-06-09 17:47:02
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.3.JPG

2018-06-09T15:50:43Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Aufgabe 3.3}}
|date=2018-06-09 17:47:12
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Serie 3 SoSe 2018

2018-06-09T15:44:30Z

Linksblau: /* Aufgabe 3.2 SoSe 2018 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

'''Übungsaufgaben zum 01.05.2018''' 

=Aufgabe 3.1 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei <math>C</math> sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck 
(a) den Satz des Pythagoras, 
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, 
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
 
<math>\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2</math>

=Aufgabe 3.2 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel <math>\gamma</math> sei ein Rechter. 
Beweisen Sie: 
<math>\begin{matrix}
(a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\
(b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}</math> 

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

[[Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG|thumb|Ich weiß es nicht.]]
[[Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG|thumb|Was muss ich hier schreiben]]

=Aufgabe 3.3 SoSe 2018=
Zwischendurch eine Definition: 
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie: 
'''Definition:''' (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden) 
::Es sei <math>g</math> eine Gerade. 
:::Der Punkt <math>P</math> wird bei der Spiegelung an <math>g</math> auf sich selbst abgebildet, wenn ... 
:::Ansonsten gilt für <math>P</math> und sein Bild <math>P'</math> bei der Spiegelung an <math>g</math> ...

=Aufgabe 3.4 SoSe 2018=
Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.

=Aufgabe 3.5 SoSe 2018=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von <math>k</math> versteht.

=Aufgabe 3.6 SoSe 2018=
[[Datei:Aufgabe 2 06 SoSe 2013 S.png|300px]] 
<math>\overline{ABCD}</math> und <math>\overline{EFGH}</math> seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen. 
Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats <math>\overline{ABCD}</math> bzw.<math>\overline{EFGH}</math> ist gleich. 

=Aufgabe 3.7 SoSe 2018=
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit dem Umkreis <math>k</math>. Der Mittelpunkt von <math>k</math> möge ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> sein. Der Winkel <math>\angle CAB</math> habe die Größe <math>25</math>°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:
# <math>|\angle ACM|</math>
# <math>|\angle AMC|</math>
# <math>|\angle CMB|</math>
# <math>|\angle ABC|</math>
# <math>|\angle MCB|</math>
# <math>|\angle ACB|</math>

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:
* Innenwinkelsatz für Dreiecke
* Nebenwinkelsatz
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke

=Aufgabe 3.8 SoSe 2018=
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: <math>AB \| CD</math>.

=Aufgabe 3.9 SoSe 2018=
Die folgende Aussage mögen wahr sein: 
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. 
Wir betrachten den folgenden Satz: 
::Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam. 
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. 
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.

=Aufgabe 3.10 SoSe 2018=
Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt: 
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:Aufgabe 3.2 b.JPG

2018-06-09T15:41:44Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Was muss ich hier schreiben}}
|date=2018-06-09 17:39:50
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.2 a.JPG

2018-06-09T15:41:43Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Ich weiß es nicht.}}
|date=2018-06-09 17:39:41
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Aufgabe 3.1.JPG

2018-06-09T15:32:08Z

Linksblau: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Ich wusste nicht was ich hier reinschreiben muss.}}
|date=2018-06-09 17:30:21
|source={{own}}
|author=[[User:Linksblau|Linksblau]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]