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GeometrieUndUnterrichtSS2019 09

2019-07-03T13:39:18Z

LukasZ: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2). Beantworten Sie für sich die folgenden Fragen/Aufgaben.

===Fragen zu den Abschnitten 1 und 2===

# Welche Schwierigkeiten oder Anforderungen bestehen beim ''Beweisen und Argumentieren'' für Schülerinnen und Schüler?
# Was halten Sie für die größte Anforderungen? Was war für Sie die überraschendste Schwierigkeit?

===Fragen zu den Abschnitten 3, 4 und 5===

# Welcher Ausschnitt aus den empirischen Daten (Aussage in einem SuS-Dialog, Auszug aus einem SuS-Text, …) war für Sie überraschend oder besonders interessant?
# Wählen Sie einen beliebigen Beweis aus der Geometrie aus und bereiten Sie ihn in der im Artikel vorgestellten Strukur (Figure 8) auf.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1O7KJG8vkl96hMeeLDUVe0kClboEOehkA5t2HKPuRwIc/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 28.06.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrages wurden besprochen und das im zu lesenden Paper erörterte "scaffolding" erörtert. Anschließend wurde dieses am konkreten Beispiel des Beweises des Satz des Thales aufzubereitet.

=== Besprechung des Vorbereitungsauftrages ===

Zur Vorbereitung der Sitzung war das Paper „Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre“ (Prediger & Hein, 2017) zu lesen. Zu Beginn der Sitzung wurde dieser besprochen und die einzelnen Kapitel bzw. Textblöcke analysiert.
Ziel des Papers war es, sich mit Schwierigkeiten von SuS auseinanderzusetzen, die bei(m Aufbau von) Argumentationen bzw. Beweisen in der Mathematik auftreten können und wie diese behoben werden könnten. Diese wurden an der Tafel festgehalten:
[[Datei:Toulmin's argumentation structure german.png|thumb|Argumentstruktur nach Toulmin]]
==== Probleme bei Beweisaufgaben im Unterricht ====

* Unterscheidung von Prämissen, Argument, Argument in Anwendung, Schlussfolgerung
* Einsichtigkeit der (Allgemein)Gültigkeit von Aussagen, sowie die Möglichkeiten der Anwendung zu begreifen und diese „parat zu haben“
* Konkrete Beispiele (Experimentelles Beweisen) als nicht-ausreichend akzeptieren
* Fehlendes Beweisbedürfnis
* Wenn-dann („if-then“) einsehen („Understanding their structure is crucial for avoiding circularity”)
* Prämissen zur Anwendung explizit prüfen (Im Alltag würden diese nur formuliert, falls die entsprechende Prämisse zutrifft)
* Mangelnde „sprachliche Bausteine“, um logische Strukturen/Abfolgen auszudrücken
* Inhaltlose Verwendung von „Worthülsen“, wie „Ohne Beschränkung der Allgemeinheit“, „Es sei…“, „Es gilt/ Es gelte“, da diese u.U. nicht begriffen wurden

Während in der Sitzung mehrere Forschungskonzepte genannt wurden, konzentrierte sich die Sitzung auf den Ansatz der Studie, welche im obigen Paper durchgeführt wurde. Dieser basierte auf „structural scaffolding“.
Dies hat den Ansatz kognitive Ansprüche zu entlasten und anschließend Vorgaben und Hilfen bezüglich der Struktur/Strukturfindung abzubauen, um den SuS den Aufbau, Inhalt und Struktur sowie Sprache eines (mathematischen) Beweises näherzubringen. Als Beispiel wurden Lückentexte genannt, bei denen zuerst nur noch wichtige Argumente einzusetzen sind, allerdings im weiteren Verlauf die Lücken stetig vergrößert werden.
Zur Abfolge der Argumentation in Abb.1 wurde diskutiert, ob diese bei komplexeren Beweisen durch ihre zwangsläufig rekursive Struktur (Für die eigentliche Aussage müssen ggf. innerhalb des Beweises zunächst andere Aussagen gezeigt werden) nicht zu uneinsichtig für SuS sein dürften. Das Ergebnis war, dass man sich stets überlegen müsse, welche Beweise sich überhaupt für die Methode eignen und an welcher Stelle der Schullaufbahn das scaffolding idealerweise eingesetzt werden sollte. Letztlich sei es eher ein Werkzeug für Beweise mit wenigen Schritten.

==== Diskussion der Durchführung/Ergebnisse der Studie ====

[[Datei:Bsp argumentation angleTheorem german.png|thumb|Argumentation des Beispiels des Winkeltheorems]]
Die Grundidee des scaffolding wurde positiv wahrgenommen, ebenfalls das konkrete Beispiel, welches in der Studie verwendet wurde („vertically opposite angle theorem“), allerdings wurde hinterfragt, ob in der Realität die Anwendung tatsächlich gewinnbringend sein dürfte, da zumal auch von den Autoren aufgeführt wurde, dass die alleinige Behandlung dieses Beweises keine weitläufigen Aussagen zulasse (chapter 5 : „This study has methodological limitations that will still have to be overcome in later design experiment
cycles or future research. […] The teaching-learning
arrangement focused only on angle theorems; future research should extend to other topics”).
Ebenfalls wurde angemerkt, dass hier eventuell das Augenmerk zu stark auf der Struktur liege, sodass der eigentliche Beweis in den Hintergrund gerate. Allerdings sei aber auch das Lernziel die Fähigkeit Differenzierbarkeit von Prämisse, Argument usw., sowie die sprachliche Struktur und Beweisstruktur zu unterstützen.

Des Weiteren wurde bemerkt, dass die Verwechslung der SuS im Text zum Teil ihren Ursprung daran haben könnte, da innerhalb des Unterrichtes bei Abfragen bzw. Rückfragen an die SuS die Lehrkräfte häufig mit knappen Antworten zufrieden seien, sodass eine strukturierte Begründung seitens der SuS selten vorkomme (Bsp.: L: „Woran liegt das?“ S: „Pythagoras.“ L: „Richtig.“)
Auch wurde der Unterschied zwischen mündlicher und schriftlicher Beweisstruktur wahrgenommen, wobei dieser ggf. bei mündlicher Abfrage an der Unsicherheit, wie die Antworten aussehen sollen liegen könne, sowie der Tatsache, dass bei der schriftlichen Verfassung erst nach der mündlichen erfolgte, sodass eine Reflexion seitens der Sus erfolgen konnte.

=== Inputphase ===

In dieser Phase wurde an die vorherige Stunde angeknüpft, indem zunächst der Text zentral zusammengefasst und ggf. ergänzt wurde. Es wurden verschiedene Motivationen von Beweisen erörtert, wie Einsichtigkeit der Allgemeingültigkeit der Aussage oder diese zu veranschaulichen.
[[Datei:BsP Sehne Winkel.PNG|thumb|Beispiel einer unanschaulichen Aussage: Die Winkel α und β sind für einen beliebigen Punkt P und einer beliebigen Sehne g auf dem Kreis identisch. Diese Aussage wird eher anhand eines Beweises anstatt der bildlichen Veranschaulichung einsichtig.]]

Auch wurde Beweisen an sich differenziert betrachtet unter der Beweisfindung (Problem lösen) und der Beweisdarstellung (Bsp.: scaffolding), die beschreibend oder symbolisch erfolgen kann. Hierbei erfolgt die Beweisfindung eher als kreativer Prozess, der sprunghaft sein kann und auch Rückschläge in sich birgen kann, während die Darstellung lediglich die Präsentation des Ergebnisses ist, welche an das jeweilige Publikum angepasst wird und formalen Kriterien genügt.
Anschließend wurde der Idealtypischer Beweis-Prozess (nach Boero) vorgestellt, sowie wie dies bei SuS angewendet werden kann und welche Probleme auftreten können [ für Details: s. Sitzungsmaterialien]. Hier wurde betont, dass es wichtig sei, bei SuS ein Beweisbedürfnis zu wecken und diese zu motivieren.

=== Arbeitsphase ===
Abschließend zur Sitzung wurde das Gelernte genutzt, um den Beweis für den Satz des Thales für SuS aufzubereiten. Die erste Formulierung: „Alle Winkel an einem Halbkreis sind rechte Winkel“ wurde zunächst formal bewiesen:

[[Datei:Thales_geo.PNG|thumb|Skizze zur Veranschalichung des Beweises (Thales)]]

==== Formaler Beweis ====
Es ist 

<math>|MA| = |MC| = |MB| = r</math>, 

wobei r den Radius des Kreises bezeichnet.
Also sind ΔAMC und ΔMBC gleichschenklig.
Insbesonders gilt aufgrund des Basiswinkelsatzes für gleichschenklige Dreiecke:

<math> \alpha = \gamma_1</math> und <math> \beta = \gamma_2</math>. 

