Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

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2012-02-11T10:28:04Z

Liviana: /* Einführung in die Geometrie im Sommersemester 12 */

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2011/12 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
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= Einführung in die Geometrie =
== Haben wir nicht, bekommen wir auch nicht rein==
{{wpd|Nürnberger_Trichter}}
== Wöchentlich ==
* [[Auftrag der Woche_WS_11/12, Quiz der Woche_WS_11/12, Übungsaufgaben_WS_11/12 etc.‎]]

== Skripte, erstellt durch die Studierenden ==

== Materialien für das Studium ==
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* [[Einführendes Beispiel_WS_11/12]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}} [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]
* [[Definitionen in der Mathematik_WS_11/12]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise WS_11/12]]
* [[Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen WS_11/12]]
* [[Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen WS_11/12]]
* [[Einige grundlegende Aspekte zum Geometrieunterricht WS_11/12]]
* [[Eigenschaften von Geraden WS_11/12]]
* {{pdf|Geometrie_Inzidenzaxiome.pdf|Übersicht: axiomatischer Aufbau der Geometrie}}
*[[Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden WS_11/12]]
*[[Inzidenz im Raum WS_11/12)]]
*[[Strecken WS_11/12]]
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal WS_11/12]]
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch WS_11/12]]
*[[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS_11/12]]
*[[Winkelmessung WS_11/12]]
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende WS_11/12]]
*[[Dreieckskongruenz WS_11/12]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium WS_11/12]]
*[[Der schwache Außenwinkelsatz WS_11/12]]
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks WS_11/12]]
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade WS_11/12]]
*[[Umkehrung des Stufenwinkelsatzes WS_11/12]]
*[[Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom WS_11/12]]
*Sätze über Dreiecke
:*[[Innenwinkelsatz für Dreiecke und starker Außenwinkelsatz WS_11/12]]
:*Dreieckstransversalen
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks WS_11/12]]
::*[[Die Höhen eines Dreiecks WS_11/12]]
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS_11/12]]
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks WS_11/12]]
*Sätze am Kreis
:*[[Der Satz des Thales WS_11/12]]
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck WS_11/12]]
:*[[Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS_11/12]]
==Vorbereitung auf die Klausur zur ATP am 10.02.12==
:*[[Die Kraft der Raute]]
:*[[Abstände und Parallelität]]

== Videos ==
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]

== Üben... Üben... Üben...==
[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]und Wintersemester 2011/12

== Teilprüfungsklausuren der letzten Semester ==
{{pdf|TP_Modul2_Sommersemester_10_L.pdf|Teilprüfungsklausur SoSe 10 mit Lösungen}} 
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung_Lösungen.pdf|Teilprüfungsklausur WS 10/11 mit Lösungen}} 
{{pdf|Klausur_zur_Teilprüfung_SS_11_Loesungen.pdf|Teilprüfungsklausur SoSe 11 mit Lösungen}} 
{{pdf|Klausur_Einführung_Geometrie_WS_11_12.pdf|Teilprüfungsklausur WS 11/12 ohne Lösungen}} 
{{pdf|Klausur_Einführung_Geometrie_WS_11_12_Lösungen.pdf|Teilprüfungsklausur WS 11/12 mit Lösungen}}
|}

= Elementargeometrie =
== Literatur zur Elementargeometrie==
*[[Literatur zur Elementargeometrie]]
==Offene Fragen zur Elemetargeometrie==

==Übungsaufgaben und Kontrollfragen zur EG==
*[[Übungsaufgaben EG 2011/12]]
== Skript und mehr ==
=== Kongruenzgeometrie===
*[[Bewegungen (2011/12)]]
*[[Geradenspiegelungen (2011/12)]]
*[[Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgerade (2011/12)]]
*[[Die Geradenspiegelung als Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden (2011/12)]]
*[[Drehungen, Drehungen als Bewegungen mit genau einem Fixpunkt (2011/12)]]
*[[Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen]]
*[[Drehungen als Geradenspiegelungen (2011/12)]]
*[[Verschiebungen (2011/12)]]
*[[Klassifizierung aller Bewegungen (2011/12)]]
*[[Schubspiegelung (2011/12)]]
===Ähnlichkeitsgeometrie===
*[[Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12)]]
*[[Strahlensätze (2011/12)]]
*[[Zentrische Streckungen (2011/12)]]

===Satzgruppe des Pythagoras===
*[[Die Satzgruppe des Pythagoras]]
===Spezialthema: Parabeln===

