https://geometrie.idea-sketch.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=MMaikeGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2026-07-03T01:48:04ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.43.9https://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Definitionen_in_der_Mathematik_SoSe_11&diff=6608Definitionen in der Mathematik SoSe 112011-04-13T12:08:49Z<p>MMaike: /* Definition E.2: Ellipse */</p>
<hr />
<div>==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==<br />
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden. <br />
<br />Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus.<br /><br />
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...).<br /><br />
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest.<br /><br />
<br />
==Was ist eine Definition?==<br />
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br /><br />
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.<br />
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br /><br />
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==<br />
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.<br />
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===<br />
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.<br />
====Das Übliche, die Realdefinition====<br />
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
<br />
====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====<br />
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
<br />
====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====<br />
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
===Beispiel 2: Drachenviereck===<br />
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.<br />
====Realdefinition====<br />
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.<br />
====Konventionaldefinition====<br />
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.<br />
====genetisch, operative Definition====<br />
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.<br />
<br />
==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==<br />
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.<br />
<br />
<br />
Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:<br />* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}<br /><br />
<br />
==Entwicklung einer "neuen" Definition==<br />
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br /><br />
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}<br />
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br /><br />
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br /><br />
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten <br /><br />
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis<br /><br />
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis<br /><br />
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11<br /><br />--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)<br />
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br /><br />
'''Aufgaben:'''<br /><br />
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br /><br /><br />
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br /><br />
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br /><br />
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />
====Definition E.1: Ellipse====<br />
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====<br />
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br /><br /><br />
<br />
<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAKyeWD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vjfb9s2EH5e/wpCr1tskdQvA3aKLF2BAt1iwF0fNuyBlmibi0RpFJXI+et3JCVbthMvabqHFn6QfTwd777v7nj09G1b5OiOq1qUcubhke8hLtMyE3I98xq9uki8t5dvpmtervlSMbQqVcH0zKMj4hl5Iy7f/DCtN+U9YrlV+Sz4/czTquEeqivFWVZvONdOvGJ5DXLWtCIXTG1vln/zVNf7BWfjg6wa3RtJi+yjqPufY7tflQv9TtyJjCuUl+nMi0LwHL595kqLlOUzL/CdhEBYYXCwCCJqVjelEg+l1EZ9b3wFEoRq8cDhTWJk07GNc8qbNBeZYNIEY/0AJYTuRaY3My+mBExysd6AryH2nbW0LFW22NaaF6j9g6sSjMZ4RClJKAnCKJ5MgtBD236JjIKQxpMA00kcwDqACB6DKzQehVEYQ1hB6MdJMoGXnlyyW/O7BdcamKwRa3nd47lWItsBbn58qH8u872oKoXU16zSjbJZQDvRQm/NZoCbMjFeyXXOOxkEnm54erss24XDjTrTn7aVfcX6s1xfl3mpkIIXQoh53T2X7ml1jKM7Ld/q+Fajs2GM7tbxhFgN+1y6p9XKhXSudYHjPuqeFdaKGhkBGDfJ22OTsyWHZPBQI4X+2P+ApLntIsVO/7emWELRDNNmZxJ/JZPT8VG+TW+5kjx3WSWB2KZsanRnstdRZ/3IeCoK+OkWOkCYIet3cMBJM75WvPfblZyDy64eZO6ReDrunTA+1OBrqqF1QDzaxGJKW0NZzbxFupFCpRsPZUybFVM/OS84FJe2WWGTaofPe+ztOklpu8IRgHukYfnRFLHJxPJqw0Ay6qLI2RZ6xDAua+/XMjuMlklAzYYCpVoZA4aXinPHqO4SGVVg0JbFAHKLVI3amXdBTQfduv3Rg+uoVseVkOkXdlfaMewQ+S9syPeAzf8CzfX3gMwF7ItJvP/gICEWKzKKwmDwocHLoEvLomAyQ5IV4MgveS4q2N68KcwRi5hvKw8xbLMMMWIgdXg1utdIndnO2Akj0AhEukM89Q47sN5Aq5O8ru1JoocHwgFt3elzwhtYz4SDGNRvOu0nSQ3x61l9lvNw0HN5B86Uqkao9bvpaev3Gd5LWuwYhjXciR7wgENIICVadGX0MRnFQTQhMBrACBCbyeAKm2iiQzmIgakLnPiTEcEB9imGgSKhCSzQzoGroN/3Kuy+Ocf/kS642p0/ooBpKhX6fO7MbdkdZk56kinz85lyWLvzL6pdTNzoYJ+vZVorlnaSwUn+dYoaj+IIBzCS4TgOMIkI7UqaJgGOgsRPMAx4FL+mohd8beRPVPT8hB92np+6M9czwJ6uZXKulp9BYz8BuiZsqvZLORxA/gi2W4MtoUk4CaGpkjCJaRxbyC/iEQ5NPQUkCCgNJ/RM9R+He66ILOK5SY0PUsNIx+2IdDqp3XJemQH5Rn5STNbmanWYii/lfb5r5Me8L1/G+/Lb4v1x2oPj+vsGWect3KBrcznvUc3ggt5CU3oHV2ImU/7ne/wTmv+FfkR7CTESD41PeJZNwdXgrM4sz7B700GbwCCCo4jgGC6hEQnw+dnJH7CHz49ty7LMOZO7rfnx1gOIXjPO+c9OqJvVquba5g9x0xYlZ/MNrsSGCCvrR6mjmMfDS5H946D74+TyX1BLBwj/in845AQAAGoRAABQSwECFAAUAAgACACsnlg9/4p/OOQEAABqEQAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAB4FAAAAAA==" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==<br />
===Das Haus der Vierecke===<br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> <br />
<br /><br /><br />
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.<br />
<br /><br /><br />
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===<br />
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.<br />
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.<br />
====Definition: Viereck====<br />
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Trapez====<br />
<br />
::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Parallelogramm====<br />
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: gleichschenkliges Trapez====<br />