Wegen des Satzes der Winkelsumme im <math> \Delta </math> gilt:

<math> \alpha + \beta + (\gamma_1 + \gamma_2) = 180^\circ </math>
 
und mit 
<math> \alpha = \gamma_1 , \beta = \gamma_2</math>

 
ergibt sich 
<math>2( \gamma_1 + \gamma_2 ) = 180^\circ -> \gamma = \gamma_1 + \gamma_2 = 90^\circ</math>.

==== Aufbereitung des Beweises ====

Zunächst stellte sich die Frage, welches Vorwissen bei den SuS vorhanden sein und aktiviert werden muss. Dies wurde an der Tafel zusammengetragen:

* Alle Punkte auf einer Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
* Satz über Winkelsumme im Dreieck, Rechnen mit Winkeln (Addierbarkeit, Ergänzung von Winkeln)
* Lösungsverfahren von Gleichungen, speziell Einsetzungsverfahren
* Definition & Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken

Anschließend wurde diskutiert, wie man dieses Vorwissen aktivieren könne, im Hinblick auf den möglichen Zeitaufwand zu Beginn einer Unterrichtsstunde. Genannt wurden Besprechung von Hausaufgaben, Kurzteste oder -abfragen sowie ein Quizz zu beginn. Für letzteres sollten Fragen entworfen werden, die im Idealfall aus Zeitgründen kompakt, aber dennoch alles abdecken sollten. Beispiele waren:

* Was ist ein Kreis?
* Was ist ein (gleichschenkliges) Dreieck?
* Wieviele rechte Winkel kann ein Dreieck haben?

Allerdings wurden auf den Einwand hin, dass eventuell Schwierigkeiten dabei auftreten könnten, den Bezug dieses Wissen zum Beweis zu sehen, noch bildliche Beispiele genannt, die in Richtung der obigen Skizze des Beweises gingen. Hierbei könnte man fragen: "Wie lang ist |AB|?" usw.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Beweisen & Argumentieren'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Blum & Kirsch (1991). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF00555722 Preformal Proving: Examples and reflections]. In ''Educational Studies in Mathematics''.
* Meyer & Prediger (2009). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/09-Meyer_Prediger_PM-H30-Argumentieren-Webversion.pdf Warum? Argumentieren, Begründen, Beweisen] (Preprint). In ''Praxis der Mathematik in der Schule'' 51(30).
* Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2).
* Kapitel 2 „Beweisen und Argumentieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
:* Abschnitte: „Was ist ein Beweis?“, „Funktionendes Beweisens“, „Beweis und Beweisfindung“
:* Abschnitte: „Kompetenzen vonSchülerinnen und Schülern“, „Inhaltlich-anschauliche Beweise“
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_4_argumentieren_beweisen.pdf Kapitel 4 „Beweisen und Argumentieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
* Erklären und erläutern Sie den Begriff des Scaffoldings.
* Warum ist das Prinzip des Scaffoldings für den Mathematikunterricht relevant?
* Sie sollen eine Unterrichtseinheit zum Thema Strahlensätze vorbereiten. Wie gehen Sie in Ihrer Unterrichtsplanung vor?
* Überlegen Sie sich Beispiele für Scaffolding-Maßnahmen im Kontext der Strahlensätze.
||
* Scaffolding meint das Bereitstellen sprachlicher "Gerüste", welche die SuS nutzen können, um fachspezifische Aussagen präzise und treffend formulieren zu können. Im Idealfall sind die SuS dazu in der Lage, die Fähigkeiten, welche sie mithilfe des sprachlichen Gerüsts erlernen, später eigenständig und ohne Hilfestellung anzuwenden.
*Das Prinzip des Scaffoldings lässt sich insbesondere auch auf den Mathematikunterricht anwenden. SuS haben häufig Probleme damit, mathematische Formulierungen zu übernehmen und entsprechende Begrifflichkeiten einzusetzen. Insbesondere im Kontext von Beweisen und Argumentationsstrukturen fällt es vielen SuS schwer, präzise zu formulieren, die richtige Beweisstruktur zu finden und entsprechende Begriffe zu verwenden. Gibt man ihnen beispielsweise das Gerüst eines mathematischen Beweises an die Hand, so können die SuS sich an diesem entlanghangeln und die tieferliegenden Strukturen des Beweises besser verstehen. Ziel des Verfahrens ist es natürlich, dass die SuS das Prinzip so sehr verinnerlichen, dass sie das Gerüst später nicht mehr benötigen, um einen Beweis führen zu können.
*Zunächst einmal würde ich mir überlegen, welche mathematischen Begriffe die SuS für die Erarbeitung des Themas und das Verstehen des Beweises benötigen und welche Schwierigkeiten bestehen. Die SuS benötigen beispielsweise das Verständnis der Begriffe "Strecke", "Gerade", "Punkt" und "Schnittpunkt zweier Geraden". Auch das Konzept vom Betrag, also der Länge einer Strecke sollte bekannt sein und ebenso die Tatsache, dass man mit der Länge von Strecken rechnen kann. Zentral ist außerdem der Begriff der Parallelität zweier Geraden. Für Schwierigkeiten könnte außerdem die Vorgehensweise der Strahlensätze sorgen, Strecken bzw. ihre Länge in Verhältnis zueinander zu setzen. Im Idealfall kann an diesem Punkt auf intuitives Verständnis der SuS zurückgegriffen werden. Im nächsten Schritt müsste die Lehrperson die festgestellten Anforderungen mit dem Kenntnis- und Fähigkeitsstand der SuS abgleichen und eventuelle Probleme ausfindig machen. Diese lassen sich dann mithilfe von Scaffolding-Maßnahmen verdeutlichen oder unterstützen.
*Beispiel 1: Unterschiedliche Formulierungen der Aufgabenstellung ermöglichen es SuS mit unterschiedlichem sprachlichem Kenntnisstand, eine Aufgabe besser zu verstehen. Geht es um die Formulierung eines Beweises, so gestaltet sich dies etwas schwieriger, da gewisse sprachliche und formale Anforderungen existieren, die man nicht außer Acht lassen darf. Dennoch lassen sich möglicherweise alternative Formulierungen und grafische Unterstützungen für die Strahlensätze finden.
* Beispiel 2: Ein Glossar über wichtige Redewendungen und Konjunktionen, welche in mathematischen Beweisen verwendet werden, könnte den SuS helfen, diese selbst einzusetzen. Ist den SuS bewusst, welche Bedeutung beispielsweise Formulierungen wie "wenn..., dann..." oder "folglich" oder "unter der Voraussetzung, dass..." haben, so verwenden sie diese möglicherweise selbst und sind sich der Tragweite bewusst.
* Beispiel 3: In der Auseinandersetzung mit dem Beweis der Strahlensätze stufenweise vorgehen: Zunächst eigene Auseinandersetzung mit Aussage und Tragweite in Einzelarbeit, dann Austausch in Gruppen, ggf. Visualisierung und Beantwortung von Fragen im Schüler-Lehrer-Gespräch oder im Klassengespräch, dann Ergebnisse verschriftlichen und der Klasse präsentieren (--> Feedback), ggf. Diskutieren unterschiedlicher Lösungswege / Vorgehensweisen der SuS.
||
Bei der Beantwortung dieser Fragen beschäftigen sich die Studierenden mit dem Begriff des Scaffoldings, welcher fächerübergreifend von zentraler Bedeutung ist. Darüber hinaus werden die grundlegenden Vorgehensweisen der Unterrichtsplanung wiederholt und die Studierenden dazu aufgefordert, das Prinzip des Scaffoldings explizit in die Überlegungen mit einzubeziehen.


|-
|
Betrachten Sie die folgenden beiden Beweismöglichkeiten. 
Benennen Sie die beiden Beweisdarstellungen und diskutieren Sie die jeweiligen Vor-und Nachteile.
[[Datei:Beweisdarstellung 1.PNG|thumb|Beweisdarstellung 1]]

[[Datei:Beweisdarstellung 2.PNG|thumb|Beweisdarstellung 2]]
||
* Beweisdarstellung 1 wurde beschreibend gelöst. Vorteile sind ein einfacher Zugang und die daraus resultierende Verständlichkeit für SuS. Jedoch erfordert eine solche beschreibende Beweisdarstellung die Fähigkeit, sich geschickt auszudrücken und riskiert eine unübersichtliche Darstellung.
* Beweisdarstellung 2 wurde symbolisch gelöst. Im Gegensatz zur beschreibenden Beweisdarstellung ist dieser Zugang (falls ordentlich notiert) übersichtlicher und dadurch eingängiger. Jedoch kann eine symbolische Darstellung für SuS unverständlich wirken und der Umgang mit verschiedenen Operatoren und Zeichen muss zuvor erlernt werden.
||
Durch diese Aufgabe werden verschiedene Beweisdarstellungen wiederholt und an einem konkreten Beispiel aufgezeigt. Vor-und Nachteile werden diskutiert, um die Beweisdarstellungen gegenüberzustellen.


|-
|
Eine SchülerIn formuliert folgenden Beweis zum Satz über die Winkelhalbierenden im Dreieck:
"Ich konstruiere die Winkelhalbierende w_α von α. Jeder Punkt auf w_α ist gleich weit von b und c entfernt. Das Heißt, ich kann einen Kreis mit Mittelpunkt auf w_α konstruieren, der b und c jeweils in einem Punkt schneidet. Wenn ich den Mittelpunkt des Kreises auf w_α verschiebe, dann berührt der Kreis irgendwann die Seite a. Also hat jedes Dreieck einen Innenkreis."