= Didaktik der Geometrie=
* [[Hinweise und Literatur]]
===Kapitel 1: Erarbeiten geometrischer Begriffe===
* [[Erarbeitung der Begriffe Kreis und Prisma (15.04.2011)]]
* [[Erarbeitung der Begriffe senkrecht, Pyramide, Geradenspiegelung (29.04.2011)]]
* [[Arten der Begriffserarbeitung (06.05.2011)]]
* [[Haus der Vierecke (15.07.2011)]]

===Kapitel 2: Argumentieren, Begründen, Beweisen===
*[[Der_Satz_des_Thales_(SoSe_11)]]
*[[Zentri-Peripheriewinkelsatz]]
*[[Satz des Pythagoras]]
*[[Satz über die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten im Tangentenviereck]]
*[[Höhensatz mit "Beweisapplikation"]]
*[[Kathetensatz mit PPT-"Beweis"]]
*[["Beweisidee" Satz des Tangentensatzes]]

===Kapitel 3: Konstruieren===
* [[Konstruktion eines Sehnen-Tangenten-Viereck]]
* [[Äußere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]
* [[Innere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]

= Gastwiki =
*[[Didaktik 08 - 10]]
*[[AK_E-Learning]]

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==Hinweise==
===Einführung in die Geometrie im Sommersemester 12===

* Die Vorlesung für die Sekundarstufe wird von Frau Buchner und mir gemeinsam gehalten.
* Wir werden Rechner und ggf. Twitter in der Vorlesung einsetzen.
* Es wird eine Zusatzübung von mir mit den Convertibles geben.
* Nach dem Motto "Nur in einem gesunden Körper wohnt ein gesunde Geist" werden wir eine Spezialveranstaltung "Selbstverteidigung und Selbstbewußtsein" anbieten (Schnirch, Gieding). Für diese Übung konnen wir Herrn Charly Gärtner (ehemaliger PH Student und Sportlehre)vom Jukadio gewinnen. Sinn dieser Veranstaltung ist auch, besser mit Ihnen ins Gespräch zu kommen. Zeiten werden in den Semesterferien präzisiert. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:44, 10. Feb. 2012 (CET)

Hinweise zur ATP am nächsten Freitag finden Sie unter dem neuen Punkt 
Vorbereitung auf die Klausur zur ATP am 10.02.12 --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:02, 6. Feb. 2012 (CET)

 Hat eigentlich jemand alle Sätze, Lemminge und Korallen :-), die wir kennengelernt und erarbeitet haben, als Fleißarbeit gesammelt? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:46, 28. Jan. 2012 (CET) 

 Hallo alle zusammen nochmal, wollte hier noch sagen, war eine super faire Clausur(eher locker zu schaffen) und es gab wirklich viele Tipps vorab(dank allen nochmal), vielliecht haben wir es geschafft und es haben alle bestanden. LG und das was für mich erst mal in Mathe. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 15:19, 10. Feb. 2012 (CET)

Wie bzw. wann bekommt man denn Bescheid? Ich hoffe so schnell wie möglich;).Das Warten ist immer das Schlimmste! LG--[[Benutzer:A millie|A millie]] 15:57, 10. Feb. 2012 (CET)

Raumwechsel: Die Mi.-Übung bei Frau Bertelli findet ab sofort im Raum A106 statt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 26. Jan. 2012 (CET) 

'''Veranstaltungsangebot:'''

wann und wo bekommen wir denn die ergebnisse der klausur

=== Einführung in die Geometrie ===

Vorlesungen:

{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Di. || 14-16 Uhr ||H002 ||(Spannagel)
|-
| Mi. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Bertelli)
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Buchner)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 08-10 Uhr ||A106 ||(Henrich)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Smuda)
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||A108 ||(Gaß)
|-
| Do. || 08-10 Uhr ||A106 ||(Zähringer)
|-
| Do. || 16-18 Uhr ||A108 ||(Jäckle)

|}

=== Elementargeometrie ===
Vorlesung:

Di. 10 - 12 Uhr H002

Übungen:

Übung 1: Do 10 - 12 Uhr A236

Übung 2: Do 14 - 16 Uhr A236

=== Didaktik der Geometrie===
Die Veranstaltung Didaktik der Geometrie findet nur im Sommersemester statt.

==Hier gibt's was Neues zur "Einführung in die Geometrie"==
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([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Einführung in die Geometrie"==
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==Hier gibt's was Neues zur "Elementargeometrie"==
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([[Neuigkeiten zu Elementargeometrie|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Elementargeometrie"==
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([[Diskussionen zu Elementargeometrie|mehr]]) ([[Statistik]])

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[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe 11)

2011-06-18T12:10:16Z

Liviana: /* Definition IV.3: (konvexe Punktmenge) */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

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|}

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ...... in zwei ...... eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ...... in zwei ...... eingeteilt.

::Eine Gerade ist ein ...dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein ...dimensionales Objekt.