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Rechteck====<br />
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.<br /><br />
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Quadrat====<br />
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.<br />
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Drachen====<br />
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br /><br />
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Raute====<br />
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
==Es kann nur eine geben - oder?==<br />
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}}<br /><br /><br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe><br />
<br /><br /><br />
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.<br />
====Definition E.2: Ellipse====<br />
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br /><br /><br />
<br />
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====<br />
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!<br />
<br />
....<br />
<br />
==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==<br />
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.<br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe><br />
<br /><br />
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert.<br /><br />
Die Variablen bedeuten:<br /><br />
<br />
* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades<br />
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades<br />
* R: Radius des festen Kreises<br />
* r: Radius des abrollenden Kreises<br />
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.<br />
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.<br />
<br />
====Definition E.3: Ellipse====<br />
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Definitionen_in_der_Mathematik_SoSe_11&diff=6607Definitionen in der Mathematik SoSe 112011-04-13T12:01:22Z<p>MMaike: /* Definition E.2: Ellipse */</p>
<hr />
<div>==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==<br />
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden. <br />
<br />Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus.<br /><br />
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...).<br /><br />
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest.<br /><br />
<br />
==Was ist eine Definition?==<br />
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br /><br />
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.<br />
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br /><br />
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==<br />
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.<br />
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===<br />
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.<br />
====Das Übliche, die Realdefinition====<br />
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
<br />
====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====<br />
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
<br />
====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====<br />
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
===Beispiel 2: Drachenviereck===<br />
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.<br />
====Realdefinition====<br />
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.<br />
====Konventionaldefinition====<br />
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.<br />
====genetisch, operative Definition====<br />
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.<br />
<br />
==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==<br />
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.<br />
<br />
<br />
Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:<br />* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}<br /><br />
<br />
==Entwicklung einer "neuen" Definition==<br />
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br /><br />
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}<br />
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br /><br />
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br /><br />
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten <br /><br />
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis<br /><br />
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis<br /><br />
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11<br /><br />--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)<br />
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br /><br />
'''Aufgaben:'''<br /><br />
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br /><br /><br />
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br /><br />
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br /><br />
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />
====Definition E.1: Ellipse====<br />
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====<br />
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br /><br /><br />
<br />
<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==<br />
===Das Haus der Vierecke===<br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> <br />
<br /><br /><br />
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.<br />
<br /><br /><br />
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===<br />
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.<br />
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.<br />
====Definition: Viereck====<br />
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Trapez====<br />
<br />
::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Parallelogramm====<br />
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: gleichschenkliges Trapez====<br />
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Rechteck====<br />
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.<br /><br />
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Quadrat====<br />
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.<br />
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Drachen====<br />
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br /><br />