Beurteilen Sie den vorliegenden Beweis. Wie könnte eine Rückmeldung an die SchülerIn aussehen?
||
* Der Beweis ist (mit eventuell vorliegender Skizze) nachvollziehbar und zeigt die Existenz des Innenkreises. Es zeigt sich ein dynamischer, explorativer Zugang zur Beweisfindung (verschieben des Kreises auf Winkelhalbierenden).
* Allerdings ist der Beweis unvollständig, da der Zusammenhang zwischen Innenkreismittelpunkt und allen Winkelhalbierenden nicht herausgearbeitet wurde (Innenkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden).
* Die Formulierung des Beweises in Ich-Form zeigt, dass sich die SchülerIn (noch) nicht an die formalen Kriterien der Beweisführung hält. Es zeigt sich eher wie ihnaltlich-anschaulich eine Teilaussage des Satzes gedanklich gefunden wurde.
* Der Beweis eignet sich nicht als Konstruktionsbeschreibung für Innenkreise von Dreiecken.

Eine Rückmeldung muss auf die Unvollständigkeit des vorliegenden Beweises hinweisen. Dies kann durch Fragen geschehen, die auf die Nutzung aller gegebenen Voraussetzungen (alle Winkelhalbierenden) abzielen ("Was passiert wenn du deine Überlegungen auf die anderen Winkel/Winkelhalbierenden anwendest?"). Das sich der Beweis nicht als Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion eines Innenkreises eignet, kann auch Anlaß bieten um der SchülerIn die mangelnde Qualität ihres Beweises aufzuzeigen.
||
Durch diese Aufgabe werden Problematiken die SchülerInnen mit Beweisen und Argumentieren haben können angesprochen.


|}

== Literaturhinweise ==

* Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2).
* Kapitel 2 „Beweisen und Argumentieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]. Insbesondere Abschnitt „Kompetenzen vonSchülerinnen und Schülern“.

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-06T18:52:13Z

LukasZ: /* Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

==== Reaktion von Jana ====
Ich würde ebenfalls zuerst den Schüler für die richtige Antwort loben und anschließend interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Zudem würde ich ihm nahebringen, dass er trotz richtiger Antwort, seine Lösung durch die Zirkelvariante kontrolliert und damit Übung auch auf diesem Weg bekommt. Ich würde hinzufügen, dass es in der Zukunft nicht immer nur um die Ergebnisse der S Schüler, sondern auch um den Weg zur Lösung gehen würde und deshalb wichtig ist auch die herkömmliche Methode zu beherrschen, da er sonst bei komplexeren Aufgaben eventuell vor Schwierigkeiten steht.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1ECCmt8mvRzauGxv6b-bhiRVqB5zOOxL0PnGAb5YbBZE/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 31.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/11j4V-Q89aktZs9NuU7ItMiMIpGE1gGkW/view?usp=sharing Arbeitsblatt zu Grund- und Standardkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

=== Zusammenfassung ===

Im Ersten Teil dieser Sitzung wurde die Bedeutung des Konstruierens im Geometrieunterricht beleuchtet. Später wurde die Abhängigkeit der Konstruktion von den verwendeten Werkzeugen, sowie die Hierarchie der Konstruktionsschritte betrachtet.

=== Einstieg ===

Zunächst wurde in einem Zumpad Dokument gesammelt wozu Konstruktionen im Geometrieunterricht dienen können.

Vergleiche: https://zumpad.zum.de/p/GuU_Konstruktion

Konstruktionen dienen…
# … zur Förderung von Problemlösekompetenzen
# … zur Vertiefung von Begriffsverständnissen
# … als Möglichkeit im Mathematikunterricht Beweise zu führen, was in anderen Gebieten der Schulmathematik schwierig zu bewerkstelligen ist. Dabei dienen Konstruktionen als Existenzbeweise (Vergleiche Vorbereitungsauftrag: Ist der gefundene Punkt der Einzige der die Bedingung erfüllt?) oder Verifikationsbeweise (Erfüllt die gefundene Lösung die Bedingungen).
# ... Zur Förderung motorischer Fähigkeiten (Umgang mit Werkzeugen)
# ... Zur Veranschaulichung abstrakter Zusammenhänge

=== Bedeutung des Konstruierens ===
Im nächsten Teil wurde die Bedeutung des Konstruierens im Unterricht aufgearbeitet (Vergleiche Folien 3-5).
=== Funktionen ===

Konstruieren im Geometrieunterricht kann folgende Funktionen erfüllen:

# Entdecken geometrischer Zusammenhänge
# Entdeckung von Beweisideen: durch Durchführung von Konstruktionen
# Kulturhistorische Bedeutung: „Werkzeuge der alten Griechen“
# Entwicklung und Förderung von Problemlösefähigkeiten: Für Konstruktion zulässige Werkzeuge und Operationen sind leicht zu verstehen und zu handhaben; einzelne Lösungsschritte lassen sich gut nachvollziehen, verbalisieren und verschriftlichen.
# Entwicklung und Förderung von Argumentationsfähigkeiten: Konstruktionsaufgaben bieten klare Argumentationsbasis; Lösungen lassen sich schrittweise entwickeln und Begründen
# Handlungsbezogene Begriffsbildung: Begriffseinführung über Konstruktionen (z.B.: Drache, Parallelogramm, Mittelsenkrechte)
# Training von Zeichenfähigkeit und Feinmotorik: Erziehung im sorgfältigen Umgang mit Zirkel und Lineal; Möglichkeit zur Differenzierung z.B. Zugang zu unterschiedlichen Werkzeugen (Geodreieck als Abkürzung)

=== Standards ===

Es wurde sich mit den Bildungsstandards auseinandergesetzt (vgl. Folie 4). Dabei wurde gerade das gedankliche operieren mit geometrischen Begriffen und der unterschied zwischen zeichnen und konstruieren von geometrischen Figuren hervorgehoben. Beim Konstruieren geht es nicht vorrangig um das tatschliche Herstellen realer Objekte, sondern um das gedankliche Erzeugen ideeller Objekte ( Punkte ohne Ausdehnung, Strecken ohne Breite) mithilfe idealisierter Operationen (Kreise ziehen, Punkte mit Lineal verbinden) (vgl. Wiegand et al. 2018, S. 51). Statt nur zum Zeichnen werden Konstruktionen zur Beurteilung und Untersuchung von Problemstellungen angewendet.
Zur Leitidee „Raum und Form“ kam im Seminar die Frage auf, ob perspektivisches Zeichnen Konstruieren ist.

=== Mathematisch ===

Es wurde sich nochmals mit dem Unterschied zwischen dem Herstellen von realen Objekten und dem Konstruieren von ideellen Objekten beschäftigt. Konstruieren führt in der Vorstellung zu theoretisch exakten Ergebnissen, die praktisch, auch durch größtmögliche Sorgfalt der Konstruktion, nur innerhalb einer Zeichentoleranz genau sein können. Tatsächliche Realisierungen der (idealen) Konstruktion sind stets nur Näherungen.

Konstruieren bedeutet eine vorgegebene Ausgangskonfiguration durch Einsatz ausgewählter Werkzeuge, die nur nach festgelegten Regeln genutzt werden dürfen, eine Zielkonfiguration zu erzeugen. Zu gegebener Ausgangskonfiguration kann es keine, genau eine oder mehrere Zielkonfigurationen geben

# Ausgangskonﬁguration: Eine Menge geometrischer Objekte (z.B. Punkte, Kreise, Geraden) und ein System von Beziehungen (z.B. der Punkt A liegt auf Gerade g).

# Konstruktionsschritte: Eine endliche Anzahl von Operationen mit festgelegten Werkzeugen (z.B. Zirkel und Lineal), die nur nach festen Regeln verwendet werden. So dürfen z.B. mit dem Lineal nur zwei gegebene Punkte verbunden werden, und ein Kreis kann nur bei gegebenem Mittelpunkt und einem Kreispunkt bzw. gegebenem Radius gezeichnet werden.

# Zielkonﬁguration: Diese ist – falls sie existiert – wieder eine Menge geometrischer Objekte und Beziehungen, die die Ausgangskonﬁguration einschließt und erweitert.