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein ...dimensionales geometrisches Objekt. 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein ...dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ..... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ..... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \epsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \epsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \epsilon</math>. Die Menge <math>\ \epsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ..... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \epsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ..... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| ... \operatorname{ergaenzen Sie selbst ...} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| ... \operatorname{ergaenzen Sie selbst ...} \}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt: 
::Ergänzen Sie selbst.

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

Def. IV.3 ist doch schon die Def.: Halbraum. bitte korrigieren! danke schön --[[Benutzer:Liviana|liviana]] 14:10, 18. Jun. 2011 (CEST)

===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-06-17T16:55:34Z

Liviana: /* Satz I.5: */

=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum ===
==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ====
Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

=====Axiom I/0=====

::Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====

::Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====

::Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====

::Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

=====Axiom I/4=====

::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST)

=====Axiom I/5=====

::Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I/6=====

::Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Definition I/6: (komplanar)=====

::Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Axiom I/7=====

::Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

==== Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome ====
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
::Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
::Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
::In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I/9: (windschief )=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
::Zwei Ebenen ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====
=====Satz I.5:=====
::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

wo ist satz I.4????--[[Benutzer:Liviana|liviana]] 18:55, 17. Jun. 2011 (CEST)

=====Satz I.6:=====
::Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Inzidenz im Raum (SoSe 11)

2011-06-17T16:39:41Z

Liviana: /* Axiom I/4 */

=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum ===
==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ====
Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

=====Axiom I/0=====

::Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====

::Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====

::Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====

::Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

=====Axiom I/4=====

::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST)

=====Axiom I/5=====

::Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I/6=====

::Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Definition I/6: (komplanar)=====

::Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Axiom I/7=====

::Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

==== Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome ====
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
::Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
::Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
::In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I/9: (windschief )=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
::Zwei Ebenen ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====
=====Satz I.5:=====
::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
::Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden SoSe 11

2011-06-13T12:52:35Z

Liviana:

</gallery>=== Was ist ein Punkt? ===

{| style="border-spacing:0;"
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| ''„Man muss jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen können.“''

''David Hilbert (1862-1943)''
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| <div align="right"></div>

|}
Auf die Frage, was denn eine Strecke sei, erhält man oft zur Antwort, es handle sich dabei um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Strecken sind offenbar durch Punkte bestimmt. Was aber ist ein Punkt? Diese Frage bewegte bereits im Altertum die Mathematiker, die damals zumeist auch Philosophen waren:

{| style="border-spacing:0;"
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Plato:

''427 – 347 v.Chr.''

''„Ein Punkt ist der Anfang einer Linie.“''

|-
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Aristoteles:

''384 – 322 v.Chr.''

''„Ein Punkt ist eine unteilbare Einheit, die eine Position besitzt.''“

|-
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Euklid:

''um 365 bis ca. 300 v. Chr.''

''„Was keine Teile hat ist ein Punkt.''“

|}
Bei allem Respekt vor den Leistungen dieser Herren, ihre „Definitionen“ des Begriffes Punkt schaffen dem Erkenntnissuchenden nur für einen kurzen Moment Erleichterung. Danach quält ihn erneut die Gewissheit, eigentlich nichts zu wissen.

* Was ist eine Linie?
* Was ist der Anfang von etwas von dem ich nicht weiß, was es ist?
* Was meint Aristoteles mit seiner Einheit?
* Wenn ich schon nicht weiß, was mit Einheit gemeint ist, wie soll ich dann begreifen, was eine unteilbare Einheit ist?
* Wer oder was zum Teufel hat keine Teile?

Betrachten wir doch einfach solche Objekte, mit deren Definition wir „weniger“ Schwierigkeiten haben.

* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit 4 gleichlangen Seiten.
* Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwinkel.
* Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit zwei Paaren paralleler Seiten.
* Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
* Ein Viereck ist die Vereinigungsmenge von vier Strecken, wobei je drei der Endpunkte dieser Strecken nicht auf ein und derselben Geraden liegen.

Aus Gründen der Vollständigkeit wäre jetzt zu klären, was eine Strecke ist. Damit sind wir auf demselben Stand, wie zu Anfang dieser Ausführungen. Für den Begriff der Strecke brauchen wir wieder den Begriff des Punktes. Die Herren Plato, Aristoteles und Euklid waren diesbezüglich sehr bemüht aber letztlich nicht wirklich hilfreich. Irgendwann muss die Sache einmal „auf den Punkt gebracht“ werden:

Punkte, Geraden und Ebenen lassen sich nicht wie Quadrate und Kreise definieren. Trotzdem haben wir gewisse Vorstellungen von ihren Eigenschaften: ''Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.'' In diesem Sinne erfahren die abstrakten Grundbegriffe eine Präzisierung. Beweisen kann man die Eigenschaften der Grundobjekte freilich nicht. Es sind unbeweisbare Grundtatsachen bzw. Grundannahmen. Der Mathematiker formuliert sie als Forderungen und nennt diese dann ''Axiome''.