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Raute====<br />
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
==Es kann nur eine geben - oder?==<br />
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}}<br /><br /><br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe><br />
<br /><br /><br />
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.<br />
====Definition E.2: Ellipse====<br />
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Ebene <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> nicht tangiert, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br /><br /><br />
<br />
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====<br />
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!<br />
<br />
....<br />
<br />
==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==<br />
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.<br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe><br />
<br /><br />
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert.<br /><br />
Die Variablen bedeuten:<br /><br />
<br />
* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades<br />
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades<br />
* R: Radius des festen Kreises<br />
* r: Radius des abrollenden Kreises<br />
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.<br />
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.<br />
<br />
====Definition E.3: Ellipse====<br />
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Definitionen_in_der_Mathematik_SoSe_11&diff=6606Definitionen in der Mathematik SoSe 112011-04-13T11:54:42Z<p>MMaike: /* Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse */</p>
<hr />
<div>==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==<br />
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden. <br />
<br />Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus.<br /><br />
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...).<br /><br />
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest.<br /><br />
<br />
==Was ist eine Definition?==<br />
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br /><br />
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.<br />
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br /><br />
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==<br />
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.<br />
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===<br />
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.<br />
====Das Übliche, die Realdefinition====<br />
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
<br />
====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====<br />
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
<br />
====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====<br />
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.<br />
===Beispiel 2: Drachenviereck===<br />
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.<br />
====Realdefinition====<br />
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.<br />
====Konventionaldefinition====<br />
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.<br />
====genetisch, operative Definition====<br />
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.<br />
<br />
==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==<br />
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.<br />
<br />
<br />
Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:<br />* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}<br /><br />
<br />
==Entwicklung einer "neuen" Definition==<br />
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br /><br />
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}<br />
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br /><br />
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br /><br />
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten <br /><br />
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis<br /><br />
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis<br /><br />
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11<br /><br />--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)<br />
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br /><br />
'''Aufgaben:'''<br /><br />
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie?<br /><br /><br />
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br /><br />
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br /><br />
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />
====Definition E.1: Ellipse====<br />
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====<br />
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br /><br /><br />
<br />
<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br />
<br />
==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==<br />
===Das Haus der Vierecke===<br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> <br />
<br /><br /><br />
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.<br />
<br /><br /><br />
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===<br />
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.<br />
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.<br />
====Definition: Viereck====<br />
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Trapez====<br />
<br />
::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Parallelogramm====<br />
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: gleichschenkliges Trapez====<br />
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Rechteck====<br />
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.<br /><br />
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Quadrat====<br />
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.<br />
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Drachen====<br />
Wenn zwei Stecken senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)<br /><br />
Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale Senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br /><br />