=== Besprechung des Vorbereitungsauftrags ===

Anschließend wurde der Vorbereitungsauftrag besprochen (vgl. oben). Hier einige Gesprächsbeiträge:

Als Erste Reaktion hat sich ein Lob für die Lösung herauskristallisiert. Eine anschließende Nachfrage wie der Punkt gefunden wurde war für alle Teilnehmer essentiell. Falls die Lösung durch Ausprobieren gefunden wurde, gab es den Vorschlag die Systematik der SchülerIn zu erfragen. Hier kann klargestellt werden das systematische Ausprobieren ein valider Lösungsansatz ist, aber auch dessen Grenzen lassen sich erkennen. Ohne Lösungsweg wird jede neue Aufgabe durch neuerliches, langwieriges Ausprobieren (falls überhaupt) gelöst. Um die SchülerIn von der Nutzung von Konstruktionsschritten zu überzeugen, lassen sich kritische Fragen stellen, z.B. „Sind das alle Punkte die die Aufgabe erfüllen?“, „Wie würdest du Alle finden?“, „Ist ausprobieren der bessere Weg?“. Ein Vorschlag war für die Aufgabe unterschiedliche Lösungswege zu sammeln und in der Klasse als soziale Gruppe eine Einigung über den sinnvollsten Lösungsweg zu suchen.

Es wurde noch festgehalten, dass zu jeder Konstruktionsaufgabe, eine Konstruktionsbeschreibung angefertigt werden muss. Diese enthält eine nachvollziehbare, vollständige Beschreibung der Konstruktionsschritte und ist dem sprachlichen Niveau der Lernenden angepasst. Sie entwickelt sich von zunächst umgangssprachlichen Formulierungen zu einer zunehmend formalisierten Darstellung weiter. Der Nutzen eine Konstruktionsbeschreibung ist vielfältig.

Konstruktionsbeschreibungen…

# ... Stellen für Lernende eine Dokumentation des eigenen Lösungsweges dar.
# ... Erlauben Kontrolle des Lösungsweges für Lernende und Lehrende.
# ... Erlauben ein Nachvollziehen der Konstruktion auf Zeichenebene
# ... Dienen zur Kommunikation im Unterricht

=== Konstruktionsschritte und Werkzeuge ===

Konstruktionsschritte sind Operationen die innerhalb einer Konstruktions angewendet werden können. Sie sind abhängig von den verwendeten Wekzeugen und lassen sich in Grundkonstruktionen, Standardkonstruktionen und Modulkonstuktionen unterteilen.

Grundkonstruktionen sind Konstruktionen, die mit dem jeweiligen Werkzeug in einem Schritt erzeugt werden können.

# „Axiomsystem“ für Lösung von Konstruktionsprobleme
# Abhängig von erlaubten Werkzeugen

Standardkonstruktionen sind die Zusammenfassung mehrerer Grundkonstruktionen

# Pragmatische Festlegung durch Häufigkeit und Bedeutung
# Festlegung wurde auch sozial ausgehandelt

Mit Zirkel und Lineal sind beispielsweise

# einen Kreis mit Mittelpunkt A durch B zeichnen
# eine Gerade durch die Punkte A und B zeichnen
# eine Halbgerade ausgehend von Punkt A durch B zeichnen
# die Strecke [AB] zeichnen

Grundkonstruktionen. Wird ein Geodreieck verwendet so sind auch das Zeichnen von Senkrechten und Parallelen, sowie das Abtragen von Winkeln Grundkonstruktionen. Gerade die Konstruktion von Senkrechten und Parallelen sollten mit Zirkel und Lineal zu Standardkonstruktionen werden.

=== Übung ===

Um das Anfertigen von Konstruktionsbeschreibungen zu üben und um die Abhängigkeit der Konstruktionsaufgabe vom erlaubten Werkzeug zu erfahren, wurde das Arbeitsblatt zu Grund- Standardkonstruktionen bearbeitet (siehe Oben).

=== Modulkonzept ===

Modulkonstruktionen sind die Zusammenfassung mehrerer Konstruktionsschritte, die als Ganzes betrachtet werden.

# Pragmatische Festlegung durch Häufigkeit und Bedeutung
# Festlegung wurde auch sozial ausgehandelt

Modulkonstruktionen können mental in einem Schritt ausgeführt werden

# Modulkonstruktionen sind mentale Grundkonstruktionen
# Modulkonstruktionen sind Grundkonstruktionen von komplexen Werkzeugen

Beispiel für Modulkonstruktionen die gedanklich in einem Schritt durchgeführt werden können, wäre die Konstruktion von Kongruenten Dreiecken. Das Geodreieck ist ein Komplexes werkzeug mit dem Parallelen und Senkrechten, Grundkonstruktionen sind.
Modulkonstruktionen sind Voraussetzung für komplexe Konstruktionsaufgaben, indem Sie eine kompakte Konstruktionsbeschreibung erlauben („Ich konstruiere die Mittelsenkrechte“). Sie bilden ein Abbild der mathematischen Denk- und Arbeitsweise. Mathematische Sätze, Lemmas, usw. werden (einmal bewiesen) als Teile in anderen Beweisen eingesetzt, ohne deren Beweise jedes Mal wieder aufzuzeichnen. Hier wird klar, dass Modulkonstruktion zunächst erarbeitet (Bewiesen/Motiviert) und aufgebaut werden müssen (White-Box-Prinzip).

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

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! GeoGebra
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https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp

Eigenes Werkzeug: https://www.geogebra.org/classic/zkkysctm
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https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Lukas) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Ziehe Kreis K_1 mit Mittelpunkt S, dabei entstehen Schnittpunkte A und B mit Halbgeraden von α
# Ziehe Kreis K_2 mit Mittelpunkt P und Radius [S,A], dabei entstehen Schnittpunkte S_1 und S_2 mit g
# Ziehe Kreis K_3 mit Mittelpunkt A durch B
# Ziehe Kreis K_4 mit Mittelpunkt S_1 mit Radius [A,B], dabei entsteht Schnittpunkt S_3 mit K_2
# Ziehe Gerade h durch P und S_3, der Winkel α wurde mit scheitelpunkt P abgetragen
||
# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Winkelgröße von α messen (Geodreieck in S anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α an Punkt P abtragen ( Geodreieck in P anlegen und Winkel über Punkt A markieren)
# Halbgerade h durch P und A
||
# Ausgangskonfiguration: gegeben sind Winkel α mit Scheitelpunkt S und Gerade g auf welcher Punkt P liegt
# Falte S auf P
# Falte eine Halbgerade von α auf g, trage die andere Halbgerade von P an ab, diese bildet mit g den Winkel α
|-
! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:A1.jpg|thumb|Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:B.jpg|thumb|Geodreieck]]
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[[Datei:C.jpg|thumb|Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
||
https://ggbm.at/snqcdzrw
||
https://ggbm.at/xx8a48hw
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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(Nicht möglich.)
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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(Nicht möglich.)
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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(Nicht möglich.)
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
#Zeichne die Strecke MP.
#Konstruiere die Mittelsenkrechte mAP zu den Punkten M und P. Der Schnittpunkt der Strecke AP mit der Mittelsenkrechten mAP wird als MMP bezeichnet.
#Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt MMP und Radius AMMP. Die zwei Schnittpunkte der zwei Kreise sind nach dem Satz des Thales die Berührpunkte der Tangenten B und B'.
#Zeichne die Gerade durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne den Strahl SMP, welcher bei M beginnt und durch P geht.
# Zeichne einen Kreis k an P mit Radius der Strecke MP. Der Schnittpunkt des Kreises k mit dem Strahl SMP wird mit 2P gekennzeichnet.
# Konstruiere die Mittelsenkrechte mM2P. Diese entspricht der gesuchten Tangente tP.
||
Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Messe die Strecke AP.
# Berechne die Strecke BP = B'P mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
# Messe die Strecke BP bzw. B'P am Punkt P ab, s.d. Punkt B bzw. B' auf der Kreislinie liegt.
# Verlängere die Strecke BP und B’P zu Geraden durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne die Strecke MP und verlängere sie gegebenenfalls.
# Lege die Strecke MP auf die Mittellinie des Geodreiecks (das Lot des Geodreiecks) und zeichne die Tangente tP durch den Punkt P an der Zeichenkante ab.
||
Ausgangskonfiguration (?): Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Falte die Verbindungslinie durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte A auf P (Origami-Axiom 3). Der Schnittpunkt der Faltkanten wird mit MMP bezeichnet.
# Falte P auf die Kreislinie, s.d. die Faltkante durch M' geht [2x] (abgewandeltes Origami-Axiom 4). Die zu P entsprechenden Punkt auf dem Kreis sind die Berührpunkte B und B'.
# Falte die Gerade durch B und P bzw. durch B' und P.

Ausgangskonfiguration 2: Mittelpunkt M und der Kreispunkt P ist gegeben.
# Falte die Verbindungslinie lAP durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte die Verbindungslinie lAP auf sich selbst durch den Punkt P (Origami-Axiom 5). Die neue Faltlinie entspricht der Tangente tP durch den Punkt P.