=== Axiome und undefinierte Grundbegriffe ===
Die Bezeichnung Geometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie Erdvermessung. Geometrie kann damit zunächst als die Lehre vom uns umgebenden Anschauungsraum verstanden werden.

Schon wieder so ein verwaschener Begriff: Anschauung. Da legen wir doch gleich noch eins nach: ''gesunder Menschenverstand''. Dann war noch vom Raum die Rede und schon ergibt sich eine Assoziationskette: Johannes Kepler, Galileo Galilei, „Und sie bewegt sich doch!“, Inquisition, Rehabilitation 1992.

Eine gewisse Skepsis erscheint im Zusammenhang mit ''Anschauung'' angebracht. Damit sind wir in der Zwickmühle. Zum einen müssen wir unsere Grundannahmen der Anschauung entnehmen. Zum anderen wissen wir um damit verbundene eventuelle Unzulänglichkeiten. Die Geometer versuchen die Unabwägbarkeiten zu minimieren:

* Als Axiome werden nur sehr einfache, plausible Aussagen zugelassen, von deren Richtigkeit man mal wohl „hundertprozentig“ überzeugt sein kann.
* Die Anzahl der unbewiesenen Grundannahmen wird so gering wie möglich gewählt. Gleiches gilt für die undefinierten Grundbegriffe.
* Alle weiteren Elemente der Geometrie werden rein deduktiv aus den Axiomen und Grundbegriffen abgeleitet.

Ein Schema soll diesen Ansatz demonstrieren:

[[Bild:Axiomatik_00.jpg]]

Euklid kommt die Ehre zu, als erster auf diese Weise die Geometrie des Anschauungsraumes begründet zu haben. Sich vor den Leistungen Euklids verneigend spricht man von Euklidische Geometrie.

Bis zu einer im modernen Sinne durchgängig korrekten axiomatischen Begründung der Euklidischen Geometrie sollten seit Euklid jedoch noch 2300 Jahre vergehen. 1899 stellte David Hilbert in seiner Arbeit ''„Grundlagen der Geometrie“'' das erste logisch völlig exakte Axiomensystem der Euklidischen Geometrie auf. Die „Grundlagen der Geometrie“ waren im übrigen eine Festschrift aus Anlass der Enthüllung des Gauß‑Weber-Denkmals in Göttingen.

Besser als der Meister kann man die Dinge wohl nicht erläutern:

''„Erklärung:Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen. Die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit A, B, C…;die Dinge des zweiten Systems nennen wir Geraden und bezeichnen sie mit a, b, c…;die Dinge des dritten Systems nennen wir Ebenen und bezeichnen sie mit <math>\alpha, \beta, \gamma, ...</math>; …Wir denken die Punkte Geraden und Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie ‚liegen‘, ‚zwischen‘, ‚parallel‘, ‚kongruent‘, ‚stetig‘; die genaue und vollständige Beschreibung erfolgt durch die Axiome der Geometrie.“''

''(Hilbert, S. 2)''

Auch wenn der Anschauungsraum bei der Formulierung der Axiome und der Festlegung der undefinierten Grundbegriffe Pate stand, löst sich die Theorie dann von der Anschauung. Geometrie wird zu einem eigenständigen komplexen System. In gewisser Weise haben die Mathematiker „Gott gespielt“ und eine eigene Welt erschaffen. Diese Welt ist relativ überschaubar. Sie beruht auf 5 Axiomengruppen und beinhaltet alles, was man rein deduktiv aus diesen mit den Mitteln der mathematischen Logik ableiten kann.
=== Geometrie in der Ebene ===
==== Punkte und Geraden ====
Wir gehen von einer nichtleeren Menge <math> \ \Epsilon</math> aus, die Ebene genannt wird. Die Elemente von <math> \ \Epsilon</math> heißen Punkte und werden mit <math> \ A, B, C</math>… bezeichnet. Ferner möge eine weitere nichtleere Menge <math>\ G</math> existieren, deren Elemente wir Geraden nennen und mit <math>\ a, b, c</math>… bezeichnen wollen.
Unsere erste Vorstellung von Geraden ist, dass diese aus Punkten bestehen:

=====AXIOM I/0=====
::Geraden sind Punktmengen.

Die weiteren Eigenschaften von Punkten und Geraden werden durch die folgenden (Inzidenz)Axiome festgelegt.