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
====Definition: Raute====<br />
Wenn zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)<br />
<br />
==Es kann nur eine geben - oder?==<br />
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}}<br /><br /><br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe><br />
<br /><br /><br />
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.<br />
====Definition E.2: Ellipse====<br />
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass ... (ergänzen Sie selbst entsprechend des Videos von Herrn Filler) ... , dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse.<br />
<br /><br /><br />
====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====<br />
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!<br />
<br />
....<br />
<br />
==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==<br />
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.<br />
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe><br />
<br /><br />
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert.<br /><br />
Die Variablen bedeuten:<br /><br />
<br />
* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades<br />
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades<br />
* R: Radius des festen Kreises<br />
* r: Radius des abrollenden Kreises<br />
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.<br />
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.<br />
<br />
====Definition E.3: Ellipse====<br />
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.<br />
<br />
[[Category:Einführung_Geometrie]]</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:MMaike&diff=6541Benutzer:MMaike2011-04-12T09:56:09Z<p>MMaike: </p>
<hr />
<div>[[Datei:P1020494.JPG|600px]]</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:MMaike&diff=6540Benutzer:MMaike2011-04-12T09:55:55Z<p>MMaike: </p>
<hr />
<div>[[Datei:P1020494.JPG|600px]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:MMaike&diff=6538Benutzer:MMaike2011-04-12T09:54:38Z<p>MMaike: </p>
<hr />
<div>[[Datei:P1020494.JPG|1000px]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:MMaike&diff=6537Benutzer:MMaike2011-04-12T09:54:08Z<p>MMaike: </p>
<hr />
<div>[[Datei:P1020494.JPG]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:MMaike&diff=6536Benutzer:MMaike2011-04-12T09:53:56Z<p>MMaike: Die Seite wurde neu angelegt: „200px - Eine Wandfliese aus der Wilhelma“</p>
<hr />
<div>[[Datei:P1020494.JPG|200px]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Auftrag_der_Woche_1_(SoSe_11)&diff=6535Auftrag der Woche 1 (SoSe 11)2011-04-12T09:52:39Z<p>MMaike: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */</p>
<hr />
<div>== Geometrie im Alltag ==<br />
<br />
Im ersten Wochenauftrag sollen Sie Geometrie im Alltag aufspüren und als Bild in Ihre Benutzerseite stellen. Dies dient auch dazu, dass Sie lernen, das Wiki zu verwenden.<br />
<br />
Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!<br />
<br />
=== Anleitung ===<br />
<br />
# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!<br />
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.<br />
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])<br />
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])<br />
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.<br />
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").<br />
<br />
=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===<br />
<br />
* [[Benutzer:Spannagel]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma<br />
* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]<br />
* [[Benutzer:MMaike]] - Riesenrad auf dem Oktoberfest<br />
* [[Benutzer:Adores]] - Hund Onyx spielt mit Quader (teilweise ausgeklappten Netz eines Quaders)</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Auftrag_der_Woche_1_(SoSe_11)&diff=6521Auftrag der Woche 1 (SoSe 11)2011-04-11T20:34:21Z<p>MMaike: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */</p>
<hr />
<div>== Geometrie im Alltag ==<br />
<br />
Im ersten Wochenauftrag sollen Sie Geometrie im Alltag aufspüren und als Bild in Ihre Benutzerseite stellen. Dies dient auch dazu, dass Sie lernen, das Wiki zu verwenden.<br />
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<br />
=== Anleitung ===<br />
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<br />
=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===<br />
<br />
* [[Benutzer:Spannagel]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma<br />
* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]<br />
* [[Datei:P1020494.JPG|200px]] - Riesenrad auf dem Oktoberfest</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Auftrag_der_Woche_1_(SoSe_11)&diff=6520Auftrag der Woche 1 (SoSe 11)2011-04-11T20:31:34Z<p>MMaike: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */</p>
<hr />
<div>== Geometrie im Alltag ==<br />
<br />
Im ersten Wochenauftrag sollen Sie Geometrie im Alltag aufspüren und als Bild in Ihre Benutzerseite stellen. Dies dient auch dazu, dass Sie lernen, das Wiki zu verwenden.<br />
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=== Anleitung ===<br />
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<br />
=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===<br />
<br />
* [[Benutzer:Spannagel]] - Eine Wandfliese aus der Wilhelma<br />
* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]<br />
* [[Datei:P1020494.JPG|200px]]</div>MMaikehttps://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Datei:P1020494.JPG&diff=6519Datei:P1020494.JPG2011-04-11T19:01:13Z<p>MMaike: {{Information
|Beschreibung = Riesenrad auf dem Oktoberfest
|Quelle = Dyron Long
|Urheber = Maike Mischler
|Datum = 01.10.2010
|Genehmigung = Creative-Commons-Lizenz
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}</p>
<hr />
<div>{{Information_ohne_UploadWizard<br />
|Beschreibung = Riesenrad auf dem Oktoberfest<br />
|Quelle = Dyron Long<br />
|Urheber = Maike Mischler<br />
|Datum = 01.10.2010<br />
|Genehmigung = Creative-Commons-Lizenz<br />
|Andere Versionen = <br />
|Anmerkungen = <br />
}}</div>MMaike