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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-06-06T17:45:13Z

LukasZ: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

==== Reaktion von Anna-Lena ====
Ich hätte das Ergebnis bestätigt und mich nach seiner Lösungsstrategie erkundigt, um zu erfahren, in wie weit er/sie das zuvor erlernte verinnerlicht hat und welche Problemlösestrategien (willkürliches oder strategisches Ausprobieren, dynamische Überlegungen, Abstrahieren..). Dadurch fühlt sich der/die SchülerIn in seinen Bemühung unterstützt und auch ich bekomme einen Einblick in seine Denk- und Lernprozesse. Gelang er/sie zu der Lösung durch willkürliches Raten (was aufgrund der fehlenden Zirkelstriche der wahrscheinlichste Fall ist), würde ich die Aufgabe erweitern, indem zwei Punkte im Inneren eines Kästchens gewählt werden oder ein nicht kariertes Papier verwendet werden soll. Der/ die SchülerIn ist dadurch gezwungen seine/ihre Strategie zu ändern und das Problem zu abstrahieren. Berichtet er hingegen von einem permanenten Abmessen der Abstände mit dem Geodreieck, enthält die Strategie schon wichtige Ansatzpunkte zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hier kann die „Änderung der Lösungsstrategie“ durch eine Genauigkeitsargument motiviert werden: Wie kann ich mir sicher sein, dass der Punkt nicht zufällig ein Millimeter weiter links oder rechts liegt. Als nächster Schritt können reinige richtige Ansatzpunkte seine Strategie genutzt werden, um zur Konstruktion mit Zirkel zu gelangen: Zeichne mir alle Punkte ein die von A 7cm Abstand haben; Er muss also zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen usw. Natürlich kann auch auf letzte Stunde verwiesen werden. Meiner Meinung nach sollte darauf, wenn es das Zeitmanagement erlaubt, verzichtet werden, da, wenn nicht zum Kreis als Lösungsstrategie gegriffen wird, die Grundvorstellung und der Begriff des Kreises nicht vollständig durchdrungen wurde und deshalb weiterer Vertiefung bedarf (v.a. Im Hinblick auf weitere Konstruktionsaufgaben). Ich würde auch nicht das bloße Ergebnis loben, sondern richtige Denkansätze/Lösungsstrategien, da das die eigentlichen Kompetenzen sind.
Bei weniger Zeit könnte man auch Ergebnisse an der Tafel sammeln, denn es sind ja zwei Punkte. Wenn kein zweites Ergebnis kommt, könnte man auch selbst die zweite Lösung nennen, die SuS durch messen verifizieren lassen und das Ganze thematisieren: Sind das jetzt alle Lösungen? Sind beide richtig?

==== Reaktion von Julian ====
Ich würde den Schüler bitten mir zu zeigen, wie er den Punkt gefunden hat. Anschließend würde ich ihn fragen, ob er eine Methode kennt, mit der man ALLE Punkte finden kann, die die geforderte Eigenschaft erfüllen. Sollte ich davor erklärt haben, was genau unter konstruieren zu verstehen ist, würde ich mit dem Schüler außerdem besprechen, was der Unterschied zu seiner Methode [ohne Zirkel] ist und ob er gegenüber dem Konstruieren Vor-/Nachteile sieht.

==== Reaktion von Jana ====
Ich würde ebenfalls zuerst den Schüler für die richtige Antwort loben und anschließend interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Zudem würde ich ihm nahebringen, dass er trotz richtiger Antwort, seine Lösung durch die Zirkelvariante kontrolliert und damit Übung auch auf diesem Weg bekommt. Ich würde hinzufügen, dass es in der Zukunft nicht immer nur um die Ergebnisse der S Schüler, sondern auch um den Weg zur Lösung gehen würde und deshalb wichtig ist auch die herkömmliche Methode zu beherrschen, da er sonst bei komplexeren Aufgaben eventuell vor Schwierigkeiten steht.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1ECCmt8mvRzauGxv6b-bhiRVqB5zOOxL0PnGAb5YbBZE/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 31.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/11j4V-Q89aktZs9NuU7ItMiMIpGE1gGkW/view?usp=sharing Arbeitsblatt zu Grund- und Standardkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Grundkonstruktionen mit verschiedenen Werkzeugen ===

Sofern nicht anders angegeben, sind die folgenden Operationen möglich, um eine Ausgangskonfiguration für die Konstruktionsschritte zu schaffen:
# Es können beliebige Punkte in der Ebene gesetzt werden.
# Auf einer Linie (auch Kreislinie) können beliebige Punkte gesetzt werden.

==== Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal ====

# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Gerade)
# Zwischen zwei nicht identischen Punkte kann eine Lineallinie konstruiert werden. (Strecke)
# Zu einer gegebenen Strecke und einem gegebenen Punkt kann kann der Zirkel auf die Streckenlänge eingestellt werden und in dem Punkt eingestochen werden. (Kreis)
# Zu je zwei Objekten von Geraden, Strecken und Kreislinien können die Schnittpunkte konstruiert werden, falls sie existieren.

==== Grundkonstruktionen mit Papierfalten (Flächen-Origami) ====

Als Ausgangskonfigurationen dienen hier Faltlinien, sodass in der Ebene beliebige Faltlinien gesetzt werden können.
# Zu zwei nicht parallelen Faltlinien kann der Schnittpunkt konstruiert werden.
# Durch zwei nicht identische Punkte kann eine Faltlinie konstruiert werden.
# Zu zwei Punkten kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Punkte aufeinander gefaltet werden.
# Zu zwei Linien kann eine Faltlinie so konstruiert werden, dass die zwei Linien aufeinander gefaltet werden.
# Gegeben seien zwei Punkte ''M'' und ''P'' sowie eine Linie ''g''. Dann kann eine Faltlinie durch ''M'' so konstruiert werden, dass ''P'' auf ''g'' gefaltet wird. (Schnitt von Kreis und Gerade)
# Gegeben seien zwei Punkte ''P'' und ''Q'' sowie zwei Geraden ''g'' und ''h'', sodass nicht gleichzeitig ''P'' auf ''g'', ''Q'' auf ''h'' und ''g'' parallel zu ''h'' liegt. Dann kann eine Faltlinie konstruier werden, sodass ''P'' auf ''g'' und ''Q'' auf ''h'' gefaltet wird. (Einschiebelinieal)

=== Zusammenfassung ===

Im Ersten Teil dieser Sitzung wurde die Bedeutung des Konstruierens im Geometrieunterricht beleuchtet. Später wurde die Abhängigkeit der Konstruktion von den verwendeten Werkzeugen, sowie die Hierarchie der Konstruktionsschritte betrachtet.

=== Einstieg ===

Zunächst wurde in einem Zumpad Dokument gesammelt wozu Konstruktionen im Geometrieunterricht dienen können.

Vergleiche: https://zumpad.zum.de/p/GuU_Konstruktion

Konstruktionen dienen…
# … zur Förderung von Problemlösekompetenzen
# … zur Vertiefung von Begriffsverständnissen
# … als Möglichkeit im Mathematikunterricht Beweise zu führen, was in anderen Gebieten der Schulmathematik schwierig zu bewerkstelligen ist. Dabei dienen Konstruktionen als Existenzbeweise (Vergleiche Vorbereitungsauftrag: Ist der gefundene Punkt der Einzige der die Bedingung erfüllt?) oder Verifikationsbeweise (Erfüllt die gefundene Lösung die Bedingungen).
# ... Zur Förderung motorischer Fähigkeiten (Umgang mit Werkzeugen)
# ... Zur Veranschaulichung abstrakter Zusammenhänge

=== Bedeutung des Konstruierens ===
Im nächsten Teil wurde die Bedeutung des Konstruierens im Unterricht aufgearbeitet (Vergleiche Folien 3-5).
=== Funktionen ===

Konstruieren im Geometrieunterricht kann folgende Funktionen erfüllen:

# Entdecken geometrischer Zusammenhänge
# Entdeckung von Beweisideen: durch Durchführung von Konstruktionen
# Kulturhistorische Bedeutung: „Werkzeuge der alten Griechen“
# Entwicklung und Förderung von Problemlösefähigkeiten: Für Konstruktion zulässige Werkzeuge und Operationen sind leicht zu verstehen und zu handhaben; einzelne Lösungsschritte lassen sich gut nachvollziehen, verbalisieren und verschriftlichen.
# Entwicklung und Förderung von Argumentationsfähigkeiten: Konstruktionsaufgaben bieten klare Argumentationsbasis; Lösungen lassen sich schrittweise entwickeln und Begründen
# Handlungsbezogene Begriffsbildung: Begriffseinführung über Konstruktionen (z.B.: Drache, Parallelogramm, Mittelsenkrechte)
# Training von Zeichenfähigkeit und Feinmotorik: Erziehung im sorgfältigen Umgang mit Zirkel und Lineal; Möglichkeit zur Differenzierung z.B. Zugang zu unterschiedlichen Werkzeugen (Geodreieck als Abkürzung)

=== Standards ===

Es wurde sich mit den Bildungsstandards auseinandergesetzt (vgl. Folie 4). Dabei wurde gerade das gedankliche operieren mit geometrischen Begriffen und der unterschied zwischen zeichnen und konstruieren von geometrischen Figuren hervorgehoben. Beim Konstruieren geht es nicht vorrangig um das tatschliche Herstellen realer Objekte, sondern um das gedankliche Erzeugen ideeller Objekte ( Punkte ohne Ausdehnung, Strecken ohne Breite) mithilfe idealisierter Operationen (Kreise ziehen, Punkte mit Lineal verbinden) (vgl. Wiegand et al. 2018, S. 51). Statt nur zum Zeichnen werden Konstruktionen zur Beurteilung und Untersuchung von Problemstellungen angewendet.
Zur Leitidee „Raum und Form“ kam im Seminar die Frage auf, ob perspektivisches Zeichnen Konstruieren ist.