=====AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)=====
::Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

Axiom I/1 liefert eine weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden. Eine Gerade ''g'', die durch zwei verschiedene Punkte ''A'' und ''B ''eindeutig bestimmt ist wird auch mit ''AB'' bezeichnet.

=====AXIOM I/2=====
::Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

Für die weitere Formulierung von Axiomen ist es sinnvoll, den Begriff ''kollinear'' zu definieren.

=====Definition I/2: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====AXIOM I/3=====
::Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

==== Folgerungen aus den Axiomen der ebenen Inzidenzgeometrie ====
Viel wurde noch nicht axiomatisch gefordert. Dementsprechend werden wir auch noch nicht viele interessante Aussagen aus den Axiomen ableiten können. Wegen der geringen Anzahl von Axiomen ist es jedoch recht einfach, die Idee des axiomatischen Arbeitens zu verdeutlichen.

Folgende Sätze lassen sich aus den Axiomen I/0 bis I/3 ableiten.

=====Satz I.1=====
::Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Beweis von Satz I.1=====

:Voraussetzung: Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden, die nicht identisch sind.

:Fall 1:

:Die Geraden ''g'' und ''h'' haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

:Fall 2:

:Die Geraden ''g'' und ''h'' schneiden sich in einem Punkt ''P''.

:Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.

:Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden ''g'' und ''h ''einen weiteren von ''P'' verschiedenen Punkt ''Q'' gemeinsam haben.

:Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte ''P'' und ''Q'' verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.

:Die Gerade ''g'' geht durch ''P ''und ''Q'' und die Gerade ''h ''geht durch ''P ''und ''Q''. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch ''P'' und ''Q'' geht, müssen die beiden Geraden ''g ''und ''h'' identisch sein. Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass ''g ''und ''h'' nicht identisch sind.

:Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt ''Q'' der beiden Geraden ''g'' und ''h'' existiert, ist damit zu verwerfen.

Die Aussage des Satzes I.1 ist eine Implikation, d.h. sie hat die folgende Form:Wenn Aussage ''A'' so Aussage ''B''.

Denselben Wahrheitswert wie eine Implikation hat die sogenannte Kontraposition der Implikation:

Wenn nicht Aussage ''B'' so nicht Aussage ''A''.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
::Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
::Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

Da eine Implikation und ihre Kontraposition im Wahrheitsgehalt übereinstimmen und Satz I.2 die Kontraposition von Satz I.1 ist, bräuchten wir nach dem Beweis von Satz I.1 den Satz I.2 nicht mehr zu beweisen.

Zur Übung und auch aus dem Grund, dass man Satz I.2 direkt beweisen kann, soll Satz I.2 noch einmal bewiesen werden.

=====Beweis von Satz I.2=====

:Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden.

:Voraussetzung: ''g'' und ''h'' haben mehr als einen Punkt gemeinsam.

:Es seien dieses die Punkte ''P'' und ''Q''.

:Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden ''g'' und ''h'' identisch sind.

:Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
::Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Beweis von Satz I.3=====
versuchen Sie es selbst ... .

[[Category:Einführung_Geometrie]]

zz: Es existieren mindestens 3 paarweise verschiedene Graden

nach Axiom I/3 existieren A,B,C mit nkoll (A,B,C)

g := AB, h := BC, t := CA,

nach AI/1 sind diese Graden g,h,t eindeutig und durch die Verschiedenheit der Punkte auch verschieden.

Anzumerken wäre noch, dass die Punkte A,B,C p.w. verschieden sind, aber das ist trivial.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 19:53, 17. Mai 2011 (CEST)

Ist das wirklich trivial? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:34, 17. Mai 2011 (CEST)

Wären sie nicht p.w. verschieden, dann wären zwei Punkte (o.B.d.A seien es A,B) gleich =>(nach Axiom I/1) es gibt eine Grade ,die die Punkte A, C beeinhaltet. => koll(A,B,C) Widerspruch => sie sind p.w. verschieden. Aber was ist schon trivial?^^--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 02:06, 19. Mai 2011 (CEST)

Darüber habe ich mir (aus unerfindlichen Gründen oft beim S-Bahn fahren, da hat man ja Zeit) lange den Kopf zerbrochen, denn das oben wäre eigentlich ein direkter Beweis und irgendwie "zu" trivial.
Ist es nicht klug das Ding irgendwie durch einen Widerspruch zu beweisen?