=== Mathematisch ===

Es wurde sich nochmals mit dem Unterschied zwischen dem Herstellen von realen Objekten und dem Konstruieren von ideellen Objekten beschäftigt. Konstruieren führt in der Vorstellung zu theoretisch exakten Ergebnissen, die praktisch, auch durch größtmögliche Sorgfalt der Konstruktion, nur innerhalb einer Zeichentoleranz genau sein können. Tatsächliche Realisierungen der (idealen) Konstruktion sind stets nur Näherungen.

Konstruieren bedeutet eine vorgegebene Ausgangskonfiguration durch Einsatz ausgewählter Werkzeuge, die nur nach festgelegten Regeln genutzt werden dürfen, eine Zielkonfiguration zu erzeugen. Zu gegebener Ausgangskonfiguration kann es keine, genau eine oder mehrere Zielkonfigurationen geben

# Ausgangskonﬁguration: Eine Menge geometrischer Objekte (z.B. Punkte, Kreise, Geraden) und ein System von Beziehungen (z.B. der Punkt A liegt auf Gerade g).

# Konstruktionsschritte: Eine endliche Anzahl von Operationen mit festgelegten Werkzeugen (z.B. Zirkel und Lineal), die nur nach festen Regeln verwendet werden. So dürfen z.B. mit dem Lineal nur zwei gegebene Punkte verbunden werden, und ein Kreis kann nur bei gegebenem Mittelpunkt und einem Kreispunkt bzw. gegebenem Radius gezeichnet werden.

# Zielkonﬁguration: Diese ist – falls sie existiert – wieder eine Menge geometrischer Objekte und Beziehungen, die die Ausgangskonﬁguration einschließt und erweitert.

=== Besprechung des Vorbereitungsauftrags ===

Anschließend wurde der Vorbereitungsauftrag besprochen (vgl. oben). Hier einige Gesprächsbeiträge:

Als Erste Reaktion hat sich ein Lob für die Lösung herauskristallisiert. Eine anschließende Nachfrage wie der Punkt gefunden wurde war für alle Teilnehmer essentiell. Falls die Lösung durch Ausprobieren gefunden wurde, gab es den Vorschlag die Systematik der SchülerIn zu erfragen. Hier kann klargestellt werden das systematische Ausprobieren ein valider Lösungsansatz ist, aber auch dessen Grenzen lassen sich erkennen. Ohne Lösungsweg wird jede neue Aufgabe durch neuerliches, langwieriges Ausprobieren (falls überhaupt) gelöst. Um die SchülerIn von der Nutzung von Konstruktionsschritten zu überzeugen, lassen sich kritische Fragen stellen, z.B. „Sind das alle Punkte die die Aufgabe erfüllen?“, „Wie würdest du Alle finden?“, „Ist ausprobieren der bessere Weg?“. Ein Vorschlag war für die Aufgabe unterschiedliche Lösungswege zu sammeln und in der Klasse als soziale Gruppe eine Einigung über den sinnvollsten Lösungsweg zu suchen.

Es wurde noch festgehalten, dass zu jeder Konstruktionsaufgabe, eine Konstruktionsbeschreibung angefertigt werden muss. Diese enthält eine nachvollziehbare, vollständige Beschreibung der Konstruktionsschritte und ist dem sprachlichen Niveau der Lernenden angepasst. Sie entwickelt sich von zunächst umgangssprachlichen Formulierungen zu einer zunehmend formalisierten Darstellung weiter. Der Nutzen eine Konstruktionsbeschreibung ist vielfältig.

Konstruktionsbeschreibungen…

# ... Stellen für Lernende eine Dokumentation des eigenen Lösungsweges dar.
# ... Erlauben Kontrolle des Lösungsweges für Lernende und Lehrende.
# ... Erlauben ein Nachvollziehen der Konstruktion auf Zeichenebene
# ... Dienen zur Kommunikation im Unterricht

=== Konstruktionsschritte und Werkzeuge ===

Konstruktionsschritte sind Operationen die innerhalb einer Konstruktions angewendet werden können. Sie sind abhängig von den verwendeten Wekzeugen und lassen sich in Grundkonstruktionen, Standardkonstruktionen und Modulkonstuktionen unterteilen.

Grundkonstruktionen sind Konstruktionen, die mit dem jeweiligen Werkzeug in einem Schritt erzeugt werden können.

# „Axiomsystem“ für Lösung von Konstruktionsprobleme
# Abhängig von erlaubten Werkzeugen

Standardkonstruktionen sind die Zusammenfassung mehrerer Grundkonstruktionen

# Pragmatische Festlegung durch Häufigkeit und Bedeutung
# Festlegung wurde auch sozial ausgehandelt

Mit Zirkel und Lineal sind beispielsweise

# einen Kreis mit Mittelpunkt A durch B zeichnen
# eine Gerade durch die Punkte A und B zeichnen
# eine Halbgerade ausgehend von Punkt A durch B zeichnen
# die Strecke [AB] zeichnen

Grundkonstruktionen. Wird ein Geodreieck verwendet so sind auch das Zeichnen von Senkrechten und Parallelen, sowie das Abtragen von Winkeln Grundkonstruktionen. Gerade die Konstruktion von Senkrechten und Parallelen sollten mit Zirkel und Lineal zu Standardkonstruktionen werden.

=== Übung ===

Um das Anfertigen von Konstruktionsbeschreibungen zu üben und um die Abhängigkeit der Konstruktionsaufgabe vom erlaubten Werkzeug zu erfahren, wurde das Arbeitsblatt zu Grund- Standardkonstruktionen bearbeitet (siehe Oben).

=== Modulkonzept ===

Modulkonstruktionen sind die Zusammenfassung mehrerer Konstruktionsschritte, die als Ganzes betrachtet werden.

# Pragmatische Festlegung durch Häufigkeit und Bedeutung
# Festlegung wurde auch sozial ausgehandelt

Modulkonstruktionen können mental in einem Schritt ausgeführt werden

# Modulkonstruktionen sind mentale Grundkonstruktionen
# Modulkonstruktionen sind Grundkonstruktionen von komplexen Werkzeugen

Beispiel für Modulkonstruktionen die gedanklich in einem Schritt durchgeführt werden können, wäre die Konstruktion von Kongruenten Dreiecken. Das Geodreieck ist ein Komplexes werkzeug mit dem Parallelen und Senkrechten, Grundkonstruktionen sind.
Modulkonstruktionen sind Voraussetzung für komplexe Konstruktionsaufgaben, indem Sie eine kompakte Konstruktionsbeschreibung erlauben („Ich konstruiere die Mittelsenkrechte“). Sie bilden ein Abbild der mathematischen Denk- und Arbeitsweise. Mathematische Sätze, Lemmas, usw. werden (einmal bewiesen) als Teile in anderen Beweisen eingesetzt, ohne deren Beweise jedes Mal wieder aufzuzeichnen. Hier wird klar, dass Modulkonstruktion zunächst erarbeitet (Bewiesen/Motiviert) und aufgebaut werden müssen (White-Box-Prinzip).

== Nachbereitungsauftrag ==

# Suchen Sie sich eine der unten stehenden Konstruktionsaufgaben aus, in dem Sie Ihren Namen in die Überschrift eintragen.
# Lösen Sie die Konstruktionsaufgabe mit den angegebenen Hilfsmitteln (Zirkel und Lineal, Geodreieck, Papierfalten). Für die Faltkonstruktionen können Sie u.a. [https://arxiv.org/abs/1810.06852 Paulus (2018) „Geometrische Konstruktionen und Origami“] zur Hilfe nehmen.
# Fertigen Sie jeweils eine Planskizze und eine Konstruktionsbeschreibung an und tragen Sie diese in die unten stehende Tabelle ein.
# Entwerfen Sie ein GeoGebra-Applet, in dem Sie Ihre Konstruktion realisieren. Erstellen Sie ausgehend von Ihrer Konstruktion ein „GeoGebra-Werkzeug“ für die Konstruktionsaufgabe. Verlinken Sie in der Tabelle das Applet in der Gestalt, dass nur die Ausgangskonfiguration sichtbar ist und nur Ihr erstelltes Werkzeug auswählbar ist.