Ich versuche mich mal:

Vor.: es ex. 3 paarweise verschiedene Punkte A, B, C für die gilt nkoll(A, B, C) 
Behaupt.: es existieren min. 3 paarweise verschiedene Geraden 
Annahme: Es existieren weniger als 3 paarweise verschieden Geraden 

1) Gerade AB - aus A I/1 und Voraussetzung 
2) Gerade BC - aus A I/1 und Voraussetzung 
3) Gerade AC - aus A I/1 und Voraussetzung 
4) Gerade AB ist identisch zu BC - Annahme (Anmerkung: Hier könnte man auch zwei andere Geraden nehmen, ist egal) 
5) A, B und C sind kollinear => Wiederspruch zur Voraussetzung (paarweise verschiedene Punkte) 
6) Annahme ist zu verwerfen

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:36, 20. Mai 2011 (CEST)
kann das bitte ein dozent oder tutor überprüfen??? --[[Benutzer:Liviana|liviana]] 14:51, 13. Jun. 2011 (CEST)

Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden SoSe 11

2011-06-13T12:51:16Z

Liviana:

<gallery>
Datei:M63.jpg|[[M63]]
Datei:Mona Lisa.jpg|[[Mona Lisa]]
Datei:Truite arc-en-ciel.jpg|Eine [[Forelle ]]
</gallery>
<gallery>
Datei:M63.jpg|[[M63]]
Datei:Mona Lisa.jpg|[[Mona Lisa]]
Datei:Truite arc-en-ciel.jpg|Eine [[Forelle ]]
</gallery>=== Was ist ein Punkt? ===

{| style="border-spacing:0;"
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| ''„Man muss jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen können.“''

''David Hilbert (1862-1943)''
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| <div align="right"></div>

|}
Auf die Frage, was denn eine Strecke sei, erhält man oft zur Antwort, es handle sich dabei um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Strecken sind offenbar durch Punkte bestimmt. Was aber ist ein Punkt? Diese Frage bewegte bereits im Altertum die Mathematiker, die damals zumeist auch Philosophen waren:

{| style="border-spacing:0;"
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Plato:

''427 – 347 v.Chr.''

''„Ein Punkt ist der Anfang einer Linie.“''

|-
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Aristoteles:

''384 – 322 v.Chr.''

''„Ein Punkt ist eine unteilbare Einheit, die eine Position besitzt.''“

|-
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"|
| style="border:none;padding-top:0cm;padding-bottom:0cm;padding-left:0.123cm;padding-right:0.123cm;"| Euklid:

''um 365 bis ca. 300 v. Chr.''

''„Was keine Teile hat ist ein Punkt.''“

|}
Bei allem Respekt vor den Leistungen dieser Herren, ihre „Definitionen“ des Begriffes Punkt schaffen dem Erkenntnissuchenden nur für einen kurzen Moment Erleichterung. Danach quält ihn erneut die Gewissheit, eigentlich nichts zu wissen.

* Was ist eine Linie?
* Was ist der Anfang von etwas von dem ich nicht weiß, was es ist?
* Was meint Aristoteles mit seiner Einheit?
* Wenn ich schon nicht weiß, was mit Einheit gemeint ist, wie soll ich dann begreifen, was eine unteilbare Einheit ist?
* Wer oder was zum Teufel hat keine Teile?

Betrachten wir doch einfach solche Objekte, mit deren Definition wir „weniger“ Schwierigkeiten haben.

* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit 4 gleichlangen Seiten.
* Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwinkel.
* Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit zwei Paaren paralleler Seiten.
* Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
* Ein Viereck ist die Vereinigungsmenge von vier Strecken, wobei je drei der Endpunkte dieser Strecken nicht auf ein und derselben Geraden liegen.

Aus Gründen der Vollständigkeit wäre jetzt zu klären, was eine Strecke ist. Damit sind wir auf demselben Stand, wie zu Anfang dieser Ausführungen. Für den Begriff der Strecke brauchen wir wieder den Begriff des Punktes. Die Herren Plato, Aristoteles und Euklid waren diesbezüglich sehr bemüht aber letztlich nicht wirklich hilfreich. Irgendwann muss die Sache einmal „auf den Punkt gebracht“ werden:

Punkte, Geraden und Ebenen lassen sich nicht wie Quadrate und Kreise definieren. Trotzdem haben wir gewisse Vorstellungen von ihren Eigenschaften: ''Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.'' In diesem Sinne erfahren die abstrakten Grundbegriffe eine Präzisierung. Beweisen kann man die Eigenschaften der Grundobjekte freilich nicht. Es sind unbeweisbare Grundtatsachen bzw. Grundannahmen. Der Mathematiker formuliert sie als Forderungen und nennt diese dann ''Axiome''.

=== Axiome und undefinierte Grundbegriffe ===
Die Bezeichnung Geometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie Erdvermessung. Geometrie kann damit zunächst als die Lehre vom uns umgebenden Anschauungsraum verstanden werden.