Das Modulkonzept kann direkt in GeoGebra umgesetzt werden. Dazu können Werkzeuge ausgeblendet werden, sodass etwa nurnoch Grundkonstruktionen verfügbar sind. Es können auch eigene Werkzeuge (Module, Markros) erstellt werden. Die Bedienung habe ich kurz von meinem Bildschirm [https://youtu.be/Zz8xUqVLRR4 abgefilmt und hier verfügbar gemacht]. Sie können in der GeoGebra-Anleitung nachlesen, [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeugleiste wie Sie die Werkzeugleiste anpassen] und wie Sie [https://wiki.geogebra.org/de/Werkzeug_erstellen_-_Dialog eigene Werkzeuge erstellen] können.

=== Gegebene Strecke auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: Katharina) ===

{| class="wikitable"

|-

! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Geo Konstruktion.JPG|thumb|Konstruieren mit Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:Geo Falten.JPG|thumb|Konstruieren durch Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Zirkel bei A einstechen und den Abstand zu B einstellen.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis zeichnen.
# Der Kreis schneidet die Gerade g in zwei Schnittpunkten S1 und S2. Die Strecken S1P und S2P auf der Geraden g entsprechen der Strecke AB.

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Länge der Strecke AB messen.
# Geodreieck an P anlegen und die gemessene Länge abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S).

||
# Ausgangskonfiguration: Gegeben sind eine Strecke AB und eine Gerade g, auf welcher der Punkt P liegt.
# Falte den Punkt A auf den Punkt P. A ist nun identisch mit P, d.h. P = A', den zu B identischen Punkt bezeichnen wir mit B'.
# Falte die Strecke AB auf die Gerade g.
# Durchsteche das Papier an der Stelle von B.
# Falte das Papier auf. Der Durchstoßpunkt auf der Geraden g entspricht dem gesuchten Punkt S, d.h. die Strecke PS entspricht der Strecke AB.

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! GeoGebra
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https://www.geogebra.org/graphing/bxak7bcp

Eigenes Werkzeug: https://www.geogebra.org/classic/zkkysctm
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https://www.geogebra.org/graphing/sxpxhxsn
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Gegebenen Winkel auf Gerade abtragen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelpunkt einer Strecke (wird bearbeitet von: Marc ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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#Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
#Einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius r ziehen
#Einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius r ziehen
#Eine Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise zeichnen
# Gerade und Strecke schneiden sich im Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Mit Geodreieck die Länge der Strecke Ab messen und halbieren
# Bei der Hälfte der Streckenlänge Makrierung festlegen
# Makrierung ist Mittelpunkt
||
# Ausgangskonfiguration: Strecke AB gegeben
# Falte Gerade durch A und B
# Falte auf dieser Geraden A auf B
# Schnittpunkt der Faltgeraden ist Mittelpunkt
|-
! GeoGebra
||
https://wiki.geogebra.org/de/Mittelsenkrechte_%28Werkzeug%29
https://wiki.geogebra.org/de/Schneide_(Werkzeug)
||
https://www.geogebra.org/classic/tjrbpwmf (Eigenes Werkzeug)
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

'''Kommentar des Dozenten:'''
* Der Radius ''r'' ist nicht spezifiziert und es ist daher unklar, ob die Schnittpunkte überhaupt existieren. Zur Erinnerung: Es können nur Streckenlängen auf dem Zirkel eingestellt werden, die bereits konstruiert sind und sich daher abtragen lassen.
* Bei Anwendung des Konstruktionswerkzeugs werden auch die Kreise mitkonstruiert.

=== Winkelhalbierende (wird bearbeitet von: Ilona) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:Zirkel und Lineal.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Geodreieck.JPG|thumb|Planskizze]]
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[[Datei:Papierfalten.JPG|thumb|Planskizze]]
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Kreis mit Radius r um A zeichnen: erhalten Schnittpunkte S und S' des Kreises mit g und h
# Kreise um S und S' mit jeweils Radius r' zeichnen, wobei r'>0,5*SS' (SS' meint die Strecke von S nach S'): erhalten die Schnittpunkte T und T' der beiden Kreise
# Gerade durch T und T' zeichnen; diese geht zugleich durch A und halbiert den Winkel α
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# Winkelgröße von α messen (dazu Geodreieck an A anlegen und Winkelgröße ablesen)
# Winkelgröße von α halbieren: erhalten α'
# Geodreieck an A anlegen und Winkel mit Winkelgröße α' abtragen (markiert durch Einzeichnen eines Punktes S)
# S und A durch Gerade verbinden: diese ist die Winkelhalbierende
||
# Ausgangskonfiguration: Punkt A als Ursprungspunkt zweier Strahlen (oder Geraden) g und h; zu halbieren ist der von g und h eingeschlossene Winkel α
# g auf h falten: erhalten Faltlinie, welche α halbiert
|-
! GeoGebra
||
https://www.geogebra.org/m/vm9zwy8w
||
Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Schnittpunkt von Kreis und Gerade (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
||
# Ausgangskonfiguration: Der Kreis ist gegeben als Mittelpunkt und einen weiteren Kreispunkt, sodass die Strecke dieser beiden Punkte den Radius als Länge hat.
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Das Lot zu einer Geraden durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Wibke ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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[[Datei:A1.jpg|thumb|Zirkel und Lineal]]
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[[Datei:B.jpg|thumb|Geodreieck]]
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[[Datei:C.jpg|thumb|Falten]]
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! Konstruktionsbeschreibung
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Zirkel bei P einstechen und einen Kreis um P ziehen, welcher die Gerade g in einem Punkt A und B schneidet.
# Zirkel nacheinander bei A und B einstechen und jeweils einen Kreis ziehen. Dabei müssen die beiden Kreise denselben Radius haben und sich in einem Punkt S1 und S2 schneiden.
# Mit dem Lineal eine Gerade h durch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 zeichnen. Diese Gerade h entspricht dem Lot durch den Punkt P auf die Gerade g.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Das Geodreieck so auf die Gerade g legen, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt.
# Das Geodreieck in dieser Position so verschieben, dass die lange Kante des Geodreiecks durch den Punkt P geht.
# Die Gerade h einzeichnen.
||
# Ausgangskonfiguration: Sei eine Gerade g und ein Punkt P gegeben.
# Die Gerade g so auf sich selbst falten, dass die Faltlinie durch den Punkt P geht.
|-
! GeoGebra
||
https://ggbm.at/snqcdzrw
||
https://ggbm.at/xx8a48hw
||
Link zu GeoGebra Aktivität

|}

=== Parallele zu Gerade durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
|-
! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Mittelparallele (wird bearbeitet von:) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== „Einschiebeineal“ (wird bearbeitet von: ) ===

Gegeben seien jeweils verschiedene Punkte ''P'' und ''Q'' und Geraden ''p'' und ''q'', so dass nicht gleichzeitig ''P ∈ p'', ''Q ∈ q'' und ''p'' || ''q'' gilt. Dann
kann man so falten, dass ''P'' auf ''p'' und ''Q'' auf ''q'' zu liegen kommt.

'''Konstruktionen mit dem Einschiebelineal''':
:Unter einem ''Einschiebelineal'' versteht man ein Lineal, auf dem zwei Punkte ''P'', ''Q'' markiert sind, somit ist eine bestimmte Streckenlänge auf diesem Lineal fixiert. Man kann das Lineal so verschieben, dass diese Punkte auf bestimmten Geraden (oder Kreisen) liegen.

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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(Nicht möglich.)
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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(Nicht möglich.)
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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(Nicht möglich.)
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Link zu GeoGebra Aktivität
||
Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Tangente an einen Kreis durch gegebenen Punkt (wird bearbeitet von: Anna-Lena) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
#Zeichne die Strecke MP.
#Konstruiere die Mittelsenkrechte mAP zu den Punkten M und P. Der Schnittpunkt der Strecke AP mit der Mittelsenkrechten mAP wird als MMP bezeichnet.
#Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt MMP und Radius AMMP. Die zwei Schnittpunkte der zwei Kreise sind nach dem Satz des Thales die Berührpunkte der Tangenten B und B'.
#Zeichne die Gerade durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne den Strahl SMP, welcher bei M beginnt und durch P geht.
# Zeichne einen Kreis k an P mit Radius der Strecke MP. Der Schnittpunkt des Kreises k mit dem Strahl SMP wird mit 2P gekennzeichnet.
# Konstruiere die Mittelsenkrechte mM2P. Diese entspricht der gesuchten Tangente tP.
||
Ausgangskonfiguration 1: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Messe die Strecke AP.
# Berechne die Strecke BP = B'P mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
# Messe die Strecke BP bzw. B'P am Punkt P ab, s.d. Punkt B bzw. B' auf der Kreislinie liegt.
# Verlängere die Strecke BP und B’P zu Geraden durch die Punkte B und P bzw. B' und P. Diese entsprechen den gesuchten Tangenten t, t'.