Schon wieder so ein verwaschener Begriff: Anschauung. Da legen wir doch gleich noch eins nach: ''gesunder Menschenverstand''. Dann war noch vom Raum die Rede und schon ergibt sich eine Assoziationskette: Johannes Kepler, Galileo Galilei, „Und sie bewegt sich doch!“, Inquisition, Rehabilitation 1992.

Eine gewisse Skepsis erscheint im Zusammenhang mit ''Anschauung'' angebracht. Damit sind wir in der Zwickmühle. Zum einen müssen wir unsere Grundannahmen der Anschauung entnehmen. Zum anderen wissen wir um damit verbundene eventuelle Unzulänglichkeiten. Die Geometer versuchen die Unabwägbarkeiten zu minimieren:

* Als Axiome werden nur sehr einfache, plausible Aussagen zugelassen, von deren Richtigkeit man mal wohl „hundertprozentig“ überzeugt sein kann.
* Die Anzahl der unbewiesenen Grundannahmen wird so gering wie möglich gewählt. Gleiches gilt für die undefinierten Grundbegriffe.
* Alle weiteren Elemente der Geometrie werden rein deduktiv aus den Axiomen und Grundbegriffen abgeleitet.

Ein Schema soll diesen Ansatz demonstrieren:

[[Bild:Axiomatik_00.jpg]]

Euklid kommt die Ehre zu, als erster auf diese Weise die Geometrie des Anschauungsraumes begründet zu haben. Sich vor den Leistungen Euklids verneigend spricht man von Euklidische Geometrie.

Bis zu einer im modernen Sinne durchgängig korrekten axiomatischen Begründung der Euklidischen Geometrie sollten seit Euklid jedoch noch 2300 Jahre vergehen. 1899 stellte David Hilbert in seiner Arbeit ''„Grundlagen der Geometrie“'' das erste logisch völlig exakte Axiomensystem der Euklidischen Geometrie auf. Die „Grundlagen der Geometrie“ waren im übrigen eine Festschrift aus Anlass der Enthüllung des Gauß‑Weber-Denkmals in Göttingen.

Besser als der Meister kann man die Dinge wohl nicht erläutern:

''„Erklärung:Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen. Die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit A, B, C…;die Dinge des zweiten Systems nennen wir Geraden und bezeichnen sie mit a, b, c…;die Dinge des dritten Systems nennen wir Ebenen und bezeichnen sie mit <math>\alpha, \beta, \gamma, ...</math>; …Wir denken die Punkte Geraden und Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie ‚liegen‘, ‚zwischen‘, ‚parallel‘, ‚kongruent‘, ‚stetig‘; die genaue und vollständige Beschreibung erfolgt durch die Axiome der Geometrie.“''

''(Hilbert, S. 2)''

Auch wenn der Anschauungsraum bei der Formulierung der Axiome und der Festlegung der undefinierten Grundbegriffe Pate stand, löst sich die Theorie dann von der Anschauung. Geometrie wird zu einem eigenständigen komplexen System. In gewisser Weise haben die Mathematiker „Gott gespielt“ und eine eigene Welt erschaffen. Diese Welt ist relativ überschaubar. Sie beruht auf 5 Axiomengruppen und beinhaltet alles, was man rein deduktiv aus diesen mit den Mitteln der mathematischen Logik ableiten kann.
=== Geometrie in der Ebene ===
==== Punkte und Geraden ====
Wir gehen von einer nichtleeren Menge <math> \ \Epsilon</math> aus, die Ebene genannt wird. Die Elemente von <math> \ \Epsilon</math> heißen Punkte und werden mit <math> \ A, B, C</math>… bezeichnet. Ferner möge eine weitere nichtleere Menge <math>\ G</math> existieren, deren Elemente wir Geraden nennen und mit <math>\ a, b, c</math>… bezeichnen wollen.
Unsere erste Vorstellung von Geraden ist, dass diese aus Punkten bestehen:

=====AXIOM I/0=====
::Geraden sind Punktmengen.

Die weiteren Eigenschaften von Punkten und Geraden werden durch die folgenden (Inzidenz)Axiome festgelegt.

=====AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)=====
::Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

Axiom I/1 liefert eine weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden. Eine Gerade ''g'', die durch zwei verschiedene Punkte ''A'' und ''B ''eindeutig bestimmt ist wird auch mit ''AB'' bezeichnet.

=====AXIOM I/2=====
::Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

Für die weitere Formulierung von Axiomen ist es sinnvoll, den Begriff ''kollinear'' zu definieren.

=====Definition I/2: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====AXIOM I/3=====
::Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

==== Folgerungen aus den Axiomen der ebenen Inzidenzgeometrie ====
Viel wurde noch nicht axiomatisch gefordert. Dementsprechend werden wir auch noch nicht viele interessante Aussagen aus den Axiomen ableiten können. Wegen der geringen Anzahl von Axiomen ist es jedoch recht einfach, die Idee des axiomatischen Arbeitens zu verdeutlichen.

Folgende Sätze lassen sich aus den Axiomen I/0 bis I/3 ableiten.

=====Satz I.1=====
::Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Beweis von Satz I.1=====

:Voraussetzung: Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden, die nicht identisch sind.

:Fall 1:

:Die Geraden ''g'' und ''h'' haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

:Fall 2:

:Die Geraden ''g'' und ''h'' schneiden sich in einem Punkt ''P''.

:Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.

:Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden ''g'' und ''h ''einen weiteren von ''P'' verschiedenen Punkt ''Q'' gemeinsam haben.

:Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte ''P'' und ''Q'' verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.

:Die Gerade ''g'' geht durch ''P ''und ''Q'' und die Gerade ''h ''geht durch ''P ''und ''Q''. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch ''P'' und ''Q'' geht, müssen die beiden Geraden ''g ''und ''h'' identisch sein. Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass ''g ''und ''h'' nicht identisch sind.

:Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt ''Q'' der beiden Geraden ''g'' und ''h'' existiert, ist damit zu verwerfen.

Die Aussage des Satzes I.1 ist eine Implikation, d.h. sie hat die folgende Form:Wenn Aussage ''A'' so Aussage ''B''.

Denselben Wahrheitswert wie eine Implikation hat die sogenannte Kontraposition der Implikation:

Wenn nicht Aussage ''B'' so nicht Aussage ''A''.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
::Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
::Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

Da eine Implikation und ihre Kontraposition im Wahrheitsgehalt übereinstimmen und Satz I.2 die Kontraposition von Satz I.1 ist, bräuchten wir nach dem Beweis von Satz I.1 den Satz I.2 nicht mehr zu beweisen.

Zur Übung und auch aus dem Grund, dass man Satz I.2 direkt beweisen kann, soll Satz I.2 noch einmal bewiesen werden.

=====Beweis von Satz I.2=====

:Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden.

:Voraussetzung: ''g'' und ''h'' haben mehr als einen Punkt gemeinsam.

:Es seien dieses die Punkte ''P'' und ''Q''.

:Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden ''g'' und ''h'' identisch sind.

:Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
::Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Beweis von Satz I.3=====
versuchen Sie es selbst ... .

[[Category:Einführung_Geometrie]]

zz: Es existieren mindestens 3 paarweise verschiedene Graden

nach Axiom I/3 existieren A,B,C mit nkoll (A,B,C)

g := AB, h := BC, t := CA,

nach AI/1 sind diese Graden g,h,t eindeutig und durch die Verschiedenheit der Punkte auch verschieden.

Anzumerken wäre noch, dass die Punkte A,B,C p.w. verschieden sind, aber das ist trivial.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 19:53, 17. Mai 2011 (CEST)

Ist das wirklich trivial? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:34, 17. Mai 2011 (CEST)

Wären sie nicht p.w. verschieden, dann wären zwei Punkte (o.B.d.A seien es A,B) gleich =>(nach Axiom I/1) es gibt eine Grade ,die die Punkte A, C beeinhaltet. => koll(A,B,C) Widerspruch => sie sind p.w. verschieden. Aber was ist schon trivial?^^--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 02:06, 19. Mai 2011 (CEST)

Darüber habe ich mir (aus unerfindlichen Gründen oft beim S-Bahn fahren, da hat man ja Zeit) lange den Kopf zerbrochen, denn das oben wäre eigentlich ein direkter Beweis und irgendwie "zu" trivial.
Ist es nicht klug das Ding irgendwie durch einen Widerspruch zu beweisen?

Ich versuche mich mal:

Vor.: es ex. 3 paarweise verschiedene Punkte A, B, C für die gilt nkoll(A, B, C) 
Behaupt.: es existieren min. 3 paarweise verschiedene Geraden 
Annahme: Es existieren weniger als 3 paarweise verschieden Geraden 

1) Gerade AB - aus A I/1 und Voraussetzung 
2) Gerade BC - aus A I/1 und Voraussetzung 
3) Gerade AC - aus A I/1 und Voraussetzung 
4) Gerade AB ist identisch zu BC - Annahme (Anmerkung: Hier könnte man auch zwei andere Geraden nehmen, ist egal) 
5) A, B und C sind kollinear => Wiederspruch zur Voraussetzung (paarweise verschiedene Punkte) 
6) Annahme ist zu verwerfen

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:36, 20. Mai 2011 (CEST)
kann das bitte ein dozent oder tutor überprüfen??? --[[Benutzer:Liviana|liviana]] 14:51, 13. Jun. 2011 (CEST)