Ausgangskonfiguration 2: Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und der Punkt P liegt auf dem Kreis.
# Zeichne die Strecke MP und verlängere sie gegebenenfalls.
# Lege die Strecke MP auf die Mittellinie des Geodreiecks (das Lot des Geodreiecks) und zeichne die Tangente tP durch den Punkt P an der Zeichenkante ab.
||
Ausgangskonfiguration (?): Kreis mit Mittelpunkt M und Radius R und einen beliebigen Punkt P.
# Falte die Verbindungslinie durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte A auf P (Origami-Axiom 3). Der Schnittpunkt der Faltkanten wird mit MMP bezeichnet.
# Falte P auf die Kreislinie, s.d. die Faltkante durch M' geht [2x] (abgewandeltes Origami-Axiom 4). Die zu P entsprechenden Punkt auf dem Kreis sind die Berührpunkte B und B'.
# Falte die Gerade durch B und P bzw. durch B' und P.

Ausgangskonfiguration 2: Mittelpunkt M und der Kreispunkt P ist gegeben.
# Falte die Verbindungslinie lAP durch A und P (Origami-Axiom 2).
# Falte die Verbindungslinie lAP auf sich selbst durch den Punkt P (Origami-Axiom 5). Die neue Faltlinie entspricht der Tangente tP durch den Punkt P.

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! GeoGebra
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität
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Link zu GeoGebra Aktivität

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=== Rechtwinkliges Dreieck mit vorgegebenen Kathetenlängen (wird bearbeitet von: ) ===

{| class="wikitable"

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! !! Konstruktion mit Zirkel und Lineal !! Konstruktion mit Geodreieck !! Konstruktion mit Papierfalten

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! Planskizze
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Bild
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Bild
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Bild
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! Konstruktionsbeschreibung
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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# Ausgangskonfiguration: Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
# Lorem Ipsum
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! GeoGebra
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== Literaturhinweise ==

* Paulus (2018). [https://arxiv.org/abs/1810.06852 „Geometrische Konstruktionen und Origami“]. (arXiv, Abschlussarbeit)
* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-16T09:35:39Z

LukasZ: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

NOCH NICHT FERTIG! Noch nicht gegengelesen, Bilder eingefügt und Vorbereitungsauftragsbeispiel und Denkstilabsschnitt fehlen auch noch! Ich wollte es nur mal speichern ;)

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei lernten wir die verschiedenen Zugänge zu geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für diese kennen. Als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion''. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie die Lernstile auch inpersona und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.) betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitive gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernenden geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetzt''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]
[[Datei: MD Geo VB2.pdf|thumb| Beispiel eines Vorbereitungsauftrags]]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und ganzheitliche Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) druch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht induktiv, von der Problemstellung ausgehend
||
* 'Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel'
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung eines dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt || Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen ||
* Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Bsp. und Gegenbsp. || höhere Klassenstufen || Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: 'Sortiere die Figuren nach ihrer Form'
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip'''(vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzeptes ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensalter Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (zeichnen, konstruieren, falten, bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (->'''“Interiorisation“'''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. Die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen Rekonstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen werden sie zahlreiche Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen und Objekten, als der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht (vgl. Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen?

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
Um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten und für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte''), sind '''Phänomene''' gut geeignet. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkte geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags- / Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesen legen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''Innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/ des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Vor der Zeit René Decartes, welcher die kartesischen Koordinaten bekannt machte, dienten Äquidistanzkurven als Ausgangspunkt zur beispielsweise zur Beschreibung von Parabeln, Kreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welcher der Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen ist. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Alices und Bobs Baum sowie Charlie und einige Äpfel waren im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen umgesetzt und ausprobiert.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurden auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinen der beiden Kreise zuordnen. An die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wären das Zeichnen zwei Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes vorgeschlagen. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können zumindest theoretisch Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Fragen nach der Hangneigung und der Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten erst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten 
schlecht geeignet, da Begriffe, wenn möglich immer anlehnend an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau die Mittelsenkrechte der zwei Punkten entspricht, deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an dem eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“- Funktion in Geogebra (auch von anderer dynamischer Geometrie-Software) ist sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung der Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

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Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
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Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
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Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


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Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
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1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

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Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

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1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

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Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

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Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

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Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



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Eine siebte Klasse bearbeitet die folgende Aufgabenstellung:

Wie viele gemeinsame Punkte kann eine Kreislinie mit einer Geraden haben? Treten hierbei Symmetrien auf?
(Wie) Ist es möglich eine Gerade zu konstruieren, welche genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie besitzt?

* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
* Ist diese Aufgabenstellung geeignet um den Begriff der Tangente einzuführen? Wenn nicht, was sollte geändert werden?

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Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Gerade, Kreis, Passante, Sekante, Tangente, rechte Winkel, Orthogonale und Achsensymmetrie.

Die Lösung der Aufgabenstellung verlangt mindestens ein Begriffsverständnis auf der Stufe 3 Apstraction (van Hile). Beziehungen zwischen Gerade und Kreis müssen erkannt werden. Schlussfolgerungen bezüglich der Konstruktion der Tangenten finden vermutlich nur auf informeller Ebene statt. (Es sieht so aus, als steht die Tangente senkrecht zum Radius durch den Schnittpunkt.)

In der Sekundarstufe 1 sind die konstruktiv-operative Begriffsbildung bzw. die Begriffsbildung durch Abstraktion zentral. Eine mögliche Vereinfachung der Aufgabenstellung könnte wie folgt aussehen: Die Klasse experimentiert nicht selbst mit der Anzahl der gleichen Punkte, sondern es werden die drei Möglichkeiten vorgegeben und dann selbstständig genauer auf ihre Eigenschaften untersucht.
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Die Aufgabe eignet sich dazu, die Einführung geometrischer Konzepte aus einer Aufgabenstellung in den Kontext des Stufenmodells der Begriffsbildung zu übertragen. Desweiteren wird bewertet, welche Arten der Begriffsbildung in welcher Klassenstufe sich als sinnvoll erweißen.



|-
|
Im Untericht wurde anhand von Prototypen, mit unterschiedlich großen benachbarten Winkeln und Seiten, der Begriff des Parallelograms erarbeitet. Die anschließende Reflexionsphase zeigt bei einigen SuS. Probleme beim erkennen von Quadraten, Rechtecken, Rauten usw. als Parallelograme.

*Wie könnte man vorgehen um diese Probleme abzubauen?
*Welche Begriffsvorstellungen liegen der Problematik zu Grunde?

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Im Kern beruht die Problematik auf der Vorstellung Parallelograme seien immer schief. Dabei herrscht eine Inuitive, ganzheitliche Vorstellung vor, die unzureichende Verknüpfungen oder Abgrenzungen zu den Begriffen Quadrate, Rechtecke, Raute aufzeigt.

Zum Abbau der Fehlvorstellung kann ein Konflikt zum Präkonzept Parallelograme erzeugt werden. So lassen sich durch systematische Erkundung der Eigenschaften von schiefen Parallelogramen, Quadraten usw. Gemeinsamkeiten und Unterschiede finden, die in den SuS. ein kritische Prüfung ihrer Präkonzepte anregen. So festigt sich eine Inhaltliche Vorstellung. Über Gemeinsamkeiten der Begriffe lässt sich der Parallelogramsbegriff in des Begriffsnetz der Vierecke einordenen und so ein Integrierte Begriffsvorstellung erzielen.

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Es werden beispielhaft Erarbeitung und Reflexion des Kurzfristigen Lehren geometrischer Begriff abgefragt.




|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-06T11:11:14Z

LukasZ: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung und Bezug zu den Bildungsstandards ===

=== Inhaltlicher Input ===

=== Arbeitsphase ===

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-
| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, Körper allg., Eigenschaften und Beziehung untereinander (gleichschenklig, gleichseitig, parallel, senkrecht, rechtwinklig, kongruent, achsensymmetrisch)
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang
|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Objektbegriffe''' || Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse, Zylinder, Würfel, Kegel, Quarder, Prisma, Parallelogramm, Ebene, Gerade
|-
| '''Eigenschaftsbegriffe''' || dreieckig, viereckig, rund, elliptisch, zylindrisch, würfelförmig, kegelförmig, quadratisch, eben, gerade, Punkt, Seite, Strecke, Kreisbogen (?), Diagonale (?)
|-
| '''Relationsbegriffe''' || parallel, symmetrisch, orthogonal, kongruent, windschief, identisch, ähnlich, deckungsgleich
|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Grundbegriffe''' || Punkte, Geraden
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| '''definierte Begriffe''' || alle anderen Begriffe
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==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]